（基础数学专业论文）非双倍测度下的广义calderónzygmund算子.pdf

摘要 摘要 众所周知，双倍测度在调和分析中的应用是比较广泛地，许多结果的出现和证明 都依赖于测度的双倍条件但在很多情况下，测度p 的双倍条件对于调和分析中的结 论成立是不需要的近两年中，有许多文章都专注于研究非双倍测度下的函数空间的 表示和在这些空间上c a l d e r 6 n z g ) , m u n d 算子的有界性问题， x t o i s a 研究了c a l d e r 6 n z g y m u n d 算子及其交换子在非双倍测度下的一些有界性， 然而对于o ( t ) 型c a l d e r 6 n z g y m u n d 算子及其生成的交换子在这类非双倍测度下还没有 相关的文章进行过讨论而p ( ) 型c a l d e r 6 n z g y l n u n d 算子的引进是具有微分方程背景 的，对其相关的研究是有意义的通过以往对口( t ) 型c a l d c r d n - z g y m u n d 算子的一些研 究可以看到它要相对复杂一些，也增加了一定的难度 本文首先解决了在这种非双倍测度下，吣) 型c a l d e r d n z g y m u n d 算子的( 圩譬，l 1 ( p ) ) 和( l ”( p ) ，r b m o ( u ) ) 的有界性。 在双倍测度下，为了弥补交换子的非旧，l ) 有界性，引入了h 1 空间的一种替 代空问一一硪，因此有交换子( 明t ) 有界性的成立。本文也借助这种空间的引入， 得到了由r b m o ( # ) 和日( ) 型c m d c r d n z g y n m n d 算子生成的交换子的旺o 。( p ) ，r b m o ( # ) ) 有界性，并对新型的h a r d y 空问q ) 证明了交换子的( u 1 l 1 ( “) j 有界性 在双倍测度下，次线性算子有界性问题的研究起到非常重要的作用最后，我们 针对在双倍条件下次线性算子在h c r z 空间上的有界性的问题，讨论了在非双倍测度 下，一类次线性算子在h e r z 空间上的有界性及( 0 ，0 ) 型分数次积分算子日1 ( p ) 一 ( p ) 的有界性 关键词广义c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子；h a r d y 空间；r b m o ( ) 空间；交换子；次线性 算子 i i a b s t r a c t a sw ea l lk n o w ，t h ed o u b l i n gm e a s u r ei su s e dw i d e l yi nh a r m o n i ca n a l y s i s ，t h ep r o o f so fm a n y r e s u l t sd e p e n do nt h ed o u b l i n gc o n d i t i o no ft h em e a s u r e b u ti ns o r t i es k u a t i o n s ，t h ed o u b l i n g c o n d i t i o no ft h en m a s u r ei sn e e d l e s st on l a n yr e s u l t si nh a a m o n i ca n a l y s i s i nr e c e n ty e a r s ，t h e r e a r em a n yp a p e r sf o c u s i n go nt h er e p r e s e n t a t i o no ft h ef u n c t i o ns p a c e sa n dt h eb o u n d e d a e s so ft h e c a l d e r d n - z g y m u n do p e r a t o r so nt h e s es p a c e s xt o i s as t u d i e dt h eb o u n d e d e s so ft h ec a l d e r d n - z g t m u n do p e r a t o r sa n dt h ec o m m u t a t o r so f t i l ec a l d e r 6 n z g y m u n do p e r a t o rw i t ht h er b m 0 f u n c t i o nf o rt i l en o n d o u b l i n gm e a s u r e b u tt h e b o u n d e d n e s so ft h eo ( t ) t y p ec a l d e r 6 n z g y m u n do p e r a t o ra n di t sc o n l n l u t a t o ra r en o ts t u d i e db y n o w t h eo p e r a t o rh a sap r o f o u n dp a r t i a jd i f f e r e n t i a lc o e f f i c i e n tb a c k g r o u n d t h er e a s o ni st h a ti ti s r e l a t i v e l yc o m p l e xa n dt h e r ei sal i t t l ed i f f i c u l t y i nt h i st h e s i s ，w ef i r s tp r o v et h a tt h eo ( t ) t y p ec a l d e r d n - z g y n m n do p e r a t o ri sb o u n d e df r o m 硪铲( ，z ) t ol 1 ( p ) a n df r o ml ( “) t or b m o ( # ) f o rn o n d o u b l i n gm e a s u r e f o rd o u b l i n gm e a s u r e ，i no r d e rt or e m e d yt h eb o m l d e d n e s sf r o mh 1t ol 1o ft i l e c a l d e r 6 i p z g y m u n do p e r a t o r ，an e ws p a c eh 1i si n t r o d u c e d s ot h ec a l d e r d n z g y m u n do p e r a t o ri sb o u n d e d i j o m 删t ol 1 i nt h i st h e s i s ，a c c o r d i n gt ot i l ei d e a 、w eg e tt h a tt h ec o n l n r u t a t o ro ft h er b m o ( “) w i t ht h eo ( t ) t y p ec a l d e r d n z g y m u n do p e r a t o l i sb o u n d e df r o m l ”( ，) t or b m o ( t , ) ，a n dt h e b o u n d e d n e s so f ( 珥( p ) ，l 1 ( p ) ) f o rd o u b l i n gl i l e a s u r e ，t h eb o u n d e d n e s so ft h es u b - l i n e a ro p e r a t o rp l a y sn i l i m p o r t a n tr o l ei n m a n yp r o b l e m si nt h i st h e s i s ，a tl a s t ，a c c o r d i n gt ot h eb o u n d e d n e s so ft h es u b l i n e a ro p e r a t o ro nh e r z s p a c et od o u b l i n gm e a s u r e ，w es t u d yt h eb o u n d e d n e s so ft h es u b l i n e a ro p e r a t o ro nt h eh e r zs p & c e 舢l dt h e ( 0 ，0 ) t y p ef r a c t i o n a lo p e r a t o r sb o u n d e d n e s so f ( h 1 ( p ) ， ( “) ) f o rn o n - d o u b l i n gn l e a s u r e r e nx i a o f a n g ( 1 5 m d m e n t a lm a t h e m a t i c s ) t l i t o r ：p r o fz h a ok a j k e y w o r d s o ( t ) t y p ec a l d e r 6 n z y g i n u n do p e r a t o r ；h a r d ys p a c e ；r b m o ( # ) s p a c e ；c o m m u t a t o r ；s u b - l i n e a ro p e r a i ，o r 引言 引言 近几年来，调和分析上很多焦点都转移到了测度是否双倍的问题上对此问题， 人们进行了各方面的深入探讨通过研究发现，在许多情况下，测度p 的双倍条件对 于调和分析中的结论成立不是必要的也就是说，若测度只满足增长条件而不满足双 倍性时，我们调和分析中的许多结论仍然是成立的。设p 是空间刑上只满足增长条 件的任意m d o a 测度，即任给z r 4 ，r 0 和固定的0 0 ，使 p ( b ( z ，r ) ) 兰c r “ 成立，其中b ( x ，r ) 是中心在z 半径为r 的球这是一类不假设双倍条件的测度我们 说测度p 是双倍的，如果对于任意的x s u p p ，r 0 存在正常数c 0 ，使得 p ( b ( o ，2 r ) ) 兰g j 。( b ( z ，r ) ) 成立 c a u c h y 变换的t ( 1 ) 定理在【1 8 】中得到证明，而广义的c a l d e r 6 n - z g y m u n d 的t ( x ) 结 论在【1 9 l 中也得到了证明，与此同时，在该文章中，对于c a u c h y 变换这种特殊的算 子，作者得到_ 它的c o t l a r 不等式和弱( 1 ，1 ) 型估计；在 2 0 】中，对于非双倍测度， 作者g d a v i d 得到了t ( b ) 型定理，而这个定理正是v i t u s h k i n 猜想中有关正有限一维 h a u s d o r f f 测度的解决方法；另外的一个解决这个猜想的t ( 砷定理后来在 2 1 】中由作者 n a z a r o v ，t r e i l 和v o l b e r g 得到在 5 】5 中，作者给出了c a u c h y 变换t ( 1 ) 定理的另外一种 证明方法，并且在【2 3 】中，在非双倍测度下，带有原子的t ( 1 ) 定理被证明给出 然而，到那个时期为止，空间b m o 和它的对偶空间砩的比较好的替代空间还 没有被发现和给出。m a t e u ，m a t t i l a ，n i c o l a u 和o r o b i t g 在【2 4 】中已经研究了在非双倍 测度下的b m o 空间和联。，他们证明了在双倍测度下这些空间满足的性质同样也是 在非双倍测度下成立的，例如：j o h n - n i r e n b e r g 不等式，b m o 空闻与珥。( p ) 互为对 偶，( 丑击( p ) ，1 ( p ) ) 和( 。( “) ，b m o ( p ) 有界的算子是在l ，( p ) ，1 1 存在测度p 和函数f 使得，s m o p ( p ) ，但是对于其 他的p 不成立 给定p ( 1 ，o o ) ，我们说，b m o ：( p ) ，如果 s u p i ，一m 。( 川9 d psc t ( p q ) 0j 0 在双倍测度下，由j o h n - n i r e n b e r g 不等式，有b m o p ( , u ) ；b m 0 = ”但是在非双倍测度 下，这是不成立的在i 2 5 】中，作者证明了存在测度p 和函数f 使得仅仅对于p 1 ，o 。) 的某一个子集而言，满足，b m o ；( i j ) 原子空闻硪0 ( p ) ，它是由具有形式 ，= 如； 引言 3 的函数所构成，其中k r ，； 1 ) 2 0 0 0 年，xt o l s a 针对以上尚未解决的问题，提出了他的在非双倍测度下一套非 常完整的基础理论体系在【1 2 l 中，作者介绍了一个适合于非双倍测度的b m o 空间 的变形空间，它满足了通常b m o 空间的性质。比如，j o h n n i r e n b e r g 不等式这个空 间将是b m 哪( p ) 空间的子空间，它将是一个具有较好性质的足够小的空间。同时也 是个足够大的空间使得当c a l d e r 6 n - z g y m u n d 算子在工2 ( “) 上有界时，它也扶l 。( p ) 到 这个新的b m o 空间有界作者把这个新的b m o 空间称做r b m o 空间 作者同。寸，1 - 绍了一种新型的原子空间娥1 。, c o ( 川这个空间是由具有下面形式的函 数所组成 ，= ，饥 其中函数b i 是由一些称为原子块的函数所组成团比我们有硪0 ( 函c 磁字( p ) ，但是， 严格的说，磁乎( p ) 比硪0 ( “) 大 通过这个定义，可以看到这种新型的原子空间具有很多好的性质。首先，空间的 定义与常数p i 的选取没有任何关系，而且在2 ( p ) 上有界的c m d e r 6 n z 9 5 , m u n d 算子 则在( 以1 。, o o ( p ) ，上1 ( p ) ) 上有界，另外，哦铲( p ) 空间与r b m o 空间互为对偶空间在进 行这两个空间互为对偶的证明中，引入了一中h a r d y 空间丑毒1 , 。p ，其中l p m 并且 证明了当1 p o 。时，砣斧= 咧i 。, p 在 1 6 中，x t o l s a 利用极大算子建立了非双倍 测度下的日- 空间，而这个空间就是研铲因此在以后的记法中，我们都把域铲空间 或者_ f = r 麓记为日1 空间 与此同时，x t o l s a 证明了( 砧尹( p ) ，l 1 ( p ) ) 和( 占。( p ) ，r b m o ( u ) ) 有界的线性算子是 在口( ) ，1 p 。上有界的作为一种应用，作者还得到了在非双倍测度下c a u c h y 变 换双1 ) 定理的一种新证明方法另外，作者证明了在2 ( p ) 上有界的c a l d e r 6 n z g y r a u n d 算子与r b m o ( i a ) 函数形成的交换子是在l r ( “) ，1 p o 使得： 2 1 ) l k ( x ，们 g 1 z 一簟r 8 ； 2 2 ) 对于z ，跏，y r 。，当2 1 z 一如j a n ，我们说方体是( a ，p ) 双倍的，如果p ( a 口) 肌( 0 ) 其中，a q 代表与方 体q 同心的方体，且l ( d q ) = 础( 0 ) 在 1 2 】中，t o l s a 指出，任给$ s u p p f 和d 0 ，存 在( a ，口) 双倍方体q ，以z 为中心，并且l ( q ) d 这一点可以通过测度p 的增长条件 和p o t n 这一事实很容易得到与此同时，如果p ，则在p 上对于z r 8 ，存 在一序列( 。，p ) 双倍方体t ) t 。，以z 为中心，并且当k o o 时，有l ( q ) 一0 在下 文中，如果a ，p 没有具体说明，我们说一个双倍方体即( 2 ，2 d + ，) 双倍方体特别的， 令n 是使得2 n q 是双倍方体的最小的正攘数，我们记这个双倍方体为亩( 方体亩是存 在的，否则测度p 的增长条件不成立) 下面的这个引理是有关系数k q ，n 的 引理1 1 ( 1 ) 若在础中方体0cr cs ，则如，r 硒舟硒，ssg s 砀ss c ( k q r + k r s ) ( 2 ) 若q r 的面积可比较，则硒，r g ( 3 ) 若n 是一个固定的正整数，方体列2 q ，2 2 q ，2 n - 1 q 不是( 2 ，p ) 双倍方体 2 n ) ， 6 第一章口( t ) 型c a l d e r d n - z y g m u n d 算子的有界性 则 则 k q ，2 “0s c ( 4 ) 若n 是一个固定的正整数，且对于p 1 是某一个固定的常数。我们称，l k ( 属于r b m o ( t u ) ，如果 存在常数c 使得任给方体q ( 中心在s u p p f 的某个点上) ，有 南厶i ，“( j i d p c 和对任给的双倍方体q r ， i m o ，一r “r ，is c k q + r 上式中最小的常数c 定义为函数，在r b m o ( , u ) 空间上的范数，我们记之为 有关此定义，我们需要注意的是，由于定义中系数k q r 的存在，r b m o ( , u ) 空间 的定义与整数1 2 有关，而与固定常数p 的选取无关，因此在以后的应用中，如果没有 特殊说明，我们就取p = 2 关于r b m o ( # ) 空间，在【1 2 】中t o l s a 介绍了这个空间的一些等价范数和等价命题 假设给定的函数，l o 。( p ) ，存在常数g 和一序列数 f q q ( h p 对于每一个方体0 ， 存在数如r ) ，满足：任给方体口 8 芋南口i f ( 。) 一f q j 8 p ( 。) c 和对任给的方体qc r ， i ，o f r l g 托，托 我们记i i f i t 。= i n f c ，其中下确界取遍所有的常数c 和所有满足上面两个不等式的一 序列数 局) o 关于这两个范数，我们有川i 。和川l + + 是等价的。在我们以后的证明中，这两个 范数的等价性会经常用到。 引理1 2 令p l 是某一个固定的常数对于函数，五2 。( p ) ，下面的命题等价 ( 8 ) ，r b m o ( i a ) ； 第一节基本概念与b 理 7 ( b ) 存在常数g ，使得对于任给的方体0 , “q f l d p e p ( p q ) 和对任给的方体0 r ， i m q ，咖f l ! 眠n ( 帮+ 错) ( c ) 存在常数c ，使得对于任给的双倍方体q ，i ，一m q f l d t c p ( q ) 和对任给的双倍方体qc r ， i m q f t u r f i ! c ，r 其中m 。，代表函数，在方体q 上的均值 下面给出另外一个空间r b m o ，( g ) ，p 【1 ，o o ) ，函数在这个空间上的范数与r b m o ( p ) 空间上的范数是等价的 定义1 2 令p 1 是某一个固定的常数我们称，el ( p ) 属于r b m 0 9 ( p ) ，p e f 1 ，。) 空间，如果存在常数c 使得对于任给方体q ( o 心在s u p p f 的某个点上) ，有 ( 志尼卜m 卅啊加g 和对任给的双倍方体q 置， l m q fm r ，l 蔓e k o r 上式中最小的常数c 定义为函数，在r b m o 一( u ) 空间上的范数，我们记之为i t 忆， 引理1 3 对p 【1 ，o o ) ，空间r b m o v ( # ) 的范数”p 等价。 我们要指出的是，空闯r b m o p ( p ) 也有类似空间兄b m o 的存在一序列数 如k 的等价定义 定义1 3 令p 1 是某一个固定的常数，函数b l 。( p ) 称为一个原子块，如果 ( 1 ) 存在方体r ，使得s l l p p ( b ) c r ( 2 ) ，b 如= 0 ( 3 ) 存在函数a j 支于方体q ，c r 和数b r ，使得6 = 如q 而且 j = l i i 唧| | l * f “) ( , u ( p q i ) k q j ) 一1 ，j r ，恤 8 第一章8 ( t ) 蛩c a l d e r s n - z y g r n u n d 算子的有界性 我们记 i b l h ：f ( 曲= j 函数，成铲( p ) ，如果存在原子块6 。使得 ，= b 。 l = 1 且：哦学( 。) 1 是某一个固定的常数，p ( 1 ，o 。) ，函数b l 。( p ) 称为一个p 原子块，如果； ( 1 ) 存在方体r ，使得s u p p ( b ) c r ( 2 ) m p = o ( 3 ) 存在函数q 支于方体qc r 和数r ，使得b = e a j a j 而且 j = l l l a ，l l l ，( 。) p ( 础) 1 加。1 k 矗r 我们记 b l h ：；u 肿= 刚 ， 函数，硪瘩( p ) ，如果存在p 原子块b l 使得 ，= b i = l 且e 磷g ( 。) o o 函数f 的月翟( p ) 藕数定义为 j = r 冰坤= i n f 哦：( m 其中，下确界取遍函数，的所有p 原- t - 块分解。 目i 理1 4 对1 0 在l ”( p ) 一r b m o ( p ) 上一致有界。其中， 疋f ( x ) = k ( 而v ) ，( ”) 硅p ( 们 j $ 一口l 首先证明当f l 。( p ) n l o ( p ) ，对某个p o 【1 ，o 。) ，有 限f l i r b m o ( “) sc t l f n l * ( 由引理2 2 中的等价命题( b ) ，我们只要验证丑，满足( b ) 中的两个大小条件即可 首先，我们先验证：任给方体qc r ，有 ( t c f ) 嘲( t j ) i c k q 一嬲十错) l l f l l 州 成立因为，r 是使2 k 0 r 成立的第一个整数k ，记q r = 2 n 。, r + 1 q ，则任给z q ，y r ，我们有下面的分解 8 t j ( x ) 一e 砌) = 耳，x 2 。( 。) + t e f x 2 q u 。口( z ) + t e f x r a 。( 。) 一( t s f x q 。( ) + 正，o 。( ) ) + ( t e f x r a q 。( z ) 一t c f x r , q r ( v ) ) 一t x f x q r ( ”) 口吼 地，e m z 0 您，疋 1 | 第二节定理的叙述与证明 1 3 疋，x r a 。( z ) 一己，x 旧一( 训l ( z ，z ) ，x q n ( = ) 咖( ；) 一( ，z ) ，x r d q 凡( z ) d p ( z ) ：；c l l s l l l 。( 。) ， h ( 。，；) 一k ( 玑。) l 咖( 。) j r , f q r e ， l l * ( “) j r r q 。( 1 f 。z - 一y ：1 1 ) l $ 一z i 一。d p ( 2 ) 蚓l ，州耋l 删。口( 同i x - - y l 叫 螂忆嘶，主k m 。c 采2 k + i q r r 州z ， g i l f t l 一薹l 删。“2 “) f ( 2 ”切一州 ! c i l f l t l * f m o ( 2 “) 舻+ 1 q r ) “p ( 2 ”q r ) g | | ，| | 州，1 掣出 c i i $ 1 1 l 一( 。 上面的估计中，我们用到了f ( r ) * f ( 0 r ) 所以 卫，x 2 一q 2 吲刮 k ( 蜘) 惋一神吲硎州们 c l l f l i l 一( “) j ；k ( z ，v ) i d , ( u ) j 2 。q 20 c l i f l l l 。( ，丽t t ( 2 k + l q ) n q8 疋m ) 一t j ( v ) i 玉 t 。f x 2 q ( x ) + c k = 1 川l 。( 时玎p 酊( 2 k + 丽l q i ) + g l l f l i l 。( 脚+ l 疋，x 。( ) 下面我们估计上式中剩余的两项由算子t 在l z ( p ) 上有界，我们有 m 。( i t j 训s ( 而1f qi 胁。q 1 2 舡) ”2 g i l f l l ( 锱) l 2 茎c i l s l l 筹 m r ( i t , f x q 。| ) m r ( t , f x q 。n 2 r i ) + m r ( i t e f x q 。2 r i ) 1 4 第一章日( t ) 型c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子的有界性 m 州疋，x q n n 2 r 雌( 志n 2 r 脚) v 2 g i l f l l 删( 锷暑产) 1 2 g l l f l l 州肿籍 由于z ( q ) “f ( r ) ，所以 因此 丽1 上阿孙、别中 志上五r 。i ( 置) ，( 9 ) l d p ( ”) 舡( z ) e 云南五r 。i f ( 训如( ”) 上似。埘i 中( 。) 。i i f l l 州丽1 脚一) 器 - 3 e 。我们写，= ，+ 厶其中， = 奴2 编对于日o ，我们定义 t j ( x ) = 疋 ( z ) + ( k ( z ，y ) 一k ( 0 ，) ) ，2 ( ) d p ( ) j 现在，上面等式中的积分都是收敛的，根据这个定义，我们同样可以验证对于所有的 p ( 1 ，o o ) ，五( p ) 时咒满足 i l 卫，i i r 日o 【p ) sc l l f l l l 一( m 定理1 2 证毕。 引理a 若缌陛算子t 是磁孑一1 ( p ) 和l 。( p ) 一r b m o o t ) 有界，则算子t 在 驴( p ) ，1 p o o 上有界 引理a 就是【1 2 】中的内插定理，由定理1 1 ，12 以及引理a ，我们有这样的结论： 8 ( ) 型c a l d e r d n - z y g m u n d 算子在l p ) ，1 p 上有界 第一节主要结果与引理 1 7 第二章口( t ) 型c a l d e r d n - z y g m u n d 算子形成交换子的有界性 第一节主要结果与引理 在双倍测度下，交换子具有( h ，( p ) ，l 1 一) 界的性质，这种有界性是弱有界的性质 为了弥补交换子的非( _ i ，l ，) 有界性，引入了h - 空间的一种替代空间一一田，因此 有交换子( 硪，l i ) 有界性的成立。本文也借助这种空间的引入，对交换子在非双倍测 度下进行了有关方面性质的讨论 首先，对某些概念作简单回顾 定义2 1r b m o 函数6 和口( t ) 型c a l d e r d n - z g y m u n d 算子t 生成的交换子定义为 r 【b ，t i ，( 。) = b ( z ) r ，( z ) 一t ( 6 ，) ( 。) = k ( x ，) ( b ( z ) 6 ( ) ) ，( ) d y 定义2 2 函数。五毛。称为一个乱原子块，如果 ( 1 ) 存在方体r ，使得s u p p ( a ) c r ( 2 ) 存在函数o ，支于方体q ，cr 和数 ，r 使得n = 妈且凸，( g ) 舡( ) j 厂响) 6 ( ) 舡( 们= 。而且 n j l i l 一( p ) ( , u ( 2 q i ) k q , r ) 一1 我们记 l a l m ( 。) = h j 函数，磷( p ) ，如果存在扯原子块。：使得 f = o , i 且础( 。) l 上的有界性 2 0第二章 o ( 0 型c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子形成室换子的有再性 ql ( b - ) t f l d p ( 厶p ，1 p d m “1 j 毛p 一均r 。中) l j 00 g p ( q ) 1 p i l b l t t l i i l 一( m p ( q ) 1 ” c z ( q ) i l b l l + | i f i i p ( 。) 及 t t ( ( b 一6 口) f o l d t z ( i t ( ( b b q ) ) 1 9 d p ) 1 p p ( 口) 1 1 肺 j 口j 口 c l l ( b b q ) f l l l l ，( p ) p ( q ) 1 1 9 g i l f l t l 一( p ) p ( q ) 1 1 7 ”( z 。i b - b q l 9 d p ) 1 7 9 g i l f l l 州( 甜“，p ( ( z qi b - b 2 q i p d p ) 枷+ ( z 。l 的- b 2 q i 咖) c 1 1 l l l ( “) p ( 0 ) 1 1 p ( p ( 4 q ) 1 l l b l l ，+ p ( 2 q ) 1 9 1 f 6 | | + 硒，2 0 ) s e l l f l l l f 。1 p ( q ) 1 1 p ( 4 q ) 1 p i l b l l + 曼c l i ：i i l ( 曲肛( q ) 1 - 1 ”p 【 t l p 1 + c i l f l l l 一( “) p ( q ) | | b l l 上面的不等式中用到了方体口的双倍性和系数蜘，。os c 下面我们估计l t ( 伯一b q ) 丘) ) 一均i ：对z y 0 ，我们有 l t l 峥一6 q 】，2 ) ) 【2 ) 一t t ( 6 一b o j 扎) ) t 们i c l k ( x ，。) ( 6 ( z ) 一b q ) f ( z ) d l l ( z ) 一k ( ，z ) ( 6 ( 2 ) 一b q ) f ( z ) d p ( z ) j r d 2 口j r 4 2 0 墨o l l f l l l 一( p ) 1 k ( x ，z ) 一k ( y ，z ) l l b ( z ) 一b q l d p ( z ) j r d 2 q 如i l f l l p ( 山厶2 口o e p l x - y 。1 1 ) l p 圳”i h 刁- b q i d a ( 曲 蚓帆) 薹椭州0 ( 习q r 眦沪划嘶) 删l ，州薹l q 憎日日( 同i x - y 肛刊叫b q - - b 2 t + 1 q z ) 洲忆吣) 孰邶铲。8 ( 器) l ( 。铲阪；) - - b 2 - + 1 q 第二节定理的证明2 1 所以 + c i i f l t l 哳) l l b l t 。是1 如一。，。止一吼2 。口口( 鼢) f ( 2 q ) “中( z ) 蜊l 嘶) 圳静1 韪幕 删忆哪州圳嵩婶勺是筹器 c i i f l l * 。) l l b l l 。k o ( 2 “) c i i f l l 州i i b i f 。j ( 1 筹出 sc l l y l l z * ( 。 上面的不等式中，我们用到了r b m o 函数的定义、等价条件和。一q ，o c k 在y q 上取均值，我们有 丁( ( 6 6 0 ) ，2 ) ) ( z ) 一h q lsc i l f l i l 一 。) t l b l l j t ( ( b 一6 0 ) ，2 ) ) ( z ) 一h q i d , a ( x ) sc l f l l l * ( p ) l l b l t - p ( q ) j 0 正 m q ( b ，t i 川d , a 1 h q m q ( b ，t f ) l , u ( q ) g 上t i f - h q l 舡 c i i f l l l 一( 。) 删h “旧) 上式中最后一个不等号成立，是因为前面几部不等式成立的结果 最后，我们有 厶怕，叫，一m o ( h 剐忡c i i f l l 州肌i i “q ) 下面证明( 2 ) 的成立即存在常数c ，对于任给的双倍方体0 ( r l “口( 6 ，t f ) 一m r ( b ，t l f ) lsc k q r i i f l t l 一( 。) l l b l l + 2 2 第二章o ( t ) 型e 正d 盯6 n z y g m u n d 算子形成交换子的有再性 任给z q ，y r ， b ，t f ( x ) 一【b ，卅，( ) l = i ( 6 ( $ ) 一b q ) t f ( x ) 一t ( ( 6 一b q ) f ) ( x ) 一( b ( 9 ) 一b q ) t f ( y ) 一t ( ( b b q ) f ) ( y ) i ( 6 扛)b q ) t ( x ) i + i ( b ( g ) 吣) t ，国) i + l t ( 0 一b q ) 1 ) ( x ) 一t ( ( 6 一b q ) f ) ( y ) 对，由前面估计 ”o ( 1 伯一b q ) t f l ) sg ，l l l * ( i l b m 对，的估计类似于j 的估计， b q ) t ，( ) | 缸( ) 蔓( i t f p d p ) 1 加( i b 一6 0 p 舡) 1 p ，rj r o ( ( 1 6 6 r p d p ) 1 + ( 扣r 一6 q d 卢) 1 加) l l f l t l 舶( p ) p ( r ) 1 加 j rj 凡 c 0 ( r ) 1 p p ( r ) 1 l l b , i + 1 1 l l l f 。1 r c p ( r ) l l b l 1 l y l l l 一( p ) ，r 上面的不等式中用到了方体r 的双倍性。 所以 下面估计i i i 式 m q ( 1 ( b 一吣) t i i ) c l l b l l + i l f l l l 一( 。) f ，r ? 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