（应用数学专业论文）c半群的性质及其应用.pdf

g 半群的性质及其应用 应用数学专业 研究生强静仁指导教师李淼 本文的主要工作分为两部分： 对g 半群属于某一类积分算子理想给出了基于其生成元的e 豫解式的一 种刻画。该条件还是一个充要条件 利用g 半群研究了一类一阶对称双曲系统，推广了b r e n n e r 一个经典结 果。并将其利用到d i r a c 方程上，改进了h i e b e r 和n i c a i s e 用积分半群所做的 工作，使得其指标可以达到最优的临界状态 关键词：g 半群积分算子理想f o u r i e r 乘子d i r a c 方程 t h e p r o p e t i e sa n da p p l a c t i o n so fc - s e m i g r o u p s m a j o ria p p l i e dm a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n tlq i gj i n f e n s u p e r v i s o rll im i a o t h em a i nw o r ko ft h i st h e s i si sd e r i d e di n t ot w op a r t s ： w e g i v en e s s e r a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so nt h ec - r e s o l v e n to fa t og u a r - a n t e et h a tt h eg - s e m i g r o u pb ea ni d e a lo fi n t e g r a lo p e r a t o r s w ec o n s i d e rf i r s to r d e rs y m m e t r i c ，h y p e r b o l i cs y s t e m so fd i f f e r e n t i a lo p e r a - t o rw i t h c o n s t a n tc o e m c i e n t so n 2 一s p a c e w es h o ws u c hs y s t e mc a nb eg o v e r n e d b yac - s e m i g r o u pw h i c he x t e n d sa c l a s s i c a lr e s u l to fb r e n n e ra n dt h e na p p l yi t t od i r a ce q u a t i o n h i e b e ra n dn i c a i s eh a v ec o n s i d e r e dd i r a ce q u a t i o nb yu s i n g i n t e g r a t e ds e m i g r o u p s ，o u rr e s u l ti m p r o v e st h e i rw o r ki nt h a tw e & r ea b l et od e a l w i t ht h ec r i t i c a li n d e xc a s e ， k e y w o r d s ：c - s e m i g r o u p ，i n t e g r a lo p e r a t o r ，f o u r i e rm u l t i p l i e r ，d i r a co p - e r a t o r 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果据我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导 下取得的，论文成果归四川大学所有，特此声明 导师盔趋导师丝 作者狐秘 二零零七年三月二十f t 第一章绪论 算子半群理论经过数十年的发展，现已成为泛函分析的一个重要的内容丰 富的分支，同时作为一种有力的工具出现在数学与工程技术的许多问题中众 所周知，岛半群在微分算子( p d o ) 及相应的初值问题的应用是有限的，一 个典型的例子就是s c h r s d m g e r 算子i a 在驴( p 2 ) 中不生成c 0 半群，因此 岛半群的两个重要推广一积分半群和正则半群( g 半群) ，引起了人们的普遍 关注 1 9 6 6 年g d a p r a t o l i j 首次提出了正贝4 半群( 即现在的g 半群) 的概念 大约二十年之后，b d a v i e s 和m p a n g l 司分别独立研究了指数有界的c 半 群r d e l a u b e n f e l s l 3 1 1 6 j ，i m i y a d e r a l 7 1 和n t a n a k a 8 1 等人做了进一步研 究，讨论了非指效有界的情形肖体俊和梁进册则研究了序歹完备局部凸拓扑 空问上的强连续g 半群，将e 半群理论由b a n a c h 空间推广到局部凸空间郑 权【lu 】利用c 半群研究了常系数偏微分算子由于g 半群从多方面实质地拓展 了岛半群，特别的是在对非椭圆p d o 的应用中显示了生命力，因而开创了算 子半群理论又一迅猛发展的时代 首先我们回忆一下e 半群及其生成元的定义 定义1 0 1 阁设e 是一个1 - 1 的有界线性算子，如果算子族 s ( t ) ) t ocb ( x ) 满足下列条件。 ( j ) s ( t ) 是强连续的，即对所有的z x ，映射t s ( f 如。书1 0 ，o o ) 映到x 中是连续的； ( 2 ) c s ( t + s ) = s ( t ) s ( s ) ，i o r t ，s 0 ； ( 3 ) s ( o ) = g 则称 s ( ) ) t 2 0 为g 半群；如果存在常数m 0 和u 冗满足j j s ( t ) j 】m ， 则称此c 半群是指数有界的 四川大学硕士毕业论文第2 页 定义1 0 2 当算子a 满足下列条件时则称其g 半群s ( t ) 的无穷小生成元， d ( a ) = x lr l r a , 。o ! 堑l ；：丝存在，并且包含在c 的值域中) 且定义a x = g 一( 1 i m t 。o 学) 就算子半群理论而言，生成定理无疑是最核心的论题当顶万= x 时，c 半群的h i l l e - y o s i d a 型生成定理由d ap r a t o 和d a v i e s 等人建立当了玎巧x 时，完整的h i l b y j 8 i d a 型生成定理已不存在，争r 对这一情况，r d e l a u b e n f e l s l 4 给出了一个用l a p l a c e 变换刻画的生成定理 定理1 0 1 s ( ) ) o 是b a n a c h 空问x 上一强连续的有界算子族，且存在常数 m 0 和，r 使得l i s ( t ) l ism ，则下列结论等价 ( 口) s ( t ) ) 垃。是由a 生成的g 半群； ( 6 ) ( u ，o o ) cp c ( a ) ：= a ：a a 是1 - 1 的且r ( c ) cr ( a a ) ) 。 g 一1 a c = a 且( a a ) 一1 c 奄= j e 一s ( t ) z d t ，a “，霉x i 当r ( c ) x 时，( 口) 亦等价于下面的结论 ( c ) d ( a ) = x ，( u ，o o ) c p c ( a ) ，g 一1 a c = a ，r ( c ) cr ( d a ) ) 且0 ( a u ) ( a a ) c l i m ( a ，k n ) 定理1 0 2 抽象c a u c h y 问题； 五d ”( z ，t ) = u ( z ，t ) i ( t 0 ) ，t ( z ，0 ) = 2 ( 1 0 1 ) 对任意的名c d ( a ) ，存在解当且仅当ai r 以生成口半群 第二章c 半群与积分算子理想 本章研究c 半群和一类算子理想一积分算子理想的关系。p a z y 1 1 】讨 论了在b a n a c h 空间x 中c 0 半群和紧算子理想的关系；k h a l i l 和d e e b “】研 究了当h 是一个h f l b e r t 空间时，有c _ ( h ) 留( h ) ；a i - s h a r i f i l 4 1 证明了如 果t ( 0 ，e ) 忙 0 ) ，有s ( t ) z ( x ) 且j i s ( 0 1 1 , n f ，则对所有的a p ( a ) 有 g 2 冗( a ，a ) z ( x ) 我们在不需要假设p ( a ) 妒的条件下，给出了c 半群属 于积分算子理想的充要条件 2 1 积分算子理想 定义2 1 1 谖x 和y 是两个巴拿赫空闻，( 五y ) 是8 僻，y ) 的一个包含t 所有有限秩算子的子空间，若满足下列条件t t b ( x o ，x ) ，s 一4 ( x ，y ) ，r b ( y o ) 辛冠s t 一4 ( x o ，y o ) 则所有a ( x ，y ) 的并组成的4 称为一个算予理想 定义2 1 。2 一个算子理想稚为一个赋范算子理想，如果每一个a ( x ，y ) 都赋 予一个比原范数强的、完备的范数n 0 并满足 知 z + o f l l = 0 z i l l l v l l vz 。x + y t b ( x o ，x ) ，s 4 ( x ，y ) ，r b ( y y o ) 辛i i r s t i i l i r i i i i s h l i t i j 定义2 1 3 【j 5 1 一个算子s t 3 ( x ，y ) 称为可积的是指存在盯 0 使得 l t r a c e ( s l ) i 口i i l i i vl ，( y ，x ) 四川大学硕士毕业论文第4 页 这里，y ( y , x ) 是所有从y 到x 的有限秩算子所成的集合我们把所有可积 算子组成的集合记为z ( x ，y ) 若s 工( x ，y ) ，定义范数0 s 0 矧= i i l f 口，这 使得工( x ，y ) 成为一个赋范算子理想当y = x 时，记z ( x ，y ) = z ( x ) ， 注2 1 1 一个算子s 舀( x ，y ) 是可积的当且仅当存在某紧致h a u s d o r f f 空间 n 上的正则b o r e l 测度p ，以及p l ( x ，上尸( q ，p ) ) ，q l ( l 1 ( q ，p ) ，y ”) 。 使得下图交换； x t y i y ” - - - 4 p 王t0 l 。( q ，p )。l l ( q ，p ) 其中j 是从上户( q ，p ) 到l 1 ( q ，p ) 的自然包含映射，t 是从y 到y ”的自然嵌 入映射 2 2g 半群与积分算予理想 引理2 2 1 【蚴设兀z ( x ) ，且存在 0 ，使得s u p i i r i i m f 如果对 n 于所有的z x 有h m 。瓦z = t x ，则t z ( x ) 且0 丁l i “sf ， 证明，存在f 0 ，使得，) 且满足, - p i i t 1 l “如果对所有 的。x ，都有h m 。瓦= t z ，则由定义2 1 3 知，对嚣( x ) 中的任一个 有限秩算子s ，我们可以得到； i t r e ( r s ) i 0 r 0 耐炒0 设s = 墨l z ：固承，则 m i t r o c b ( r s ) l i 兀戤，z ：) i l 陬o “归o f l l s l l i = 1 四川大学硕士毕业论文第5 页 因为对所有z x ，都有i i h l 。是z = t x ，我们可以得到： 所以t 是个积分算子并且满足l l 丁0 本章的主要定理是： 定理2 2 1 s ( t ) t 2 0 是a 在x 中生成的强连续的c 半群，则下面的两种条件 是等价的， r 砂对于任意的t 0 ，s c t ) z ( x ) 且存在常敷m 0 及，噩使得 i i s ( o i l , , m ； 俐 s ( t ) t o 是x 上指数有界的c 半群且存在卢r 使得对a 卢和 女= 1 ，2 ，3 ，- 有r ( a ，a ) c = 【r ( a ，a ) l c z ( x ) 及l i r ( a ，a ) c l h 。t m 丽= = 矸 证明；( a ) 净( b ) 由于z ( x ) 是赋范算子理想，所以我们可以得到 0 s ) l l l | s ( t ) l l 如t f 故 s ( t ) ) t o 是指数有界的c 半群 对于任意的口 1 和a u + 1 ，我们定义一个新算子g ：“：x x ： 谎“。= ( 一1 ) 5 e s ( s ) z d s 我们首先证明对于七= 0 ，1 ，2 ，3 ，雠+ 1 丑x ) 对任给的n n 定义g 譬- z = ( 一1 ) 。生学，其中止警 岛 0 ，有s ( o z ( x ) 且 i s c t ) l l , m m ，故算子 g 譬1 z ( x ) 且 峭t l 。；1 1 ( - 1 ) t 妻掣 四川大学硕士毕业论文第6 页 咝! ：型兰塑坚 一篇 他 u + 1 设霉x 和a u + 1 ，则a p c ( a ) ，利用定理3 3 ( 【4 】) 我们可以得到 对k n u 0 ， r - t - 1 ( a ，a ) c = ( 冗( a ，a ) 回七) = ( 一1 ) 矿e 一知s ( s ) z d s ， 因此当。一o o 时 。 ，4 l g ：+ 1 z r 1 ( a ，a ) c * i l = i i 8 k e b s ( s ) z a s 一s e 一知s ( s ) z d s l j ，0j 0 = 1 1 扩e 山s ( s ) z d s l i 5 e k i i s ( s ) | | d s m s e 一“f 划z i f 出一0 这意味着h m 。g 1 z = 冗( a ，用h 1 再次利用引理2 1 1 可知冗( a ，a ) c z ( x 1 且 f 0 0， r n ，a ) c l h , = i l ， e 一1 ( h 1 + “) s ( t 1 + rr + t ) d t l - - 出| l 诚 j 0，o 卜撕+ ”州d m 扩地 诫 m d 一) 四j i i ：k 学硕士毕业论文第7 页 ( b ) 辛( a ) 若a 口 2 “，则a p c ( a ) 对t 0 定义算子印：x x 为 拈、2 k 跏= e 枷等舻( a ，a ) c x z x 为了证明算子母z ( x ) 及l l 研0 “l ，定义算子霹4 ：x x 为 “止、2 k 矿z = e _ 等r ( a ，a ) z x 当 2 w 和= 0 ，1 ，2 ，3 ，时，有舻( a ，a ) c z ( x ) 和0 舻( a ，a ) c l i , m 毋每，故霹4e z ( x ) 且 。露，”o 。= 扩薹1 t k a r 2 k 舻( a ，a ) c l 。 b = u n 七、2 k se 墙箐愀a ，a ) c 、。o p a 铀m e 砘箐丽 = o 、7 、o 1 m t a m s e 战篆可丽 卸 、 7 ：m e 一址e 甓 一m p ；笔 2 w 和t 0 ，毋z ( x ) 和 0 礤l l 瓣墨m 再利用文献【2 】中的定理1 1 ，定理1 3 以及【4 】中的定理 4 1 ，对于所有的z x 有b m 扣。醴z = s ( t 净最后结合引理2 1 1 ，即得 s ( t ) z ( x ) 且0 s ( 圳“m e u , t 注2 2 1 如果a 是一个闭算子理想，类似的我们可以得到 s ( t ) ) t ，oc a 的充 分盛要条件是对所有的a p c 似) 都有r o ，a ) c 属于一4 第三章c 半群在d i r a c 方程中的应用 众所周知，s c h r 6 d i n g e r 算子只在2 上生成岛半群，因而不能用岛半群 理论研究口上的d i r a c 方程但另一方面，h i e b e r 和n i c a i s e 的工作表明可 以用积分半群研究d i r a c 方程的解本章中我们将利用f o u r i e r 乘子有关理论证 明d i r a c 算子可以生成强连续g 半群，并由此得到了d i r a c 方程解存在的初始 值空间优于用积分半群得到的初始值空间，使得其指标可以达到最优的临界状 态 3 1d i r a c 方程 d i r a c 方程( 【1 5 ，1 6 】) 是相对论量子力学的一项描述自旋为一1 2 的粒子的 函数方程式t 缸t ) c p 3 d j 俐吐等u ) + 懈帅r 3 ，删3 1 1 ) 这里的u 是定义在r 3 x r + 上的函数，c 是光速，h 是酱朗克常数，a l ，a 2 ，a 3 ，凡 是如下给出的4 阶矩阵t a 12 舻( | a 2 。 忙畦 、l q 0 0 o 0 1 o o 、 0 o o 以 o o 4 0 0 o 叶0 o 1 o o l l o o o o l 0 0 0 o 1 0 、 o d o o l o o 0 0 o o d 四川大学硕士毕业论文第1 0 页 如果v = 0 并且作适当的伸缩使得所有常数都为1 ，这舫程( 3 1 1 ) 是定 义在p ( r 3 ) 4 上的对称双曲系统： 其中， 铲( 耻d 3 。扔。喾) ，驴南，z q ， 其定义域d ( 4 ) ：= ，胪( r 3 ) 2 ：a p f 护( r 3 ) 2 3 2f o u r i e r 乘子 本节主要是介绍f o u r i e r 乘子的概念和基本性质，是我们的后面工作的理论 基础我们用茹= ( 。1 ，x 2 ，z 。) 表示r n 中的向量。矿= 砰1 霉 5 ( 舯) 定义在盈，上的速降函数空间，( r ”) 表示平缓分布空间；，和，_ 1 分别表 示f o u r i e r 变换和其逆变挟 定义3 2 1 j ) 1 设m ：r n c 为一个绝对正则的函数，如果对所有的妒 s ( r “) ，均有，- 1 ( m ( 即) ) z 尸( r “) 且有 0 m i | m ，( p ) ：= 轧咿 ，一1 ( m ( ，妒) ) 0 p 但t ) ：妒5 ( w 。) ，1 1 妒0 p ( r n ) 1 0 以及f r ，定义啦( f ) ：= 口( ) 则 a t 朋多( 舻) 且 i l 毗9 朋( p ) = 8 口0 m 芦( p ) ( t o ) ， 引理3 2 2 【功( 8 ) 若1s p o ) = p ( ，) ；当1 p o o 时，d ( p ) = w 2 , p ( r “) ； 对所有的，扩( r “) ，a 0 ，( 1 一a p ) - a f = ，- 1 ( ( 1 + i 1 2 ) 一。，) ； 一对所有的口，卢o ，( 1 一a p ) 一吖2 属9 ( 醒“) = w 叶卢，( r ”) 3 3 主要结果 在本节当中，我们主要下面形式的考虑初值问题 皤= a z 脚。 ( 3 3 1 ) 【扛，o ) = 蛳扛) 四川大学硕士毕业论文第1 2 页 其中7 ：耻舯一c “，a 是一个n n - 矩阵，其分量似i i ) l i j _ n 是 阶常系数的偏微分算子算子a 在空间护( 舻) n ( 1 p o 。) 的实现是按照如 下方式定义的；设口：p l ( c “) 。其形式为 ，8 1 1 御8 i 泐1 n ( f ) ；l l嬉舯) ( 3 3 2 ) o ，( f ) a n n ( i ) 这里的( f ) ：= i 。l n ( 严定义m ：= m 打w ：1s ，j 这样 就可以得到o ( f ) = n 0 ( ) + o l ( ) + + 健) ，a a o ，sm ) 是j 次齐次函 数其中这一项称为。的主部对于1 p 0 0 我们定义 寂岔： ：鬟0 。r 甲：5 c - ，( a y r f ，口) ) ， c s s - 。， d ( 如) ：= ，酽( r ”) ： 1 ) _ l 尹( r “) ) ， r 。 注意这里向量值函数的f o u r i e r 变换是对每个坐标分量作f o u r i e r 变换在文献 i s l 中，h i e b e r 利用a 次积分半群的理论在o l 一1 ) i 一；1f 的条件下对该 问题进行讨论我们将利用c 半群来对此问题作研究首先，利用m i y a c h i 1 9 1 关于f o u r i e r 乘子的有关理论，我们可以得到， 弓i 王里3 3 1f t 1 p o o ，口( n 一1 ) i 一；l ，则t 任) ：= 萨( 1 + 悻1 2 ) 一。7 2 和哆g ) ：= e - 训f i ( 1 + 2 ) 一。，2 均属于朋，( t n ) 并且满足 0 “? ) j i ，( k n ) ，0 谚( ) i l m ，( r n ) sm ( 1 + t ) 。( t 0 ) 证明：我们只对t 给出证明，用类似的方法可以证明对醒同样成立取1 | f i 印( r 满足0 妒1 ，且闽1 对妒( 9 = 1 以及2 时1 ；f r = 0 我 们将( ) 改写为 醒( f ) = ( t e ) u 叫( ) ， 其中 “。( ) = e n l f l ( 1 + 蚓2 ) 一即， 电。) = ( 1 + l 1 2 ) 。，2 ( 1 + 壕j 2 ) 一。，2 四川大学硕士毕业论文第1 3 页 由f 1 9 】中引理1 的证明，对于任意的1 p o o ，我们可以得到。f ( 0 州p ( 皿”) 并且有 帆，t ( 删枷) 尬( 1 + 垆 再利甩f 17 】中的例8 2 5 和引理8 2 4 ，有妒恁) e 矧朋l 假”) c 朋p ( r ”) 从 而由引理3 2 1a ) 可知 妒( ) e 社吼14 - 矧2 ) 一。2 m ，( r ”) 另一方面，由于 i d ( 1 + 胛) 一舭i 蚓一” 由【19 】中的推论2 知，当a ( n 一1 ) 睦一：l 时， ( 1 一妒 ) ) ( 1 + i 引2 ) - - a 2 e i e i d p ( 旷) 因此，对于1 p o o ，我们可以得到e l e l ( 1 + 2 ) 一o 2 m p ( 碾寸) 此外，利 用引理3 2 1e ) 我们有 u 口( t ) = e i l g l ( 1 + 蚓2 ) 一。2 朋p ( r “) 及 i l d l l ( 14 - i 增n 一州2 | l 劓，( p j = 1 1 e i ( i + j 1 2 ) 一a 2 0 m ，( p ) m 3 综合p a 上结沦，即得我们所证 对于系统( 3 3 ，1 ) ，我们有如下结果， 引理3 3 2 设l p o o ，问题p 3 j 中的n 是一个m 1 次的齐次多项式 函数；并且满足对任意f r “，都有口如( ) ) = t a l ，i 毗，一，缸) 。 其中这里的啦r 和口o ( i = 1 ，2 ) 若a 在l 2 ( p ) 上生成c b 半 群，则如下定义的函数醒：p l ( c ) ) ：= ( 1 + 垮f 2 ) 一a u e “( o ( t o ，r ”) 属于m 多( r “) 并且当a 一1 ) i 一：l 时， 任) 0 m ( r n ) m ( 1 + t ) op o ) ( 3 34 ) 四川大学硕士毕业论文第1 4 页 证明；由f 17 ) 中的引理8 4 8 知， 产旺= 罐l e 岫矧q ( f ) ， ( 3 3 5 ) 其中每一个呜g ”( o ，c ( c ) ) 都是齐次函数并且哆朋多( r 一则由 引理3 2 1 和引理3 3 1 可以得到当a m 一1 ) 睦一；i 时 f ( 1 + i f l 2 ) 州2 一。吩 属于朋多( r ”) 利用( 3 3 5 ) 知当a 一1 ) 1 ；一；i 时，有谨( ) m j 。r ( r “) ， 再由引理3 3 1 中的估计我们可以得到( 3 3 4 ) 现在我们就可以用c 半群来改进1 2 0 l 中的b r e n n e r 的结果 定理3 3 1 设1 p o 。，问题p 3 纠中的口是一个m 1 次的齐次多项式 函数；并且满足对任意f 舻，都有口0 ( f ”= i a i 蚓，诹2 川，缸_ 蚓，其中 ( 1 1 ，n 2 ，n r 若凡在l 2 ( r ”) 上生成g o 半群，则当n m 一1 ) 1 ；一；l 时也在工，( p ) n 上生成c i 口半拜，其中山是由p ，矽定义的，c t d = 也凹( ，一1 ( 1 + k 1 2 ) 一。2 ，一，- 1 ( 1 + 2 ) 一8 ，2 刀 证明，设 p = e “任) ( 1 + 蚓2 ) 一o 2 , s o ) = ，一1 ，则由引理3 3 2 可以知道 s ( o ) = 口且i i s ( o i l m ( 1 + t ) 。0 0 ) 下证s ( e ) 的强连续性任给t o 0 和，5 ( r “) ，我们有 l i ms ( o = j i m t o ，。1 t ? ，= 尸1 ( 觋( 1 + 奸) - a i d e a ( 0 7 t ) = 尸1 ( 战( 1 + 邮e 础1 呜刀) = 广1 ( 规( 1 + m 一妒e 础奶( ) 硼 j = 1 = ，一1 ( ( 1 + i 1 2 ) ”胆加呜( ) 巧) 四川大学硕士毕业论文第1 5 页 = r 1 ( ( 1 + 盱) ”2 e t o 州f 巧) = s ( t o ) ， 故s ( # ) 在空间s ( r ”) 中是强连续性的又因为s ( p ) 在2 ( r ) ( 1 p 0 和f s ( p ) ( 1 p 。o ) ，我们定义b ，= j e 一胤s ( t ) f d t 因为 f o ef e砘s(t)fdt02 0 e 以宇。咿触 jj e 二广1 e t 础( 1 + 盱) 一。2 ：f d t 尸1 ( 严健) 以d t ) ( 1 + 盱) 一。肛珂 广一1 ( 一o ( ) ) - 1 乃， = 顾a ，4 ) g 所以，对所有的f p ( r ? ) ，都有r ( a ，4 ) c ；，= j e 一舢s ( t ) f d t 又若f d ( 如) ，1 0 嬉) s ( t ) ，) = y - 1 ( 嵋n ( ) ，) = ，- 1 ( j i 山，) 三，( r “) “， 故对所有的f 口( 4 p ) 都成立s ( t ) d ( 4 ) cd ( 4 ) 和4 s ( ) ，= s ( t ) 4 ，取 t = 0 和f d ( a ) ，则有瓯f cd ( 4 ) 和山g f = 瓯a , f ，这样就能得到 如cc ：1 山g 又若f d ( 喏1 g ) ，则有，1 ( ( 1 + 盱) ”2 ，) d ( 4 ) 并 且存在g p ( r “) 满足，1 ( 口( f ) ( 1 + 蚓2 ) 一8 2 ，) = y - - 1 ( ( 1 + 蚓2 ) - 1 2 r g ) 因此，1 ( o ( f ) 一，) = 9 p ( r ，) 川，这意味着包含关系c ：1 山c ：c4 成立所 以我们得到如= c ：1 c n 由文献( 【2 1 】) 中的引理2 4 知，当a m 1 ) 睦一：i 时，a 在驴( r ”) 。上生成g 半群 3 4d i r a c 方程的解 最后，我们来考虑d i r a e 方程解的问题设如由( 3 1 3 ) 所定义，4 = ( 三吉) 一t ( ：二) 四川大学硕士毕业论文第1 6 页 定理3 4 1 设1 p o o 且a 三2 j 1 2 1 p l ，则d i r a c 算子岛= + 8 在 扩( r 3 ) 4 上生成铭半群，其中 钪= ( 言兰)q = ( 。一含r 础。，一墨，刮。) 证明，通过计算可知，如的特征值是a 1 ，2 = 土t 故利用定理3 3 1 ，可知 岛和一南分别在空间妒( r 3 ) 2 上生成c o 半群 t ( ”) 忿。和邵( d ) t 2 。 设忑：= ( 吉一0 a ，) 和厚：= t0 ：) ，则岛= 矿c 忑+ 西u ，其 中u = 击( ；二) 令r ( 一) 一s ( ) o 2 。) ，则我们可定义 y = 扣x 悻一c ：1 e - i * i t ( t ) z 从r 到x 是一致连续的且i i = l l y o 。 其中i i = i l y ：= s u p j 1 g ：1 e 一t t ( t ) z l t ，t r 由文献【2 2 l 中的命题3 1 的证明可 知y 是一个巴拿赫空间且 ( 1 ) 如i y 和- a p i y 在y 上生成强连续的c o 半群。 ( 2 ) p 洚) j y 一护俾3 ) 2 则忑i y = ( 掣y a 0l r ) 在空间y y 上生成强连续的岛半群对任意 的g ：f 劫l r x y ，有f f 面肛：h 则司y 是一个有界线性算子，且 与铭可交换，利用文献 2 2 】中的定理3 1 6 ，可得五+ 丘在护( r 3 ) 4 上生成 铭半群，故d p = 山+ 嚣在妒( r 3 ) 4 上生成半群 由g 半群的理论可以知道，如果a 生成g 半群，则相应的柯西问题对取 值于c d ( a ) 的初值有唯一的解因而我们有下面的推论： 推论3 4 1 若 u 0 ，蛳w 2 1 1 2 1 p l + 1 p ( r ，) 2 ，则d i r a c 方程p j 剀存在唯一 解 参考文献 【1 】g d ap r a t o ，s e m i g r u p p ir e g o l a x i z z a b i l i ，r i c e r c h e m a t 1 5 ( 1 9 6 6 ) ，2 2 3 - 2 4 6 【2 je ，b d a v i e sa n dm m p a g e ，t h ec a n c h yp r o b l e ma n dag e n e r a l i z a t i o no ft h e h i l l e - y o s i d at h e o r e m ，p r a c l o n d o nm a t h s a c ( 3 ) 5 5 ( 1 9 8 7 ) ，1 8 1 2 0 8 f 3 】r d e l a n b e n 地，e n t i r es o l u t i o n so ft h ea b s t r a c tc a u c h yp r o b l e m ，s e m i g r o u p f o r u m4 2 ( 1 9 9 1 ) ，8 3 - 1 0 5 【4 】r d e l a u b e n f e l s ，c - s e m i g r o u p sa n dt h ec a n c h yp r o b l e m ，正f u n c t a n a l ”1 1 1 ( 1 9 9 3 ) 4 4 6 1 【5 】r ，d e l a u b e n f e l 8 ，e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sf o rt h ea b s t r a c fc a u c h yp r o b l e m ， p r a c l o n d o nm a t h 鼬4 4 ( 1 9 9 1 ) ，3 1 0 - 3 3 8 【6 】rd e l a n b e n f e 】s ，c - s e m i g r o u p sa n ds t r o n g l yc o n t i n u o u ss e n i g r o u p sa n dt h e l a p l a c et r a n s f o r m s ，s t u d i a m a t h 1 0 3 ( 1 9 9 2 ) ，1 4 3 - 1 5 9 用i m i y a d e r aa n dn t a n a k a ，ar e m a r ko ne x p o n e n t i a l l yb o u n d e dc - s e m i 驴o u p s ， p r a c j a p a na c a d s e r a m a t h s c i6 6 ( 1 9 9 0 ) ，3 1 - 3 4 f 8 jmt a n a k a , t t o l o m o r p h i ec s e m i g r o u p sa n dh o l o m o r p h i es e m i g r o u p s ，s e m i g r o n p f o r u m3 8 ( 1 9 8 9 ) ，2 5 3 - 2 6 3 【9 】t ，j x i a oa n dj l i a n g ，l a p l a c et r a n s f o r m sa n di n t e g r a t e dr e g l l l a r i z e ds e r n o g r o u p si nl o c a l l yc o n v e xs p a c e s ，zf u n c la n a l y 1 4 8 ( 1 9 9 7 ) ，僻4 7 9 【10 1y 一s ，l e i ，a n dq z h e n g ，t h ea p p l i c a t i o no fc - s e m i g r o u p st od i f f e r e n t i mo p e r - a t o mi n 妒( j 矿) ，上m a t h a n a l a p p i 1 8 8 ( 1 9 9 4 ) ，8 0 9 - 8 1 8 f n a p a z y , o nt h ed i f f e r e n t i a b i l i t ya n dc o m p a c t n e s so ss e m i g r o u p so fl i n e ro p e r a - t o m ，zm a t h a n dm e c h 1 7 ( 1 9 6 8 ) ，1 1 3 1 - 1 1 4 1 【1 2 】r k h a l i la n dw d e e b ，o n ep a r a m e t e rs e m i g r o u p so fo p e r a t o r so fs c h a t t e nc l a s s o ，f o n k c i a l a je k v a c i o j , 3 2 ( 1 9 8 9 ) ，3 8 9 - 3 9 4 【l3 la f i e t h ，o p e r a t o ri d e a l s ，n o r t hh o l l a n dp t t b l i s m n 9c o m p a n y , n e wy o r k ，1 9 8 0 【1 4 1s h a i - s h a r i f , c - s e m i g r o u p sa n di n t e g r a lo p e r a t o r s ，s c i e n t i a t em a t h e m a t i c a e j a p o n i c a s e ，6 2 ，n o 2 ( 2 0 0 s ) ，2 6 5 - 2 7 1 ，e 2 0 0 5 ，3 4 1 - 3 4 7 1 7 四川大学硕士毕业论文第1 8 页 f 1 5 】h o f a t t o r i n i ，s e c o n do r d e rl i n e rd i 矗e r e n t i me q u a t i o ni nb a n a c hs p a c e ， n o r t i p h o l l a n d , ( 1 9 8 5 ) 【1 6 1j a g o l d s t e i n ，s e m i g r o u p so fl i n e ro p e r a t o r sa n da p p l i c a t i o n s ，o z f o r du n i - v e r s i f yp r e s s ( 1 9 8 5 ) f 17 】w a r e n d t ，c b a t t y , m h i e b e r ，a n df n e u b r a n d e r ，v e c t o r - v a l u e dl a p l a c e t r a n s f o r m sa n dc a u c h yp r o b l