（动力工程及工程热物理专业论文）环形浅液池内双层流体热对流过程的渐近解.pdf

中文摘要 i 摘 要 czochralski 法是从熔体中生长晶体材料的一种主要方法，在用这种方法生长 晶体的过程中，熔体内由浮力和表面张力梯度驱动的热对流现象以及挥发性成分 的挥发会对晶体的品质产生很不利的影响。为了解决这些问题，人们提出了液封 czochralski晶体生长方法（lec 法） ，然而，该方法中存在的双层流体的热对流现 象比单层流体的更加复杂多变。为提高晶体的质量，必须深入地认识双层流体的 热对流现象，并对其进行更好地控制。本文采用匹配渐近展开法研究了水平温度 梯度作用下环形浅液池内双层流体的稳态热对流过程，将流体的流动区域分为 远离内外壁面的中心区域和靠近内外壁面的两个边壁区域，在不同的液池顶部边 界条件（自由表面或固壁）和加热方式（外壁加热或内壁加热）下，获得了中 心区域两层流体内纯热毛细对流以及热毛细浮力对流的渐近解，得到了主流 区温度场和速度场的表达式。 为了检验所得渐近解的正确性和适用区域，将渐近解同矩形液池内双层流 体热对流的分析解进行了比较，并同数值模拟的结果进行了对比。同时，分析 了毛细雷诺数、液池的曲率、深宽比以及两层流体的厚度比等对渐近解的影响 规律，确定了各种情况下所得渐近解的适用区域。 研究表明，当环形液池的内径趋于无穷大时，环形液池可近似为矩形池，此 时，所得热毛细对流的渐近解同矩形液池内双层流体热毛细对流的分析解相同， 说明所得渐近解是合理的；在不同的结构参数和物性参数下，渐近解同数值模拟 的结果在液池的中心区域都吻合的很好，只在紧靠壁面的区域有一定偏差，进一 步证明了渐近解的正确性；通过分析二者的相对偏差可知，所得渐近解在离开内 外壁面的绝大部分区域都是适用的。随着毛细雷诺数、深宽比和两层流体的厚度 比的增大，渐近解的精度会降低，适用区域会减小，而液池的曲率对渐近解的影 响不大。 关键词：热对流，双层流体，渐近解，环形浅液池 英文摘要 iii abstract the czochralski method is one of the main methods of producing crystals from the melt. in this method, the coupled thermocapillary and buoyancy- driven convection in the melt and the evaporation of some volatile components may have bad effects on the quality of the grown crystal. the liquid- encapsulated crystal (lec) growth technique is used for solving these problems. however, the additional liquid- liquid interface between the melt and the encapsulant in this technique can be a source of new and complex dynamics that may significantly influence crystal quality. in order to obtain crystal of high quality, the thermal convection in two annular immiscible liquid layers must be better understood and controlled. the steady pure thermocapillary convection and thermocapillary- buoyancy convection in a system of two horizontal superimposed immiscible liquid layers filling a lateral heated thin annular pool were investigated using matched asymptotic theory. the flow domain was divided into a core region away from the cylinder walls and two end regions near each cylinder wall. asymptotic solutions of the temperature and velocity fields were obtained in the core region under different top boundary conditions (the pool is open or closed) and heating conditions (heated at the inner wall or at the outer wall). for evaluating the validity of the obtained asymptotic solutions, numerical simulations were also carried out and the results were compared with the asymptotic solutions. the influences of the thermocapillary reynolds number, the curvature, the aspect ratio and the thickness ratio of the two layers on the asymptotic solutions were estimated. the valid ranges of the asymptotic solutions were determined in all cases. it is found that when the inner radius of the annular pool tends to infinity, the present asymptotic solutions of pure thermocapillary convection are the same as the results obtained in a rectangular cavity. in all cases, the asymptotic solutions of the temperature and the radial velocity in the core region show good agreements with the simulation results. the present asymptotic solutions are valid in most region of the pool except in the region closed to the cylinder walls. the accuracy and valid range of the obtained asymptotic solutions decrease with the increase of the thermocapillary reynolds number, the aspect ratio and the thickness ratio of the two layers. the influence of the curvature on the accuracy and valid range of the asymptotic solutions is very small. 重庆大学硕士学位论文 iv keywords: thermal convection; two- layer system; asymptotic solution; shallow annular pool 主要符号表 vii 主要符号表 g 重力加速度，m/s2 gr grashof 数， 32 11hc1 ()/grghtt= h1 下层流体的厚度，m h2 上层流体的厚度，m h 上下两层流体的厚度比，h=h2/h1 l 内外环形壁面间的宽度，l=rori, m pr prandtl 数，pr=?1/?1 p 压力，pa ri 液池内半径，m ro 液池外半径，m r 径向坐标 r 无因次径向坐标 re 毛细雷诺数， t,1hc11 ()/()rel tt= t 温度，k u 径向速度，m/s u 无因次径向速度 v 轴向速度，m/s v 无因次轴向速度 x 结构变量，x=r- z 轴向坐标 z 无因次轴向坐标 希腊字母 a 热膨胀系数，1/k ? 结构变量，=ri/l ?t, 1 液液界面张力温度系数，n/(mk) ?t, 2 自由表面张力温度系数，n/(mk) ? 表面张力温度系数之比， =t, 2 /t, 1 d 结构变量， = ri/h1 深宽比， =h1/l ? 无因次温度 ? 热扩散率，m2/s ? 导热系数，w/(mk) 动力粘度，pas ? 运动粘度，m2/s ? 结构变量，1x= ? 密度，kg/m3 s 表面张力，界面张力，n/m ? 无量纲流函数 ? 涡量 下标 1 下层流体 2 上层流体 c 冷壁 h 热壁 1 绪 论 1 1 绪 论 1.1 引言 双层或多层不相混溶流体的热对流现象广泛存在于自然界和许多工程应用领 域，例如，地球的地幔对流、冶金工程中的多层铸造工艺、化工和电影胶片生产 过程，以及采用液体覆盖技术的晶体材料生长工艺等1。 晶体材料作为制造电子和光电器件的基础材料，在人类社会中有着非常广泛 而重要的应用。晶体材料具有一系列特殊的物理性能，它们能够实现声、光、电、 力、热、磁等各种能量形式的相互作用和转换，从而成为信息、光电子、光纤通 讯、激光、遥感、太阳能利用等现代科学技术中不可或缺的关键性材料。随着当 代高新技术的不断发展，晶体材料的使用量日益增加，人们对晶体材料品质的要 求也越来越严格。出于生长高品质的晶体材料的需要，许多学者对晶体生长的理 论、方法和技术等进行了深入的研究。 在众多晶体生长方法中，提拉法（czochralski 法）是地面条件下生长晶体材 料的一种最主要的方法，在用这种方法生长晶体的过程中，熔体内会产生不同类 型的对流运动。首先，由于密度的不均匀会产生由浮力驱动的自然对流，熔体沿 着温度较高的坩埚壁面上升，在熔体自由表面附近沿径向向内流动，然后向下， 沿坩埚底部流回至坩埚壁面处。另一方面，由于坩埚和结晶界面间总是存在温差， 在熔体自由表面会产生热毛细力，它会驱动自由表面的熔体流动，在熔体内形成 热毛细对流。热毛细对流和浮力驱动的自然对流相互作用，在熔体内形成各种复 杂的流型。当温差较小时，流动是稳定的轴对称流动，随着温差的增大，流动将 失去稳定性。不稳定的对流运动会给晶体生长带来不利的影响，例如，它会在熔 体内引起温度的涨落，造成结晶界面上溶质结晶的不均匀，从而在晶体中形成杂 质条纹，同时，温度的不均匀还会引起晶体内部应力的不均匀，这些都大大影响 了晶体的生长质量2,3。另外，在生长某些含挥发性成分的晶体时，挥发性成分的 挥发会引起熔体化学组分的改变，从而造成晶体缺陷。为了避免挥发性成分的挥 发，metz等人4提出了采用液体覆盖技术的液封 czochralski晶体生长方法（简称 lec 方法） ，即在熔体上面覆盖一层与之不相混溶的液封流体。这种方法不仅能够 阻止挥发性成分的挥发，对熔体内的热对流也有很好的抑制作用，从而引起了人 们的极大兴趣5- 7。加入液封层流体后，熔体和液封层流体构成了双层流体系统， 由于流体间交界面的存在，使双层流体系统内热对流过程的动力学现象比单层系 统内的更加复杂多变。为了得到更高质量的晶体，必须对双层流体内的热对流现 象有深入地认识，并进行更好地控制。 重庆大学硕士学位论文 2 本课题以晶体材料液封 czochralski 生长过程中的热物理问题为研究背景，抽 象出相应的物理数学模型， 采用匹配渐近展开法研究环形双层流体内的热对流过 程。其研究成果在学术上可以丰富和发展双层流体热对流理论，在实践上可以 为改善晶体材料液封 czochralski生长技术提供指导。 1.2 双层流体热对流概述 双层流体内的热对流同样包括浮力驱动的自然对流和由界面温度梯度引起的 热毛细对流，前者为人们所熟知，这里重点介绍双层流体内热毛细对流的形成机 理和存在形式。 热毛细对流实质上是由不同流体相交界面上（液液、液气）的表面张力 作用所引起的。在不同流体的相交界面上，表层分子在两相中所受的作用力是不 同的，因此，交界面上会存在表面张力，它的值不仅与两种流体的种类有关，而 且与交界面处的温度分布有关。表面张力随温度的变化关系通常可近似表示成如 下的线性函数： 0t0 ()tt= 其中， t=- / t称为流体交界面的表面张力温度系数。 对于大多数流体， t 0 ， 即表面张力随温度的增大而减小。因此，当界面上存在温度梯度时，就会产生相 应的表面张力梯度，温度较低的地方表面张力大，而温度较高的地方表面张力小， 这种表面张力梯度称为热毛细力。这样，界面上的流体便会在热毛细力的作用下 从温度较高的地方向温度较低的地方流动。又由于流体的粘性作用，表面的流动 被传递至液层内部，在流体内形成体积对流，这种对流现象称为热毛细对流。 对于双层流体系统而言，当上层流体敞开在大气中时，如果界面上存在温度 梯度，则在上层流体的自由表面和两层流体间的液液交界面上都会产生热毛细 力的作用，此时，自由表面的热毛细力会驱动上层流体的流动，而液液界面的 热毛细力则同时驱动上、下两层流体的流动，在系统内形成热毛细对流运动。当 上表面封闭时（即上表面为固壁） ，则只在液液交界面上有热毛细力的作用。 根据加热方式的不同，双层流体的热毛细对流又可分为两种情况，一种是温 度梯度平行于流体交界面，另一种是温度梯度垂直于流体交界面，习惯上将前者 称为热毛细对流，而后者称为 marangoni 对流。 这两种温度梯度所产生的对流运动 机理也很不相同，温度梯度平行于流体交界面时，只要存在温度梯度，便会产生 热毛细对流，而对于温度梯度垂直于流体交界面的情况，只有当温度梯度超过某 一临界值时才会产生对流运动。由于液封 czochralski 晶体生长过程中涉及到的是 温度梯度平行于交界面的情况，因此，本课题主要研究双层流体中的热毛细对流。 1 绪 论 3 在地面条件下，双层流体内既存在热毛细对流、也存在浮力驱动的自然对流 （热浮力对流） ，一般是两种对流运动的合成，称为热毛细浮力对流。然而，当 流体的厚度很薄或者在微重力条件下，浮力的作用将大大减弱甚至消失，热毛细 对流将占据主导地位。 1.3 双层流体热对流的研究现状 近年来，出于生长高品质晶体材料的需要，双层流体系统内的热对流现象引 起了学者们的广泛关注，人们从实验研究、理论分析和数值模拟三方面对其进行 了深入的研究。 1.3.1 实验研究 1987 年，villers 和 platten8首先实验研究了水平加热时矩形腔内两层流体的 热毛细浮力对流，测量了水/庚醇两层流体系统的水平速度分布，发现下层流体 的运动随着两液层相对厚度的变化而明显改变，从而首次从实验角度展示了两层 流体内自然对流和热毛细对流之间的相互作用；同时，他们还得到了不同温度下 醇水交界面上的界面切应力的值。1992 年，koster 等人9实验观察了封闭在矩 形腔内的两层及三层流体的热对流现象，采用流场显示技术和实时摄像干涉仪成 功地获得了流体内的温度场和速度场，证实了多层对流中典型的交界面对流涡的 存在。为了减弱浮力效应，突出热毛细对流的影响，azuma 等人10在地面条件下 采用一个大长宽比（l /h 20）的矩形液池进行了实验，液池中装有氟液和硅油以 及水和硅油两种双层流体，两端之间维持一定的温差，顶部敞开在大气中，实验 测得了流体内的速度和温度分布。然而，他们观察到的并不是理想的热毛细对流 的流型，而是类似 marangoni 对流的流型分布，这是因为在敞开的硅油上表面上有 液体的蒸发现象，从而在流体内形成了一个垂直的温度梯度。1997 年，prakash和 koster11采用实验研究、 数值模拟和理论分析三种方法研究了水平温度梯度作用下 矩形浅液池内两层流体的热对流过程，通过实验观测了流体内的流型和温度分布， 并测量了流体内的速度分布；通过理论分析得到了热对流过程的分析解。他们将 三种方法的结果进行了比较，重点分析了交界面处的两种流体的热耦合和机械耦 合作用，结果表明，实验观测到的流体内的流动结构和温度场的分布在定性上同 数值模拟以及所得分析解的结果相一致，实验测得的中心区域速度分布在定量上 同数值模拟结果吻合的很好。另外，结果还证明了交界面的热毛细作用会对流体 内浮力驱动的自然对流产生很大的影响，液封层流体能够减弱下层流体的自然对 流。近年来，测试技术的不断进步为流体内热对流现象的实验研究带来了很大便 利。2002 年，someya 等12利用粒子成像测速技术（piv）研究了矩形池内硅油和 氟液两层流体的热毛细浮力对流，在液池顶部敞开和封闭两种情况下观察了两 重庆大学硕士学位论文 4 层流体的流动情况，测量了流体内的速度分布，同时，为了验证实验结果的正确 性，也进行了数值模拟，并将两种结果进行了对比。他们发现，即使在自然对流 占据主导地位的情况下（rama?） ，流体中仍然可以观测到由热毛细对流造成的 对流涡的存在，说明热毛细作用是不可忽视的，并且，通过实验所测得的速度值 同数值模拟的结果是一致的。 随着空间技术的发展，空间流体试验为研究纯热毛细对流的基本特征提供了 极好的手段和环境。1994 年，美国航天局和欧洲航天局借助于航天飞机联合完成 了名为 iml- 2 项目的国际微重力实验13，其中对二层和三层流体系统在水平和底 部两种加热方式下的热毛细对流进行了实验观察和研究， 获得了宝贵的实验观测 数据。我国也于 1999 年在实践 5 号卫星上完成了两层流体的空间实验14，研究了 两层不相混合流体的热毛细对流与 marangoni对流。 实验中采用了石蜡和氟液组成 的双层流体，观察到了典型的定常热毛细对流现象，获得了微重力条件下热毛细 对流的流动结构和定量的速度值，实验结果同稍后进行的数值模拟结果基本一致。 由于实验条件有限，操作困难、空间实验费用昂贵，目前两层流体系统内热 对流的实验研究还存在很大的局限性，人们只能通过实验观测对流运动的一些基 本特征，而深入的研究还主要靠理论分析和数值模拟。 1.3.2 理论研究 1990 年，villers 和 platten15在实验的基础上对矩形腔内两层流体系统的热毛 细浮力对流进行了理论研究，建立了一个简单的理论模型并得到了两层流体热 对流的一维近似解。刘秋生等16在 villers和 platten工作的基础上，得到了具有自 由表面的两层流体热毛细浮力对流的近似解，并分析比较了有重力和微重力条 件下的对流流型，结果发现，在微重力条件下，由于没有了浮力效应，流体中的 流型变得更简单，无论上表面敞开或是封闭，下层流体内总是存在一个对流涡胞， 且其速度值在交界面处达到最大。shevtsova 等17用二维近似理论分析法研究了上 表面敞开的双层流体系统中的热毛细浮力对流，分析了重力、热毛细力、流体 的粘性以及导热能力等对流体内速度场和温度场的影响，发现热毛细力的存在对 流体内的流动有很大的影响。1993 年，doi 和 koster18研究了上部为自由表面的 两层流体的纯热毛细对流，得到了水平无限大的双层流体内速度分布和温度分布 的分析解， 发现随着液液界面张力温度系数和自由表面张力温度系数之比 ?的不 同，流体内可能出现四种流型。他们提出了三种使下层流体“停止运动”的条件， 即当上层流体的厚度无限薄、或下层流体的粘度无限大、或 ?=0.5 时，下层流体的 流动被完全抑制，处于静止状态。同时，为了研究两侧竖直壁面的影响，在下层 流体的深宽比 a=4 的情况下进行了二维数值模拟，结果表明，由于边壁效应的影 响，只有在较低的毛细雷诺数或 marangoni数下，才会出现 ?=0.5 时下层流体的流 1 绪 论 5 动被完全抑制的情况， 在较大毛细雷诺数或 marangoni 数下， 使下层流体的流动得 到最大抑制的 ?值处于 0 到 0.2 之间。napolitano 等人19采用匹配渐近展开法研究 了上表面封闭的两层流体内的热毛细浮力对流，分析了抑制下层流体流动的特 殊条件，其中主要包括 marangoni 数和 grashof数的影响。在研究两层流体的热对 流过程时，多数学者都假设自由表面和液液交界面是水平不变形的，为了分析 界面变型的影响，biswal和 rao 20理论研究了具有变形自由表面和液液交界面 的双层流体的热毛细对流，他们发现，考虑变形时流体内流场和温度场的结构和 不考虑变形时基本相同，所以，界面不变形的假设是合理的。2001 年，rao 等人21 理论研究了外加磁场对矩形浅液池内两层流体对流运动的影响，在忽略竖直边壁 影响的情况下分别得到了不考虑浮力、不考虑热毛细力、不考虑电磁力三种情况 时流函数和温度的分析解，同 doi 和 koster18一样，他们也发现了随着液液界 面张力温度系数和自由表面张力温度系数之比的不同可能出现的四种流型，不同 的是，在磁场的作用下流体的流动相对于没有磁场时是减弱的，表明选择适当的 磁场可以减弱下层流体的对流运动。 以上的理论研究都致力于揭示流体的稳态流动结构，近年来，一些学者对双 层流体热对流的非稳定特性和振荡对流也进行了分析研究。 2003 年， madruga 等22 采用线性稳定性方法研究了封闭矩形腔内的两层流体的热毛细浮力对流，发现 当温度梯度较小时，基本流动是稳定的二维流动，随着界面张力系数的不同，可 能呈现出四种流型；当温度梯度增加到某一临界值后，流动将失去稳定性转化成 复杂的非稳态三维振荡流动，在不同的相对液层厚度下，可能出现三种流型，分 别是：从冷区向热区运动的热波、从热区向冷区运动的热波或稳定的轴向滚胞。 随后，他们用同样的方法对液封 czochralski晶体生长技术中常见的氧化硼（b2o3） 和砷化镓（gaas）两层流体的对流过程进行了稳定性分析23，发现了同样的流型。 2006 年，simanovskii 和 nepomnyashchy 24,25借助于非线性稳定性方法研究了同样 的问题，在水平方向分别采用了周期性边界条件和绝热边界条件，结果发现，波 的运动方向不仅与液层厚度有关，还与 marangoni 数的大小有关。 1.3.3 数值模拟 计算机技术的不断进步极大地推动了计算流体力学的发展，越来越多的学者 开始采用数值模拟方法研究流体的运动规律。1991 年，crespo 等人26对 pr 数分 别为 1 和 0.01 的两层不相混溶流体内的纯热毛细对流进行了数值模拟，发现选择 恰当的 marangoni 数能够很大程度地削弱下层流体内的热毛细对流。1993 年， ramachandran 27数值模拟了矩形液池内双层流体的热毛细浮力对流，发现考虑 界面张力时流体内的流动情况和不考虑时有很大的差别，在热毛细力和浮力的共 同作用下，流体内出现了复杂的流型。1999 年，nepomnyashchy 等人28对矩形流 重庆大学硕士学位论文 6 道及矩形腔内的两层流体的热毛细对流进行了三维数值模拟，发现当 marangoni 数较小时，流动是稳定的，当 marangoni数增大到一定程度后，流动转变为复杂的 三维振荡流动。 刘秋生等人16,29及 gupta 等人30,31对矩形腔内双层流体的稳态热毛 细对流和热毛细浮力对流进行了数值模拟，获得了流体内的速度场和温度场。 前者假定自由表面和液液交界面均不变形，后者考虑了变形的影响，他们的结 果都表明：两层流体内的对流流型同上下两层流体的物性和几何参数比有关，液 封层流体的厚度和粘度对下层流体的对流运动有很大影响，薄的液封层和高的粘 度有助于减弱下层流体的对流运动。fontaine 和 sani 32,33数值研究了矩形液池内 两层流体的热对流，着重分析了不同重力及微重力环境下被覆盖层流体的流动特 性，并考虑了自由表面和液液交界面变形的影响，发现微重力可以有效地减弱 下层流体内的热毛细对流，在一般界面张力温度系数不太大的情况下，界面的变 形是可以忽略的。2007 年，ludovisi 等人34用数值方法研究了磁场对矩形腔内两 层流体的热毛细浮力对流的影响，发现热毛细对流能够对流体内的速度分布产 生很大的影响，不同的磁场强度和方向可以增强或抑制热毛细对流，从而影响流 体内速度场和温度场的分布。最近，李友荣等35对环形液池内的双层流体的热毛 细对流进行了一系列二维数值模拟，讨论了各种参数对流体流动的影响。 综上所述，目前，对双层流体热对流的研究主要集中在矩形腔内的双层流体 或水平无限大的双层流体，对环形双层流体内的热毛细对流或热毛细浮力对流 的研究很少，只有少数文献对环形单层流体内的热对流进行了报道3639。在晶体 液封 czochralski 生长技术中涉及到的是水平温度梯度下环形双层流体的热对流过 程，这方面的研究现在仍是一片空白。 另外，尽管计算机技术的飞速发展为数值模拟研究流体的热对流过程提供了 有力的手段，但这丝毫没有减弱近似分析解的重要作用。这是因为，近似解具有 普遍性，若能通过某种方法获得简单而准确的近似解，便能直观地反映出各种因 素对流体的流动和换热的影响规律，这是数值解所达不到的。同时，近似解还可 作为检验数值计算准确性的比较依据，从而为数值模拟提供指导。因此，本文拟 采用匹配渐近展开法对环形浅液池内双层流体的热对流过程进行研究。 1.4 匹配渐近展开法简介 从实际物理问题中归纳、提炼出来的数学问题往往是比较复杂的，如非线性 的控制方程、变系数以及非线性边界条件等，很难用通常的数学方法得到问题的 解析解。为了解这些问题，人们经常采用各种近似解、数值解或两者结合的方法。 在近似方法中，摄动法（渐近展开式）是经常被采用且行之有效的方法40,41。这 种方法的主要思想是在求解问题中寻找到一个摄动小参数，把微分方程中的未知 1 绪 论 7 量按照这个小参数的幂级数进行展开，再代回到微分方程中，方程按照该参数的 幂次可分解为一系列递推方程，其中，低幂次的方程较易求解，把低阶解依次代 入到较高阶方程，便可求得各阶方程的近似解，从而把一个困难的问题分解为无 数个比较简单的问题。它的特点在于渐近展开式的前几项（一般是前一、二项） 就能揭示解的重要特征，而以后的高阶项只给出很小的修正。 在摄动法中，匹配渐近展开法是解决奇异摄动问题的一种主要方法。在用这 种方法求解问题时，往往将整个求解区域分成几个不同的子区域，在每个子区域 中将问题进行简化，然后用渐近展开求得各子区域内的解，而相邻子区域的解的 有效区域是重迭的，所以可以匹配起来。该方法是由著名的流体力学大师 prandtl 提出的，1905 年，他用该方法成功地求解了大 reynolds 数绕流物体的粘性流动的 流场。1960 年以后，这种方法被广泛应用于流体力学和应用力学的很多领域。目 前，已有不少学者用这种方法对单层流体内的自然对流及热毛细对流进行了研究。 1974 年，cormack 等人42用匹配渐近展开法研究了矩形浅液池单层流体的自然对 流，他们把流场分为三个区域：远离壁面的中心区域和靠近壁面的两个边壁区域， 分别获得了各个区域流动的近似解。随后，merker 和 leal43将这种方法应用于环 形浅液池内单层的自然对流。1982，sen和 davis44采用这种方法研究了矩形浅液 池内单层流体的热毛细对流。2002 年，leppinen 45对 merker 和 leal的结果进行了 修正和扩展。2007 年，李友荣等46用同样的方法研究了环形浅液池内单层的热毛 细对流，获得了主流区温度和速度分布的渐近解。 1.5 本课题的研究内容 本课题以晶体材料液封 czochralski生长过程中的热物理问题为研究背景，采 用匹配渐近展开法研究水平温度梯度作用下环形浅液池内双层流体的稳态热对 流过程，在不同的顶部边界条件和加热方式下，对流体内的纯热毛细对流和热 毛细浮力对流的控制方程进行求解，获取温度场和速度场的渐近解，以揭示环 形双层流体内热对流过程的基本特征， 为改善晶体材料液封 czochralski 生长技术 提供指导。具体研究内容如下： 建立水平温度梯度作用下环形浅液池内双层流体的稳态热对流过程的 物理、数学模型，并进行简化； 采用匹配渐近展开法获取不同的顶部边界条件和加热方式下流体内纯 热毛细对流以及热毛细浮力对流的渐近解，得到液池中心区域速度场和温度 场的表达式； 通过与其它文献分析解以及数值模拟结果的对比，检验所求渐近解的正 确性与适用区域，并分析相关参数对渐近解的影响。 2 物理数学模型的建立 9 2 物理数学模型的建立 2.1 引言 本课题主要研究常重力及微重力环境下环形双层流体在水平温度梯度作用下 的纯热毛细对流及热毛细浮力对流现象。考虑在内、外壁面间施加水平温度梯 度的环形浅液池内的两层不相混溶流体，在常重力条件下，驱动流体运动的力为 作用在自由表面的热毛细力、作用在两液体交界面上的热毛细力以及浮力，在微 重力条件下，浮力消失。此问题中，描述流体运动的方程都是非线性的，而且边 界条件比较复杂，很难求得方程的精确解，只能通过某些简化而得到方程的近似 解。本章的目的在于通过一定的假设和简化来建立相应的物理数学模型。 2.2 物理模型及相关假设 图 2.1 所示为物理模型的示意图，取环形液池的轴截面为研究对象。液池的内 半径为 ri，外半径为 ro，内外环形壁面间的宽度为 l（l=ro- ri） ，上、下两层流体的 厚度分别为 h2和 h1，液池的底部为固壁，顶部为自由表面，底部和顶部均绝热， 内、外壁分别维持恒温 tc和 th（thtc） 。定义深宽比为 =h1/l，上下两层流体的厚 度比为 h=h2/h1，并引入变量 =ri/l 来表示环形池的曲率大小。 图 2.1 物理模型 fig.2.1 physical model 为简化起见，在模型中采用以下假设： 流体均为不可压缩的牛顿流体，满足 boussinessq 近似； 表面张力是温度的线性函数，其它物性均为常数； 温差较小，流动为稳态的二维层流； 自由表面和液液界面均保持水平不变形； 在所有固液界面处均满足无滑移条件。 重庆大学硕士学位论文 10 2.3 数学模型及其简化 基于上述物理模型及相关假设，在二维 r- z 柱坐标系下，可以写出研究区域中 流体的控制方程以及相应的边界条件。 2.3.1 控制方程 所研究区域中两层流体的基本控制方程包括：连续性方程、动量方程和能量 方程。采用低温壁面的温度 tc作为参考温度，则各方程为： 连续性方程： () 1 0 i i v ru r rz += . (2.1) 动量方程： 22 222 11 iiiiiii iii i uupuuuu uv rzrrrrrz +=+ , (2.2) () 22 22 11 iiiiii iiiici i vvpvvv uvgtt rzzrrrz +=+ . (2.3) 能量方程： 22 22 1 iiiii iii ttttt uv rzrrrz +=+ . (2.4) 其中， 下标 i=1, 2 分别对应于下层流体和上层流体， r、 z 分别表示径向和轴向坐标， u、v 分别为径向和轴向速度分量，p 为压力，t 为温度， 为密度， 为运动粘度， 为热膨胀系数，g 为重力加速度， 为热扩散率。 2.3.2 边界条件 各边界条件如下： 顶部自由表面(z=h2, ri rro)： 2 0v =, 2 0 t z = , 22 2t, 2 ut zr = . (2.5) 液液界面(z=0, ri rro)： 12 uu=, 12 0vv=, 12 tt=, 12 12 tt zz = , 121 12t, 1 uut zzr = . (2.6) 液池底部(z=- h1, ri rro)： 11 0uv=, 1 0 t z = . (2.7) 2 物理数学模型的建立 11 液池内壁(r=ri, - h1 zh2)： 0 ii uv=, c tt=. (2.8) 液池外壁(r=ro, - h1 zh2)： 0 ii uv=, h tt=. (2.9) 其中，为动力粘度，为导热系数，t, 2 =- s2/t 为自由表面的表面张力温度系数， t, 1 =- s1/t 为液液界面的界面张力温度系数。 2.4 控制方程和边界条件的无量纲化 分别以 1 h 、 11 /h、 22 111 / h和() hc tt作为控制方程的无量纲参考长度、速 度、压力和温度，作以下无量纲变换： 长度：()() 1 ,r zhr z=； 速度：()() 1 1 ,u vu v h =； 温度：() hcc tttt=+； 压力： 2 1 1 2 1 pp h =. 则无量纲化后的控制方程如下： 连续性方程： 1 ()0 i i v ru rrz += . (2.10) 动量方程： 22 22 1 222 1 1 iiiiiiii ii i uupuuuu uv rzrrrrrz +=+ , (2.11) 22 22 1 22 11 1 iiiiiiii iii i vvpvvv uvgr rzzrrrz +=+ . (2.12) 能量方程： 22 22 1 11 iiiiii ii uv rzprrrrz +=+ . (2.13) 其中，定义无量纲参数 pr=?1/?1为普朗特数， 3 1 1hc 2 1 ()ghtt gr =为格拉晓夫数。 重庆大学硕士学位论文 12 为表述方便，定义变量 = ri/h1，则相应的无量纲边界条件为： 顶部自由表面(zh, r +1/)： 2 0v =, 2 0 z = , 22 u re zr = . (2.14) 液液界面(z= 0, r +1/)： 12 uu=, 12 0vv=, 12 =, 12 zz = , 121 uu re zzr = . (2.15) 液池底部(z=- 1, r +1/)： 11 0uv=, 1 0 z = . (2.16) 液池内壁(r=, - 1 zh)： 0 ii uv=, 0 i =. (2.17) 液池外壁(r= +1/, - 1 zh)： 0 ii uv=, 1 i = . (2.18) 其中， 无量纲参数 t,1hc 1 1 ()l tt re =为毛细雷诺数， = 2 /1， =t, 2 /t, 1， =2 /1。 这里，需要特别说明的是，下文中所有的 、 和均分别表示两层流体的动力粘 度、表面张力温度系数和导热系数的比值。 2.5 流函数和涡量 为使方程简化，采用流函数涡量法消去方程中的压力项。因此，定义无量 纲流函数和涡量 ? 如下： 1 u rz = , 1 v rr = , uv zr = . (2.19) 将上式代入无量纲控制方程，消去压力项，并结合涡量的定义可得如下方程 组： 222 222 11 1 iiiiiiiiiiiii gr rrzzrrzrrrrzr +=+ , (2.20) 22 222 111 iii i rrrrrz += , (2.21) 2 物理数学模型的建立 13 22 22 1 1 iiiiiiii pr rrzzrrrrz =+ . (2.22) 相应的边界条件为： z=h 时： 2 2 0 z = , 2 22 2 re rzr = . (2.23) z=0 时： 12 0=, 12 zz = , 12 =, 12 zz = , 22 121 22 1 ()re rzzr = . (2.24) z=- 1 时： 11 1 0 zz = . (2.25) r= 时：0 i i r = , 0 i =. (2.26) r=+1/ 时：0 i i r = , 1 i = . (2.27) 3 纯热毛细对流的渐近解 15 3 纯热毛细对流的渐近解 3.1 引言 在微重力环境中，浮力的作用将消失，这时双层流体内只存在纯热毛细对流。 在第二章中，已经建立了有浮力作用时的环形双层流体内热毛细浮力对流的物 理和数学模型。不考虑浮力时，只需令控制方程中的浮力项为零即可。本章将利 用匹配渐近展开法来求得环形双层流体纯热毛细对流的渐近解，并对结果进行检 验与分析。 如前所述，匹配渐近展开法的主要特点是将求解区域分成几个不同的