（基础数学专业论文）多复变的alexander型定理与ropersuffridge算子.pdf

摘要 在单复变中，凸函数和星形函数有着密切的关系：即a l e x a n d e r 定理但 在多复变中，两者没有相应的关系定理探索两者的关系将是一个很重要的研 究课题l o e w n e r 理论是多复变函数论的重要组成部分，而r o p e r s u f f r i d g e 算子在由单复变数的双全纯函数构造多复变数的双全纯映照中有着至关重 要的作用，本文在已有结果的基础上给出了多复变的a l e x a n d e r 型定理即 给出了c n 中单位球b 他和有界平衡拟凸域q 上星形映照的构造以及有界 完全r e i n h a r d t 域q 上的r o p e r s u f f r i d g e 算子的性质全文共分三章 在第一章，我们简要地介绍了多复变几何函数论的发展背景，本文所用 到的一些记号、基本概念、定义、所用的一些定理及本文的主要结果 在第二章，我们给出了多复变中的a l e x a n d e r 型定理，即构造了一种新 的r o p e r s u f f r i d g e 算子f ( z ) 利用星形映照的参数表达式，给出了该算子 在单位球b 竹上和有界平衡拟凸域q 上保持星形性的新的证明方法 在第三章、在师兄陈慧勇的硕士毕业论文的基础上我们证明了一般形式 的推广的r o p e r s u f f r i d g e 算子在有界完全r e i n h a r d t 域q 上保持p 次的抛 物形的口型螺形性质 本文的结果可以说是星形映照参数表示的一个应用，也是对已有结论的 深入研究和推广，得到了一些全新的内容，从而使我们对星形映照的构造和 r o p e r - s u f f r i d g e 算子有了更进一步的认识本文的结果丰富了多复变几何函 数论的内容 关键词：星形映照的参数表示，推广的r o p e r s u f f r i d g e 算子，s c h w a r z 映 照，有界平衡拟凸域，有界完全r e i n h a r d t 域 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nas i n g l ec o m p l e xv a r i a b l e t h e r ei sac l o s e l yr e l a t i o nb e t w e e nt h es t a r l i k em a p p i n ga n dt h ec o n v e xm a p p i n g ：t h a ti st h ea l e x a n d e rt h e o r e m b u ti ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s ，t h e r ei sn o tt h ec o r r e s p o n d i n gt h e o r e m t o e x p l o r et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h et w ow o u l db eav e r yi m p o r t a n ts t u d y l o e w n e rt h e o r yp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nf u n c t i o nt h e o r yo fs e v e r a lc o m p l e x v a r i a b l e sa n dt h a tr o p e r s u f f r i d g eo p e r a t o ri sv i t a li nc o n s t r u c t i n gt h eb i h o l o m o r p h i cm a p p i n g so fs e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e sf r o mt h eb i h o l o m o r p h i c f u n c t i o n so fc o m p l e xv a r i a b l e i nt h i sa r t i c l e ，w em a i n l yr e s e a r c ht h ea l e x a n - d e rt y p et h e o r e mi ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s t h a ti st os a yan e ws t r u c t u r e o fr o p e r s u f f r i d g ee x t e n s i o no p e r a t o ro nt h eu n i tb a l la n dt h eb o u n d e db a l - a n c e dp s e u d o - c o n v e xd o m a i n s 。i na d d i t i o n ，w er e s e a r c ht h ep r o p e r t i e so ft h e g e n e r a l i z e de x t e n s i o nr o p e r - s u f f r i d g eo p e r a t o ro nt h eb o u n d e do fc o m p l e t e r e i n h a r d td o m a i n sq t h ew h o l et h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c eb r i e f l yt h eb a c k g r o u n do ft h ed e v e l - o p m e n to ft h eg e o m e t r i cf u n c t i o nt h e o r yi ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s ，s o m e n o t a t i o n s ，b a s i cc o n c e p t s ，d e f i n i t i o n s ，s o m et h e o r e m su s e di nt h ea r t i c l ea n d t h em a i nr e s u l t so ft h et h e s i s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w em a i n l yr e s e a r c ht h ea l e x a n d e rt y p et h e o r e m i ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s t h a ti st os a yw eh a v ec o n s t r u c t e dan e wr o p e r - s u f f r i d g eo p e r a t o rf ( z ) an e wm e t h o di sg i v e ns e p a r a t e l yo nt h eu n i tb a l l b 嚣a n dt h eb o u n d e db a l a n c e dp s e u d o - c o n v e xd o m a i n squ s i n gt h ep a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o no fak i n do fs t a r l i k em a p p i n g s t h ep r o c e s so fc a l c u l a t i o nw i l l b e c o m ev e r yc o m p l e xs oa 8t oc a nn o tb ef i g u r e do u ti fw eu s et h eu s u a l m e t h o d i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ep r o v e dt h ep r o p e r t i e so fs p i r a l i k em a p p i n g so f t y p epa n do r d e rp t h eg e n e r a l i z e dr o p e r s u f f r i d g ee x t e n s i o no p e r a t o ro nt h e b o u n d e do fc o m p l e t er e i n h a r d td o m a i n sqo nt h eb a s i so fm a s t e r st h e s i s o fc h e nh u i y o n g t h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i sn o to n l ya r ea na p p l i c a t i o no fp a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o no fa k i n do fs t a r l i k em a p p i n g s ，b u ta l s oa r ee x t e n da n di m p r o v e i i t h e mb a s e do nt h ek n o w nr e s u l t s s ow eh a v ead e e pr e a l i z a t i o na b o u tt h e r o p e r s u f f r i d g eo p e r a t o ra n dt h ec o n c l u s i o nw eg o te n r i c ht h ec o n t e n to f g e o m e t r i cf u n c t i o nt h e o r yi ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s k e y w o r d s ：t h ep a r a m e t r i cr e p r e s e n t a t i o no fak i n do fs t a r l i k em a p - p i n g s ，r o p e r s u f f r i d g ee x t e n s i o no p e r a t o r ，s c h w a r zm a p p i n g s t h eb o u n d e d b a l a n c e dp s e u d o - c o n v e xd o m a i n s ，o nt h eb o u n d e do f c o m p l e t er e i n h a r d t d o m a i n s i i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位申请。本人郑重声明：所呈交酌学位论文是 本人在导师酌指导下独立完成的，对所研究的课题有新的见解。据我所知，除 文中特别加以说明、标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过垂勺研完成果，也不包括其他人为获得任何教育、科研机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同事对本研究所做奇白任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位申请人( 学位论文作者) 签名：缝亘薹、灵 2 dd ) 年乡月弓d 日 关于学位论文著作权使用授权书 本人经河南大学审核批准授子硕士学位。作为学位论文的作者，本人完全 了解并同意河南大学有关保留、使用学位论支酌要求，即河南犬学有撅向圜幂 图书馆、科研信息机构、数据收集机构和本校图书馆等提供学位论文( 纸质支 本和电子文本) 以供公众检索、查阅。本人授权河南大学出于宣扬、展览学校 学术发展和进行学术交流等目的，可以采取影印、缩印、扫描和拷贝等复制手 段保存、汇编学位论文( 甄质文本和电子文本) 。 ( 涉及保密内容的学位论文在解密后选用本授权书) 学位获得者( 学位论文作者) 签名：鑫兢交 学位论文指导教师茎名：壶l 趁 2 0 矿7 车r 月? 口日 第一章预备知识 1 1 引言 单复变几何函数论是复分析的一个重要组成部分，其历史源远流长，内 容优美丰富经过几百年的发展己成为相当成熟和深刻的理论，有着极其优 美的结果和丰富的内容然而，多复变函数论作为独立的方向得到研究和发 展是从二十世纪初开始的 如何将单复变几何函数论中众多的成果推广到多复变数中呢? 最早考虑 这个问题的也许是数学家h c a r t a nf c a r l 之后，不少学者致力于这方面的 研究 在单复变中有刻画凸函数与星形函数之间关系的a l e x a n d e r 定理因此 在单复变中凸函数与星形函数的结果往往是成对出现的，凸函数有增长定理， 星形函数也有相应的增长定理：凸函数有偏差定理，星形函数也有相应的偏 差定理但是在多复变中凸映照有偏差定理，而星形映照到目前为止还没有相 应的偏差定理这主要是因为在多复变中没有类似于单复变中的a l e x a n d e r 定理 r o p e r 和s u f f r i d g e 已经举出两个例子f g o n 9 1 ，说明在多复变中a l e x a n d e r 定理不再成立，即如果( z ) 是多复变中的凸映照，j f ( z ) z 未必是星形映 照；反过来，如果j f ( z ) z 是多复变中的星形映照，( z ) 未必是凸映照 但在多复变中存在介于凸映照族与星形映照族之间的映照族，而这些映 照族在单复变中是不存在的，是多复变中特有的映照类因此探索多复变中 两者的关系将是一个很重要的研究课题许多文章已经给出了星形映照的参 数表示，但参数表示的应用价值一直没有找到，本文第二章可以说是参数表 示的一个应用 在本文的第二章，我们在已有工作的基础上构造了一种新的r o p e r s u f f r i d g e 算子f ( z ) 该算子具有广泛性利用星形映照的参数表达式，给出了该算子 在单位球b 竹上和有界平衡拟凸域q 上保持星形性的新的证明方法给人耳 目一新的感觉。如果用通常的证明方法计算过程将变的异常复杂以致于无法 解决该定理从某种程度上反映了多复变中凸映照与星形映照之间的关系， 因此该定理可以说是多复变中的a l e x a n d e r 型定理 河南大学硕士学位论文 众所周知，在单复变数中有很多正规化双全纯凸函数和正规化双全纯星 形函数及其子族或扩充的具体例子然而遗憾的是，当空间的维数佗 1 时， 在多复变数中人们知道的这样的例子却为数不多所以如何构造高维空间的 星形映照成为多复变集合函数论研究的一个重要课题! 于是人们提出了这样的问题：能不能通过一个算子把单复变数中单位圆 盘上的正规化双全纯凸函数和正规化双全纯星形函数分别映成多复变数中特 定区域上相应的映照呢? 答案是肯定的1 9 9 5 年，k a r o p e r 和t j s u f f r i d g e 【r o p s u f l l 引入了所谓的r o p e r s u f f r i d g e 算子，并证明了该算子保持凸性 通过该算子可由复平面c 中单位圆盘矿上的正规化双全纯函数厂得到c n 中单位球b n 上的一个正规化局部双全纯映照后来，龚升，刘太顺，刘小松， 刘名生和朱玉灿等( g o n g - l i u l ，【g o n g - l i u 2 ， l i u l i u l ，【l i u l ，【l i u z h u l ) 对该算子在不同的空间和区域上作了进一步的推广 由于凸映照和星形映照已经有较为完整的结果，中外研究多复变集合函 数论的学者开始把目光转向对他们子类的研究研究的思路是先定义出单 位圆盘上的映照类，然后想办法将其推广到多维空间中在此思想的指导下， f r p n n i n g 于1 9 9 1 年引入抛物星形函数的概念，r m a l is n v s i n g h 弓入p 次 抛物星形函数的概念，h h a m a d a ，t h o n d a ，g k o h r 将上面两种映照推广到 c 伟中的单位球b n 上师兄陈慧勇先对单位圆盘上抛物星形函数和p 次抛 物星形函数的定义作合理的修改，在此基础上引入抛物形的p 型螺型函数和 p 次的抛物形的p 型螺型函数。并证明了r o p e r - s u f f r i d g e 算子对新定义的 各类映照是保持的。在本文第三章，我们在师兄陈慧勇的硕士毕业论文的基 础上将其算子进行了推广，证明了推广后的r o p e r s u f f r i d g e 算子在有界完 全r e i n h a r d t 域上保持p 次的抛物形的p 型螺形性质 1 2 定义及记号 为了叙述方便起见，我们首先给出全文最常用的一些符号及基本概念 在本文中，我们用c 表示复平面d = z c ：i z i 1 ) 表示c 中 的开单位圆盘，o d = z c ：i z i 1 ) 表示d 的边界c n 表示佗维复欧氏 空间，对v z = ( z 1 ，) 7 c 竹，记盼i l = 、死，用b ( a ，p ) = ( z n c n ：f z 3 一劬 2 0 为半径的球特别地，当a = 0 ，p = 1 时，称它为开单位球，记为b 竹， 即b 住= z c 住：i 匀1 2 1 ) 符号7 表示转置，符号一表示共轭，另外 j = l 我们用r 表示实数 设qcc 竹是包含原点的域，用日( q ) 表示从域( 连通开集) q c n 到 c 铭的全纯映照的全体，特别的d 上的全纯函数的全体记为口( d ) ；称映照 厂日( q ) 是q 上的局部双全纯映照，如果j a c o b i 矩阵 以( z ) = ( 甏) 瑙遂扎 在每一点z q 非奇异；称厂是q 上的双全纯映照，如果逆映照厂_ 1 存在， 且在h ( a ) 上全纯；称厂为q 上的正规化全纯映照，如果，日( q ) 满足 s ( o ) = 0 ，乃( o ) = i ，其中j 表示单位矩阵；v ( z ) 日( q ) 称为s c h w a r z 映 照，如果v ( o ) = 0 ，且v ( a ) cq 下面介绍本文所使用的一些基本定义 定义1 2 1设q 是c n 中包含原点的域。若3 rer ，使得q b 冗( o ，r ) ，则称q 为有界的若对任意的z q ，0 r 1 ，都有r 名q ， 则称q 为相对于原点的星形域；若对任意的z ，w q ，0 t 1 ，都 有亡z + ( 1 一t ) w q ，则称q 为凸域；若对任意的z q ，p r ，都有 e i o z q ，则称q 为圆型域；若对任意的z = ( z i ，磊) 7 q ，0 1 ，如 r ，都有( e i o a z l ，e i o n ) 7 q ，则称q 为r e i n h a r d t 域若对任意 的z = ( z 1 ，一，) 7 q ，白c ，且l 白l 1 ，j = 1 ，钆，都有 ( ( 1 2 1 ，厶) 7 q ，则称q 为完全r e i n h a r d t 域 定义1 2 2 设q 是c n 中包含原点的域，如果f ( 0 ) = 0 ，( q ) 是c n 中相对于原点的星形域，则称。厂是q 上的星形映照；如果f ( a ) 是c 竹中的 欧氏凸域，则称厂是q 上的凸映照域q 上正规化双全纯星形映照的全体 s + ( q ) ，正规化双全纯凸映照的全体记为k ( q ) 定义1 2 3 若厂h ( b 礼) 为正规化双全纯映照，称s ( z ) 为星形映 照，当且仅当 e - t f ( z ) s ( s 礼) ，t 0 ，z b n 在单复变数的情形，我们熟知，若尹是d 上的一个局部单叶全纯函数， 3 鱼鱼垄堂塑主堂堡垒查一 _ _ - - _ _ - _ _ 一一 且，( 0 ) ：0 ，则厂是d 上相对于原点的双全纯星形函数，当且仅当：对于任 一点名口，都有 r e 错 。 成立 在多复变数的情形，这方面最早的结果是由s u f f r i d g e 给出的，他讨论 了如下的r e i n h a r d t 域屏 b ： z c 竹：i i z l l p = ( 蚓) ； 1 时，我们知道的星形映照很少， 所以如何构造高维空间的星形映照成为多复变集合函数论研究的一个重要 课题! 下面是较常见的一种构造： 已知定理：若仍( 1 j 佗) 是位圆盘d 上的正规化的星形函数，那么 圣( z ) = ( 妒l ( z 1 ) ，妒礼( ) ) z = ( z 1 ，) b 竹 是b n 上的星形映照 由此可知f ( z ) = ( 爿( z 1 ) z l ，丘( ) ) 7 ，其中y j ( z j ) k ( d ) 一定 是b n 上的星形映照 通过其他途径也可以构造出多复变中的星形映照本文中的定理2 2 1 ， 2 3 1 就是一种，而且证明方法比较新颖 1 3 本文所用的一些定理 在本文的证明过程中，主要用到以下一些己知的定理和推论详细内容 可参阅f s h i l l 定理1 3 1( w e i e r s t r a s s ) 设q 是c 竹中的域， ) 是q 上- - y u 全 纯函数如果它在q 上内闭一致收敛于厂，那么厂日( q ) ，而且d q 在上 q 上内闭一致收敛于d y 定理1 3 2设q 是c n 中的域，：q _ c 竹是单叶的全纯映照，那 么厂是q 到厂( q ) 之上的双全纯映照 定理1 3 3设q 是c 札中的域，。厂：q _ c 他是全纯映照如果存 在a q ，使得- 厂7 ( o ) 可逆，那么一定存在a 和f ( a ) 的邻域y 和w ，使得厂一 一地把y 映成w ，而且厂的逆映照夕：w y 是全纯的，夕7w ) = ( 厂7 ( z ) ) _ 1 对z v 成立 5 河南大学硕士学位论文 定理1 3 4设q 1 和q 2 都是c n 中包含原点的圆型域，其中q 1 是 有界的如果厂：q 1 _ q 2 是双全纯映照，且y ( o ) = 0 ，那么，一定是线性 映照 定理1 3 5 每个，h ( b 凡) 都有幂级数展开式 北) = o a 严，z b n 上面这个展开式也可以写成 这里p k ( z ) = 口口矿是z l ，z 2 ，的次齐次多项式，称它为厂在b n i a = 知 中的齐次展开式 定理1 3 6 若( 1 j n ) 是位圆盘d 上的正规化的星形函数， 那么 中( 名) = ( 妒1 ( z 1 ) ，妒n ( ) ) 7z = ( z l ，z n ) b n 是b 竹上的星形映照 1 4 本文的主要定理 定理2 2 1 设乃s + ( d ) ，j = 1 ，2 ，n a = ( b ) 且a 可逆， b 0 ，= 1 则 5 = 1 一( 垂( 掣) h j ，垂( 掣) k j ) 是伊上的星形映照其中幂函数取分支使得( 掣) h l 。叫卜 1 ，n 721 ，n 附注 在定理2 2 1 中，令彰( 乃) = t f j ( z j ) ，歹= 1 ，n 由己知 ( 磊) es + ( d ) 知g ：( 名) 磊s + ( d ) ，利用单复变的a l e x a n d e r 定理可得到： 6 力r 脚 = a z q o 壮 脚 = z ， 河南大学硕士学位论文 g j ( z j ) 七( d ) 所以该定理从某种程度上反映了多复变中凸映照和星形映照 之间的关系 故定理2 2 1 称为多复变的a l e x a n d e r 型定理 推论2 2 1 设，是单位圆盘d 上的星形函数，则 特，( 掣) 励，( 掣) 风) 7 是单位球b n 上的星形映照，其中岛 0 ，1 】且厂( z 1 ) 0 ，当z 1 d o ) 幂 函数取分支使得 ( 掣) l 乩倒，s ，礼 定理? 3 1 设乃s + ( d ) ，j = 1 ，2 ，钆人= ( a 巧) 且a 可逆， b 0 ，b = 1 则 阶 ( 掣) h j ，垂( 掣) ) 7 是有界平衡拟凸域q 上腿形映照其中幂函数取分支使得( 掣) - l 。一 1 ，i = 1 ，佗j = 1 ，n 推论2 3 1设厂是单位圆盘d 上的星形函数，则 一，( 掣) 助，( 掣) 风锄) 7 是有界平衡拟凸域q 上的星形映照，其中岛 0 ，1 且f ( z 1 ) 0 ，当 z l d o ) 幂函数取分支使得 ( 掣) t 。乩例，s ，几 定理3 2 1设佗2 ，qcc “是一个有界完全r e i n h a r d t 域，它的 m i n k o w s k i 泛函p ( z ) 是孬 o ) 上的一个c 1 函数若f 是单位圆盘d 上 7 河南大学硕士学位论文 正规化的p 次的抛物形的p 型螺形函数p ( 一号，善) ，并l i ic o sz p ，p 【0 ，1 ) ，r = s u v ( i z , f ：( z 1 ，磊) 7 q ) ，则 砟) = ( 叫舢掣忪，( 掣肠) 7 是q 上的p 次的抛物形的p 型螺形映照其中岛 0 ，1 1 ，幂函数取分支使 得( 盟z 1 州= 1 ，歹= 2 棚 i z l 2 u 推论3 2 1设佗2 ，qcc n 是一个有界完全r e i n h a r d t 域，它的 m i n k o w s k i 泛函p ( z ) 是瓦 o 上的一个c 1 函数若，是单位圆盘d 上正 规化的p 次的抛物星形函数并且p 0 ，1 ) ，r s u p i z l i ：( z l ，) 7 q ) ，则 心) = 晦) ( 掣心i ( 掣心) 是q 上丐猡化的p 次的抛物星形映照其中伤【o ，1 ，幂函数取分支使得 ( 掣) 鳓l _ 1 j = 2 柚 推论3 2 2设n 2 ，qcc n 是一个有界完全r e i n h a r d t 域，它 的m i n k o w s k i 泛函p ( z ) 是豆 o ) 上的一个c 1 函数若厂是单位圆盘 d 上正规化的抛物形的p 型螺形函数声( 一考，专) ，并且p ( 0 ，1 ) ，r = s u p l z l f ：( z 1 ，) 7 q ，则 球) = ( 嘣m 掣如) ( 掣心) 7 是q 上的正规化的抛物形的p 型螺形映照其中岛【0 ，1 】，幂函数取分支 使得( 螋z z 州= 1 ，歹= 2 柚 1 2 1 = u 推论3 2 3设n 2 ，qcc n 是一个有界完全r e i n h a r d t 域，它的 m i n k o w s k i 泛函户( z ) 是孬 o ) 上的一个c 1 函数若厂是单位圆盘d 上 正规化的抛物星形函数并且r = s u p i z l l ：( z 1 ，z , 0 7 q ) ，则 砟) = ( 叫纠掣心i ( 掣心) 7 是q 上正规化的抛物星形映照其中岛1 0 ，1 】， 幂函数取分支使得 ( 掣) 岛 钆歹_ 2 ) 仡 8 第二章多复变的a l e x a n d e r 型定理 2 1 引言 在单复变中，凸映照和星形映照有着密切的关系即a l e x a n d e r 定理但在 多复变中，两者没有相应的关系定理探索两者的关系将是一个很重要的研 究课题本章我们给出了多复变的a l e x a n d e r 型定理，即引入了新的r o p e r s u f f r i d g e 算子f ( z ) ，并用新的证明方法证明了该算子分别在单位球b n 上和 有界平衡拟凸域q 上保持星形性质 1 9 9 5 年，k a r o p e r 和t j s u f f r i d g e r o p s u f l 引入了所谓的r o p e r s u f f r i d g e 算子 虬( ，) ( z ) = ( f ( z 1 ) ， ，7 ( z 1 ) z o ) 7 ，z = ( z l ，z o ) 7 b n ，( 2 1 ) 其中名1 配z 0 = ( z 2 ，) 7 c 竹一，平方根取分支使得 歹而= 1 通 过该算子可由c 中单位圆盘u 上的一个正规化局部双全纯函数厂构造出 中单位球b 竹上的一个正规化局部双全纯映照他们证明了该算子保持 凸性，后来，i g r a - h a m 和g k o h r g r a - k o h l 】又证明了算子( 2 1 ) 保持星 形性和b l o c h 性质 2 0 0 2 年，i g r a h a m ，g k o h r ，m k o h r 和t j s u f f r i d g ef g r a - k o h k o h - s u f 1 将算子( 2 1 ) 推广为 彤) = ) ，( 掣) 卢协矿询) ， 其中p o ，1 】，7 0 ，；】且z + 7 1 ，f ，z 1 ，z o ，z 定义同上且f ( z 1 ) 0 ， z u o ) ，幂函数取分支使得( ，墨掣、) j 。：。：1 且( 厂，( o ) ) 7 ：1 他们证 明了该算子保持星形性，当且仅当，7 ) = ( 0 ，互1 ) 时保持凸性 2 0 0 3 年，刘小松和刘太顺l i u l i u l 把算子( 2 1 ) 推广为 竹，侥，仇，风，( 厂) ( z ) = ，( 掣) 仍陬胪锄，f r z 州1 忡( f ( z 1 ) ) 7 z n ) ， ( 2 2 ) 9 河南大学硕士学位论文 其中岛【0 ，1 ，【0 ，万1 且岛+ 1 ，幂函数取分支使得 r 丛笋、伤i z 。：。：l 且( 厂，( o ) ) 竹：1 ，j ：2 ，n 他们证明了该算子在 域q 卯。，鼽= z c n ：i z l1 2 + ：2i z j v ， 0 ，z b 礼 o ) ， = m ： ( o ) = ，) 在单复变中，函数类m 由形如h ( z ) = p ( z ) z ( 1 z i 0 在给出本文的主要定理之前，先给出几个引理 引理2 2 1 g u r l 】 如果h m 则初值问题 似刈) ) 7 ， 其中名b n 有唯一解v ( t ) = v ( z ，t ) ( t 0 ) 且钞( z ，t ) _ 0 ( t 一) ，固定 t ，v ( z ，t ) 是b 礼上的s c h w a r z 映照 引理2 2 2 g u r l 】如果h m 则对v z b 礼，z 0 h ( z ) 满足 圳2 r e 似破枢l 1 1 河南大学硕士学位论文 引理2 2 3 如果v ( z ，t ) 是( 2 7 ) 的解，则对所有t 0 ，z b n ， 有下面不等式成立： e t 哒兰! 剑艿 幽 ( 1 + i i v ( z ，t ) 栌一( 1 - 4 - l i z l l ) 2 证明：固定z b n o ) ，令w = 叫( t ) = v ( z ，亡) 则 垡| ! 竺( ! 刈：兰! ! 竺( ! 刈垡! ! 竺( 1 2 出出 ：垫必：一2rdt e ( 危( 叫) ，伽) o ( 2 8 ) 、， ，、。， 掣= 赢酬毗哪一攀锵 亿9 ， 由( 2 8 ) 式知业掣 0 ，故i i 彬( t ) l l 在 o ，+ o o ) 上是严格递减的当舌从 0 _ + o o 时，i i 叫( 亡) | | 从0 一恻| 又由于a l ( t ) la 关于t 绝对连续，( 2 9 ) 式两边在 o ，叫上进行积分，有 一。( 剖黜) 南酬删j o 出 令i i 伽( 亡) | | = z ，得 一廖鲁，三如= 一屏三+ 禹，如 一( 吲铲) 糯 可得 同理可证 引理2 2 4 一一o v ( z ，亡) o t 一一( z ，艺) e t 嵝兰! 剑 ：幽 ( 1 + l i v ( z ，t ) 1 1 ) 2 一( 1 + ij z ij ) 2 如果”( z ，芒) 是( 2 7 ) 的解，则塞( z ，亡) 九( 2 ) ： 1 2 河南大学硕士学位论文 证明：由于u ( z ，t ) 是s c h w a r z 映照，所以o 。z r ( 、z ，t ) 是非奇异矩阵，f n 止l c n 记 = 一( 瓦o v ( z ) 瓦0 9 v ( z z 毋亡o ( 2 1 0 ) 一瓦o v 垆笔够t ) 上式两边对t 求导，得 一嘉垆丽0 2 v 岣卅爱t ) 瓦o g t ) ( 2 7 ) 式两边分别对亡，z 求导，则有 丽0 2 v 归一厶( 心) 窑眩t ) 磊归一孙啪。 厶( 心) 瓦o v ( 刈) = 丽0 2 v ( 刈) g ( 印) + 塞k 亡) 瓦o g ( 名 ：一瑚是归卅是亡) 酉o g ( 刈) ：孙啪笔卅是亡) 瓦o g 亡) 静亡) 箸垆吣旧，亡2 0 辫c ( z ，t ，t 篙t 裟融9 ( z 蓦a ( z 邮州1 0 ，得 这说明，) 与无关记) =，亡) 由( 2 ) 式，得 瓦o v 咖= 一塞( 删 由于塞( z ，o ) = ，裳( z ，o ) = 一九( u ( z ) ) 代入上式得：9 ( z ) = 九( z ) 即塞帅一窑) 河南大学硕士学位论文 引理2 2 5 如果h m v ( z ，t ) 是初值问题( 2 7 ) 的解，则对v z b 礼， l i me t v ( z ，t ) ( 2 1 1 ) 一定存在且收敛于b 扎上的一个星形映照反过来，如果f ( z ) s + ( b n ) 且满 足以( z ) ( z ) = t 厂( z ) 则f ( z ) 一定能表示成( 2 1 1 ) 的形式 ( 2 1 1 ) 式称为星形映照的参数表示 证明：分三步进行 ( 一) 1 i me v ( z ，t ) 存在并收敛于b n 上的一个全纯映照记u ( 名，t ) = e 2 u ( z ，舌) ，z b 扎，t 芝0 则u ( z ，t ) 是下面初值问题的解 缸归u 沪如扩啪 ( 2 1 2 ) i 乱( z ，0 ) = 移( z ，0 ) = z 记日( z ) = h ( z ) 一z ，则h ( z ) h ( b n ) ，且日( o ) = 0 ，如( o ) = 0 于是( 2 1 2 ) 式可改写成 ，。 静垆- e 懈( e 叫u 啪 ( 2 1 3 ) i ( z ，0 ) = z ( 2 。1 3 ) 式两边关于t 在区间( t 1 ，t 2 ( o t l t 2 ) 上积分，得 u ( z ，t 2 ) 一乱( z ，亡1 ) = 一e t g ( e q u ( z ，t ) ) d t ( 2 1 4 ) 对0 p 1 ，叫p b 礼把日( 叫) 在w = 0 点附近展成幂级数，得 日c 训，= 薹击卜，岳+ 叫。差+ + 丢 惫日c 。， 记 邻：i i 霉i i 薹忙卜，去+ 伽。差+ 柚n 丢 k 日c 。，| l 则 + o o 由引理2 2 3 知对任意的r ( 0 ，1 ) ，i i z l i r 有 e _ 。芒赫( 1 州刈州) 2 0 ，当t 正v ( z l ，t ) = v ( z 2 ，亡) 由初值问题解的唯一性知 v ( z l ，t ) = v ( z 2 ，t ) ，t 0 故z 1 = z 2 因此，( z ) = i i 粤e 。秒( z ，t ) 是q 上的正规化星形映照 ( 三) 设，( z ) 是星形映照且满足以( z ) ( z ) = 厂( z ) 由( 一) ( 二) 的证明可 知夕( 2 ) 2 。皇e t v ( z ，t ) 是q 上的正规化双全纯星形映照现在证明夕( z ) 满足 山( z ) 危( z ) = 9 ( 2 )( 2 1 7 ) 记u ( z ，t ) = e v ( z ，) 则 赛( 刈) 一e - t 珏) + e - t 象- - - u ( 刈) 由( 2 1 3 ) 和( 2 ，1 5 ) 得： f i 赛驯i 警 1 6 河南大学硕士学位论文 因而 。1 i m1 1 甓( z ，酬= o 删。1 i m ( _ e t 塞( z ) = 。甄u ( 刈) _ t 1 i + m 。e 比归出) 由弓| 理2 1 5 知塞帅= 一警t ) 由出) = 。e 讹亡) 得： 即 ) ) = 。骧( e 褰 = 。( - e t 鼢亡，) 山( z ) 危( z ) = g ( z ) l t ) h ( z ) ) ， ( 2 1 7 ) 得证 最后证明满足( 2 1 7 ) 的正规解9 ( z ) 一定是唯一的从而定理2 1 1 得 事实上，设g l ，9 2 h ( b n ) ，g l 和9 2 均正规化且满足( 2 7 ) 式 耽( z ，t ) = 订1 ( e - t g i ( z ) ) ，i = 1 ，2 t 0 ，z b n 容易验证v i ( z ，t ) 均是如下初值问题的解 0 ，使得对v w r o b 礼，有 9 2 。夕f 1 ( e - t w ) = e - t 9 2 。9 f 1w ) 1 7 ( 2 1 8 ) 河南大学硕士学位论文 故可设 9 2 。行1 ( 伽) = w + p k ( w ) k = 2 其中p k ( w ) ，是k 次齐次多项式( 2 1 8 ) 式两边都展开成齐次多项式，得 进而得到 因此 故 e 叫w + p 七( e 一叫) k = 2= e 一( 叫+ 主k = 兰2 p 惫c 叫，) e - t p 2 ( w ) + e - z t p 3 ( w ) + = p 2w ) + p a ( w ) + 由唯一性定理 即 证毕 p k ( w ) = 0 k = 2 ，3 ， 9 2o 夕f 1w ) = w ，叫r