（基础数学专业论文）应用泛函分析对保形特征差分法的研究.pdf

t h er e s e a r c ho nc h a r a c t e r i s t i cf i n i t ed i 舶r e n c e m e t h o db a s e do ns h a p 争p r e s e r v i n gi n t e r p o l a t i o nb y f u n c t i o n a la n a l y s i s a b s t l ! a c 七 珏i sw e nk n o w 珏t h a 恚t h ec o 棘v e 茂i o 蛰出乐】s i o ne q u 感i o ni st h eg r e 】砖n g e q u a t i o no fn u i dd y n a m i c s u s i n g 眦l t i s t e pc h 蹦a c t e r i s t i cd i 艉r e n c es c l l e m e t os o l v ec o n v t i o 珏_ 溉i 雌键僦i o nn 成o n l yc o 趣dm & k e 乞h e8 c h e m ev e r y s t a b l ei nc o m p u t i n gb u t 出s 0c o t l l di n c r e 8 8 et h e c l l r a c yo ft h e8 c ：h e m e ，8 0i t h 8 8c o m 莎e h e i l 8 i v ea p p l i c 8 t 王o nl l lt h e6 吱do fn u m e r i c 越s 至m m 8 t i o no fh y d 一 d y n 眦i c 8 i a d 出t i o n ，s h 妒p r e 8 e n r i i 培i n t e r p 0 1 a 七i o nh a 8 t h ea d 嘲1 t a g et h a 七 p r e 8 e r v i n gt h em 钒1 0 t o n i c i t y o ft h ef i l n c i o nm e a 鄹沌i l ei 乞e o 心d 扰h i e v el e l 8 - t i 、r e l yh j g ha c c u r a c y p u t t i n gt h e8 b o 、他t h e o r 池to | 驴t h e r ，t l l i sp a p e rm a i n l y p r e s e n t sam e t h o do f 衄珧i s t e pc h 缸a c t e r i s t i c sd i & r e n c em e t h o db a s e do i l c u b i ch e r m i t es h a p 争p r e s e r v i n gi n t e r p o l a t i o nf o r8 0 m n gc o i e c t i o i 卜d i f m 8 i o n e q q t i d n sa n da n 越y z e t h ee r r o ro ft h es c h e m eb yf l l n c t i o n 献a n 础y s i sm e t h o d s t h ep a p e ri so r g a n i z e di n t ot h r e em a j o rp a r t s t h e 矗r s tp a nc o n c e r n 8a b o u tc h 8 瑚斌e r i s t i cd i 珏e r e n c em e 戗l o db a s e do n c u b i ch e r m i t es h 印争p r e s 材v i n gi 贰e r p o l a t i o nf o n e _ d i m e n t i o n 献l i n e 淞a i m n o n l i n e a rc o 删t i o n - d i f h 8 i o ne q u t i o n w _ ed i s c r e t et h ec o m 陀c t i o nt e r m 甜o n g c h 雅氇c t e r i 8 t i cl i n ea n dd i s e r e t ed i 獭1 s i o nt e r mb ys e c o n d 钟d e rd i v i d e dc e n t e r d i 舭r e n c e a tt h es a m et i m e ，c u b i ch e r m i t es h a p e _ p r e s e r v i i 培i n t e r p o l 砒i o ni s e x p l o i t e d 搬t h ei n t e r p o l a t i o np a r t f i n a l l y ，d i s c r e 诧三2 一n o r me r r o re s t i m a t e i so b t a i n e d t 圭l es e c o n dp a 威f o c u so nm l l 王t i s t e pc l l 甜a c t e r i s t i cm & r e n c em e t h o d b a s e do nc u b i ch e r m i t e8 h a p e _ p r e 8 e r v i n gi n t e r p o l a t i o nf o ro n 争d i m e n t i o n a l l i n e a ra n dn o n l i n e a rc o h v e c t i o n d i 抽s i o ne q u t i o na n dt h od i s c r e t e 2 一n o r m e r r o re s t i m a t eo ft h em e t h o di so b t a i n e d n u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h a ta p p l y i n gm u l t i s t e pe h a r a c t e r i s t i c d i 建b t e n c em e t h o di ns o l v i n gp r o b j e m sc ( ) l l d 诎i e v er e l a t i v e l yl l i 豳a c c 砒a 甜 t h el a s tp a r tp r 镐e n t sah i g ho r d e rc o m p a c td 诳矗e n c es c h e m ec o m b i n e d w i t hm u l t i s t e pc h a r a c t e r i s 屯i c sd i 缀m 嗽c em e t h o d8 n dp r a v e st h i 8s c h e m ei n - c r e a s et h e8 c c u r a c y 诚hh i g h e rl e v e l ：k e yw o r d s ：c u b i ch e r i n i t es h a p 争p r e s e r 、，i r 蟮函七e r p o l 8 七i o n ；c o n 、，e c t i o - d i 珏h s i o ne q u a t b n s ；m u l t i g t 印c h 8 r a c t e r i s 乇i cd i 艉r e n 伪s c h 蜘；c o m p a c t 衅 f e r e r l c esc ：h e m e ：e r r o re s t i l n a t e l引吉 泛函分析是数学领域中一门极其重要的基础科学，为绝大多数现代数学研 究提供疆论羞礁，势黠诸多应耀辩学毒广泛懿影嚷，将糍在襄散霾邂酶硗究孛 泛函分析更是起着举足轻重的俸用泛函分析理论为我f m 开究偏微分方程的差 分勰的稳定性、收敛性等提供了论证的依据，并且系统地导出了s o b o l 钾空闻 上熬各耪蹇教擂馕公式，扶薅建立了应零泛添分叛方浚磷究穰徽努方程差分方 法的严密理论体系旺成为泛溺分析在应用数学中起重簧作用的个很好的例 证 对流扩散方糕巍予在实骑；工程闻题孛餐饕广泛鳇疲耀嚣受到辩瓣王俸者懿 普遍关滋，特别是寝流体流动和传热领域对流扩散方程在计算流体力学领域 里，尤其是流动问题的数值模拟中扮演着非常重要的角色，因此，研究精确而 稳定的数值方法以求勰对流扩散方程就显褥龙戈重要扶方程分类恁度考虑， 它属予撇物鍪( 不是常情形) 载椭爵鳌( 定常情形) 方稷如果方程聚现对流占 优性质，它又呈现双曲型方程的基本特性因此构造一个能够反映熊特征性质 黪数值方法有着重簧舱瑾论帮实际意义。 辩鼍：对流扩散方程戆传统差分离散格式，普遍有着精度低或计算不稳定静 缺陷如传统的迎风格式，尽管计算是稳定的，但是慰有一阶精度，从而导致 计算结聚不够猿确。一些改进的榛式( 如修派迎风格式涮) 表现为= 酚糟度，但 是当求解闻题表现为对流占钱或孝弼格雷诺数超过菜一数值蔻霞辩，计算就会 发散，即稳定性降低因此发展对流扩散穷冁精度高且稳定性好的栽分离散方 法是匿靛研究的一个热点阅题1 9 8 2 年，d o u 醛a s 等人提出的特征线差分法 蓬一粪缀有效薛方法1 3 | 特征线差分方法适合大时阕爹长隶簿霹滚鑫优扩散阉 题，因其利用对流扩散问题的物理力学性质，可以有效地克服数值振荡该方法 在能源数值模拟和n 鲥i e r s t o k e s 方程的求鹪中得到了广泛的应用，弗得到了一 定静发疑，螽：1 9 泓年，袁益渡教授将特蔹麓分方法成掰予淫藏数餐摸攘孛， 提出了油藏数值模拟中动边值问题的特征差分方法1 4 j ；1 9 9 9 年，蔚害军教授提 出了一种多步特征差分方法【5 j 、该方法沿袭了特征差分方法的优点，并且使在特 其中朋k 是与詹霄关的常数 弓l 理2 ：设钍( z ) 伊池一1 ，。t 】，在区阉陬一1 ，祝j 内以婴一l ，钍f ，乱：一l ，做 插值的的三次h e r m i t e 插值多项式为日( 茹) ，以钍i l ，让i ，讹一l ，讹做插值的的三 次h e r 硪e 插僮多璎式为万( 茁) ，其中去= ；( 击+ 击) ，剡当趣一1 时， 肴。 | 1 日0 ) 一万0 ) | l k 陋l 舻，。磅，丸= 一魏一1 当旭= 鬼一l 时，有t i i ( 茹) 一耳( ) l is i 舻，* 硪= 戤一。0 1 证孵： 坷删= l 掣( “一) + 掣( 刊i 经计算得，当k t 一1 时， k 一豫i = l “( 2 i 鲁，当k 一 i l 时， | 缸：一佻i l 钮( 2 ) l 譬，受| j 当勉堍一1 时，上式转化为 _ _ ( 茹) l | 掣+ 掣咿，等l 因此， 9 霸( 。) 一露( z 耳俐l 胛，* ； 同理，当玩一鬼一l 时，有 i f 烈( z ) 一肖( z ) i i k i l 乱i i 矿。，* i 辱| 理得证。 引理3 ：( 逼近定理)钆( z ) g 3 h6 】，若取均匀网格剖分，则分段三次 h 麟m i t e 单调登插值滔数p ( 。) 有三除逼遥精度，静 i “( z ) 一p ( 。) l i l l 珏| j f 。，。c 3 证明：分两种情况进行证明若鼠与瓯二1 符号相同，则在区间k 吐茁d 虑，有p ( z ) = 耳( 篁) ，所以由弓| 理l 与弓l 理2 有： i l u ( t ) 一p ( ) i | l l u ( 贯) 一h ( ) i l + i l h ( 茁) 一耳( z ) l 墨k l i n i i u n 。n 3 霪戛霎囊一l 薹蕈静：圣墅蠢i 里l 星萋i 釜霪一 f 量囊藓 ! l 篱重i 一羹i 看l l l 豸i 毒l 芎! ；蚕t ；霎2 霎薹薹 l | i 垂i 一璧3 黧i l | 墅l 蚕l 薹i 一! 螽i 委l l 磊l 董；鬟! 一薹薯l l 囊| ! 羹耋i 鎏! 蚕i l 亟羹i 翥! l 。? 。爹 霪娶矍藏；薹善筮二爨 1 i 爵i 辇i 妻； 笺l 爹f 铺i 鐾；t 墓 叠羹萋翼i 餐囊坚! 冀i 嚣璧害u 萋薹羹囊j ；- 奏蠢假设方程( 3 1 1 ) 盼解存在羹睦 一，且系数c ( 。) 、6 ( z ) 、口( z ) 与初始条件咖满足以下条件： ( 1 ) i l 珏o l | * f n ) 题，l l 虹l | 工* p ，r i 三* ( q ) ) 冬j 白。 ( 2 ) 对于协；q ，有 o o 。 ( 3 ) 6 ( 。) 、口向) 的一阶导数均有界 以上假定中琏、j 屯、j 岛、；i 、i i 与均为正常数 3 1 1 单步特征差分格式的建立 令砂( g ) = i i i ( 茹) + l l ( z ) r 与算子c ( 茁) 甓+ 6 ( 。) 赛相伴的特征方向为 丁一( 器，端) ，沿丁的方奏囊羹耋； 毋 c ( o ) a6 ( o ) 艿 移r 妒( z ) a 。妒( z ) a z 于是方程( 3 1 1 ) 可化为 f 妒( z ) 赛一差( n ( z ) 爱) + ，( z ) v ( z ：) n ( o ，丁j 越( z ，) ? o ，v ( 茁，) 毋q 9 z ( 3 1 + 2 ) i ，u ( 。，o ) 。扎o ( t ) ，v z q 另外，设嚣= 堡专：笠二，露一1 = 曼整专：魁 洼；实际计算时，若时阔步长比较大，炙| j 娩有霹麓越过求解送域，此 时应使用特征线截断技术嗍： 若两 即，噩i 过她，如) 戆特征线与z 一町的交点为( 印，一镪警) ， 我们取这一点处的函数值作为霹- 1 的值。即： 霹一嘶( 屯一盘警) 3 1 2 误差估计 记铲- 1 伍) 一程( 磊，如一1 ) ，则方程( 3 1 。1 ) 在( 或，如) 处可离散为 q 譬害一酶? ：厅懈 ( 3 1 5 ) 其中e ? 为截断误差，e ? = e 墨+ e 墨，且e 矗为对流项的离散误差，e 象为扩散 项的离散误差 对于吃，由h 国d e r 不等式，有 蚓= 一壶。( 丁一柏) 象打i 圭( 伫，e r 一铀，2 打) 。( ，( 嚣) 2 d 丁r ：去( 扣州足。( 嚣) 2 d 丁) 。 当丁在h l ， 之间查化时，t 在 t 。_ ! l ，t 。】，童在陬，茁蠢之间变化，则 伫，( 雾) 2 打= 陋，( 象) 2 ( 等西+ 与笋t ) ) 2 簖如 泞怎。蜀。瞄l 出 1 2 所以 黔烈2 = 跏降创瓤蹴 | | e 烈2 = | 毪1 2 丸s 贸f “i 若l 蹴 t 2 tl l 。n k 对予扩散项误差8 象直接t a 舛o r 展开可得 醴酽k 舻l 矿嘘岛( 渤 从i 而，有 舱刈2 m ( t 删驴+ 越钏铖甸 以下作收敛性分析令嚣一 一叼，则( 3 1 5 ) 一( 3 1 3 ) 得误差方程 r f n 一一l 龟蛩一磊( 旗辩= 露( 3 删 【蔚= o ，器= o 又嚣= 留一霹一霞? 一黝”1 嗡) = ( 层一p ) 霹一1 十蹙， 其中嚣为恒等算子，p 为三次王壬e r m i t 保形搪埴算孚，卿( 3 1 6 ) 式可化为 臼掣一如( n 如) ? ：q 量掣+ e ? 方程( 3 。l 。7 ) 两边嚣乘驭管毳，并关于i 从l 裂j 一1 求帮，绩含离散格秫 公式得 壶警臼( 嚣一p 贯。) 嚣 一( 口如南d = 壶警岛( e p ) 霹。1 等 十( e “) ( 3 1 7 ) 又由不等式( 盘一6 ) a ；( n 2 6 2 ) ，可得 莹龟( 尊一窿一t ) 嚣毳；| 董c 潜) 。矗一窆魏( 磙一，) 。 |龟( 尊一窿1 ) 嚣毳；| c ( 嚣) 2 矗一魏( 磙q ) 2 | ：f ( n ，n ) 一甚q ( 瑁_ - - ) 。司 将就不等式代入( 3 。1 7 得 志f ( ”) 一警q ( p 器。脚 + ( 。炙岛纠冬击警“f p 弼”。器 + ( 一 一0 ( 矗2 + t ) ( 3 1 9 ) 将以上结果总结为以下宠瑷： 定理3 1 ：设缸w 4 ，2 ( q ) n 。( 2 ，o 。) ，弘| sk ，受4 基于三次王壬_ n i t e 保彤播值的特征差分格式( 3 1 。3 ) 的解严按离散如模收敛到阅题( 3 。l 。1 ) 的 精确解，虽误差估计式如( 3 1 9 ) 所示。 注t 照然本文格式的总体误差阶并没窍提高，但由( 3 。i 9 ) 式可知，插值误 差其有= 阶精度，势鱼可以保持蘧数的单诵性，即可以保持曲线的几何形状。 得鼙l 很好的遥近效果 3 1 3 数值算倒 考虑酝域q = o ，2 卅上的对流扩散方程 象一s i n ( 尘) 爱一弘器一t ( 3 0 2 0 3 0 0 一1 9 7 0 l t + ( 9 5 9 9 t 一3 9 9 9 6 0 0 ) c o s ( 茁) + 塑塑型婴盟壕器箬笺塞警鲁塞毫舞擎蚴) ， u ( 。，t ) 一t 占( 。+ 2 霄，t ) ， 铝( 露，o ) = 2 e 一。xs i 托( 2 耐 他( 重o a n ) ) ， v ( 茹，t ) q ( o ，卅 v ( 。，t ) a q f o ，卅 魄q 利用以上差分格式进行计算，p 取l o 一，计算到第l 个时间屡，所褥最大绝 对误差如表1 所示。表中最大绝对误差取m 一翟移i l 矿一驴l l * 表l ：擎步特征差分格式计算挎 嚣最大绝对误蓑 矗f 骘一 王0 2l o 2 8 。7 1 5 7 1 0 一3 l o 一21 0 39 7 7 7 1x1 0 一5 1 0 3 1 0 3 9 7 6 2 4 1 0 5 i o 一3l o 49 + 8 8 8 2 1 0 一7 表l 的结果袭疆，保形特征麓分格式( 3 1 3 ) 英有很高的计算精度，满足 定理3 1 的结论进一步绘出a l o ，= 1 0 2 时，利用格式( 3 1 + 3 ) 计算 l g 得出的近饭解与精确解的比较圈，如銎l 所示 图1 ：傈形特征差分格式近似解与精确瓣比较情形 由图1 可以看踺，应翅保形特征差分法进行计算，可以非常好酶保持函数 单调性此甥中，出手龋数图像形状发生突变，格式酶保形性凌体瑗得筻为明 显，并且得到很好的拟和效果。 若霹q 与科符号相反，则令回。= o ，i 一1 ，2 ，n 一1 另外，设霹= 望，嚷一z = 墅专延 注：实际计算时，若时间步长a 比较大，则魏有可能越过求解区域，此 时应使用特征线截断技术【3 】： 若磊 z f ，尉过涵，如) 的特征线与茹= 研的交点为( 。 如一c i 笨警) ， 我们取这一点处的函数值作为西一1 的值，即： 西= 嘶( q 等孚) 3 。2 2 误差估计 记铲_ 1 ( 戤) = “( 磊，如一1 ) ，则方程( 3 1 1 ) 在( 筑，t 。) 处可离散为 与岩一岛( 口如乱) ? ：劈+ 日 ( 3 1 2 1 5 ) 其中琵为裁断误差，由3 1 节的结论，有 “e 川2 m 肌山拙创瓤叫 以下作收敛性分析令舒= “? 一叼，则( 3 2 5 ) 一( 3 2 3 ) 得误差方程 q 掣吲躲) 一 ，( 翰，扩，钍? ) 一，( 岛，叼。) 】+ ( 如( 口一4 ) 瓦专) 翔+ 岛 嚣= o ，舒= 0 礤霹一 ( 3 2 - 6 ) 又露一1 一面? 一1 一霹一1 = 露? 一1 一p 俐”一1 ( 磊) = ( e p ) 百? 一1 + p i ? 1 ， 其中e 为恒等算子，p 为三次h e r m i t e 保形插值算子，则( 3 2 6 ) 式可化为 c 。璺叫似肛q 学w ，严婶h ( 列孵1 ) 十f ( 矗f 8 一a ) 点。) ? j + q 空掣+ e ? ( 3 2 7 ) 方程( 3 2 7 ) 两边同乘以嚣 ，并关于i 从1 到，一1 求和，结合离散格林 公式得 】j 一11，一l 壶善q ( 等一p 鲁- 1 ) 嚣 一( a 如p ，如p 】= 壶蓦q ( e p ) 面 - 1 尊 + ( ( ，0 ，矿，u “) 一，护，c 严_ 1 ) ) ，p ) + ( ( 口一a ) 如p ，品p 】 ”盟鬟冀冀蓊 l 喜。j 囊!i 套；哩：i 霞萎霪荔冀i 誉一q i 羔塞i i 言i 一毫i i 冀耄 鋈i 墓，孥霹i 羹霎 ，霹= 沪一1 ( 磊) ，嚣= 删( 磊) ， fq 壑尘二| 牲一如( 以如u ) 。，( 甄，p ，卵一1 ) ， 1w = o， l 田：鸽o ) ， i 。l ，j 一1 ， 礼= 0 ，l ， z t aq ，礼= 0 ，1 ， i = 1 。，z l ， 其中4 各 一；国( 魏，露卅) + 8 ( 。件l ，啊) 西一：叫州( 磊) ，嚣：加棚( 磊) ，埘州( 磊) 为卵一1 ( 江o ，1 (4 2 3 ) ) 的 分段插值函数，鲫”一2 ( 磊) 为w 2 ( i = o ，l ，1 ) 的分段撬僮函数，本节依然 应用三次h e r m i t e 保形插值 不 失一般性，设 鬻l 1 - 贝魂、 磊融一，。列( 蛩 o ) 或磊、 4一维对流扩散方程基予三次h e r 斌t e 保形插值的多步特截差 分格式 4 1 一维线性问题 本节考虑送域q 上的一维线性对流扩散方程 fc ) 象+ 6 ( z ) 爱一叠( 口( 茹) 舞) = ，( 茹) ，v ( ，站q ( o ，明 钍( z ，母= o ，v ( 。，t ) 净q p ，羽 ( 4 1 1 ) 【u ( z ，o ) = t 幻( z ) ，、，童q 其中q 一【a ，翻，且o ( 。) 远小于6 ( z ) 和c ( z ) 假设方程( 4 1 1 ) 的解存在且唯 一，且系数e ( z ) 、6 ) 、口 ) 每初始条件乱。满足以下条件t ( 1 ) i l u o l 工* ( n ) 。研， l 乱l i 工* ( o ，t ；工一( n ) ) s 鲍 ( 2 ) 对于v z q ，有 o o ( 3 ) 6 ( 。) 、a 0 ) 的一阶导数均有界 以上假定巾硒、j 毛、拖、c l 、c 2 与n 0 均为正常数， 4 1 1 多步特征差分格式的建立 令妒( 。) = 扩 ) + 护( 司r 与算子c ( z ) 甓+ 6 ( 。) 舞相伴酶特征方向为 r = ( 器，器) ，沿r 的方向导黼 a c ( z ) a6 ( z ) 9 6 盱 矽( 箸) 魂爹( 。) 8 嚣 于是方程( 4 1 1 ) 可化为 f 妒( 茁) 鲁= 爰0 ( 茁) 爨) 十，( 。) v ( z ，t ) q ( o ，明 让( z ，t ) 一o ，v ( 茁，) a qx o ，卅 ( 4 1 2 ) 【乜( z ，o ) = 珏o ( z ) ，v 嚣q ， 令q 表示区域q 的网格剖分，x ) 袭示区间q 的总长度令愚= 争为 空间步长，a 一罨为时间步长，f 。= 豫( n = o ，l 、) 刚方程( 4 11 ) 中 的微商算子可被点( 龟，k ) 处的差商算子表示，邵 焖( 筹) ? 吲， 叫瑚遂掣 其中商= 数一黼t ，霹一1 一锃( 磊，一1 ) 磊= 戤一2 斟，霹= 锃( 巍，如一2 ) 记 疋( 旗缸胃= 嘉k + ( t 辟。一锃。一一( 札 一啦，) 】 其中口r ( 口( z t ) + 口( 吼1 ) ) 于是得爨 方程( 4 1 1 ) 的多步特征差分格式： k 赴掣一如( 哦) ? 。刀，江l j ，珏：o ) l ， 叼= o ，祝a q ，礼= o ，l ， l w = 铷) ，江l ，j r l ， 其中日= 钾n 一1 ( 施) ，霹一 n j ( 磊) ，伽一1 ( 或) 为叼一1 a ：o ，1 ，j ) f 4 1 3 1 的分段擂值函数，妒一2 ( 磊) 为叼2 0 = o ，l 。，f ) 携分段摇值丞数，本节依 然应用三次h e r m i t e 保形插值 不失一般性，设sl ，雯l 茁i 、 i i 囱tl ，瓤】( 瑰 o ) 或巍、 氟k 一1 ，孔】( 玩 o ) ，下断仅考虑两、氟p i l ，z i t 对正陬一1 ，z i 】，由预 备絮识，一有鲫”一1 瓴) = a 。晦i ，。一1 ) = 掣呸1 十坚警型 s 2 ( s + ) t 矿一2 ( 磊) 一p 札( 磊，z 。一2 ) 舻 3 盎s 2 + 2 3 列+ 掣 啦，2 + 警兰望铲z ( 4 1 4 ) 一掣群+ 芋 ( 4 ) 其中s = 磊一。 。令锄一一等，盈d ( ) = o ( 妨，弼s = 啦毳，且 晓i = d ( ) 设露= 垫眭荨坐，若嚣。与聂督符号穗蔺，尉令 】111 矿2 乏( f + 薅) ，江1 2 i 。，嚣一1 若霹- 1 与删符号相反，则令露一1 = o ，t 一1 ，2 ，n 1 另羚，设酊1 = 望竽，嗾一t = 婪学 叫的值由让1 的t n 3 ，f o r 展开结合方程( 4 1 1 ) 得 酲= 毗) + 怒( 象) 。t 蠢| l 锃1 一耖1 | l = d ( t 2 ) 注：实际计算时，若时间步长t 比较大，则曩、磊有可能越过求解区 域，此时应使用特征线截断技术澍，以磊为例： 若血 z o ) ，则过( 兢，) 酶榜征线与。= 嚣j 的交点为 ( 搿，如一白苎唁产) ，( 或( z 如一岛点蓦) ) 我们取这一点处的函数值作为霹( 或 弱) 的焦，跟 4 。1 2 误差估计 霹= “， 贾：u ， 铲岛警 卜q 警 除2 掰p k 勘n 酣刽锐出) 以下作收敛慷分析令露= 崤一礤，剥( 4 1 。6 ) 一( 4 1 3 ) 褥误差方程 箸案f 碳如铆叫 ”， 【瑟= o ，嚣= o 。 又露= 留一霹- = 霹一黜一1 嗡) ：( e p ) 霹一1 + 瑁， 蚕一2 = 霹一嚣一2 = 留一2 一p 扩一2 ( 巍) ：( e p ) 面 一1 + p 嚣一2 ， 其中e 为恒莓算子，p 为蔓次h 麟m i t e 保形插值算子，则( 4 1 。7 ) 式可 化为 龟赴鼍掣吲蚓翘i 乒嘲学+ 露 方稷( 4 1 8 ) 两边同粱以嚣k 并关于i 从l 戮j 一1 求和，结合格栋公式 得 壶警巷等一2 瑁。+ i 露- 2 ) 嚣州口鹕孵】 11 ，一1 1 ，一l 2 i 壶蚤q ( e p ) 霹q 等 一2 壶薹c f ( e p ) 霹_ 1 舒 + ( 矿，o ( 4 1 8 ) 又由不等式( 口一6 ) 位2 ；( n 2 6 2 ) ，可得 蓦( 等一瑁。) 器 ；匿( 种 一警( 曜。1 ) 2 翻= ；卜一警( 瑁一) 2 _ = l 二l t 赢l = l zl i = li 董簖一塌也) 嚣危；f 警( 毋) z 一萎( 露以) z 毳1 ：；f ( p ，p ) 一窆( 露q ) z 危1 l b l i = l j zl l - 1 i 由上述不等式、假设( 2 ) 以及p ：( p f 一1 ) + ( 硪”一窍_ 2 ) + 震”一2 ，不等式( 4 1 8 ) 可转化为 冀 f l ， ；【( “、”) 一q ( 硪? 一1 ) 2 捌+ a 。| l 颤善“i | 2 ；蓦q ( 瑁一愿- 2 ) ( 尊一瑁。) + 丢蓦q ( 瑶一曙屯) 2 。+ ；萎q ( 瑁一t ) 。 一；董白( 瑁以) 。 士i = 1 鼍i = l 1j 一1 f l + 去c l ( e p ) 霉- 2 尊 一2 q ( e p ) 霹_ 1 货 + ( e 8 ，p ) t ；芝q ( 瑁一碍。2 ) ：九+ 寻基c i ( 嚣一碾一t ) 。危 鼍t ；l 吐i = 1 + 寻基q ( 瑁一，) 。h 一；警q ( 塌以) 。 q = 1 吐i = 1 + ；譬c i ( e p ) 露一2 嚣 一2 笙c i ( e p ) 四一1 等危+ ( 酽，p ) ( 4 1 9 ) 由3 1 中的结论有 美q ( 露。) 2 危( 掣一，r 1 ) + m 酬抖刮瞰”2 + m 钏妒一旷 以同样的方法，可证得 基臼( p 嚣一2 ) 2 ( 妒一，n 一2 ) + m t ( t + e ) | | 如f n 一2 1 1 2 + m o n 一2 1 1 2 萎q ( 尸嚣一- 一p 嚣一2 ) 2 ( c ( n 一，一f n 一2 ) ，”一- 一f n 一2 ) + m i ( t + e ) ( i l 如r 一1 lj 2 + i i 如”一2 1 1 2 ) + m t ( | | p 一1 | | 2 + l | ”一2 1 1 2 ) 基g ( 等一尸嚣一1 ) 2 ( 。( n 一n 一) ，f n f n 一1 ) t = 1 + 且彳t ( t + e ) ( i l 如f ”1 1 2 + l 陋i “一1 | | 2 ) + ，( i 瞎”1 1 2 + l | “一1 1 1 2 ) 再由3 1 牟的结论有 善q ( e p ) 霹。等 m 2 l i u ”1 l 舭* l 妒| i m ( 1 i 乱”1 l i 知z ，一 4 + | | 引1 2 ) t 宅q ( e p ) 霹2 等 m 2 t f u n 一2 f f 。| | nj lsm ( 1 阻n 一2 i l 形。 4 + j j f n l l 2 ) t 寝2 ：多步特征差分格式计算所得最大绝对误差 t 蜀 1 0 一21 0 - 26 5 7 0 1x1 0 5 1 0 一21 0 34 2 1 7 l 1 0 7 l o 一3均一34 。0 4 9 2 王o 一彳 1 0 31 0 一44 0 5 1 4 1 0 9 进一步绘斑五= l o ，t 一1 0 一4 时，和用格式( 4 1 。3 ) 计算得出的近似解与精 确解的比较图，如圈2 所示t 掰2 ：多步特征差分格式近似解与精确解比较情形 由匿2 可以着出，瘦孀保形多步特征差分方法迸行计算，可以 基好的保持 函数的单调性，当函数形状发生突变时，亦不会发生数值震荡，拟和效果楣当 妊 4 2 一维菲线1 生阋嚣 本节将上节的理论推广，考虑区域q 上的一维菲线性对流扩散方程 fc ( 彤) 象+ 6 0 ， ) 赛一鑫( 口 ，u ) 爨) = ， ，t ，戗) ，v 0 ，t ) q ( o ，明 髓( 。，t ) = o ，v ( 髫，t ) p q f o ，羽 【u ( z ，o ) = u o ( z ) ，v 茹q ( 4 。2 1 ) 菇中q 一陋，捌，且n ( 墨“) 远小予6 ( z ，“) 和c ( 茹) 假设方程( 4 2 1 ) 的解存在 且唯一，盈系数c ( 茁) 、b ( 譬，妨、口( 茁，缸) 与初始条件瑚满足以下条件； ( 1 ) f l t 幻i i 工* ( n ) ，l ，l l t 上0 上* ( o ，丁；工* ( n ) ) k j ( 2 ) 对予v ( 茹，加qx 【一2 k b 2 j q l ，有 0 o ( 3 ) b ( 。，p ) 、口( z ，奶关于p 的一阶导数均有界，并盖，扛，e ，妨关予p 卜2 研，2 甄】啦s c 诧。连续 其审j q 、恐、褊、c l 、c 2 与的均为难常数， 4 2 1 多步特征差分格式的建立 令妒( ，缸) 一妒 ) + 畎。，钍) 挎与莽子茹) 镑6 ( 茁，牡) 整福伴豹特征 方向为r 一( 器，嵩) m 的方向导黼 0 c ( 。)8 6 ( 茹，髓) 毋 a r 矽( 。，u ) a t 矽( z ，让) a z 于是方程( 4 2 1 ) 霹化为 f 妒( 茁，札) 筹一岳0 ，珏) 整) 十，( 。，钍) v ( 搿，t ) q ( o ，司 链( z ，) = o ，v ( 茹，t ) 艿qx o ，列 ( 4 2 2 ) l 钍( 茹，o ) = 珏。( o ) ，、f 2 5 1 。 令n 表示区域n 的网格刮分，甄表示区间q 的总长度令 = 争为 空阔步长，= 丢为时闻步长，如= n ( 扎= o ，i ：，) 则方程( 4 2 1 ) 中 记铲1 ) 一鼍( 瓦”一1 ) ，铲一2 ) = u ，k 一2 ) 则方程( 4 2 1 ) 在( 戤，如) 处可离散为 龟遂号握一磊( 旗蝴训茹捌) + 簟 ( 4 - 2 6 ) 其中鸳为截断误差，由4 1 中的结论，有 2s m 扎勘n 舻铡锐司 以下作收敛性分析令舒= 婶一叼，则( 4 2 6 ) 一( 4 2 3 ) 得误差方程 fc i 嚣2 喾一岛( a 联) ：【，( 护，“? ) 一，( 俨，卵一1 ) j + ( 磊( 。一a ) 岛 ) 列+ 2 臼掣一；q 譬+ e ( 4 2 7 ) l 茹= o ，舒= o 。 又露一：= 霹一霹一! = 蠢? 一黝“一1 涵) = ( e p ) 霹一1 + 蹭， 磊一2 ：磊? 一2 一孑? 一2 ：矗? 一2 一p 砌n z ( 磊) ：( 曰一p ) 磊? 一l + ；毒一2 ， 2 一u i2 地一，砌【戤j = 【d 一，j u t+ ，6， 其枣e 为慑等算予， p 为三次珏e r l i l i t e 缳形捶僮算子，粼( 4 2 7 ) 式可化为 q 整霉掣喇舷) 。z 、z 、， = 。，( 鼢，如，锃? ) 一，( 魏，露o ) 1 + f ( 如( o a ) 以a 翼 + 2 q 掣一；q 孥 + i q 譬一2 龟垦掣十。? 上式两边同乘以器 ，并关于i 从l 到j 二1 求和，结合格林公式得 击薹q ( ；g _ 2 p + 窘励叫w 删 一( ( ，( z ，k ，u n ) 一，( z ，如、j n 一，) ) ，”) + ( ( 血a ) 岛n ，如毒n 】 + ( 2 c 掣鬈卜( ；e 与鲨鬈母n 善t ) + ；壶蓦q ( e p ) 霹。2 等 一2 壶美q 怛一p ) 霹- 1 管 ( 4 2 8 ) 令( p ，p ) = ( ( ，( z ，铲) 一，( z ，k ，俨- 1 ) ) ，p ) + ( 9 一 ) 如p ，如p 】 伸c 等一c ；c 号# 则不等式【4 2 8 ) 司覆不为 击蓦q ( 一2 蹭。+ 三磺m 叫w 删 1 1 j 一1 一。 1 j l = ( p ，”) + 壶壶蚤q ( e p ) 霹- 2 器 一2 壶蚤c i 一p ) 面? q 嚣 + ( e “，p ) ( 4 2 9 ) 则由4 1 中的结论，不等式( 4 2 9 ) 可转化为 ； ( “，p ) 一( “_ 。，p 一1 ) + n o i | 如p l | 2 t i ( ( 掣一n 一：) ，毒n 一n 一。) + i ( ( “一”1 ) ，p f ”1 ) + 彖( ”1 ，”1 ) 一( ”2 ，”2 ) 】+ ( p ，p ) + i 彳t ( t + ) ( i l 如p j 2 + i j 如”一1 1 1 2 + l i 如p 一20 2 ) + m t ( | j p i l 2 + | | f “一1 1 1 2 + i 悖”一2 | 1 2 ) 俩妒- 1 i 川扩2 慨出4 蚪m ( 陋刈轧徊拙3 钏锐出卜 上式两边，关于他求和，有 ( ”，p ) + 0 0 l i 岛p j l 2 t ( 1 ，1 ) + ；( ”1 ，p - 1 ) ”l = i u + ；妻( c ( f m 一m 一，) ，m 一? t 一1 ) + ：壹( f m ，m ) + m 量i i m i l 。t + m l l 如f “l f 2 t + m 九4 t ，0 札l l 恐。) ( 。，盎) m = im = l + m 舢呲吲舻4 蚪心4 硎戮砒 ( 4 2 1 0 ) 为了估计不等式( 4 2 1 0 ) 右端第三项，我们首先假设 畏筠i 咿i 2 k ( 42 1 1 ) 3 8 显然，当m2o 时，( 4 - 2 1 1 ) 成立f 。面我们证明，如果当m 他一l 时( 4 2 - 1 1 ) 成立，则粤= 仃一1 至时，( 4 2 1 1 ) 依然成立 首先，将方程( 4 2 7 ) 两端同乘以( 嚣一管一1 ) 地，且从i = 1 到，一1 累 加，结合格林公式得： ；葛c f ( 嚣一p 嚣一1 ) 。 + 吾( a n 岛p ，如p 】t j 昙( a n 如p ，如f n 一，】t = l z 。 ；笺q ( 瑶一宵- 2 ) ( 嚣廿协薯警郴- p ) 矿2 ( 嚣寸t ) 一3 丕c i ( e p ) 霹_ 1 ( 嚣一嚣_ 1 ) 忽+ ( e “，p 一”1 ) t + ( p ，p p 一1 ) s i 警q ( p 器一p = 嚣- 2 ) z + ；蔓q ( 等一嚣一t ) 。h + ；芝q ( e p ) 嚣一。( 等一等一z ) t = l吐t = 1 qi = 1 。 一 一3 三q ( e 一尸) 面? 一1 ( 等一嚣一1 ) + ( e “，”一p 一1 ) t + ( p ，“一“一1 ) ( 4 2 1 2 ) 又因为 q ( 等一尸鲁一1 ) 2 s ( c ( ”一毒”一1 ) ，“一“一1 ) + m t ( t + e ) ( i l 如p 0 2 + i i 如”一11 1 2 ) + m ( f “1 1 2 + l l p 一1 1 1 2 ) c l ( 嚣一一盼一1 ) 2 m t ( z + ) 0 如f ”1j 1 2 + m 圳p 一1 f 1 2 于是不等式( 4 2 1 2 ) 转化为 ；( c ( p 一”1 ) ，p p _ 1 ) + ；( a “畦“，如f ”】一；( 4 ”一1 如p ，如p 1 t 扣一，2 ) ，一) + 孔一p 。汾一p q ) + m ( t + e ) ( 1 l 如礼1 1 1 2 + l i 砖p 一2 1 1 2 ) + m t ( i | p i l 2 + l l p 一1 1 1 2 + l p 一2 1 1 2 ) 懒肛州慨蚓妒1 妒蚪叶叫臣吲啊n 甜铡毹出卜 + ：( ( 4 ，。一a n 一1 ) 砖n 一：矗一1 t + ( f n 、p p 一1 ) z ( c ( f ”一1 一p 一2 ) ，”一1 一f ”一2 ) + 4 t ( + ) ( 1 i 矗p r l i | 2 + i i 如专”一2 i f 2 ) + m t ( i i p 一10 2 + i 障”一2 1 1 2 ) 俩妒1 胁川扩2 渺斟m ( 乳水一酣钏瓤出) t + ；( ( a ”一a ”1 ) 如专”1 ，如”1 】t + ( p ，p p - 1 ) t( 4 2 1 3 ) 由假设( 3 ) 及假设( 4 2 1 1 ) ，有 a 嚣一a ? - 1 l m ( 对于任意ms 钆一l ，k = 1 ，2 ) 上式两边，关于他求和，并取g 适当小，则当砒充分小时，有 壹( c ( p p 一) ，一，一，) m 妻j i m l i 。件m 4 t 妻i 乙。) ( 胪一 + m 塞舻幢蜊 4 m 时硎雾睡以+ m 圭f ，p p 、1 池 ( 4 2 1 4 ) 由( 4 2 1 4 ) ，不等式( 4 2 1 0 ) 可转化为 ( ”，p ) + 如j l 如p l l 2 t ( 1 ，毒1 ) + 去( ”1 ，p - 1 ) + m i 嗜”f f 2 t + m 9 如p i l 2 t + m ( f ”，