（基础数学专业论文）一类含时滞和扩散的lotkavolterra生态模型的渐近性质.pdf

一类含时滞和扩散的l o t k a - v o l t e r r a 生态模型的渐近 性质 基础数学 研究生杨程指导教师李树勇 论文摘要：本文研究了一类非自治含分布时滞和扩散的l o t k a - v o l t e r r a 模型的渐 近性质通过构造合适的l y a p u n o v 函数( 泛函) ，对模型进行定性分析，获得其正 解或正周期解一致持久和全局渐近稳定的充分条件在第二章中，我们对含时滞 和扩散的l o t k a - v o l t e r r a 竞争模型进行了定性分析，通过构造合适的l y a p u n o v 函数，得到系统正解或正周期解的持久性和吸引性在第三章中，我们研究了 含分布时滞和扩散的l o t k a - v o l t e r r a 捕食与被捕食模型的渐近性质，通过构造 l y a p u n o v 泛函，获得系统一致持久性和全局渐近稳定性的充分条件 关键词：时滞；扩散；l y a p u n o v 函数；l y a p u n o v 泛函；持久性；全局渐 近稳定 第i 页，共2 9 页 t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r so fal o t k a - v o l t e r r am o d e lw i t h d e l a ya n dd i f f u s i o n m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s p o s t g r a d u a t e ：y a n gc h e n gs u p e r v i s o r ：l is h u y o n g a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r w ec o n s i d e rt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r so f 凸c l a s so f n o n a u t o n o m o u sl o t k a - v o l t e r r am o d e lw i t hd e l a ya n dd i f f u s i o n i ti 8p r o v e d t h a tt h es y s t e m sa r eu n i f o r m l yp e r s i s t e n tu n d e rt h ea p p r o p r i a t ec o n d i t i o n ，a n d s o m es i m p l es u f f i c t i o n sa r eg i v e nf o rg l o b a u ya s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h ep o s i t i v e s o l u t i o no rt h ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o nb yc o n s t r u c t i n ga p p r o p r i a t el y a p u n o v f u n c t i o n ( f u n c t i o n a l ) i nc h a p t e r2 w ed e a lw i t hac o m p e t i t i v el o t l 岫- v o l t e r r a m o d e lw i t hd e l a ya n dd i f f u s i o n ，a n dg e tt h ep e r s i s t e n c ea n da t t r a c t i v i t yo f t h ep o s i t i v eo rt h ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o nb yu s i n gl y a p u n o vf u n c t i o n i n c h a p t e r3 al o t 虹v d t e r r ap r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hd e l a ya n dd i f f u s i o ni s s t u d i e d s o m es i r e 【p i es u 伍c i e n tc o n d i t i o n sf o ru n i f o r m l yp e r s i s t e n ta n dg l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea l ee s t a b l i s h e db yc o n s t r u c t i n gl y a p u n o vf u n c t i o n a l k e yw o r d s ：d e l a y ；d i f f u s i o n ；l y a p u n o vf u n c t i o n ；l y a p u n o vf u n c t i o n a l ； p e r s i s t e n c e ；g l o b a l l ya s y m p t o t i cs t a b i l i w 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师奎挝勇堑援指导下，独 懒 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印 刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索：2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位 论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 论文作者签名身& 粒 加7 年r 月巧r 第一章前言 种群动力学是生态学的一个重要分支它广泛地利用数学思想，如积分方 程、差分方程、泛函微分方程、偏微分方程、算子理论等数学学科中的理论 和方法，通过数学建模研究生物种群的生存条件、生物种群与环境之间相互作 用的过程、生物种群的演变和发展趋势揭示生物种群的变化规律，合理利用资 源，促进生态平衡这是迄今为止数学在生态学中应用深入，发展最为系统和成熟 的分支 种群动力学的研究有着悠久的历史早在1 7 9 8 年，m a l t h u s 在研究人类的增长 时，他引入数学方法，建立了最早的连续确定模型一一m a l t h l 培模型 j7 v ，+ 、 二之翌= r n ( t ) ( 1 1 ) 这是一个单种群模型它反应了人类数量的变化，在t 不很长时是比较符合实际 的，但当t o 。时种群规模将无限增长是不合实际的，究其原因在于它没有考虑 到有限的资源对种群增长的制约作用针对这个模型，后人不断分析各种因素的 影响，完善和改进这一模型，使之能较好地反应人口( 单种群) 的变化规律，如p f v e r h u l s t ( 1 9 3 8 年1 建立的l o g i s t i c 模型 厂，n n ( t ) = r ( t ) ( 1 一= 笋) ， ( 1 2 ) e m w r i g h t ( 1 9 4 5 年) 建立的有确定时滞的l o g i s t i c 模型 j 、r “一，、 n ( t ) ；r n ( t ) ( 1 一当：歹上) ( 1 3 ) p m n i s b e t 和w s c g u r n e y ( 1 9 8 4 年) 建立的具有生理阶段结构( s t a g e - s t r u c t u r e ) 模型以及h i f r e e d m a n 研究的具有斑块迁移的单种群模型等，无 一不是对m a l t h u s 模型的完善和扩展，极大地推动了种群动力学的发展 现实世界中种群不可能单独存在，它必与相关种群相互作用，相互依 存l o t k a - v o l t e r r a 模型是种群动力学中最为经典和重要的两种群相互作用的 动力学模型，该模型分别由意大利数学家v o l t e r r a ( 1 9 2 3 年) 解释鱼群变化规律和 美国种群学家l o t k a ( 1 9 2 1 年) 在研究化学反应时提出 第1 页，共2 9 页 第一章前言 后来，g a u s e 和w i t t ( 1 9 3 5 年) 将两种群l o t k a - v o l t e r r a 模型一般化为 j 个，f 、 = ：害2 = z ( t ) 【口1 + b l z ( t ) + c l 可( t ) 】， 托( 裟 = ! 警= y ( t ) l a z + b 2 y ( t ) + c 2 z ( t ) 】 ( 1 4 ) 这个模型包含了两种群之间的竞争、捕食与被捕食、互惠三个情况，通常根据 系数，我们可以按如下方式划分三类系统： ( 1 ) 竞争系统( c l o r c 2 o ) 每一个种群的存在对另外一个种群的增长有抑制 作用，主要原因是因为争夺共同的竞争资源，一个典型的例子是在同一片草地上 生活的牛和羊 ( 2 ) 捕食系统c 1 c 2 o r c 2 o ) 一个种群的存在对另外一个种群的增长起促进作 用典型的例子有：藻类和真菌，寄居蟹和海葵等 考虑种群妊娠，幼年到成年的成熟期，v o l t e r r n ( 1 9 2 8 年) 建立了含时滞的l o t k a - v o l t e r r a 模型，分析时滞对种群的影响l e 讥n 【l 】认为由于环境容纳量的限制或者 环境条件的改变因素，种群有时会在两个或多个栖息地或斑块( p a t c h ) 之间迁 移，提出斑块理论，建立含扩散和时滞的l o t k 扣v b l t e r r a 模型 在生态动力学中，人们所关心的问题是各种生物种群随时间的演变规律及 如何通过实施人工干预对种群进行保护，开发和利用? 关于这个问题的主要研 究有以下四个方面：( 1 ) 随着时间的推移，种群是持续生存还是走向灭绝? ( 2 ) 种群 的规模是否具有一个或多个平衡态? 这种平衡态是静平衡还是动平衡? ( 3 ) 这种 平衡态是否稳定? 也就是说，由于环境或外界的影响，使种群的初始规模发生变 化，随着时间的推移，能否再恢复到原有的平衡态? ( 4 ) 由于环境的变化，人为的干 预或外来物种，将对种群变化发生怎样的影响? 在数学上，这就是关于解的渐近 性的研究【2 1 自上世纪中叶以来，随着泛函微分方程关于解的基本理论、稳定性理论、 周期解理论、振动理论、解算子理论、分支理论等一系列重要成果的建立，种 群动力学发展非常迅速，研究非常活跃，大量文献发表在国内、外的学术期 刊上，有关学术专著也陆续出现【2 ，s - 1 3 特别是l o t k a - v o l t e r r a 系统萁研究的 第2 页，共2 9 页 第一章前言 广度和深度更为加强，l o t k a - v o l t e r r a 系统不仅出现在物理、化学、生物、人 口、经济等众多领域，而且大量其它的系统在某种变换下总能转化为l o t k a - v o l t e r r a 系统进行研究例如，a h l i p 和k i n g 3 研究了一类竞争的l o t k a - v o l t e r r a 型积分微分系统正周期解的存在性和全局渐近稳定性，建立了充分的判别准 则a 砌 4 1 ，a l v a r e z 和l a z e r i s l 利用微分不等式和拓扑度分别研究了一个两种 群无时滞竞争系统的正周期解的存在性和全局渐近稳定性王稳地等【6 】利 用l y a p u n o v 函数研究了一个两种群竞争时滞系统的持久性，正周期解的存在性 和稳定性范猛等【7 】讨论了礼种群竞争的l o t k a ，v o l t e r r a 周期系统，利用m a w h i n 连 续定理和l y a p u n o v 函数得到了系统正周期解的存在性和全局吸引性 对含扩散项的l o t k a - v o l t e r r a 生态模型，自1 9 7 4 年，l e v i n 1 首次建立了带 扩散项的自治l o t k a - v o l t e r r a 生态模型后，越来越多的人致力于斑块环境中 生态系统的研究，大量的结果被获及 1 4 1 ，种群动力学的斑块理论逐步建 立如t a k e u c k i 1 5 和k i s h i m o t o 1 6 1 讨论了一类含扩散项的l o t k a - v o l t e r r a 竞争 模型，得到解持久和周期解存在的条件z e n g 和c h a n g 1 7 1 将自治l o t k a - v o l t e r r a 系 统推广到非自治含扩散l o t k a - v o i t e r r a 系统，考虑了一类非自治含扩散的l o t k a - v o l t e r r a 系统，仍然没有考虑时滞的影响后来，许多学者对含时滞的l o t k a - v o l t e 玎a 系统的渐近性质作了一些研究和发展 1 8 - 2 7 ；特别地，s o n g 和c u i 2 8 1 研 究了一类含扩散和离散时滞的l o t k a - v o l t e r r a 竞争模型，获得了系统的一致持久 和全局吸引性；黄玉梅等【2 9 l ，z h a n g 幂l l c h e n 3 0 将文【2 8 】的模型发展为含连续时 滞的情形，利用l y a p u n o v 泛函研究了一类含连续时滞和扩散l o t k a - v o l t e r r a 竞争 模型，建立解持久和稳定的条件 l u 和c h e n 3 1 对不含扩散和时滞的l o t k a - v o l t e r r a 捕食与被捕食模型作了 研究，得到了系统的全局渐近稳定性r u 缸和c h e n 【3 2 1 以及k u a i l g 和t a k e u c h i 3 3 考虑了扩散对系统的影响，分别研究了一类非自治含扩散的捕食与被捕食模 型霍海峰等【3 4 】又将文 3 2 1 推广为含扩散且具有第1 i 类功能反应函数的两种 群捕食系统，但仍没有考虑时滞的影响随后，学者们对含离散时滞的模型作 了大量的研究 3 5 - - 4 0 特别地x u 和c h 既【4 1 】利用l y a p 咖泛函研究了一类含离 散时滞的l o t k 铲v b l t e r r a 捕食与被捕食模型，获得了系统的持久性和全局稳定 性随后，他们在文 4 2 1 v p 将文 4 1 1 推广到含离散时滞和扩散且具有m i e h a e l i s - 第3 页，共1 9 页 第一章前言 m e m e n 型功能反应的捕食与被捕食系统利用l y a p u n o v 泛函获得了系统的持久 性和稳定性对于含连续时滞的捕食系统的研究，学者们也作了一些有力的推动， 如s o n g 等 4 3 】利用l y 印u n a 、，泛函，在两个斑块环境中考虑了一类非自治含扩散和 时滞l o t k a - v o l t e r r a 捕食与捕食模型，得到了解持久和全局渐近稳定的充分条 件随后，他们在文 4 4 1 将文【4 3 】的系统发展为n 个斑块且具有第类功能反应 函数的情形 对于互惠系统相对于竞争和捕食系统而言，有关的研究相对少 些，陆征一【4 t 5 】研究了一类l o t k a - v o l t e r r a 合作系统的持久性和全局稳定 性h e 和g o l p a s a m y 4 6 建立了一个自治的时滞互惠系统，讨论了系统的持久 性、全局吸引性和稳定性杨帆等f 4 7 】将文【4 6 】中的模型推广到非自治周期情 形，得到了系统正周期解的存在性条件，而且他们在文 4 8 】中还讨论了系统正周期 解的全局吸引性陈风德1 4 9 】和z h 衄g 和c h e n l 5 ( 】把互惠系统放在两个斑块环境 中，获得了系统持久性和全局稳定性的充分条件 在这些研究中，通常一个种群被分为若干个斑块，相互之间可以有迁移，另 一个种群仅被限制在某一斑块中然而，事实上第二个种群也可以以族群而聚 居，形成多个斑块对此，我们将在第二章中讨论一类具有多个斑块含时滞和 扩散l o t k a - v o l t e r r a 竞争模型，利用l y a p u n o v i 甬数得到了系统的持久性和吸引性 在第三章中讨论一类具有多个斑块含连续时滞和扩散l o t k a - v o l t e r r a 捕食与被 捕食线性模型，通过构造适当的l y a p u n o v 泛函，获得了系统的渐近性质 第4 页，共扣页 第二章一类含时滞和扩散的l o t k a - v o l t e r r a 竞争模型 的持久性与吸引性 2 1 引言 考虑如下一类具有多个斑块含时滞和扩散l o t k a , - v o l t e r r a 竞争模型 南( ) = 戤o ) 【n ( ) 一啦( t ) 瓤( t ) 一壹q o ) ! ，k ( t ) 一壹j = 16 i l ( t ，s ) 研( z l o + s ) ) d s 】 n t l f f i l + d ac t ) c x t ( t ) 一翰( ) ) ， i = 1 ，7 l ， l 奶( t ) = 协( t ) 【勺( t ) 一壹厶l ( ) 却( t ) 一毋( f ) 珊( t ) 一壹卫d j ( t s ) 弧 + s ) d s 】， l = 1 七= l t 0 ，j = 1 ，r ( 2 1 ) 在这个系统中，两个种群分别形成凡和r 个斑块群体其中种群一和种群二是区域 内相互竞争种群，一个种群可以在各个斑块之间迁移，而另一个种群被分别限 制于各个区域内，相互之间不迁移这里( ) 和协( t ) 分别代表种群一和种群二在 第i 个和第j 个斑块中的种群密度 2 2基本知识和假设 ， 令 f = i n f f ( t ) ：t r t ，村= s u p f ( t ) ：t r t ， 其o o f ( t ) 是连续有界函数本文假设： ( 夙) n ( t ) ，啦( t ) ，c i 女( t ) ，勺( t ) ，乃l ( f ) ，g j ( t ) ，皿j ( t ) ( f t ) 是连续且严格正函 数，并满足 m i n 母，砰，魂，e ；，露，9 ，嘶) 0 ， 第5 页：共9 贡 第二章一类含时滞和扩散的l o t k a - v o l t e r r a 竞争模型的持久性与吸引性 m a x r y ，甜礤e m ，嗤，g 擎，d m o 为常数) ( ，3 ) p d u ) 在u e o ，o o ) 上是单调不减的函数，p d o ) = o ，且存在正常数l t ( 1 = 1 ，一，n ) 使得 i p l ( u ) 一p i ( ) l l d u p i ，u 【0 ，o 。) ，【0 ，o o ) ， 成立 令z = ( z 1 ，x 2 ，z 。，y l ，姗) ，r ：+ 7 垒 z r 聋竹：z i o ，协0 ，i = 1 ，n ；i = 1 ，r ) 当。畔7 时，记z o 同时z o 意味对每个i ，毛 0 根据生物学的意义，本文仅在i n t r 寸中来考虑系统( 2 1 ) 解的存在 设系统( 2 1 ) 的初值条件为 ( 口) = 咖( 口) ，协( 口) = 奶( 目) 0 【- - t ，o 】( 2 2 ) 令c + = c ( - 丁，0 】；r 7 ) 表示l i 中| l = s u p 。【一州| 圣( s ) i ，垂c + 的所有非负 连续函数b a n a c h 空间，这里i i 是r n + r 上的范数本文中，我们始终假设 圣c + ，垂( 0 ) 0 由泛函微分方程的基本知识易得f 5 1 ，5 2 】，存在口( o ，c o ) ，在卜l q ) 上系 统( 2 1 ) 存在唯一正解z ( ) 定义1 如果存在一个紧域dci n t r n + + r ，使得系统( 2 1 ) 满足初值条 件( 2 2 ) 的每一个解z ( t ) = ( z l ( t ) ，x 2 ( t ) ，( ) ，y l ( ) ，骱( ) ) 最终进入并保 留在区域d 中，则称系统( 2 1 ) 是一致持久的 2 3 一致持久性 引理2 1 令z ( t ) = ( x l ( t ) ，勋( t ) ，z 。( t ) ，y t ( t ) ，* ( t ) ) 为系统( 2 1 ) 满足 初值条件( 2 2 ) 的正解，存在t 0 ，使得当t t 时， 戤( t ) m “= 1 ，n ) ， y jc t ) 尬0 = 1 ，r ) ( 2 3 ) 第6 页，共翔页 第二章一类含时滞和扩散的l o t k a , - v o l t e r r a 竞争模型的持久性与吸引性 其中m 坼，尬 蟛， 。m 嵋2 括i i k l z t x ，。 石li ， 蟛= 黑， 雾) 证明令m ( ) = 里a x 戤( t ) 若m ( ) = 而( t ) ，则计算h ( ) 沿着系 统( 2 1 ) 正解的右上导数，易得 7 d + m ( t ) 毛( ) 【，一砰甄( t ) 】( 2 4 ) 由不等式( 2 4 ) 得 i ) 如果( o ) 尬，那么( t ) m ，t 0 i i ) 如果m ( o ) = ：珥a x 协( o ) p 尬，令- - o t 0 = ，里a x m ( 一口尬) ) ( c e 0 o ) ，则存在 o ，使得当【0 ，e ) 时，k ( ) 尬，且d + ( t ) o ，当t 丑时，m ( t ) = 珥戕 ( t ) ) 矗 令( t ) = m 8 , x 协( t ) 若v 2 ( t ) = 协( t ) ，由系统( 2 1 ) 的第二个方程可得 ，= 1 r 优( ) 协( ) 【垆一劈鲫( t ) 】 同理可证：存在乃 o ，当 t 2 时，k ( t ) = 珥缸 珊( ) 肘j 令t = m a x 乃，t 2 ) ，当t t 时，有 甄( t ) 尬，坍( t ) m 2 定理2 1 假设系统( 2 1 ) 满足( h 1 ) 一( 凰) ，且成立 ( 凰) 砰 工l q + c i 宅，i = 1 ，n ， 1 = 1七= l ( 风) e ；l 警蟑+ r 鸩， j = l ，r 则系统( 2 1 ) 是一致持久的 证明设x ( t ) = ( z 1 ( t ) ，z 2 ( t ) ，z 。( t ) ，y lc t ) ，蜘( ) ) 是系统( 2 1 ) 满足初 值条件( 2 2 ) 的解，由( 风) ，存在常数m 嵋，肘j m ；，使得 亏一尬一r 0 ， l = l 且( 2 3 ) 成立 第7 页，共翔页 第二章一类含时滞和扩散的l o t k a - v o l t e r r a 竞争模型的持久性与吸引性 由引理2 1 和系统( 2 1 ) 的第二个方程知，存在耳t + r ，使得 奶( t ) 鲫( t ) 【亏一搿尬一r 一g t y j ( t ) ，t2 矸 糊牺关于学垒蜗蹴腑在冗巩使得 e ；一f 警m l r m 2 y j ( t ) 生雨广一，t 露 ( 2 6 ) 出 由不等式( 2 5 ) 和( 2 6 ) 得 i ) 如果不等式( 2 5 ) 成立，令m ；为协( ) 在【e ，+ o o ) 上的上确界，则 y j ( t ) s m ；( t e ) ，学一m r 尬一m 2 0 z = l 令a = 亏一货m r m 2 一m ；，得奶( t ) m ；a o ，即协( t ) 单调递增 因此存在耳2 e 和m 2 m ；，当露时，有 m 2 鲥( t ) i i ) 如果不等式( 2 6 ) 成立，那么当t 写时，0 尬使得 母一l t m i 一c 2 f 0 ， 且( 2 3 ) 成立 令k ( ) = 霉i n 盈( ) ) 若k ( ) = z i ( t ) ，则由引理2 ，1 及系统( 2 1 ) 的第一个 方程，k ( t ) 沿着系统( 2 1 ) 正解的右下导数为 d + k ( ) = 血( ) 甄( t ) 阡一y 戤( t ) 一厶一繇】 = 1k = l t z ( 2 7 ) 令矿= 珥i n ! 芏t ：辈 ，选择p 且o 卢 o ，这 说明k ( ) 在【o ，) 上严格单调递增从而存在日 t o ，当t 写时，使 得k ( 口) p 进而由i ) 知，当t 日时，k ( t ) p 综上，存在冠 o 及常数p 0 ，当t 冠时，x i ( ) 反i = 1 ，7 , 令露= m a x 对，冗，日，日) ，则存在区域 d = ( z l ，z 2 ，x n ，玑，辨) r ，1 0 卢墨( t ) m ，0 露时，系统( 2 1 ) f l c j 每一个满足初值( 2 2 ) 的正解最 终进入并保留在区域d 中所以系统( 2 1 ) 是一致持久的 2 4全局渐近稳定性 定理2 2 系统( 2 1 ) 满足( 皿) 一( 风) ，且成立 ( 风) r 咖m + 壹咎一n t s = l j = 1 则系统( 2 1 ) i c i c j 右i - 导数为 d + v ( t ) s 卜o i ( t ) 一蚍( t ) j + 碟l y k ( t ) 一l 儡( t ) i + d “( t ) 】 拇1拓1 置 + 卜旁i 协( ) 一吩( t ) i + e 爿：f i z d t ) 一劬( ) | 】，t l 其中d “( t ) 一d “( t ) ( 搿一黜) s i g n ( x z ( t ) 一劬( t ) ) ( f t ) 对其分情况讨论如下 如果岫( t ) z 如果岫( t ) x i ( t ) ，则 b i d t ) = d “( ) ( 詈黯一警措) s i g n ( x t ( t ) 一u l o ) ) e 伊：e i z d t ) 一o d d t ) l ，t r 综上可得，b i f ( t ) 咎陬( t ) 一岫( t ) i ，t t 第1 0 页，共翊页 第二章一类含时滞和扩散的l o t k a - v o l t e r r a 竞争模型的持久性与吸引性 因此 nrnn m d + y ( ) d ( 一o + + 警) 瞰t ) 一岫( t ) | 】 渊 j 。1 置 + 【( 芬一谚) i 鲫( t ) 一u j ( t ) 1 ，t z j = l i = 1 由( 风) ，( 三b ) ，总存在q o ，使得 d + y ( t ) s 一口( 献t ) 一姚( t ) i + b j ( t ) 一v j ( t ) 1 ) ，t 正 ( 2 8 ) = 1 j = l 对( 2 8 ) 两边同时积分，当 t 时，有 t nr y ( ) + 。厶( 协) 一岫( s ) i + ) 一吩( s ) | ) d s y ( t ) 0 ，i = 1 ，2 ，3 e j l 一嵋一r 蟛= 4 3 = 1 0 ，j = l ，2 壹穆+ 壹譬一。? ：一面1 8 7 o 意味对每个i ， 0 根据生物学的意义，本文仅在i n t f p 7 中来考虑系统( 3 1 ) 解的存在 ， 设系统( 3 1 ) 的初值条件为 毛( 口) = 晚( p ) ，珊( p ) = 奶( 口) 0 【- - t ，o | ( 3 2 ) 令c + = c ( ( 7 ，o 】；f 带) 表示1 1 圣1 i = s u p 。e 卜，o li 圣( s ) i ，垂c + 的所有非负 连续函数b a n a c h 空间，这里i | 是r ，+ r 上的范数本文中，我们始终假设 垂c + ，垂( o ) 0 由泛函微分方程的基本知识易得【5 l ，5 2 】，存在a ( 0 ，o o ) ，在【- l 口) 上系 统( 3 1 ) 存在唯一正解x c t ) 定义1 如果存在一个紧域dci n t r ，使得系统( 3 1 ) 满足初值条 件( 3 2 ) 的每一个解x ( t ) = ( z 1 ( ) ，z 2 ( ) ，z 。( t ) ，y l ( t ) ，辨( ) ) 最终进入并保 留在区域d 中，则称系统( 3 1 ) 是一致持久的 3 3 一致持久性 引理3 1 令z ( ) = ( z 1 ( t ) ，z 2 ( t ) ，z 。( t ) ，y l ( t ) ，弘( t ) ) 为系统( 3 1 ) 第1 5 页共凹页 第二章一类含分布时滞和扩散的l o t k a - v o l t e r r a 捕食与被捕食模型的渐近性质 满足初值条件( 3 2 ) 的正解，则存在t 0 ，使得当t2t 时， 盈( ) m 1 ( i = 1 ，n ) ， y jc t ) 尬d = 1 ，r ) ( 3 3 ) 其中m i 嵋，m 2 蟛， ，me m + j # m 嵋2 。黑 每) ，蝇2j 璺譬， 卜) 证明令k ( t ) = m s x 黾( ) ) 若k ( t ) = 鼢( t ) ，则计算k ( ) 沿着系统 ( 3 1 ) 正解的右上导数，易得 d + ( f ) z 。( t ) 【h 一口；j ( t ) 】( 3 4 ) 由不等式( 3 4 ) 得 i ) 如果( o ) m ，那么k ( t ) 尬，t 0 i i ) 如果k ( o ) 矗，令一n o = m a , x 尬( r y 一口 矗) ) ( d o o ) ，则存在 0 ，使得当t 【0 ，) 时，k ( ) 以，且d + ( ) 0 ，当t 五时，( ) = m a x 墨( t ) ) 冬m t 令v 2 ( t ) = 珥撼 协( ) ) 若k ( ) = u j ( t ) ，由系统( 3 1 ) 的第二个方程可得 ，= i r 仍( t ) 弱( ) 【一g 于协( t ) + 舰】 1 = 1 选择尬，使得 擘 鸩，n n - - i i 正：存在乃 o ，当 乃 时， 1 k ( = i 璺警， 协( t ) m j = 1 r 令t = m a x 乃，乃) ，当t t 时，有 甄( t ) sm 1 ， y j ( t ) 如 定理3 1 假设系统( 3 1 ) 满足( 日1 ) 和( 也) ，且成立 ( 凰) 砖一厶 卵一c 鬈 g 0 ， i = 1 ，竹， ( 风) e ? 一r 蟛 0 ，j = 1 ，r 则系统( 3 1 ) 是一致持久的， 第1 6 页，共! ! i 页 第三章一类含分布时滞和扩散的l o t l m - v o l t e r r a 捕食与被捕食模型的渐近性质 证明设x ( t ) = ( x l ( ) ，2 ：2 ( ) ，( ) ，! ，l ( ) ，姗( f ) ) 是系统( 3 1 ) 满足 初值条件( 3 , 2 ) 的解，由( 凰) 知，存在常数尬 m f ，m 2 蝇使得 母一厶一c ： 0 ， 且( 3 3 ) 成立 令v 3 ( t ) = 罂i n 甄( t ) ) 若k ( ) = 瓢( ) ，则由引理3 1 及系统( 3 1 ) 的第 一个方程，k ( t ) 沿着系统( 3 1 ) 正解的右下导数为 d + v 3 ( t ) = 或( t ) 盈( t ) 【砖一( t ) 一l t m l 一1 ，t z ( 3 5 ) 令r ：。璺粤。 ! i 王喾) ，选择* 且。 7 0 ，这说暇h ( ) 在【0 ，) 上严格单调递增从而存在耳 t 0 ，当t 耳时，使得( 耳) 7 进面由i ) 知，当t 芝写时，( 0 乍 综上，存在耳 0 及常数7 0 ，当t 对时，z d t ) ，y ，i = 1 ，1 t 由( z 毛) ，存在常数肘j 蟛，使得 e j 一r 0 ， 且( 3 3 ) 成立 由引理3 1 和系统( 3 1 ) 的第二个方程知，存在霉之t + 7 ，使得 奶( t ) 鳓( t ) 【e ，一r 一鲥( t ) 】，t 2 露 若协( t ) 不关于生；丝垒嗡振荡，则存在写矸，使得 郇) 生，f 之写 ( 3 7 ) 却 由不等式( 3 6 ) 和( 3 7 ) 得 一第1 7 页，共2 9 页 兰三童= 娄笪坌塑壁堂塑芏墼堕望! 坠塑些! 坚! 塑鱼兰墼塑鱼堡型丝塑堑丝堕 i ) 如果不等式( 3 6 ) 成立，令m ；为协( t ) 在【露，+ o o ) 上的上确界，则 协( t ) m ；( t 写) ，e l j r i v l 2 一g r m ；0 令a = 弓l r m 2 一m ；，得9 j ( t ) m ；a 0 ，即y j ( t ) 单调递增因此存在 巧嚣和m 2 m ；，当t 冠时，有 m 2 r 6 ( t ) i i ) 如果不等式( 3 7 ) 成立，那么当t 写时，0 m 2 g y j ( t ) 若u j ( t ) 关于坞振荡令协( ：) ( 篮2 露) 是约( ) 的任意一个局部最小值， 从系统( 3 1