（基础数学专业论文）一类奇异积分算子的hp有界性.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 奇异积分算子理论是调和分析最重要的组成部分之一，而关于奇异积分算子 的有界性理论又是其核心内容对它的研究既有很强的理论意义又有很丰富的应 用背景本文的主要目的是研究一类卷积型奇异积分算子的日p 有界性与已有的 工作相比较，本文的主要特点是突破了积分核的光滑性的限制，使得p 在更大的范 围内变化时，奇异积分算子仍是舻有界的 全文共分两部分在第一部分中，首先介绍卷积型奇异积分算子妒和俨有 界性的经典理论；其次介绍扩空间和日p 空间上的f o u r i e r 乘子理论，并讨论几类 经典的f o u r i e r 乘子算子与卷积型奇异积分算子之间的关系在第二部分中，比较 了f o u r i e r 乘子理论和卷积型奇异积分算子理论在研究算子的日p 有界性方面的差 别，并通过对一类卷积型奇异积分算子的俨有界性研究说明了卷积型奇异积分算 子理论的优越性 关键词：卷积型奇异积分算子f o u r i e r 乘子口空间日p 空间 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t t h et h e o r yo fs i n g u l a ri n t e g r a io p e r a t o r si so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tc o m p 伊 n e n t so f h a r m o n i ca n a l y s i s 、7 l ，i t hf o c i l so nt h e i rp r 叩e r t i e so f b o u n d e d n e s s t h es t u d y o ft h i st h e o r yh a sa b u n d a n ta p p l i e db a c k g r o u n d 8a sw e l la sv e r ys t r o n gt h e o r e t i c m e a n i n g t h em a i np u r p o s eo ft h i st h e s i si 8t os t u d yt h e 日pb 。u n d e d n e s so fac l a s s s i n g u l a ri i l t e g r a lo p e r a t o r so fc o n v 0 1 u t i o nt y p e c o m p a r e dw i t hp a s tr e l a t e dw o r k s ， t h em o s ti m p o r t a n tf e a t u r eo ft h et h e s i si st op r a v et h e 日pb o u n d e d n e s so fs i n g u - l a ri n t e g r a lo p e r a t o r sw i t hi a r g es c “eo fp ，w h i c hb r e a l ( st h r o u g ht h es m o o t h n e s s a s s u m p t i o no nk e r n e l t h i st h e s i sc o l l s i s t so ft w op a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，w r ef i r s t l yi n t r o d u c et h e c l a s s i c a lt h e o r ya b o u tt h e 酽a n d 日pb o u n d e d n e s so fs i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r so f c o n v o l u t i o nt y p e ；t h e nw ei n t r o d u c et h ef b u r i e rm u l t i p l i e rt h e o r ya n dd i s c u s st h e r e l a t i o n sb e t 、鹏e ns i n g u l 射i n t e g r a lo p e r a t o r so fc o i 0 1 u t i o nt y p ea n dt h ef b u r i e r i n u l t i p l i e r i nt h es e c o n dp a r t ，w ed i s c u s st h ed i h e r e n c eb e t 、v e e nt h e mi nt h es t u d y o ft h e 日pb o u n d e d n e s so ft h es a m eo p e r a t o ra n de m p h a s i z et h ea d v a 础a g eo ft h e t h e o r yo fs i n g u l a ri i l t e g r a lo p e r a t o r sc l v e rt h a to ff b u r i e r i u l t i p l i e rb ye x p l o r i n gt h e 日pb o u n d e d n e s so fac l a s ss i n g u l a ri 1 1 t e g r a lo p e r a t o r 8o fc o i l v o l u t i o nt y p e k e yw o r d s ：s i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r so fc o n v o l u t i o nt y p e f o u r i e rm u l t i p l i e r s 驴s p a c e 上ps p a c e i i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：黄勇售 日期：二口p 8 年5 月6 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：童秀翟 日期：2 0 。8 年5 月6 日 导师签名：y 肛 日期： o 孑年厂月6 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。园童迨塞超窒痘进厦! 旦兰生；旦= 生i 旦三生筮查! 作者签名：童多翟 日期：三口o s 年s 月占日 导师签名：丫肌 日期：毋君郫一月舌日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 1 绪论 长期以来，奇异积分算子理论一直是调和分析的核心内容之一，为人们广泛关 注a p c a l d e r 6 n 和a z y g m u n d1 9 5 2 年关于奇异积分的奠基性工作【3 】，使调和分 析研究从一元走向多元此后，围绕奇异积分算子以及有关算子的性质，其中特别 是算子有界性的研究，以及各种新空间( 最主要的一类是h a r d y 空间) 的研究，在 多元调和分析中占了中心的地位这些研究与偏微分方程、算子理论、多复变函 数等方面有密切的联系奇异积分算子分为卷积型奇异积分算子和非卷积型奇异 积分算子，卷积型奇异积分算子是最基本的奇异积分算子本文主要讨论卷积型奇 异积分算子的有界性 奇异积分理论来源的一个基本例子是h i l b e r t 变换，的h i l b e r t 变换定义为 酬班妻觊七掣虻e 掣电 它的一个基本性质是口有界性，1 p ，这一经典理论是由m r e i s z 用复 变函数方法证明的h i l b e r t 变换并不是l 1 上的有界线性算子，然而确有一个替 代它的结果，那就是弱( 1 ，1 ) 型h 1 i b e r 乞变换还可用f o u r i e r 乘子简单的表示出 来：( 日( ，) ) ( z ) = 一溉夕礼( z ) ，( z ) 由此易知，日是驴上的有界线性算子 1 9 5 2 年，a p c a l d e r 6 n 和a z y g i n u n d 发表在分析中具有广泛影响的文章【3 】， 把h i l b e r t 变换推广到一般的n 维卷积型奇异积分算子： t 邛v 厶紫m 刊姒j 舻l y l 其中q 为酽- 1 上的可积函数且满足一定的连续性和消去条件文中引入了基于 c a l d e r 6 n z y g m u n d 分解的实方法，证明了t 是弱( 1 ，1 ) 型和妒有界的线性算子 此后，奇异积分被广泛地应用于数学的其它领域，实方法逐渐取代复方法成为调和 分析研究的主要方法，c a l d e r 6 n z y g m u i l d 理论也被众多数学家不断发展，现已成 为分析的一个重要分支 另一方面，1 9 6 0 年l h 6 r m a n d e r 【1 1 】从分布角度讨论了一般的卷积型奇异积分 算子 t ( ，) = 七半只 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 其中厂s ，七为缓增分布且在原点外是局部可积函数并且提出了一个t 是汐 有界的关于卷积核的充分条件：h 6 r m a n d e r 条件之前的很多结果被统一起来 随着实变方法的进一步发展，1 9 7 2 年，c f e 舶r m a n ，e m s t e i n 【9 】用实变方法 对h a r d y 空间重新进行了描述随后h a r d y 空间的原子刻画( r r c o i f m a n 5 】， r h l a t t e r 【1 3 】) 和分子刻画( m h t a i b l e s o n ，g w e i s s 【2 l 】) 相继完成人们开始考 虑h a r d y 空间上奇异积分算子的有界性卷积型奇异积分算子的日p 有界性的研 究工作由j a l v 壮e z ，m m i l m a n 【1 】开创，它较经典的工作还有e m s t e i n 【2 0 】 f o u r i e r 乘子理论有着悠久的历史最早的工作可追溯到j m a r c i n l 【i e 而c z 【1 4 】， 后来重要的工作有s g m i h l i n 1 5 】，l h 6 r m a n d e r 【1 1 】，e m s t e i n 【1 9 】，t h y t 6 n e n 【1 2 】， m h t a i b l e s o n ，g w 色i s s 【2 1 】，a m i y a c h i 【1 6 ，1 7 】，陈鹏【2 4 j 由于f o u r i e r 乘子算子本 质上就是卷积型奇异积分算子，所以人们总是期望将乘子条件转化为奇异积分 算子的核条件在e m s t e i n 2 0 】中通过l i t t l e r o o d p a l e y 二进分解方法成功地将 m i h l i n 及h 6 r m a n d e r 乘子条件转化为相应的核形式但在a m i y a c h i f l 6 1 中所讨论 的m i y a c h i 乘子条件无法作类似的转化这表明m i y a c h i 乘子理论与卷积型奇异积 分算予理论的确存在较大的差别所以在研究f o u r i e r 乘子算子的上p 有界性时，如 果能够比较上述两种方法产生的函数空间指标方面的区别，将是一件有意义的事 情 全文共分两部分： 第一部分中，首先介绍卷积型奇异积分算子驴和日p 有界性的经典理论；其 次介绍驴空间和日p 空间上的f o u r i e r 乘子理论，并讨论几类经典的f o u r i e r 乘子 算子与卷积型奇异积分算子之间的关系 第二部分中，比较了f o u r i e r 乘子理论和卷积型奇异积分算子理论在研究算子 的王p 有界性方面的差别由a m i y a c h i 【1 6 1 知，对于有一定光滑条件的乘子，我们 可以找到与此条件有关的下确界指标p 1 ，当p p 1 ，2 】时，算子是日p 有界的利用 e m s t e i n 【2 0 】知，我们同样可以找到一个与卷积核的光滑性条件有关的下界指标 沈，使得当仡 o ， 充分大，上等式中的极限存在 算子由a p c a l d e r 6 n 和a z y g 眦n d1 9 5 2 年在【3 】中引入，现在我们称之为 卷积型c a l d e r 6 n z y g i n u n d 奇异积分算子n = 1 时，s o 变为两点 1 ，一1 ) ，q 在这 两点上取相反的值，取q ( 1 ) = 1 丌，则死是h i l b e r t 变换n 2 时，取q ( z ) = ， 则是磁e s z 变换 首先我们考虑问题：q 满足什么条件时，可以开拓成为妒( r n ) 上的有界 线性算子? a p c a l d e r 6 n ，a ，z y g m u n d f 3 1 首先得到以下结果： 定理2 1 1 设q ( z ) l 1 ( s n 一1 ) ，以。一。q ( z ) 血= o ，且q ( z ) 在s 一1 的连续模 u ( 6 ) 满足d i n i 条件詹学d 6 o 、 ( c ) 算子是0 ，p ) 型的( 1 p o 。) ，即若，驴( r n ) ，则 1 1 川l ，c l i 刑p 他们的证明步骤是：第一步证明是( 2 ，2 ) 型的，由于这是卷积算子，可以 用f o u r i e r 分析中的p l a n c h e r e l 定理；第二步证明是弱( 1 ，1 ) 型的，为此他们引 入了对以后有重大影响的技巧c a l d e r 6 n - z y g m u n d 分解；第三步，结合上述两步， 用算子插值的方法证明在护( 1 p 2 ) 上有界，再用对偶的方法把p 推广到 2 p o 。这方法反映了由a p c a l d e r 6 n 和a z y g m n d 开创的多元调和分析的 实方法的本质 1 9 5 6 年，a p c a l d e r 6 n ，a z y g m u n d 4 】引入了旋转方法对上述结果进行了改 进，使得( c ) 对满足一定条件的粗糙核也成立，他们的主要结果是： 定理2 1 2 设q ( z ) l 1 ( s 舻1 ) ，止。q ( z ) d z = o 且q ( z ) 满足以下条件之一 ( a ) q ( z ) 是奇函数， ( b ) q ) 是偶函数，且满足 ， l q ( p ) ll o 矿i q ( 9 ) l 硼 ， ，s n l 则是汐( r n ) 上的有界线性算子( 1 p o 。) 若q ) 仅是酽- 1 上的可积函数且满足止。一。q ( z ) d z = o 对某一固定的 1 p 。o ，是否可以开拓成为妒( 黔) 上的有界线性算子? 答案是否定的 1 9 6 5 年，m w b i s s ，a z y g i n u n d 【2 3 】构造出了反例 1 9 7 9 年，w c c o n n e t t 【7 】和f 融c c i ，g w b i s s 【1 8 】几乎同时提出了一类更弱的 核条件，使得对应的奇异积分算子仍然满足p 有界性这是目前关于卷积核最弱 的条件 定理2 1 3 设q ( 。) 日1 ( 妒1 ) 且启。一，q ) d z = o ，则可以开拓成为 妒( 础) 上的有界线性算子( 1 p 1 ) cl1 0 9 + l ( s n 一1 ) c 日1 ( s 礼一1 ) c 乙1 ( s n 一1 ) 一般地，给定1 p ，能否找到关于q 的充要条件使得可以开拓成为 口( r 托) 上的有界线性算子? 当p = 2 时，e m s t e i n 【1 9 】得到如下结果： 定理2 1 4 设q ( z ) l 1 ( s 俨1 ) 且以。一。q ( z ) d z = o 可开拓成为l 2 ( r n ) 上的有界线性算子当且仅当 e 嚣。坛一。叩) - 。g 南d p e s n 一1i ，s n 一1 i l ：i 关于有界性的最新基本研究成果汇于l g r a f a k o s ，a s t e f a n o v 1 0 】 l h i j r m a n d e r 【1 1 】从分布角度考虑了一般的卷积型奇异积分算子，得到了如下 结果： 定理2 1 5 设忌s7 ( 船) ，在原点以外等于一个局部可积函数，且满足 h 6 r m a n d e r 条件： i 尼( z y ) 一七( z ) id z ，可o ，i z i 2 m 定义算子t 如下 t ( 厂) = 尼，l c ，s ( r n ) 若对某一r ( 1 ，。) ，t 是口( r “) 上的有界线性算子，则t 可以开拓成弱( 1 ，1 ) 型 和驴( 鼢) 有界的线性算子，其中1 p 。特别地，若是是有界函数，则t 是 己2 ( ) 有界的，从而结论成立 在上述定理中，t 的有界性是假设而不是作为尼的某种条件的推论，这可 能是不能令人满意的地方下一定理给出了后的某些条件，使得丁是三2 有界的， 并且该结果可以直接处理那些“主值的”的奇异积分，它们的存在性是由于正负值 的抵消详见a b e n e d e k ，a p c a l d e r 6 n ，r p a n z o n e 2 】 定理2 1 6 设忌l k ( r n o ) ) ，且满足条件 i z i l 愚( 。) ld z c 冗，o r ， 5 上。 h 尬七c z ，d z l g 。 r - 疡 o j l z l 2 l ! ，i 令，r ( z ) = 尼( z ) x t 。 陋i r ，o 冗 。o ，贝i j i ，r 廷) l g ，r n ， 其中c 与及冗无关若觋正 川 。尼 ) d z 存在，则 t ( 似z ) 5 觊k 。尼( 可) 他一可) d 可， 对，5 有定义，并且可以开拓成为弱( 1 ，1 ) 型和驴有界的线性算子，其中 1 夕 c l f e 胁m a n f 8 】则提出了卷积型奇异积分算子妒有界性的更一般形式： 定理2 1 7 设尼是一个紧支集的广义函数，它在原点以外等于一个局部可积 函数，并假定它的f o u r i e r 变换是是函数假设对固定的臼，0 p o ， ，虹i 2 i 掣1 1 9 则算子t ：，_ 尼木，对具有紧支集的c o o 函数有定义，并且可以开拓成为弱( 1 ，1 ) 型和妒有界的线性算子，其中1 p 关于卷积型奇异积分算子的舻有界性，j a l v a r e z ，m m i l m a n 【l 】得到了如下 结果： 定理2 1 8 设尼一个紧支集的广义函数，它在原点以外等于一个局部可积函 数，并假定它的f o u r i e r 变换是是函数如果存在某一常数6 ( o 2 龇m o 时， 。 瞅名刊叫硎c 器， 则算子t ：，_ 尼木，对，妒ns 有定义，并且可以开拓成为日p 上的有界线性 算子，其中赤 2 1 秒i ， 则算子t ：，_ 忍木，对，俨有定义，并且还是俨上的有界线性算子，其中 赤 p 1 2 2f o u r i e r 乘子 设m 是丑，上的有界可测函数，通过f o u r i e r 变换我们考虑以下算子： 焉( ，) = 厂_ 1 ( m ( z ) ，( z ) ) 如果，俨，o p l ，则，为一连续函数且 i ， ) l e i f ，l | 日p l i n p n 因此只要m 是上的有界函数，就可以定义成从舻( 0 ， 贝um 人4 l p ，1 p 。o 这个定理被称为m i h l i n 乘子定理该结果对于研究来自偏微分方程中的乘子 相当好用之后众多数学家对它进行了推广p i “z o r k i n 将求导条件放宽为： i z q 沪m ( z ) i g ，a o ，1 ) n ，z i p o ) ， 其证明依赖于复变函数和周期函数技术，详见h b i e b e l f 2 2 】e m s t e i n f l 9 】利用 l i t t l e w d o d p a l e y 理论、二进制分解和部分和算子理论得出了从m i h l i n 乘子定理 改进的m a r c i n k i e w i c z 乘子定理，该乘子定理将函数导数的一致l o o 模估计替换为 在“二进制方块”上的己1 平均估计 定理2 2 2 设m 为上的有界函数，并且在坐标轴外的区域上具有所有的 一阶混合偏导数同时假设 ( a ) 对每个o 尼几，当p 在r 七的二进矩形的范围内变化时， 工。o p 舳i 丽磬瓦协一舛工。0 p 加以i 瓦瓦_ _ 瓦州z n g ， 其中当七= 佗时，“s u p 记号消失 ( b ) 对于变量z 1 ，z 2 ，z 。的n ! 个排列当中的每一个，类似( a ) 的条件成立 贝m 人t l ，1 p o ，冗 汪| 2 冗 贝um 人4 l p ，1 p 上述定理称为h 6 r m a n d e r 乘子定理当礼= 1 时，h 6 r m a n d e r 乘子定理蕴含 m a r c i n 】【i e 而c z 乘子定理然而当见2 时，它们互相重叠而互不包含与m i h l i n 乘 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 子定理相比，h 6 r m a n d e r 乘子定理将函数导数的l 模改为己2 积分条件，求导的 阶数降为【他2 】+ 1 ，但去掉了导数的q o ，1 ) n 条件h 6 r m a n d e r 乘子定理尽管从 某些方面对m i h l i n 乘子定理做了改进，但当n 2 时它并不包含前面的结果2 0 0 3 年，t ，h y t 6 n e n 在其博士论文 1 2 】中，证明了一个有q ( o ，1 ) n 条件的h 6 m a n d e r 乘子定理，推广了前面的两个定理 对于日p 空间上的乘子定理，m h 1 1 a i b l e s o n ，g w b i s s 2 1 】得到了类似于驴空 间上的h 6 r m a n d e r 乘予定理 定理2 2 4 设o p 1 ，屉为一非负整数，且1 p 1 2 0 ，r i 工i 2 r 则仇朋脚，且i l m | l m h ，g 特别地，若m ( 。) 满足 s u pi z i l 。i l 俨m ( z ) i c ， r ， 则m m 舻 川七， 另有m i y a c h i 乘子定理【1 6 】 定理2 2 5 令口2o 加o ，o 如 2 ，忌= m a x ( 1 如1 2 ) 】+ 1 ，k 2 】+ 1 ) ， n n ( 1 伽一l 2 ) = 6 设m 伊( r n ) ，在原点附近的一个邻域内m ( z ) = o ，并且对 某个常数a 1 ： l a a ，n ( z ) isl z l 一6 ( a i z i 。一1 ) l 口f ，i q i 而， 贝um a f 日，p o p 2 且 m i i m 日p c a n ( 1 厂p 一1 ， 这里g 是独立于a 的常数 同时有相对应的无穷远点消失的情形 定理2 2 6 令c o ，d o ，o 册 2 ，尼= m a x h ( 1 一1 2 ) 】+ 1 ，【n 2 】+ 1 ) ， n d ( 1 肋。一1 2 ) = c 设m c 膏( r n o ) ) ，当1 时，仇( z ) = o 并且对某个常 数4 1 ： i a m ( z ) i l z l 。( a l z l 一1 一d ) i q l ，i q i 忍， 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 则m 朋胂，如刀2 且 | | 仇日，g _ 扎( 1 加一1 ， 这里c 是独立于4 的常数 定理2 2 5 、2 2 6 除了包含俨，o p 1 情况外，还包括了口，l 秒2 的 情形 陈鹏 2 4 】推广了上述结果 定理2 2 7 令1 q 2 ，口( 2 9 一1 ) p 1 ，七= h ( 1 肋+ 1 g 一1 ) 】+ 1 设 m ) g 奄( 王p ( o ) ) ，并且满足下式： s 婴彤b l 邗 l 沪m ( 划叮d z gq o ，1 ) n ，f a l 尼， 0 r o o r o i ，r 川 2 冠 则七在原点之外是个局部可积函数，且满足 l q l 忌， j 足( z y ) 一尼( z ) jd z c ，秒o ，忙i 2 l 可i 由以上性质可矢玎 对于上述性质中的f o u r i e r 乘子，如果我们将乘子算子看成 卷积型奇异积分算子，那么尼就是它的卷积核 但定理2 2 5 、2 2 6 无法做类似转换，这说明乘子理论与卷积型奇异积分算子 之间确实存在着较大的差别 1 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 3一类卷积型奇异积分算子的日p 有界性 3 1 问题及已有结果 设a ( 1 t n ) 均是定义在r 上的偶数阶非常数多项式，并且无零点我 们记s 为多项式阢的阶数，s = ，哑乒s i ，( ) = ( 壶) v ( 轨) ，克 ) = h 包( 轨) ， l s l s n 7 1 t “ p ) = 兀a ( 玩) ，m ( z ) = 南，其中z = 0 1 ，) 砂。显然我们有以下估 1 t n 计： l 鼽( 戤) l q ( 1 + l 甄l 毗) ，翰r ，i = 1 ，n ， l p ( z ) i c l z l 8 ，z f p 引入算子t 如下： t f = k 卑l ，l h p 本章的目的在于确定一个充分大的区间，使得对于区间内的任一p ，t 都是日p 上的有界线性算子 唐岚【2 5 】利用日p 乘子理论和卷积型奇异积分算子理论两种方法确定这样的 区间，并比较了二者的优劣，其结果如下： 定理3 1 1 设算子t 如上所述，由乘子理论，当恶p 2 时，m 为俨 乘子，从而f 是日p 上的有界线性算子：由卷积型奇异积分算子理论，当s = 2 ， 南 2 ，盎 2 ，m i n 彘，赤) 4 或s = 2 ，n 2 时，由卷积型奇异积分算子理 论所得结果优于乘子理论所得结果；其余情况由乘子理论所得结果较优 利用卷积型奇异积分算子理论证明t 的日p 有界性时，在s 2 的情形可以得 到更好的结果本章将利用证明定理2 1 9 的方法改进上述结果，把5 2 和s = 2 的结果统一起来从证明中也可以看出卷积核的光滑性对算子的护有界性的影 响 1 1 ，f 、 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 3 2 主要结果 本蕈主璺结果如f ： 定理3 2 1 设算子z 如上所述， ( a ) 当n = 1 时，t 是日p 上的有界线性算子，其中o 1 时，r 是日p 上的有界线性算子，其中指 p 1 先给出两个引理 引理3 2 2 伊- 2 ( r ) nc o o ( r o ) 且 k 七妄砬( 戤) l 如，现0 ，江”一，礼， i 南( 。i ) i c ，甄o ，江1 ，n ， 其中忌，2 为非负整数，c 为与七，z 有关的常数 证明：首先证明，对任一正整数尼有下式： 参c 志，= 器小”一 其中多项式( z i ) 的阶数比a ( z t ) 七至少低七阶 当尼= l 时， ( 扣扣一搿， ( 3 ，3 ) 成立假设当忌= m 时( 3 3 ) 成立，则 d m “， 1 、妒m 7 ( 筑) 优( 魏) 一( m + 1 ) 妒m t ) 鼽0 ) 驴两可户五莎西一， 因此七= m + 1 时( 3 3 ) 成立由数学归纳法知( 3 3 ) 成立 当尼瓯一2 时， 上踽咄 。， 故( z i ) c 乳- 2 ( r ) ，且 姜= 上m 坞七志尹蛾咄 1 2 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 对任意的充0 ， 由( 3 3 ) 知 z t 七( 筑) =( 一扣二誊( 志) e 2 概咄 “m i 杀c 志舭 o 。， 因此南也( 轨) c 七+ 乳一2 ( r ) ，且z = o 时( 3 1 ) 成立于是( 既) c 毗( r o ) ) ， 从而( 戤) c o o ( r o ) ) 下分两种情况证明( 3 1 ) ( 1 ) k i 1 对l 用数学归纳法证明 当f = o 时，由上述证明知( 3 1 ) 成立假设当z m 时( 3 1 ) 成立，则当 2 = m + 1 时，先设足m + l ，由l e i b n i z 公式 d m + 1 d 戤m + 1 ( 七( z i ) ) 由归纳假设以及 得 d m + 1 d 魏”+ 1 仃+ 1 一弋、一 一厶u m + 1 j = 0 ( 七一m l + 歹) !一- l 州毒坼囊 q o ( z i ( 酬= i 上( 2 丌i ) 仇+ h 誊( 志) 1 e 2 疵蚓姐 当奄 2 时，由实系数多项式因式分解定理以及鼽( 戤) 的性质，a ( 翰) 可以分解成 二次多项式的乘积不妨设a ( 戤) = q 1 沲) q 。；2 ( 噩) ，其中q 1 ( 甄) ，q 啦2 ( 盈) 为二次多项式，且无零点于是 = ( 击) v 一- 牛( 去) v 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 假设s = 2 仇时( 3 2 ) 成立& = 2 ( m + 1 ) 时，令( 击) v ( z i ) = o e l 6 z i e c 蚓， ( 甄) = ( 击) v 木木( 赤) v ( 鼢) ，则 ( 翰) c ( r _ o 】) ，且九( 筑) 满足( 3 1 ) ，( 3 2 ) 先设0 z f 1 则 反( 以) 2 ( ( 击) 术 ) ( ) = 上。e i b 叫纠科叫曲 = 。e 溉r 锄上e 一叶印允( y ) 曲 ，0 慨r 上e _ 计吲 ( 可) d 可 ， o t + n e i k 汁凹 e 。切一甜 ( 可) d 可 ，十o o z i 。 上述三项均关于妨无穷次可微，且各阶导数在0 点的右极限存在类似地，当 一1 戤 彤一2 ，歹 i l ，z 。) ， q m = u z = ( z 1 ，z m ) r ，m ：巧= o ) i z | f l 矿( 。( 甄。) 。( 。谝) ) i c f z q i f 护( 勉。( z ；。) 。( z ) ) f = 嚷l 暴。i 亟q 南( ) i 知( 3 4 ) 成立引理证毕 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定理3 2 1 的证明：当儿= 1 时，由引理3 2 2 以及定理2 。1 9 知，对任 意的0 1 的情形令 4 ( 0 r o 。) 为满足下述条件的函数的集合：s u p p ，c z 础：蚓r ) ， l l ，l i p r 一；，k ，( z ) z q 出= o ，vi q i h p 一叫，由原子分解定理和算子t 与 平移的可交换性，只用证明下式即可( 具体过程见f 2 0 】) ： i f t 州日一g ，a ，o r o ，i 卢l s 一1 ，i z i o ( 3 6 ) 当2 偷时， 南力 ) = ( ( 庀木圣。) ) v ) = e 2 硝痞g ) 毒( ) d ， i 扩脚( 。) l = l ( 2 丌i ) i 纠古一n l 纠e 2 疵 忌( ) 墨( f ) 扩d f l c 舌一n 一c l z r n 一吲 当h 2 厢时，令z = ( z ，) ，其中z 中每个分量的绝对值2 ，而中 每个分量的绝对值 2 ，则i z ，i 由( 3 4 ) ，( 3 5 ) 有 i 扩庇( 。( z ) l g i z 7 r 2 c i z r - ， 取f = n + i 卢i 得( 3 6 ) 当h 2 r 时， ( t ，木圣t ( z ) ) = ( ，术尼木西t ) ( 。) = ( ，木七( 。) ( z ) = ，( 可) 忌( 2 ( z 可) d 可 由i a y l o r 公式 批z 刊= 执( t ) ( z ) 咩+ 扩叭z 也可) 掣， i p i s 2 尸 l 卢i ：。一1 f 7 ： 其中o 巳 1 利用原子的消失矩条件，得 旧，鸲( 砌i = i ，m ) ( 川z 一3 ，) 一饥( z ) 掣) 蚓 删9 l p 蔗暑2 p ! 2 乜m ) i 善。俐卜岫) 警蚓 c i z r i n 叫“i ，( y ) 卜1 衄 c f 7 i l n 一詈+ 5 1f z r n 一外】 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 因此 枷) 2 五讲则t ，地) ( 酬 俨铲詈+ 卜1 b 刚哺叫+ 1 ) p d 茁 - ，l z l 2 r c 因斋 p 1 ，上述不等式第二项中的积分收敛：定理证毕 当n = 1 时，由引理3 2 2 中的( 3 3 ) 和定理2 2 4 即有以下结论 定理3 2 4当佗= 1 时，m 是日p 乘子，其中0 p 1 由定理3 1 1 和定理3 2 1 可得： 定理3 2 5 设算子t 如上所述， ( a ) 当n = 1 时，t 是日p 上的有界线性算子，其中0 1 时，t 是日p 上的有界线性算子，其中m i n 恶，南) p 1 戥p2 翥 由上述定理知，当礼3 时，由卷积型奇异积分算子理论所得结果优于乘子理 论所得结果；当n = 2 时，由乘子理论所得结果较优 1 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 1 】j a l v a r e z ，m m i l m a n 日pc o n t i n u i t yp r o p e r t i e so fc a l d e r 6 n - z y g m u n d t y p e o p e r a t o r s j m a t h a n a l a p p l 1 9 8 6 ，1 1 8 ：6 5 7 9 2 】a b e n e d e k ，a p c a l d e r 6 n ，r p a n z o n e c o n v o l u t i o no p e r a t o r 8o nb a n a c h s p a c ev a l u e df u n c t i o n s ，p r o c n a t a c a d s d u s a ，1 9 6 2 ，4 8 ：3 5 6 3 6 5 3 】a p c a l d e r 6 n ，a z y g i i 】【u n d o nt h ee x i s t e n c eo fc e r t a i ns i n g u l a ri n t e g r a l s a c t am a t h 1 9 5 2 8 8 ：8 5 1 3 9 4 】a p c a l d e r 6 n ，a z y g i n u n d o ns i n g u l a ri n t e g r a l s a m e r j m a t h 1 9 5 6 ，7 8 ： 2 8 9 3 0 9 【5 】r r c o i f m a n ar e a lv a r i a b l ec h a r a c t e r i z a t i o no f 日p s t u d i am a t h 1 9 7 4 ，5 1 ： 2 6 9 2 7 4 6 】r r c o i f m a n ，g w e i s s e x t e 璐i o n so fh a r d ys p a c e sa n dt h e i ru s ei na n a l y s i s b u l l a m e r m a t h s o c 1 9 7 7 8 3 ：5 6 9 6 4 5 【7 】w c ，c o n n e t t s i n g u l a ri n t e g r a l sn e a rl 1 p r o c s y m p o s p u r em a t h o ft h e a m e r m a t h s o c 1 9 7 9 ，v b l3 5i ：1 6 3 1 6 5 【8 】c l f e 髓r m a n i n e q u a l i t i e sf o rs t r o n g l ys i g u l 盯c o n v 0 1 u t i o no p e r a t o r s a c t a m a t h 1 9 7 0 1 2 4 ：9 3 6 9 】c r e 艉r m a n ，e m s t e i n 日ps p a c e so fs e v e r a lv a r i a b l e s a c t am a