（通信与信息系统专业论文）低密度码cpm联合调制技术研究.pdf

于两要 c p m 调制是有记忆的恒包络调制方式，对功放的非线性特性不敏感；连续 相位使带外辐射减小，具有较高的带宽效率：且c p m 本身具有一定的编码增 益，拥有较高的功率效率；采用高阶c p m 调制可以提高传信率。码字很长的二 进制l d p c 码已被证明拥有逼近香农限的良好性能；而对于中等码长，可以通过 设计定义在高阶g f ( q ) 上的l d p c 码来提高误码性能。本文研究了多进制l d p c 码与高阶c p m 调制相结合的串行级联系统。 但是在具体实现时，高阶c p m 调制的解调以及多进制l d p c 码的构造和译 码都面临复杂度上的挑战。针对这一问题，本文给出了相应的解决方案。在构造 多进制l d p c 码的校验矩阵时，使用一种新的方法来计算泰纳图的最小环长，有 效的降低了计算复杂度，改进了二次置换多项式构造准循环l d p c 码的算法。且 多进制l d p c 码的译码采用傅立叶快速算法。同时，为降低高阶c p m 解调的复 杂度，采用了最小均方误差下c p m 的p a m 分解模型；基于该模型简化了c p m 的匹配滤波器，并给出似然概率的计算方法，及c p m 的软输入软输出解调器， 实现了c p m 解调与l d p c 之间的迭代译码。 关键词：多进制l d p c 码高阶连续相位调制串行级联迭代译码 c p m 的p a m 分解 a b s t r a c t t h es e r i a lc o n c a t e n a t e ds y s t e mo fn o n - b i n a r yl d p cc o d e so v e rg f ( q ) a n dm a r y c p mm o d u l a t i o ni ss t u d i e di n t h i sp a p e r c p mi sam e m o r ym o d u l a t i o ns c h e m ew i t h t h e a d v a n t a g e so fc o n s t a n ts i g n a le n v e l o p e a n de x c e l l e n tp o w e ra n db a n d w i d t h e f f i c i e n c y l d p cc o d e sh a v eb e e ns h o w nt oa p p r o a c hs h a n n o nl i m i tp e r f o r m a n c ef o rb i n a r y l d p cw i t hl o n gc o d el e n g t h ，o nt h eo t h e rh a n d ，f o rm o d e r a t ec o d el e n g t h s ，t h ee r r o r p e r f o r m a n c ec a nb ei m p r o v e db yi n c r e a s i n gq w h i c hn o n - b i n a r yl d p ci sd e s i g n e d o v e rg f ( q ) d e r i v e df r o ms u c ha d v a n t a g e s ，t h es e r i a lc o n c a t e n a t i o n ，w i t l lj o i n ti t e r a t i v e d e c o d i n gb e t w e e nt h ec p md e t e c t o ra n dl d p cd e c o d e r , i sd e s i g n e dt oa c h i e v eg o o d p e r f o r m a n c eo v e ra w g n o rf a d i n gc h a n n e l t h ec o n s t r u c t i o n ，d e c o d i n go fn o n b i n a r yl d p cc o d e sa n dt h ed e t e c t i o no fh i g h o r d e rc p mm o d u l a t i o nf a c et h ec h a l l e n g eo fc o m p l e x i t y i no r d e rt os i m p l i f y ，af a s t a l g o r i t h m ，w h i c hi sa p p l i e dt oq u a d r a t i cp e r m u t a t i o np o l y n o m i a l s ( q p p ) c o n s t r u c t i o n ，i s p r o p o s e dt oc o m p u t et h eg i m lo ft a n n e rg r a p ho fl d p c q u a s i c - r e g u l a rn o n b i n a r y l d p cc o n s t r u c t i o n ，w h i c hc a nb ei m p l e m e n t e ds i m p l yo nh a r d w a r e ，i sa l s oi n v e s t i g a t e d t h ef f tb pa l g o r i t h mi su s e dt od e c o d i n gt h en o n b i n a r yl d p c h u a n ga n dl i sp a m a p p r o x i m a t ed e c o m p o s i t i o no fc p mu n d e rm m s e i su s e dt os i m p l i f yt h em a t c hf i l t e r a n dd e t e c t i o r as o f t i ns o f t - o u td e t e c t i o no fc p mi sd e s i g n e di no r d e rt oi m p l e m e n tt h e i t e r a t i v ed e c o d i n g ，a sw e l la sa na l g o r i t h mt oa p p r o x i m a t et h el i k e l yp r o b a b i l i t y k e y w o r d s ：n o n - b i n a r yl d p ch i g h - - o r d e rc p m m o d u l a t i o n s e r i a lc o n c a t e n a t i o nl t e r a t i v ed e c o d i n gp a m a p p r o x i m a t ed e c o m p o s i t i o n 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学分和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果：也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：釜蓥盗 日期2 口彬厂一 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再攥写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在 年解密后适用本授权书。 本人签名：签蔓堕 刷稚轹懈 黾辍协喝f 匿 日期p o2 ，r 第一章绪论 第一章绪论弟一早三百t 匕 1 1 信道编码及高效调制技术的发展现状 从通信的诞生开始，就一直有两个关键的命题与之相随，那就是可靠性和有 效性。针对这两个问题，人们一直在探索，寻找更好的通信方案，其中编码和调 制是主要的考察对象。 1 9 4 8 年香农提出，对于任何传输速率小于或等于信道容量的情况，必然存在 着一种编码方案，可以达到任意小的差错概率。这是编码调制领域的指路石，成 为日后该领域发展的目标。香农理论证明的基础就是，如果我们采用任意长的随 机码字，它的平均差错概率就会很小。在人们寻找逼近香农限的编码和调制方案 的道路上，有几个重要的里程碑 1 3 ： ( 1 ) 一开始研究的重点是编码，基于代数、几何的分组码，基于网格结构的 卷积码，以及相关的码距分析、重量分析等都得到了极大的发展，所有研究的目 标都集中到寻找任意长的随机码来逼近香农限，以及如何降低长码的复杂度。直 到工程师将调制也作为了编码的一部分，即不再是由解调器首先对调制器输入符 号做出最佳判决，然后将此硬判决结果送给译码器，译码器再对编码器输入消息 做一个最佳判决，以纠正解调器可能发生的错误判决；取而代之的是，解调器送 给译码器一个关于“不同调制器输入符号可能性”的似然信息序列，或未量化的 输出，让译码器将这些信息与编码信息综合在一起做出判决，则系统性能得到较 大提高。在这里诞生了“软信息”、“软输入，及“软判决。 关于软判决译码算法，主要分为两类一类是使符号错误概率最小的逐比特 软判决译码算法，如b c j r 的前向后向最大后验概率( m a p ) 译码算法 2 和l e e 的 前向m a p 算法等。另一类是使码字错误概率最小的最佳序列软判决译码方法， 如广义最小距离算法和v h e r b i 译码算法等。b c j r 算法基于码的格图( t r e l l i s ) 进行 译码，适用于任何线性分组码和卷积码，但由于计算较复杂，当时并未引起注 意。直到t u r b o 码的出现，才赋予它新的活力。 ( 2 ) “软输出 的引入，使普通编码的性能都得到很大改善，但是将这种思 路推广到级联码时，出现了新问题，那就是内码译码器的输出为硬判决结果，使 得外译码器不能采用软判决译码技术，从而限制了系统性能的进一步提高。从信 息论的角度来看，内码译码器的硬判决输出损失了部分信息，如果内码译码器能 提供一个反映其输出可靠性的软输出，则外译码器也采用软判决译码，从而系统 的性能可以得到进一步提高。为此，人们又提出了“软输出译码的概念和方 法。 2低密度码c p m 联合调制技术 软输出译码算法主要有s y m b 0 1 b y - s y m b o lm a p 类算法和修正v a 类算法， 如s o v a 3 等。以上这些译码方案的复杂性相对于m l d a 来说是减小了，但这 是以系统性能的适当降低为代价的，没有充分发掘出信道编码理论的潜力。随着 t u r b o 码的问世 4 ，迭代译码的概念引起了人们的高度重视，并得到了广泛的应 用。 目前编码领域较为活跃的研究方向有：以t u r b o 码为代表的级联码，类 t u r b o 码的研究；以t c m 为代表的，针对带限信道的编码调制联合考虑方案，如 b c m ，8 p s k t c m 等；以l d p c 码为代表的分组码，低密度性使译码比t u r b o 简 单的多，且性能与香农限的差距相差仅0 0 0 4 5 d b ，成为一种很有吸引力的编码， 相关的还有p a 码，i r a 码等；以及与t u r b o 码并行级联相对应的各种编码的串 行级联，如s c c c 。 在调制方面，在传统的q p s k ，q a m 的基础上还发展了： 偏移q p s k ( o q p s k ) ，即同相与正交符号被延迟半个脉冲周期，从而任何时 候的相位变化被限制为x 2 ；相位约束使o q p s k 的峰值均比( p a p r ) 小于b p s k 。 采用矩形与平方根升余弦( s r r c ) 脉冲成形技术o q p s k 是当前的研究重点。 f q p s k ，是由f e b e 提出的改进型o f q p s k ，通过在同相与正交支路之间引 入互相关和采用特定的信号波形，其包络近似于恒定包络。f q p s k 调制器可以看 作是一个1 6 状态的t c m 编码调制器。 此外，还有两大研究热点，一是以宽带调制闻名的o f d m 调制，虽然该调制 在实际中得到了广泛的应用，但o f d m 仍然存在峰均比的问题；另一个就是恒包 络调制，如c p m ，m p s k 等，由于恒包络对功放的非线性不敏感，所以在远距离 通信中有很大优势。 1 2l d p c 码与c p m 调制的研究现状 l d p c 码，又称低密度奇偶校验码，是分组码的一类，由g a l l a g e r 于1 9 6 2 年 提出 2 5 ，当时并未被人们注意，直到m a c k a y 等发现这种码具有逼近香农限的 良好性能 2 6 ，甚至超过了当时很热的t u r b o 码，才引起人们的重视，成为了当 今编码界的一大研究热点。 由于u ) p c 码的校验矩阵很稀疏，所以译码复杂度低，且可实现并行译码， 译码时延小，采用迭代译码具有好的误码性能。g a l l a g e r 最早提出的是规则码， 之后m a c k a y 等将其推广到了非规则的情况。在g a l l a g e r 、m a c k a y 等给出的简单 构造l d p c 码的基础上，产生了很多新的构造方法，如基于欧氏几何、射影几 何、光正交码、均衡不完全区组、及组合重叠等各种构造方法 3 9 】。t a n n e r 提出 了用图来分析l d p c 码，使l d p c 码的研究更加方便 3 8 ，根据t a n n e r 的分析可 知，当采用基于独立假设的迭代译码时，好的l d p c 码要求，环尽可能得长，因 第一章绪论 此诞生了许多让l d p c 码的环更长的构造方法，具有代表的是p e g 算法 3 0 。同 时，编码也是不容忽视的问题，一般构造出来的l d p c 码的校验矩阵不具有系统 码的结构，不能直接编码，由于循环码的编码简单 3 6 ，所以循环或准循环 l d p c 码也是研究热点，如q c q p p 等构造法 3 5 3 4 的研究。对于非循环码除了 高斯消元法外，还可采用通用的编码方法 4 0 1 。 更重要的发展是，m a c k a y 等将l d p c 码推广到了非二元的情形，且发现非二 元化可以使中短码长的性能得到很大提高，从而开辟了l d p c 码研究的新篇章。 且f f t 的引入成功地解决了非二元码的复杂度问题。 总之，对l d p c 码的研究，主要包括构造、编码和译码方法的发现和改进， 研究的目标就是：如何能够以最低的复杂度，实现编、译码，并取得良好的误码 性能。其中循环、准循环结构、f f t 快速迭代译码、非规则、非二元的l d p c 码 等均是现在的研究热点。本文主要针对具有准循环结构的非二元规则l d p c 码的 构造、编码，以及采用f f t 后的b p 迭代译码算法进行了研究。 在连续相位调制( c p m ) 方面，主要是该调制具有恒包络、较高的带宽和功 率利用率的特点 8 , 9 ，1 0 。对于恒包络信号，更容易设计大功率的前端功放；同 时，相位连续使其带外辐射较小，产生的邻道干扰也较小，从而使c p m 在移动 通信、短波通信、卫星通信和遥测中得到广泛应用。 虽然c p m 信号具有很多优点，但随着脉冲响应的平滑，调制信号集的增加 以及调制指数的减小，其解调和检测的复杂度呈指数增长，因而寻找降低复杂 度、可工程实现的检测方法，成为c p m 应用的关键问题。【1 1 中r i m o l d i 提到的 倾斜相位减少了相位状态，更为重要的是c p m 分解为连续相位编码器( c p e ) 矛t t 无 记忆调制器( m m ) 的模型，基于这个模型进行了c p m 信号分析、接收机简化、码 元同步、以及参数估计等研究1 2 1 5 。h u b e r 和l i u 采用了信号空间维数简化的 方法 1 2 ，m o q v i s t 和a u l i n 对匹配滤波器进行了简化 1 5 ，但是这些简化方法都 和部分响应长度有关，仍然存在一定的复杂度。与r i m o l d i 分解模型相对， l a u r e n t 对二进制、非整数调制指数的c p m 提出了p a m 分解模型 1 6 】，h u a n g 和 “将c p m 的p a m 分解推广到了多进制和整数调制指数的情况 1 8 】，并分析了 l a u r e n t 分解模型的不足，提出了在最小均方误差下的p a m 分解，应用交换线性 调制模型简化了c p m 的解调器 1 9 2 0 ，从而使接收机与部分响应的长度无关。 本文基于h u a n g 和l i 的简化模型，进一步提出了软输入软输出的c p m 解调器， 以适应串行级联迭代译码。 1 3 有关l d p c c p m 的串行级联系统的发展 本文受到由普通卷积码构成的串行系统的启发，具有代表性的是s c c c 5 ， 框图如下： 4 低密度码c p m 联合调制技术 图1 - 1s c c c 框图 研究与l d p c 编码和c p m 调制相关的串行级联系统，目前这方面的研究有 以下几方面的： ( 1 ) 将q 进制的l d p c 码与q 进制q a m 的调制相结合 3 2 竺竺兰竺!剧_8jg旧f叫16蝤)4km峭ms t a r jj k 钧蝴 瑚绚谗 - 州够g f 懈鳓 一r 嘲，4 一一 l d p co v e rg f ( 1 6 ) e n c o d e r 蠢m 喇鼬 o v e r 错o 励 图1 2l d p c ( 1 6 ) 与1 6 进制q a m 相结合的框图 ( 2 ) 将卷积码与q 进制c p m 结合，且采用串行级联迭代译码 6 1 鼬蝴h 图1 3 卷积码与q 进制c p m 串行级联框图 ( 3 ) 将q 进制的l d p c 码与q 进制的调制中间加了交织器进行串行级联，但没 有采用迭代译码 3 3 图1 4q 进制的l d p c 码与q 进制的调制串行级联框图 第一章绪论 本文就是基于以上的研究，采用性能良好的l d p c 码与恒包络的c p m 调制 进行串行级联，且均采用多进制以提高传信率和性能，并使用串行级联迭代译 码，以提供一种更为可靠的适合远距离通信的方案。 1 4 本文内容安排 本文主要研究多进制l d p c 码与多迸制c p m 的串行级联系统。 在第二章中，介绍了l d p c 码的定义、分类、构造、编码和译码，其中着重 介绍了多进制规则准循环l d p c 的两种构造方法q c 、q p p 构造法及编译码算 法；并介绍了c p m 调制的原理、特点，r i m o l d i 分解模型，及基于该模型的解调 算法。 在第三章中，研究了多进制准循环规则l d p c 码构造的改进，提出一种新的 最小环长计算方法提高q p p 的搜索效率，并给出了q c 与改进后的q p p 相结合后 的构造算法；同时也研究了c p m 的p a m 分解模型，及基于该模型的两种解调算 法。 最后在第四章中给出相应的仿真，并验证说明本文的研究。 第二章l d p c 码与连续相位调$ 1 j ( c p m ) 第二章l d p c 码与连续相位i 周$ j ( c p m ) 本章主要阐述多进制l d p c 的两种构造方法、编码和f f t 译码算法；连续相 位调制( c p m ) 的原理，r i m o l d i 分解模型及相应的调制、解调算法，并进一步分析 这些算法存在的问题。 2 1l d p c 码简介 l d p c ( l o wd e n s i t yp a r i t y - c h e c kc o d e ) 码由美国的g a l l a g e r 教授于19 6 2 年提 出，后来英国的m a c k a y 教授等人在1 9 9 6 年再发现l d p c 码后，才轰动编码 界，成为自信息论提出以来最重大的研究进展之一。理论研究表明：1 2 码率， 码字很长的l d p c 码在b p s k 调制下的性能，距信息论中的s h a n n o n 限仅差 0 0 0 4 5d b ，是目前最逼近s h a n n o n 限的纠错码 2 9 。对于中等码长，可以通过设 计定义在更高阶的g f ( q ) 上的l d p c 码来提高误码性能，所以自从m a c k a y 等人将 二元l d p c 码推广到q 元时，q 元l d p c 码成为活跃的研究领域。 为了便于阐述，首先概括性的介绍一下l d p c 码，并介绍一些重要的定义。 2 1 1l d p c 码的定义 l d p c 码是一种线性分组码，由它的校验矩阵来定义，设码长为n ，信息位 为k ，校验位为1 1 1 - - - - - - 1 1 一k ，码率为r = k n ，则码的校验矩阵h 是一个m n 的矩阵。 定义2 1 1 7 】l d p c 码定义为具有如下结构特性的奇偶校验矩阵h 的零空 间： ( 1 ) 每一行含有p 个l ； ( 2 ) 每一列含有y 个l ； ( 3 ) 任何两列( 或两行) 之间位置相同的1 的个数( 以九表示) 不大于1 ，即持0 或扣1 ； ( 4 ) 与码长和h 的行数相比，丫和p 都比较小。 满足以上四个条件的l d p c 码记为( n ， r ，p ) ，码率则为r l 吖( p 1 ) 。正确的 码字c 应满足方程h 半c r = 0 ，由于校验矩阵h 中的非零元素很少，使校验方程 相对比较简单，从而简化了译码，这就是校验矩阵h 中非零元素低密度的好处。 l d p c 码的校验矩阵h 可用一个双向的二分图( b i p a r t i t eg r a p h ) 来表示码元与 校验码元的奇偶校验和之间的关联关系，该图由t a n n e r 首次提出 3 8 ，用于研 究可迭代译码的l d p c 码的结构，因此也被称为t a n n e r 图( t a n n e rg r a p h ) 。 例如，h = 101 0 o 00 010 1 0 0o1 o101l ，对应的t a n n e r 图为 低密度码c p m 联合调制技术 图2 1t a n n a r 图 图2 1 中，圆形节点表示码字c o n ) 的信息元，称为变量节点( v a r i a b l e n o d e s ) ： v ，= 1 , 2 ，以 ，对应于校验矩阵各列；方形节点称为校验节点( c h e c k n o d e s ) ： c ，f - 1 , 2 ，m ，对应于校验矩阵的各行。h 中的每个非零元素对应于 t a n n e r 图中的一条边( e d g e ) ，并将这条边所连接的两个节点称为相邻节点。图 2 1 中所有的边组成一个集合：e k ( v ，c ，) ；日( f ，) o ，k = 1 , 2 ，n ，其中n 为边的 个数，也是h 中的非零元素的总个数。每个节点相连的边的个数，称为节点的度 ( d e g r e e ) ，每个信息节点与丫个校验节点相连，称该变量节点的度为丫，每个校验 节点与p 个信息节点相连，称该校验节点的度为p 。与此相关的还有度分布 ( d e g r e ed i s t r i b u t i o n ) 的概念，通过优化度分布来构造好码，相关的定义可参阅 7 ，2 7 ，3 0 】。此外，校验矩阵每行( 列) 中非零元素的个数称为行( 列) 重( w e i g h t ) ，行 ( y o ) 重也等于该行所对应的校验( 变量) 节点的度。 根据以上定义，在图2 1 中的变量节点为 v ，：，v ，v 。，v ； ，校验节点为 k ，岛，弓，q ) ，边为把“，c 1 ) ，吃“，c 4 ) ，岛心，c 4 ) ，巳心，q ) ，e 5 也，q ) ，e 6 心，c 4 ) ，e 7 心，q ) ，e 8 以，c 4 ) j ， 变量节点v 4 的度为2 ，校验节点c 4 的度为3 ，该l d p c 码的校验矩阵的第四行的 行重为4 ，第四列的列重为2 。 下面介绍t a n n e r 图中一个极为重要的概念，最短环长( g i r t h ) 。在t a n n e r 图 中，从某个节点出发，沿着图中的边行走，最后回到该节点所经过的边就构成了 一个环( c y c l e ) ，环中的每条边只能走一次，环中边的个数称为从该节点始发的 环长。最短环长就是在t a n n e r 图中所有的环中环长最短的环的长度。 校验矩阵的结构对l d p c 码的性能有决定性的影响，由于l d p c 码译码采用 迭代译码，其算法的推导是基于在节点间传递的信息统计独立的假设，当校验矩 阵对应的双向图中有环存在时，某一节点发出的信息经过一个环长的传递会被传 回给自己，从而造成自身信息的叠加，破坏了独立的假设，影响译码的准确性。 所以l d p c 的t a n n e r 图总是希望大环多，小环少，特别要避免环长为4 的环。 第二章l d p c 码与连续相位调常f l ( c p m ) 特别地，t a n n e r 图中存在环长为4 的环时， 1 ，我们可以通过这个性质来检测4 长的环。 露暑 u j - u su 6 o o 参 lil loo ol垂 9 则校验矩阵中相应的两行的内积大于 下面用【3 9 中的例子来说明： c 1c 2c 3c 上 u lu 2u 8u 4 u 5 u 6 u 7u 8 图2 2 环长为4 的环所对应的校验矩阵和t a n n a r 图 在图2 2 的t a n n e r 图中，虚线构成了一条环，即c l 专v 2 专c 4 专v 7 专c 1 ，环长 为4 ，相应的在校验矩阵中，第一行与第四行的内积大于1 。同理，图中还存在6 长环：c 1 专v 1 c 3 专v 4 c 2 专v 3 专c 1 ，那么这个t a n n e r 图中的最短环长g i r t h = 4 。 2 1 - 2l d p c 码的分类 根据l d p c 码校验矩阵的不同特性，我们一般这样分类： ( 1 ) 规则( r e g u l a r ) 码与非规则( i r r e g u l a r ) 码 如果校验矩阵每行( 列) 中，非零元素的个数都一样，即各个变量( 校验) 节点的 度都一样，则称这种码为规则l d p c 码； 反之，如果校验矩阵每行( 列) 中，非零元素的个数不一样，即各个变量( 校验) 节点的度不一样，则称这种码为非规则l d p c 码。 ( 2 ) 二元码( b i n a r yl d p c ) 与非二元码( n o n - b i n a r yl d p c ) 如果校验矩阵中的非零元素只有1 f ，则称为二元l d p c 码； 如果校验矩阵中的非零元素不只是1 ，还有其它的非零元素，如4 ，9 等， 如果非零元素取自整数集合 a ；1 a 目，q 2 ，则称为该码为非二元l d p c 码。 对于非二元l d p c 码需要特别注意的是：所有的加、乘运算都是定义在有限 域g f ( q ) 上的，具体关于有限域的运算可参阅 7 】。 本文主要研究非二元l d p c 码，其中q = 2 八m ，在文中也称为多进制l d p c 码。 2 2 多进制l d p c 码的构造 多进制l d p c 码的构造思路主要有两种：一种是间接构造，即先构造二元 l d p c 码，然后根据一定的准则，将二元扩展到q 元；另一种就是直接构造q 元 l d p c 码。下面介绍的准循环( q c ) 码的构造法是直接构造，二次置换多项式( q p p ) 构造法是间接构造。 一嚏曲哺 垤拼1 哪 i；匿。鼍圈 垤o 蛇溺番。国们，瞻一旧婚 1 0 低密度码c p m 联合调制技术 2 2 1 多进制准循环( q c ) l d p c 码的构造 本节主要介绍代数构造非二元准循环( q a u s i c y c l i c ) l d p c 码的方法 3 5 ，该 方法产生的码是准循环码，可以实现简单编码，且性能比同等码长和码率的r s 码( r e e d s o l o m o n ) 具有更好的误码性能。 这种方法构造具有以下结构特点的非二元准循环l d p c 码： ( 1 ) 每行的行重为p ； ( 2 ) 每列的列重为丫； ( 3 ) 任意两行( 列) 之间位置相同的非零元素的个数不大于1 ； 性质( 3 ) 决定的行列约束，使所构造的l d p c 码的最小码距为丫+ 1 ，所对应的 t a n n e r 图的最小环长的最小值为6 ，即避免了4 长环，有效的提高了码的性能。 在讲述构造方法之前，先给出一些相关的定义。 设在有限域g f ( q ) 上，构造非二元l d p c 码，且q 是某个素数的幂。设a 是 g f ( q ) 上的本原元，则 口“全0 ，口o = 1 ，口，口9 - 2 ) 构成了g f ( q ) 域上的q 个元素，且 口州= 1 ，其中的q 1 个非零元素构成了在g f ( q ) 的乘法定义下的乘法域。 对于g f ( q ) 的任何一个非零元素a ，0 f q - i ，定义一个( q 一1 ) 维的向量 z ( a ) = ( 白，毛，z 口- 2 ) ，磊= 口，k = f ；气= 0 ，k f ，0 k q - 1 ，并称向量 z ( a ) 是g f ( q ) 上口的q 元地址向量( q a r yl o c a t i o n - v e c t o ro 特别地，定义g f ( q ) 上 零元素的q 元地址向量为z ( o ) = ( 0 ，0 ，0 ) 。显然，两个不同的非零元素a ，口。所 对应的q 元地址向量z ( a ) 和z ( a j ) 也不同，且它们的非零元素分别位于不同的位 置i 和j 。 设6 是g f ( q ) & 的- - 个非零元素，那么a 艿的q 元地址向量z ( a 6 ) ，是万的q 元地址向量z ( 8 ) 乘以口的循环右移。在g f ( q ) 上构造一个( q - 1 ) x ( q - 1 ) 的矩阵 a ，它的行分别是万，a 6 ，口伸万所对应的q 元地址向量，且a 的每行( y u ) 中只有 一个非零元素。a 是一个特殊的循环矩阵，它的每一行都是它的上一行乘以口的 循环右移，第一行是最后一行乘以口的循环右移，所以称矩阵a 为q 元乘a 循环 置换矩阵( q - a r ya - m u l t i p l i e dc i r c u l a t e dp e r m u t a t i o nm a m x ) 。 下面是一个g f ( 1 6 ) 上的1 6 元乘口= 2 循环置换矩阵，万= 5 。特别注意这里的 乘法是g f ( q ) 上的乘法，如在g f ( 1 6 ) 上1 0 术2 = 7 ，1 1 宰2 = 5 。 第二章l d p c 码与连续相位调制( c p m ) 11 a = 图2 31 6 元乘口= 2 循环置换矩阵 下面介绍用有限域的加性子群( a d d i t i v es u b g r o u p ) 来构造非二元准循环l d p c 码方法。 设g = p ”，p 是一个素数，m 是一个正整数， 口“全0 ，口o = 1 ，口，口9 _ 2 ) 是 g f ( q ) 上的q 个元素。设一个正整数t 满足1 t m ，将集合s ： 口o = 1 ，口，口”1 划分为两个子集s 1 ： 口o ，口，口“ 和s 2 ： 口，口件1 ，a ”1 ，可见s 1 u s 2 = s ， s 1 n s 2 = g 。具体构造步骤如下： ( 1 ) 用s 1 、s 2 分结构造集合 g l = 屈) ，0 f p ，层= q o 口o + q ，1 a 1 + q f - 1 口卜1 ； g 2 = 五) ，0 i p “， 丑= c f ，口+ q 件1 口件1 + c i 朋1 a “； q t g f ( p ) ，0 七 ，l - 1 ，显然，g 1ng 2 = g 。 ( 2 ) 构造p ”x p 的矩阵w w f ， ，w ，= 五十岛，( 定义在g f ( q ) 上的加法) ( 3 ) 将心，按照如下方法扩展为( q - 1 ) x ( q - 1 ) 的矩阵4 ： a ( q 1 ) 维纵向扩展( ( q - 1 ) - f o l dv e r t i c a le x p a n s i o n ) fw ， 叫a ? l 口非w ， ( 2 - 1 ) 由元素w ，依次乘以，口，a , q - 2 ，得到4 ，j 的行，l l t 时a , ，的维数是臼- 1 ) 1 ； b ( q - 1 ) 维横向扩展( ( q 一1 ) 一f o l dh o r i z o ne x p a n s i o n ) 将完成纵向扩展的a i 。( ( q - 1 ) x 1 ) 的每行的元素，用它所对应的q 元地址向 量代替，显然此时的a i ，j ( q - 1 ) x ( q - 1 ) 是一个q 元乘口循环置换矩阵； ( 4 ) 最后形成矩阵 o o o o 0 o 9 o o o o o o o o o o 0 o o b o o o o o o o o o o 0 0 o ：2 0 o o o o o o o o o o o o o o o 0 o o o o o o o o o 7 o o o o o o o o o o o o o m o o o o o o o 0 o o o o 0 5 0 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 他o o o o 0 o o o o o o o o 6 o o o o o o o o o o o o o 3 o o o o o o o o o o o 0 o 8 o o o o o 0 o o o o o o o 4 o o o o o o 0 o o o 0 o o 2 o o o o 0 o d d d d d o o l 0 o o o o o o 1 2低密度码c p m 联合调制技术 h q c 。1 ： 4 o4 ， 4 一。 4 ，o4 ，1 a l 。一_ l ： ： 4 一_ 1 04 一- 1 1 1 以一_ l ，一。 ( 2 - 2 ) 其中，4 ，。是零矩阵，其它的4 ，矩阵都是q 元乘口循环置换矩阵，且4 ，的 行重和列重均为i 。 所以矩阵日口“的列重为= 【p p m - - t ，n 1 g l j q p ，行重为风= p t _ lg l j 6 ， 最小码距d m i 。7 ，十1 ，码长咒2p ( q - 1 ) ，码率r p 厂- y 。 虽然这种方法所构造的l d p c 码具有以上多种优点，但是它要求码长n 、编 码维数n - k 都能被( q 1 ) 整除，这就限制了编码的灵活性，且不利于构造短码。 2 2 2 二次置换多项式( q p p ) 构造规则l d p c 码 本节主要介绍使用基于有限整数环( f i n i t ei n t e g e rr i n g s ) 的二次置换多项式 f q u a d r a t i cp e r m u t a t i o np o l y n o m i a l ) 来构造l d p c 码校验矩阵的方法 3 4 ，该方法所 构造l d p c 码也是准循环码。 设g 是一个度为，p ) 规则l d p c 码的二分图。g 包含n 个变量节点 v ，j = o ，1 ，咒一1 ，每个变量节点的度为九；丫个校验节点 c ，净o ，1 ，y 一1 ，每 个校验节点的度为p 。图中共包含n - - n 矸p 条边，即k ，k = o ，1 ，一1 j 。对于 任一条边e 。( 0 k n ) ，都有一个左坐标( l e f t 1 a b e l ) k ，和右坐标( r i g h t - l a b , 1 ) f ( k ) ，其中厂( ) 是 0 ，l ，一1 ) 的一个置换函数，也就是将这n 个数重排列， 等效于一个交织器。n n j z n 果任一条边e j , 0 j n 的右坐标为j ，则左坐标为 第二章l d p c 码与连续相位调带i ( c p m ) 1 3 k = f - 1 ( ) = g ( j ) ，其中g ( ) 是置换函数厂( ) 的逆函数。对于任一个变量节点 v 。，0 m n ，与九条边相连，这些边的左坐标在集合 九= 切旯，m 2 + 1 ，m 兄+ ( 五- 1 ) ) 中；任一校验节点c r n , 0 m y ，与p 条边相连， 这些边的右坐标在集合p 。= m p ，卵+ 1 ，叩+ ( p - 1 ) 中。这样一个度为( 旯，p ) 规 则l d p c 码的二分图g ，通过置换函数厂( ) 被唯一的定义了。 下面研究当厂( ) 是一个在有限整数环上的二次置换多项式时的构造方法。 在讲述具体的构造方法之前，首先讲述几个定理 3 4 ： 定理2 1设素数( p r i m e s ) 集合p = 扫2 = 2 ，p 3 = 3 ，p 5 = 5 ，) ，n 可被分解为 = 兀硌尸b 似。，其中p i 是不同的素数，当i 是有限数时，t i n , i 1 ，否则， ，l = 0 。要使二次多项式f ( x ) = a x + 厶x 2 ( m o d n ) 成为一个置换多项式的充分 必要条件是： 1 ) 如果n 不能被2 整除，或n 能被4 整除( 如，”川1 ) g o d ( f , ，n ) = 1 且厶= 兀p j e 尸p f ”倒，n j 1 ，v i 使得n ，f 1 ； 2 ) 如果n 能被2 整除，且n 不能被4 整除( 如，l m = 1 ) z + 以是奇数，g c d ( z ，等) = 1 且以= 兀胙尸p ，”，z 倒1 ，v i 使得p f 2 且 n 眦1 。其中g c d 是指最大公约数。 定理2 2由f ( x ) = z 石+ f 2 x 2 和厂。( 工) = m p + z 工+ a x 2 产生的t a n n e r 图是同构 ( i s o m o r p h i cg r a p h s ) ，其中m 是任意的一个整数。 定理2 3 由f ( x ) = z 工+ 以x 2 和厂( z ) = ( z + 2 m 畋) 工+ 厶x 2 产生的t a n n e r 图是 同构图，其中m 是任意的一个整数，a = l c m ( p ，柚，l e n a 是指最小公倍数。 定理2 4设“：g c d ，加，那么边的左坐标集合谚： 彬+ 丛，f + 一2 n ，歹+ 螋 ， l u u “ j 0 f 旦，形成了其所对应的右坐标不同的情形下的一个等价类( e q u i v a l e n c e u c l a s s ) 。 定理2 5 设污l c m ( n u ，九) 五，那么变量节点的集合t v f ，v i “，v f +