（基础数学专业论文）几类平面多项式微分系统的中心焦点判定与极限环分支.pdf

几类平面多项式系统的中心条件与极限环分支 摘要 本论文主要研究了几类平面多项式系统的中心条件与极限环分 支问题，全文分五章组成。 在第一章和第二章里，我们对平面多项式系统的中心条件与极 限环分支问题研究的历史背景与现状进行了概括，并将本文所做的 工作作了简单的介绍。并介绍了一些基本预备知识。 在第三章，我们研究了一类三次多项式系统无穷远点的中心条 件与赤道极限环分支。通过变换将原系统在无穷远点的极限环分支 转化到原点进行研究，给出了计算原点奇点量的递推公式，并在计 算机上用m a t h e m a t i c a 推导出该系统在原点的前2 1 个奇点量，进一步 推导原点成为中心的条件和2 l 阶细焦点的条件，得到了三次系统在 无穷远点分支出7 个极限环的一个实例。 在第四章，研究了一类七次系统在高次奇点与无穷远点的中心 条件与极限环分支，通过两个变换将高次奇点与无穷远点转变成初 等奇点，进而计算了原点的奇点量，由此得到了高次奇点与无穷远 点的中心条件。最后，讨论了该七次系统在高次奇点与无穷远点在 同步扰动下的极限环分支，得到了 ( 9 ) ，2 ) 和 ( 2 ) ，9 ) 的极限环分布 实例。 在第五章，研究了一类拟五次系统无穷远点的中心条件与赤 道极限环分支问题。用一适当的变换将此类系统的原点( 无穷 远点) 转变成新系统的原点( 初等奇点) ，运用计算机代数系 统m a t h e m a t i c a 计算了这个新系统原点的前1 6 个奇点量，进一步导出 了原点成为中心的条件和7 阶细焦点的条件。相应地，给出了一个拟 五次系统在原点分支出7 个极限环的实例。首次证明了拟五次多项式 系统在无穷远点能分支出7 个极限环。 i 摘要 环 关键词：平面多项式系统；中心焦点；无穷远点；高次奇点；奇点量：极限 一i i c e n t e rc o n d l t i o n sa n db i f u r c a t i o no fl i m i t c y c l e s f o r s e v e r a lc l a s s e so fp l a n a r p o l y n o m i a ls y s t e m s a b s t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h ep r o b l e m so fi n t e g r a lc o n d i t i o n s ，c e n t e r - f o c u sd e t e r m i n a t i o na n db i f u r c a t i o no fl i m i tc y c l e sa tt h eo r i g i na n dt h e i n f i n i t yo fp l a n a rp o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m i ti sc o m p o s e do ff i v e c h a p t e r s i nc h a p t e r1a n dc h a p t e r2 ，i ti si n t r o d u c e da n ds u m m a r i z e da b o u tt h e h i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dt h ep r e s e n tp r o g r e s so fp r o b l e m sa b o u tc e n t e r - f o c u sd e t e r m i n a t i o na n db i f u r c a t i o no fl i m i tc y c l e so fp l a n a rp o l y n o m i a l d i f f e r e n t i a ls y s t e m a tt h es a m et i m e ，t h em a i nw o r ko ft h i sp a p e r i sc o n c l u d e da n ds o m ep r e l i m i n a r yk n o w l e d g ei si n t r o d u c e d i nc h a p t e r3 ，t h ep r o b l e mo fc e n t e rc o n d i t i o n sa n db i f u r c a t i o no fl i m i t c y c l e sa ti n f i n i t yf o ra c l a s so fc u b i cs y s t e ma r ei n v e s t i g a t e d ，t h em e t h o di s b a s e do na p r o p e rt r a n s f o r m a t i o no f t h ei n f i n i t yi n t ot h eo r i g i n ，t h ef i r s t21 s i n g u l a rp o i n tq u a n t i t i e sa r ec o m p u t e db yc o m p u t e ra l g e b r as y s t e mm a t h - e m a t i c a ，t h ec o n d i t i o n so ft h eo r i g i nt ob eac e n t e ra n dt h e2 1s td e g r e ef i n e f o c u sa led e r i v e dc o r r e s p o n d i n g l y f i n a l l y , w ec o n s t r u c tac u b i cs y s t e m w h i c hc a nb i f u r c a t e7l i m i tc y c l e sf r o mi n f i n i t yb yas m a l lp e r t u r b a t i o no f p a r a m e t e r s i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h ec e n t e rc o n d i t i o n sa n db i f u r c a t i o no fl i m i t c y c l e sa tt l l eh i g h e r - d e g r e es i n g u l a rp o i n ta n di n f i n i t yi nac l a s so fs e p t i c p o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a ls y s t e mi nw h i c ht h eh i g h e r - d e g r e es i n g u l a rp o i n t a n di n f i n i t yc a l lb et r a n s f o r m e di n t ot h eo r i g i nb yt w op r o p e rt r a n s f o r m a - t i o n s f r o mc o m p u t i n gt h es i n g u l a rp o i n tq u a n t i t i e sf o rt h eo r l g ma n d i n f i n i t y , w ec a ng e tc o n d i t i o n sf o rt h eo r i g i na n di n f i n i t yt ob ec e n t e r s t h e l i m i tc v c l ec o n f i g u r a t i o n so f ( 9 ) ，2 ) a n d ( 2 ) ，9 ) a r eo b t a i n e du n d e rs i 。 m u l t a n e o u sp e r t u r b a t i o na tt h eo r i g i na n di n f i n i t y i nc h a p t e r5 ，u s i n ga ni n d i r e c tm e t h o dt os t u d yc e n t e rc o n d i t i o n sa n d b i f u r c a t i o no fl i m i tc y c l ef o rac l a s so fq u a s iq u i n t i cs y s t e m ，w eo b t a i n7 l i m i tc y c l e s i ti st h ef i r s tt i m et h a t7l i m i tc y c l e sc a nb i f u r c a t e df r o mt h e i n f i n i t yf o rac l a s so fq u a s iq u i n t i cs y s t e m k e yw o r d s ：p l a n a rp o l y n o m i a ls y s t e m ；c e n t e rf o c u s ；i n f i n i t y ；h i g h e r - d e g r e es i n g u l a rp o i n t ；s i n g u l a rp o i n tq u a n t i t i e s ；l i m i tc y c l e s 一一 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他机 构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在 论文中作了明确的声明并表示了谢意。 研究生签名：童融均7r 期：2 唧筝朋少l j 学位论文使用授权声明 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩 印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以用不同方式在不同 媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后遵守此协议。 研究生签名： 童翻唧导师签名5 ；：f - 威嗍砌附耻日 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范管理条 例。我的学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、 观点等，均已明确注明并详细列出有关文献的名称、作者、年份、 刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和版次等内容。论文中 未注明的内容为本人的研究成果。 如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。 承诺人( 研究生) ：幸而唧 指导教师：参j 习p 1绪论 1 1 多项式微分自治系统的极限环 极限环的研究，在常微分方程定性理论的研究中扮演了一个重要的角色。 著名的h i l b e r t 第1 6 问题( 其后半部分即对于右端为不高于n 次的实平面微分自治 系统) ： r b r一，i 鼍= x n ( z ，可) ，等= 碥( z ，可) ( 1 1 ) u lu l 问这类系统最多可以有多少个极限环以及它们的相对位置如何? 这个问题一直 吸引着众多数学工作者的关注，其困难程度也一直困扰着人们。为了解决这 一难题，已出现了大量的研究论文，也产生了大量的研究方法与优秀的成果， 在很大程度上促进了定性理论的发展( 见【2 ) ，我国数学工作者在这一问题上的 成果是最具代表性的，如对几= 2 的情形，有文 3 】【8 】。若用h ( n ) 表示几次多项 式系统能达到的最大极限环个数，则史松龄 6 】得至j j h ( 2 ) 4 ，李继彬，黄其 明 9 】得到t h ( 3 ) 1 1 ，2 0 0 5 年，韩茂安、郁培 1 7 】与刘一戎、黄文韬 1 8 】分别 得到j h ( 3 ) 1 2 ，这是到目前为止关于三次系统最好的结果。对高于三次的 系统，文 1 9 】得至i j t h ( 4 ) 1 5 ，文【2 0 】得至f j t h ( 5 ) 2 4 。但是，所有这些工作 离h i l b e r t 第1 6 问题的解决还非常遥远，即使是二次系统这种最简单的非线性情 况，极限环的最大个数问题仍悬而未决。本文考虑两类极限环问题：其一是由 原点产生极限环的问题；其二是由赤道( 无穷远点) 产生极限环的问题。 1 1 1 高次奇点的极限环分支 由高阶细焦点扰动产生极限环，也称高阶h o p f f f f 支，它的原理是取一个 具有高阶细焦点的方程，将方程的系数做微小变化，使得这个细焦点的稳定 性逐次变化，从而跳出极限环，最好得到同一个焦点的一串极限环，这种方 法首见于f r o m m e r 的工作，并由 3 8 1 2 1 1 以发展，秦元勋等人首次予以实现。后 经许多数学工作者研究产生了不少具体的方法，其中最常用的有h p o i n c a r 6 后 继函数法、l i a p u n o v 常数法与规范型法，这几个方法的运用都牵涉到焦点 量或l i a p u n o v 常数的计算。通过焦点量或l i a p u n o v 常数可确定细焦点的最高 】 1 绪论 阶数，而细焦点的最高阶数决定了通过微小扰动在其领域内产生极限环的 个数，因此，要解决由细焦点产生的小振幅极限环问题，首要的工作是焦 点量或l i a p u n o v 常数的计算问题。焦点量的经典算法是h p o i n c a r 6 后继函数 法，l i a p u n o v 常数的计算方法是h p o i n c a r 6 一l i a p u n o v 形式级数法。但是随着人们 研究的深入，它们的缺点逐渐显示出来，其主要是计算量的庞大。因此改进经 典的算法和借助先进的计算机工具来计算焦点量刻不容缓。1 9 8 9 年，刘一戎、 李继彬 1 5 】对复自治微分系统引入了奇点量的概念，把焦点量、鞍点量与奇点 量统一起来，又定义了广义旋转不变量 1 】的概念，由此得到奇点量结构定理， 并给出了两种计算奇点量的方法，使人们对焦点量与鞍点量的性质有了更深刻 的认识。2 0 0 2 年，刘一戎、陈海波 1 6 】有给出了计算奇点量的递推公式，此公 式只需以系统右端系数为符号进行有限次加减乘除的四则运算，避免了通常计 算焦点量所需的复杂的积分递推运算，使奇点量的计算较容易在计算机上实 现。 到2 0 0 0 年为止，对高阶细焦点极限环分支的研究都是关于初等奇点 的。2 0 0 1 ，刘一戎在文 1 2 】中首次研究了一类实平面多项式系统( 以原点为 高次奇点) i 筹= ( 如一可) ( z 2 + 可2 ) n + 扎( 砌) ， 惫：时2 ( 1 2 ) l 甏= ( 舛曲) ( z 2 + 可2 ) + y k ( z , ! ) l k = 2 n + 2 原点的中心条件与极限环分支。该文通过引入极坐标变换 z = r c o s o ，夕= r s i n o ( 1 3 ) 用p o i n c a r 6 后继函数法定义了高次奇点的焦点量，并证明了焦点量可确定细焦点 的最高阶数及通过微小扰动在其领域内产生极限环的个数，使高次奇点的中心 焦点判定也落脚在焦点量的计算上来。进一步地，通过变换 z = z + i y ，w = z 一匆，t = i t ( 1 4 ) 一2 一 l 绪论 把实系统( 1 2 ) 转化为复系统： ( 1 5 ) 给出了高次奇点的奇点量定义与算法，证明了奇点量与焦点量的等价性，从而 把实系统的焦点量的计算转化为其复系统的奇点量的计算。 1 1 2 无穷远点的极限环分支 要完整地研究平面多项式系统极限环的最大个数问题，还需研究无穷远点 的极限环分支。目前对于这个问题的研究主要集中在p o i n c a r 6 球面的赤道上没 有实奇点的奇数次系统，这时赤道通常称为无穷远点。这类系统由赤道( 无穷 远点) 分支出的最大极限环个数即使是对于最简单的三次系统至今也没有解 决。2 0 0 1 年刘一戎在文 1 2 】研究了这类系统的无穷远点的极限环分支问题，并 且实现了方法上的突破。通过把实系统化为与之伴随的复系统，给出无穷远点 的奇点量定义与算法，证明了奇点量与焦点量的等价性，从而把实系统的焦点 量的计算转化为其复伴随系统的奇点量的计算。本文运用文【1 2 】的方法研究了 一类三次系统的赤道极限环分支。记i ( 1 2 ) 为几次系统在无穷远点分支出极限环的 最大个数，迄今为止，最好的结果为( 3 ) 7 。 1 1 3 高次奇点与无穷远点同步扰动下的极限环分支 关于原点与无穷远点同步扰动产生极限环的问题目前研究的极少，首见 于1 9 9 3 年文【1 1 】的工作，给出了一类三次系统在无穷远点分支出5 个极限环， 同时在原点分支出2 个极限环的实例。之后直到2 0 0 5 年之前没有别的文章研究 此类问题。2 0 0 5 年文【2 8 】研究了一类五次系统在原点与无穷远点同步扰动下的 极限环分支，得到了极限环 ( 5 ) ，2 】和 ( 2 ) ，4 分布的实例；2 0 0 6 年文 2 4 】研究了 另外一类五次系统在原点与无穷远点同步扰动下的极限环分支，得到了极限 环 ( 7 ) ，2 和【( 2 ) ，6 分布的实例。本文第三章研究了一类七次系统在原点与无穷 远点同步扰动下的极限环分支，得到了极限环 ( 9 ) ，2 】和 0 时其线性项是最低次的，此时坐标原点为中心或焦点； 当a 0 时其线性项是最高次的，此时在p o i n c a r 6 球面的赤道上没有实奇点， 其g a u s s 球面上的无穷远点是中心或焦点。这样，就把对原点和对无穷远点附近 中心焦点判定与极限环分支问题统- n 在一个系统中进行研究。 刘一戎 3 3 】研究了一类拟二次系统的广义焦点量与极限环分支，得到了由 原点扰动出4 个小振幅极限环的实例，同时给出了它们的具体位置，并给出了 由原点扰动出5 个小振幅极限环的充分条件。由于该类系统广义奇点量( 广义焦 点量) 计算的复杂性，以后这方面的成果较少见 3 4 】。 1 2 本文的工作特色 微分方程定性理论博大精深，本文在前人工作的基础上，对平面多项式系 统高次奇点与无穷远点的中心条件与极限环分支进行了较深入的探讨，概括起 来，本文的特色工作具有以下几个方面： 一4 一 + + y y 一 巧 z a z | | l | 妇一出匆一出 ，fi_j、-fi_i_ 1 绪论 l 研究了一类平面三次微分系统无穷远点的可积性条件和极限环分支问 题，并得到了，( 3 ) 7 的结论，就极限环的个数而言，这个结果是目前三次多 项式微分系统赤道极限环分支研究中最好的。 2 研究了一类七次系统原点与无穷远点的中心条件，并在同步扰动下研 究了原点与无穷远点的极限环分支，得到了极限环1 ( 9 ) ，2 ) 和 ( 2 ) ，9 ) 分布，就 原点和无穷远点同步扰动的情形，这是目前为止最好的结果。 3 研究了一类可以在无穷远点分支出7 个极限环的拟五次系统，就极限环 的个数而言，这个结果是目前拟解析系统极限环分支研究中最好的。 一5 一 2 预备知识 初等奇点的中心焦点判定问题是平面微分自治系统定性理论中最重要的问 题之一，它不但和该奇点本身的稳定性有关，还和相轨线的全局拓扑结构有 关。此外，它还牵涉到由细焦点和中心分支出极限环的问题。文【3 9 】和 3 8 】在这 方面做了很多开创性的工作，很多数学家也为完善中心焦点理论作出了贡献。 本章介绍焦点量与奇点量的定义，焦点量的一些重要性质，焦点量与奇点量之 间的关系，奇点量的代数结构，计算奇点量的递推公式等。具体可参照书 1 】。 2 1 焦点量的若干性质 考虑下列实平面多项式系统： 2 n x k ( x ，可) ， k 2 = 。2 ( 2 1 ) k ( 刎) k = 2 其中( z ，可) ，k ( z ，可) 在原点充分小的领域内解析，x k ( z ，可) ，k ( z ，掣) 是关于z ，可的 齐k 次多项式，即 x k ( z ，可) = b + 8 = k ( 砌) = o t + 口2 a c , a x a y a ， k b c , a x a y a k ( 2 2 ) 系统( 2 1 ) 的原点当6 o 时为粗焦点，当6 = 0 时为细焦点或中心。系统( 2 1 ) 经变 换 z = rc o s0 y = rs i np 6 ( 2 3 ) + + 一 巧 ：i 件 & z = = 如一出 咖一如 2 预备知识 化为 其中 打 历2 7 6 + 机+ 1 ( 0 ) 产- 1 k = 2 。o 1 + 仇+ 1 ( 0 ) r 虹1 k = 2 ( 2 4 ) 嘶= c 。s 护拖( c o s 0 , s i n ) + s i n 日k ( c o s 蛐n 9 ) ， ( 2 5 ) 仇+ 1 = c o s 臼k ( c o s ，s i n ) 一s i n 0 x i , ( c o s 8 ，s i n 0 ) 对充分小的九，系统( 2 4 ) 满足初始条件r i o ：0 = h 的解记为r = r ( o ，h ) = ( 口) m ， m - - - - 1 其o p v l ( o ) = e 阳，( 6 ，0 ) = 0 ，m = 2 ，3 ，4 ， 定理2 1 对任意正整数m ，v 2 m ( 2 7 r ) 与诸讥( 2 7 r ) ，仇( 7 r ) 之间有关系式 ( 2 6 ) 其中所有的错都是关于u 1 ( 7 r ) ，耽( 7 r ) ，忱m ( 7 r ) ，u 1 ( 2 丌) ，钉2 ( 2 7 r ) ，忱m ( 2 7 r ) 这4 m 个 元素的有理系数多项式。 注释2 1 如果v l ( 2 7 r ) = 1 ，则诸雠( 2 7 r ) 中第一个不为零者其下标为奇数。 定理2 2 ( i ) 如果? j 1 ( 2 丌) 1 ) ，则方程( 2 4 ) 的零解r = 0 稳定( 不稳定) ； ( i i ) 如果v l ( 2 7 r ) = 1 ，且存在正整数k ，使得v 2 ( 2 7 r ) = v 3 ( 2 丌) = = y 2 k 一1 ( 2 1 r ) = 0 ，且y 2 k + 1 ( 2 7 r ) 0 ，则当口2 南+ 1 ( 2 7 r ) 0 ) 时，方程( 2 4 ) 的零解r = 0 稳定( 不稳定) ； ( i i i ) 如果v l ( 2 7 r ) = 1 ，且对任何正整数k ，有v 2 k + 1 ( 2 7 r ) = 0 ，则对充分小的h ， 方程( 2 4 ) 所有适合初值条件r i 忙o = h 的解都是2 7 r 周期解。 定义2 1 对系统( 2 1 ) ，若v l ( 2 7 r ) 1 ，则称原点为系统的粗焦点；若u 1 ( 2 7 r ) = 1 ，v 2 ( 2 7 r ) = v 3 ( 2 r ) = = v 2 k ( 2 7 r ) = 0 ，y 2 k + 1 ( 2 7 r ) 0 ，则称原点为系 统( 2 1 ) 的七阶细焦点，而晚七+ 1 ( 2 7 r ) 称为原点的第七个焦点量；若：v l ( 2 r ) = 1 ，且 对任意正整数k ，v 2 k + 1 = 0 ，则称原点为系统( 2 1 ) 的中心。 一7 一 丌2 +驰 ” 露 州脚 + 叫 一 丌2 p嘏 = 丌2 m ” 川 丌口 十 n 卜 2 预备知识 2 2 代数等价 当6 = o 时，系统( 2 1 ) 化为 偿 2 n = 一可+ x k ( x , 可) ， 。k = 2 ( 2 7 ) 2 n 、7 = z + k ( 砌) k = 2 定义2 2 对系统( 2 7 ) ，如果存在关于诸a q ，届，玩，卢的多项式已，6 ，靠一1 ，使得 则称口m ( 2 丌) 与碥代数等价，记为( 2 丌) 一碥。 ( 2 8 ) 注释2 2 从上述定义可以得出，代数等价是一种等价关系，即它满足等价关系 的自反性、对称性和传递性这三条性质。 由定理2 1 得： 定理2 3 对系统( 2 7 ) ，有 0 2 m ( 2 7 r ) 一0 ， ( 2 9 ) 且忱m + t ( 2 7 r ) 一砚刑1 的充分必要条件是存在关于诸a n ，口，b q ，卢的多项式7 7 1 ，7 7 2 ，7 7 m 一1 ， 使得 m - 1 t 2 r n + l ( 2 7 r ) = 2 m + 1 + r k v 2 k + l ( 2 丌) ， ( 2 1 0 ) 惫= 1 其中仇是任一正整数。 以下讨论系统( 2 7 ) 的第m 个焦点量与第m 个l i a p u n o v 常数之间的关系。 定理2 4 对系统( 2 7 ) ，可逐项确定形式级数 一8 一 ( 2 1 1 ) 丌2u 善 州脚 +谛 i l 丌2 m 钉 y zr 脚 | i y zp 2 预备知识 使得 芸：壹。( x 2 + y 2 广 ( 2 1 2 ) 其中f k ( z ，可) 是关于z ，可的齐尼次多项式，局( z ，y ) = z 2 + y 2 。 定义2 3 对任一正整数m ，称k m + l 为系统( 2 7 ) 的第m 个l i 咄礼d u 常数。 定理2 5 对任一正整数仇，有k m + 1 一熹u 2 m + 1 ( 2 7 r ) 。 2 3 奇点量与焦点量之间的关系 系统( 2 7 ) 经过复线性变换 化为 z = z + i y ，w = z i y ，t = i t ，i = 了( 2 1 3 ) 面d z = z + 0 0 a a , z z a w 口= z , 口+ 口= 2 万d w ：一叫一妻弘矿拈一形 口+ 口= 2 ( 2 1 4 ) 其中，瓦q ，卢= 6 q p ( 这里弘，p 表示口a ，p 的共轭) ，称系统( 2 7 ) 与系统( 2 1 4 ) 互为伴随系 统。 定理2 6 ( 见文 4 3 1 ) 对系统( 2 1 4 ) 可唯一地逐项确定形式级数 ( 2 1 5 ) 其中c 七+ 1 ，七= d k + 1 ，七= 0 ，k = 1 ，2 ，使系统( 2 1 4 ) 经形式变换( 2 1 5 ) 后化为下列 一9 一 、l j ， v 柳 一 = i i 也 m 懈峥 + + 2 预备知识 f 静+ 缸川矿 l 面d r 一一静蚪 并且，如果v 后，p k = 吼，则形式级数( 2 1 5 ) 有非零的收敛半径。 定义2 4 ( i ) 对系统( 2 1 6 ) ，称 p 七= p k g 七， ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 为原点的第k 个奇点量，k = 1 ，2 ，。 ( i i ) 若p 1 = p 2 = = 肌一1 = 0 ，触0 ，则称系统( 2 1 6 ) 的原点为k 阶细奇 点。 ( i i i ) 若系统( 2 1 6 ) 原点的所有奇点量均为零，则称系统( 2 1 6 ) 的原点为广义中 心。 定理2 7 对系统( 2 1 4 ) 有 其中日( z ，w ) = f ( 2 ，叫) 叩( z ，叫) 由定理2 5 和定理2 7 得 一dh：00dt 胀日m 厶5 。 七= 1 ( 2 1 8 ) 定理2 8 对任一正整数k ，系统( 2 1 4 ) 原点的第k 个奇点量与其伴随系统( 2 7 ) 原点 的第k 个焦点量有关系 肛七。v 2 k + _ l ( 2 7 r ) 。一1 9 ) ( 2 1 9 胀“f 下面给出计算复系统( 2 1 4 ) 奇点量的形式级数法和积分因子法这两种算法， 并可用递推公式的形式来表示。 定理2 9 ( 形式级数法) 对系统( 2 1 4 ) ，可逐项确定形式级数 一l o 一 ( 2 2 0 ) 卢 伽 & z p 口 c 伽 q i i wzp 2 预备知识 使得 筹= o 抛f z 一瓦o f w =否亍2d z一石叫 2 ( 2 2 1 ) 其中e 1 1 = 1 ，c 2 0 = c 0 2 = 0 ，c k k 口- - 以任取，j c = 2 ，3 ，x c v ( q ，多) ，当q p 时， c 口8 由递推公式 咖= 击饕一圳一烀峨柑邶州亿2 2 ， 确定；对任一正整数m ，a m 由递推公式 2 m + 4 k = 一凫+ 2 ) 口睁1 一( m 一歹十1 ) b 肛1c m - k + 2 , m - ( 2 2 3 ) k + j = 3 确定。其中v ( 七，歹) ，当七 0 或歹 o 时已置口幻= 6 柳= c 幻= 0 这里a m 一 ，m = 1 ，2 ， 定理2 1 0 ( 积分因子法) 对系统( 2 1 4 ) ，可逐项确定形式级数 使得 m ( z ，叫) = c 口p z q 矿， a + 3 = o ( 2 2 4 ) 警一警= 薹c r 亿2 5 ， 其中c 0 0 = 1 ，c 船可以任取，k = 1 ，2 ，3 ，对v ( q ，p ) ，当口p 时，口由递推公 式 c a t p = 击a 凫掣+ 1 3 + 2 川k 邓删嘶k 嘶邶卉 偿2 6 ， 确定：对任一正整数m ，a m 由递推公式 2 m + 2 k = k + j i = 3 ( a k j 一1 一，七一1 ) c m 一缸+ 1 ，m j + 1 一l1 一 ( 2 2 7 ) 2 预备知识 其中v ( 七，歹) ，当七 0 或j 0 时已置。幻= b 巧= c 巧= 0 这罩入m 一肛m ，m = 1 ，2 ， 2 4 奇点量的代数结构 为了进一步研究奇点量的代数结构，在文 1 】中详细的阐述了广义旋转不变 量及其与奇点量之间的关系，现将有关结论陈述如下： 引进双参数变换群 z = p e 坩乏w = p e 一坩面， 其中 和彩是新变量，p 和日是复参数，p 0 。 系统( 2 1 4 ) 经变换( 2 2 8 ) 化为 其中 ( 2 2 8 ) 嘉= 孑+ 确严舻， 筹= 一z 一k 俨护， 2 9 ，二。 ( 2 ) q 口= 口q 口矿+ 卢一1 e i ( q 一卢一1 ) p ， 口：屹m e i c a - 口- 1 ) p q 3 定义2 5 ( i ) 设f = f ( a a 口，6 a 口) 是一个关于系统( 2 1 4 ) 有限个右端系数的多项 式，如果f = p 2 七f ，则称厂是一个在变换( 2 2 8 ) 下的k 级广义旋转不变量； ( i i ) 如果，既是广义旋转不变量，又是诸a 口口，6 q 口的单项式，则称，是一个 单项式广义旋转不变量： ( i i i ) 如果，是一个单项式广义旋转不变量，且，不能表示为两个单项式广 义旋转不变量的乘积，则称，是一个基本广义旋转不变量。 一1 2 一 2 预备知识 定理2 1 1 系统( 2 1 4 ) 的任一右端系数的多项式 9 = i i j “= l a 国廷1 ，巩 是一个级广义旋转不变量，当且仅当 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 定理2 1 2 ( 奇点量结构定理) 系统( 2 1 4 ) i 拘第七个奇点量肌是七级单项式广义旋转 不变量的有理系数反对称线性组合，即口七有下列代数结构 ( 2 3 3 ) 其中是某正整数，是有理数，夕幻与蝣是系统( 2 1 4 ) 的尼级单项式广义旋转 不变量。 定理2 1 3 ( 广义对称原理) 如果系统( 2 1 4 ) 的任一基本广义旋转不变m - g 都满 足9 = 夕+ ，则系统( 2 1 4 ) 的原点为复中心，即原点的奇点量全部为零。 一1 3 一 m 2 = 一 以 + 仇脯 + d 一 岛 + n 博 o i i d 一 以 一 住 仇脯 一 d 一 色 一 町 n 触 乏 1 = 岛 南 一 幻g 洋 i i 七 p 3 一类三次多项式系统的中心条件与赤道极限环分支 本章研究一类实平面三次多项式系统的赤道极限环分支问题，通过同胚变 换将该系统的无穷远点转化为新系统的原点( 初等奇点) ，利用计算机代数系 统m a t h e m a t i c a 计算出新系统原点的前2 1 个奇点量，得到了系统在原点领域的可 积性条件，给出了一个平面三次多项式系统在赤道附近分支出7 个极限环的实 例，并且在不构造p o i n c a r 6 环域的情况下，较为精确地指出了极限环的存在位 置。 3 1 引言 在研究多项式微分系统极限环分支问题中，有两种情况。一种是研究从 单个细焦点或中心分支出极限环问题，这种情形已有大量的研究结果，如果 记m ( n ) 为钆次多项式系统在一个细焦点或中心分支出的极限环的最大个数，目 前m ( 3 ) 1 1 ( 见文 3 8 1 ) 是三次系统的最好结果。另一种情形是研究从无穷远点 的赤道( 无穷远点) 分支出极限环问题，这个问题在2 0 0 0 年以前研究很少，最 近几年陆续有一些结果：6 个极限环( 见文 2 1 ，2 9 】) ，7 个极限环( 见文 2 2 ，2 4 】) 。从 已有的文献看，i ( 3 ) 7 是最好的结论。本节运用间接的方法研究了一类三次 多项式系统在无穷远点的极限环分支，也得到t i ( 3 ) 7 。考虑下列微分自治 系统 警= 言( “1 1 8 0 2 。2 8 1 1 6 a 概咖 + 三2 钆+ 岛2 既+ 3 a i l g 一3 b ；1 口一3 咖 + ( 一岛2 + b 1 1 + 岛。) x 2g - -a a 。2 2 a 1 1 + a 2 。) z 可 + 3 ( 3 8 0 2 - b n + b 2 0 ) y 2 + ( 6 z 一! ) ( z 2 + 可2 ) ， ( 3 1 ) 鲁= 言( 如+ 风2 巩+ 3 a ；1 9 一3 b 1 9 + 3 7 ) z 十言( a n b 0 2 一a 0 2 b n 十6 a 1 1 b l l g ) y u + 砉( 3 a 。2 + a 1 1 + a 2 。) z 2 + 考( 3 8 0 2 + 2 8 1 1 + 岛。) z y + ( 一a 0 2 一a 1 】+ a 2 0 ) 可2 + f z + 6 可) ( z 2 + y 2 ) 1 4 其中6 ，a ，j ，鼠，j ( = 0 ，1 ，2 ，j = 0 ，1 ，2 ) ，g 是实常数。 3 2 奇点量与中心条件 通过同胚变换 z3 系统( 3 1 ) 变成 万i 矛棚2 孬高搿， d t = ( f 2 + 7 7 2 ) 3 d 7 -( 3 2 ) 涛2 一扣一r + 吉( 3 8 0 2 4 3 8 1 1 f 4 3 8 2 。f 4 + a 1 1 8 0 2 4 一a bl 7 + 6 a l l b l l q f 7 1 8 a 0 2 q 荨3 7 7 6 4 2 0 f 3 7 7 5 a 0 2 a 1 l f 6 叩一5 岛2 8 1 l f 刁 一1 5 a ；1g f 6 7 7 + 1 5 b 1 9 6 7 7 9 7 6 r 一3 6 比2 叩2 6 8 1 l 2 叼2 5 a l l b 0 2 f 5 叩2 + 5 a 0 2 b n 5 7 7 2 3 0 a 1 1 8 1 1 9 f 5 7 7 2 十3 0 a 0 2 f 7 7 3 6 a 2 0 7 7 3 7 a 0 2 a l l 4 叩3 7 8 0 2 b l l 4 7 7 3 2 1 a 1 口f 4 7 7 3 + 2 1 b ；1 9 4 7 7 3 2 7 7 f 4 7 7 3 + 9 8 0 2 r 1 4 3 b l l r 4 + 3 如矿一1 3 a 1 l 风2 3 7 7 4 + 1 3 a 0 2 8 1 1 3 叼4 7 8 a a l b l l q f 3 7 7 4 + a 0 2 a l l f 2 r 5 + b 0 2 b l l 2 7 7 5 十3 a ；1 9 f 2 叩5 3 b 矗口2 叩5 2 开2 7 7 5 7 a nb 0 2 q 5 - i - 7 a 0 2 8 1 1 7 7 6 4 2 a 1 lb 1 1 口7 7 6 + 3 a 0 2 a 1 1 7 7 7 + 3 8 0 2 b l l r 7 + 9 a ；1 q r l 7 9 b l q r l 7 9 r r l 7 ) ， 鲁= f 一言叻+ 吾( 9 山2 p + 3 a 1 1 4 + 3 a 2 + 3 a 。2 a 1 1 f 7 + 3 岛2 8 1 1 7 + 9 a ；1 口7 9 b 矗口7 - i - 9 7 7 + 3 0 8 0 2 3 7 7 6 8 2 0 3 7 7 + 7 a 1 1 8 0 2 6 叩 一7 a 0 2 8 1 1 6 刀+ 4 2 a l l b l l q 6 叩一3 6 a 0 2 2 叩2 + 6 a 1 1 2 7 7 2 + a 0 2 a 1 1 5 叼2 + b 0 2 9 l l f 5 7 7 2 十3 a ；1 9 5 7 7 2 3 b 1 口5 叩2 + 2 7 r 5 7 7 2 一1 8 风2 f 7 7 3 6 玩o f 刀3 + 1 3 a 1 1 8 0 2 4 叩3 1 3 a 0 2 8 1 1 4 7 7 3 + 7 8 a 1 1 8 1 1 口4 叩3 + 3 a 0 2 7 7 4 + 3 a 1 1 7 7 4 3 a 2 0 f 4 7 a 0 2 a l l 3 刁4 7 岛2 8 1 1 3 7 7 4 2 l a ；1 9 3 7 7 4 + 2 1 b ；1 9 f 3 r 4 + 2 7 7 _ 3 7 7 4 + 5 a n b 0 2 f 2 7 7 5 5 a 0 2 b l i f 2 r i 5 + 3 0 a 1 1 8 1 1 9 f 2 7 7 5 5 a 0 2 a l l f 7 7 6 5 b b 2 8 1 1 f 刀6 1 5 a a 2 1 口f 叩6 + 1 5 b 1 9 7 7 6 + 9 r r 6 一a 1 1 8 0 2 r 7 + a 0 2 8 1 1 矿一6 a 1 1 8 1 1 q r f ) ， ( 3 3 ) 一1 5 一 3 一类三次多项式系统的中心条件与赤道极限环分支 这样，系统( 3 1 ) 的无穷远点变成系统( 3 3 ) 的原点( 初等奇点) 。由于变 换( 3 2 ) 是同胚变换，因此对系统( 3 1 ) 的无穷远点的研究等价于对系统( 3 3 ) 的原 点的研究。 再通过变换 系统( 3 3 ) 变为 其中 z = f + i 7 7 ，w = f i 7 7 ，t = z 丁，i = = i( 3 4 ) 面d z = ( 1 - 扣) z + 矿1 u 删3 z + 3 a l l w 2 2 2 + 3 a 2 0 w z 3 + 3 q a ；。以3 ， + 口。2 6 1 l ，w 4 2 3 + 6 b 0 2 2 4 + 9 r w 3 2 4 + 6 q b l 2 1 w 2 z s + 2 b 0 2 a l l w 2 2 5 ) ， ( 3 5 ) 筹= 邓+ 扣叫可1 咖。叫4 + 3 6 n w 2 2 2 + 3 6 2 0 w s z + 3 q 6 2 h + 6 0 2 0 1 1 w 3 2 4 + 9 r w 4 2 3 + 3 b 0 2 2 3 w + 6 q a 2 1 1 2 2 w 5 + 2 a 0 2 b 1 1 2 2 w 5 ) ， 系统( 3 3 ) 和系统( 3 5 ) 互为伴随系统。这样系统( 3 1 ) 在无穷远点的极限环分支问 题就转化为系统( 3 5 ) 在原点的极限环分支问题。 利用第二章定理2 1 0 的递推公式，通过计算机代数m a t h e m a t i c a 计算并化简 系统( 3 5 ) 6 ；0 在原点的奇点量，得 定理3 1 系统( 3 5 ) 6 ：o 在原点的前2 1 个奇点量分别为 p 3 = 百1 ( 一n 1 1 。2 。+ 6 1 1 6 2 。) ， 1 p 6 = 一去( 5 昆一4 i i ) q ， p 9 = 一f 晤1 瓦( 7 0 而- 1 4 1 j l + 9 3 2 2 0 i a ) ( 5 a l l a 2 0 f1 2 q 。2 b 0 2 2 口2 。6 2 。 + 5 b n b 2 0 一7 2 r ) ， c a s ei 如果a 2 0 = 2 b n ，b 2 0 = 2 a n ，5 a l l a 2 0 + 1 2 a 0 2 5 0 2 - - 2 a 2 0 5 2 0 + 5 b n b 2 0 - 7 2 r 0 ， 一1 6 一 回p u 眈 b 口口 + 一 n 吆 a a = = n ； d 6 一 + 锄知 l i l l 咖 伽 励夙 + 一 n a a i i i i u 0 6 3 一类三次多项式系统的中心条件与赤道极限环分支 则有 地2 志j l d ( 一2 1