（应用数学专业论文）bessel过程的几个问题.pdf

东华大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：我恪守学术道德，崇尚严谨学风。所呈交的学位论文，是本人 在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已明确注明和引用的内 容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品及成果的内容。 论文为本人亲自撰写，我对所写的内容负责，并完全意识到本声明的法律结果南本 人承担。 学位论文作者签名：逛函丢 日期：沁晒年j 2 月培日 1 东华大学学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅或借阅。本人 授权东华大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在5 年解密后适用本版权书。 本学位论文属于 学位论文作者签名： 指导教师签名： 不保密口。 迩品蓑 伺机 日期：挑年1 2 月裾日 2 b e s s e l 过程的几个问题 摘要 五表示出发于零点的6 ( o ) 维b e s s e l 过程的平方。本文主要研究x t 和它的局 部时过程j t 、它的重随机积分过程厶( t ，6 ) ，t 0 厶( t ，6 ) = 厶一1 ( s ，5 ) d x , 以及这些过程的极大值函数问的不等式的性质，得到的主要结果有以下几方面。 首先是证明了关于重随机积分的不等式 锄p l i 器驯蚣刘r 训p ) n i i p 崦辫蚣) n i i p 对任意的0 p o o 和任意停时7 - 成立，其中c ，c 是只依赖于各自下标的常 数，g 6 ( t ) = l o g ( 1 + 6 l o g ( 1 + t ) ) 。 另一方面是关于 t ，；1 ，( x ) ；，螂】间的比率不等式。m ，y 2 表示这四个随机 变量中的任意两个，西：【0 ，】一【0 ，o o 】是增函数。首先证明存在一个只依赖于p 和圣的常数c ，使得如下不等式在圣分别为幂函数和指数函数时成立。 e 【圩西( m k ) j ce 砰 ，0 p o o 接着利用这一性质证明了对任意的0 p 。o ，7 0 有 e 陋矿唧( 7 锱) 卜m 柚p ， 及与之相关的几个不等式。 3 作为这几个不等式的推论，有如下结论：y c ， 丽两，群) ，对任意 的0 p _ ob et h es q u a r eo fa6 ( 0 ) - d i m e n s i o n a lb e s s e lp r o c e s ss t a r t i n ga t z e r o d e f i n ei t e r a t e ds t o c h a s t i ci n t e g r a l s 厶( 亡，6 ) ，t 0i n d u c t i v e l yb y 厶( 亡，6 )= z 讽 w i t h1 0 ( t ，6 ) = 1a n d1 1 ( t ，6 ) = x t t h e nt h ei n e q u a l i t i e s 刘丁刈p l | 器驯蚣州丁刈p c n 鼽sl l ( g s ( 丁) ) 礼i i p p a r ep r o v e dt oh o l df o ra l l0 p ( 3 0a n da l ls t o p p i n gt i m e s7 - ，w h e r ec ，ca r es o m e p o s i t i v ec o n s t a n t sd e p e n d i n go n l yo nt h es u b s c r i p t s ，a n dg 6 ( t ) = l o g ( 1 + 6l o g ( 1 + t ) ) o nt h eo t h e rh a n d ，i 1 ，y 2 t ， ， i n c r e a s i n gf u n c t i o n t h e n 砩) ，西：【0 ，o 。】_ 【0 ，。】i sa n e 阳西( m k ) c 酬吲，o p 。o i sp r o v e dt ob et r u ew h e n 圣i sp o w e rf u n c t i o no re x p o n e n t i a lf u n c t i o n a f t e rt h a t ，t h ei n e q u a l i t y e k 矿唧( 7 鬻) 妒， 5 。净 x ， i sp r o v e dt oh o l df o ra l l0 p 0 0 ，y 0 a tt h es a m et i m e ，w eg e ts e v e r a li n e q u a l i t i e s s i m i l a rt ot h i so n e t h e nf r o mt h e s ei n e q u a l i t i e s ，骶f o u n dt h a ti fv 亿，俪，螂) ， e 卜赡唧( 7 掣) 州 h o l d sf o ra l l0 1 ，当t 0 时p t 是儿乎必然大于零的。而对6 = 1 ，集合 t ：p t = o ) 具 有几乎必然为零的勒贝格测度。所以现在可以考虑随机过程 6 以 屈= i = 1z ( 鼋风) 删， 容易验证够，p ) t = t ，由此可知展是一个线性布朗运动。因此霹满足如下的随机微 分方程 砖= 蠢+ 2 p 3 d 8 8 + 6 t 现在，对任意实数6 0 和z 0 ，考虑如下的s d e z t = x + 2 z o 忻习d 玩+ & ， ( 1 1 2 ) 因为对任意的名，名7 0 ，有i 以一届i 0 ，b e s q 6 的半群在y 的密度为 g t 艿( z ，秒) = ( 1 2 ) ( y z ) ”2e x p ( 一( z + ! ，) 2 t ) l ( 、，历西t ) ，t o ，z 0 其中l 表示指数为( = 6 2 1 ) 的b e s s e l 函数。另外，在z = 0 时有 q t 6 ( o ，y ) = ( 2 亡) 一6 2r ( 5 2 ) 一1y 6 1 2 1e x p ( 一y 2 t ) 应用推论1 2 2 中半群密度的值就可知道，b e s q 6 是f e l l e r 过程。 现在，再应用比较定理以及低维布朗运动的一些性质，就可以得到以下结论。 ( 1 ) 5 3 ，b e s q 6 足瞬态的。6 2 ，它是常返的。 ( 2 ) 5 2 ，集合 0 是b e s q 6 的极点。6sl ，集合 0 ) 是几乎必然可及的。另 外，当5 = 0 时， o ) 是一个吸引点。 因为随机过程x 三0 显然也是s d e ( 1 1 2 ) 的解。进一步的，我们把这一结论整 理成下面的命题。 命题1 2 1 对于b 船驴，当6 = 0 时， o ) 是一个吸引点。当0 0 ，z 0 且有 p t 5 ( o ，y ) = 2 一”亡一( u - t - 1 ) r ( v + 1 ) 一1y 2 外1e x p ( - y 2 2 亡) 1 4 另外，b e s 6 也是具有连续路径的f e l l e r 过程，在0 0 ，是以下 的s d e 的一个解。 y t = a + 岛+ 孚z 轴s 我们已经知道，所有的b e s q 6 都是半鞅，而对b e s a ，情况有所不同。 设y b e s 6 ， ( 1 ) 当j l 时： k = k + b + 孚z 圩1 d s ( 2 ) 当6 = 1 时： k = y o + b t + 去? 其中c ? 是y 在零点的局部时。 ( 3 ) 当0 6 。 其中a = 譬，厶表示指数为入的标准b e s s e l 函数 运用这一引理，可以得到如下定理。 定理2 1 1 设w = s u pk ，则 o 0 ，并令0 p 0 。由方程( 2 2 1 ) 得 霹：4 厂。五们而d b + 半( x ) 。，霹= 4 五们而d b + 竿( x ) t ， j 0 o ( 2 2 4 ) e 孵 _ 下5 + 2 e 【( x ) r 】 对所有有界停时7 _ 成立。同时联系【3 9 】中的命题4 7 ( c h a p t e ri v ，p 1 6 3 ) ，设过程x 被连续过程a 控制，k ( 0 ，1 ) ，则有 驯( 磁) 七】奎2 上一- k e a 笔 ， 并使公式中k = 1 2 ，则得到以下不等式 半e 佩剑琊掣e 倜 ( 2 2 5 ) e 【叉；一嚣】efs u p i托+s一1eo。tsusplott-s，。s s t ，i 托+ s 一蜘i jio ( t s ) 1 ，g t l l e isu山p，ix,iottl 掣e 瓢q i 。1 s t ) l zl。p y j 掣i l 俪( s 鲫 由以上这些不等式，并联系【1 】中的引理4 1 ( 或者应用【3 4 】中的引理7 和引理8 ，并 取q = p = 1 ) 都可以得到如下不等式 i i x ；l l p q ，6 | l 瓜l l 妒 ( 2 2 6 ) 对所有停时7 i 及任意0 p ， 并定义 嚣= s u p 五，；) = s u p ；( x ) ， 在本节中，将；( x ) 简记为c ；。另外，根据x 的定义可得 ( x ) 。= 4 o 。托d s 利用【1 】，, - - i p a 建立下面的引理。 引理2 3 1 对任意停时t ，任意的0 p 0 ) 并给出【5 1 】中的一个引理。 引理2 3 2 x = ( k ，玩) o 是一个连续过程，x o = 0 。a = ( a t ，玩) o 是一个单 调递增的连续过程，a o = 0 。当对任意有界停时t 有 驯坼】e a t 】， 则对任意的0 q p 0 ) = 1 的停时。则对任意的0 q p 0 ) 定理2 3 2 玑v 是以下四个随机变量中的任意两个 群，佤， ，t 则对任意的0 p o 。，存在q 0 使得 e u p e a 等 qe 酽】 另外，对任意的0 0 ，使得对任意入 0 ，7 1 ， 满足 p ( f ，y 入，g 入) be 一。 p ( f 入)( 2 3 6 ) 2 1 则。f 列不等式对任意的0 p o 。和任意的0 a a 成立 e ( 尸e n 当) ce ( ，p ) ( 2 3 7 ) e 妒e a z 。) ce 铲) ( 2 3 8 ) 其中c ，c 均为依赖于a ，b ，a ，p 的常数。 证明根据( 2 3 6 ) 的要求，可以找到合适的随机变量， g ，使得随机变量孝也能被 很好地定义，并假设芸 6 ，y a ，9 入) d be-r70j 0 p ( p 入) 胖 ， e ( ( 舌) p 一旷) 1 ( 警狲 6e e ( 广) ( 2 3 9 ) 再将( 2 3 9 ) 关于甲e 卵6 嘶在【1 ，+ o o 】上积分，可以得到下面的小等式 e 6 ；( ，p 一矿旷) e 警1 j ；) d 7 c 7e ( ，p ) 对于任意满足l 7 ( 1 一酽) 厂p 因此可以得到 e 阢t e 譬) 1 抖， 褊即p ) e ，pe a j 1 j ， 可兰南e ( 尸) + e 詈ef p 1 ( j ， 所以，( 2 3 7 ) 式得证。 = c e ( f p ) 2 2 + e h n “ + e 詈e 卜1 t e ( ，p ) 1j 圳札1 i j e 工9 上9 地蟛十 上” 工 一渺 ， 矿一护 p p 一一 p p 旦卜 e e 一k = 一 一 9 p ，j e 接下来再来证明( 2 3 8 ) 式。由( 2 3 6 ) 和“好一a ”不等式可以直接得到 因此也就证明了 同时，因为 e ( f p ) e 铲) ， e ( ，p 矿；) ce ( 旷) e ( 旷e 。；) = ep e a ；1 ) + 旷e q j 1 5 ) 酽ep e a h 湖 + e 詈e 矿1 ce ( 夕p ) ， 所以，( 2 3 8 ) 式得证。 口 最后，应用【3 5 1 及b e s s e l 过程的相应性质，就可证得定理2 3 2 。所以，在圣 函数分别为幂函数和指数函数时( 2 3 2 ) 是成立的。 第3 章b e s s e l 过程重随机积分的几 个不等式 3 1 引言 在本章中，着重讨论的是b e s q 6 的重随机积分性质，以及与之相关的几个随 机过程间的性质。 设( q ，莎，( 玩) ，p ) 表示一个完备的带流空间。b = ( b t ) t o 表示出发在零点的标 准布朗运动。x ；( x ) t 芝。表示一个出发于零点的6 ( o ) 一维b e s s e l 过程的平方， 记群= s u p o 。 1 时成立。 根据上述的重随机积分定义，类似的可以定义b e s q 6 的重随机积分，并希望 得到关于此重积分的几个不等式，我们的主要同的之一是证明下列不等式。 2 4 定理3 1 1 设x b e s q 6 ，定义x 的重随机积分厶( z ，6 ) ，t 0 具如下表达式 厶( t ，6 ) ；1 0 厶一- ( s ，6 ) d 咒， 且有而( 亡，6 ) = 1 ， ( ，6 ) = 咒，则不等式 ( 3 1 1 ) 刘吼0 器驯蚣州p ( 3 1 2 ) 对任意的0 p 0 。则在定 理3 f 珀勺条件下，不等式 晰i i ( c a ) 耶辫峪酬愀下) ) n i i p ( 3 1 3 ) 对仟煮的0 口 o 。及所有停时t 成立。 3 2证明定理3 1 1 对于一个连续半鞅x ，具有如下分解 设0 p o o ，定义函数 j p ( m ，a ) = x = m + a ， llc 订) 芝2 + z o oi d a 。i | i p ，露c m ，a ，= i l m + + 1 0 。0l 烈s l l l p 由【1 2 1 ，可得如下不等式 c p 矗( m ，a ) 3 p ( m ，a ) q 廊( m ，a ) 对于一个具有( 3 2 1 ) 分解的连续半鞅，定义它的重随机积分厶( x ) 为 厶( x ，) = f o 。厶一( x ，s ) d 咒， 其中i o ( x ，t ) = 1 ，j r l ( x ，t ) = 咒，同时记 厶( x ，m ，t ) = 1 0 2 厶一。( x ，s ) d 尥，i 厶( x ，a ，t ) l = i o i 厶一，( x ，s ) d a 。i ， 并记l 厶( x ，a ) l = i 厶( x ，a ，。) l 。 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 命题3 2 1 设0 p o 。，则不等式 e ( x ，m ) + i 厶( x ，a ) l p g 护l l ( m ) 昌2 + ( z j 以s i ) n i l p ( 3 2 4 ) 对任意连续半鞅x 成立。 证明对任意的n 2 ，以下不等式成立。 ( 厶( x ，m ) ) 芝2 + i 厶( x ，a ) | l l p 0 露一，( x ) ( ( m ) 鹜2 + o 。i d a s l ) i l p si i ：, ( x ) l l 叫。n 一。，l l ( ( m ) 芝2 + o 。i d a 。i ) n 0 ：加 l l 露一。c x ，m ，+ l 厶一，c x ，a ，叩，。n 一。，l l ( c m ，芝2 + o 。l d a 。i ) “l l 了n 由于e ( x ) 露( x ，m ) + l 厶( x ，a ) i ，并联系( 3 2 2 ) ，可以得到 i i , g ( x ，m ) + l 厶( x ，a ) l t i p c pi i 鬈一。( x ，m ) + l 厶一，( x ，a ) 印，m 一。，i l ( ( m ) 鹜2 + o l d a 。i ) n l l 了竹 因此，由归纳法就可得到( 3 2 4 ) 。 应用【7 】中的结论，我们接着可以得到以下命题。 命题3 2 2 设0 2 ，进一步可以得到： l l 五西石五：丽l i p l l 鬈( x 川y 2 i l 露。( x ) ( m ) 。l i ：胆 g ，pi i r ( x ) l ll p 2i i ( m ) z 。1 1 ：2 显然，以上不等式在佗= 2 时，只要取g p = 1 就成立。再联系( 3 2 7 ) ，( 3 2 2 ) 和( 3 2 5 ) 就, - t v a 得到：当扎22 ，0 p 0 ，并设0 p o 。则不等式 烛等卜圳崦c 1 + 5 l o g ( 1 + ，- ) 川y ：胆 3 对任意停时7 成立。 2 7 证明因为 ( 觋= z 。x 。d s 峨 应用不等式( 2 2 7 ) 的右边及c a u c h y - s c h w a r z 不等式就可得到此不等式。 引理3 3 2 设0 p 。o ，则不等式 口 崦辫峥l l 南l i p 3 q 对任意停时7 - 及任意的佗= 1 ，2 成立。 证明设0 0 使得z c 。 证明此引理可以通过数学归纳法证明。显然此引理对住= 1 ，2 均成立。假设此引 理对1 ，2 ，几一1 也成立，并设 卢一1 = m a x o e o ，o 1 ，q n 一1 ) ， 2 8 则根据( 3 3 3 ) ，就可以得到 另一方面，对任意的z 0 ，存在一个只依赖于n ，p 的常数倪，口， 采豸 使得 再将此式联系( 3 3 4 ) ，就可得到 ( 3 3 4 ) 根据归纳假设，存在一个只依赖于竹，p 的常数c 0 ，使得z c 。 口 现在，运用【4 5 】中的方法来证明定理3 1 2 。 证明根据( 2 2 7 ) ，此定理在n = 1 时，显然成立。所以在接f 来的讨论中，我们 取n 2 。 首先，令n 3 ，1 j 詈，利用h 6 l d e r 不等式，取其指数分别为s = 南，r = 苟，并应用引理3 3 1 和( 2 2 7 ) ，就可以得到 烛帮l 器器旷v n ii s u p i i 胁 g p 6i l l o g n ( 1 + 6 l o g ( 1 + 丁) ) l l p 对0 p 0 0 和任意停时7 都成立。 显然，以上不等式在n = 2 时也成立。再联系以下等式 w ，= 篓( 一丢) 南驴侧， 3 劫 就可以证得不等式( 3 1 3 ) 的右边。 0 一 一n z 8一 z 帕：l ， 卢g + n z 0 一 砒触 卢 g+ l q 2 l 一 一他 z 接下来再证明( 3 1 3 ) 的左边。首先，同样设n 3 ，1 j n 2 ，利用h 6 l d e r 不 等式，取其指数分别为s = 南，r = 芳。再应用已证明的( 3 1 3 ) 的右边，以及引 理3 3 1 和引理3 3 2 ，就可以得到 器紫l 器雠k 忙孔s 亟u p 州 x 叫) ? 2 _ i p 2 j 肪 州l o g “( 1 + 5 l o g ( 1 圳l n 崦辫n 另一方面，容易验证 ( w = 篓高矧耶) ( 硝 ( 3 3 - 6 ) 对所有的n = 1 ，2 都成立。所以当佗之3 ，1 p 。时，就有 锄i i ( c a 州i p 嵫器峥：槲忆 + 霎瓤i i ( 吲叫刈y ”崦辫 因此，就可以得到以下不等式在钆3 ，1 p 0 ， 使得z c n p ，6y 对所有1 p o o 都成立。也即， ( 3 1 3 ) 的左边对1 p o 。成 立。类似的，( 3 1 3 ) 的左边对0 p 1 也成立。 口 接下来给出6 1 维的b e s s e l 过程z b e s 6 ( o ) 的重随机积分厶( ，6 ) ，t 0 的相应结论。先给出厶( t ，6 ) 的定义 厶( t ，6 ) = z 。厶，( s ，6 ) d 磊， 其中，j o ( t ，6 ) = 1 ，j i ( t ，6 ) = 毛。 3 0 定理3 3 1 设z b e s 6 ( 0 ) ，其中6 之1 ，并设0 p 。堕随机积 分厶( t ，6 ) ，t 0 如上定义。则不等式 锄一2 峪慨s u p ，i j , t ( 娜) 忙巾吖2 f f p i i| i 和 锄怕尸2 l i p - 0 ，由前一节可知 ，t 厶( t ，6 ) = 厶一l ( 3 ，5 ) d x 。m 1 ) i o ( t ，6 ) = 1 ， 并设 厶 ) = ( 厶( t ，6 ) ，玩) t 2 。， 露( 正6 ) 2 点焉l 厶( 。，6 ) l 其中的t 表示某一停时。 定理2 3 2 讨论了 x ；， p 砺，c 耋1 ，t ) 这四个随机变量h j 的性质。本节的主要 目的，就是利用这一定理，得到与之类似的关于b e s s e l 过程蕈随机积分的几个指数 型比率不等式。 定理3 4 1 设佗1 ，他z ，对任意的0 p 1 ，则有 懈| l r n 俐m ( 3 4 2 ) 3 1 证明用数学归纳法证明。显然在n = 2 时此命题成立，假设它对n 也成立。现 证n + 1 的情况，不妨令 ；1 = ( 去+ + 磊1 ) + 磊1 ：= ；1 + 磊1 则由j ) t 纳假设可知 i ( x ) + | i r i i x l ”i i + ，+ 。 l i x ，l l p ，i i k i l k + ，+ 。 n + 1 = i il l 五恢 i = l 引理得证。 在引理3 4 1 中取r = 1 ，就得到推广i 拘i h s l d e r 不等式。 口 引理3 4 2 佗2 ，：lp t l = 1 ，其中p i l ，则有 e ( 倒) i i l l x , l l ” ( 3 4 3 ) 引理3 4 3 对任意的a ，b 0 ，0 p o o 有 ( a + 6 ) p g r p ( a p + 矿) ， 其中，当0 p l 时，q = 1 。当p 1 时g = 2 p 。 借助数学归纳法，可以很容易地将引理3 4 3 推广到n 个元素的和的形式。得到 以上这些引理后，可以开始证明定理3 4 1 了。 证明由( 3 3 5 ) 可知， w ) = 曼i = 0 ( 一丢) 南聊删 【引 = c t ，n 霹以( x ) ： 3 2 所以 露( t ，6 ) = i 噼俨2 d ( x ) l = 0 由引理3 4 3 的佗个元素和的形式及( 3 4 4 ) 可知， 删严e 印( 7 锱) 吲 i = 0g l p 群”2 咖( x ) 爹) n 2 、 lj 7 j = o 吲 = g 舢群”2 泖( x ) 罗n i - - - - o j = o 令m = 吲，并令 所以有 e x p l 勺 l) 1 _ 誓 斯= 弼；( - - 2 0 p 爹磬i i i i j = op 卜( 志) 卜鲁 m ，t = 弼 ( x ) 爹唧b 一- ( 另罴) 。i ， l 、v 、。，j 7 j 删严e x p ( 7 嬲1 ) m 应用h 6 l d e r 不等式，取指数分别为8 = 署，r = 磊。 础州= e p 爹删棚枷f i e x p ( j = o 勺一，1 纠c 确争e 卜叩 m j = o g ，t l p m ，t ( 志) 1 誓) 小加( 志) 卜鲁圹 注意，其中q ，j 7 = c j ，n 一鑫，另外，我们取 卜卯驴一” 再根据( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) ，我们可以得到 e 阢r 】 ( 志) 卜鲁) g m 概6 e p p 警a 譬 ( 3 4 4 ) ( 3 4 5 ) ( 3 4 6 ) 韶 渤 应用引理3 4 2 的广义h 6 l d e r 不等式，取指数为勺l ，满足凳。弓1 = 1 ，就有 肾一m + l 唧一”( 志) 卜鲁) 垂e 卜一印h 7 ( 森) 1 。等矿 现取r j = 仇+ l ，歹= 0 ，1 ，m ，并且根据定理2 3 2 和命题2 2 1 ，我们可以得到 4 蚪碍孚一唧( ( m + 1 b 1 ( 志) 卜要旷 垂h c i , j , n , 1 e ( t 譬) 南唧 丽1 = c e t 仲 将此式应用到( 3 4 6 ) 中， e 【，t 】c g ，n ，p ，6 e 丁叩 警e p 譬= g ，n ，p ，n e p p ， 由( 3 4 5 ) ，最终得到 e 1 ：( t , 5 ) p e x p ( 7 筹) 庐州 定理3 4 2 设佗1 ，n z ，对任意的0 p o 。，一y 0 ，不等式 口 e i ：( t , 5 ) p e x p ( 7 掣) 庐州 4 对所有的停时t 成立。 定理3 4 2 的证明与定理3 4 1 的证明十分相似，在此不加赘述。 定理3 4 3 设佗1 ，n z ，对任意的0 p 1 2a n df r a c t i o n a l b e s s e lp r o c e s s e s s t o c h a s t i cp r o c e s s e sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s ，1 1 5 ，9 1 1 1 5 【2 7 】h d l y e t t eg e m a n ( 1 9 9 3 ) b e s s e lp r o c e s s e s ，a s i a no p t i o n s ，a n dp e r p e t u i t i e s m a t h e m a t i c a lf i n a n c e ，v 0