（应用数学专业论文）friedrichs延拓理论及其在常微分算子上的应用.pdf

摘要 下半有界算子的f r i e d r i c h s 延拓在数学物理中有着广泛的应用，它 是数学物理中分析学的核心内容。本文的前一部分就此延拓方法在数学 物理中的应用背景以及自身的实质特性给出一种较为详尽的综述，本文 的后一部分以一类2 n 阶实对称常微分算式为具体对象? 在有限闭区间 及极限点情形下实现了y _ r i e d r i c h s 延拓的边值刻画。再利用已有的结果， 作者建立了f r i e d r i c h s 延拓、c a l k i n 延拓以及w o nn e u m a n n 延拓三者之 间的对应关系，即f r i e d r i c h s 延拓所对应的边值条件、c a l k i n 延拓相应的 矩阵与- c o d n e u m a n n 延拓相应的酉算子的对应关系。 关键词：下半有界算子自伴延拓常微分算式边值问题 a b s t r a c t t h ef r i e d r i c h se x t e n s i o no fs e m i b o u n d e d o p e r a t o r si sw i d e l y u s e di nm a t h e m a t i c a lp h y s i c s t h ef r i e d r i c h se x t e n s i o na n d m o r eg e n e r a le n e r g e t i ce x t e n s i o no fs y m m e t r i co p e r a t o r sa r e t h ef u n c t i o n a la n a l y t i cc o r eo fm a t h e m a t i c a lp h y s i c s s o 6 r s t ，w es y n t h e s i z et h em a t e r i a l so nt h em e t h o do ft h ef r i e d r i c h se x - t e n s i o n i t sc h a r a c t e r i s t i c sa n di t sb a c k g r o u n do fm a t h e m a t i c a l p h y s i c s n e x tw e s h o wt h a tt h er e l a t i o nb e t w e e nt h ef r i e d r i c h s e x t e n s i o n t h ec a l k i ne x t e n m o na n dt h ev o l ln e u m a n ne x t e n s i o no nt h e2 n - t ho r d e rr e a ls y m m e t r i co r d i n a r yd i f 路r e n t i a l o p e r a t o r s i e t h er e l a t i o no ft h eb o u n d a r y v a l u ec o r r e s p o n d - i n kt of r i e d r i c h se x t e n s i o n ，t h em a t r i x t ot h ec a l k i ne x t e n s i o n a n dt h eu n i t a r yo p e r a t o rt ot h ev o nn e u m a n ne x t e n s i o n k e y w o r d s ：s e m i b o u n d e do p e r a t o r sa d j o i n te x t e n s i o n o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb o u n d a r yv a l u e 塑主迨塞要蔓! 塑! 堕堡堑堡堡墨基查堂丝坌簦王土盟堕旦 1 引言 我们知道量子力学是有效阐释微观粒子运动规律的理论，它被视为2 0 世纪最伟 大的发现之一。该理论的一个重要结果即一个可观测量对应着一个自伴算予很好 的建立了物理学与分析学之间联系。我们在粗略描述物理量所包含的域时，常常 发现以此只能判断其对应的算子为对称算子，这当然与前面的结果有相当的出入。 如何精确描述量的域以使其对应的算子为自伴算子的问题就显得非常重要。借助 严密的数学语言转化，我们可以将问题扩大为：什么样的对称算子能延拓为自伴 算子以及如何将对称算子延拓为自伴算子。自伴算子的重要性还体现在微分方程 的适定性问题上。对于很多微分算子而言，适定性问题是与算子的自伴性密切相 关的。当方程的初边值条件与算子的自伴延拓域等同时，方程是适定的。于是，将 算子的自伴延拓域转化为初边值条件就具有相当的实际意义。因此，我们将问题 总结为：对称算子自伴延拓的条件、方法以及自伴域的具体刻画。2 0 世纪发展起 来的泛函分析学能很好的解决这样的问题。 在泛函分析线性算子理论中，对称算子能延拓为自伴算子的关键集中在它的 亏指数上。如果其亏指数相等，那么它一定可以延拓为自伴算子；否则一定不能 延拓为自伴算子。这样也就很好的解决了我们提出的问题的前一部分。我们知道 更为要紧的是问题的后一部分即如何将能延拓的对称算子扩展至自伴算子。下面 我们就自伴延拓的方法作出简要的综述。一般来说，主要的延拓方法有三类：v o n n e u m a n n 方法、c a l k i n 方法及p r i e d r i c h s 方法。具体来看： 1 c o nn e u m a n n 延拓方法的主要思想 ( 1 ) 首先我们先介绍c a y l e y 变换的概念，它对v o nn e u m a n n 延拓方法有着决 定性的作用。若a 为日空间中的闭对称算子，小为以的共轭算子，我们通过以 下公式定义a 的c a y l e y 变换： ( a 一2 i ) h = ，i ( a z i ) h = 矿，f 。1 7 其中，z c 且i m z 0 ，h 9 ( a ) 。 定义的合理性来自这样的事实，即当a 为闭对称算子时， i l ( a z i ) f 1 2 ( i m z ) 2 i l f l l 2 ， 从而上述的( a z j ) 是可逆的。这样，我们可将a 的c a y l e y 变换写为： v y = ( a z i ) ( a i ) 。， 硕士论文f r i e d d c h s 延拓理论及其在常微分算子上的应用 2 反过来，我们由( 1 ) 可得 危：掣，a 危：( 2 v - z i ) f ，( 2 ) z zz z 因此，我们形式上有： a i = ( 5 v z z ) ( v 一，) h ( ) 当( y 一，) - 1 存在时，我们称a 是y 的c a y l e y 变换。 下面来看有关c a y l e y 变换的一些重要结果： 结论1 1 】 d i m h 9 d ( v ) = d i m k e r ( a 一i i ) d i m h e 冗( v ) = d i m k e r ( a 4 + i i ) 结论2 1 若y 是等距算子且n ( v 一) 在h 中稠，则由( ) 式定义的算子且 为对称算子且y 为a 的c a y l e y 变换。 结论3 1 若a 1 a 2 为对称算子，：为它们各自的c a y l e y 变换，则a 1c a 2 错cy 2 。 ( 2 ) 有了前面的准备，我们来看v o nn e u m a n n 延拓方法的思想脉络。对于对称 算子a 及其c a y l e y 变换y ，在e d ( y ) 和h e 佗( y ) 上各自选取子空间f 1g ， 使得 d i m f = d i m g 任作一等距算子：f g ，我们延拓算子v 至v ，使得 。( 睡口( 帅f 矿，= 潍二等， 这样矿也是等距算子且有c 矿。由结论2 和结论3 可知，v 的c a y l e y 变换a 为 对称算子，且有aca 。反复这个过程，由结论1 可知，延拓的算子a 的亏指数不 断减小。当亏指数减小至零时我们称这样的延拓算子为最大算子。当亏指数相等 且有限时，最大算子就是原算子的自伴延拓。而当亏指数无穷时，最大算子可能 是原先算子的自伴延拓。我们再回过头来看d ( a ) 的变化，不难有 9 ( a ) = ( v i ) d ( v ) = ( v 一州口( y ) o f ) = ( v i ) d ( v ) o ( 一z ) r = d ( a ) o ( 一，) f 亟焦塞至! i 型堕些! 堑堑矍迨壁基垄堂丝坌竺王圭盟蜜旦 一 3 若记m = v ，则有 v ( a ) = d ( a ) o ( v 十，) f t 这就是著名的v o nn e u m a n n 公式。 2 c a l k i n 方法该方法紧密依赖于亏指数相等有限。其思想是扩展定义域以 降低亏指数直至为零。它最大的特点在于其具体应用的可操作行很强。例如对于 常微分算式，我们就成功的将自伴延拓定义域的刻画转化为边值条件，从而大大 降低原先域的描述的抽象性，从而可以此来判断方程的适定性问题。 3 f r i e d r i c h s 方法该方法原本用于处理数学物理中保持下半有乔的线性算子， 例如散度型椭圆算子，因而它实际针对性很强。它最大的特点就在于能够保持原 有的下界，这对于数学物理方程广义解的存在与否相当的重要。随着对下半有界 算子自伴延拓的深入研究，产生了许多能够容纳f r i e d r i c h s 方法的理论体系。例如 俄国大数学家m g k r e i a ，他对于下半有界算子就基本刻画了能保持原有下界的 所有自伴延拓，并将f r i e d r i c h s 方法作为其临界情形的特例纳入其中。k r e i n 方法 依赖这样的一条定理即 不稠的子空间上的有界对称算子可以保范延拓为全空间上的自伴算子。 其构造性证明过程极为抽象，因而应用到具体算子有一定的难度。近年来有不少 文章就尝试重新阐释k r e i n 方法，以求其在具体的算子上能发挥效用。 从上面的综述不难看出，三类方法各有千秋。至于它们之间的联系，最近也 有相当的成果。特别是陈卫民和黄振友的对称算子的两种自伴延拓形式之间的 联系一文，详尽阐述了v o nn e u m a z m 方法与c a l k i n 方法之间的内在联系，并 在常微分算子的具体应用中取得了很好的结果。本文的工作就是延续下去即试图 建立这三者之间的联系，重点在于建立f r i e d r i c h s 方法与c a l k i n 方法之间的联系 或者f r i e d r i c h s 方法与v o nn e u m a n n 方法之间的联系。为此，作者认为有必要对 f r i e d r i c h s 方法的来龙去脉、思想轨迹及应用背景作出一番整理，以便为下一步建 立联系做好铺垫。 f r i e d r i c h s 方法与数学物理中的偏微分方程有着深厚的联系。若线性算子a ： d ( a ) x x 为对称算子，且( a u ，让) c ( 让，t 1 ) ，其中c 0 ，由f r i e d r i c h s 延拓， 算子的定义域有如下的扩展： v ( a ) qi ( a f ) 一d ( a e ) ， 其中d ( a f ) 表示算予以经f r i e d r i c h s 延拓所得算子a p 的定义域，d ( a e ) 表示对 堡主垫塞至塑! 垡垒尘! 堑塑理论及其在常微分算子上的应用4 口( a ) 以新范数| | 钍怯= ( a u ，u ) 的完备化空间。由 ( a f u ，“) c ( u ，札) ，v u d ( a f ) 可以推断出 0 p a f ， 即a t 1 是有界自伴算子。可以证明当】o ( a e ) 能紧嵌入x 时，a t 1 还是紧算子。 因此，若我们要在d ( a ) 中求解a u = ，则不妨先在d ( a f ) 中求得一解u 满足 a ，u = ， 当a ；1 是紧算子时，我们还可将弱解钍展成级数形式。谨慎检验的正则性，我们 便可完整解决a 札= ，的求解问题。 举例来看，在开集qcr ”上，若a = 一x - l - ，求解a u = ，。由前面的叙 述，不妨设a f 为a 的l 矗i e d r i c h s 延拓。显然，存在g d ( a f ) ，使得 a ，g = f 对于任意的妒c 铲( n ) ，有 ( 妒，a u ) = ( 妒，) = ( 妒，a ，g ) = ( a ，l p ，g ) = ( a 妒，9 ) ， 所以g 是a “= f 的弱解。若，此时有很好的正则性，不妨设，c 。( q ) ，妒， 曙( q ) ，从而 ，( q ) 。 因为a g = g 一，m ，所以 g w 2 + 2 ( q ) 如此反复下去，我们可知 g n ( q ) t n 笠1 由s o b o l e v 嵌入定理， g c 0 。) 因此，口就是a u = ，的古典解。 因此，我们要对f r i e d r i c h s 方法进行细致的研究，就必须要重视它与数学物理 方程之间的密切联系。本文前一部分所介绍的解读理论就很好的贯彻了这一思想。 它不仅清晰的阐释它的内容与特性，而且紧密联系方程的相关问题，可以使我们 硕士论文f r i e d r i c h s 延拓理论及其在常微分算子上的应用 5 对于f r i e d r i c h s 方法有更为实质的掌握。作者在此基础上对f r i e d r i c h s 方法与y o n n e u m a n n 方法有了个初步的探讨，但结果并不理想。作者因此转换思路以求在具 体算子上有一些实质进展。刘景麟先生的常微分算子谱论一书对c a k i n 方法在 常微分算子上的具体应用获得很大的成功。它给作者很好的启示，最终以一类2 凡 阶实对称常微分算式为具体对象，在有限闭区间及极限点情形下实现了f r i e d r i c h s 延拓的边值刻画。并利用已有的结果，作者建立了f r i e d r i c h s 延拓、c a l k i n 延拓以 及v o r ln e u m a n n 延拓三者之间的对应关系，即f r i e d r i c h s 延拓所对应的边值条件、 c a l l i n 延拓相应的矩阵与y o nn e u m a n n 延拓相应的酉算子的对应关系。 亟圭堡皇墨堕! 塑些! 壅堑垄堡垦基查堂堂坌簋量土笪座旦 1 预备知识 设h 为复h i l b e r t 空间，t 为h 空间中的对称算子，p 为t 的共轭算子， 甄= k e r ( t + 一i i ) ，n = k e r ( t + + i i ) ，d + = d i m h ，d 一= d i m n 定义1 1 ( 1 ) ) 我们称上述的d + 和d 一为算子t 的亏指数；若令 = ( t + x ，y ) 一( 。，t + 掣) ，v 茁，y d ( t + ) ， 我们称 为v ( t + ) x 口( p ) 上的双线性泛函。 引理1 2 ( 1 1 ) d ( t + ) = d ( t ) o 玛o 儿 引理1 3 ( 1 】) 若对称算子t 的亏指数有限，则t 有自伴延拓当且仅当d + = d 一。 定理1 ，4 ( f 1 ) ( y o nn e u m a n n ) 若蜀为h 空问中的闭对称算子，d + = d o o t 则t 为的自伴延拓当且仅当存在一酉算子c ，：耳一一，使得 口( t ) = f o + ，+ 十u ，+ i f o d ( t o ) ，+ 甄) 定理1 5 ( 【3 6 】) ( c a i k i n ) 若蜀为h 空间中的闭对称算子，d + = d 一= d o 。，则 t 为蜀的自伴延拓当且仅当存在模d ( ) 线性无关组 ，如) ，且有 = 0 ，i ，j = 1 ，d ，使得 d ( t ) = ，d ( 石) i = 0 ，i = 1 ，一，d ) 引理1 ，6 ( 3 6 】) 若t 为闭对称算子，则d i m ( k e r ( m t + ) ) 分别在上下平面为常 数。 定义1 7 ( 【3 6 】) 算子t 称为下半有界的，若对于任意的z v ( t ) ，存在实数c ， 使得( t z ，z ) c ( z ，z ) 。特别当c = 0 时，称t 为非负的。 命题1 ，8 ( 3 6 ) 若t 为闭的下半有界算子，且( t z ，z ) ( x ，。) ，则对于任意的 a o 0 ，则称口为正定形式。若此时 ( 口【叫，a 【，】) 还构成完备内积空间，我们称a 为闭的正定形式。 定义1 1 6 ( 【4 】) 自伴算子a 称为闭正定形式a 的关联自伴算子以当且仅当满足 以下两个条件： 硕士论文t 7 r i e d d c h s 延拓理论及其在常微分算子上的应用 8 ( 1 ) d ( a ) c 口【口】； ( 2 ) ( a x ，y ) = n 【z ，掣 ，v x d ( a ) y d o 】。 命题1 1 7 ( 4 ) 若令吲。：( 8 k 叫) ，则l l 。l l m i 吲。 引理1 1 8 ( 4 ) 闭正定形式a 的关联自伴算予a 具有以下性质： ( 1 ) a 是正定的： ( 2 ) d ( a ) 是口中的稠子集( 以l i 。为范数) ； ( 3 ) m 。= m a ( m a 为a 的最大下界) 。 亟主造塞旦鲤堕些曼垄堑垄迨垦基壅堂塑坌蔓王= e 塑查旦9 2f r i e d r i c h s 延拓的内容与特性 2 1f r i e d r i c h s 延拓的内容 f r i e d r i c h s 延拓的核心在于正定自伴算子与闭正定形式之间的特殊关系。下面 的两个引理就此给出详尽的阐释。 引理2 1 ( 【4 】) 若给定正定自伴算予a ，则必然存在唯一的闭正定形式o ，使 得a 恰为口的关联自伴算子，且有d i e = d ( a ) ，并对任意的。，y d 【n ，有 a x ，鲥= ( a z ，a 掣) 。 证明：( 1 ) 存在性令a 一_ r a d p ( a ) ，则由算子演算可知4 为正定自伴 算子。因为。f z i y 】= ( 小z ，a y ) = ( a x ，可) ，所以口是正定的。因此由命题1 1 7 ，有 l i l z usm ：5 i z i 。 从而若 。) 为i i 。范数下的c a u c h y 列，则 z n ) 为i i i i 范数下的c a u c h y 列。 不妨设z 。业z ，又 l z 。一z 。l 。= o b 。一z 。，z 。一茹。1 = i i a ( z 。一z 。) 酽 所以a z 。且。由a 的闭性，有 a i l 茁= y ， 从而z 。如z 因此，。k 可】为闭的正定形式。 因为 口( a ) = z i j 厂2 d l l p - z i l 2 0 。给定序列 z 。) ：d a o ，若1 l 如| l o ，则对任意的 y d a o 】，当n o 。，有 a o x 。，y 】= ( x 。，a o y ) 一o 从而由引理2 6 可知，a o 是可闭的。我们令a = 丘q ，则口【口】= 口【叫( 以i i 范数) 。 由引理2 2 ，可设a 为口的关联自伴算子。下面我们要说明a 为a o 的保持最大 下界的自伴延拓。首先d i 口o 为v i a 】的i i 。稠子集，所以仇。= m 。从而由引 理1 9 可知? y a = m a 。其次，对任意y d 【a 】，存在 弧) cd l 满足9 。乌y ， 从而旦g 。因此， ( a o x ，y ) = 。l i r a 。( a o x ，鲰) 。l i r a 。o a o x ，y n 舰n 陋，划 a x ，计 由此，a o 满足定义1 7 中的( 1 ) ( 2 ) 条件。再有推论2 3 可得j 4 0ca 。从而a 的确是 a o 的一个保持最大下界的自伴延拓。我们将这样的自伴延拓方法称为f r i e d r i c h s 1 2 硕士论文f r i e d r i c h s 延拓理论及其在常微分算子上的应用1 3 延拓。 引理2 7 ( 3 6 】) 若a 为a o 的f r i e d r i c h s 延拓，则v ( a ) = 驯0 1n v ( a a ) 证明：( 作者自证) 显然有v ( a ) c 口【叫n 口( a ；) ，设t 为d 【叫n 口( 以；) 所对应 的算子，令 t x = 粕z v x d h n d ( 坞) ， 取任意的z 口【0 】n d ( a ；) ，任意的y 口【口】，存在 ) cv ( a o ) ，使得 卜| o 骱oy ， 当然有y n 业可，从而 ( t z ，g ) = l i r a ( r x ，) = l i r a ( x ，a o y n ) = 溉币习 = 可丽 = 。【z ，引， 从而由推论2 3 可知，tca 。所以a = t 。 事实上，此时1 9 ( a ) = y v ( a + ) 1 存在 弧) cd ( a o ) ，旦y ，且( a o 弧，) 为c a u c h y 列) 口 有了实质的掌握，对于一般下半有界的算子，我们只需稍作处理便可进行类似 的保持其最大下界的自伴延拓。不妨设( a o x ，z ) m 。( z ，z ) ，必然存在一o 0 ， 使得a 。= a4 - 。，为正定算子。对a 。运用f r i e d r i c h s 延拓便可得a 。令 a = a 。一a ，则a 为a o 的一自伴延拓且保持其最大下界。此时，需要引起我们 注意的问题是a 是否依赖于口的选择。任取一实数卢 a ，不难发现 ( a 口o z ，x ) s ( 氏z ，z ) s ( 口+ r n a o ) ( a + r n 山) 一1 ( a 知x ，z ) 因此。与i z l n 目。等价范数。从而a a = - 故运用f r i e d r i c h s 延拓对上述下半 有界算子a o 进行自伴延拓不依赖于a 的选择。因此，我们也将这样的延拓方法称 为下半有界算子的f r i e d r i c h s 延拓。 硕士论文f d e d d c h s 延拓理论及其在常微分算子上的应用 1 4 2 2 f r i e d r i c h s 延拓的特性及其与方程的联系 下面的几个命题，一方面显现了前面引入的n i e d r i c h s 延拓理论与方程的之间 的密切联系，另一方面也刻画了n i e d r i c h s 延拓本身固有的特性。 命题2 8 ( f 4 】) ( 利用变分原则求解a z = h ) 设a 为正定自伴算子，o 为a 相对 应的闭正定形式，若对任意的z 驯n 】令 妒 ( z ) = a x ，z 一2 r e ( x ，h ) 则“( z ) 是有下界的线性泛函，且当上= z o = a _ 1 h 时， c a , r a i n ( z ) = c a ( z o ) = 一o z o ，z o 】= 一( a 一1 h ，h ) 证明：因为h h ，所以存在x o 口( a ) 使得a x o = h 。因此， 庐a ( z ) = a z ，z 一2 r e ( z ，a z o ) = o 扛，z 一2 r ea 陋，t o = l x x 0 l ：一l x o i ： 所以， c a , 。m = 一 z o l ：= 一a x o ，z 0 = - ( a 一1 h ，矗) 此时x 0 = a h 。即x o 为a x = h 的解。 口 变分原则是求解方程的基本方法之一。它的核心思想就是将方程求解问题转 化为求某个泛函的极值问题。在偏微分方程中，我们不仅可用它来证明弱解的存 在性，还可为方程的数值求解提供一条捷径。因此，引理2 8 给出的泛函具有很大 的实际意义。 命题2 9 ( 1 3 3 ) 若正定自伴算子a 为闭正定形式a 的关联自伴算子，则a - 1 是紧算子当且仅当厶：口【0 】一日是紧算子。 证明：( 作者自证) 由引理2 1 和引理2 2 可知，a 为口m 一日上的双射自伴 算子，且有a = a 。a 。同时有，a 一为日上的有界自伴算子。由紧算予的性 质，有 厶：p 【。】，i i 。) 一( 日，| i ) 是紧算子 甘扛i 蚓。1 ，z d ) 是口中的紧集， a 一 ：( h ，l i ) 一p 。圳| f ) 是紧算子 塑主堡塞里蔓! 宴型塑! 篓堑垄造垦基壅堂丝坌篷至土塑堕旦 1 5 茹l z = a 一 危，l i h l i 1 ，h 日) 是h 中的紧集 不妨令h = a 。，因为矧。s1 i l a i l 。f fs1 ，所以 z 1i z l 。1 ，z 口【a ) = 。ll i a x 1 1 茎1 ，z 口【。 = z fz = a 一 ，f f 危l f 1 ，h 圩) 所以 厶是紧算子铮a 一 是紧算子 又因为a 一 为上的有界自伴算子，且a 一a 一a ；a = ，所以 a 一 - ( a 一 ) = a ， a - 是紧算子营( a 一 ) + ( a 一 ) 是紧算子甘a 一1 是紧算子 因此， 厶是紧算子营a - 1 是紧算子 口 我们进步来看，若a - 1 u = 0 ，则让= 0 。这个结果表明0 不是a _ 1 的特征 值，因此，当d i m h = 0 0 时，我们由紧自伴算子相应的性质可知，a 以有可数个 特征值 凡) 墨。且其对应的所有特征函数正好组成日中的完备标准正交系，不妨 假设其为 u 。) 甚。，这样对任意的z h ，有z ：萎( 。，u 。) u 。从而 事实上，在偏微分方程中，当区域q 满足一致锥条件时，引文中提及的d ( a e ) 紧嵌入日就对应于硪( n ) 紧嵌入l 2 ( q ) 。而这一点对于散度型椭圆方程弱解的存 在性的判断及第一特征值( 主特征值) 的估计起了极为重要的作用。 命题2 1 0 ( 【1 】) 设a 为下半有界算予且( a x ，z ) m a ( x ，z ) ，以f 为a 的 f r i e d r i c h s 延拓，a 为a 的任一保持下界的延拓，则m a m a f = m a 。证明： 因为 。d i 氛。 ( a 舭) 他，z ) ) 0 。 3 1 有限闭区间 a ，b 】 首先我们来看m 在有限区间 a ，6 上的情形。我们假设集合 d = ，1 ，g 酽( 口，6 ) ) 令兄= a ( m ) l 口，则r 为口上的对称线性算子，且下半有界。事实上，对任意的 f 口，有 ( 兄，) ：壹广( 一1 ) 。d k p 女( d 。) d ，o ) f ( x ) d x( 兄，) = ( 一1 ) 。 。) d ，0 ) - k = o 。“ = 厂m ) l d 。，( 删2 d z k = o 。“ 厂期( 圳，( z ) 1 2 d m 1 2 d x 7 期( 圳，( z ) 1 2m i 定理3 1 若算子h 满足( 1 ) 口( 日) = 1 1f 口( 丑( m ) ) ，d 2 ，( 。) = d 。，( 6 ) = 0 ，k = 0 ，l ，- ，凡一1 ) ，( 2 ) h = 丑( ) l 口( h ) ，则日为咒的l 舟i e d r i c h s 延拓。 证明：显然有t o ( m ) c 日，所以h 4c ( 蜀( m ) ) + = t i ( m ) 。从而，h + 均为微 分算子。 ( 1 ) h 对称对任意的，g d ( 日) ，有 ( h f ，g ) 一( f ，h 9 ) = ( m f ，g ) 一( f ，m g ) = f 工翻隍 = ( f a f ，a g ) ( 6 ) 一( f a r ，仃g ) ( 口) 硕士论文f r i e d r i c h s 延拓理论及其在常微分算子上的应用2 2 因为 f ( 丘) 盯，( o ) = 。 。 。 ： - ： o - oo - 。 - o o0 - o 0 - 0 0 - 0 0 a g ( a ) = 所以，有( f a f ，9 ) ( n ) = 0 。同理有( f o ：，9 ) ( 6 ) = 0 。因此 ( h f ，9 ) = ( f ，h g ) 即日为对称算子。 ( 2 ) 日自伴我们设r f 为r 的y r i e d r i c h s 延拓，则由f r i e d r i c h s 延拓的方法可 知，对任意的f 7 ) ( r f ) ，存在 d ( r ) ，使得 。堡l 。 且 ( r 一，m ) ， 一，m ) + 0 礼，m o o 因为 ( r ，) ：妻f 6 ( x ) i d m m ) l 。d p = ( x ) i d d x ， ( r ，) = ，( z ) 1 2 ， k = 0 j d n 一 m ( z ) l d 。( 厶一，m ) 1 2 d x 一0 ， 扎，m o o ( 1 ) k = 0 。n 因为m ( z ) 0 且p k ( x ) 连续，所以对任意k o ，1 ，n ) ，由( 1 ) 可得 6 l d ( a 一，m ) l 。d z 一0 ，n ，m o o ( 2 ) d 厶( z ) 一d 。，m ( z ) i f i d + 1 ( ，n 一：d i d z v 伍- 一a ) l i d 。十1 ( 厶一：m ) 1 1 2 塑主鲨皇至塑! 垡堕些! 堡堑墨迨壁基垄堂丝坌基王= ! 煎壅旦 2 3 因此，当k = 0 ，1 ，1 1 , 一1 时，d ，n ( 。) 在【a ，砩上一致收敛。不妨设 jg ， 礼_ o 。 因为 一l 2 ，所以存在 厶) 的子列不妨仍记为 a ) ，有a 骂，。因此 ，一g = 0 a 。e 而，与9 均为连续函数。所以f 一9 。即 。js 由逐项微分定理可知 d ，( z ) = 概d ，m ( z ) k = 0 ，1 ，n 一1 从而 d 2 f ( a ) = d 。f ( b ) = 0 k = 0 ，1 ，札一1 因此有f 口( 日) 。从而 7 ) ( r f ) c 口( 日) 由日是对称算子可知r f = h 。即 ， d ( r f ) = f if 口( 乃( m ) ) ，d 。f ( a ) = d 。f ( b ) = 0 ，= 0 ，1 ，n 1 ) 定理得证。 o 3 2 半直线 a ，) 先来看c h 中一特殊子空间s ，令 s = z = ( ：! 。) i 。c 加，n - = = n n = 。) 则d i m s = n 。与有限区间【a ，6 j 的讨论类似，我们假设集合 d = ，if c ”k ，o o ) ) ，s u p p ，紧，o f s 亟主迨皇至垒型些! 堑堑望堡星基查堂丝坌簋王：皇盟廛旦 2 4 令r = n ( m ) i 口，则r 为口上的对称线性算子，且下半有界。设r f 为r 的 f r i e d r i c h s 延拓，则d ( r f ) = ，d ( 乃( m ) ) i 存在 厶) d ( r ) ，厶旦，且( r a ， ) 为g o 札c h y 歹w j ) 定理3 2 对任意的f z ) ( r f ) ，有o f ( a ) s 。 证明：取任意有限区间【a ，b 】，对任意的f d ( r f ) ，存在 ，n ) d ( r ) ，使得 l ，当| 。 且 ( r ( a 一，m ) ，厶一矗。) - + 0 n ，m 一。o ， 即 壹( x ) i d ( a 厶) 1 2 d x 。0 p k ( z ) l d d x 0 。，m 。 ( a 厶) 1 2 一 n ，一。 k = o 。o 此时对任意z 陋，6 】，有p k ( x ) e ，且 i d 2 ，n ( z ) 一d k f m ( z ) l ，6i d + 1 ( a 一，m ) 1 d 。 厂万 ( 6 一口) 上 d k + l ( ，n 一，m ) ( c ) - 1 ( 6 一。) b 阱1 忙) i d m m 一厶) 阳。 ( e ) “( 6 一。) 上p m 扛) l d 1 一，m ) 因此，当而= 0 ，1 ，n 一1 时，d 2 a ( x ) 在h 砩上一致收敛。由定理3 1 ( 2 ) 类似 证明可得 d ，n ( z ) jd 2 ，( z ) k = 0 ，1 ，礼一1 所以盯，( 8 ) s 。定理得证。 口 令 口( 日) = ，d ( a ( m ) ) l o f ( a ) s ) 则有口( r p ) c 口( 日) 。即 r f c h c 丑( m ) 由于自伴算子是特殊的对称算子，那我们先在d ( h ) 内讨论对称算子的充要条件。 亟望塞f r i e d r i c h s 延拓理论及其在常微分算子上的应用 2 5 引理3 3 若线性算子a 满足ach ，则a 是对称算子当且仅当对任意的 ，g d ( a ) ，有三骢【，引( z ) = 0 。 证明：因为a c h ，所以a 也是微分算子。对任意的f ，g d ( a ) ，有 从而 引理得证。 o 。a g s ( a f ，g ) = ( f ，a g ) 营( m f ，g ) = ( f ，m g ) 甘规【，9 l ：= 0 铮县【，翻( z ) = 0 口 3 2 1 m 为极限点型 由于m 为实正则对称微分算子，所以此时对任意的f ，9 口( 丑( m ) ) ，必有 撬i f ，引( z ) = 0 一 由引理3 3 可知，日本身即为对称算子。又r pch ，所以 h = r e 故此时， z ) ( r f ) = ，口( 噩( ，) ) i 口，( n ) s ) 定理3 4 当m 为极限点型时，v ( r f ) = ，口( 乃( m ) ) i 盯，( 血) s ) 。 具体来看， 当n = 1 时，即m = 一d p l d + p o 。由于假设中要求p o 有下界，由极限点的判 别条件可知，m 为极限点型。 当n = 2 时，即m = 一d 2 p 2 d 2 一d p l d + p o 。同样由极限点的判别条件可知， m 为极限点型。 硕士论文f r i e d r i c h s 延拓理论及其在常微分算子上的应用 2 6 3 2 2 m 为非极限点型 当m 为非极限点型时，情形就十分的复杂。作者没有能具体刻画f 延拓的边 值条件，只是给出一种解决问题的想法。那就是先划定搜索范围然后通过某种逼 近来得到尺尸的