（基础数学专业论文）一类二次系统四次不变代数曲线环的拓扑分类.pdf

福建师范大学宋秀娟硕士学位论文 摘要 本文对一类二次系统的四次不变代数曲线进行拓扑分类，并提出各曲线的紧分 支能构成相应同宿环的充要条件全文共分为三章 第一章为绪论，介绍本文展开工作的背景，并给出若干预备知识 第二章讨论二次系统的四次不变代数曲线首先，利用二次系统和四次不变代 数曲线在李群作用下其拓扑结构和相图均保持不变的性质对系统进行化简，根据曲 线与无穷远奇点的接触情形对曲线进行分类，得到了五类在无穷远处拓扑结构不同 的情形其次，利用b a t i n 5 公式找出紧分支可能构成相应同宿环所有四次不变代 数曲线。包含一种双参数曲线族和十五种单参数曲线族最后，根据对曲线族的分 析画出了各类曲线族在p o i n c a r e 圆盘上的图形 第三章通过对具有四次不变代数曲线的二次系统进行定性分析，画出相应的全 局相图，从而得到了四次不变代数曲线紧分支构成系统的同宿环的充要条件最后， 应用旋转向量场理论，对由四次不变代数曲线构成的同宿环的分枝系统进行6 扰 动。使同宿环分支出极限环，并随参数的变化消失于细焦点本章的分析过程中的 大量复杂的计算都是借助m a t h e m a t i c 软件完成的 关键词：二次系统。四次不变代数曲线，李群作用，拓扑分类，全局相图 堡壅墅奎兰塞重塑堡圭堂堡丝塞 。 a b s t r a c t t h ep r e s e n tp a p e ri sd e v o t e dt oc l a s s i f y i n gt o p o l o g i c a l l yt ot h eq u a r t i ci n - v a r i a n ta l g e b r a i cc u r v e si nq u d r a t i cs y s t e m ，s o m ec o r r e s p o n d i n gc o n d i t i o n st h a tt h e c o n n e c t e dc o m p o n e n to ft h eq u a r t i cc u r v ew i l lb eah o m o c l i n i cc y c l eo ft h es y s t e m h a v eb e e nb r o u g h tf o r w a r d t h i sp a p e ri ss e p a r a t e di n t ot h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h eb a c k g r o u n da n dp r e p a r a t i v ek n o w l e d g eo ft h i sp a p e ri s i n t r o d u c e d i nt h es e c o n dc h a p t e r s ，w ed i s c u s st h ei n v a r i a n ta l g e b r a i cc u r v eo fq u d r a t i cs y s - t e m u s i n gt h et o p o l o g i c a li n v a r i a b i l i t yo ft h es t r u c t u r ea n dp h a s ep o r t r a i td e t e r - m i n e db ys y s t e m ( t ) u n d e rt h ea c t i o no fl i eg r o u pg ，w es i m p l i f yt h eq u d r a t i c s y s t e mw h i c hh a v eh o m o c l i n i cc y c l ew h i c hg o e st h r o u g ht h eh y p e r b o l i cs a d d l e a t t h es a m et i m e t h eq u a r t i ci n v a r i a n ta l g e b r a i cc u r v e sa r ed e v i d e di n t of i v ec a s e sw i t h d i f f e r e n tt o p o l o g i c a ls t r u c t u r ei ni n f i n i t ep l a c eb yt h et a n g e n tc a s e so ft h ec u r v ea n d t h ei n f i n i t es i n g u l a rp o i n t t h e n ，w ef i n da l lc a s e so ft h eq u a r t i ci n v a r i a n ta l g e b r a i c c u r v e st h a tt h e i rc o n n e c t e dc o m p o n e n tw i l lb eah o m o c l i n i cc y c l e ，i n c l u d i 嚏at w o - p a r a m e t e rc u r v ea n df i f t e e no n e - p a r a m e t e rc u r v e s f i n a l l y , w eo b t a i nt h ef i g u r e so f a l lk i n do fc u r v e si np o i n c s r ed i s kb ya n a l y z i n gt h eq u a l i t yo ft h e m i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ea n a l y z et h eq u d r a t i cs y s t e mw i t hq u a r t i ci n v a r i a n ta l g e b r a i cc u r v eb yq u a l i t a t i v em e t h o d t a n dt h ec o r r e s p o n d i n gg l o b a lp h a s ei sd r a w n f u r t h e r m o r e ，w eo b t a i ns a m es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o ns u c ht h a tt h eh o - m o c l i n i cc y c l eo ft h es y s t e mi sd e f i n e db yt h eq u a r t i ci n v a r i a n ta l g e b r a i cc u r v e a t l a s t a p p l i n gw i t ht h er o t a t e dv e c t o rt h e o r y , w em a k ea d i s t u r b a n c ew i t hp a r a m e t e r6 t ot h eh o m o c l i n i cb i f u r c a t i o ns y s t e ma g a i nt oa r i s el i m i tc y c l e ，a sa r e s u l t ，w i t ht h e p a r a m e t e rc h a n g i n gt h ec y c l ed e c r e a s e sa n df i n a l l yd i s a p p e a r st oa f i n ef o c u s t h e c a l c u l a t i o no ft h i sc h a p t e ri sc o m p l e t e db ym a t h e m a t i cs o f t w a r e k e yw o r d s ：q u a d r a t i cs y s t e m ，q u a r t i ci n v a r i a n ta l g e b r a i cc u r v e ，t h ea c t i o no f l i eg r o u pg ，t o p o l o g i c a lc l a s s f i c a t i o n ，g l o b a lp h a s e i i 福建师范大学宋秀娟硕士学位论文 中文文摘 文【1 7 】中提出：二次系统是否存在其它不同于该文中所构造础的两种形式的四 次曲线分界线环本文分为三章进行讨论，较为完整地回答了该问题文章的结构 安排及结论分列如下 第一章中主要是对同异宿环的研究内容及方法做了简要的介绍，并给出了在全 文分析中所涉及到的基本概念及相应的性质定理 第二章中主要讨论二次系统的四次不变代数曲线首先，引入李群作用的概 念并分析其性质，从而得到了四次曲线f ( x ，y ) = 0 的最高次部分月( z ，y ) 可分 为五类拓扑性质不同的形式： 1 f 4 ( z ，y ) = a 4 0 x 4 ；2 f 4 ( z ，y ) = a 4 0 x 3 一口掣) ； 3 局( z ，y ) = a 4 0 x 2 ( z e u ) 2 ；4 f 4 ( z ，y ) = a 4 0 x 2 ( z f l x y + o 2 ) ；5 f 4 ( z ，y ) = a 4 0 ( z p o - t - a 9 2 ) 2 同时使具有双曲鞍点的平面二次系统化为如下最简形式t f 塑：c z + t ，+ n l z 2 + o 。z t ，：p 虎 。 1 。 其次，对每一类四次曲线利 i 等= z + c y z 2 + ( o l + z ) x y + ( a 2 一a ) ! ，2 = q 用b a t i n 8 公式：b p + r q 三f l ，比较恒等式中各同类项的系数得到一系列的 方程，结合系统存在同宿环的必要条件t 2 s ：( 1 ) l u o i 一1 ； 当吲 2 时，1 等，( 3 ) 当吲2 时，o t 吲一1 ；当例 2 时，口 告，确定曲 线方程及二次系统的系数关系，由此找出了所有可能构成系统的同宿环的不变四次 代数曲线，包含了一种双参数曲线族和十五种单参数曲线族，并利用m a t h e m a t i c 软件计算各种曲线族与直线y = k x 的交点及渐近线等情况，从而得到了各曲线族 的分枝值，同时画出了分枝值所对应的各曲线族在p o i n c a r e 圆盘上的图形如图 2 3 1 ，2 3 2 ，2 3 3 ，2 3 4 ，2 3 5 所示 第三章中通过对相应的一类双参数系统和十五类单参数系统进行详细的定性分 析，给出了各相应系统的有限平面及无穷远处奇点性态表，如表3 1 1 ，3 1 2 ，3 1 3 ，3 2 1 3 2 2 所示讨论了鞍点( 或高阶奇点) 分界线线的去向和分界线的相对位置，同时 利用d u l a c 判别法证明了各系统均不存在极限环从而在p o i n c d r e 圆盘上作出各 系统的全局拓扑相图，如图3 1 4 ，3 1 5 ，3 1 6 ，3 2 3 ，3 2 4 ，3 2 5 所示并进一步提出了 四次不变代数曲线的紧分支构成相应系统的同宿环的充要条件如下t 定理0 1 系统e 11 有由四次不变代数曲线t 的紧分支构成过原点的同宿环的 i l l 福建师范大学宋秀娟硕士学位论文 充要条件是 i c i - - - 1 ，一1 血1 8 + c 2 + c 4 + 丽( 6 再+ c 语2 ) 厂9 - 1 0 c 一2 + c 4 ) 定理o 2 系统e 1 2 ，e 2i ，e 2 3 ，e 2 山e 2 南e 3 1 ，e 3 2 ，e 4 3 ，e 4 山e 51 ，e 5 2 ，e 5 3 有由四 次不变代数曲线的紧分支构成过原点的同宿环的充要条件是l c i 1 系统易2 有由四次不变代数曲线的紧分支构成过原点的同宿环的充要条件是 ( 一5 + 丽) s ( 5 + , 5 5 ) 系统邑1 ，局2 有由四次不变代数曲线的紧分支构成过原点的同宿环的充要条 件是i c i 、，l c f 3 1 特别地，当c = 0 时，双参数系统退化为一类单参数对称可积系统，而考虑的 单参数系统均退化成最简单的h a m i l t o n 系统当c = l 时，得到一系列过非双曲 奇点o ( o ，0 ) 的同宿环 应用旋转向量场理论，对由四次不变代数曲线构成的同宿环的分枝系统进行6 扰动，使同宿环分支出极限环，并随参数6 的变化消失于细焦点求出各系统的 h o p f 分枝值如下： e z 的h 。p f 分枝值矿= 两 鼍 挈南 岛1 ，易4 的h o p f 分枝值扩= 南 历2 的h o p f 分枝值矿= - ( - i + s ) s ( 1 + s ) ( 一1 0 s 一1 8 s 2 1 0 s 3 + 8 4 ) ( 1 + 2 s 一 5 6 s 2 1 3 4 s 3 5 8 s 4 1 3 4 s 3 5 8 s 4 1 3 4 s 5 5 6 s 6 + 2 s 7 + s 8 1 1 易3 的h o p f q 枝值矿= 6 ( 一5 + c ) c ( 5 + c ) ( 一7 5 2 6 c 2 + 5 c 4 + ( 5 5 c 2 ) x 2 2 5 - 1 8 c 2 + c 4 ) ( 1 6 8 7 5 + 6 1 4 2 5 c 2 + 1 2 9 1 2 c 4 3 9 0 8 c 6 + 2 5 3 c s 一5 c l o + ( 一1 1 2 5 + 2 1 0 0 c 2 + 2 1 0 8 c 4 2 0 8 c 6 + 5 c 8 以丽= 两：q 刁) ) e 2s 的h 。p f 分枝值6 + = 爵警笔窘鹅 昂的h 。p r 分枝值扩= 矿j 享乏每穹焉峰毫专芝苦茜些 历。的h 。西分枝值扩= 西干音亨竿丢鼍专兰雾；笼竽主为条 风1 的h o p f 分枝值6 + = 3 c ( - 2 + 3 c 2 ) ( 一3 + , 9 1 8 c 2 + 1 3 c 4 ) ( 2 7 2 7 c 2 + 2 4 c 4 2 c 6 + ( 一9 + 2 4 c 2 + 1 0 c 4 ) 、可= 1 百孑1 面) ) 一1 蜀2 的h o p f 分枝值矿= 一等c ( 2 + 2 7 c 2 ) ( 3 + 3 c 2 一, 5 撕f 1 丽q = _ 而孑) ( 一2 1 i v 堡塞堡苎奎兰窒墼塑堡圭兰堡丝苎 1 0 8 3 c 2 7 4 2 8 c 4 一+ 1 1 3 4 c 6 + ( 7 、3 土4 4 、3 c 2 + 1 6 2 、3 c 4 ) 、3 1 4 c 2 + 1 8 3 c 4 ) - 。 e 4 3 的h o p f f r ) 妣扩= 翥端 e 44 的h o p f 分枝值扩= ( 一3 + c ) c ( 3 + c ) ( 一2 - 1 - c 2 ) ( 7 + c 2 ) ( 3 + 3 c 2 一x 2 2 5 - 1 8 c 2 + ) ( 4 0 5 + 3 3 2 1 c 2 + 1 5 3 1 p 一1 9 3 9 c 6 + 4 2 4 c s 一3 0 c l o + ( 一1 3 5 6 c 2 + 6 2 3 p 一1 7 6 c 6 + 1 4 c 8 ) 、互虿可= _ 暖e j 干了) ) 一1 b - 的h 。p f 分枝值6 = 与暑 是多车铲 b 。的h 。p f 分枝值扩= 专暑 鲁拳车字 岛。的h 。一分枝值扩= 磊干毫亨丢鼍车譬券芝专 芝苦赛掣 v 第l f 譬绪论 1 1 背景 第1 章绪论 近年来，在研究分枝问题和混沌现象时，对同异宿环( 在平面情况下即分界线 环) 的研究引起专家们的广泛兴趣和普遍关注 1 - 1 1 , 4 6 , 5 0 】围绕对同宿轨线的研究主 要包含以下几方面的内容：( 1 ) 同异宿轨线、同异宿环的存在性和稳定性( 2 ) 扰 动后系统的鞍点的稳定流形和不稳定流形的相对位置及分支出极限环的个数与稳定 性 探求同异宿轨线的存在性问题采用的最简单的方法是从h a m i l t o n 系统出发去 讨论问题因为对h a m i l t o n 系统确定同异宿环是否存在基本上是一个解析几何的问 题，相对较好研究；第二个方法是人为构造例子 1 2 - 1 4 】，在构造例子的方法中比较有 效和重要的一种方法是对系统 ? 。? 了9 且，) 选择一个适当的函数f ( 茹，可) ， ly 2 v o ( z ，口j 使f ( x ，y ) = 0 的一部分轨迹表示一条过鞍点的闭曲线l o ，且r + 日= f b ， 其中b ( x ，y ) 是闭哇l l 线所在区域及其领域内正则的函数，则可断言系统e ( o 存在 分界线环l o ，若l o ：f ( x ，y ) = 0 是e ( j ) 的分界线环，则可断言l o 也是系统 ；= q o p o ( ( z z , ，y ) ) + + f f p q l 。, 毋的分界线环，此结论较易可得第三个方法是讨论特 定系统的分界线环，如讨论二次系统、三次系统的三次四次甚至更高次的曲线构成 的分界线环，用此方法也可获得丰富的例子1 1 5 - - 3 2 1 其次对于同异宿环的稳定性研究，通过几十年的不懈努力得出粗情形及临界情 形下分界线环稳定性的判据【3 3 l ，第二临界情形中l o 的稳定性判别仍然在探讨之中 考虑系统 器= r ) + c p , ( z ，) ，f 1 雾：q o ( 刚) + e q 。( 舢) 系统岛含有分界线环l o ，当o 0 时为结点，记为n ；a 0 ，q 0 时为鞍点，记为8 ( i i ) 当p = 0 时，为非双曲奇点，即中心，记为c 2 ：高阶奇点( 复合奇点，q = 0 ) 系统e ( 1 ) 的右侧加上非线性项后各类奇点附近轨线的拓扑结构和定性结构如 何参见文【4 5 】的详细介绍 二、平面闭轨或极限环存在( 不存在) 的判定准则 4 2 - 4 9 l 定理1 1 ( p o i n c s r e 环域定理) 设g 是由内外边界曲线r 1 和r 2 围成的环 形区域，当t 增加时，系统的轨线在r l 和r 2 上都是由外向内r 由内向外 且在g 内没有奇点。则在g 内至少存在一个外侧稳定r 或不稳定) 极限环和一个内侧稳定 r 或不稳定j 极限环 定理1 2 ( d u l a c 准则) 设在单连通区域g 中，系统的向量场化驯有连续 偏导数，并存在连续可微函数b ( z ，) ，使得暑暑1 l ! 甓丑保持常号，且不在g 的 任何子区域中恒等于以则系统在g 中无闭轨 三、不变代数曲线的的定义及一些性质 定义1 3 n 次实多项式系统： 肇= p n ( 训) ，同 i 穿= q 。( 舢) “ 的不变代数曲线是c 2 中一些满足f ( x ，y ) = 0 ，其中f ( x ，y ) 为关于z ，y 的多项式， 且它满足b a s i n s 公式：b p n + b q 。ef 厶l 为的x ，y 次数不高于n 1 的多项 式，并称l 称为协变因子此代数曲线的次数就是多项式的次数 定义1 4 代数曲线f ( z ，y ) = 0 称为通有。如果它的最高次项没有重因式 下面给出叙述不变代数曲线性质的三个命题； 命题1 5 若c = 0 为不变代数曲线，且c = d e ，d 为不可约多项式，则d 也是不变代数曲线 证明：c = 0 为不变代数曲线，q p n + g q 。三c l ，又c = d e ， 。( 仇e + d b ) p n + ( d v e + d 岛) q 。三d e l ，整理可得 ( 珥r + d v q 。) e = d ( e l 一忍p n 一日q 。) ，又e 不可约， e e l b p n 一日q 。，设e l 一忍r 一日q 。= l 。e ， 则d 。p n + d 。q 。= d l + 命题1 6 若c 是次不变代数曲线g 的最高次部分，则c 的一切线性 因式都是( z q 。一! ，p n ) 的最高次项的因子 3 福建师范大学宋秀娟硬士学位论文 证明t 设( 。q 。一! ，r ) 的最高次项的因子为x q “一掣p ，c = ( a x + y ) d ， 则o p ”+ q ”= 0 在a x + y = 0 上，从而 z q ”一s ，p “i 一+ p ：0 = q ”+ a z p “l a x + v ：0 = z ( o p ”+ q “) i + ：0 = 0 命题1 7 若二次系统有四次代数曲线解，则它必非通有，从而它的最高次项 必有重因式 四分支理论中的一些概念和定理 4 2 - - 4 9 】 定义1 - 8 如果向量场的轨线的a 极限集与u 极限集都经过某一鞍点，则该鞍 点和轨线构成系统的同宿环；此时鞍点称为同宿点，轨线称为同宿轨 定理1 - 9 系统e ( 1 ) 为分枝系统似结构不稳定j 的充要条件是下列条件之一 成立： ( 1 ) 存在非双曲奇点； ( 2 ) 存在非双曲闭轨； ( 3 ) 存在同宿或异宿轨线 为了较详细地说明当分枝出现时平面系统的拓扑结构的变化情况，我们讨论含 单参数“r 的平面自治系统t 津勰：；j 耳 设肛。是一个分枝值由定理1 9 ，系统玩的分枝可分为三大类； 1 与奇点有关的分枝： 设当p = ，o 时系统玩有非双曲奇点( z o ，珈) ，令a 为p = p o 时此系统在 ( z o ，2 y o ) 处的线性化矩阵 ( 1 ) 若a 有零特征值，则有高阶奇点分枝如当卢 肛。时有一个鞍点和一个结点，这种分枝称为鞍结点分枝 ( 2 ) 若a 有一对纯虚特征值，且当p = p o 时，( z o ，y o ) 是系统耳的细焦点。 则当p 从p o 向某个方向变化时，就有可能从奇点产生极限环，这种分枝称为h o p f 分枝 ( 3 ) 若a 有一对纯虚特征值，且当p = 肛。时，( z o ，珈) 是系统目的中心，即 在( x o ，y o ) 的附近全是闭轨，则当肚变化时。就有可能从其中的某些闭轨分支出极 限环这种分枝称为p o i n c d r e 分枝 2 闭轨分枝t 4 第1 章绪论 当p = p o 时，系统瓯有非双曲闭轨r ，此时是多重环则当p 变化时，就有 可能出现闭轨消失或变为多个闭轨的现象，这种分枝称为多重环分枝如当p = 芦。 时，系统五0 有一个二重半稳定极限环，p 肛。时有两个极 限环。当肛一p 古时，这两个极限环趋于一个环这种分枝称为二重半稳环分枝 3 同( 异) 宿轨线分枝： 当p = p o 时，系统b 有同( 异) 宿轨线，则当p 变化时，此同( 异) 宿轨线可 能突然破裂分支出极限环，这种分枝称为同( 异) 宿轨线分枝 定理1 1 0 设系统有过唯一鞍点的分界线r o ，且过的另两条分界线位 于f o 的外部若p 1q 为一次可微函数，且在n 点有j o i p - t - 筹 o ) ，则y o 为 内侧稳定( 不稳定) 定理- 系统 菱三舌譬：蓦j 关于口构成旋转向量场的完全族，f o 是系统的过鞍点n 的分界线环若在n 点有业謦出+ 丝冬笋皿 o ) ，则当 a 从o o 向适当方向变动时，在r o 的内侧临近将产生系统的唯一的稳定( 不稳定) 极限环。而当。向另一方向变动时q 消失，且在其邻域内亦不存在极限环 五、二次系统的一些性质 命题1 1 2 二次系统的闭轨线内部只能有一个焦点或中心； 命题1 1 3 二次系统的闭轨或仅过一有限或无限奇点的奇闭轨必为严格凸闭 曲线： 命题1 1 4 二次系统若存在两个同宿环，i l , j 它们不能共有一个鞍点； 命题1 1 5 二次系统最多可以有三个指标为+ 的初等奇点。但其中最多只能 有两个是焦点型的； 命题1 1 6 二次系统的奇闭轨线上若有三个有限远鞍点，则它必是以这些鞍 点为顶点的三角形，内部为中心区域； 命题1 1 7 任一直线与二次系统的轨线最多只能有两个切点他括奇点、有限 远或无穷远j ，否则，此直线本身由轨线组成其逆，任一积分直线若不是充满了奇 点，i l , l 其上有限远奇点最多只能有两个； 命题1 1 8 任一直线三与二次系统的任一轨线，y ( 7 0 ) 最多只能有一个切 点； 命题1 1 9 设二次系统有四个有限远奇点，如果以它们为顶点的四边形是凸 的，则两个对顶的奇点是鞍点。另两个对顶的奇点是非鞍点如果四边形是凹的， 则三个外顶点是鞍点一# 鞍点j ，而一个内顶点是非鞍点触点j 5 福建师范大学宋秀娟硕士学位论文 第2 章二次系统的四次不变代数曲线 2 1 四次不变代数曲线的拓扑分类 考虑具有双曲鞍点的平面二次系统t 妻三黜 其中p o ，q o 为z ，y 二次实系数多项式 不失一般性，可作如下假设； s 1 ：坐标原点为双曲鞍点，平面的 o ，1 ) 方向上的无穷远处有一奇点； 岛：原点的局部稳定流形与局部不稳定流形和两直线z 2 一y 2 = 0 在原点相切； s 3 ：系统连接原点的同宿轨若存在，则它位于下面区域t d = ( z ，y ) 10 i y i z 0 ， 1 1 2 6 】 证明：( 略) 作p o i n c h r e 变换：茹= 等，可= 乏1 ，d t = z d t ，系统化为 馨dv：_：(一一b3v，3+-4-(a1+b2)v。)2cz v z + b b 2 vb 3 v + a 2 + 日。 + a 3 】 ( 3 ) 【筹= z ( 一一 t + + 2 ) ” 引理2 2 若系统r 纠有过原点的同宿环，记为h o c ( o ) ，且o a 是方程h ( o ) = b a 0 3 + ( a 1 + b 2 ) 目2 + ( a 2 + b 1 ) p + a 3 的实根，则1 0 1 l 1 ，则 h o c ( o ) n ( x ，”) i z = 口l ) 有两个点，其中一个为原点0 ，另一个记为r 因为在同 6 第2 章二次系统的四次不变代数曲线 宿环内部的每条轨线都是盘旋或闭合的，故在o r 内部至少有系统的一个切点或奇 点由性质2 知直线z = ，口- y 是系镇的不变直线，同样与系统有h o c ( o ) 矛盾 引理z 3 4 1 】g = 一( 二_ ) 一1 o ， 0 i i o ，日3 = 一黼( 一1 ，1 ) 即p ( 三。0 1 ) p 。( 三。一2 ) = m1 b 一1 如) g 也就是g 是二阶可逆 矩阵群的子群 其次，构造，：p ( 一1 p - 1 0 ) 一( p ，既则，是g 到m 的同胚映射，其中m = ( no ) l p 0 ，i o l 例一1 ；当例 2 时，口 譬，及引理2 1 可得各曲 线族除了毋2 ( x ，y ) = 0 , f 4 1 ( z ，y ) = 0 , f 4 2 ( z ，y ) = 0 这三类曲线族的参数范围分别 为i 1 ( 一5 + 侮) s ( 5 + 俩) ，l cj 据， ；，其余曲线族的参数范围均为 0 c 1 第2 章二次系统的四次不变代数曲线 2 3 各类四次不变代数曲线图 一、曲线族f 1 1 ( z ，y ，c i a ) = 0 ( n 一1 ) 的图形 f h 假设各类四次不变代数曲线中的参数l c l 1 ，又当c 0 时，在各系统中令 z = 虿，y = 一可，t = 一i ，c = - - 5 ，则所得新系统的形式不变，从而只须讨论c = 0 及 0 c 1 的情况。为了便于比较我们也给出了c = 0 的情况 当0 c 1 时，四次不变代数曲线图像均是关于c 连续形变的，以下取c = 作为代表画出图像 要分析曲线性质，可利用曲线与直线y = k x 的交点情况来刻画，从而考察方 程f ( x ，k x ，c ，) = 0 解方程组扎n ( 一俐扎咖) _ 与群户拈。 【y = k x 得到关于z 的非零解： x 1 22 其中 ( 6 - - c 2 ) 【( 1 + q ) ( 2 + o k ) 士、，f 干石了丽1 i 歹无玎i 二1 西可网 札。一坐生竿高等型 特别地： 1 ：当c = 0 ，此时系统化为： 象d x ：= z y ( 。1 - 血也x ) , 萨 f 1 。( 删，吣) = 。一。一生产z 。+ 盟一z a = o 2 ：当c = 1 ，此时系统化为： 妻三芝牮) _ 2 妒1 象= 茁。一靶芦一z 妒 f 1 。( 刚，1 ，q ) “一。一坐产扎坐芦z 。+ 丝掣一= 0 福建师范大学宋秀娟硕士学位论文 当c ，口取不同的范围时，类似文【3 0 】中方法分析曲线性质，进而画出不变代数 曲线f 1 1 ( z ，y ，c ，0 1 ) = 0 在p o i n c d r e 圆盘上的图形见图2 3 1 和图2 3 2 ( 其中阴影部分表示曲线与直线y = k x 无交点区域，加黑曲线为不变代数曲 线，加粗曲线为不变直线以下同) 徕a 蜷y 1 n 0 仪斧 渺 n分 0。 口= 0 必分 渺 仪沁 翅拶 0 口 1 仪铲 边渺。 a = 11 a 2a = 2 仪翰 憋渺 图2 3 1 ：系统蜀1 当c = 0 的不变代数曲线图 g r a p h 2 3 1 t h eg r a p ho fi n v a r i n ta l b r a l cc u r v eo fs y s t e me 1 1w h e nc = 0 第2 章二次系统的四次不变代数曲线 糜 氏 给 嵯岁 1 口 0 a9 奴 c 口2 6 褪分 怒莎 4 4 + c 2 丽勺 丁 舔 嵫妙 a = 0 仪分 辽拶 c 24 i 勺 丽 叙分 邋泌 4 + c 2 a2 一 2 厥9 屺 o 口 一2 图2 3 2 ：系统e t 1 当0 c 1 的不变代数曲线图 g r a p h 2 3 2 t h eg r a p ho fi n v a r i n ta l b r a i cc u r v eo fs y s t e me 1 1w h e n 0 c 1 二、曲线f ( x ，y ，c ) = o 的图形 采用类似于对曲线f l ( z ，y ，c ，0 1 ) = 0 的分析方法，可作出其它十五种含单参 数地系统中四次不变代数曲线f ( z ，y ，c ) = 0 的图形 福建师范大学宋秀娟硕士学位论文 特别地，当c = 0 时，各系统均化为简单的哈密顿系统 像 此时不变代数曲线退化为三次曲线f ( x ，! ，) = z 2 一y 2 一i 2 。3 见图2 3 3 图2 3 3 ：系统e ( x ，y ，0 ) 的不变代数曲线图 g r a p h 2 3 3 ：t h eg r a p h o fi n v a r i n ta l b r a i cc u r v eo fs y s t e me ( 。，y ，0 ) 当c = 1 时，各系统均化为如下简单形式，各四次不变代数曲线图形见图2 3 4 1 系统e 1 2 ( z ，y ，c ) 退为系统e 1 2 ( 茁，y ，1 ) ： j ，赛鄙怕札2 + 3 列， l 象= 盘+ 可一z 2 + x y + 4 y 2 易知系统的四次不变代数曲线f 1 2 ( z ，y ，1 ) = 0 退化为不变直线y = 土。 2 系统e 2 1 ( 。，y ，c ) 退为系统e 1 2 ( z ，y ，1 ) ： j 靠= ( z + 掣) ( 1 一凇 i 象= ( z + 秒) ( 1 一z 一泓 从而y = 一。是此系统的奇直线，z = 4 是不变直线，四次不变代数曲线为 r 1 ( 刚，1 ) = + 可) 一可一x 2 + 去z 3 ) = o 3 系统易2 ( z ，y ，s ) 退为系统易2 ( 卫，y ，= 4 专乎) ： j ，酝= z + 可+ 2 紫一+ 警x y ， i 象= x + y x 2 一峄x y + 学可2 四次不变代数曲线为如2 ( 。，y ，= 5 专垣) = 去( 7 2 6 x 2 7 2 6 y 2 + ( 8 8 丽一1 0 5 6 ) x 3 + ( s 9 4 1 9 8 q 3 3 ) x 2 y + ( 3 0 v 俪一1 2 6 ) 2 ；3 9 + ( 9 9 9 丽) 9 4 ) = 0 4 系统易3 ( z ，y ，c ) 退为系统易3 ( z ，y ，1 ) ： 面d x = o + ) ( 卜泓 l 家= ( z + ) ( 1 一z 一狲 从而y = 一z 是此系统的奇直线， z = 3 是不变直线，四次不变代数曲线为 f 23 ( x ，y ，1 ) = ( z 一3 ) ( 。+ y ) ( 3 y 一3 x + 2 x 2 ) = 0 5 系统岛4 ( x ，y ，c ) 退为系统易4 ( z ，y ，1 ) ： 箭= ( z + ) ( 1 一融 l 象= ( z + f ) ( 1 _ 。一新 从而y = 一z 是此系统的奇直线，z = ；是不变直线，四次不变代数曲线为 足“砌，1 ) = 而1 ( z + 州z 一一矿2 3 + 未5 x 3 + 匆+ 嘉2 ) = o 6 系统e 25 ( x ，y ，c ) 退为系统e 25 ( z ，y ，1 ) ： 象d x ：= z x + + ，y 。+ 2 x y 均, ： 易知，y = 士z 是此系统的不变直线 7 系统肠1 ( z ，y ，c ) 退为系统e 3 1 ( z ，y ，1 ) ： j ，塞2 ( z + ) ( 1 + 拟 【象= ( z + ) ( 1 一。一狲 从而y = 一z 是此系统的奇直线，z = 一3 是不变直线，四次不变代数曲线为 尼l ( z ，y ，1 ) = 一( z - i - ) ( 一9 z + 3 x 2 + 。3 + 9 y + 6 x y + x 2 y ) = 0 8 系统e 3 2 ( z ，y ，c ) 退为系统局2 ( z ，y ，1 ) ： 等2 = 2 x z + + y ! ，- 一x z 2 2 - + 。x 茁y 9 + ；，。 易知，y = 。是此系统的不变直线 堡塞堡苎奎兰童塞塑堡圭兰堡丝塞 9 系统目。( 茁，可，c ) 退为系统日。( z m 压) 四次不变代数曲线为r 1 ( z m 锈) x 2 - - 口2 一巧1 8 。3 2 缓z 2 可一石3 6 z 可2 一j 筹z 3 可 一豁z 蛐y 一鑫z 4 = 0 1 0 系统日2 ( x ，y ，c ) 退为系统目2 ( z ，y ， ) ： 易知，y = 一z 是此系统的奇直线，四次不变代数曲线为 只2 ( 。，y ，；) = ( 一5 + 3 。) 2 ( $ 2 9 2 ) = 0 1 1 系统日3 ( z ，y ，c ) 退为系统e 4 3 ( z ，y ，1 ) ： 等22 z - - + x 2 一( i ；- z 一；可。 知，y = 一z 是此系统的奇直线，四次不变代数曲线为 f 4 3 ( 茁，y ，1 ) = + ) ( 一6 + 3 x + g ) ( 一3 x + 2 x 2 + 3 y ) = 0 1 2 系统e 4 4 ( z ，y ，c ) 退为系统e 4 4 ( 茁，y ，1 ) ： 像2 絮 相应的四次不变代数曲线与情形1 1 相同 1 3 系统b l ( x ，y ，c ) 退为系统e 5 l ( x ，y ，1 ) ： 淫荨囊孰扩 旷 驰一曲 玑 一 。 掣 碍峰 矿 一 蝉属 可+ 茁 z据卜 = i l 出面句面，、l 匆 玑+ 扣叫 。一毛扣扣 一 + 可2 蚪 叫 1 3 z = = 出荔 ，f、【 易知，y = 一。是此系统的奇直线，z = 4 是不变直线，四次不变代数曲线为 r 1 ，y ，1 ) = z 2 一y 2 一；z 3 + 嚣3 7 2 2 y + 丽1 4 5 x y 2 + 蕞可3 一击z 4 + 袅z 3 y 一瓮z 2 y 2 + 丽1 2 5z 3 一丽6 i 2 西5 可4 = 0 1 4 系统e 5 2 ( x ，y ，c ) 退为系统最2 ( z ，y ，1 ) ： 易知，y = z 是不变直线 1 5 系统e 5 3 ( z ，y ，c ) 退为系统屁3 ( x ，y ，1 ) ： 瑟d x ：二要1 6 ：2 主曩，。 易知，y = z 是不变直线 久分 k 1 2 ，2 5 r，卜 (桫 气。小 心。秒 2 1 尺价 (炒 2 4 a 勿体 切梦 2 2 s = 尘4 堕 很0 划 3 1 1 2 玑+ z 5 6 z 什店 z 2 7 6 z 一 一 + + z z = | | 如荔 ，、【 福建师范大学宋秀娟硕士学位论文 厂分 。 1 2 3 2 雳 留黟 2 3 糜 烟今。 。k = 店 傣趴 地剿岁 5 1 人分 渺 4 2 c = 三 3 厂夕 义。 5 2 ，5 3 系统e ( z y ，c ) 当c = 1 的不变代数曲线图 p ho fi n v a r i n ta l b r a i cc u r v eo fs y s t e me ( x ，y ，0 ) w h e n c = 1 惩诊 切梦 2 1 瓜镑 切矽 2 4 惩历 叼 2 2 仅a 垅y 2 5 一 h