（应用数学专业论文）armendariz环.pdf

a r m e n d a r i z 环 研究生：张翠萍 导师：陈建龙教授 东南大学数学系，南京，中国，2 1 0 0 9 6 关键词：a r m e n d a r i z 环，m a r m e n d a r i z 环，弱a r m e n d a r i z 环，拟一a r m e n d a r i z 环，q 一斜a r m e n d a r i z 环，半交换环，r e v e r s i b l e 环，z i p 环 摘要：早在1 9 7 4 年，a r m e n d a r i z 注意到r e d u c e d 环( 即没有非零幂零元的环) 满 足条件：如果( z ) = 凳o a i x ，g ( x ) = 警。幻r m 满足f ( x ) g ( x ) = 0 ，则对任意的 0 i m ，0 j n ，有毗= 0 1 9 9 7 年，r e g e 和c h h a w c h h a r i a 称满足上述条件的 环为a r m e n d a r i z 环对a r m e n d a r i z 环的深入研究是在最近这些年才开始的这个环的 特征在于它的零化子和它的多项式环r m 的零化子之间有一一对应关系大家主要研究 此环的各种扩张性，譬如r 叫，r z ( x n ) ，冗通过r m r 的平凡扩张以及经典商环q ( r ) 等，进而给出a r m e n d a r i z 环的结构和许多例子 在这篇文章中，我们继续研究a r m e n d a r i z 性质第一部分主要研究相对于幺半群 的弱a r m e n d a r i z 环证明了对于严格幺半群m ，如果存在环r 的个半交换理想，使 得r t 是弱m - a r m e n d a r i z 环，则冗是弱m a r m e n d a r i z 环从这个结果我们可得到 l i u 和z h a o 在2 0 0 6 年证明的一个结论 在第二部分中，对环r 的自同态口，引入了弱a 斜a r m e n d a r i z 环的概念给出了 这个环和r e v e r s i b l e 环的关系证明了r e v e r s i b l e 环r 如果满足条件：对任意的a ，b r ， 当a b = 0 时，有a o r ( b ) = 0 ，则r x l ( x ) 是弱_ - 斜a r m e n d a r i z 环，其中瓦是o l 的扩 张，n 2 是整数从这个结果我们可得到h o n g ，k i m 和k w a k 在2 0 0 3 年的一个结论 此外，如果r 还满足条件“存在正整数t ，使得o l 。= 1 r ”，则它的多项式环r z 】是弱甭 斜a r m e n d a r i z 环这个结果是l i u 和z h a o 在2 0 0 6 年的一个结论的推广 第三部分主要研究模的a r m e n d a r i z 性质，即斜a r m e n d a r i z 模和a - 半交换 模证明了环r 是a 一斜a r m e n d a r i z ( a - 半交换) 环当且仅当所有平坦右戽模是斜 a r m e n d a r i z ( a - 半交换) 模当a = 1 r 时，此结果是b u h p h a n g 和r e g e 在2 0 0 2 年的结 论还证明了：( 1 ) 如果= 1 r ，则m 是q - r e d u c e d 的右尼模当且仅当m x m x ( x n ) 是o l 一斜a r m e n d a r i z 的右r x l ( x n ) 一模，其中n ( 2 ) ，j 是正整数( 2 ) 如果m 是 q r e d u c e d 的右尼模，则m x l m x ( x n ) 是o t 一半交换的右r x ( x n ) 一模当仅= 1 r 时，这些结果是l e e 和z h o u 在2 0 0 4 年的结论 第四部分主要研究拟一a r m e n d a r i z 模的性质以及这些性质和模的子集在环r 中的 零化子之间的关系证明了是拟a r m e n d a r i z 的右r - 模当且仅当心( ) 是拟 a r m e n d a r i z 的右 磊( 冗) 一模当且仅当死( ) 是拟一a r m e n d a r i z 的右死( 兄) 模这些结 果是h i r a n o 在2 0 0 2 年的结论的推广 最后，我们主要研究了z i p 模的性质讨论了a r m e n d a r i z 性质在z i p 模中的应用 证明了环r 是右有限余生成的当且仅当每个右尼模是z i p 模当且仅当每个有限生成右 r - 模的任意直积是z i p 模当且仅当每个循环右r - 模的任意直积是z i p 模 a r m e n d a r i zr i n g s c a n d i d a t ef o rp h d ：z h a n gc u i p i n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rc h e nj i a n l o n g d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s ，s o u t h e a s tu n i v e r s i t y , n a n j i n g ，p r c h i n a k e y w o r d s ： a r m e n d a r i zr i n g s ， r i n g s a r m e n d a r i zr i n g s ，m a r m e n d a r i zr i n g s ，w e a ka r m e n d a r i zr i n g s ，q u a s i - q - s k e wa r m e n d a r i zr i n g s ，s e m i c o m m u t a t i v er i n g s ，r e v e r s i b l er i n g s ，z i p a b s t r a c t ：a se a r l ya si n1 9 7 4 ，a r m e n d a r i zn o t e dt h a te v e r yr e d u c e dr i n gr ( i e ， ar i n gw i t h o u tn o n - z e r on i l p o t e n te l e m e n t s ) s a t i s f i e st h i sc o n d i t i o n ：i fw h e n e v e rl ( x ) = 銎o a i x ，g ( x ) = 各。幻n i x 】w i t h 厂( z ) 9 ( z ) = 0 ，t h e na 4 b j = 0f o ra l lia n d 歹 ar i n gs a t i s f y i n gt h ea b o v ec o n d i t i o ni sc a l l e da r m e n d a r i zr i n g ，t h et e r mo fw h i c hw a s i n t r o d u c e db yr e g ea n dc h h a w c h h a r i ai n1 9 9 7 r e c e n t l y , t h em o r ec o m p r e h e n s i v es t u d y o ft h en o t i o no fa r m e n d a r i zr i n g sw a sc a r r i e do u t t h ei n t e r e s to ft h i sn o t i o nl i e si ni t s n a t u r a la n du s e f u lr o l ei nu n d e r s t a n d i n gt h er e l a t i o nb e t w e e nt h ea n n i h i l a t o r so ft h er i n g ra n dt h ea n n i h i l a t o r so ft h ep o l y n o m i a lr i n g 吲z 】v a r i o u sk n o w nw o r k so na r m e n d a r i z r i n g sd e a lw i t ht h ea r m e n d a r i zp r o p e r t yo fs o m ee x t e n s i o n so fa na r m e n d a r i zr i n gr ， s u c ha sr n z ( x ”) ，t h et r i v i a le x t e n s i o nt ( r ，m ) w h e r emi sab i m o d u l eo v e rr ，a n d t h ec l a s s i c a lq u o t i e n tr i n gq ( r ) ，t h u sg i v i n gc o n s t r u c t i n sa n de x a m p l e so fa r m e n d a r i z r i n g s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ec o n t i n u et h es t u d yo ft h ea r m e n d a r i zp r o p e r t y i nt h ef i r s t p a r t ，t h ew e a ka r m e n d a r i zr i n g sr e l a t i v et oam o n o i di ss t u d i e d i ti sp r o v e dt h a tf o ra r i n gr a n das t r i c t l yt o t a l l yo r d e r e dm o n o i dm ，s u p p o s et h a tr ii sw e a km - a r m e n d a r i z f o rs o m ei d e a lio fr ，i fii ss e m i c o m m u t a t i v e ，t h e nri sw e a km a r m e n d a r i z f r o mt h i s r e s u l t ，w ec a no b t a i nar e s u l tp r o v e db yl i ua n dz h a oi n2 0 0 6 i nt h es e c o n dp a r t ，t h en o t i o no fw e a ka - s k e wa r m e n d a r i zr i n g si si n t r o d u c e d ，w h e r e qi sa ne n d o m o r p h i s mo fr i n gr t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h er e v e r s i b l er i n g sa n dt h e w e a kq s k e wa r m e n d a r i zr i n g si sg i v e n w ep r o v et h a ti fri sar e v e r s i b l er i n gs a t i s f y i n g t h ec o n d i t i o nt h a tf o ra n ya ，b r ，i fa b = 0t h e na a ( b ) = 0 ，t h e nr x ( x n ) i sw e a k 瓦- s k e wa r m e n d a r i zr i n g ，w h e r e 西i sa ne x t e n s i o no fqa n d 佗2 ，i m p l y i n gar e s u l to f n l h o n g ，k i ma n dk w a k ( 2 0 0 3 ) i na d d i t i o n ，i fra l s os a t i s f i e st h ec o n d i t i o nt h a ta 。= i n f o rs o m ep o s i t i v ei n t e g e rt ，t h e ni t sp o l y n o m i a lr i n gr x 】i sw e a kw - s k e wa r m e n d a r i z t h i sr e s u l tg e n e r a l i z e sar e s u l to fl i ua n dz h a o ( 2 0 0 6 ) i nt h et h i r dp a r t ，w ef o c u so nt h ea r m e n d a r i zp r o p e r t i e so fm o d u l e s t h ep r o p e r t i e s o ft h eq s k e wa r m e n d a r i zm o d u l e sa n dt h e 口s e m i c o m m u t a t i v em o d u l e sa r es t u d i e d i t i ss h o w nt h a tr i n gri sa na - s k e wa r m e n d a r i zr i n g ( r e s p ，q s e m i c o m m u t a t i v er i n g ) i f a n do n l yi fa l lf l a tm o d u l e so v e rra r eq s k e wa r m e n d a r i z ( r e s p ，口s e m i c o m m u t a t i v e ) t h i si st h er e s u l to fb u h p h a n ga n dr e g e ( 2 0 0 2 ) w h e nq = 1 r w ea l s op r o v et h a t ：( 1 ) i fo = i n ，t h e nmi sa - r e d u c e di fa n do n l yi fm x m x ( x 礼) i sq s k e wa r m e n d a r i z m o d u l e so v e rr i n gr x ( x “) ，w h e r er t ( 2 ) ，la r ep o s i t i v ei n t e g e r ( 2 ) i fmi sq r e d u c e d r i g h tr - m o d u l e ，t h e nm x m x ( x n ) i sa n 乜一s e m i c o m m u t a t i v em o d u l eo v e rr z ( z n ) ， w h i c hc o r r e s p o n dt ot h er e s u l t so fl e ea n dz h o u ( 2 0 0 4 ) w h e n 口= i n i nt h ef o u r t hp a r t ，t h ep r o p e r t i e so fq u a s i a r m e n d a r i zm o d u l e sa r ea l s os t u d i e da n d t h ec o n n e c t i o nb e t w e e nt h e s ep r o p e r t i e sa n dt h ea n n i h i l a t o r si nar i n gro ft h es u b s e to f m o d u l e si sg i v e n i ti sp r o v e dt h a tni saq u a s i a r m e n d a r i zr i g h tr - m o d u l ei fa n do n l y i f ( ) i saq u a s i a r m e n d a r i zr i g h t 砧( r ) 一m o d u l e ，i fa n do n l yi f 死( ) i saq u a s i - a r m e n d a r i zr i g h t 霸( r ) 一m o d u l e t h e s er e s u l t sa r et h eg e n e r a l i z a t i o n so ft h a to fh i r a n o ( 2 0 0 2 ) i nt h el a s tp a r to ft h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ep r o p e r t i e so ft h ez i pm o d u l e sa r es t u d i e d s o m ea p p l i c a t i o n so fa r m e n d a r i zp r o p e r t yi nt h er e s e a r c ho fz i pm o d u l e sa r ed i s c u s s e d i ti sp r o v e dt h a tri sr i g h tf i n i t e l yc o g e n e r a t e di fa n do n l yi fe v e r yr i g h tr - m o d u l ei sz i p ， i fa n do n l yi fe v e r yd i r e c tp r o d u c to ff i n i t e l yg e n e r a t e dr i g h tr - m o d u l ei sz i p ，i fa n do n l y i fe v e r yd i r e c tp r o d u c to fc y c l i cr i g t hr - m o d u l ei sz i p 1 v 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 研究生签名；互起鞋 日期：迎驾玉土 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究 生院办理 研究生签名：舜漕 葺 导师签名： 丑纽啸半监 第一章绪论 1 1 课题背景与发展概况 环论作为代数学的重要分支，其理论和方法在数学的众多领域有着广泛的应用一 个多世纪以来越来越多的代数学家给予环论极大的重视，发表和出版了许多具有重要影 响的论文和著作( 如 4 】，【4 2 ， 4 3 ，【9 1 】等) 同时也产生了许多新的课题，其中对环的 a r m e n d a r i z 性质的研究就是一个十分重要的课题 1 9 6 5 年，k a p l a n s k y 在研究a w 术一代数和y o nn e u m a n n 正则代数时引入了b a e r 环 的概念，利用它来刻画这两种代数的性质随后，b a e r 环引起了许多人的关注1 9 7 4 年， a r m e n d a r i z 在研究b a e r 环时，注意到r e d u c e d 环r 满足性质：如果( x ) = ：oo t ， g ( x ) = 凳o r 吲，满足f ( x ) g ( x ) = 0 ，则对任意的0 i 礼，0 j m ，有 毗b = 0 1 9 9 7 年，r e g e 和c h h a w c h h a r i a 称满足上述性质的环为a r m e n d a r i z 环。此环 具有特征：这个环的子集的零化子的集合和它的多项式环的子集的零化子的集合之间有 一一对应关系这样可使得一些环的性质遗传到它的多项式环例如，c o h n 在1 9 7 4 年 证明了矩阵环 毛( z ) 是b a e r 环，但 龟( z ) m 不是b a e r 环 k e r r 在1 9 9 0 年证明了 g o l d i e 环的多项式环不一定是g o l d i e 环。但如果这些环是a r m e n d a r i z 环，则以上两结 论成立从而a r m e n d a r i z 环引起了许多专家、学者的兴趣在最近几年，他们对此环做 了深入的研究，得出了许多漂亮的结果下面列举关于a r m e n d a r i z 环的主要结论 2 0 0 0 年，k i m 和l e e 6 6 1 研究了a r m e n d a r i z 环和r e d u c e d 环的关系，证明了a r m e n d a r i z 环不一定是r e d u c e d 环，a r m e n d a r i z 环的平凡扩张不一定是a r m e n d a r i z 环 但r e d u c e d 环的平凡扩张是a r m e n d a r i z 环 2 0 0 2 年，h u h ，l e e 和s m o k t u n o w i e z 6 0 1 研究了a r m e n d a r i z 环和半交换环的关系， 证明了a r m e n d a r i z 环不一定是半交换的，反之亦然同年，h i r a n o 引入了拟a r m e n d a r i z 环，得出此环是m o r i t a 不变的，给出了它和零化子之间的关系 与此同时，a r m e n d a r i z 环得到了多方面的推广2 0 0 3 年，h o n g ，k i m 和k w a k 5 1 】把 a r m e n d a r i z 性质推广到了斜多项式环上，研究了斜多项式环的这性质，讨论了q r i g i d 环与此性质之间的关系 2 0 0 4 年，l e e 和z h o u 7 6 把a r m e n d a r i z 性质推广到了模上，研究了一个模的多项 式扩张和幂级数扩张的a r m e n d a r i z 性质以及这些模的b a e r 性质和p p 性质 2 0 0 5 年，l i u 7 7 1 把a r m e n d a r i z 性质推广到了相对于幺半群的环上，研究了环相对于 】 2 东南大学博士学位论文 幺半群的a r m e n d a r i z 性质以及幺半群环的a r m e n d a r i z 性质证明了如果r 是r e d u c e d 的 ，一a r m e n d a r i z 环，则r 是m n a r m e n d a r i z 环，其中m 是幺半群，是唯一积 幺半群 2 0 0 6 年，l i u 和z h a o 7 9 1 引入了弱a r m e n d a r i z 环的概念，证明了半交换环上的多 项式环是弱a r m e n d a r i z 环弱a r m e n d a r i z 环的上三角矩阵环是弱a r m e n d a r i z 环 2 0 0 7 年，h a s h e m i 4 6 1 把拟一a r m e n d a r i z 性质推广到了相对于幺半群m 的环上 证明了此环的m 一拟一a r m e n d a r i z 性质是m o r i t a 不变的相对于唯一积幺半群m 的半 素环是m 一拟一a r m e n d a r i z 的 2 0 0 8 年，a n t o i n e 7 给出了a r m e n d a r i z 环的幂零元的集合的结构，进而得到了许 多新的a r m e n d a r i z 环的例子回答了a m i t s u r 在1 9 5 6 年提出的一个问题 下面的图反映了a r m e n d a r i z 环及相关环类之间的关系： o t 斜a r m e n d a r i z 环 历 a r m e n d a r i z 环 弱a r m e n d a r i z 环 翅 m - a r m e n d a r i z 环 u 拟一a r m e n d a r i z 环 m 一拟a r m e n d a r i z 环 1 2 本文研究结构与主要结论 本文共分为六章 第一章阐述了课题背景、发展概况及本文研究结构与主要结论 第二章主要研究了相对于幺半群m 的弱a r m e n d a r i z 性质及幺半群环的弱a r m e n d a r i z 性质，给出了环r 和商环r i 的弱m a r m e n d a r i z 性质之间的关系 第三章主要讨论斜多项式环对环r 的自同态口，引入了弱q 一斜a r m e n d a r i z 环的 概念，举例说明了这类环不一定是r e v e r s i b l e 环，反之亦然，讨论了它们之间的关系研 究了环冗，多项式环r 纠及商环r x ( x ”) 的弱a 一斜a r m e n d a r i z 性质 第四章主要研究甜斜a r m e n d a r i z 模和q 半交换模把a r m e n d a r i z 模和半交换 模的许多结果做了推广，进而从模的角度刻画了o t 斜a r m e n d a r i z 环和甜半交换环的 第一章 绪论 特征，给出了这两个模之间的联系 第五章讨论了模的拟一a r m e n d a r i z 性质，用模的这一性质刻画了拟- a r m e n d a r i z 环 的特征，给出了拟a r m e n d a r i z 模与该模在环r 中的零化子之间的关系 第六章主要讨论z i p 模的性质，并用这性质刻画了右有限余生成环的特征此外， 研究了模的a r m e n d a r i z 性质在z i p 模中的应用 本文主要结论： l i u 和z h a o 在2 0 0 6 年证明了： 如果，是半交换理想，r i 是弱a r m e n d a r i z 环，则r 是弱a r m e n d a r i z 环 受他们的启发，在本文中我们得到了下列结果： 定理设r 是环，m 是严格全序幺半群如果j 是半交换理想，r i 是弱m a r m e n d a r i z 环，则冗是弱m a r m e n d a r i z 环 l i u 在2 0 0 5 年证明了： 有限生成a b e l i a n 群g 是无挠群当且仅当存在环r 满足i r i 2 ，使得r 是g - a r m e n d a r i z 环 在本文中我们得到了下列结果： 定理设g 是有限生成a b e l i a n 群则下列条件等价： 口) g 是无挠的； 俐存在一个环r 满足f r f 2 ，使得r 是弱g a r m e n d a r i z 环 l i u 在2 0 0 5 年证明了： 如果r 是r e d u c e d 的m - a r m e n d a r i z 环，是唯一积幺半群，则r 是m - a r m e n d a r i z 环 在本文中我们得到了下列结果； 定理设m 是幺半群，是严格全序幺半群如果r 是半交换的m - a p m e n d a r i z 环， 则r 是弱m n a r m e n d a r i z 环 h o n g ，k i m 和k w a k 在2 0 0 3 年证明了： 。 如果r 是o l r i g i d 环，则n ( z ) ( x 2 ) 是_ - 斜a r m e n d a r i z 环 在本文中我们得到了下列结果： 定理 设r 是r e v e r s i b l e 环，o l 是兄的自同态，使得对任意的a ，b r ，当a b = 0 时， 有a o e ( b ) = 0 则对任意的正整数n ，n x ( x n ) 是弱厘一斜a r m e n d a r i z 环 l i u 和z h a o 在2 0 0 6 年证明了： 如果环兄是半交换环，则r 是弱a r m e n d a r i z 环 3 4 东南大学博士学位论文 在本文中我们得到了下列结果： 定理设r 是r e v e r s i b l e 环，o l 是r 的自同态，使得对任意的a ，b r ，当a b = 0 时， 有a a ( b ) = 0 如果存在正整数t 使得q 。= 1 r ，则r x 是弱丘一斜a r m e n d a r i z 环 h o n g ，k i m 和k w a k 在2 0 0 3 年证明了。 如果r 是q r i g i d 环，则r k ；q 】是r e d u c e d 环因此它是a r m e n d a r i z 环 在本文中我们得到了下列结果： 定理 设r 是r e v e r s i b l e 环，o l 是r 的自同态，使得对任意的a ，b r ，当a b = 0 时， 有a a ( b ) = 0 如果存在正整数t 使得o t 。= 1 r ，则r 【z ；n 】是弱a r m e n d a r i z 环 b u h p h a n g 和r e g e 在2 0 0 2 年证明了； a r m e n d a r i z ( 半交换) 环上的所有平坦模是a r m e n d a r i z ( 半交换) 模 在本文中我们得到了下列结果： 定理设o l 是环r 的自同态则r 是0 1 斜a r m e n d a r i z 环当且仅当每个平坦右r 一模 是口一斜a r m e n d a r i z 模 定理设o l 是环r 的自同态则r 是口半交换环当且仅当每个平坦右冗一模是口一半 交换模 h o n g ，k i m 和k w a k 在2 0 0 3 年证明了： 如果存在正整数f ，使得= 1 ，则r 是斜a r m e n d a r i z 环当且仅当r x 】是斜 a r m e n d a r i z 环 在本文中我们得到了下列结果： 定理设o l 是环j f c 的自同态，且存在正整数2 使得q l = 1 r 则右r 一模m 是q 一斜 a r m e n d a r i z 模当且仅当m 是r x 】上的乜斜a r m e n d a r i z 右模 l e e 和z h o u 在2 0 0 4 年证明了； 设n 2 是整数则m r 是r e d u c e d 模当且仅当m x m x ( x n ) 是r x ( x “) 上的a r - m e n d a r i z 右模 在本文中我们得到了下列结果： 定理 设q 是环r 的自同态，且存在正整数f 使得= l a 则m 是q r e d u c e d 的当 且仅当m x m x ( x n ) 是r x ( x “) 上的o l 斜a r m e n d a r i z 右模，其中n 2 是整数 定理 设o t 是环冗的自同态如果m 是o t r e d u c e d 模，则m x m x ( x n ) 是r m ( 扩) 上的口半交换右模，其中竹2 是整数 b u h p h a n g 和r e g e 在2 0 0 2 年证明了： 设r 是环以下条件等价； 第一章绪论 ( 1 ) r 是a r m e n d a r i z ( 半交换) 环； ( 2 ) 每个t o r s i o n l e s s 右r - 模是a r m e n d a r i z ( 半交换) 模； ( 3 ) 每个有限生成投射右r 一模是a r m e n d a r i z 模； ( 4 ) 每个循环的投射右r - 模是a r m e n d a r i z 模； ( 5 ) 每个自由右戽模的子模是a r m e n d a r i z ( 半交换) 模； ( 6 ) 存在一个忠实右r 模是a r m e n d a r i z ( 半交换) 模 在本文中我们得到了下列结果： 定理设r 是环则下列条件等价： 以，r 是拟a r m e n d a r i z 环； 偿) 每个投射右r 一模是拟a r m e n d a r i z 模； 俐每个有限生成投射右r 一模是拟一a r m e n d a r i z 模； 心j 每个循环的投射右r 一模是拟a r m e n d a r i z 模； p j 每个t o r s i o n l e s s 右r 一模是拟一a r m e n d a m z 模； ) 存在一个忠实的右冗一模是拟一a r m e n d a m z 模 h i r a n o 在2 0 0 2 年证明了： 设r 是环，s 是m 。( r ) 的子环，使得对任意的i ，歹 1 ，2 ，礼) ，有e 瓠s 劬s ，其 中e 玎表示矩阵单位如果r 是拟a r m e n d a r i z 环，则s 是拟一a r m e n d a r i z 环 但这个结论有点问题 在本文中我们得到了下列结果： 定理设是右咒一模，m 2 是整数则以下条件等价： n ) v 是拟- a r m e n d a r i z 的右r 一模； 俐( ) 是拟a r m e n d a r i z 的右( r ) 一模； 俐( ) 是拟一a r m e n d a r i z 的右( r ) - 模 我们给出下列例子说明h i r a n o 的上述结论不一定成立，同时说明拟一a r m e n d a r i z 环 的平凡扩张不一定是拟一a r m e n d a r i z 环 例设t 是础c e d 环f l l jr = ( 嚣三) a , b et ) 是拟- a 伽e n d a r i z 的t = m s ( r ) 是拟a r m e n d a r i z 环，平凡扩张s = t ( r ，r ) 不是拟一a r m e n d a r i z 环但( s ) 在 ( t ) 中满足h i r a n o 结论的条件，但它不是拟一a r m e n d a r i z 环 h i r a n o 在2 0 0 2 年证明了： 设r 是环则以下条件等价： ( 1 ) 对任意的a r ，r n ( a r ) 作为r 的右理想是纯的； 5 6 东南大学博士学位论文 ( 2 ) 对任意的f ( x ) r 吲，r r 正】( j f ( z ) r m ) 作为r m 的右理想是纯的 此时，r 是拟一a r m e n d a r i z 环 在本文中我们得到了下列结果： 定理设是右r 模则以下等价： 以) 对任意的n n ，r r ( n r ) 作为r 的右理想是纯的； 俐对任意的n ( x ) ，r r 渊( n ( z ) r 叫) 作为r x 的右理想是纯的 此时，是拟一a r m e n d a r i z 模 本文引入了z i p 模的概念，证明了以下结论： 定理设r 是环，则以下条件等价： n ) r 是右有限余生成的； 俐每个右r 一模是却模； 俐有限生成右兄一模的任意直积是却模； 似) 循环右r 一模的任意直积是z 咖模 定理设m 是a r m e n d a r i z 模，则以下条件等价： ( 1 ) m 是却的右r 一棱； 俐m i x 】是z p 的右冗m 一模； 俐m k ；z - 1 】是z i p 的右r b ；x - 1 一模 1 3 基本定义 称环冗是a r m e n d a r i z 环，如果，( z ) = ：o a i x ，g ( x ) = 警。幻r 纠，满足 f ( x ) g ( x ) = 0 ，则对任意的0 i 他，0 歹m ，有o t 幻= 0 称环r 是一斜a r m e n d a r i z 环，如果y ( x ) = 岛a i x ，g ( x ) = 翟o b 夕冗k ；q 】， 满足，( z ) 9 ( z ) = 0 ，则对任意的0 i t t ，0 歹m ，有吼q 。( 如) = 0 称环r 是弱a r m e n d a r i z 环，如果f ( x ) = 銎o a i x ，g ( x ) = 翌。幻r x l ，满足 ，( z ) 9 ( z ) = 0 ，贝4 对任意的0 i n ，0 j l ，有啦6 9 礼i z ( j r ) 称环r 是m - a r m e n d a r i z 环，如果q = 仁noa i g i ，p = e 銎。幻b r m i ，满足 o , f l = 0 ，则对任意的0 i 他，0 j m ，有o t 如= 0 称环r 是拟a r m e n d a r i z 环，如果( x ) = 函a i x ，g ( x ) = 凳o b 引z 】，满 足，( z ) r 【翻9 ( z ) = 0 ，则对任意的0 i 竹，0 j m ，有a i r b j = 0 第一章绪论 称环r 是m 一拟a r m e n a r i z 环，如果口= ：oa i g i ，p = 凳ob j h j r m 】，满足 a r m p = 0 ，则对任意的0 i 礼，0 j m ，有a t r b j = 0 7 8 东南大学博士学位论文 1 4 符号说明 z n q r m r m r ( ) l ( ) r m ( 兄) 死( r ) n i t ( n ) t ( r ，m ) 其余相关符号与定义参见( 【4 】) 整数集 自然数集 有理数集 有单位元的结合环 右b 模m 幺半群 右零化子 左零化子 环冗上幺半群m 的幺半群环 环r 上的n 阶矩阵环 环r 上的n 阶上三角矩阵环 环r 的幂零元的集合 环r 和模m 上的平凡扩张 第二章弱m a r m e n d a r i z 环 2 0 0 5 年，l i u 7 7 引入了m a r m e n d a r i z 环的概念，把a r m e n d a r i z 环的许多结果推 广到了m a r m e n d a r i z 环上，并且证明了有限生成a b e l i a n 群g 是无挠群当且仅当存在 一个g a r m e n d a r i z 环2 0 0 6 年，l i u 和z h a o 7 9 1 引入了弱a r m e n d a r i z 环的概念，证 明了已有的一些非a r m e n d a r i z 环却是弱a r m e n d a r i z 环鉴于此，我们自然想到来研究 弱m a r m e n d a r i z 环本章我们引入了此概念，并且把弱a r m e n d a r i z 环的许多结果推广 到了弱m a r m e n d a r i z 环 2 1 弱m a r m e n d a r i z 环 设m 是幺半群称环r 是弱m a r m e n d a r i z 环是指对r i m 】中的元素q = a l g l + + n m 9 m 和卢= b l h l + + k k ，如果q p = 0 ，则d i 幻n i l ( r ) ，其中i = 1 ，2 ，m ， j = 1 ，2 ，礼 命题2 1 1 设r 是一个环，m 是一个幺半群则对任意的自然数孔，r 是弱m a r m e n d a r i z 环当且仅当矗( r ) 是弱m a r m e n d a r i z 环 证明 由于弱m a r m e n d a r i z 环的任意子环是弱m a r m e n d a r i z 环因此，如果死( r ) 是弱m - a r m e n d a r i z 环，那么r 是弱m a r m e n d a r i z 环 反过来，设q = a l g l + a 2 9 2 + +