（基础数学专业论文）平面上一种保长度曲线流.pdf

d i s s e r t a t i o nf o r m a s t e rd e g r e e ，2 010 c o l l e g ec o d e ：1 0 2 6 9 r e g i s t e rn u m b e r ：5 1 0 7 0 6 0 1 0 3 2 e a s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y o na p e r i m e t e r - p r e s e r v i n gf l o wi nt h e p l a n e d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c s m a j o r ： s u b j e c t ： p u r em a t h e m a t i c s d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y s u p e r v i s o r ：s h e n g l i a n gp a n n a m e ： q i n g x i a nm e n g m a 弘2 0 1 0 s h a n g h a i 学位论文独创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文平面上一种保长度曲线流，是在华东师范大学 攻读噶肚博士( 请勾选) 学位期间，在导9 币的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果除文中已经注明引用的内容外，奉论文小包含其他个人已经发表或撰写过的研究成 果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：蠹越日期： 学位论文授权使用声明 平面上一种保长度曲线流系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指导下 完成的硬盘博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有本人同 意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家 图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师 范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论 文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者 其它方式合理复制学位论文 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文，于 年月e j 解密，解密后适用上述授权 ( 、) 2 不保密，适用上述授权 定 学位论文作者签名：嫩 导师签名： 有效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文此声明栏不填写的，默认为公开 学位论文，均适用上述授权 册5 6m 3 删1 脚y 孟庆贤硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 凝容热撅诈热切话次学 主席 i 巍、毛礴分攀到苏投 i 盏缘由宅飘极援群如体诱十、学 摘要 本文主要研究平面上一种保持长度不变的曲线流，即令x ( u ，f ) ：【口，纠x 【0 ，0 0 ) 一r 2 是平面上一族闭曲线，x ( u ，0 ) = x o ( u ) 是一条严格凸的平面闭曲 线考虑如下发展问题： x ，= p 一丢) ， x ( u ，o ) = x o ( u ) ， 我们将证明在这种流下，曲线的周长不变，所围区域面积增大，曲线越来 越圆最后我们证明在“c ” 度量下，当t 趋向于无穷大时，极限曲线是一个 有限圆周( 即具有有限半径的圆) 更进一步地，如果初始曲线是常宽曲线，那 么曲线在这种流下始终保持常宽，并且宽度不变 关键词：保长度流，严格凸，收敛性，保常宽 t h i sp a p e rd e a l sw i t hac o n v e xc u r v ee v o l u t i o np r o b l e mi nt h ep l a n e l e t x ( u ，f ) ：【口，扫】【0 ，o o ) r 2b eaf a m i l yo fc l o s e dp l a n e rc u r v e sw i t hx ( u ，o ) = x o ( u ) b e i n gac l o s e d ，s t r i c t l yc o n v e xc a lv e c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gp r o b l e m ： w ew i l lp r o v et h i sf l o ww i l lp r e s e r v et h ep e r i m e t e ro ft h ee v o l v i n gc u r v eb u t e n l a r g et h ea r e ai tb o u n d sa n dm a k et h ee v o l v i n gc u r v em o r ea n dm o r ec i r c u l a r d u r i n gt h ee v o l u t i o np r o c e s s a n df i n a l l y , a st h et i m etg o e st oi n f i n i t y , t h el i m i t i n g c u r v ew i l lb eaf i n i t ec i r c l e ( i e ，ac i r c l ew i t hf i n i t er a d i u s ) i nt h ec o , m e t r i c f u r t h e r m o r e ，t h ew i d t ho ft h ec u r v ek e e p sc o n s t a n td u r i n gt h ee v o l u t i o ni ft h ei n i t i a lc u r v e h a sc o n s t a n tw i d t h ，a n dt h ew i d t hi st h es a m ea st h ei n i t i a lo n e k e yw o r d s ：p e r i m e t e r - p r e s e r v i n gf l o w , s t r i c t l yc o n v e x ，c o n v e r g e n c e ，c o n s t a n t w i d t h - p r e s e r v i n g u 目录 中文摘要 i 英文摘要 矗 第一节引言1 第二节发展曲线的最终形状3 第三节存在性9 第四节主要定理的证明1 2 参考文献1 4 致谢一1 7 华东师范大学硕士论文平面上一种保长度曲线流 第一节引言 在过去的几十年里，曲线发展问题受到了极大的关注，相关的书籍和文章 如：【1 1 ，【3 】，【5 】，【7 】，【1 4 1 ，【2 3 1 3 0 】等等其中，最简单的情形是g a g e 【8 1 ， 9 1 g a g e h a m i l t o n 1 2 和g r a y s o n 1 3 】所研究的著名的平面曲线收缩流一个有 趣而又重要的情形是研究保持某些几何量不变的曲率流问题。比如平面上保 面积流【1 0 ，p a n y a n g 保长度流【2 0 ，空间中保体积流【2 ，1 5 ，1 7 】以及保表面 积流 1 6 1 由k a i s e n gc h o u ( t s o ) 和x i p i n gz h u 所撰写的书【3 】给出了大量关 于曲线流的漂亮结果 本文的目的是研究平面上一种保持长度不变的曲线流设x ( u ，f ) = ( 颤m ，f ) ，y ( u ，d ) ：【a ，b 】【0 ，0 0 ) _ r 2 是一族平面闭曲线，其中x ( u ，0 ) = x o ( “) 是 平面上正定向的严格凸的闭曲线考虑以下几何发展问题： 墨= ( p 一牡 x ( u ，0 ) = x o ( u ) ， ( 1 1 ) ( 1 2 ) 其中k = k ( u ，f ) 是发展曲线的符号曲率，p = p ( “，d 是该曲线的m i n c k o w s k i 支 撑函数，l = l ( f ) 和a = a ( f ) 分别是曲线在t 时刻的周长和它所围区域的面积， n = n ( u ，f ) 是沿曲线的单位内法向量可以发现，在曲线发展过程中，l 是保持 不变的常数，这也就是我们称之为保长度流的原因而且不难发现，如果初始曲 线是个圆，那么它在发展过程中始终是一个与初始曲线相同的圆，也就是说，圆 在这个流下是稳定的 我们将推导发展曲线的长度厶所围区域的面积a 以及曲率g 的发展方程 如下： 警= 一步( 二一三) - 盈j ， c t 3 ， 警一外一舡 n 4 ， 塞= ，【杀p 一扣一斗 5 ， 如果一条凸曲线按照( i i ) 一( 1 2 ) 发展，并且在发展过程中保持凸性，那z , ，由 ( 1 3 ) 可知曲线的周长l 是常数对于平面上严格凸的的闭曲线，我们需要深入 研究 步知r 细 华东师范大学硕士论文 平面上一种保长度曲线流 由( 1 4 ) 和几何不等式( 2 0 】定理2 1 ) 爹加了l 2 - 2 1 r a 可知，在曲线发展过程中，所围区域面积a 是单调增加的 本文安排如下：在第二节中将证明如果曲线在发展过程中不产生奇性，那 么当时间t 趋于无穷时，曲线在h a u s d o r f f 度量下收敛到一个周长不变而面积 增大的有限的圆( 定理2 7 ) 在第三节中，我们将首先证明如果初始曲线是平 面上严格凸曲线，那么它在发展过程中不产生奇性并且保持凸性在定理3 4 中证明了曲线发展问题等价于个偏微分方程的初值问题最后，我们得到这 篇文章的主要结果： 主要定理 1 如果平面上一条闭的凸曲线按照1 1 1 ) 1 1 2 l 发民那么它在笈良过程中 保持凸性保持周长不变但是所围区域面积增大并且当时间t 趋于无穷时。 曲线在c 。度量下收敛到一个有限的圆 2 如果初始觑线是常宽的 即宽度w ( o ，0 ) = w o ，那么按照f ，z 砂r j 2 ) 发展 的曲线保持常宽并且宽度与初始曲线相等 注曲线发展问题是由一系列与曲线有关的局部和整体的几何量所决定 的，可以考虑高维下的类似几何问题 2 华东师范大学硕士论文 平面上一种保长度曲线流 第二节发展曲线的最终形状 设x ( u ，f ) = ( 缸“，f ) ，y ( u ，f ) ) ：陋，纠【0 ，o o ) _ r 2 是平面上一族闭曲线，初始 曲线x o ( u ) = x ( u ，0 ) ：【口，纠_ r 2 是平面上的闭凸曲线，它按照( 1 1 ) ( 1 2 ) 发 展，即 墨= p 一三) ， x ( u ，o ) = x o ( u ) ， 其中，p = p ( u ，f ) 是m i n c k o w s k i 支撑函数，n = n ( u ，f ) 是沿曲线的单位内法向 量，k = x ( u ，d 是发展曲线的符号曲率 令g ( 比，f ) = i i = ( + z ) 表示发展曲线的度量，则弧长微元可以表示为 d s = g ( u ，t ) d u ，或者形式地记为 d1do s o s 2 g 一o u o u = g 。 6 。 切向量t ，法向量n ，方向角幺曲率x ，曲线周长l 以及所围区域面积a 如下定 义： 丁= 孥= 三o x ， 口= z ( l 曲， k = 一0 0 = ! 五0 0 ，os go u o s 2d h k 箬= 器o u蜘弘= f 咖触 。 0 s k 2t1 。、。 。 撇) = 1 1 ：x d y 一如= 步 出 引理2 1 丝o t = 一p 一昙) 豫豢= 未p 一三) m 筹= 一未p 一昙) 瓦 坠o t 旦o sp 一昙) ， f 缸f i = 轰，p k ) + ( p 一垆一= 一一；户2 孬一j + 一ij 一 丝d t = 一爹g 一昙卜筹= 一步p 一争 3 证明方便起见，记卢= p 一 ( i ) 证明g 关于t 的偏导数因为矿= i 兄1 2 = ，两边关于t 求导，可 得 于是得到 ( i i ) 由于 2 9 警= 2 = 2 = 2 = 2 d h = 2 9 ( - 足g 3 ) 祟= - - 哪k 1 1 一= p m o 旦旦= 旦但旦 _ 一_ 一= 一i 一一_ a f a s a f g a “ g t0 j 10 0 k g b 0 18 0 = 9 20 u + g 0 ta u = 7 9 瓦+ g 0 ua t 0 00 = 妒石+ 瓦瓦， 也就是说， 88888 瓦瓦= 瓦瓦+ 妒丽 接下来应用上式证明丁和关于f 的偏导数 面a t = a 副t 锻- 万s ) i 一= 一 8 tl = 岳箬+ 印坚o s = 嘉+ 妒t , f i 丁i = 一一+ 刖1 一= 一f h ，l a ja f 。ra s 旷”7 。r = 塑o s + 觑一戈丁) + 妒丁 = 一，v + ，硼一r ，l + 州，广、，。r = 塑o = 一，v s 。 因为 = 0 ，所以， + = 0 ，于是有 筹d = 一筹， 华东师范大学硕士论文 因此可得 ( i i i ) e h 可得 再由 可得 同时，我们可以得到 ( i v ) 娑= 一娑r 一= 一一， ma s 一 箬= 等塞= 膏丽o t 且_ 面o t = 刎 - - - _ 一一- r u - _ _ 一一，v 8 s 8 e8 s”a e 8 s 、 o t 丽= n 平面上一种保长度曲线流 ( v ) 等= p u = 卜鳓d u = - 喇h = 一睁s ； 阳蕊 = 硼瓦塑硼 = 塑西 筇蕊 = 塑西 = 加丽 k g = m 瓦拍丽 = 硼瓦 硼丽k 铷 g 、lil， + 口u 争争 瓣筹纂争 一所 列 如 m 炒 墨 蟊 “ 到 + 五 b ； o 删 5 “ 哪 墨 - 丛+ t l 2 - 2 z r a 。， 即存发展讨稗中曲线而积增大n 推论2 6 如果一条凸曲线按照2 n ) 2 1 2 ) 发展，那么在发襞过程中。发展曲 线的等周差l 2 4 兀a 单调递减并且当时间t 趋于无穷时。等周差收敛到o 让明由引理2 5 的让明口j 得 丢弛2 一捌) - 2 地一抛，s 0 因此，驴一4 兀a 单调减少再由引理2 4 ，可以得到 墨( 铲一4 以) = 一4 以，一4 丌( 2 a f l d s ) 一c r 一4 以， 两边积分得 r 一4 r r a ( 碌一4 r r a o ) e - - 4 t ，( 2 1 4 ) 其中a o 和岛分别是初始曲线的面积和周长再次利用经典等周不等式，我们 可以得到，当时间t 趋子无穷时，发展曲线的等周差口一4 i r a 收敛到0 口 利用推论2 6 和b o n n e s e n 不等式( 见【1 8 】或【2 2 1 ) ，我们很容易得到以下定 理( 类似于【1 0 】中的推论2 5 ) 定理2 7 如果一条凸曲线在发展过程中不产生奇性，那么当时问t 趋于无穷 时它将收敛到一个圆 n 8 华东师范大学硕士论文平面上一种保长度曲线流 第三节存在性 现在，我们来研究发展曲线的曲率发展方程首先，我们注意到虽然曲率 发展方程( 2 1 0 ) 是非线性的，但是我们可以通过变换把它变为标准热方程在 定理3 1 和定理3 2 中，我们将证明发展曲线的曲率是有界的并且总是正的 也就是说，凸曲线在发展过程中保持凸性且不产生奇性在定理3 3 中，我们将 证明在发展过程中曲线一直是闭的在定理3 4 中，我们将把曲线的发展问题 等价地转化为一个非线性微分方程解的初值性问题 定理3 1 如果一条严格凸曲线按照f 2 1 1 ) f 2 1 2 j 发展那么它在发展过程中 保持凸性 证明由于 = 啪一拈p 一牛州一n 朐妒坤 令u = g e 丑，则u 满足 以= 一警+ 刊u 2 e - 知+ u ( 3 1 ) 假设对于0 0 ，则由u 的连续性可知，存在( ，f o ) ，使得u ( o o ，t o ) = t i m i i l ( f ) = 由极小值的性质可知，在该点处 以o ，o ，砺= o ，( ，= p o ，且肋+ p = _ 1 o ， 这与( 3 1 ) 式矛盾从而得到，对于任意的t 0 均有，m i 。( d 。( 0 ) 于是， “良d i 。( d = u m i 。( f ) p 砌i 。( o ) p 砌 0 即曲线在发展过程中保持凸性 口 定理3 2 设甜( 力= s u p “良t ) ：0 0 2 丌 ，那么对于任意疗gt 0 ，有 k 憾。m 。其中m 是r 依赖于初始曲线的正的常数 9 兰奎堕堕堕羔塑堂 兰亘占二登i 堡堡壁些垡鎏 一一 i y - 、n h 呐t ，m 心= ， p 一丢) 鲫+ p i 1 】 = 邓一孙m 妒剖 并吼， ( 一三l = ( 一三) 御，即( 昙) f = ( 昙) 鲫 ”w o ( o ) 卅 惦赤， 其中峋( d 是初始曲线的曲率，所以有 眦d = 丽i 丽i 下掣如 由k o ( o ) 聋1 0 ，2 叫有界可知，存在常数m 0 ，使得膨= m a x “o , o ) 10 【0 ，2 丌】 所以。 丽i 一l m o 一 一 i 绚( 一 因此。 吣d = 嘉 志矿学幽 三士厂p 一咩砒 一一i ，一。鬲一0 一m 2 、磊j 一。 “ l = 一 m 即对于任意口【o ，2 棚，f 0 ，均有“幺f ) 5m ，故 k xs m d 接下来我们验证在发展过程中每条曲线都是封闭的 华东师范大学硕士论文 平面上一种保长度曲线流 塞理。3 3 如果初始学线的曲率绚( d = k ( 只o ) 0 满足户赤d o = 0 ，那么，对 于任意t 0 ( 2 1 0 ) 的解k ，n 都满足 j 广。南瑚一o “9 ，矿 一 ( 丢) ，= ( 昙) 鲫， ( 广竺rd t = f 0 2 1 t 跣枷= 一f 譬旭 于是。 由于 所以有 即 m = 一y ， v ( o = v ( o ) e 一 删= f 蒜批o ， “f ) = 0 ， 广竺瑚= o d o 戈 定理3 4 凸越线按照f 2 1 1 ) 但1 2 ) 的发展f 句题等价于以下初值问题j 求k = “只t ) ：s1 1 0 ，o o ) _ r + ，使得 r j j k c 2 帆1 + 董( s 1 【o ，) ) ； ( 2 ) x t = p 【( p 一) 卯+ p 一】； 1 3 ) k ( 幺o ) = 蜘( 口) c 1 竹岱? ，绚( d oa 户恭硼= o 华东师范大学硕士论文 平面上一种保长度曲线流 让明由( 2 1 0 ) 式司知，给出发展问题( 2 1 1 ) - ( 2 1 2 ) ，发展曲线的曲率方程( 在0 和t 坐标系下) 满足( 2 ) 和( 3 ) 另一方面，给出微分积分系统初值问题的一个解k ( e ，0 ，对于每个t 0 ，其 对应的曲线x ( o ，f ) = ( x ( p ，d ，y ( o ，d ) + x ( o ，f ) 如下定义： 地d = r 器却“= r 器却， 剐= 【f 圳i 卿妣r 志打) 则曲线满足发展方程 墨= 一：lo ( p 一丢) 丁+ ( 二一丢) 通过简单的计算，我们可以z 1 4 ，由a n x ( of ) 的曲率刚好是“口n 口, 第四节主要定理的证明 定理4 a 如果平面上一条闭的凸曲线按照1 1 1 1 1 1 2 ) 发展。那么它在发展过 程中保持凸性保持周长不变但是所围区域面积增大并且当时间t 趋于无穷 肘曲线在c ”度量下收敛到一个有瞑的凰 证明由于改变发展曲线速度的切向分量并不影响曲线的最终形状，我们把最 开始的问题等价于( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 然后，由引理2 5 ，推论2 6 ，定理2 7 和定理3 1 可知，按照( 2 1 1 ) 一( 2 1 2 ) 发展的凸曲线在发展中保持凸性，保持长度不变而面 积增大，并且越来越圆在定理3 4 中，我们证明了曲线发展问题( 2 “) ( 2 1 2 ) 与非线性微分方程初值问题等价由定理2 7 可以看出，发展曲线在h a u s d o r f f 度量下收敛为一个圆最后，我们得到，对于任意的( 9 ，) 【0 ，2 丌】x 【0 ，o o ) ，“良f ) 是可微的，并且对于任意的0 【0 ，2 棚，有 l i m1 ( ( 0 f ) = 警1 1 即完成了证明口 定理4 2 如果初始曲线是常宽的即宽度w ( o ，m = w o 那么按照( 2 n 1 1 2 1 2 发展的曲线保持常宽并且宽度s 初始曲线相等 1 2 华东师范大学硕士论文平面上一种保长度曲线流 证明曲线的宽度为 w ( o ，f ) = p ( o ，f ) + p ( o + 丌，f ) ， 其中p ( o ，t ) = ，n ( o ，d 为沿着曲线的单位内法向量由于 并且 所以有 于是， 百o p ( o , t ) = + = 丢一p ，d fk 。 p + 姗= ：， p t = p o o tow(o,t)=下op(o,t)iop(_o+厂tr一,t)=可ozp(o,t)+o2p1(o矿+it,t)-it- = 眠 一：= 一 一= = 一+ 一= = w “ 8 t8 ta ta 铲。8 伊 “ 如果初始曲线是宽度为w r o 的常宽曲线，那么有 w ( o , 0 = 丽1 呼如= w o 也就是说，在发展中曲线的常宽性保持不变，并且宽度与初始曲线相等 口 1 3 华东师范大学硕士论文 平面上一种保长度曲线流 参考文献 【1 】b a n d r e w s ，e v o l v i n gc o n v e xc u r v e s ，c a l c v a t p d e s ，7 ( 19 9 8 ) ，315 - 3 7 1 【2 】m a t h a n a s s e n a s ，v o l u m e p r e s e r v i n gm e a nc u r v a t u r ef l o wo fr o t a t i o n a l l y s y m m e t r i cs u r f a c e s c o m m e n t m a t h h e l v 7 2 ，5 2 6 6 ( 1 9 9 7 ) 【3 】k s c h o u ，x ez h u ，t h ec u r v es h o r t e n i n gp r o b l e m ，c h a p m a na n d h a l l c r c ，2 0 0 1 【4 】b c h o w , l el i o u ，d h t s a i ，e x p a n d i n go fe m b e d d e dc u r v e sw i t ht u r n i n g a n g l eg r e a t e rt h a n - - f f ，i n v e n t m a t h 1 2 3 ( 1 9 9 6 ) ，4 1 5 - 4 2 9 【5 】b c h o w , p l u ，l n i ，h a m i l t o n sr i c c if l o w , b e i j i n g ：s c i e n c ep r e s s ；p r o v i d e n c e ，r i ：a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y , 2 0 0 6 【6 】b c h o w , d h t s a i ，g e o m e t r i ce x p a n d i n go fc o n v e xp l a n ec u r v e s ，j d i f f g e o m 4 4 ( 19 9 6 ) ，312 3 3 0 【7 】k e c k e r , r e g u l a r i t yt h e o r yf o rm e a nc u r v a t u r ef l o w p r o g r e s si nn o n l i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s ，5 7 b i r k h i i u s e rb o s t o n ，i n c ， b o s t o n ，m a ，2 0 0 4 【8 】m e g a g e ，a ni s o p e r i m e t r i ci n e q u a l i t yw i t ha p p l i c a t i o n st oc u r v es h o r t e n i n g 。 d u k em a t h j 5 0 ( 1 9 8 3 ) 1 2 2 5 1 2 2 9 【9 】m e g a g e ，c u r v es h o r t e n i n gm a k e sc o n v e xc u r v e sc i r c u l a r , i n v e n t m a t h 7 6 ( 19 8 4 ) ，3 5 7 3 6 4 【1 0 】m e g a g e ，o na l la r e a - p r e s e r v i n ge v o l u t i o ne q u a t i o nf o rp l a n ec b r v e s ，i n “n o n l i n e a rp r o b l e m si ng e o m e t r y ”( d m d e t u r c ke d i t e d ) ，c o n t e m p m a t h v 0 1 51 ( 1 9 8 6 ) ，5 1 6 2 【l l 】m e g a g e ，c u r v es h o r t e n i n go ns u r f a c e s ，a n n s c i e n t & n o r m s u p 2 3 ( 19 9 0 ) ，2 2 9 2 5 6 【l2 】m e g a g e ，r s h a m i l t o n ，t h eh e a te q u a t i o ns h r i n k i n gc o n v e xp l a n ec u r v e s 。 j d i f t g e o m 2 3 ( 1 9 8 6 ) ，6 9 - 9 6 1 4 华东师范大学硕士论文 平面上一种保长度曲线流 【13 】m g r a y s o n ，t h eh e a te q u a t i o ns h r i n k se m b e d d e dp l a n ec u r v et or o u n dp o i n t s 。 j d i f f g e o m 2 6 ( 19 8 7 ) ，2 8 5 314 【1 4 】g h u i s k e n ，f l o wb ym e a nc u r v a t u r eo fc o n v e xs u r f a c e si n t os p h e r e s ，j d i f f g e o m 2 0 ( 19 8 4 ) ，2 3 7 2 6 6 【l5 】g h u i s k e n ，t h ev o l u m ep r e s e r v i n gm e a nc u r v a r u r ef l o w j r e i n ea n g e w m a t h 3 8 2 ，3 5 - 4 8 ( 19 8 7 ) 【16 】j a m c c o y , t h es u r f a c ea r e ap r e s e r v i n gm e a nc u r v a t u r ef l o w a s i a nj m a t h 7 ( 1 ) ，7 - 3 0 ( 2 0 0 3 ) 【l7 】j a m c c o y , m i x e dv o l u m ep r e s e r v i n gc u r v a t u r ef l o w s c a l c v a r p d e s2 4 ( 2 ) 。 1 3 1 - 1 5 4 ( 2 0 0 5 ) 【18 】r o s s e r m a n ，b o n n e s e n - s t y l ei s o p e r i m e t r i ci n e q u a l i t i e s ，a m e r m a t h m o n t h l y , 8 6 ( 19 7 9 ) 1 - 2 9 【1 9 】s l p a n ，an o t eo nt h eg e n e r a lc u r v ef l o w s ，j o fm a t h s t u d y , 3 3 ( 2 0 0 0 ) ， 1 7 2 6 【2 0 】s l p a n ，j n y a n g o nan o n l o c a lp e r i m e t e r - p r e s e r v i n gc u r v ee v o l u t i o n p r o b l e mf o rc o n v e xp l a n ec u r v e s ，m a n u s c r i p t am a t h 12 7 ( 2 0 0 8 ) ，4 6 9 - 4 8 4 【21 】s l p a n ，h z h a n g ，ar e v e r s ei s o p e r i m e t r i ci n e q u a h t yf o rc o n v e xp l a n e c u r v e s ，b e r t r i i g ez u ra l g e b r au n dg e o m e t r i c ，4 8 ( 2 0 0 7 ) ，3 0 3 - 3 0 8 【2 2 】r s c h n e i d e r c o n v e xb o d i e s ：t h eb r u n n - m i n k o w s k it h e o r y , c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e - n e wy o r k ，19 9 3 【2 3 】d h t s a i ，b l o w u pa n dc o n v e r g e n c eo fe x p a n d i n gi m m e r s e dc o n v e xp l a n e c u r v e s ，c o m m a n a l g e o m 8 ( 2 0 0 0 ) 7 61 - 7 9 4 【2 4 】d h t s a i ，o nt h ef o r m a t i o no fs i n g u l a r i t i e si nt h ec u r v ee x p a n d i n gf l o w , c a l c v a t p d e s ，1 4 ( 2 0 0 2 ) ，3 8 5 - 3 9 8 【2 5 】d h t s a i ，a s y m p t o t i cc l o s e n e s st ol i m i t i n gs h a p e sf o re x p a n d i n ge m b e d d e d p l a n ec u r v e s ，i n v e n t m a t h 16 2 ( 2 0 0 5 ) ，4 7 3 - 4 9 2 【2 6 】k t s o ，d e f o r m i n gah y p e r s u r f a c eb yi t sg a u s s k r o n e c k e rc u r v a t u r e ，c o m m p u r ea p p l m a t h 3 8 ( 19 8