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哈尔滨理t 人学理y - ( o ! i ：学位论文 具有某类特殊性质赋范空间相关问题的研究 摘要 内积空问特征性质的研究已经取得了大量非常好的成果，同时也得到了许 多相关的重要理论和具有某些特殊性质的空l 、u j ，彳日是这些相关的理论在一般的 赋范线一f k 窄问r f l 的心川k l j 没有得剑很充分的讨论和研究。另一方面，具有某些 特殊性质的窄问其j l 西i 性质和儿何常数等相关讨沧也没有得到深入的挖掘。 本文手要对在研究内积空问特征性质的过程中得到的具有只性质的赋范线 性空间的若干性质进行了研究，并且结合m i n k o w s k i 儿何中的一些重要理论， 以欧氏几何为背景，从另外一个角度研究了内积空i u j 的特征性质，从而得到了 一些新的结论。 首先，本文n i i 顾了内积空l 、n j 的雎本知识及其特征性质研究的发展过程，总 结了前人的主要研究成果，并且展示了本文所要讨论的内容及相关背景和意 义。 其次，本文讨论了具有p 陀质f i ，j 赋范窄| 1 l 的致：1 f 厅一附陆况，并目对只 性质的某j j 唔棚天理沦作了改进。i i 州0 + ，本文还结合只性质和等雌i l j 交的一些晕 要理论，从另外一个角度去刻画内积空间，得到了一些内积空间新的特征性 质。另外，本文还给出了一些相关定义，得到了一些基本结果。 最后，本文构造了一个具有只性质的特殊赋范空问，详细地研究了这个空 i b j 的性质，其中包括窄i h j 的凸性，空间的旋转不变性质，以及空问单位球而卜 等腰正交与欧氏f 交的关系。作为推论，本文给出了该空问的非方常数，从而 说明了对于某特定的兄 0 ，具有只性质的赋范空问其非方常数不一定为2 ， 同时也说明了具有只性质并不能保证赋范空间的严格凸性或者一致凸性。另一 方面，本文推广得到了具有旋转, r 2 n 不变性质的赋范空间( 尺2 ，| i 1 1 ) ，其单位球 面上等腰j 下交与欧氏正交的等价关系，并且讨论了在n 为偶数时，这类特殊空 间的非方常数取值情况。 关键词 内积空问；e 性质；等腰f 交；旋转不变性；非方常数 哈尔演理r 人学胖学硕 ：学位论义 p r o b l e m sr e l a t e dt on o r m e dl i n e a rs p a c e sw i t h s o m es p e c i a lp r o p e r t i e s a b s t r a c t n u m b e r so fv e r yg r e a tw o r k sh a v ea p p e a r e do nt h er e s e a r c ho f c h a r a c t e r i z a t i o n s o fi n n e rp r o d u c ts p a c e s ，m e a n w h i l e ，m a n yr e l a t e di m p o r t a n tt h e o r i e sa n ds p a c e sw i t h s o m es p e c i a lp r o p e r t i e sh a sa l s oa p p e a r e d i ng e n e r a ln o r m e dl i n e a rs p a c e s ，t h e s e t h e o r i e s ，a p p l i c a t i o nh a sn o tb e e nf u l l ys t u d i e da n dd i s c u s s e d ，o nt h eo t h e rh a n d ， s o m eg e o m e t r i c a lp r o p e r t i e sa n dc o n s t a n t si nt h es p a c e sw i t hs o m es p e c i a lp r o p e r t i e s h a v en o tr e s e a r c h e dind e p t h i nt h i sp a p e ls o m ep r o p e r t i e si nn o r m e dl i n e a rs p a c e sw i t hp r o p e r t y 只，w h i c h o r i g i n a t e df r o mt h er e s e a r c hp r o c e s so fi n n e rp r o d u c ts p a c e s c h a r a c t e r i z a t i o n s ，a r e s t u d i e d ，s o m er e s u l t sc o n c e r n i n gi n n e rp r o d u c ts p a c e s c h a r a c t e r i z a t i o n sa r eo b t a i n e d b a s e do ns o m ei m p o r t a n tt h e o r i e si nt h eg e o m e t r yo fm i n k o w s k is p a c e si nad i f f c r e n t l i g h t f i r s t ，b a s i ck n o w l e d g ea b o u ti n n e rp r o d u c ts p a c e sa n dt h ed e v e l o p m e n t so f t h e s es p a c e s c h a r a c t e r i z a t i o n sr e s e a r c ha r ei n t r o d u c e d ，t h em a i nr e s u l t so nt h e s e f i e l d sb ys e v e r a lr e s e a r c h e r sa r es u m m a r i z e d ，a n d ，f u r t h e r m o r e ，p r e l i m i n a r i e s ， b a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo f t h ec o n t e n to ft h i sp a p e ra r ep r e s e n t e d s e c o n d u n i f o r mn o n s q u a r e n e s si nn o r m e dl i n e a rs p a c e sw i t hp r o p e r t y 只a r e d i s c u s s e d a n di m p r o v e m e n ti sm a d eo ns o m er e l a t e dt h e o r i e sa b o u tp r o p e r t y 只 m e a n w h i l e s o m en e wc h a r a c t e r i l z a t i o n s o fi n n e rp r o d u c ts p a c e sa r es h o w e d d i f f e r e n t l yb a s e do np r o p e r t yp ia n di s o s c e l e so r t h o g o n a l i t y m o r e o v e r , s o m er e l a t e d d e f i n i t i o n sa n db a s i cr e s u l t sa r eo b t a i n e d f i n a l l y , as p e c i a ln o r m e dl i n e a rs p a c e w i t hp r o p e r t y 只i sc o n s t r u c t e d ，a n di t s p r o d e r t i e sa r ep r e s e n t e do nt h ec a r e f u lr e s e a r c h ，i n c l u d i n gc o n v e x i t y , i n v a r i a b i l i t y u n d e rr o t a t i o n ，a sw e l la st h er e l a t i o nb e t w e e ni s o s c e l e so r t h o g o n a l i t ya n de u c l i d e a n o r t h o g o n a l i t yo nt h eu n i ts p h e r eo ft h i ss p a c e a sa n i m m e d i a t ec o r o l l a r y , t h e n o n s q u a r ec o n s t a n to ft h i ss p e c i a ls p a c ei so b t a i n e d ，f r o mw h i c hi ti n d i r e c t l ys h o w s 喻尔演理t 人学理学顺i j 学化论文 t h a tf o rag i v e n 五t h a ti sg r e a t e rt h a nz e r o ，n o n s q u a r ec o n s t a n t so fn o r m e dl i n e a r s p a c e sw i t hp r o p e r t y 只a r en o tn e c e s s a r i l y4 2 ，m o r e o v e r , n o r m e dl i n e a rs p a c e sw i t h p r o p e r t y 只a r e n o tn e c e s s a r i l ys t r i c tc o n v e x i t yo ru n i f o r mc o n v e x i t y o nt h eo t h e r h a n d ，t h ee q u i v a l e n tr e l a t i o n s h i p sb e t w e e ni s o s c e l e so r t h o g o n a l i t ya n de u c l i d e a n o r t h o g o n a l i t yo n t h eu n i t s p h e r e s o fs p a c e s ( r 2 ，| i 1 | ) w i t h i n v a r i a b i l i t yu n d e r r o t a t i n g 冗 2 na r eo b t a i n e d ，a n dv a l u e so fn o n s q u a r ec o n s t a n t si nt h i sk i n do fs p a c e s a r ea l s oo b t a i n e df o rf i sa ne v e nn u m b e r k e y w o r d s i n n e rp r o d u c ts p a c e s ，p r o p e r t ye ，i s o s c e l e so r t h o g o n a l i t y , i n v a r i a b i l i t y u n d e r r o t a t i o n ，n o n s q u a r ec o n s t a n t s 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文具有某类特殊性质赋范空问 相关问题的研究，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间 独立进行研究 ：作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含 他人已发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均 已在文r ，以明确方式注明。本j 留明的法律结果将完全山本人承担。 作者签名： 刍- l 床 h 期：砂纷弓月d f n l 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 具有某类特殊性质赋范空m 州关问题的研究系本人在哈尔滨理工大学 攻读颂士学位期问在导师指导完下成的颁士学位论文。本论文的研究成果归哈 尔滨理工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单化的名义发表。本人完仓 了f 07 f ，i i 合尔滨州i ：人父j ：仍：仃、使川0 之位沦文的脱j i = ，f ，d 意0 乏饺仙：f 7 f 并f 柚订火 部门提交论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学 可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内 容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密团。 ( 请在以上相应方框内打) 作者签名：- bf 庆 同期：加罗年弓月。同 导师签 辱净同锄萨州p 同 哈尔演理t 人学理学顺i 学化论文 1 1 内积空间的基本知识 第1 章绪论 设h 是域k 上的线性空间，对任意x ，y h ，有一个k 中数( x ，y ) 与之对 应，使得对任意x ，y ，z h ，口k 满足： ( 1 ) ( x ，x ) 0 ；( x ，x ) = 0 当月仪当x = 0 ； ( 2 ) ( x ，y ) = ( y ，x ) ； ( 3 ) ( 口x ，少) = a ( x ，y ) ； ( 4 ) ( x + y ，z ) = ( x ，z ) + ( y ，z ) 。 称( ，) 是h 一卜的一个内积，h 上定义了内积称为内积窄问。 从定义可以看m ，内积( x ，y ) 对- 丁每一y h 是h 上的一个线性泛函；当 k = c 时，刈。j 二每一x h ，( x ，y ) 是h 上的一个共轭线性泛函，b | 它是可加 的，并目足共轭齐次的，( 工，e c y ) = a ( x ，y ) 。 定理1 1 ( s c h w a r z 不等= r )设h 足内积空| 、u j ，则对任意x ，y h ，有 l ( x ，j ，) r ( x ，x ) ( ，y ) h 址内4 i 5 _ 邓j j ，刈。f f 意工h ，令州l = ( 工，工) ，则足，i ：l ，i ，j 。个范 数。事实上，由s c h w a r z f i 等式有： i i x + 少| | 2 = ( x + 少，x + y ) = ( x + y ，x ) + ( x + y ，y ) 0 x + yh i i x i i + 0 x + y 洲y 0 由i f lx + y 0 ，使得工+ a y r x o c y ) ，上面的结果仍然成立【9 1 。 由文献 1 0 ，11 知，如果赋范空间x 的维数d i mx 3 ，则b i r k h o f f 正交的对 称性是内积空i 旬的特征，但是在二维空f h j 中，则不一定成立【1 2 】。1 9 8 4 年， b e n i t e z 在二维赋范空问x 中得到了很好的结果： x 是内积空i 日j 营x ，y s ( x ) ，x 上矗yjyj - 占x ，且h ( x ，y ) 0 1 9 7 1 年，d a s e n e c h a l l e 证明了【”1 ：如果s 0 ，则 x 是内积窄i n x ，y s ( x ) ，忙一y l l 2 则 x 是内积窄问营l i x + yl p + ix - yl p 2 ( x l l p + l l y l l p ) ，v x ，y x ( 当p 2 时，该不等式刁 2 下面列出的是由平行四边形法则导出的赋范空l 、日je 成为内积空问的充分必 要条件，同时，这些条件也是刻画内积空间的重要特征性质： ( 1 ) 赋范空间e 的每一个子空间都是内积空间； ( 2 ) 2 k d i m e ，赋范空问e 的每一个k 维子空间都是欧氏空间； ( 3 ) 2 k d i m e ，赋范空间e 的每一个k 维子空间的单位球面都是椭球； ( 4 ) 缈( x ，y ，z ) = i i x + y + z l l 2 + l l x + y z l l 2 一i i x y z l l 2 一i i x y + z1 2 与z 无关， 魄，y e 【1 7 】； ( 5 ) 妒( f ) = 忙+ 纱| 1 2 是t 的二次函数m 】，v x ，y e ； ( 6 ) 甩2 ，如果_ ，t ，x e 且；= 圭五，则9 2 0 】 哈尔演理- e 人学理学顺i j 学位论文 副誓一；1 1 2 = 勤誓 2 ( 7 ) 对于连续函数缈：寸 ，满足i 缈= 1 ( o ) = 12 - ，n lx 妒l ( 1 r r 0 1 ) = 1 ，且 妒( 0 x + y 1 1 ) + 妒( i k j ，i i ) = 2 妒( 0 x i i ) + 2 缈( 0 y 0 ) ，v x ，y e ( 8 ) f ( f ) = l l x 一, y 1 2 + 忙+ 刎2 + l | ( 1 一t ) y 1 2 在仁i l 处取得最小值，即 f ( 晏) ：f m i n ，v x ，y e j ( 9 ) 喜岭一x 胛i 住x = - - 一一z h h ! j 、值，其中；= 三n 窆i = 1x ，_ ， e ； ( 1 0 ) 对于连续函数够o r r ，满足p ( o ) = 0 ，缈( 1 ) = 1 ，v x ，置，x 。e ， 善妒( 忙一蕾忪在石= ；处取得最小值忙，其中，；5 吉善x ，。 设x 是线性空1 1 i j ，在x 上定义一个i 九1 函数缈，记吸( x ，j ，) 表示在点x 处沿 着y 方向的单侧导数： 以( x ，y ) ：l i 懋她塑坚盟 j 0f j ( 1 ) 破( x ，a y ) = 口以( 工，y ) ，v 口0 ，以( x ，a y ) = 口硅( z ，y ) ，v 口0 ； ( 2 ) 讧( x ，y + z ) 或( x ，y ) + 以( x ，z ) ； ( 3 ) 试( x ，y ) 讧( x ，y ) ； ( 4 ) 如果戎( x ，y ) = 讧( x ，y ) ，v y x ，则棘( y ) 是y 的线性函数。 现在假设x 是赋范线性空间，考虑x 上的凸函数p ( x ) = 创x n 则可以得 到反的一些新性质口2 ，2 3 ，2 4 2 5 1 ： ( 5 ) 如果x 是内积空间，则众( x ，y ) = ( x ，y ) ； ( 6 ) l 反( x ，y ) i - 0 ， 0 0 ，如果赋 范空川x 满足只性质，则x 是否为内积空问m 】? 或者对某占( 0 ，2 ) ，如果赋 范空间x 满足r 。性质，则x 是否为内积空间1 3 4 1 7 关于只性质和尺，性质等价性问题的讨论，d a na m i r 曾经提到过，但是关 于这个问题没有进行深入的讨论7 9 。j a v i e r 和c a r l o s 给出了当允= 6 ( 4 一e 2 ) 一尼 时只性质和r ，性质的等价性证明，并且证明了上面提到的两种猜想对于几乎 所有的名和g 都是成立的【3 2 】3 1 8 ，但是在五属于r + 的某个特殊的可数稠子集时， 上述猜想不成立( 至少在x 是实二维赋范空问) ，并且解决了在文献 3 3 1 3 6 7 中 提出的猜想和一些难证的问题。后来，数学研究者们又提出了新的猜想【3 5 i ： v 兄r ，只性质是否为实三维内积空间的特征性质? 或者v s r ，尺，性质是否 为实三维内积空l 、口j 的特征性质? 哈尔演理t 人学理学顺i j 学位论义 引理1 1 m 1 3 1 9 设s 为赋范空间( r 2 ，| | i i ) 的单位球面，s ( 口) 是单位球面s 上 的点，且满足s ( 口) 与s ( 0 ) 按照给定的方向夹角为口 o ，2 万) ，则v 2 o ，下面 的实函数： 口 o ，万】一0 s ( o ) + 五s ( 口) 0 口e o ，万 专0 s ( o ) - 兄s ( a ) i l 是连续的，并且分别为递减函数和递增函数。 性质1 1 设x 是实赋范空l h j ，s ( x ) 是x 的单位球面，o 0 满足只性质，其中 旯萑。= t 肌( 务：脚a ；幺扩) 则x 是内积空间。 推论1 1 对于s 2 c o s ( 箬) ，其中，z = 2 ，3 ，；后：1 ，2 ，刀一1 ，则r 性 哈尔滨胖- k 人学理学颂i j 学位论文 质，疋性质分别是内积空问的特征。 性质1 3 如果实赋范线性空问x 满足性质： e ：工，y s ( x ) ，i x + 2 y l - - i i x 一2 y o j f i x + z y l l 2 = 5 则x 是内积空问。 根据j a m e s 3 6 】和c a r l s s o n l 3 7 1 的相关理论，称x 是五等腰币交于y 是指： i i x + 2 y 1 = i l z 一五少0 记为xl ，y ； x 是五一p 正交于y 是指： i i x + 2 y 旷= l x2 + 五2 2 汜为x 上 _ py 。 于足有下面性质： ( 1 ) x 是实赋范空l 白j ， 内积窄f e l j ； ( 2 ) x 是实赋范空l 、日j ， 内秋空问。 1 4 课题来源 v 见诺d ，x ，y s ( x ) ，若xj - ，y x 上 ，) y ，则x 是 v a 硭d ，工，y s ( x ) ，若x 上z ，) y = x 上 ，y ，贝0x 是 本课题来源于指导教州j 计东海教授的围家自然科学基金项f 1 ( 项目号码： 1 0 6 7 10 4 8 ) 。 1 5 本文的主要内容 通过本章的内容，可以看到内积空间的特征性质已经得到了广泛的研究， 其中利用只性质刻画内积空间也得到了很好的理论。但是，利用这些理论去进 一步地研究内积空间却没有得到很充分的讨论。对于具有只性质的这一类特殊 赋范空间，空问具有的其他性质没有挖掘出来，如与一致非方性的关系，空问 的凸性，单位球面上等腰正交与欧氏正交的关系，非方常数。本文主要在以上 方面做了一些工作。 在第二章，我们证明了具有只性质的赋范空| 、口j 的一致非方性，并且对只 性质的某些相关理论作了改进。重要的是我们结合只性质和等腰f 交的一些重 要理沦，从另外一个角度去刻画内积空问，给出了一系列内积空问的新的特征 哈尔演删t 人学理学顺f j 学位论文 性质。最后，我们给出了h 。性质的定义，得到了具有。性质空问的一些基本 结果。 在第三章，我们构造了一个具有只性质的特殊赋范空l i j ，详细地研究了该 空i 、日j 的性质，包括空间的凸性，空间的旋转不变性，以及该空问单位球面上等 腰讵交与欧氏乖交的关系。作为推论，我们给出了该空1 、日j 的非方常数，从而说 明了对于某特定的名 0 ，具有只性质的赋范空问其非方常数不一定为2 ，另 一方面，也说明了具有只性质并不能保证赋范空问的严格凸性或者一致凸性。 进一步地，推广。得到了具有旋转万2 ，z 不变性质的赋范空问( 尺2 ，) 其单位球面 上等腰订：交与欧氏l f 交等价的结论，并日计算了在咒为偶数情况f ，这类特殊 窄间的非方常数。 在结论部分，我们对内秘空| 自j 的特征一降质及相关理论方【斫的工作作了网顾 和总结，并且对h 后的工作进行了展望。 喻尔演理丁人学理学顺i j 学化论文 2 1 引言 第2 章幺。1 生质- 9 内积空间的特征性质 众所周知，赋范空问不一定是内积空i 、日j ，而是有条件的。这个条件就是范 数必须满足平行四边形法则，也就是设x 是赋范空i 、u j ，坛，y x i i x + y 1 2 + l l x y l l 2 = = 2 1 1 x l l 2 + 2l y l l 2 它成为内积空| 、自j 的一个重要的特征性质。所以内积空l 、日j 是一类特殊的赋范卒 | 、只j ，它的特征性质得到了广泛的研究。本章将结合只性质，等腰形交给m 内秘 空间的新的特衙f 性质。 2 2 基本概念、基本理论 定义2 1 1 3 2 8 设x 是赋范空i h j ，五 0 ，对v x ，y s ( x ) ，如果满足 0 x + 2 y 0 = x - 2 y i l 则有 i i t + 五1 州! = l + 五! 那么就称x 满足只性质。 特别地，如果赋范空间x 是内积空问，五 0 ，对v x ，y s ( x ) ，如果满足 i i x + 2 y i i = i i x - ) y 1 则有 ( x + 2 y ，工+ 2 y ) = ( x 一2 y ，x 一2 y ) 进行化简得到 ，y ) = 0 则 i i x + 2 y 1 2 = ( 石+ 五y ，x + 2 y ) = l x l l 2 + 2 2 ( x ，y ) + 名2 l i j ，1 1 2 = l + 五2 也就是有 f i x + 2 y 1 2 = 1 + 兄2 所以内积空间满足只性质，并且对于任意的允 0 都是成立的。 根据在欧氏几何中，等腰三角形底边上的中线垂直平分底边，这一个重要 的性质，给出了一种广义j 下交一等腰i f 交的概念。 哈尔演理丁人学理学坝l j 学f , 7 论文 定义2 2 【3 6 】2 9 4 设x 是赋范空f j ，工，y x ，如果它们满足 l i x + y i | = l i x - y 0 则称x 等腰正交于y ，记为x 上，y 。 下面我们来回顾一下赋范空间x 中等腰正交的一些基本性质： ( 1 ) 如果是赋范空间，x ，y x ，v c t r ，则有 x l y yl | x 仅x lc r y ( 2 ) 如果赋范空问x 是内积空问，x ，y x ，则有 x 上，y 铮( x ，j ，) = 0 定理2 6 1 2 9 51 1 2x 是一个赋范线性空l 【i j ，x ，y x ，那么总存在数口，使得 l l x + ( c r x + y ) i l = 忙一( a x + y ) i i 或者 xl la x + y 成立。 定理2 2 【粥1 设x lcx ，d i m ( l ) = 2 ，则对于所有的实数y ，总存在y ，使得y = y ，x 上，y 。 定理2 3 1 3 8 1 2 7 对于一4 个赋范线性空间x ，一卜列事实等价： ( 1 ) 彳是严格凸的； ( 2 ) 若是x 的f t ：卷一个_ 维了窄问，那么对于任意个j 啦0 冗x l 和仃 ：卷的i i x l i ，存裨：唯一的( y 视为川一j t ：) y l ，使得恻l = 厂，x 上，y 。 下面的几个概念在后面的讨论中会涉及到，它们刈以很好地去刻画空i 、日j 的 性质，已经得到了许多相关的理论。 定义2 3 t 3 9 1 设x 是赋范窄问，称 j ( x ) = s u p m i n i lx + yi i ，j ix yi i ) ：x ，y s ( x ) ) 为x 的非方常数。 定义2 4 t 删设x 是赋范空间，称x 一致非方是指：1 6 ( o ，1 ) ，使得 对v x ，y s ( x ) ，有 堕趔1 一万或蛙趔卜艿 22 定理2 4 4 2 j ( x ) 2 ；如果赋范空间x 是内积空间，则j ( x ) = 2 。 反之，则不一定成立。 定理2 5 t 3 9 】1 0 7 赋范空白jx 的非方常数j ( x ) 0 赋范空间x 具有只性质，则x 是一致非方的。 证明赋范空间x 具有只性质，根据b 性质的定义，对v x ，y s ( x ) ，如 果满足 8 x + 2 , y | l = i i x - 2 y i l 则 i i x + 2 y l = l + 五2 当然也有 i i x - 2 y i i = 1 + 兄2 令“：磐，v ：粤，则 l + 五2l + 旯2 f l u ：l l v l i = l 所以 ，v s ( x ) 显然有 2 x 2 a y u + l ，= ；= = = ，“一y = t - = 三2 1 + 五! , 1 + 允2 则 i l u + v l = 击， u - - v = 浩 根据非方常数j ( x ) 的定义，有 删) s u p m i n v 1 邯 u , v e s ( 驯p ，m i n 志，浩 。 因为 志也志q 分别成立，所以 ，( ) 0 。 证明必要性：对v x ，y s ( x ) ，a 0 ，如果满足下血等式 0 x + 去y 0 = i i x 一去少l i = 以 | j ! i j 丫r 0 y + t x = y 一九x l l = a a 根据赋范窄间x 满足只性质，就有 l i y + 旯x l l = l + a 2 所以 h ：而 也就是 口= 1 f 从而有 8 x + 去y 0 = + 主f 则赋范空问x 满足p , 。性质。 充分性：对v x ，y s ( x ) ，b 0 ，如果满足下面等式 0 石+ 五y 0 = 0 x 一2 y i i = 6 哈尔滨理t 人学理学顺i j 学位论文 则有 0 少+ 去x 0 = 0 y 一万1x l l = 妄 根据赋范空问x 满足昂。性质，就有 x i | _ 辱 所以 妄= l + 嘉 也就是 b ：瓜而 从而有 l | x + 五y 0 = l + 五2 则赋范空1 1 i jx 满足只性质。 根据赋范空问x 满足只性质和昂。性质等价，五 0 ，因此我们可以埘引 理2 2 中丁的范围进行改进，得到更精确的范围7 1 。令f = t a n ( k 刀：2 n ) ，则 ! ：丝： 三一丝) ：业，f 利1 c t a ntan(tan 1 f 八l f 如ii 之 t , lji l j 七l 姻j 一= = 一) = 二二一， f 午i lf 土t 上i j l i 二 i lj i 。议厅上4 艾 、i j r2 门、22 门2 ，z , 2 】就可以了。于是有下面的推沦。 推论2 1设赋范空间x 对某个a 0 满足只性质，其中 五盛丁= t a n ( 等) ：，z = 2 ，3 ，；尼= l ，2 ， 詈】) z 刀z 则x 是内积空f h j 。 2 5 内积空间特征性质的刻画 在欧氏几何中，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这个性质刻画 了在特殊的三角形一直角三角形中，斜边上的中线与斜边长度之间的关系。利 用这个几何背景，我们去刻画内积空| 、日j 的相关特征性质。 定理2 7赋范空间x 是内积空间当且仅当存在t ( 1 ，o 。) 丁，使得对任意 1 ， i t , y s ( x ) ，矧“一v i i = 彳等，则”y i i = t 每。 哈尔演理t 人学理学顺i 学俯论文 证明必要性：赋范空i 、u jx 是内积空问，则范数满足平行四边彤法则。于 是，埘v u ，v s ( x ) ，满足 若v “，y s ( x ) ， i u + v l l 2 + l i u - - v | 1 2 = 2 2 + 2 2 叫2 寿删 l l u + v l l 2 = 4 一卜v | | 2 = 斋 显然有 i l u + v l l 2 意 充分性：赋范窄f n j 是内积空f n j 当目仅当它的任意一个：维子空i 、h j 是内积 空问，所以，不妨设x 足二维赋范空间。 根据引理2 2 ，我们只需证明赋范空问x 满足尸性质，也就是对任意的 “，s ( x ) ，“上，加，即f | u + , v l l - - fu - t v i ，则 i u + 叫l = , 1 + f 2 我们采用反证法进行证明。假设存在u 0 , v o s ( x ) ，上，则 i u 。+ | | = | k - t v o0 ( 2 一1 ) f | 1 是 设圹, 丽u o + t v o ， 由式( 2 一1 ) ，则有 显然地有 帆+ n 名忙订 v o = 1 u o - 亍t v o ，则有下面等式成立 、l + t 2 1 1 “o + v o l l 2 寿 i l u o - v ol2 寿 f m ：u v o 。| d o - - v o 2 寿q 由引理2 1 可以得到，存在“。，v o s ( x ) ，使得 u o v o 2 u o v o ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) 哈尔滨理t 人学理学坝l 学位论文 l u o - - v o = 寿 根据定理条件假设，贝j l - f f i l u o + v o l l 2 寿 另外，很容易得到下面两个等式 i l ( “。一v o ) + ( “。- 1 - v o ) l f = 2 u o 0 = 2 l l v 。l l = l l ( z f 。一v 。) 一( “。+ v o ) l l ( 2 6 ) ( 2 - 7 ) u o - - 。) + ( 。- i - - v o ”) 1 - - ：l u o = 2 1 v o ”0 = i f ( ”一1 ) 一( u o ”+ ”) l | ( 2 - 8 ) 根据式( 2 7 ) 和式( 2 8 ) ，则有 ( 一v o ) 上，( u o + v o ) ( 2 - 9 ) ( “o ”一v 0 1 ) 上，( “o ”+ v o ”) ( 2 一i o ) 囚为式( 2 - 3 ) 、式( 2 5 ) 、式( 2 6 ) 、式( 2 9 ) 和式( 2 1 0 ) 都成一遗，并日当f ( 1 ，o 。) t 时，仃 恬饥i l - 寿 寿2 i i o - - v o i 则楸执；，j i 理2 3 中等脞i g - ：交冗的唯一性缁剑 u o + v o = ( 。+ 。) ( 2 1 1 ) 根据式( 2 5 ) 和式( 2 11 ) ，则有 且 或者 且 所以 “02 甜o 场2 屹 “o2 一 v o2 - - u 0 、i l u ol l = 掣= 根据式( 2 12 ) ，显然有 慨+ 加o l l = 再 ( 2 1 2 ) i , v h , 尔滨理t 人学理学顺i j 学位论文 与式( 2 2 ) 矛盾。 所以赋范空i h jx 满足p 性质，且t ( 1 ，o o ) t ，根据引理2 2 ，则赋范空问 x 是内积空间。证毕。 根据赋范空间x 满足只性质和昂。性质等价，我们有如下推论。 推论2 2 赋范空f n jx 是内积空问当且仅当存在t ( 0 ，o o ) t ，使得对任意 “，v s ( x ) ，有下列两种情况之一成立： ( 1 ) 若h 护焘删h i = 。寿； ( 2 埔u - - i ；2 意棚1 1 + v i i t2 志t 。l + 。、，l + 一 与定理2 7 利厂乃柑刚的几何背景，可以得到下面的定理，该定理也足用术 刻画内积空i h j 的特征性质。 定理2 8 赋范空f u j x 足内积空间当且仅当存在t ( 0 ，1 ) t ，使得对 地酣) ，若i i - + v l l 2寿棚“u-v1 t2 意t 。 + 、l + 一 证明必要性：赋范空i 、jx 足内积窄问，则范数满足甲行四边形法则，于 是，对v u ，1 ，s ( x ) ，满足 、，1 1 2 + ，0 2 - - 2 1 1 卵+ 2 1 1 ，1 1 2 名：v u , ves ) ，u + v i i 2 寿川o l u - v l2 = 4 - 1 忡1 1 2 = 筹 显然有 i l u - v i i 2 寿 充分性：因为赋范空间是内积空间当且仅当它的任意一个二维子空间是内 积空间，所以，不妨设x 是二维赋范空问。 我们还是根据引理2 2 ，只需证明赋范空间x 满足只性质，也就是对 v u ，v s ( x ) ，“上，加，即肛+ 抑0 = u - - i v i ，则 i u + 加i l = 1 + f 2 我们采用反证法进行证明。假设存在“。，v o s ( x ) ，“。上，则 慨+ j | = i i “。一i i 佃是 批+ f v 0 l | 订了 觑。2 鬻“2 辩，则有下断等式成立 i l u o + v o l l 。志 1 1 o - 1 12 志 且 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 - 1 5 ) i l u o + r o1 1 2 志 2 f u h j i 理2 1 可以得到，存在u o , v o ”s ( x ) ，使得 则 。f 0 + v o2