（基础数学专业论文）内部构造安全保障体系系统解的半离散化分析.pdf

硕士学位毕业论文 摘要 本文讨论了一个系统中有两台机器并联工作，且具有内部构造安全保障体系独立运行 的随机数学模型。本文经过泛函分析处理，采用算子半群方法确立一正压缩g 一半群，得出 系统解存在且唯一，并且构造初等阶梯函数将系统中修复率“( 。) “= 4 ，5 ) 进行逼近。给 出系统半离散化模型，求出预解式冗( ，y ，a + e ) 。r ( 7 ，如+ 晶) ，并运用g 一半群理论中的 2 r 以e r 定理将系统解逼近 关键词：安全保障体系；半离散化；逼近 t h es e m i - d i c r e t i z a t i o no fa n a l l y z i n gar e d u n d a n t r o b o tc o n 丘g u r a t i o nw i t h ab u i l t i ns 如t ys y s t e m a b s t r a c t t h i sp a p e rp r 鹤e n t saa8 t o c h a s t i cm a t h 锄a t i c a lm o d dr e p r e n t i n gt w ou n i t s 蛐do n e 拍as a f e t ys y s t e n l a n db 甲瑚i n g 胁c t i a n a l 吼出y z i n g a p p l y i n go p 既a t o r m i f o u pm e t h o d 鹤t a b l i s hap o s i t i v e ( k m i g r o u p o b t a i ne 妊s t e n c e 缸du n i q u e n e 鹄o fs ”t 哪s o l u t i o n a n d t h e nw e8 t n l c t l l r ea ne l e m e t a 盯s t 印f i l n c t i o nt oa p p r o m m a t et h er 印a i rr a t em ( z ) “= 4 ，5 ) i nt h es y 8 t e m ，a n dp r e 8 e n t 8t h e 蛐i - d i c r e t i z a t i o n gm o d e l ，b ys t u d y i n g 冗( 7 ，a + e ) ，r ( 7 ，k + 上k ) 8 n dl l 阳n d e r t h e o r e mi ns e i n i g r o u pt h e o r ya p p r o a c b 【i l l go f 盯鼬e ms o l u t i o n k e yw o r d 8 ：s a f 毫t ys y 8 t 锄；s 即也d 主s c r e t i z a t i o n ；a p p r d m a t e 2 第一章绪论 在我国四个现代化的建设中，各行各业对产品可靠性问题愈来愈重视，迅速地推动了可靠 性事业的发展，然而，由于过去可靠性的基础教育和理论研究十分薄弱，致使许多科技人员和 管理人员对可靠性的基础知识了解较少，不能完全适应可靠性工作的需要 可靠性理论是一产品的寿命特征作为主要研究对象的一门综合性和边缘性学科，它涉及 到基础科学，技术科学和管理科学的许多领域可靠性数学是可靠性理论的最重要的基础理 论之一。近年来已发展成为应用概率，应用数理统计和运筹学的一个边缘分支学科 现代技术的不断进步，推动了可靠性理论迅速发展，也促进了可靠性数学理论日趋完备 当可靠性问题尚未明确提出之前，人们已经在很多场合使用耐久性寿命稳定性、安全性， 维修性等概念来反映产品的质量可靠性数学理论大约起源于本世纪三十年代最早被研究 的领域之一是机器维修问题q ，另一个重要的研究工作是将更新理论应用于更换问题【3 】【4 】 可靠性理论【q 1 6 l 是一门定量的科学，可靠性的许多基本概念的定义是用数学术语给出的，不 理解这些基本概念的严格数学定义，往往会在实际工作中产生概念混淆同时一个可靠性工 作者只有熟悉可靠性理论中最基本的数学模型和数学方法，才有可能在工作中根据具体问题， 提出既不脱离实际、又在数学上可能解决的合理数学模型然而在解决可靠性问题中所用到 的数学模型大俸可分为两类t 概率模型和统计模型，概率模型是指从系统的结构及部俘的寿 命分布、修理时间分布等等有关的信息出发，来推断出与系统寿命有关的可靠性数量指标，进 一步可讨论系统的最优设计使用维修策略等等 如近年来，有大量文章对具有人为操作错误的人机系统的可靠性和可靠度作了细致的研 究，如文献【一【l l 】分析了修复时间服从指数分布的冗余人机系统，并且文献1 1 首先利用增 补变量方法建立了修复时间服从任意分布的冗余人机系统数学模型所以可靠性设计和分析 已成为许多部门产品发展工作中不可缺少的重要一环在此环境背景基础之上，我们用半离 散化方法来研究一数学模型中动态解的逼近 1 第二章系统的数学模型介绍 2 1 引言 在文献i 3 j f ，4 】中作者运用拉普拉斯变换的方法研究了该系统模型在这里我们运用半离 散逼近方法f l q 【- 6 】把一个抛物型偏微分方程化为一个矩阵常微分方程，因为后者在许多问题 上( 例如稳定性等) 可以作为原问题的近似，不仅如此。还保持了原问题的许多重要的物理意 义，因而它本身就可以作为原物理问题的常微分方程模型离散后的数学模型适合于计算机 的计算和模拟，具有一定的意义 2 2 模型解析 本文讨论的冗余机器系统组成为两台相同机器和一个安全保痒体系，并且可修机器和安 全保障体系在应用时是完好无损的，当机器都故障时整个系统故障 各状态间的转换关系如图h 儿( t ) 图l 中的数字和字母表示相关的系统状态- i = o - 一两台机器和安全保障体系均正常运行i l = 1 一一台机器和安全保障体系正常运行，另一台机器故障； 2 硕士学位毕业论文 i = 2 一两台机器正常运行，安全保障体系故障； i = 3 一一台机器正常运行，安全保障体系故障，另一台机器故障； l = 4 一两台机器与安全保障体系均故障； = 5 一两台机器故障，安全保障体系正常运行； 上面模型可由以下积分微分方程描述t 掣；翻+ 删卅宴f 脚出 掣+ n l 艏) _ 2 a 删 掣+ 蚴砒踯) 掣+ 啪= 九p l ( t ) 蚴黜) 掣+ 掣坼，归吣5 ) 其中n o = 2 kn l = a + 凡+ m0 2 = 2 入+ 舰如= a 相关的边值条件如下一 只( o ，z ) = a b ( t ) 尼( o ，) = a r ( t ) 相关的初值条件如下t 蜀( o ) = 1 ，r ( o ) = 岛( o ) = 忍( o ) = 只( z ，o ) = p 5 ( 耳o ) = 0 a 一表示机器定常故障率； 地一表示状态i 定常修复率 a 广表示与机器相关联的安全保障体系的定常故障率； 只( ) 时刻系统处于状态 时的概率( i = 0 ，l ，2 ，3 ) ； 只( z ，) 一时刻系统处于状态 且已修复时间z 的概率“；4 ，5 ) ； 胁( z ) 一系统处于状态 ，修复时间z 时的系统修复率“= 4 ，5 ) ；且满足 o s 风 0 ，使得只( ) = 0 ，z 【0 a 】， = 4 ，5 ，从而推出 只( z ) = o ，z 【o ，2 s 】，i = 4 ，5 。其中o m 时。( r ，一 一司i 为正算子由文献嘲即知- a + e 生成一正压缩钳半群 这里 设 硕士学位毕业论文 4 ) 正压缩岛一半群就是算子t ( t ) 对任意户d + e ) ，由文献【船】一嘲取 放有。 耻c 警，譬，譬，譬，错，锗， 卅 ：糕c 测， 吼圳+ ：p ， l u 搿三：c 固 k = = 。 o ，o o ) j 只( z ) 0 ) w ，n = z 【o ，) 1 只( z ) o ) “= 4 ，5 ) 错如= 上掣错如+ 厶掣错如 ：掣如 ：，”掣如 = 一暇( 0 ) 】+“= 4 ，5 ) 8 硕士学位毕业论文 对任意的声d ( a + e ) 和q p ，有 9 o 另一方面由于户( - ，t ) d + e ) 且户( ，t ) ，“= 4 ，5 ) 且满足系统( 2 1 ) 一一( 2 8 ) ，于 是有； 扣卜赛扣卅妾丢z ”w 肛。 因此 愀，t ) | l = | 协) 忙 这也正说明了卢( ，t ) 的物理意义 第四章系统解的半离散性分析 4 1 系统模型的半离散化 我们构造初等阶梯函数p 。( ) 来逼近似( z ) ，假设： l i m 地扛) = 成，0 = 4 ，5 ) 即： 垤( n ) o 一o 。，e ( n ) 一o ) ，j z o 【o ，o 。) 使得帆( z ) 一心l e ( 叻。 在f o ，匈】上任取一个划分： t ：o = 咖 a l 础一1 8 q n = ， i = n l l ，a t ) ，l i s n 令： 显然有 f 叭p 地o ) 肛n ( z ) = 增g l 店 z 厶 z ( z o ( n ) ，o o ) j p m 【霉) 一胁( $ ) j 0 时。d e t d 0 ，( ，y 卜一a 一司是闭算子已证，故( ，y j a e ) _ 1 存在且有界 从而有： 兄h ：a + e ) = ( 1 ，一a e ) 一1 其中。 g l l d ii d i c 4 lc 4 2 c 拈 1 l 1 2 1 3 1 k c 1 5 c 2 5 c 3 5 c “c 4 5 _ 1 1 1 4 1 5 + l d i 也 纠 衢 c l l = 6 1 6 2 6 3c 1 2 = 6 2 6 3 p l 十磅6 3 a 九 矗+ 6 2 6 3 a 地 龟l = 2 a 6 2 6 3c 2 2 = 6 1 6 2 6 3 2 a 九舰 c 3 l = a 。6 1 6 3 船= 6 3 k 芦l + a a ：帆+ 6 3 a a ，胍 o = 6 0 6 1 6 3 2 6 3 a p l + 6 i a 九m j 一2 6 3 a 2 毛 c 1 8 c 2 6 c 3 6 c 蚰 1 6 1 6 + i d i ( 4 1 8 ) c 1 3 = 6 1 6 3 地+ 2 6 l a 2 舰 c 2 3 = 2 6 3 2 + 4 a 3 尬 c 4 l = 2 a 九( 6 l + 6 2 ) c 2 = a ：，幻+ 6 0 6 2 九+ 2 a a 。p 1 + 2 a 2 九 如 c = 2 6 0 6 l a + 2 a a 。，1 2 4 a 2 p 1 4 a 3 m j 翰钆眈饧钆 钮吼 硕士学位毕业论文 同理可令 c 1 4 = 6 1 6 2 a 矗 c 驰= 2 6 2 舻 毛 c m = 6 1 入k a “ c 1 5 ；6 1 如6 3 o 弱一2 6 2 6 3 a ，4 o 弱= 6 l h k c 1 6 = 6 1 6 2 6 3 ，5 锄= 2 a 6 2 6 3 ，5 c = 6 1 6 3 k ，5 _ f i “= a c l l d 4 7 b = a d 4 1 5 = 1 6 ) “= 1 6 ) c 4 4 = 6 0 6 1 6 2 一h 肛2 k 一2 6 l p l a 一2 6 2 舻 磊c 5 = 一2 a 九( 6 l + 6 2 ) ，4 c = 一2 a 九( 6 l + 6 2 ) ，5 也= e 一詹( 什 ( 哪) 却d f ，= 伊地( z ) 后e 片( ，挑( m 油打出 = j 芋e f ( 什m ( q ) ) 却d ro = 4 ，5 ) 冗( 7 ：a 。+ e 。) = ( 7 ，一a 。一e ，) 一1 = i ：鲁与 i 工，n i 在a + e 的预解式中，将( 7 ，一a e ) 。中仇i ，d 、 ，胍，i d i 含有的胁( z ) 变为 p 。( 。) ，得到( 7 ，一一r ) 。且有、d n ；凡。k 、 钆、i d i 记为i d n i 接着我们用 b o t t e r 定理证明系统动态解的逼近 衙证明当，y o ，可x 时，r ( 7 ：如+ 晶阿一r ( 7 ：a + e 阿( n o o ) 要证明r ( 7 ：a 。+ e 。) 矿r n ：a + e ) 蟊 只需证明亩身。尚m _ o 。) g j _ g l 风f i d i 通过( 4 1 7 ) 我们已得到f d i 有界且i d i o 同理i d 。l 有界且l 口。l o i dj 为佻的 线性表示。l g l 为画，i ，的线性表示，要证明i 占u i d i ，只需证明 h m 。一。o ) 利用 ( j e 一。一e 一”l i z 一，l ，o o ， 0 ) m 。一m t i = l z 。e 一君n 十m “m ，由如一z 。e 一臂n + m 细”却d z i 一z 。e 一”l e 一后h ( 呐却一e 一茸m ( 呐却i 如 r ， 一e 一”i p 。( 7 ) 一心( ”) i d q 如一o m 一。o ) “；4 ，5 ) ，oj 0 即：i 仇f i d i ( n 一) 耍证明g _ 一g ，( n 一) 由文献嗍一矧。即可证明：屯一面，九一 ，k 一向 一 慨伽一) 硕士学位毕业论文 d ，l 一d l = i e 一后恍帕却一e 一后什m 却i ，z s e 一”j p n 。( 7 ) 一坤( 町) j 咖一o 一o o ) j o ，z e 一”l ( t 7 ) 一地( ，? ) i 咖一o ( n 一) j 0 允一五i = f z _ z 觚。j e 一b + 帆嘲打面一z ”z 2 地( z ) e f 州圳由打妇 z ”p 化卅似) e - n 柚咄e 嘞疆泼胁 e 。1 任一订i p 。( z ) 一胁( 正) i e f m ( 目) 却d r d z j 0j 0 + z ”z 。e 一1 扛一 ) p 。( z ) z 。i p 。，( 。) 一p t ( z ) i 叻d - r d z ，。( n o 。) k 一i = l z 。e 一麒+ 帆脚打一z 。e 一麒，机佃”却打i j ( 。e ，p - r 妒酬甸一e 一鼬叫打 ，z， sf e 一，扛_ r i p 。( 啦一以( 日) i 磁打一o 一o 。 1 6 同理我们可得 一即tg 。一g ( n o o ) 故 冗( 7 ：a 。+ j k ) 矿+ r n ：a + e ) 哥m + o o ) 由本文第三部分证明可知。? ( ) 是a + e 生成的收缩岛半群，即f f z ( 刚l ，也就是 说 + e g ( 1 ，o ) ，( t ) 是a 。+ 晶生成的收缩岛半群，即a 。+ 晶g ( 1 ，0 ) 利用岛 半群理论中的n o t t e r 定理可知： 对每个矿x 和t 2o 时。当n o 。时，瓦( ) 矿一r ( t ) 歹这样证明了具有内部构造 安全保障体系系统解的逼近 第五章总结 本文为在六个状态的数学模型。及相关边值条件为下面式子的基础上 p 1 ( o ，t ) = a b ( t ) p 5 ( 0 ，t ) = a 只( ) ( 5 1 ) ( 5 2 ) 进行半离散化，得出系统解的逼近，但对于模型状态为n 个时并且边值条件为带有积分的前 提下是否能够进行半离散化得出系统动态解的逼近还有待于进一步的讨论和研究，这些将为 可靠性理论的进一步深入研究提供新的思路和突破点，并将对分析学各领域的实质性进展有 重大意义和影响 1 7 致谢 本论文是在导师张玉峰教授的悉心指导下完成的导师渊博的专业知识，严谨的治学态 度，严以律己宽以待人的崇高风范，平易近人的人格魅力对我影响深远不仅使我树立了远 大的学术目标，掌握了基本的研究方法本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下 完成的，倾注丁导师大量的心血在此，表示崇高的敬意和衷心的感谢! 笔者真诚感谢延边大学数学系各位领导和老师。本学位论文的完成也离不开他们的关心、 支持和帮助 笔者特此向帮助支持过我的系里领导，老师和同学致谢 1 8 参考文献 【1 】p a l mc a r b e t b h a 丘e f o r d e h l i n gv i db 喇缸i n g 钾叫t 叩僦d d n 盯i n d 啦t r i t i - d 血g 锶 n 0 r d 1 9 4 7 ，7 5 ：7 5 - 8 0 ，9 0 9 4 ，1 1 9 1 2 3 【2 】x m h q h h a 只m 删a t m e c k a j i 1 工幻p 瑚c 咖m o h a p h 嘣o q e p e 且h m 甜c 6 0 p h 1 9 3 2 3 9 ：7 孓8 4 3 】c 锄p b e un r n er 叩l a o 即 n to fp e r i 8 h 8 b l em e m b 啪o fac o n t i 肌a l l yo p 哪屯i n gs 脚m j 脚s t a t i 8 t s o c 1 9 4 1 ，7 ：1 1 m 1 3 0 【4 】1 c aa j a 删b u t i o nt 0t h et h e o r y0 f 舱娘r 明e l ，i n ga g 窜e g b t 档w i t h8 p e c i a l 聪向_ e n t 0i n d u s t r i a lr 印l a c e m 髓t a n n m a t h s t g h s t 1 9 3 9 ，1 0 ：1 2 5 【5 | 何国伟可靠性工程概论国防工业出版丰土1 9 8 9 6 】程佩寿命分布类与可靠性数学理论科学出版社，1 螂 【7 】s h 印e r oa ，( h 叩既ji h u m 蛐e n g i n e e r i n g1 b t i n g 粕dm 止c t i o nd a t ac b u e c t i o ni n w b a p o ns y s t e m i b tp r o f a 瑚w r i g h ta i rd g v e l o p m e n td i 、，i s i o n ，w r i 曲t - p 8 t t e r s o na j r f 0 r c eb a ，o h ，值d d t r6 0 3 6 ，f e b 1 9 6 0 【8 】c l l r i b t e m 8 曲jm ，h o w a r djme t c h u m 眦d e t e t i 咖a n dd i a g n i s0 fs y 8 t 锄f 锄1 】r e n e w y b r l 【：p k m 皿p r e 黯1 9 8 1 【g 】d h i u o n b s ，r a y a p a t isn r 越a b i l i 姆e v a l u a t i o n o fh u m 姐 o p e r g 汹u n d 盯 b t i 馏m i 凹0 e l e c t r o n i c 锄d 弛h a b i l i t y ，1 9 8 5 ，2 5 ( 4 ) ：7 搏7 5 2 【10 d h i l l 0 咀bs ，r a y a p a t is r e h a b i l i 锣柚a l y 幽0 fs t 强d b y 叼哦e 脚w i t hh 啊姗e 订蜘p 胁 c e e d i n 髓o ft h ei a s t e di c e r 舰t i o n a lc o 豳瑚c e ，a p p l i e ds i 删h t i o na n dm o d e l l i n g ，a s m 8 6 ，v h u v e r ，c a n a d 8 j u n e ，1 9 8 6 ，1 - 6 【1 1 】d h i l l o nbs ，y 缸gn n 姆o fam n m a c h 妇s y s t e m 耐t hc r i t i c a l 鲫dn o n 捌t i c a l h m 姐田叩m i c r l e c 押d 彻院d t 曲“甜f 1 3 ，3 3 ( 1 0 ) ：1 5 1 1 - 1 5 2 1 【1 2 】p a 可a 鲫嫡卿o fl i n e ”o p 盯时嘲锄da p p u c 蛳t op a r t i a ld i 伍啪n t i a le q l l a t i o 璐 n e wy 0 r k 跏蕾n 鲴e r y c r l 叼，1 9 褐 【1 3 1d h i l l o nbs y 柚gn e 叫m u l a s 细棚l a l 蛐g8 托d 1 d l 明tr o b 哦咖五舒1 弛七i r i t hab i m t i n 鼬f b t y 掣s t 眦仇l l e d 帆删汹y o f 3 7 n o 卸p 5 5 7 - 黝1 9 9 7 硕士学位毕业论文 【1 4 】d h m 凹bs 冠o r d 锄饿钿 口t l d 舶，e 蛆跏i 哪e r ，n e wy 0 r k ，1 9 9 1 【1 5 】于景元郭宝瑰朱广田，半离散化人口发展系统的控制，系统科学与数学，1 9 8 77 ( 3 ) ：2 1 4 - 2 1 9 【16 】、mr s m a t r j 】【i 钕砒i v ea n 8 1 y 8 i 8 p r e n t i o e - h a l l i n c ，1 2 1 17 】柳京爱郑襁具有四类故障可修复系统解的存在唯一性吲数学的实践与认 识，2 0 0 4 。2 4 ( 2 ) 【1 8 a d r a s o b o l e v 空间m 北京人民教育出版社1 9 8 2 1 19 周鸿兴，王连文线性算子半群理论及其应用l 明济南山东科学技术出版社1 9 9 4 【2 0 】夏道行，吴卓人，严绍宗，舒五昌实变函数论与泛函分析高等教育出版社1 9 8 2 【2 l 】张恭庆，郭懋正泛函分析讲义( f ) m 北京北京大学出版社1 9 9 4 【2 2 】a r e n d 七wr e s 0 1 v e n tp o s i t i v ep e r