（基础数学专业论文）方格子系统中投掷长针的buffon问题.pdf

复里盔茎堑主堂蕉遨 i 摘要 本文主要考虑了在间距为1 的区域足够大的方格子系统中投入长度 为f ( 0 ，+ 。o ) 的针时，针与方格子的横轴和纵轴的交点之和的分布问题以 及相应的极限分布问题和交点的联合分布问题。文章首先介绍了b u f f o n 投 针问题的一些已知的相关结果和由这些结果出发得到的关于上述分布的一 个结果，然后求解了交点总数与针长的比值在针长趋于无穷大时的极限分 布，最后讨论了针与横轴和纵轴的交点个数的联合分布。 在第一章引言中，简单介绍了b u 肋n 投针问题的一些已知的相关结 果，并给出了在间距为1 的区域足够大的方格子系统中投入长度为f ( 0 ，+ 。) 的针时，针与方格予的横轴和纵轴的交点总数的分布的一个粗略的 表达式。 在第二章中，我们给出了在证明定理时用到的两个重要引理。 在第三章中，基于上述两个引理，我们得到了交点总数的分布和相应 的极限分布。 在第四章中，主要讨论了针与横轴和纵轴的交点个数的联合分布。 关键词：概率，分布函数，联合分布函数 复里盔堂堑圭堂焦麴 i i a b s t r a c t an e e d l eo fl e n g t hld r o p p e da tr a n d o mo nad o u b l eg r i ds y s t e m ( e q u a l l y u n i t s p a c e d ) c a nh a v em u l t i p l ei n t e r s e c t i o n sw i t ht h eh o r i z o n t a ll i n e so ft h e s y s t e ma n dt h ee r e c to n e si fl 1 , w h i c hd e n o t e db y l ，r e s p e c t i v e l y t h e d i s t r i b u t i o no ft h en u m b e ro fa l lo ft h ei n t e r s e c t i o n sa n d a p p r o x i m a t ed i s t r i b u t i o nf o rl a r g efa l ed e r i v e d a tl a s tt h e j o i n td i s t r i b u t i o nf u n c t i o no f 1 ，已i s p r o p o s e di nt h i sa r t i c l e c h a p t e ro n e ，i n t r o d u c t i o n w ed i s p l a ys o m ek n o w nr e s u l t sa b o u tt h e b u f f o np r o b l e m ，t h e nw e g i v et h em a i nr e s u l t si nt h ep a p e r c h a p t e rt w o ，p r e l i m i n a r i e s w eg i v et w oi m p o r t a n tl e m m a sw h i c hi so f g r e a tu s ei nt h en e x tc h a p t e rt h r e e c h a p t e rt h r e e ，w eg i v et h ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o no ft h ei n t e r s e c t i o n sa s w e l la st h ea p p r o x i m a t ed i s t r i b u t i o nf o rl a r g ejw h i c ha r eo n eo ft h et h em a i n r e s u l t so ft h i sa r t i c l e c h a p t e rf o u r ，w ed i s c u s st h ej o i n td i s t r i b u t i o nf u n c t i o no ff l a n d 已 k e y w o r d s ：p r o b a b i l i t y , d i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ，j o i n td i s t r i b u t i o nf u n c - t i o n 第一章引言 在这一章中我们将给出b u f f o n 投针问题的一些已知的相关结果，并给 出在间距为1 的区域足够大的方格子系统中投入长度为f ( 0 ，+ o o ) 的针时， 针与方格子的横轴和纵轴的交点总数的分布的一个粗略的表达式。在本文 中我们将用到下面的记号： 沩针的长度，日为针与系统水平方向的夹角，1 ，分别为针与系统 横轴和纵轴的交点个数。 b u f f o n 投针问题是几何概率中的一个经典问题，最初是研究在 间距为1 的平行线中投入长度为f ( 0 ，1 ) 的针时针与平行线的交点个 数的分布，继而研究了针长为任意实数的情况，而且s t a n f o r d 大学 的p e r s id i a c o n i s 给出了此时交点个数与针长的比值在针长趋于无穷大时 的极限分布为a r c s i n 分布。后来人们又研究了在间距为1 的方格子线系统中 投入长度为? ( 0 ，1 ) 的针与方格子的交点个数的分布，并给出了针长为任 意实数时交点个数的数学期望。本文主要解决了在间距为1 的方格子系统中 投入长度z 为任意正实数的针时，针与方格子的交点个数的分布情况。 在给定的区域无限大间距为1 的方格子系统中，考虑b u f f o n 投针问题。 不失一般性，我们可以假定针长为f ( 0 ，+ 。o ) ，而且仅需要考虑针与水平方 向所成的角0 o ，； 的情形此时f 在竖直方向和水平方向上的分量的长度 分别为f s i n # ，z c 0 8 目，设针与横轴和纵轴的交点个数分别为f l ，则a 取值 为口s i n 0 ，【ls i n 0 】+ 1 的概率分别为1 一“s i n 口一【? s i n 研) ，fs i n 目一【fs i n 卅，已取 值为【fc o s o ，口c o s o + l 的概率分别为1 一( f c o $ 8 一粒c o s 0 1 ) ，fc 0 8 8 一【f c o s 其中f f 】表示f 的整数部分。而且当日给定的时候6 ，已相互独立。于是，给 1 复星盔兰亟圭兰丝篮塞 2 定0 ，交点总数为k 的概率为 p ( l + 巳= k l o ) = i o c d 。) p ( l = 【f c o s 0 ) p ( 2 = i s i n 0 )( 1 1 ) + 1 ( 0 6 d 。一。) p ( f l = 【f c o s o + 1 ) p ( 已= is i n 卅) + 1 口d 一，) p ( 矗= 口c o s 刎) p ( 已= 口s i n 研+ 1 ) + i o e d k 一：1 p ( 1 = f fc o s 0 】+ 1 ) p ( = 口s i n 0 】+ 1 ) 其s b d k = 目 0 ，到 fs i n 0 1 + 【c o s 0 】_ 自) ，仇= 砍若 【姻l 这里把目限定在【o 焉 而不是( o ，】是因为 s i n ( ；+ 目) - - = c o s ( 三一日) 所以只需要在8 【0 ，；】内考虑即可。 于是，问题就转化为对固定的f ，求解满足下述条件： pc 0 8 0 】+ 【ls i n 0 j _ k 的0 的测度。 第二章引理 首先，按照口取得的不同整数值将f o ，刘做如下的划分 0 , a r c s i n - ：) ， a r c s i n - 1 , a r c s i n 2 - 1 ) ， a r c s i n 【$ 一， 在区间f a r c s i n 订，a r c s i n ( i + 1 ) 1 1 ) ( i = 0 ，1 ，一， v 夏z 2 一1 ) 内，i c 0 8 口的取 值范围为( 万= f 砜川q 如果fc o s 口在此区间内仅取得一个整数值，则 【厕= 【e 丽+ 1 如果取得多个整数值，则有 、f 2 一t 2 1 x 1 2 一( i + 1 ) 2 于是 i t - 12 i - f ! 望受里2 】+ 1 ：f 掣j f 1 f 1 时显然不能取得多个整数值。由于 堡 - 丽- - v - 譬z 堡1 号k 二二1 - = 所以， f 参 掣】 因而，lc 0 8 口在上述划分的任一区间内都不能取得两个整数值。 下面在区间 a r c s i n 孚f 】f _ 。，；】上讨论( f s i n 钆水c o s 日1 的取值。 复星丕堂亟圭童丝鲨茎 4 ( 1 ) 若【乎f 】= 近巨；m 】，则 益匹；m 】孚f 。 a r c s i n i l 一，珈= 【争】) 上， v 侄f f i - 一i - 1 f s i n 口s v 呼i - 一i + i 2 一 2 于是， 掣v 厨y - i - i 廊 t v r 私- - 1 + 1 丝2 c o s 日厢 华x 蕊- - 1 + 1 所以， 【f c o s 卅= i = ( 2 ) 若 乎f 】 乎。 吲参：t 何- 。1 - 1 此时 j 【：【辱 t v 傅- i - i ，廊掣 刍+ - 所以，f fc o s 刎在此区间内可以取值f 乎f 】i 乎 】+ 1 对于给定的f ( 0 ，+ o 。) ，令n = 【孚孔则f 【 h ，、，压+ 1 ) ) 因而，要 么2 【 瓢， 矛了可研) ，要么f 【 矛了可研，以+ 1 ) ) 于是， 我们有 引理2 1 对于给定的f ( 0 ，+ 。) ，雩吼= 【孚吼如果f 【 勤， 茅干下研) ，舢ls i n 卅+ 1 c o s 刎的最大值m = 2 n ，如果f 【、丽f 干1 i ：f 酽，以( n + 1 ) ) ，删i s i n 0 】+ 【fc o s 刎的最丈卸= 2 n 十1 证：对于给定的 ( o ，+ o o ) ，如果j 【以n ，、葺下研) ，则 4 n 2 - 4 n + 1 4 n 2 1 2 1 2 1 2 舻+ 2 ( n + 1 ) 2 = 4 n 2 + 4 n + 1 = ( 2 n + 1 ) 2 塞星盔堂堑圭i 兰焦丝 5 当礼三l 时上式成立。于是 旦9 】：宰f l j 一n 。 此式对n = o 亦成立。从而 z s i n a + p c n s 研的最大值m = 2 【乎f j = 2 n 当i 【西巧再碍，以+ 1 ) ) 时， ( 2 n + 1 ) 2 2 1 2 1 4 n 2 + 8 n + 3 t 讵f y 洒 t s i n o + 婵c o s 日l 的最大值m = 2 【孕1 1 + 1 = 2 n + 1 于是引理得证口 由以上分析，如果! 【 勤，、茅了下五i - ) ，l c o s o i r 得整 数陬【f 】一1 ，祀，如果f f 万了i 丽，以( n + 1 ) ) ，lc o s 9 取得 整数i l l ，【2 】1 1 ，扎+ 1 于是，我们有下面的引理： 引理2 2 肘于给定的z ( o ，+ 。) ，令：【堑匹耍i 亟】( m ： 一3 ，一2 ，2 n 1 1 1 ) ，n = 【譬l j ， 如鼎 届，玎巧再可5 ) ，则 d 2 。一 = u i a r e c o s ( n + i + 2 一k ) t 一1 ，a r c s i n ( 礼一i ) l 一1 ) u ( a r c s i n ( 礼一c 一l 一1 ) z - 1a r c s i n ( n c k 1 ) 一1 ) u jf a r c s i n ( n j 一1 ) 1 1 ，a r c c o s ( 佗+ j + 1 一k ) l 一1 ) 箕中砖= 0 ，1 ，2 ，2 n f 日+ 1 ，c k 一2 + 1 s 靠- 1 - - 1 ，c m 一1 + 1sj c k 一1 特 别地，令c 一2 ，c l = 一l ，a r c s i n ( n + 。) ! 一1 = ；0 1 ) 复旦大学硕士学位论文 6 如鼎【v 石n ，矿i 万f 酽) ，则 d 2 ”一k= u ，a r c c o s ( 竹十i + 2 一k ) l 一1 ，a r c s i n ( n i ) f 一1 ) u 【a r c s i n ( 扎一c 女一1 1 ) 1 1 ，a r c s i n ( 扎c k 1 ) f 一1 ) u j a r c s i n ( n j t ) t 一1 ，& r c c o s ( n + j + 1 一是) f 一1 ) ：其中k = 一1 ，0 ，1 ，2 n 一 】+ l ，一2 + lsi c k 一1 1 ，c k l + 1 墨s c k 一1 特另h 地，令c 一3 = - 2 ，c 一2 = - 2 ，a r c s i n ( 住+ i ) f 一1 = 三( i 1 ) 证：( 1 ) 如果z 【k ，、矛耳百丽) ，在区间 【a r c s i n ( n i 一1 ) t 一1 ，a r c s i n ( n 一1 ) f 一1 ) “= 0 ，1 ，一，n 一1 ) 上口c o s o 最大可以取得整数礼+ i + 1 如果 1 c o s o 取值n + i + 1 ，则 z 2 一( 孔一i 一1 ) 2 ( n + i + 1 ) 2 7 2 一( n i ) 2 ( n + i + 1 ) 2 即 2 礼2 + 2 。+ 1 ) 2 ? 2 2 ( 礼+ ；) 2 + 2 a + ；) 2 所以 塑2 二阜型i i 塑爿竽些 2 2 如果取值n + i ，则 z 2 一( n i 1 ) 2 ( n + i ) 2 1 2 一( 礼一 ) 2 ( n + i ) 2 巫燮i下、2t2-(2n-i)2-19一 于是，一般地，在区间 【a r c s i n ( 社一i 一1 ) j 一1 ，a r c s i n ( n 一 ) f 1 ) 0 = 0 ，i ，) 塞星丕堂堡圭堂焦鳖塞 7 上，如果 fc o s o 取值n + i m ( m = 一l ，0 ，1 ，) ，则 即 所以 1 2 一( n i 1 ) 2 ( n + i m ) 2 f 2 一( 扎一i ) 2 ( 扎+ i m ) 2 2 一t r e + l , j 2 + 2 。一下m - 1 ) 2 冬p 2 一百m j 2 + 2 。一号) 2 丝、2 1 2 至- - ( 2 n 乒- m ) 2 + r n tsv212-(2n-m-1)z+m-1 d 2 。= a r c s i n n r l ，三 恍 a r c s i n ( n i 一1 ) i l ，a r c c 。s ( n + i + 1 ) z 一1 ) 其中0 s i 。o 一1 d 2 n i = a r c c o s ( n + i + 1 ) f 一1 ，a r c s i n ( n i ) f 一1 ) u a r c s i n ( 他一c o 一1 ) f 一1 ，a r c s i n ( 佗一c o ) l 一1 ) u ji a r c s i n ( n j 一1 ) 一1 ，a r c c o s ( n + j ) f 一1 ) 其中0 isc 0 一l ，c 0 + 1sj c l 一1 d 2 n k = o i a r c c o s ( n + i + 2 一k ) t 一1 ，a r c s i n ( 几一t ) 一1 ) u f a r c s i n ( 礼一一1 1 ) z 一1 ，a r c s i n ( n c k 1 ) 2 1 ) 屿 a r c s i n ( n j i ) i 一1 ，a r c c o s ( 礼+ i + 1 一k ) t 一1 ) 其中后= 1 ，2 ，3 ，2 n 一【l j + 1 ，c k 一2 + 1 i c k l 一1 ，c t l + 1 j5 一1 ( 2 ) 如果l l 矛了可研，讵( n + 1 ) ) ，在区间 a r c s i n ( 礼一i i ) l 一1 ，a r c s i n ( n 一1 ) l 一1 ) 0 = 0 ，1 ，n 一1 ) 上， 1 c o s 刎最大可以取得整数礼+ 2 + i 如果【fc o s 0 取值n + 2 + i ，则 f 2 一( 札一i 一1 ) 2 ( n + 2 + 曲2 蕉星盔堂堡圭堂! 焦邀 。8 即 因而 1 2 一( t t 一) 2 ( 嚣+ 2 + i ) 2 2 ( n + i 1 ) 2 + 2 。+ 互3 ) 2s 2 2 ( n + 1 ) 2 + 2 ( t + 1 ) 2 1 、2 1 2 - ( 2 n 一+ 2 ) 2 1 i v 堕2 1 2 - 覃( 2 n + 受1 ) 2 1 - 3 n 一 1 一一 如果取值n + i + 1 ，则 1 2 一( 佗一i 一1 ) 2 ( n + i + 1 ) 2 t 2 一( 礼一习2 ( 札+ i + 1 ) 2 即 2 n 2 + 2 ( i + 1 ) 2 f 2 2 ( 礼+ ；) 2 + 2 ( i + ；) 2 所以 v 2 1 7 - ( 2 c n + 1 ) 2 一- 1 i ( 2 n ) 2 - 2 n 一 一般地， g f e a r c s i n 一i 1 ) ，a r c s i n 仰一t ) 一1 ) - = 0 ，1 ，) 上，如 果f fc o s e 取值n + i m ( m = 一2 ，一1 ，0 ，) ，则 即 所以 f 2 一( 礼一i 一1 ) 2 ( 几+ i m ) 2 f 2 一( n 一 ) 2 ( n + i m ) 2 2 ( n - 竿) 2 + 2 ( i 下m - 1 ) 2 f 2 2 ( n 一詈) 2 + 2 ( 卜罟) 。 _ x 2 1 2 - - ( 2 n - m ) 2 + m 一 i 红。，则如只能取值f ，坛，+ l ，k x + 2 因而，如果z k l - 1 = k 。= f 。+ 1 ，则 1 8 复星丕堂亟主堂焦丝 1 9 尸( 矗= k l ，岛= 2 i o ) 2 l o c 。b 。，a 。+ 。) ) ( 1 + s i n o 】一fs i n o ) ( 1 + 【i c o s e 一fc o s 0 ) + l o e i 口# i 一。，n h ) ) ( fs i n o 一【ls i n 0 1 ) ( 1 + 【lc o s o 】一fc o s 0 ) 2 l o e e l ，。 。+ 1 ) ( 1 十k l l s i n o ) ( 1 + a 2 一l c o s o ) + l o e i n k i - - l l n k l ) ) ( 1 一h + s i n o ) ( 1 十如一fc o s 0 )如= ；h p ( = 七，已= 如旧) 2 1 f d h q ，：+ ，) ( 1 十f l s i n o 一t s i n 8 ) ( 1 c o s 0 一 1 c o s ) + 1 1 0 1 n 卜。，n 。) ( 1s i n o 一【ls i n o ) ( c o s 0 一【fc o s o ) 。l o e i a l ，a k l + 1 ) ) ( 1 + 七l ls i n o ) ( 1 + 一c o s o ) + 1 畦【n 1 1 ，a - 1 ) ) ( 1 一h + s i n o ) ( 1 一2 + c o s o )如= f h + 1 如果瑶。一t 磊。= 如。+ i ，则 p ( f 1 = k l ，已= k 2 1 0 ) 2 1 【畦【。，。+ 。) ) ( 1 + 口s i n o 】一fs i n 目) ( 1 + 1 c 0 8 0 】一2c o s 0 ) + l ( o e l o , 。+ 。，。 。) ) ( 1s i n 0 一【s i n o ) ( 1 + 【2c o s 0 】一fc o s o ) 21 口f 8 女。，l + 。) ) ( 1 + 南l t s i n 郇( i + 一i c o s 0 ) + 1 o e l 3 1 k lk l , n ，) ) ( 1 一+ ls i n o ) ( 1 + k 2 一fc o s 0 )如= i 女。 叁坠塑塑兰邀 2 0 p ( 6 = k l ，6 = 七2 l 印 。1 距 t l l l t l k l + 1 ) ) ( 1 + 1 s i n o 一i s i n o ) ( 1 c o s 0 一 1 c o s 刎) + l f p 慨k l a 1 , 。，) 3 ( s i n 口一p s i n 0 1 ) ( 1 c o s 0 一【i c o s 研) + 1 眶 n ，一- ，成 。+ - ) ) ( ts i n 8 一 1 a i n o ) ( 1 + f l c o s 刎一i c o s 们 3 l f o e l , ，k i , 。 l + 1 ) ) ( 1 + 七i i s i n o ) ( 1 一岛+ l c o s 0 ) + 1 口f n t 。一z 肆。) ( 1 一是l + i s i n o ) ( 1 一k 2 + l c o s o ) + 1 f 口f 0 z z ，岛女- + l j 】( 1 一h + i s i n 8 ) ( 1 十七2 一t c o s o )七2 = k ，+ l p 德i = 耙1 专2 = 如l = l o e i d m 。一t ，鹿t 。+ ，) ) ( 1 七i + f s j n ( 1 如+ f c 。s 一) 七2 = z k ，+ 2 如果如- 一，= k 。 k 汁i ，p ( l = k l , 6 ：2 f 口) 类似的可得。 如果f 乜一l k l k i + l , 则 p ( 6 = 血l ，岛= 如f 口) = 1 f 眶晒t 。，n m 。+ 。) ( 1 + 南1 一f 8 i n 咿) ( 1 + 岛一z c 。s 口) 2 ：k ，一1 p l = 缸，岛= k 2 o ) 2 l # e l o k i ，a h + ，) ) ( 1 +