（基础数学专业论文）二元（量子）外代数的galois覆盖代数的hochschild（上）同调群.pdf

中文摘要 摘要 本文主要通过计算二元( 量子) 外代数的g a l o i s 覆盖代数的各阶 h o c h s c h i l d 同调群和上同调群的维数来研究二元( 量子) 外代数的g a l o i s 覆盖代数的同调性质设为域忌上的二元量子外代数，是的g a l o i s 覆 盖代数当为二元外代数，即q = 1 时，我们简记a ：= a 1 人：= a 1 首先，当 g a l o i s 群为有限循环群z ，l 且c h a l ktn 时，我们通过构造a 的极小投射双模分解， 清晰地计算了人的各阶h o c h s c h i l d 同调群和上同调群的维数其次，当g a l o i s 群 为有限交换非循环群时，我们考虑g a l o i s 群为z 2xz 2 且c h a r kt4 这一特例，对 二元量子外代数的z 2 z 口- c , a l o i s 覆盖代数的各阶h o c h 涵c h i l d 同调群和上同 调群的维数进行了计算此外，在域七的特征为零时，关于上述两种情况，我们也 给出了的各阶循环同调群的维数 关键词：二元( 量子) 外代数；g a l o i s 覆盖代数；h o c h s c h i l d ( 上) 同调群；循 环同调群 湖北大学硕士学位论文 a bs t r a c t i nt h i sp a p e r , w en l a j ns t u d yt h eh o m o l o g i c a lp r o p e r t yo fg a l o i sc o v e r i n go ft h e ( q u a n t u m ) e x t e r i o ra l g e b r ai nt w ov a r i a b l e sb yc a l c u l a t i n gt h ed i m e n s i o n so ft h e i r h o c h s c h i l dh o m o l o g yg r o u p sa n dc o h o m o l o g yg r o u p s l e t b et h eq u a n t u me x t e r i o r a l g e b r ai nt w ov a r i a b l e so v e raf i e l dk ，b et h eg a l o i sc o v e r i n go f i np a r t i c u l a r , w ed e n o t eb ya ：= a 1a n da ：= a 1 t h ee x t e r i o ra l g e b r ai nt w ov a r i a b l e sa n di t sg a l o i s c o v e r i n g sf o rt h es p e c i a lc a s eq = 1 f i r s t l y , w h e nt h eg a l o i sg r o u pi sf i n i t ec y c l i c g r o u pz na n dc h a r kt 扎，w ec o n s t r u c tam i n i m a lp r o j e c t i v eb i m o d u l er e s o l u t i o no fa ， a n dc a l c u l a t et h ed i m e n s i o n so fh o c h s c h i l dh o m o l o g yg r o u p sa n dc o h o m o l o g yg r o u p s o f 人e x p l i c i t l y s e c o n d l y , w h e nt h eg a l o i sg r o u pi sf i n i t ec o m m u n i c a t i v en o n - c y c l i c g r o u p ，w ec o n s i d e ras p e c i a lc a s et h a tt h eg a l o i sg r o u pi sz 2 z 2a n dc h a rk 十4 i i l t h i sc a s e ，w ea l s oc a l c u l a t et h ed i m e n s i o n so fh o c h s c h i l dh o m o l o g yg r o u p sa n dc o h o - m o l o g yg r o u p so f m o r e o v e r , t h ec y c l i ch o m o l o g yo f c a nb ec a l c u l a t e df o r t h e t w oc a s ea b o v ei nt h ec a s et h eu n d e r l y i n gf i e l di so fc h a r a c t e r i s t i cz e r o k e yw o r d s ：( q u a n t u m ) e x t e r i o ra l g e b r ai nt w ov a r i a b l e s ； g a l o i sc o v e r i n g ； h o c h s c h i l d ( c o ) h o m o l o g yg r o u p ；c y c l i ch o m o l o g yg r o u p 一 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得 的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。 论文作者签名：族良 签名日期：硼年岁月3 0 日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学 校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢 利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。 ( 保密论文在 解密后遵守此规定) 论文作者签名：彼波 签名日期：卫，g 年岁月知日 导臌：椽杰f 豹 签名日期乒吒阵多月日 第一章绪论 第一章绪论 有限维代数的h o c h s c h i l d 同调群和上同调群与代数的整体维数、定向圈及 g a b r i e l 箭图的顶点的可分性紧密相关，并且它们还是结合代数较精细的不变量， 如m o r i t a 等价不变量、t i l t i n g 等价不变量、导出等价不变量等等因此，它们在 有限维代数的表示理论中起着十分重要的作用近年来，代数拓扑中的一些理论 与方法如覆盖理论已被广泛地应用于有限维非交换结合代数的表示理论，并很快 成为研究a r t i n 代数表示理论的有力工具而k o s z u l 代数是一类非常有趣的代 数，并且近年来也得到了广泛而深入的研究最近，韩阳证明了域七上的代数人为 k o s z u l 代数当且仅当它的有限g a l o i s 覆盖为k o s z u l 代数，其中g a l o i s 群g 满足 c h a r k fl g i 本文主要研究二元( 量子) 外代数的g a l o i s 覆盖代数这一类特殊的k o s z u l 代数我们通过计算二元( 量子) 外代数的g a l o i s 覆盖代数的各阶h o c h s c h i l d 同调群和上同调群的维数来研究二元外代数的g a l o i s 覆盖代数的同调性质，并对 二元外代数的各阶h o c h s c h i l d 同调群和上同调群的维数与其g a l o i s 覆盖代数的 各阶h o c h s c h i l d 同调群和上同调群的维数进行了对比，从而对k o s z u l 代数的同 调性质及k o s z u l 代数的g a l o i s 覆盖代数的同调性质有进一步的了解这些计算 不仅加深了我们对这类代数的h o c h s c h i l d ( 上) 同调群的感性认识，也有利于我 们对一般理论的把握下面，在开始我们的工作之前，首先让我们回忆一下这些基 本的概念及当前这些内容的发展状况 1 1h o c h s c h i l d ( i - ) 同调群 设a 是域忌上的有限维结合代数( 含单位元1 ) ，并记a 的包络代数为 a 。= a 叩圆七a ，其中a 印是a 的反代数设m 为有限维a a 双模，复形 伊= ( ，) e z 定义如下： = 0 ，v i 0 ， 其中a 剑表示七上的张量积a ao 圆a ( 共有i 次) ，微分定义为 d o ：m h o m k ( a ，m ) ，mh 【一，m 1 ，其中【一，m 】( o ) = n m m 口，v 口a ； 湖北大学硕士学位论文 当i21 时，：一+ 1 由下述法则给出： ( d * f ) ( a lo p0 + 1 ) = a l f ( a 2o oa i + x ) + ( 一1 ) + 1 f ( a l 圆oa i ) a 件1 ， 其中f c ，a l o 啦+ l a 圆( + 直接代入验证可知+ 1 d = 0 由此定义 h h ( a ，m ) = h h ( 伊) = k e r d i i m d ，vi z 并称之为代数a 的系数在m 中的第i 次h o c h s c h i l d 上同调群 特别地，当m = a 时，记h h ( a ) ：= 日( a ，a ) ，称为代数a 的第i 次 h o c h s c h i l d 上同调群此上同调群为h o c h s c h i l d1 9 4 5 年引进【l 】 1 9 5 6 年，c a f t a n 和e i l e n b e r g 在书【2 】中，利用h o c h s c h i l d 复形 其中 _ a 。( 州) 鸟a 。i 叫d i - 1 鱼aoa 乌a 乌0 ， + ( - 1 ) ( 锄+ l a l 圆on ) ， 给出了第i 次h o c h s c h i l d 同调群的定义： 日日( a ) = k e 咄i m d t + 1 ，i 0 ， 并证明了h h “( a ) = e x t 3 t 。( a ，a ) ，h h i ( a ) 笺r o e 。( a ，a ) 7 垒d e x t i 。( a ，d ( a ) ) ， 其中d = h o m k ( 一，七) 。从而，一个代数a 的第i 阶h o c h s c h i l d 同调群与上同调群 2 + 毗p 0 + po o ，d 一 。触 + +mo 圆 + ， 町町 0o 口 一 d 一 ；m = + 毗固p o 哦 第一章绪论 也可以利用导出函子来计算，即 日日( a ) = e x 。( a ，a ) h h i ( a ) = t 0 彳( a ，a ) h o c h s c h i l d 同调与上同调理论尤其是低维的同调群和上同调群在代数 表示论中具有十分重要的作用：g e r s t e n h a b e r 在文献【3 】中证明了二阶上同调 群日铲( a ) 控制了代数4 的形变理论，而一阶上同调群h h * ( a ) 与代数a 的 g a b r i e l 箭图顶点的可分性质如单连通性密切相关 4 1 ，h a p p e l 等人证明了代数闭 域上的有限表示型代数是单连通的当且仅当它的a u s l a n d e r 代数的一阶上同调群 为零1 5 1 人们也猜想代数闭域上的有限维代数，如果它的一阶上同调群消失，那么 它的g a b r i e l 箭图没有定向圈但这是不正确的，b u c h w e i t z 等人举出了反例 6 1 ，于 是人们又猜想倾斜代数是单连通的当且仅当它的一阶上同调群消失这对t a m e 倾斜代数证明是正确的 7 1 而同调群与代数的整体维数及定向圈密切相关【8 9 1 一般情况下计算代数的h o c h s c h i l d 同调群与上同调群是比较困难的但一些 特殊的代数类，如外代数、截面代数、单项式代数、例外序列的自同态代数等代 数的同调群已被计算【8 l o 1 5 】；某些特殊代数的上同调群也已被计算，如有限维遗 传代数【4 】，i n c i d e n c e 代数1 1 6 堋，具有狭窄箭图的代数1 4 ，圳，根方零代数f 1 9 i ，截面代 数，单项式代数【1 4 1 ，具有n o r m e d 基的特殊双列代数f 2 1 1 ，路余代数嘲等等 1 2 k o s z u l 代数 首先我们回忆一下k _ o s z u l 代数的定义嘲设七是一个域，人一o a i 是域七 0 上的一个分次代数若对每个n 1 ，a n = a 1 k 一1 则称a 是由0 次元和1 次元 生成的我们用e ( a ) 表示y o n e d a 代数、 e ( 人) = h e x t 爻( a o ，) ， n 2 0 这里乘法结构是通过y o n e d a 积给出的则e ( a ) 是域k 上的一个分次代数，其 中e ( 人) 厅= e x t 爻( 。，) 我们称一个分次代数a 是q u a s i - k o s z u l 代数，如果它的 y o n e d a 代数是由0 次元和1 次元生成的一个q u a s i k o s z t f l 代数称为k o s z u l 代 数如果它满足以下三个条件： ( 1 ) 是域七上的半单a r t i n i a n 代数； 3 一 湖北大学硕士学位论文 ( 2 ) a 是由0 次元和1 次元生成的； ( 3 ) d i m k a n 时 有日日n ( a ) = 0 最近，b u c h w e i t z g r e e n m a d s e n s o l b e r g 利用二元量子外代数 = 知( z ，u ) ( d ，x y + q y x ，y 2 ) 给出了一反例，从而否定了这一猜想【3 1 1 事实上， 这类代数在许多方面呈现出“病态 行为：对某些特殊的q 值，s c h u l z 通过构 造一个没有自扩张的非投射厶模，否定了t a c h i k a w a 猜想嘲；当q 不是单位 根时，l i u s c h u l z 证明a 的平凡扩张是局部对称代数，而且它的a r 箭图包含 一个有界无限d t r - 轨道，从而对r i n g e l 的一个问题给出了否定的回答【删：当 口，q 或q - 1 时，s k o w r o n s k i y a m a g a t a 证明了a q 和a 口，是s o c l e 等价的自入射代 数，但它们不是稳定等价的【叫等等另一方面，韩阳在文【8 】中证明了这类代数 在h o c h s c h i l d 同调方面却不呈现“病态”行为 本文我们研究二元( 量子) 外代数的g a l o i s 覆盖代数的同调性质作为一 个有趣的例子，对它的研究，不仅使我们对k o s z u l 代数的同调性质有进一步的了 解，并且使我们对二元量子外代数的“病态”行为有进步的认识，同时我们也 证明了其g a l o i s 覆盖代数的“病态”行为 4 ， 第一章绪论 1 3g a l o i s 覆盖 近年来，代数拓扑中的一些理论与方法如覆盖理论已被广泛地应用于有限维 非交换结合代数的表示理论并成为研究代数表示理论的有效工具下面我们首 先回忆一下有限维代数的g a l o i s 覆盖的定义 设k 为代数闭域，为代数，并且群g 作用在上相当于的自同构， 如果a 7 为扭群代数a 幸g 的投射生成子，这时我们称( 爿，g ) 为一个p e r g a l o i s l 裂s 1 我们称一个p e r g a l o i s ( a 7 ，g ) 为左( 右) g a l o i s ，如果对任一单左( 右) 模s ， a a a n n a , o s 为半单a l a n 肛代数，其中俨= 口a 7ig a = n ，的g ) ，a n n a 心 为s 在a 心中的零化子如果( a 7 ，g ) 既为左g a l o i s 又为右g a l o i s ，则我们称 ( ，g ) 为一个g a l o i s ，并且称( ，g ) 为a ：= 俨的一个g a l o i s 扩张侧 如果丛都为局部有界k 范畴，则一个k 线性映射一f ：丛_ 丛称为一个 覆盖函子侧，如果它满足： ( 1 ) f 为满射； ( 2 ) 对v a 出v a ，可诱导出同构：h t t o m w ( 6 ，a 7 ) 一 6 ，一1 ( 4 ) h a m a ( a ，f ( n ，) ) 及uh o m a , ( a 7 ，6 ，) 叶日d m ( ( 口，) ，口) 6 ，一1 ( 口) 假设丛是一个有限局部有界k 范畴，有限群g 为丛的k 自同构群，并且 群中元素作用在范畴丛中的每个对象上是自由的，则由【3 7 ，命题3 1 】可知，商范 畴a 心g 存在，并且典范投射丛一纠g 为一覆盖函子，我们称它为a o g 借 助群g 的g a l o i s 覆盖 。 对于有限维代数的g a l o i s 覆盖，我们不妨设以为一有限维b a s i ck 代数， 由g a b r i e l 定理可知，存在有限箭图q 及路代数k q 的一个允许理想j 使得 a 掣k q i ，于是我们可以把a 看成图范畴k q 的一个商范畴并且丛为有限局 部有界的i 删设一f ：丛一为借助群g 的g a l o i s 覆盖，其中有限局部有界范 畴丛对应于一个有限维b a s i ck - 代数皇k q l l ，则( a 7 ，g ) 为a = a 心的一个 g a l o i s 扩张此时我们称为a 借助于g a l o i s 群g 的g a l o i s 覆盖代数 代数表示理论中的覆盖方法和技巧是由b o n g a r t z g a b r i a l a 6 l ，g a b r i a l 3 7 1 ， g - t e e n a s 及r i e d t m a n n l 3 9 1 在研究有限表示型代数时引入并发展起来的，并很快成 为研究a r t i n 代数表示的有力工具近期，人们对代数的g a l o i s 覆盖有了进一步 的研究文献d 0 】给出了线性范畴的g a l o i s 覆盖的h o c h s c h i l d m i t c h e l l ( 上) 同调 群的c a f t a n l e r a y 谱序列而且扭群代数、g a l o i s 覆盖及分次代数的s m a s h 积之 5 湖北大学硕士学位论文 间存在着密切的联系在此基础上，韩阳证明了域后上的代数人为k o s z u l 代数当 且仅当它的有限g a l o i s 覆盖为k o s z u l 代数，其中g a l o i s 群g 满足c h a r ktf g f 3 0 本文主要通过计算二元( 量子) 外代数的g a l o i s 覆盖代数各阶h o c h s c h i l d 同调 群和上同调群的维数来研究二元( 量子) 外代数的g a l o i s 覆盖代数的同调性质， 作为k o s z u l 代数的g a l o i s 覆盖代数的一个例子，对这类代数的计算，将有助于我 们对k o s z u l 代数的g a l o i s 覆盖代数的同调性质有更加深入的了解 1 4 本文主要研究工作思路与论文内容组织 本文分情况研究二元( 量子) 外代数的g a l o i s 覆盖代数的同调性质，对二元 ( 量子) 外代数的g a l o i s 覆盖代数的各阶h o c h s c h i l d 同调群和上同调群的维数 进行了分析和计算主要研究内容及步骤如下： 第二章主要研究二元外代数的g a l o i s 覆盖代数人的同调性质基于 g r e e n 等人对k o s z u l 代数的极小投射双模分解的构造，我们首先构造了覆盖代 数人的极小投射双模分解，在此基础上，当基础域的特征不整除n 时，a 的各阶 h o c h s c h i l d 同调群和上同调群的维数被清晰地计算并且在基础域的特征为零时， 我们也计算了人的各阶循环同调群的维数 第三章主要研究二元量子外代数的z 2 z 2 g a l o i s 覆盖代数人的同调性质 当g a l o i s 群为一般的有限交换非循环群时，其箭图的构造都是十分复杂的，更 不要说计算其各阶h o c h s c h i l d 上同调群的维数因此，我们在这里对其中特 例，即g a l o i s 群为z 2xz 2 且基础域七满足c h a r k 十4 时的情形进行分析，用组合 的方法得到了覆盖代数a 的各阶h o c h s c h i l d 同调群和上同调群的维数并且在 c h a r k = 0 时，我们也给出了人的各阶循环同调群的维数 6 第二章z n g a l o i s 覆盖代数的h o c h s c h i l d ( 上) 同调群 第二章z 几一g a l o i s 覆盖代数的h o c h s c h i l d ( 上) 同调群 这一章，我们将通过构造二元外代数的z ，：, - g a l o i s 覆盖代数a 的极小投射双 模分解，计算人的各阶h o c h s c h i l d 同调群和上同调群的维数并且在基础域的特 征为零时，给出了a 的各阶循环同调群的维数在本章中，我们假设k 为特征不 整除礼的域，记z 为整数集，z 竹= - i ，而) 是模扎的剩余类加群，道路 及映射的合成采用从左到右的顺序 2 1 极小投射双模分解 设q 是由顶点一0 ，一1 ，而及箭向q ：i _ f 订，鲔：再了_ i 构成的有 限箭图，其中i = 石，i ，而，即 以后我们简记奶为戤，鲔为弘，并且假定对任意的正整数j ，k ，若j 兰k ( m o d n ) ，则吻= ，协= 弧对任意的路p 七q ，记o ( p ) 为p 的起点，t ( 纠为p 的 终点，若p 由1 个箭向构成，则称p 的长度为f 记f 是由r = z 茹t + l ，z 漱+ 瓠一l 戤一1 ，鼽玑一110sisn 一1 ) 生成的路代数七q 的理想则a = k q i 是二元 外代数a = 七( z ，! ，) ( z 2 ，x y + y x ，矿) 的z - g a l o i s 覆盖代数，从而是k o s z u l 代数 删设召= e ，戤，欢，戤弘10 t n 一1 ) 是人的一组k - 基，其中 e 10 i 礼一1 ) 为a 的本原正交幂等元，而且我们将召中的元素与它们在a 中的像等同 从而d i m k a = 4 n 若规定e 0 e 1 一1 x o 一1 珈 一l x o y o 一 一l 蜘一l ，则8 关于 构成人的有序基 设跫是天的二次对偶，则天2 笺k q ( r 上) ，其中r 上= 现玑一鼽一l 戤一l1 0s 一7 湖北大学硕士学位论文 i 竹一1 ) 并且天具有乘法基若令 r = 碜：0 ：= 墨z 件1 瓤切，一1 欢啊。一1 轨巧，一2 玑钾，一西i ， ，一一一一： 一 歹l + 如= l ，0 i 礼一1 ) ， 则不难验证f = uf ( o 构成人f 的一组k 基 1 2 0 下面我们来构造天的极小投射双模分解( 只，以) 设a e ：天印。知a 是a 的包 络代数，记o ：= 圆七对任意的2 0 ，b ：= i ia o ( o t ) ot ( q ) a 是投射a e 一模对 任意的口= q 鬟0 ：r ( n ，定义 也( 。( q ) 。亡( q ) ) = z t t i 、o t ( 1 - 1 , i + l ：) + ( - - 1 ) t o , u $ ( i j - - 。一1 , 。i 矿) ：) x i + j ，一力一1 + y i 一1p 亡( 口鬟掣) + ( 一1 ) 。( 口翁嚣一t ) 。y i + j 。嘞 定理2 1 1 设天= k q i 为二元外代数人的z n g a l o i s 覆盖代数，则复形 ( 只，以) 一最土只一1 兮乌马乌p 1 卫p o 一0 是永模天的极小投射双模分解 证明由于k o s z u l 代数天的二次对偶天2 同构于天的y o n e d a 代数e ( a ) ( 参 考【2 4 ，定理2 1 0 1 】) ，因此，r ( j ) 给出了天的极大半单子代数压在天上的( 分次) 线性投射分解 _ 爿一砬，一一一群一巧一0 其中爿= i i 天d ( q ) ，则由 2 7 1 中定理2 1 可知该定理成立证毕 , - , e f ( o 2 2h o c h s c h i l d 同调群与循环同调群 在这一节，我们将计算覆盖代数天= k q i 的各阶h o c h s c h i l d 同调群与循环 同调群的维数设x ，y 是由道路组成的集合，定义xoy = ( p ，口) xxyi t ( v ) = o ( q ) 且t ( q ) = d 0 ) ) ，记k ( xoy ) 为域k 上以xo y 为基的向量空间同 8 第二章 z n g a l o i s 覆盖代数的h o c h s c h i l d ( 上) 同调群 前一节，记召是天= a q x 的有序基，r 是天5 的k 基 用函子天。永一作用于天的极小投射双模分解( 只，以) ，得到 引理2 2 1 同调复形a 一 天。( 只，民) = ( ，凡) ，其中川竺尼( b o r ( ) ) ，且对任 意的b 8 ，口= a 当：0 r ( n ，有 n ( 6 ，q ) = ( 6 z i ，q 戋誓) + ( 一1 ) ( z i 。一j ：一1 6 ，a 霉0 - 1 , 0 。， + ( 咄一l ，口z 卜i l 一1 。2 - 1 1 ) + ( 一1 ) ( 玑+ 血一矗6 ，叫譬蔓，) 证明设瓦为a 的极大半单子代数，由m = a 圆天。只= a 圆五5 l i ( d ( 口) 圆七 。a 6 r ( 0 t ( q ) ) 笺冒色天勺圆七勺r ( f ) 岛，可知召or ( f ) 构成m 在七上的一组基，且微分n 可 i d = o 由天的极小投射双模分解( p ，瓦) 中对应的微分得到吲证毕 由定义日凰( a ) = k e r r d i m v _ f + 1 可知 d i n k 日岛( 人) = d i m kk e r 力一d i m 七i m 力+ l = d i n k l d i m 知i m 卫一d i m 膏i m 7 i + 1 所以。要计算天的h o c h s c h i l d 同调群的维数，只需计算d i m 知l ，d i m 知i m 即可 引理2 2 2 设a = k q s 是二元外代数a 的z ，i g a l o i s 覆盖代数，l = 册+ ， 其中p 为非负整数，整数r 满足0 r n ，则有 d i m 七川= 2 n + 4 p n ,当0 r n l 时； 当r = n l 时 证明对任意的q 0 j 。矿) 。r ( n ，由8 。1 1 ( ) 的定义可知( e t ，a 0 j ) 。，bo r ( 当且仅当一c 。0 d ，曲) 的终点与起点都为点i ，即j i = 主，j l 兰j i 2 ( r o o dm 类似地， ( z i 鼽，2 。) bo f ( 1 ) 当且仅当歹= i ，歹l 三歹2 ( r o o dn ) ；( 缸，a ( t j 。一) 。) bo f 当且仅当j = i + 1 ，j l 三j 2 1 ( r o o dn ) ；( 饥，碳。) 召or 0 ) 当且仅当 9 湖北大学硕士学位论文 j = i ，j 1 三歹2 + 1 ( m o dn ) 所以，若记 则 叫= ( e t ，n ：) ij - j 2 ( m o dn ) ，0 i 佗一1 ) ， 膨= 【( 写t ，q 当：翟) ij - - j 2 1 ( r o o dn ) ，0 i 佗一1 ) ， 叫= ( 玑，始：) i 歹- 三五+ 1 ( m o dn ) ，0 i n 一1 ) ， 膨= ( 戤玑，q 当：0 ：) i 歹l - j 2 ( m o dn ) ，0 i 扎一1 ) ， 届or ( ) = m iu 砭u ua 旌 情形i ：n 为偶数 ( 1 ) z 为奇数：若存在( e i ，口璺：0 ：) m i 或( x i y , ，q 参：k ) 膨，则j 2 = k n - i - j l ，l = k n + 2 j 1 ( 七z ) ，这与z 为奇数矛盾所以此时l 叫i = l 膨i 二0 ， 召or ( 。) = 趔u 旭 当0 r 办时，k 可取1 ，2 ，p ，p + l ， 即有p4 - 1 个：嚣使得( 鼢，q ：嚣) 叫所以i 膨i = ( 2 p + 2 ) n 同理 l 瞒i = ( 2 p + 2 ) n 所以d i 魄l = l 召or ( 1 ) i = i 膨i + i 瞒l = 4 n + 4 p n ( 2 ) f 为偶数：若存在( x i ，蟛：捌) 喇，则如= k n + 歹1 + 1 ，z = k n - i - 巧1 + 1 ( k z ) ，这与l 为偶数矛盾所以i 膨l = 0 ，同理i 瞒l = 0 ，所以此时 召or ( ) = 叫u 心： 对任意的e i 1 3 ，若( e ，蟛：。) 叫，则当j 1 j 2 时，由j 2 = k n + 歹l ，f = k n + 巧1 可知k 可取0 ，l ，p ，即有p + 1 个q 鬟。使得( 龟，a 鬟0 。) m i ；当 歹l j 2 时，由j l = k n + j 2 ，：= h + 2 j 2 可知k 可取1 ，2 ，p ，即有p 个a 鬟：一：使 得( e i ，q 鬟0 。) 删由岛的任意性即得i m i i = ( 印+ 1 ) 礼同理i 删i = ( 印+ 1 ) n 所以d i m k m = i 召or ( ) i = l m i i + i 膨l = 2 n + 4 p n 1 0 第二章z n g a l o i s 覆盖代数的h o c h s c h i l d ( 上) 同调群 情形i i ：竹为奇数 ( 1 ) z 为奇数：对任意的k z ，记七+ 为不大于k 的最大偶数，k 一为不大于k 的最大奇数，则有扩+ k 一= 2 k 一1 当0 r 歹2 时，k 可取2 ，4 ，p + ，p - i - 1 ，即有譬+ 1 个a 鬟簧使得( 甄，簧) 趔所以i 州l = 矿+ 2 ) 凡同理 l 瞒l = + 2 ) n 所以d i 砜m = l bor ( 1 ) i = l 叫i + l 埘l + i 瞒l + l 膨i = 2 ( v 一+ 矿) n + 6 n = 4 礼+ 4 p n ( 2 ) z 为偶数：类似于z 为奇数时的分析，便可得到：当0 ，_ 扎一1 时， d i 呱m = i 召or ( 1 ) i = i 叫趔叫删i 一2 ( v 一+ 矿) n + 4 n = 2 n + 4 p n 当 r = n - - 1 时，d 砜川= l 召or ( j ) i = i 删i + 1 膨i + 1 瞒膨i = 2 ( v 一+ p + ) n + 6 n = 4 礼+ 4 p n 证毕 对任意的( 6 ，母0 。) ，( ，。a 以q d ) 出) 召or ( 1 ) ，必存在膨，趔( 1 s ，ts 4 ) ， 使得( 6 ，始：0 ：) 彬，( 6 ，q 鬟i ：) 删当3 t 时，定义( 6 ，口鬟0 ) ( 6 ，碳_ ) 如果3 t ；当3 = t 时，定义( 6 ，磴：0 ，) - k ( b ，口鬟0 。) 如果歹 k l ， 或j l = k l 且b 6 ，则8or ( ) 为m 的一组定序基力在这组定序基下的矩阵 仍记作1 r i ，r a n k 力为它的秩 引理2 2 3 设天= k q i 是二元外代数a 的z ，1 g a l o i s 覆盖代数，l = m + r 0 ，其中p 为非负整数，整数r 满足0 ， 几则有 一 戮三：圣爱兰。 证明记 湖北大学硕士学位论文 ， 其卜。 上， 厂 1 ( 一1 ) m l l ( 一1 ) h 1 b ：i 1 i 1 ( 一1 ) h 1 ( 一1 ) 1 则当n 为偶数时，r a n k a = r a n k b = n 一1 ；当n 为奇数时，若f 为偶数，r a n k a = 佗， r a n l c b = n 一1 若2 为奇数，r a n k a = n 一1 ，r a n k b = n 对任意的矩阵x ，记誓7 = ( 言) 表示矩阵x 后添加礼行。后得到的矩阵， 记= ( 呈) 表示矩阵x 前添加佗行。后得到的矩阵 情形i ：n 为偶数 ( 1 ) 0 r 0 ，0 r 0 时，由引理2 2 2 ，引理2 2 3 及d i m k h h l ( a ) = d i m k l r a n k n t a n kr i + l 可得到该定理证毕 推论2 2 5 f l o 】设a 为二元外代数，五= k q z 是a 的g a l o i s 覆盖代数，则 当n = 2 时，恒有 & m k h h t ( a ) = d i m k h h t c a ) 记日a ( a ) 为人的第1 阶循环同调群【4 1 1 ，则有 推论2 2 6 设人为域k 上的二元外代数且c h a r k = 0 , a = k q i 是a 的 z ，l - g a l o i s 覆盖代数，z = 册+ r ，其中p 为非负整数，整数7 满足0 r 凡，则当 n 为偶数时， d i m k h c t ( h , ) = = 当f 为奇数且0 r n l a ； 当z 为奇数且r = n 一1 时： 劲+ 扎+ 1 ，当z 为偶数时 1 5 湖北大学硕士学位论文 当n 为奇数时， d i m k h c l ( 人) = p + 1 ， p ， 当l 为奇数且p 为奇数时； 当f 为奇数且p 为偶数时； p + 礼，当z 为偶数，p 为偶数且0 r o 时 、 ln ，当z 为偶数时； d i m k h g ( 胪) = 10 ，当l 为奇数时 所以由定理2 2 4 的结果即可得到该推论证毕 2 3h o c h s c h i l d 上同调群 在这一节，我们将计算覆盖代数天= k q h