（基础数学专业论文）中立型泛函微分方程的周期解.pdf

摘要 本文主要讨论几类中立型泛函微分方程的周期解存在性全文 共分三章 第一章介绍了中立型泛函微分方程周期解的背景知识，并介绍 本文主要结果 第二章利用重合度理论，讨论了含有变时滞的两类二阶中立型 泛函微分方程： 厢 翥i k ( t ) 一k x ( t r ( f ) ) 】= ，( z o ) ) 士( ) + g ( t ，z ( z ( t ) ) ) + p o ) 翥i p ( t ) 一无o 一7 - ( t ) ) 】+ q ( t ) ，( z ( ) ，壬。一，岛( t ) ) ) 一 f = l m + 岛( t ) 9 ( 。( t 一竹( t ) ) ) = p ( t ) 周期解存在性问题，得到了周期解存在的充分条件 第三章利用不动点定理讨论了一类具有分布时滞的退化中立型 微分系统： f ( t ) 芸陋( t ) + b ( s 沁。+ s ) d 叫= a ( t ) z ( t ) + ，( t ，耋。一r ( t ) ) ) 的周期解，得到了周期解存在的充分条件 关键词中立型微分方程；周期解； 不动点定理；退化 a b s t r a c t t h i st h e s i si sc o n c e r n e dw i t hp e r i o d i cs o l u t i o n so fn e u t r a lf u n c t i o n a ld i f - f e r e n t i a le q u a t i o n s t h et h e s i sc o n t a i n st h r e ec h a p t e r s c h a p t e r1i n t r o d u c e sr e s e a r c hb 旋k g r o u n d so fp e r i o d i cs o l u t i o n so f n e u t r a l f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n dt h em a i nr e s u l t so ft h et h e s i s ： i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h ef o l l o w i n gn o n l i n e a rn e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r - e n t i a le q u a t i o n s ： 象一h ( t r i t ) ) 】= m ( 。) ) 圣( t ) + 9 ( 厶z ( 。( t ) ) ) + p ( ) 象川二h ( 2 一删】+ i = i 啦( ) “z ( 力，圣( 一雎( 功) ) m + f l j ( t ) g ( x ( t 一( t ) ) ) = p ( t ) i = 1 b yu s i n gt h ec o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y , w eo b t a i n t h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i c s o l u t i o n s ： t h ef i n a lc h a p t e rc o n s i d e r sp e r i o d i cs o l u t i o no ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hd i s t r i b u t e dd e l a y ： e ) 差+ 仁b ( s ) z ( h s ) 矧= a ( t ) 。( ) + ，茹( t 一俐) s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e db yu s i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e m k e yw o r d s ：n e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；f i x e d p o i n tt h e o r e m ；d e g e n e r a t e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名签字曰期：年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解有关保留、使周学位论文的规定 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 签字日期：年月 日 学位论文作者毕业去向： 王稚肇位： 通讯地址： 导师签名： 签字日期：年月 日 电话 邮编 第一章绪论 第一章绪论 自2 0 世纪以来，无论是一般的泛函微分方程还是具体的微分差分方程， 其发展都非常迅速，在每一分支中都形成了一套完整的理论体系在许多科学 领域的研究中，例如生态学，光学控制，物理学、通讯理论，经济分析、流行 病等等，关于微分方程的稳定性，有界性、振动性、周期性等方面取得了许多 较好的结果，而其中周期解问题一直是微分方程理论的重要分支，在理论上和 实际应用中都有着非常重要的意义 在泛函微分方程中，中立型方程是一类形式相当广泛的泛函微分方程， 而且有着很广泛的应用背景，j k h a l e 、郑祖庥等学者的著作中给出了许多 应用实例例如：在高速计算机连接开关电路的无损耗传输线网络中的数学模 型 。 ( u ( t ) 一k u ( t r ) ) = ，( u ( t ) u ( t r ) ) 就是一个中立型方程，有着其实际应用背景 近年来，对二阶中立型方程的讨论已有很多结果，但都仅限于对方程中的 r 为常数的情形进行讨论。而在本文中我们对二阶中立型方程中的r 为t 的函 数的情形进行讨论，考虑方程： 象陬) 一州t 一巾) ) 】= m ( 踟础) + 如，m ( 枷) + p ( t ) 1 李蕾t 中立型泛函镦分方程的周期解 嘉) 一吲t - r ( ) ) 】+ 差邮) m ( t ) 崩t 哨( t ) ) ) l = l + 岛( t ) 9 0 ( t 一( t ) ) ) = p ( t ) j = l 得到了周期解存在的充分性条件 退化系统是h h p “l s e l lb r o c k 在讨论复杂的电网络系统时，首先提出的 此后，人们在航空工程，化工系统，经济系统等领域的研究中，都发现了退化 系统，这类系统模型在处理多目标，多层次，动态与静态相结合的系统时，具 有重要作用最优控制，反馈控制的数学模型大多都是退化系统但是迄今为 止，研究工作主要限于常微分系统的情形，或者说没有顾及广泛存在的至关 重要的时滞的影响，而时滞在客观世界中是经常发生的可见，研究退化时滞 微分系统具有重要意义 在退化时滞系统( 亦称广义时滞系统) 的研究中，周期鼹问题一直是一个 较为困难的问题关于退化滞后型系统的周期解已出现了少量的研究工作， 而关于退化中立型系统的周期解，目前结果很少文本将讨论一类退化中立型 微分系统 e 。) 丢k ( t ) + 二b ( s 净( t + s ) d s 】= a 。净( t ) + ，( 以z p r o ) ) 周期解的存在问题 2 第二章舍有变时浠的二阶中立型瑟函微分方程的周期解 第二章含有变时滞的二阶中立型泛函微 分方程的周期解 本章利用ma = w h i n 的重合度理论中的延拓定理讨论了一类具有状态依赖 时滞的二阶中立型微分方程的周期解 2 1引言与引理 近几年关于二阶中立型泛函微分方程的周期解问题已被广泛关注运用 延拓定理对其有时滞的微分系统的周期解的研究已有了一些结果但对二阶 中立型微分方程周期解的讨论很少，已有的关于二阶n f d e 讨论的结果都是 在二阶导数量o r ) 中的时滞r 为常数的条件下进行讨论，如下列两个方程 隆4 1 ； ( t ) = 七童( t f ) + ，( z ) ) 士十g ( t ，。( 卫( t ) ) ) 嘉阻( ) 一u ( t r ) 】= ，( u ( t ) ) 吐( t ) + z ( t 岫( u ( t ) ) + 妻岛( t 细。一竹( t ) ) ) + p ( t ) ，= l 在这两个方程中，t 都是常数当r 为t 的函数，即变为r ( ”时，方程的周期 解将很难讨论主要原因有三：( 1 ) 线性算子l 的象i m l 不易确定；( 2 ) 非线 性算子n 在闭集豆中l 紧难于判断；( 3 ) 周期解的先验界估计比较困难在 李蕾t 中立型泛函微分方程的周期解 本章第二节将对下面的二阶中立型n f d e 的周期解存在性进行讨论 墓；陋( t ) 一k z ( t r ( t ) ) 】= ，扛( t ) ) 圣( t ) + 9 ( t ，( z ( t ) ) ) + p ( t ) ( 2 1 1 ) 其中，c ( r ，r ) ，g g ( 舻，咒) ，p ( t ) c ( r ，用，r ( t ) c 2 ( r ，r ) ，女r 为常 数，用延拓定理和新的分析方法，得到了关于方程( 2 1 1 ) 的周期解存在的新 结果 条件( h ) ，c ( r ，r ) ，9 c ( r 2 ，冗) ，p ( t ) c ( r ，r ) ，r ( ) c 2 ( r ，兄) ， ，0 + 刃= ，( t ) ，g ( t + 正。) = g ( t ，砷，p o + = p ( ) ，r 0 + t ) = r ( t ) ，口p ( t ) d t = 0 a 半，7 j ( ) 0 为常数 在条件( h ) 成立的条件下，t r ( t ) 的反函数存在，记为p ( t ) 为方便 起见，给出一些记号如下： 丁1 l = 。s r a t i 曼n t 一( t ) ， n 2 = 。m s t a s x t 一( t ) ， r 2 = 。m 三c a 三x 1 i z c t ) 由r ( t ) 是t 周期的知，7 1 1 0 使得i g ( t ，8 ) f 茎a + 卢1 8 1 ，v ( t ，8 ) r r ，且s g ( t ，s ) 0 或s g ( t ，$ ) a ，t 1 0 ，刁； ( i i i ) i k l 南且t l k l r ：+ ，t 2 + m t + 上墨惮 1 则方程( 2 1 1 ) 至少存在一个t 周期解 证；令x = $ c ( 月，r ) l z o + t ) = x ( t ) ) ，y = g c ( r ，r ) l y ( t + t ) = y ( t ) ，定义0zi i = m a x * ，o 。) ，其中h w = m a x 蚝【o 卅陋( 砒吲。= m a - x t e i o , 1 , li 壬( t ) l ，0 i l _ m * = m a x t e i o ，卅l y ( t ) 1 则x ，y 都是b a l 础空间 令l ：d o t a l = 俨( r ，r ) n x y ：。寸l x = 墨；陋( f ) 一k x ( t r ( t ) ) 】 显然l 是线性映射现在讨论k e r ( l ) ： 设z k e r ( l ) ，则工z = 喾r k ( t ) 一k z ( t r ( t ) ) 】= 0 ，z ( t ) 一k x ( t r ( t ) ) = c l t + c o ， 其中c l ，c o 为常数 由z x ，知z ( t ) 一k x ( t r ( t ) ) 也是t 周期连续的 得c l = 0 及x ( t ) 一k z ( t f ( t ) ) = c d ，冗 x ( t ) = c o + k x ( t f 0 ) ) = c o + k x ( g ( t ) ) = c 。( 1 + k ) + 2 。( g ( g o ) ) ) = 7 车蕾：中立型泛函微分方程的周期解 ：c 0 1 1 - - k r m - 4 - m z ( 。( 幻) 2 c 0 1 = f 。i m i 钟j 由i k l 南知i k l 1 ，令m _ o o ，得喾( ) = 惫= c r 反之， v z = c r ，工z = 0 即z k e r ( l ) 贝0 k e r ( l ) = r ，d i m ( k e r ( l ) ) = 1 下面我们讨论i r a ( l ) ： 设y ( t ) i m ( 三) ，则孔d o m ( l ) n x ，使 工。：丢) 一吲t r ) 】= 船) ， 则 f 绯肛帅印叭rf 北肛咄 反之，v y 协：g k 磐y ( t ) d t = o ，下证3 。d o r a ( l ) ，满足： ( 圳= 暴阶) 一州卜r ) 】_ 绯) 令。 m ) 兰r ( 尉岫) 幽一i 厶f t 【五f s 咖) d t ) d s 易知z ( t ) c 2 ( r ，r ) 且是t - 周期的，少( t ) = ( t ) 构造级数。( t ) + 置驴z ( 丸( 呦o 矗) ，其中k ( t ) 誓上定义由 南sj 且z ( t ) 是t 周期 的知这个级数一致收敛 令x ( t ) = z ( t ) + 墨l 驴z ( k ( d ) ，由引理2 1 1 知z ( t ) 是t 周期的，且 z ( t ) 一k x ( t r ( t ) ) = z ( t ) ，其中凡o r ( t ) ) = ( g ( t ) ) = a 件l ( t ) 则： ，( t ) + 霎爰女 z ( a i ( t ) ) = 。) + 耋七( a t ( t ) ) x ( d 第二章古有变时带的二阶中立型瑟函微分方程的周期解 舶 o 2 ”( f ) + 象z ( 九( t ) ) = ( ) + 少( 九( ) ) ( o ) ) 2 + ( 九( t ) ) a ? ( t ) 】 = l l = 由k ( 1 一 r 1 1 ) 0 或口a c t ，x c z ( t ) ) ) d t 0 ( 2 2 2 ) 但由方程( 2 1 1 ) 得管g ( t ，茁( z ( t ) ) ) 出= 0 与( 2 2 2 ) 矛盾因此，3 t o 【0 ，t 】， 使协( o o ) i a 由v t 【0 ，司，我们有z ( t ) = z ( t o ) + 尼z ( s ) 如，i x ( t ) l s a + 譬i x ( t ) l d t 则 k i 。a + o r 。( t ) l , t t 由z ( o ) = z ( t ) ，鹫【0 ，卅使得z 他) = 0 ，则对v t i o ，明， ( t ) = 髭z 0 ) d s ，t ：e ( o ls 矗i x ( t ) l d t m 。口矿( 0 1 d 3 ) 9 李蕾：中立型泛函微分方程的周期解 且 由方程( 2 2 1 ) 得 $ i 。a + j 手i 。 ( t ) l d t a + t j j z ”( t ) l a t ， ( 2 2 4 ) z ”( ) 一 z ”( t 一7 r ( t ) ) ( 1 一一( t ) ) 2 + 女。7 ( f r 0 ) ) 一( t ) = 州，( 。( ) ) z ( t ) + 9 ( t ，z 扛( t ) ) ) + p ( t ) 】 i z ”( t ) l i k l l x ( 一r ( ) ) i ( 1 一n 1 ) 2 + i 叫仡i 。i + f z o ) i + 【a + 卢k l o 。】+ 扣i o o 上式两边在【0 ，2 1 上积分得： 口i 出洲1 7 1 ) 2 口帅蝴+ t i f o 。 ( 2 ，2 5 ) + ml j e ( t ) l d t + b l j x l 。d t + t i p i 。 将( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) 代入( 2 2 5 ) 得 ( 1 - i i t 吃一m t 一胛2 ) f f l ( 凇si k l o 一彬口帅一r ( 蝴。( 2 2 6 ) + 8 a t + a t + t l p l o o 下面先讨论岳i z ( t r ( t ) ) l d t ： 令 s = t - 7 - ，p ( ) ) f 出= 魔即矿( s ) i 两南缸 由引理2 1 。一( “m ) 是t - 周期的，则 f o ri x ( t r ( t ) ) i d t = j 丁i j ( s ) i i = ：； i 两d s t 兰毫j 孑l z ”( s ) i r i s( 2 2 7 ) 将( 2 2 7 ) 代入( 2 2 6 ) 得 h 一矿一一峄竽 和i d t a 令q = 和x 川z | a ， b ( t ，z ) l 0 q n z = 亍1 五t ) 圣吲如( 础) ) ) + 删豫= ；f 如，z ) d t # 。 若s g ( t ，s ) 0 ，对矧 a ，定义同伦映射： 丑j ( _ 【，z ) = # x + ( 1 - 1 u ) j q n x = ，口+ 3 口【，忙( t ) ) 士( t ) + g ( ，z 扛( t ) ) ) + p ( t ) 】出， z k e r l n 铀， p o ，l 】 因z ( t ) ig j | $ l i = i z l = ， a ，则z g ( t ，$ ) 0 ，忙( 亡) ) i ( t ) i0 ，且 口p ( t ) a t = 0 则x h l ( 1 _ ，z ) = p x 2 + 字口g ( t ，x ) d t 0 得h , ( i t ，司0 对 z k e r ( l ) n o f t 因此，由b r o w n e r 度的性质，得 d e g ( j q n l 厮，k e r ( l ) n q ，o ) = d e g ( q n , k e r ( l ) nq ，o ) = d e g ( i ，k e r ( l ) n q ，0 ) = 1 0 其中i ：丑_ + r 是恒等映射 1 2 第二章含有变时滞的二阶中立型泛函微分方程的周期解 若为( ，s ) a 定义同论映射： 也吣) = - - d x - - 字f 胁( t ) ) 踯) 吲) ) + p ( 堋d t 类似计算飓( p ，z ) 0 比k e r l n 触，【o 1 】 d e g ( j q n l 嘶，k e r ( l ) n n ，o ) = d e g ( 一j ，k e r ( l ) nq ，o ) = 一1 o 由引理2 1 2 ( 即m a w h i nc o n t i n u o u st h e o r e m ) 算子方程l x = n z 在孬有 解方程( 2 1 1 ) 至少有一个t _ 周期解 证毕 定理2 2 2设条件( h ) 及定理2 2 1 中( i ) ，( i i ) 成立且 吲 杀鲁，掣 l 仆翰+ 卢铲+ m t 则方程( 2 1 1 ) 至少有一个t - 周期解 证：x ，y 及0 。川。k ，川。如定理2 2 1 所定义 l ：d o m l = 俨( 月，冗) n x y ：z + n = 万d 2 陋( ) 一七茁( t r ( t ) ) 1 首先讨论k e r ( l ) ： 设茁k e r ( l ) ，则l x = 象睁( ) 一k x ( t f ( t ) ) 】= 0 如定理2 2 1 类似讨论 知霉0 ) 一k x ( t r ( 磅) = c o 由p ( t ) ，哺( t ) 定义知 z ( t - r ( 圳= 一；c o + 知 z ( t ) = ；1c 0 + i l z ( p ( t ) ) 1 3 李营；中立型泛函微分方程的周期解 印) 一1 吲1 个1 乍1 ( 雠) ) ) 】_ 一；一瞥c o + 击咖) 由条件( 1 i i ) 得南 o ，r 为常数 下面总假设：口p ( t ) d t = o ，v t 【o 研， ，( f ) 1 ，脚( t ) 1 ，- r j ( t ) 1 ( i = 1 ，2 ，m ，歹= 1 ，2 ， ) ，( ，o ) 三o ( v z 冗) 由文献【1o 】中引理，函数t - r ( t ) ，t - t t i ( t ) ，t 一( t ) 分别存在反函数 ( t ) ，毋( f ) ，q ( t ) o = 1 ，2 ，m ；j = 1 ，2 ，n ) 记 n = 。r a t i n 丁下，# ) ， 丸2 = o d l a t x t 彳，( t ) ， r 2 = 。m 三。a s x 。i f ”( 站 则n 1 0 ，0 i 1 2 o ，卢( t ) o ， 0 ，r 3 0 ，k 0 ，d 0 ，使得： ( i ) i i ( x ，掣) ls 岳饥m + 岳k ( v ( z ，耖) r r ) ； ( i f ) z 9 ( ) 0 ，当i 。i d 时；g ( z ) d ； ( i i l l 。当牮= r l r 2 ； ( i v ) t 【您+ 劢l ( 1 + i 譬i o 。) + ( t + m a x 丢，去，) r l r 2 ( 而+ i 譬i o o 劢】+ 】苎! i 署卫 0 ，则存在而( o ，；r l r 2 ) ，使当3 ( o ，如) 时， 耶) 灯+ 阳1 + i 害坩+ 一 老，去) ( 7 1 1 2 ts ) ( 压+ i 譬i o o 两】+ 掣 ( r l r 2 一) 0 ，当z 0 时， 且掣 r l r 2 + ，当z 一p ，r l 0 时 再类似文f 1 0 】分析可得 i z ( f 1 ) i d l m * + d 2( 2 3 8 ) 其中d t = m a x 杂，百1 ，d 2 = p + 等罄 由( 2 3 7 ) 即得 z l s 陋( 1 ) i + j 孑l 一0 ) l 巾d s p ) ， 故有 易= t ：t ( o ，明，z ( t ) - p 历= “：t 【o ，刁，陋( t ) i 力，则由( 2 3 5 ) 知 ( 厶+ 厶+ 厶减加( ) ) 出z r o o ( 罄i + 罢功出 于是由( 2 3 3 ) 知 厶t 刖9 ( 。o 垆手坛+ 扇) 俐g ( 删i 出( 2 枷) + 基j 孑q o ( ) ( i 一( t ) i + k ) d t ( t ) 一z ”( t r ( t ) ) ( 1 一r ( ) ) 2 + k x 0 一r ( t ) ) r ”( t ) + a x i ( t ) f ( z ( t ) ，z 7 一p i ( t ) ) i = 1 n + a 9 j ( t ) g ( x ( t 一( 堋= a p ( t ) 上式移项，取绝对值，并从0 到t 积分，可得： z r i ，( t ) d ts ( 1 - r 1 1 ) 。f ，( t r ( ) ) i 出+ 您t f i + 要上t n 。( 砷( 1 。( f + j r ) 疵+ o t 廓( 力i g ( z ( ”) l d l + t i p i 。 由定理2 2 1 的分析及( 2 3 1 0 ) 式知 ( 1 一t 1 i 吃一掣, j o t i z ”( t ) i 出 丽厶t 咖( t ) ( ( 圳+ k 皿+ ( 丘，+ 厶+ 厶) 岛( 圳g 扫( t ) ) i 疵+ t l p k 委z ? 呻) ( r t 帅砌+ ( 厶+ 厶删m 删陋 + 砷k + i 譬 。五。郎) 9 ( 删出 s i 昙z r 陋。( t ) + l 鲁j o 。n 0 ( 纠( r 。矽( 驯+ 置) 出 第二章 古有变时滞的二阶中立型泛函徽分方程的周期解 一_ + ( 厄+ 如) ( 岛p ) + f 孝f 。o ) ) 沁o ( t ) ) i 出+ t l p l 。( 2 3 1 1 ) 由式( 2 3 9 ) 知 局警i t ( n 瞎r 。糍篇篇瑞笛滥4 - 剐d 2 1 仁s 肥， + ) 佩+ i 譬j 。劭f 翰+ 刃矿幽 p 。“纠 由式( 2 ，3 1 1 ) 及式( 2 3 1 2 ) 可得 ( i - t i i 您一哗警) 和砸) d d t t 阮慨i 铷+ ( r l r 2 + e “聃i 知3 ) ( d l + t ) f o r 矿( t ) j 出 + z k 万+ t 砌害k + 如州r z r 2 + e ) o o + l 鲁l o 。功 + t ( 压+ i 害k 3 ) i 引，+ t 驯o o ( 其中，= 嚣篙叭刮) 于是有 其中 1 1 2 + 1 2 2 + ( 1 一1 1 ) j 孑1 2 ”( ) l 出s 如 ( 2 3 1 3 ) t 乜+ 剪- + 剪“害j * + ( r l r 2q - e ) ( d t + t ) ( 3 0 + j 鲁j m 劲 耻! 二垒1 2 ： 1 t 1 2 t k 3 ( 1 + i 害k ) + d 2 t ( r l r 2 + e ) ( 瓦+ l 鲁i m 劢 ? 佩十f 鲁f 。劢i 9 i p + t f p | 。 由( 2 3 7 ) 式知f l 1 故有f fj z ( t ) l d t s 岛 因此有 i z l o os 口l z 7 0 ) i 出j ：= 矗 ( 2 。3 。1 4 ) 2 1 李蕾r 中立型泛函微分方程的周期解 又由( 2 3 9 ) 式可知 z l o o s ( d l + t ) j ：；t i z ”( t ) l d t + d 2 ( d r + ? ) 士五+ 如：= m q ( 2 3 1 5 ) 易见m o ，尬均为与a ，z 无关的常数 令q = 扛：z x ，陋b m o + d ，l - 一1 0 。 d ，从而 q x = q ( 印，( g 。) 疵一亍1 薹nz t 岛( t 冶( g ) 疵+ ；z ? p ( t ) 疵 岛( t 冶( c ) d t = 一；，( e , o r i 壹= 1 端出 = 一乃( a 0 作盹川= - - i j x - - i 业t j ：n 1 t ( 坝z ( t l 7 j ( t ) ) ) d t 由( 2 3 1 6 ) 式及条件( i i ) 知， 嚣( z ，p ) o , v ( z ，| f ) ( 0 f 讥k e r l ) 【o ，刁 所以d e g j q n ，nnk e r l ，o ) = d e g 日 ，o ) ，q n k e r l ，o ) = 如9 日扛，1 ) ，nn k e r l ，0 一一1 0 故由引理2 1 2 知，方程l x = n x 在蕴上有解，即方程( 2 3 1 ) 存在t - 周期 解 证毕 2 2 f 丁 石z m。岸 一t ，一t 一 一 第二章含有变时滞的二阶中立型瑟函微分方程的周期解 以上在i k l = 去铲情形下也可给出相应的结论，由于此结论形式 与定理2 ，3 1 类似，在此就不细述了 李蕾；中立型泛函微分方程的周期解 第三章一类具有分布时滞的退化中立型 微分系统的周期解 3 1引言与引理 在退化系统中，周期解问题一直是一个较为困难的问题，关于退化滞后型 系统的周期解已出现了少量的研究工作，而关于具有分布时滞的退化中立型 系统的周期解目前尚未见到任何结果本文将讨论一类具有分布时滞退化中 立型微分系统的周期解的存在性问题。文献【1 2 】研究了如下两类退化滞后型 系统的周期解的存在性： e x ( t ) = a x ( t ) + f ( t ，z ( t r ) ) f ( t ) 一o ) = a ( t ) z ( t ) + f ( t ，x ( t r ) ) 其中$ r n ，e ，e ( t ) 酽“，r a n k ( e ) n ，r a n k ( e ( t ) ) 0 为常数，r a n k ( e ( t ) ) n 0 0 卅) ， 矩阵对i e ( t ) ，a ( ) 】全局指标为1 在系统( 3 1 1 ) 中，由于e ( t ) ，a ( t ) 为t 周期 的，陋( t ) ，a ( 明全局指标为1 ，则由文献【1 3 中的定义，存在t 周期函数矩 阵p ( t ) ，q ( z ) e 1 ( r r n “) ，p ( t ) ，q ( t ) 可逆( v t 冗) ，使得 搬咖= ， q ( ) a i t ) p ( o - q ( ：) e ( d p ，( t ) ；f a ( t ) 。1 ，其中 ，屯分别为。及。一。阶 l 0 如j 单位阵，a l ( t ) 舻，“，f i l 与t 无关 对系统( 3 1 1 ) 作变换。( ) = p ( t ) y ( t ) ( 且方程两边左乘q ( t ) ) ，则系统 ( 3 1 1 ) 即被化为 l 岳趴( t ) + ，b 1 ( t ，3 ) f g + 8 ) d 司= a l ( t ) y x ( t ) + y l t ，v ( t r o ) + ，c l ( 岛s ) ( f + s ) 出 ( 3 1 2 1 ) 【0 = 抛( t ) + ，2 ( t ，( t r ( t ) ) ) + ，( b ( t ，s ) v ( t + s ) d s 其中”v 2 1 ( ( t ) ) 、l = ( t ) ，b l ( t ，s ) = ( ，o ) p 一1 ( t ) b 0 ) p c t + s ) ( ( ，o ) 丑“- 。”) ( t ，y ( t r ( ) ) ) = q l ( t ) f ( t ，p ( t r ( t ) ) o r ( t ) ) ) 1 2 ( t ，v ( t r o ) ) ) = q 2 ( t ) f ( t ，p ( t r ) ) ”0 一r ( ) ) ) c t ( t ，8 ) = q 1 ( t ) e ( t ) p ( t ) p 一1 ( t ) 口0 加( t + s ) c 2 ( t ，s ) = ( 玉( t ) e ( t ) j ( ) p 一1 ( ) 8 ( s ) p ( t + $ ) r 口q 2 1 ( ( t ) ) 、j = q ( ) 易见a ( t ，8 ) ，c 2 ( t ，3 ) 关于t 为t 周期的且连续，f t ( t ，口) ，1 2 ( t ，9 ) 关于t 为t 周 期的于是，讨论系统( 3 1 1 ) 的t 周期解存在问题就转化为讨论系统( 3 1 2 ) 的t 周期熊存在同题。 李蕾t 中立型泛函微分方程的周期解 下面主要讨论系统( 3 1 2 ) ，采用的方法是矩阵测度和k r a n o s e l e k i i 不动点 定理 以下用表示向量z = ( x l ，) t 的范数，i i a i i = s u p i 。i # o 斜表示方 阵a 的范数，肛( a ) 表示方阵a 的矩阵测度由文【1 5 】，当z 形的范数分 n n 别定义为1 。i = 1 i 如i ，i x l 2 。( 善霹) ，* 2l m i “ 0 易知，p ( a 1 ( t ) ) 也是t 周期函数。 引理3 1 ( f 15 】) 设y t ) 为( 3 1 3 ) 的基解矩阵，则 y ( t ) y 一1 0 ) i i e x p ( j ：p ( a l p ) ) d r ) ，t s ( 3 1 5 ) 引理3 2 ( 【16 】) 如果p ( 鼻p ( a 1 ( f ) ) d r ) 1 ，则系统( 3 1 4 ) 存在唯一的t 周期解 y 1 ( t ) = j = 乙y ( t ) y 一1 ( s ) g ( s ) d s ( 3 6 ) 第三章一类具有分布时滞的退化中立型微分系统的周期解 引理3 3 ( k r a s n o s e l s k i i 不动点定理) ( 17 】) 设k 为b a n a c h 空间x 中的一 个有界闭凸集，映射f ：k 托及g ：k - 满足 ( i ) v t ，”k ，f u + g v 后； ( i i ) f 为全连续的，g 为压缩的，则f + g 在k 上至少有一个不动点 3 2周期解的存在性讨论 设c t = “c ( r ，l i n ) ：t ( t + t ) = u c t ) ，t 研，定义i = s u p 0 t _ t “( t ) 则( c ra 群，j 1 ) 是一个b a n a c h 空间。 下面研究系统( 3 1 2 ) 的周期解问题。记 啦= s u pl g ( t ，s ) f 0 = 1 ，2 ) ，卢= s u p i i a d t ) l l ， 篡磊 o s 。! t 定理3 1 ，对于系统( 3 1 2 ) ，如果 1 ) l = e x p ( j 孑p ( a t ( f ) d r ) 1 ； 2 ) v y l 抛舻，i ，2 ( t ，y 1 ) 一 d t ，抛) i l l y l y 2 l 0 为常数， + 二+ o t 2 t 0 ，使得尚旧1 + ( a l + 卢) r 邪+ q i 飓+ 0 2 rsl ，其中 五- 5 亩“s u s p 嫩肛岣s u 蜓prexpl e t zp 圳岛5 亩殿胁们 ，1 证：任取c 钆考虑周期系统 i 袅b 1 ( t ) + 上，b l ( ，s ) u o + s ) d s 】= a l ( t ) y l ( t ) + f l ( t ，u ( t r ( t ) ) ) + ，c 1 ( t ，s ) “( hs ) d s 。 ( 3 2 1 ) l0 = v 2 ( t ) + a ( t ，t ( t r ( t ) ) ) + ，c t ( t ，s ) t ( t + 8 ) d 8 b 悉 f i 李蕾：中立型泛函微分方程的周期解 令b ( o = 轨( t ) + ，b l ( t ，s ) 。o + s ) d s ，则系统( 3 2 1 ) 被化为 - ( t r ( t ) ) “+ s ) d s ) ) ) + ， ) + ，c t ( t ，8 ) 让( t + s ) d s + s ) d s 于是由引理3 2 知，系统( 3 3 2 ) 有唯一的t 周期解 0 ，s ) u ( p + 8 ) 却 i9 1 ( t ) = 。y ( t ) y _ 1 ( p ) 肌p ，u ( p r 函) ) ) + ，c l ( p ，s ) t ( p - 4 - s ) d s 一a 1 妇) 贮，b l 白，s ) “( p + s ) d s d p 一，b l ( t ，5 ) “ + s ) 幽 l 抛( ) = 一庀( ，“( 一r ( t ) ) ) 一j ! ，c 2 ( t ，8 ) t 0 + s ) d s ( 3 2 2 ) 删= ( w ，舌，0 w u ( t ) = y ( t ) y - 1 ( 8 ) f ，1 ( s ，u p r 0 ) ) ) 4 - c l ( p ，s m 白+ 8 ) d p ，- - 0 0 j r ，。 一a t ( s ) b l 3 ) “p + 。) 磅纠幽 ，一t g ，= ( 淼；) ，0 而u ( 吩= 一7b l ( t ，s ) u ( t + s ) d s ，一f ，o 历( t ) = 一，2 ( t ，t o r ( t ) ) ) 一q ( t ，s ) u ( t + s ) d s 则f + g 的不动点即为系统( 3 1 2 ) 的t 周期解 令k = 如：c ，怕 s ，则k 为c t 中的有界闭凸集接下来证明 2 8 q 如 凸 枷 蝴 咖叱却豫斟q 岫嘲巴舭蛐卅 b 慨叫r 取”器伽吐卜 蚍 第三章 一类具有分布时滞的退化中立型微分系统的周期解 ( i ) 魄，口i f , f u + g v k ( i i ) f 在k 上全连续； ( i i i ) g 在k 上为压缩的( 由( i ) 的证明将会看出f kck , g kc 翮 ( i ) v u ，口k ，下证f u + g v k 由引理3 t ，及文 1 2 】定理1 证明中 ( 1 3 ) 式的类似分析可知 i f u ( t ) l = 1 w t ( t ) l j 兰o o i i y