（基础数学专业论文）关于s（2m1）空间的一些性质.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 摘要 在拓扑学中，紧空间是一类极其重要的拓扑空间，紧马空间是分离性与紧 性的完美统一本文主要将s ( 2 m + 1 ) 一分离性与弱紧性如s ( m + 1 ) 一闭结合 产生了一些新的结果，其中m 是自然数，且仇2 同时，运用建立超滤子空 间的方法把这类空间与紧空间联系起来，将文 1 】，文【2 】的一些好的结果推广 到s ( 2 m + 1 ) 空间上，并研究了s ( e m + 1 ) 一空间的一些其他的性质 第一章定义了s ( 2 m + 1 ) 一空间的1 9 m + 1 一绝对，并将s ( 2 m + 1 ) 一分离 性与s ( m + 1 ) 一闭性结合，证明了j s ( 2 m + 1 ) 一空间是s ( m + 1 ) 一闭的当且 仅当t x 是紧空间第二章在s ( 2 m + 1 ) 一空间x 中，用滤子的语言定义了 s ( m + 1 ) - 集，关于俨+ 1 一绝对( t x ，七) ，k ：t x _ x ，讨论了s ( 仇+ 1 ) 一集 的些内部性质第三章主要通过引入函数基数x m + - ( x ) ，给出了s ( 2 m + 1 ) 一 空间的几个基数不等式我们得到如下结果： 定理1 3 2s ( 2 m + 1 ) 一空间x 是s ( m + 1 ) 一闭的当且仅当t x 是紧空 间 定理1 3 3 设x 是s ( 2 m + 1 ) 一空间，k ：t x x ，( t x ，k ) 是f 9 m + 1 一 绝对，a x ，则有k ( k - 1 ( 4 ) ) = c l o ，+ i a 定理1 3 5 设x 是s ( m + 1 ) 一闭的s ( 2 m + 1 ) 一空间，a x ，则存在 闭集b t x ，使k ( b ) ia 当且仅当存在某一开滤子“，使a d e ，+ 翻= a 定理2 2 ：1 设x 是s ( m + 1 ) 一闭空间，acx ，则f ：2 抄件a 是s ( 佛+ 1 ) 一 集 定理2 2 2 s ( 2 m + t ) - 空间x 是s ( r n + 1 ) 一闭的，( t x ，k ) 是x 的 口m + 1 一绝对，k ：t x _ x ，acx ，则下列条件等价： ( 1 ) a 是x 中的伊+ 1 一闭集： ( 2 ) a 是x 中的s ( m + 1 ) 一集； ( 3 ) k - 1 ( a ) 是紧子集； 曲阜师范大学硕士学位论文 定理2 2 3 设孑是空间x 的开滤子，x 是s ( 仇+ 1 ) 一闭空间，则口幽，+ - 孑 是s ( m + 1 ) 一集 定理3 2 3 对于s ( 2 m + 1 ) 一空间，下列基数不等式成立：矽m + 1 ( x ) = x m + 1 ( x ) ，且x 仇+ 1 ( x ) x ( x ) 定理3 2 4 令s ( 2 m + 1 ) - 空间x 是s ( m + 1 ) 一闭的，则l x i 2 x ( m 关键词s ( 2 m + 1 ) 一空间，伊m 一绝对，俨机一连续，s ( m + 1 ) 一集， 俨一闭集，基数函数 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt o p o l o g y ，c o m p a c ts p a c e sa r eak i n do fv c r yi m p o r t a n tt o p o l o g i c a l s p a c e ，c o m p a c ta n dt 2s p a c ei sap c t f c c tu n i t yo fs e p a r a t ep r o p e r t ya n dc o m p a c tp r o p e r t y i nt h i sp a p e r ，w cc o m b i n es ( 2 m + 1 ) - s e p a r a t ep r o p e r t yw i t h f e e b l yc o m p a c tp r o p e r t ys u c hf o rs ( m + 1 ) - c l o s e d ，w h i c hm a k es o m en e w r e s u l t s ，mi sa n a t u r en u m b e r ，a n dm 2 i nt h es a m et i m e ，w cs e tu ps u p e r - f i l t e rs p a c ea n dc o n n e c tt h ek n do fs p a c ew i t hc o m p a c ts p a c e s t h e nw em a k e s o m eg o o dr e s u l t so fp a p e r 1 ，p a p e r 2 】c x t e n dt os ( 2 m + 1 ) 一s p a c ea n ds t u d y s o m eo t h c rp r o p e r t i ：搭o fs ( 2 m + 1 ) - s p a c e i nc h a p t e r1 ，w ed e f i n e 伊+ 1 - a b s o l u t ei ns ( 2 m + 1 ) - s p a c e ，t h e nw ec o i n - b i n es ( 2 m + 1 ) - s e p a r a t ep r o p e r t yw i t hs ( m + 1 ) 一c l o s e dp r o p e r t y , a n dp r o v e t h a ts ( 2 m + 1 ) - s p a c ci ss ( m + 1 ) 一c l o s e di fa n d o n l yi ft x i sac o m p a c ts p a c e ； i nc h a p t e r2 ，w es t u d ys ( m + 1 ) - s e t so fs ( 2 m + 1 ) - s p a c e ，w ea p p l yf i l t e rl a n g u a g et od e f i n es ( m + 1 ) 一s e t s ，o n8 m + 1 - a b s o l u t e ( t x ，七) ，k ：t x _ x ， w ed i s c t m ss o m ei n t e r n a lp r o p e r t i 髑o fs ( m + 1 ) - s e t s ；i nc h a p t e r3 ，w ei n t r o - d u c ef u n c t i o n a le a r d i n a l i t yx 仇+ l ( x ) ，a n dg i v cs o m ec a r d i n a li n e q u a l i t i e so f s ( 2 m , + 1 ) - s p a c e i nt h ef o l l o w i n g ，w eg e tm a i nr e s u l t s ： t h e o r e m1 3 2 s ( 2 m + 1 ) - s p a c ei ss ( m + 1 ) - c l o s e di fa n do n l yi f t x i sac o m p a c ts p a c e t h e o r e m1 3 3l e txb ca ns ( 2 m + 1 ) - s p a c c ，( t x ，k ) i so m + l - a b s o l u t e ， k ：t x _ x ，a x ，t h e nk ( k 一1 ( a ) ) = d 口”+ - a t h e o r e m1 3 5l e txb cs ( m + 1 ) - c l o s e ds ( 2 m + t ) - s p a c e ，acx ， t h e nt h e r ei sac l o s e ds e tbct xs u c ht h a tk ( b ) = ai fa n do n l yi ft h c r ci s a no p e nf i l t e r 4s u c ht h a ta d o m + l 甜= a t h e o r e m2 2 1l e txb ca ns ( m + 1 ) 一c l o s e ds p a c c ，t h e nc f 伊+ i ai sa n s ( m + 1 ) 一s c t n 1 t h e o r e m2 2 2 s ( 2 m + 1 ) - s p a c cx i ss ( m + 1 ) 一c l o s e d ，t h e nt h ef 0 1 1 0 w i n ga r ee q u i v a l c n t ： ( 1 ) ai sa0 r n + l - s c ti nx ； ( 2 ) ai sa ns ( m + 1 ) - s c ti nx ； ( 3 ) k - 1 ( a ) i sac o m p a c ts u b s c t ； t h e o r e m2 2 3l 眈孑b ea no p e nf i l t e ro fx ，xi sa ns ( m + 1 ) 一c l o s c d s p a c e ，t h e n 嘶。+ 1 孑i sa l ls ( m + 1 ) 一s c t t h e o r e m3 2 3a b o u ts ( m + 1 ) - c l o s e ds p a c c t h ef o l l o w i n gc a r d i n a l i n c q u a l i t i c 葛h o l d ： + l ( x ) = x m + 1 ( x ) ，a n dx m + l ( x ) x ( x ) t h e o r e m3 2 4l c ts ( 2 m + 1 ) - - s p a c eb cs ( m + 1 ) 一c l o s c d ，t h c ni x i 2 x ( x ) k e y w o r d ss ( 2 m + 1 ) - s p a c c ，o r e + 1 一a b s 0 1 u t c ，伊+ l c o n t i n u o u s ， s ( m + 1 ) 一s c t s ，o r n + l - c l o s c ds e t ，f u n c t i o n a lc a r d i n a l i t y 曲阜师范大学博士硕士学位论文原创性说明 ( 在口划“4 ) 本人郑重声明：此处所提交的博士口硕士口 关于s ( 2 m + 1 ) 一 空间的一些性质，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读博士 口硕士口学位期间独立进行研究工作所取得的成果。论文中除注明 部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果。对本文的研究工作做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明。本声明的 法律结果将完全由本人承担。 作者签名：日期： 曲阜师范大学博士硕士学位论文使用授权书 ( 在口划“ ) 关于s ( 2 m + 1 ) 一空间的一些性质系本人在曲阜师范大学攻读博士 口硕士口学位期间，在导师指导下完成的博士口硕士口学位论 文。本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得 以其他单位的名义发表。本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用 学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电 子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权曲阜师范大学，可以采用 影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内 容。 作者签名：夏j 立久 导师签名： f 。 日期：d 孑b 日期： 第一章s ( 2 m + 1 ) 一空间的0 m + l 一绝对 1 1 引言及预备知识 一引言 在拓扑学中，紧空间是一类极其重要的拓扑空间对一些弱紧空间的研究， 如h 一闭空间，s ( 扎) 一闭空间，s ( n ) 一口一闭空间等p o r t e rjr ，w o o d srg 1 1 | ， d i c k m a nrf n 等把该类空间与紧空间联系起来，为这些弱紧空间的研究提供 一种新的途径 文 1 】对个h a u s d o r f f 空间x ，定义e x = “：1 4 是x 上的极大开滤 子，a d l 4 毋) ，e x 上的拓扑由 o u ：u 是x 中的开集 生成，其中o u = ( “： u 1 4 ，“e x 定义映射k ：e x _ x ，k u 】= a d b l ，k 是完备的口一连续的 不可约满射，称( e x ，k ) 为拓扑空间x 的i i i z i d i s 绝对，利用这种方法得到了 下列好的结果： x 是拓扑空间，asx ， ( 1 ) 【1 】x 是日一闭空间当且仅当e x 是紧空间 ( 2 ) 【2 】a 是x 中的p 一闭集当且仅当k - 1 ( a ) 是e x 中的闭集 ( 3 ) 3 jx 是k a t e t o v 当且仅当x 是紧空间的完备映像 文【2 】又讨论了s ( 3 ) 一空间，定义了一2 一绝对x 是s ( 3 ) 一空间，定义 f x = _ “：1 4 是x 上的极大开滤子，且a d 0 2 1 4 d ) ，f x 上的拓扑由集族 o u ：u 是x 中的开集) 生成，其中o u = “：u “，“f x ，定义映射 k ：f x x ，k i l l 】= a d i e u ，k 是完备映射，称空间( f x ，k ) 为空间x 的p 2 一 绝对并将s ( 3 ) 一分离性与s ( 2 ) 一闭性结合产生了一些好的新结果，并运用建 立超滤子空间的方法把这类空间与紧空间联系起来，得到了一些有趣的结果： ( 1 ) 【2 】s ( 3 ) 一空间x 是s ( 2 ) 一闭的当且仅当f x 是紧空间 ( 2 ) 【2 】x 是s ( 2 ) 一闭的s ( 3 ) - 空间，a x ，则存在闭集b f x ，使 k ( b ) = a 当且仅当存在某一开滤子孑使a 山：孑= a 1 第一章s ( 2 m - t - 1 ) 空间的俨+ 1 一绝对 ( 3 ) 【2 】x 是s ( 3 ) 一空间，( f x ，k ) 是x 的p 2 一绝对，k ：f x x ，则对 b x ，k ( k - 1 ( b ) ) = c l e 2 b 利用上述分离性与闭性结合的好的方法，本章主要将s ( 2 m + 1 ) 一分离性 与s ( m4 - 1 ) 一闭性结合，其中i 1 7 , 是自然数，且m 2 ，把文【1 】，文【2 】的一些 好的结果推广到s ( 2 m4 - 1 ) 一空间上，得到一些有意义的结果 二预备知识 定义1 1 1 1 3 1 拓扑空间x 的子集m 的1 9 一闭包c l 口m 为： d o m = z ：比可nm 仍) m 是0 一闭集，如果m = 幽m 定义1 1 2 1 3 】拓扑空间x 的子集b 称为z 点的佗邻域，如果存在开集链 巩巩阴。b 且满足：z 巩，砺阢+ l ，t = 1 ，2 ，佗一1 若b 还是开( 闭集) 就称b 是z 点的佗一开( 闭) 邻域 定义1 1 3 【3 】子集m 的伊一闭包，c l o , , m = z ：z 点的每个f , 邻域交m 非空1 定义1 1 4 【3 i 拓扑空间x 称为s ( 佗) 一空间，若对于任意两点x ，y ，z 不属 于c l o ， 秒) s ( 佗) 一空间称为s ( n ) 一闭空间，若x 可以作为闭子集嵌入到s ( 佗) 一空 间中 s ( 死) 一空间称为s ( 佗) 一1 9 一闭空间，如果x 可以作为0 一闭集嵌入到s ( n ) 一 空间中 定义1 1 5 【3 】贝是集族，孑是缎的子集族，如果满足： ( 1 ) d 岳孑； ( 2 ) 若a l ，a 2 孑，则a lna 2 孑； ( 3 ) 若a 孑且a a l 贝，贝0a l 孑； 则称孑是贝中的滤子 贝中的滤子是极大的，如果对于贸中的任意包含孑的滤子，都有孑= 2 曲阜师范大学硕士学位论文 定义1 1 6 1 5 】孑称为贝中的开滤子，如果孑是由开集组成的滤子基生成 的 定义1 1 7 【3 】孑是x 中的滤子，n c f 伊r ：r 孑) 称为孑的伊。一接触 集记作a d o ，孑 定义1 1 8 1 3 】映射，：x _ y 是0 一连续，如果对任意z x 及，( z ) 的 在y 中的任意邻域u ，存在z 的邻域y ，使，( 矿) 可 定义1 1 9 【4 】映射f ：x _ y 是不可约的，如果爿卅y ，其中a 是x 中的个真闭子空间 映射，：x _ y 是紧的，如果对所有y y ，厂1 ( 秒) 是紧子集 映射，ox _ y 是完备映射，如果，紧的且闭的 定义1 1 1 0 1 4 j 空间x 称为k a t e t o v 的，如果x 有更粗的极小h a u s d o r f f 拓扑 定义1 1 1 1 a x 是拓扑空间，如果对于x 的任意开覆盖孵，存在n 1 ，0 1 2 ， a ，使得x = u l 。瓦，其中玩；毋，则称x 是h 一闭空间 1 20 , 1 1 “绝对的概念与性质 本节为了将文【1 】，文【2 】的一些好的结果推广到s ( 2 m + 1 ) 一空间中，首 先我们给出s ( 2 m + 1 ) 一空间中的疗m 一绝对的概念和一些相关的性质： 定义1 1 1x 是一拓扑空间，z x ，u x ，集合称为z 点的m + 1 一 开集，如果存在开集链满足z h k k v 麓1 麓u 定义1 1 2x 是一拓扑空间，m x ，称集合 z ：每个z 点的m + 1 一 开集的闭包交m 非空 为m 的o m + l 一闭包，记为c f 护州m 定义1 1 3x ，y 是拓扑空间，映射，：x y 称为口m “一连续的， 如果对每个z x 及s ( x ) 的m + 1 一集u ，存在z 的m + 1 一集y ，满足 3 第一章s ( 2 m + 1 ) 一空间的伊- 绝对 s ( v ) u ，即f ( c a , , + y ) c f 伊- + - 定义1 1 4x 是s ( 2 m + 1 ) 一空间，t r , n ，且仇2 ，定义t x = “： 甜是x 中的极大开滤子，且a d o 。+ - 翻o ) t x 上的拓扑由集族( o u ：u 是x 中的开集) 生成，其中o u = “： “t x ，u “) 定义k ：t x _ x ，尼皿】= a d o , ，+ - 甜，称( t x ，k ) 为空间x 的口m + 1 绝对 注：空间x 是s ( 2 m + 1 ) 一空间是必需的，否则可以存在x 上的极大开 滤子纠，使i a d o 十- i 2 ，从而就不能保证k ：t x _ x 是单值映射其中o u 是t x 中的既开且闭集t x 是极不连通空间 下面我们说明定义1 1 4 中映射k 的一些好的性质： 命题1 2 1 拓扑空间x 是s ( 2 m + 1 ) 一空间，( t x ，k ) 是x 的伊+ 1 一绝 对，则k 是完备映射 证明( 1 ) 证明k 是紧的，即对任意的z x ，证k - 1 是紧集 反证，假设k - 1 【叫是非紧的，存在t x 中的开集族 0 玩：q 仡) 满足 k - 1 m u a 一。玩，对此开集族中的任意有限子集族 o 。，i = 1 ，2 ，佗) ， 有k - 1 【卅gu n ：。o 玩；，则 u q 一。以巧：p 托) 构成开滤子，记为孑。 若存在z 点的m + 1 一集k 及p 仡，使 ( ud 以巧) n k = o ， 口 一 即u n k 玩nk 巧，故o c u q knk ) o ( ) ，显然这与假设矛盾所以 z a d o t ，- + 孑。设孑是由孑。u k ：k 是z 点的m + 1 一开集) 生成的极大 开滤子，故x = a d o m + - 孑，即孑k - 1 【z 】，从而存在p 仡，使得孑o ，则 孑从而( u q 一o 观) n 国，矛盾所以k - 1 h 存在有限子覆盖， k 1 是紧集，则k 是紧的 ( 2 ) k 是闭映射 令b t x ，b 是t x 的任一闭集显然k b 】尼【剀，下证k b 七【纠 4 曲阜师范大学硕士学位论文 对x 尼【剀，即k - 1 吲nb = 0 ，设i k - 1 m f = 仡记 k - x x l = _ 玩，q 仡) ， 对q 仡，玩k - 1 ，从而存在玩玩，使0 既nb = 0 令 o ：口k ) 是k - 1 m 的开覆盖，又因为k - 1 m 是紧集，则存在有限 子族 p 玩i ：i = l ，2 ，佗) ，使k - 1 i x 】u l 。0 玩i 因为k - 1 mnb = 仍， 而。玩nb = 0 ，则有u l 。0 inb = 0 ，又因为 钆 uo v o i = o ( u i ) i = ii = l 断言：存在z 点的忉，+ 1 一开集圪满足垦u 竺，d 观i 事实上，若不然，则有 亿u ：。d 玩i ：k 是z 点的任意m + 1 一开集 ) 构成开滤子，记为岛设9 是由9 。生成的极大开滤子，由t x 的定义知， n 如t ，+ l g = z 从而 夕k - 1 【卅uo v o 。= o ( u v 。) ， i = li - - - 1 故u ：。玩i 夕，从而( k u ：。玩i ) nu l - 。玩；0 ，矛盾 设睨是z 点的任一开邻域，且儿k ，因为0 kab = 仍，所以 对任意的开滤子孑b ，孑譬0 圪，则存在f 孑，使得fn 瓦= o 故 i 亿n n 幽m + 鑫= 0 又因为k i b 】= u 艇b a d o t ，+ - 孑，所以w n k t b 】= 毋，即 z k l b ，从而后旧】是x 中的闭集 综合( 1 ) ，( 2 ) 知，k 是完备映射 命题1 2 2 令x ，y 是拓扑空间，：x _ y 是p m “一连续映射，若 a x ，则，i a ：a y 是o m + l 一连续，且 d o + 卅以卵+ - ，【州 证明任意z a x ，因为，是俨+ 1 一连续映射，u 是，( z ) 的m + 1 一 开集，存在z 的f n + 1 一开集y ，使得，( 矿) 可，而z a x ，显然 ，i a ：a _ y 5 第一章s ( 2 m + 1 ) 一空间的护+ 1 绝对 下证，【c f 秒+ - 州c f 伊，+ - ，【a 】 对z f ：f 十，a ，仞) 的m + 1 一开集u ，存在z 点的m + 1 一开集y ，使 得，( 矿) 一u 又因为矿na o ，故v nf a 】毋，从而，( z ) c f 扩州，【州 因此f c t o m + - 州c f 卵州，【卅 命题1 2 3x 是s ( 2 m + 1 ) 一空间，m n ，( t x ，k ) 是俨+ 1 一绝对，则 k 是椤“机一连续 证明令“是t x 中的任一极大开滤子，y 是k u 】的m + 1 一开集，由 k 的定义知 k u 】- 口如+ b l = n c f 0 。 6 - 1 - 1 u ：u “】- ， 所以对任意u “，unv o 而朗是极大开滤子，故v “又因为o v 是 t x 中开且闭集，则o v 是t x 中“的m + 1 一开集，且c f + - 0 y = o v 从 而 【d o , ，+ o = k o v 】= d o m + - o v ， 故k 是口m “一连续 命题1 2 4x ，y 是拓扑空间，：x _ y 是0 “+ 1 一连续映射，如果y 是正则空间，则，是连续的 证明任意z x ，u 是，( z ) 的m + l 一开集，显然是，( z ) 的开邻域 因为，是p 仇一连续，所以存在z 的m + 1 一开集y ，使得f ( v ) u ，易知 y 是z 的开邻域，而f ( x ) f ( v ) 冬，( y ) 又因为y 是正则的，则有s ( v ) u ，即得一v 广1 ( u ) ，而y 矿，所以 yss - x ( u ) ，即s ( v ) u 故，是连续的 命题1 2 5 拓扑空间x 是s ( 2 m + 1 ) - 空间，( t x ，k ) 是x 的伊+ 1 一绝 对，则k 是不可约的满射 证明对任意z x ，z 点的邻域滤子虬，而他对应于极大开滤子， 显然f z 西，+ - 0 ，所以t x ，由z 的任意性知，k 是满射 令j e 7 是t x 的任一真子集，证七【剀x 6 曲阜师范大学硕士学位论文 假设k b 】= x ，由k 的定义，任意孑b ，尼【矧= a d o 蝌孑，则 u 是吲= x ， 艇日 即x = u 艇bn 幽m + - 孑，与j e i 是t x 的真子集矛盾故k 是不可约的满射 命题1 2 6x ，z 是拓扑空间，f ：x _ y 是护m “一连续，g ：y _ z 是o r e + 1 一连续，则90 ，是俨+ 1 一连续映射 证明任意z x ，u 是s ( x ) 的m + l 一开集，因为，是伊+ 1 一连续，则 存在z 的m + l 一开集y ，使得f ( v ) 可 又因为9 是1 9 仇+ 1 一连续的，( z ) y ，令w 是9 ( ，( z ) ) 是m + l 一开集， 而是，( z ) 的m + 1 一开集，因此9 ( v ) sw ，从而 9 ( ，( y ) ) 9 ( ) w ， 即g of ( 一v ) 一w 故go ，是妙1 一连续 1 3s ( 2 m + 1 ) 一空间的俨+ 1 一绝对 紧正空间是分离性与紧性的完美统一，对一些弱紧空间的研究，如日一闭 的，s ( 死) 一闭，s ( 嚣) 一扫一闭空间等，p o r t e n tjr ，w o o d srg t l f ，w a n gs h u q u a n 2 1 等，将正与日一闭性结合，s ( 3 ) 一分离性与s ( 2 ) - 闭性结合，得到了些好的 结果并运用建立超滤子空间的方法把这类空间与紧空间联系起来本节讨论 了s ( 2 m + 1 ) 一分离性与s ( m + 1 ) 一闭性结合产生了一些有意义的结果 引理1 3 1 【3 jx 是s ( n ) 一空间，下述条件等价： ( 1 ) x 是s ( n ) 一闭空间； ( 2 ) x 上的任意开滤子孑，a d o ，孑毋； 7 第一章s ( 2 m + 1 ) - 空间的p m + 1 - 绝对 ( 3 ) x 上的任意s ( n 一1 ) 一覆盖 玩：a ) ，存在a ，0 2 ，a 知使 x u 笔1 ； 定理1 3 2s ( 2 m + 1 ) 一空间x 是s ( r n , 4 - 1 ) 一闭的当且仅当t x 是紧空 间 证明必要性设s ( 2 m + 1 ) 一空间x 是s ( m + 1 ) - 闭的，但t x 是非紧的，则存在t x 的一开覆盖 0 ：o t 仡) ，对其任意的有限子族 o ；：i = 1 ，2 ，佗) ，t x 名u 1o 玩； 从而使 x 瓦：q 仡】构成x 上的开滤子孑，设孑是由孑l 生成的极 大开滤子又因为x 是s ( m + 1 ) 一闭的，由引理1 3 1 ，则a d o t ，+ - 孑0 ，从而 孑t x 存在 圪，使得孑o ，则孑，与n x = 仍矛盾所 以t x 是紧空间 充分性设x 是s ( 2 m + 1 ) 一空间，t x 是紧空间，孑是x 上的极大开 滤子因为 o u ：u 封是t x 中的开且闭集族，故 o u ：u 舛可构成 t x 的闭滤子，由于t x 是紧空间，n i o u ：u 孑) 谚，从而存在“t x ， 使得 “n o u ：u 耐， 则“0 u 孑，u “因为“t x ，所以n 西m + - 甜o ，从而 a d o 。+ - 歹0 ，由引理1 3 1 ，则x 是s ( m + 1 ) - 闭的 定理1 3 3 设x 是s ( 2 m + 1 ) 一空间，k ：t x _ x ，( t x ，忌) 是x 的 0 m + 1 一绝对，则对a x ，有k ( k 1 ( a ) ) = d o m + ，a 证明 ( 1 ) k ( k 一1 ( a ) ) d o m + t a 由命题1 2 2 知， 惫( 石= 疆可) = 尼( c f 矿，件k 一1 ( a ) ) c f 伊+ a ， 即k ( k 一1 ( a ) ) d o m + a ( 2 ) d o , ，冲t a k ( k 一1 ( a ) ) 8 曲阜师范大学硕士学位论文 设x x k ( k 一( a ) ) ，则有k - 1 ( z ) nk - 1 ( a ) = 0 ，对y k - 1 0 ) ，存在 y 的开集d 现，使得d n k - 1 ( a ) = 0 又因为七_ 1 ( z ) 是紧集，故七一1 ) 冬 u o ：y f ，f 是k - 1 ( z ) 中的有限集) = o ( u 冒f ) 下面证明存在z 的m + 1 一开集k ，使得k u f ( 宰) 否则， k u y e f v y ：k 是z 点的m + 1 一开集) 构成开滤子，令“ 是m 生成的极大开滤子因为x 是s ( 2 m + 1 ) - 空间，所以a d o m 十“= z ，则 “k - 1 ( z ) o cu ) ， 掣f 从而u 剪，纠，与u 掣f n ( 圪0 ：忑) = 口矛盾从而存在z 点的 仇+ 1 一开集k ，使k u 掣f 又因为 o ( u ) n 蠡。1 ( a ) = d ， y e f 所以a ( 1k o ( u 砟f ) 】= d 贝, l aan a 如m + ( u ，f ) = d 由( 丰) 知，存 在z 点的m + 1 一开集圪，使瓦na = 0 ，故z 簪幽，+ - a ，从而得f ：f 伊m a k ( k _ 1 ( a ) ) 综合( 1 ) ，( 2 ) 知，结论成立 推论1 3 4 设x 是s ( 2 m + 1 ) 一空间，k ：t x x ，( t x ，k ) 是x 的 伊一绝对，则a 是x 中的伊一闭集当且仅当k - 1 ( a ) 是t x 中的闭集 证明必要性设a 是x 中的口m + 1 一闭集，即c ? 8 t n + - a = a ，因为( t x ，k ) 是x 的伊“一绝对，由定理1 3 3 知， 即乒可可= 南一1 ( a ) ，故南一1 ( a ) 是t x 中的闭集 充分性设k - l ( a ) 是t x 中的闭集，即萨可巧= 后一1 ( a ) ，由定理1 3 3 知，c f 伊州a = 七( f 可酉) ，又因为凫是完备映射，则c c 护m a 是0 m + l 一闭集故 幽，十。a = a ，所以a 是x 中的p m + 1 一闭集 9 第一章s ( 2 m + 1 ) 一空间的口m + 1 一绝对 定理1 3 5 设x 是s ( 仇+ 1 ) 一闭的s ( 2 m + 1 ) 一空间，a x ，则存在 闭集j e 7 垦t x ，使k ( b ) = a 当且仅当存在某一开滤子纠，使a d o 。+ 甜= a 证明必要性设存在闭集b t x ，使k ( b ) = a 对。x a ，k - 1 ( z ) 是紧集，且k - 1 ( z ) nk - 1 ( a ) = o ，而k ( b ) = a ，所以k - 1 缸) nb = 0 对 y k - 1 ( z ) ，则y 譬b 又因为b 是闭集，存在开集d ，使得y o ，且 0 ob = 旷 设i b i = 仡，记b = 玩：q 仡) ，对o l 仡，玩垡0 ，从而存在 玩( 掣) 玩，且( 掣) n = o 又因为k - 1 ( z ) 是紧集，存在k - x ( z ) 的有限子集 f ，使得 知一1 ( z ) 冬u o u , ：y f ) = o ( uu , ：y f ) 令u = ( u ( ：y f ) ) 。，v = u 娠f 玩( 们，故un v = 0 定义g = _ ( u 口 k ，( q ) ：，：k _ u 比，且对口 k ，( q ) 玩) ( 1 ) a a d o t ，+ 夕 对任意z a ，存在q 仡，使得a d o m + - 玩= z ，对任意，：仡_ u 玩，因 为，( o ) 玩，所以u a 一，( o ) 玩，从而z a d o 饥+ - 乡 ( 2 ) a d o t ，件多a 若z 隹a ，y k - 1 ( z ) ，存在o nb = d ，因为k - 1 ( z ) 是紧子集，从而存在 k - 1 p ) 的有限子集f ，使得k - 1 ) u 翟fo v , ，且u 鳕fo v , = o ( u 翟f ) ， 而o ( u 分f ) nb = 口故存在，使得 o cu u , no cu ，( a ) ) = 毋， 则有u y f n u a 尤，( n ) = 0 ，因为七一1 扛) u 暂f 0 ，从而存在z 点的 m + l 一开邻域k ，使k ( u 翟f ) 。，故kn u a k ，( q ) = 仍，即z 口幽，+ - g 综合( 1 ) ，( 2 ) 知a d o - 夕= a ，则9 即为所求 充分性设存在x 上的开滤子“，使a = a d o 卅- “，令b = n o v ：u “) ，因为 o v ：u “) 是t x 的开且闭集，则b 是t x 中的闭集 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 1 ) k ( b ) a k ( b ) n k ( o u ) ：u “) n d o ，- + - u ：u “) = n 如甜= a ， 即k ( b ) a ( 2 ) a k ( b ) 设y 隹后( 且) ，则k - 1 ( 秒) nb = d ，即k - 1 ) nn o u ：u “) = 毋 又因为k - 1 ( ) 是紧集，从而存在七一1 ( 秒) 的有限子集f 及开集族 ：y f ) ， 使 尼_ 1 ( 秒) o ( u ) ， y e f 且o va o ( u 诉f ) = 仍，故u 掣f nv = 0 存在y 点的m + 1 一开集， 使u 掣f ，否则， u 掣f ：是y 点的m + l 一开集) 构成 开滤子毋，令9 是纺生成的极大开滤子因为x 是s ( 2 m + 1 ) 一空间，所以 n d 伊+ l g = y ，则 9 七一1 ( 秒) o ( u ) ， y e f 从而u 昨f 9 ，与u 掣f n ( u 掣f ) = 0 矛盾因此存在y 点 的m + 1 一集满足厩nv = d ，则y 簪以卵+ v ，故y 隹a d o t t h - 1 “而 n 幽，州甜= a ，则y 隹a ，从而a 南( b ) 充分性得证 引理1 3 6 1 4 】对空间x ，下列条件等价： ( 1 ) x 是k a t e t o v ； ( 2 ) x 是紧空间的完备映像： ( 3 ) x 是何一闭空间的完备映像； 推论1 3 7 设s ( 2 m + 1 ) - 空间x 是s ( m + 1 ) 一闭的，“是x 上的开 滤子，则a d o ，+ - 甜是k a t e t o v 证明因为“是x 上的开滤子，由定理1 3 5 知，有a x ，使a d o y t * - t - 1 “= a ，从而存在闭集b 冬t x ，使得k ( b ) = a 由定理1 3 1 知，t x 是紧空间，则 j e 7 是紧集 1 1 第一章s ( 2 m + 1 ) 一空间的p m 绝对 又因为k ：t x _ x 是完备映射由引理1 3 6 知，a 是k a t e t o v ，从而 o d 卵+ l 翻是k a t e t o v 的 推论1 3 8 设x 是s ( m + 1 ) - 闭的s ( 2 m + 1 ) 一空间，( t x ，k ) 是x 的 1 9 m + 1 一绝对，k ：t x _ x ，则x 是k a t e t o v 的 1 2 第二章 s ( 2 m + 1 ) - 空间中s ( m + 1 ) - 集 2 1 相关的概念与性质 v c l i c k onv i a 】给出了日一闭空间中日一集的概念，v c r m c c rj 【7 】在此基 础上，将h 一集引入i l i a d i s 一绝对e x 和h a u s d o r f f 一绝对p x ，并得到了一 些好的结果： ( 1 ) 个h 一闭空间x 是u r y s o h n 空间当且仅当对x 中的每价日一 集a ，p - 1 ( a ) 是以中的日一集 ( 2 ) 如果a 是x 的一个日一闭子集，则存在一个紧集bce x ，使 7 r ( j e 7 ) = a ，且7 r ：b a 是p 一连续 本章在第一章的基础上，对于一般的s ( 2 m + 1 ) 一空间x ，用滤子的语言 引入了s ( m + 1 ) - 集的概念关于伊+ 1 一绝对( t x ，七) ，k ：t x _ x ，讨论 了s ( m + 1 ) 一集一些内部性质首先给出一些相关的概念 定义2 1 1 a 是拓扑空间x 的子集，称x 中的开集族4 为a 的s ( m + 1 ) 一覆盖，如果对任意z a ，存在u 4 ，u 是z 点的m + 2 一开集 定义2 1 2 拓扑空间x 中子集a 称为s ( m + 1 ) 一集，如果x 中a 的 s ( m + 1 ) - 覆盖“= ：o ) 都存在有限子族 ；，i = 1 ，2 ，佗) ，使 a u 二。玩； 对定义2 1 2 是用覆盖的语言描述了s ( m + 1 ) 一集，下面我们用滤子的语 言给出个等价的定义： 定义2 1 3 拓扑空间x 中子集a 称为s ( m + 1 ) 一集，如果孑是x 中的 开滤子，任意f 孑，fna 仍，则ann d o t ，- + x f ：f 孑) 0 定义2 1 4x ，y 是拓扑空间，映射，：x y 称为p m 帕一连续，如果 对任意z x 及，( z ) 的m + 2 一开集矿，存在z 点的m + 2 一开集y ，满足 s ( v ) cu 命题2 1 1设x ，y 是拓扑空间，若acx 是x 中的s ( m + 1 ) 一集， ，：x _ y 是0 - 1 + 2 一连续，则f ( a ) 是y 中的个s ( m + 1 ) 一集 1 3 第二章s ( 2 m + 1 ) - 空间中s ( m + 1 ) 一集 证明由acx ，易知，l ：a _ 】厂是p m 帕一连续令“= ：q ) 是s ( a ) 的s ( m + 1 ) 一覆盖对任意的z acx ，u 是，( z ) 在y 中的m + 2 一 开集，由s i a 是0 m 州一连续，则存在z 的m + 2 一开集y ，使。，( 可) c u 因为“是f ( a ) 的s ( m + 1 ) 一覆盖，存在o t a ，使c ；，从而 一uc 瓦，所以，( 一) c 瓦由7 1 7 , 的任意性，v = k ；：n a ，z a ) 构 成a 的s ( m + 1 ) 一覆盖又因为a 是s ( m + 1 ) 一集，则y 中存在有限子族 1 k ；：i = 1 ，2 ，七) ，使acu , l l 瓦从而有 k七矗 ，( a ) c ，( u 曰= u ，( 匿) cu 瓦， i = 1i - - - - 1i = 1 所以，( a ) 是y 中的s ( m + 1 ) 一集 引理2 1 2 1 1 2 】设x 是拓扑空间，则x 是紧空间当且仅当x 中任意非空 单调下降闭集族 玩：o t 仡) 有非空的交 命题2 1 3x 是s ( m + 2 ) 一空间，如果x 中所有闭子集是s ( m + 1 ) 一 集，则x 是紧空间 证明【q ：a 仡) 是x 中任意单调下降的非空闭集族，要证x 是紧空 间，只需证