（应用数学专业论文）dyck+paths+with+restriction.pdf

摘要 在这篇论文中我们集中讨论了有限制的d y c k 路，推导出它们所满足的递推关系 式，生成函数，以及它们的公式。首先，我们研究了n a r a y a n a 数，从c h u v a n d e r m o n d e 恒等式入手，得出了它的行生成函数与列生成函数之间的关系，由算子方法得出了一个 重要的关于n a r a y a n a 数和c a t a l a n 数的恒等式。接着，我们解决了由k 个u d u 的d y c k 路的计数问题，得出它的显示公式，给出了m o t z k i n 数与c a t a l a n 数之间的一个新的组 合解释。然后，我们用所谓的符号方法研究了在低层和高层中有k 个u d u 的d y c k 路， 给出它们的显示表达式，得到了一个关于m o t z k i n 数的新的表现结构。之后，我们研 究了在r ( 2 ) 层中有个u d u 的d y c k 路，得出它与类一f i b o n a c c i 多项式有密切的 联系，给出了两族有意义的恒等式的猜想。最后我们用c a u c h y 留数定理得出了一些与 d y c k 路有关的恒等式。 关键词：d y c k 路，c a t a l a n 数，m o t z k i n 数，生成函数，恒等式 2 i i n t r o d u c t i o n 1 i n t r o d u c t i o n a d y c kp a t hi sal a t t i c ep a t hi nt h ef i r s tq u a d r a n t ，w h i c hb e g i n sa tt h eo r i g i n ( 0 ，0 ) ，e n d s 札( 2 n ，0 ) a n dc o n s i s t so fs t e p s ( 1 ，1 ) ( c a l l e dr i s e s ) a n d ( 1 ，- 1 ) ( c u l l e df a i l s ) w e w i l lr e f e r t on a st h es e m i l e n g t ho ft h ep a t hac a n t a l a np a t hi sal a t t i c ep a t hi nt h ef i r s tq u a d r a n t ，w h i c h b e g i n sa tt h eo r i g i n ( 0 ，o ) ，e n d sa t ( n ，n ) a n dc o n s i s t so fs t e p s ( 0 ，1 ) ( c a l l e dn o r t h s ) a n d ( 1 ，0 ) ( c a l l e de a s t s ) a n dn e v e rb e n e a t ht h el i n ev = z f o ro u rc o n v e n i e n c e ，w ed e n o t eb y 口na n d c nt h es e to fa l ld y c kp a t h so fs m i l e n g t hn a n dt h es e to fa l lc a n t a l a np a t h sa sd e s c r i b e d ，w e k n o wt h a tt h et w oc o n c e p t sa r ei nf a c te q u i v a l e n t i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ec a r d i n a l i t yo ft h e t w os e t si st h en t hc a t a l a nn u m b e r g = 者 2 ( ：) 十l 礼， w h i c hp r o v i d e sac o m p l e t ea n s w e rt ot h ep r o b l e mo fc o u n t i n gc e r t a i np r o p e r t i e so fm o r et h a n 6 6d i f f e r e n tc o m b i n a t o r i a ls t r u c t u r e s 1 8 w ec a ne n c o d ee a c hr i s eb yt h el e t t e r “( f o ru p ) a n de a c hf a l lb yt h el e t t e rd ( f o rd o w n ) ， o b t a i n i n gt h ee n c o d i n go fd y c kp a t h sb yas o c a l l e dd y c kw o r d f o re x a m p l e t h ed y c kp a t h i nf i g 1i se n c o d e db yt h ed y c kw o r du u d u d d u d f i g u r e l a s t e po fad y c kp a t hh a v i n ge x t r e m i t i e so r d i n a t e sk 一1a n d ( k 1 ) i ss a i dt ob e a t l e v e lka p o i n to fad y c kp a t hw i t ho r d i n a t eki s s a i dt ob ea tl e v e l i nad y c kp a t hap e a ki sa no c c u r r e n c eo fu d av a l l e yi sa no c c u r r e n c eo fd n a n da d o u b l e r i s ei sa no c c u r r e n c eo fu u b yt h el e v e lf o rh e i g h t ) o fap e a ko ro fav a l l e yo ro fa d o u b l e r i s ew eg l e a nt h el e v e lo ft h ei n t e r s e c t i o np o i n to fi t st w os t e p s b yar e t u r ns t e pw em e a nads t e pa t l e v e l1 d y c kp a t ht h a th a v ee x a c t l yo n er e t u r n s t e pa r es a i dt ob ep r i m i t i v e a na s c e n t ( d e s c e n t ) o fad y c kp a t hi sam a x i m a ls t r i n go fu s ( d s ) a n di t sl e n g t hi st h e n u m b e ro fs t e p si ni t ar e t u r nd e s c e n ti sad e s c e n tt h a te n d sw i t har e t u r ns t e p 5 j i n t r o d u c t i o n i fda n d _ 臼a r ed y c kp a t h ，t h e nw ed e f i n e ( i ) q 卢a st h ec o n c a t e n a t i o no fe la n dp ； ( i i ) a = u a da n dw ec a l li t t h ee l e v a t i o no fo 2 i n 4 t h ee n u m e r a t i o no fd y c kp a t h sa c c o r d i n gt os e n f i l e n g t ha n dv a r i o u so t h e rp a r a m - e t e r si ss t u d i e dg e n e r a l l y ，b u tas p e c i a le a s es e e m st ob en e g l e c t e dc o m p l e t e l y , t h a ti sd y c k p a t h si n 口nw i t hku d u s h o w e v e r ，m o r er e c e n t l ye d e u t s c ha n dl s h a p i r oh a v ep o i n t e d o u ti n 6 t h ec o u n t i n gp r o b l e mi nab i j e c t i v ev i e w i nt h i sp a p e rt h eo r g a n i z a t i o ni sa sf o l l o w s i nt h en e x ts e c t i o nw es t u d yn a r a y a n a n u m b e r s 女i e ，t h en u m b e ro fd y c kp a t h sw i t he x a c t l y 女p e a k s ，o b t a i nt h er e l a t i o no f t h e i rr o wa n dc o l u m n g e n e r a t i n gf u n c t i o n sf r o mc h u v a n d e r m a n d ei d e n t i t y ，a n d a ni m p o r t a n t i d e n t i t yr e l a t e d t oc a t a l a nn u m b e r s i ns e c t i o n3w ef i n dt h ee x p l i c i tf o r m u l af o rt h en u m b e ro f d y c kp a t h si n 口nw i t hku d u s ，g i v ean e wc o m b i n a t o r i a li n t e r p r e t a t i o no f ar e l a t i o nb e t w e e n m o t z k i nn u m b e ra n dc a t a l a nn u m b e r i ns e c t i o n4w ef o c u so nd y c kp a t h si n 口nw i t h u d u sa tl o wa n d h i g hl e v e lb yt h es y m b o lm e t h o d ，g i v ei t se x p l i c i te x p r e s s i o ni n c l u d i n g s o m e i n t e r e s t i n gi d e n t i t i e s i ns e c t i o n5w ei n v e s t i g a t ed y c kp a t h si nd nw i t h u d u s a tl e v e lr 2 w h i c hi sr e l a t e dt ot h ef i b o n a c c i - l i k ep o l y n o m i m ，a n dc o n j e c t u r et w of a m i l i e so fi n t e r e s t i n g i d e n t i t i e si nt h ef i n a ls e c t i o nw ec o n c e n t r a t eo nt h ei d e n t i t i e sr e l a t e dt od y c kp a t h s 2d y e kp a t h sw i t he x a c t l ykp e a k s 2d y c kp a t h sw i t he x a c t l y p e a k s l e t 虬，女d e n o t et h es e to fd y c kp a t h si n 口nw i t he x a c t l ykp e a k s ，a n d n 女b ei t s c a r d i n a t i t y ，i ti sw e l lk n o w nt h a t = ( 。：。) ( 2 1 ) i st h en a r a y a n an u m b e r sf i r s ts t u d i e db yt v n a r a y a n a 1 4 l e t n ( ) = ：1 n ，k t a n d 唧( t ) = n ! k n ，护d e n o t e ，a su s u a l ，t h er o wa n d c o l u m n g e n e r a t i n gf u n c t i o n so ft h e s e q u e n c e ( ，k ) f o r a n df o rnr e s p e c t i v e l y d e f i n en o ( t ) = t ，w ( ) = 1w es h o wt h a tt h e f u n c t i o n 雌( t ) c a nb ee x p r e s s e di nt e r m so fn k l ( t ) f o rk 1 ) w h i c hi sa l s oo b t a i n e db ye d e u t s c h 4 b y a n o t h e rm e t h o d f r o mc h u - v a n d e r m a n d ei d e n t i t y ( 撇) = 嘉( 一( “+ r - 8 ) ( 二：) 江z ， s e tr = n ，s = n 一1 ，m = + 1a n du = 一1 i n ( 2 2 ) ，w eh a v e ( 。+ “1 凇k - 。1 1 ) 2 萎( 扎一( “轰”) = 蚤( 扎一k ，) ( “麓 s 0 1 e 掀。) ( ：) 2 蚤( k ) ( t h e n f o rk 2w eo b t a i n 心( t ) = n ，p n k ，川= 帆，。( 轰一) 萎蚤，。(”+。k-11 叫) 矿 n t 、 7 薹蚤，川椭“”( 。一1 - 2 k 一。) 小“+ ln ku 1 、7 = 矿。1 帆吐。t 。 y 7 ( 口2 1i 0 扩n k l ( ) 一f l t ) 2 k 一1 t 3 2d y c kp a t h sw i t he x a c t l ykp e a k s f 0 rk = 1 ，w e h a v e 婀( t ) = 。! 1 ，l t “= 。= 1p = 再t t h u sw eo b t a i nf o rk 1 砌，= 箬矬 4 ( 2 3 ) a l s ow ec a ns e ef r o m ( 2 1 ) t h a t 帆。，n 一女+ 1 h e r ew eg i v eac o m b i n a t o r i a lp r o o f w eh a v ek n o w nt h a tad y c kp a t hw i t hkp e a k sh a se x a c t l yk lv a l l e y sa n d v i c ev e r s a s e tp 口nw i t h 七一lv a l l e y s ，w ec a nf i n dad y e kp a t hq 口nw i t h n kv a l l e y sc o r r e s p o n d i n g t oi t l e t 虮，啦， 女一lb et h ev a l l e y so f 只a n dr e p r e s e n tv i = ( 嚣) ，1si 一1 ，x ia n d y td e n o t e st h en u m b e r o fs t e p so fr i s e sa n df a l l sf r o m ( 0 ，0 ) t ov ir e s p e c t i v e l y i ti se a s yt o s e et h a t1 仇 叭+ 1 曼礼一1 ，1sx i x i + l 茎n 一1a n dy i 墨x i s ow eo b t a i nau n i q u e t w o - r o w e da r r a yf o re a c hd y c kp a t hw i t hk 一1v a l l e y s ， - ，= ( ：笼t 瓣k - - ，i ) g i v e nat w o r o w e da x r a yv a sd e s c r i b e dw i t ht h ec o n d i t i o n1 挑 y i + xsn l l 曼z t zz + 1 礼一1a n dy isx if o ra l l1si 七一1 ，b ys e t t i n gav a l l e yi nt h ep o s i t i o n 饥= ( j t ) ，t h a ti s ，f r o mt h eo r i g i nt h e r e 8 x ez ir i s es t e p sa n dy id o w ns t e p s ，w ea t t a i nau n i q u e d y e kp a t hp 口nw i t h 一1v a l l e y s n o ww e c a n g e ta t w o r o w e da r r a yv u n i q u e l yf r o mv s e t x = h i y 1 ，y 2 、- ，y k 1 ) = 。 ，z ；，一，z ：一k ) a n d y = n 一1 z 1 ，x 2 ，z 女l 2 9 ：，蝣，一，掣三一k ) w i t h t h en a t u r a lo r d e r i ti se a s yt os e e1 y ； s c o m p a r et h ec o e f f i c i e n to fy “o f ( 27 ) a n d ( 2 8 ) w eo b t a i n s o ( 2 4 ) a n d ( 2 5 ) h o l d 2 。( 一1 ) = 0 ，2 。+ 1 ( 一1 ) ：( 一1 ) “g 5 ( 2 4 ) ( 25 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 口 6 1 虬 5 ，| 兰 4 。m m 3 。6m 2 3 6 如虬 七 a 1 2 3 4 5 6 7 鲈 妒 。m = z 2d y c kp a t h sw i t he x a c t l ykp e a k s t h e o r e m2 2f o ra n yn o n n e g a t i v ei n t e g e rna n d p o s i t i v ei n t e g e rk ，w eh a v e 霎c 叫。( ? ) + 州，州= 霎矗；笔( ? ) ( ”+ ：州) ( “：i ) ：g c z 。， p r o 西w e w i l lp r o v ea ne q u i v a l e n tf o r mo f ( 2 9 ) w h i c hi s 薹2 nc 1 。2 + ( 1 )( 翟) d e f i n et w ol i n e a ro p e r a t o r sl 1a n dl 2 ( f o rt h ed e t a i ls e e 1 ) a sf o l l o w s 训= ( 。n 川+ k ) b yv a n d e r m o n d ei d e n t i t y w ，= ( “。+ 一k - 1 ) 塞( 巩m i ) = ( ”_ ：”) i ti s e a s yt os e e t h a t 上t c 。“c ，+ z ，2 ，= ( n 十：+ i ) s o w eh a v e l 2 ( y n ( 1 十g ) t ) ：f “+ 。一1 + 2 1 n 霎，( ? ) ( 一。k “) ( 。1 ) 2 n = t = 0( _ 1 ) 。( ? ) 训州，恻2 m 刊1 ) l 1 l 2 ( x “y “( ( 1 + z ) ( 1 + y ) 一1 ) 2 “) = l 1 l 2 ( 护扩( ( 1 + z ) g + z ) 2 “) = 墨i = 0 ( 孙p c 删纠扩。， = 霎( ? ) ( “芏州“+ 一k - 1 ) ( ：) w h e r et h el a s te q u a l i t yf o l l o w sf r o m ( 2 1 0 ) w h i c hi s0w h e ni n b yt h ep r o o f o ft h e o r e m2 2 i ti s e a s yt oo b t a i ni t sg e n e r a l i z a t i o n ( 2 1 0 ) 口 5 2d y c kp a t h sw i t he x a c t l y p e a k s c o r o l l a r y2 3 f o ra n yn o n n e g a t i v ei n t e g e rn u m b e rn ，m ， 1a n d 女2 ( ”j ”) ( ”+ k 。l + i ) ( ”十。k 2 + i ) = ( “之“) s e t t i n gm = n ，女l = k ，2 = n + 女+ 2 a n di n u l t i p l y i n g b 7 鬲1 i n ( 2 1 1 ) ，w e 。b t a i n c o r o l l a r y2 4 东2 n ，。( ? ) 卅一g ， w h e r e k = 掀k 、 r 2 n q - 1 。) i st h ed i s t r i b u t i o no fk i r k m a n 1 2 7 口 ( i 3 d y c kp a t h s w i t h u d u s 3d y c kp a t h s w i t hku d u s l e t 兀 d e n o t et h es e to fa l ld y c kp a t h si n 口nw i t hk u d u sa n d 矗，女t h ec a r d i n a l i t y o ft h es e t 兀女i nt h i ss e c t i o nw ew i l lf i n dt h ee x p l i c i tf o r m u l ao f ，k f i r s t w ec o n c e n t r a t eo nt h er e l a t i o nb e t w e e nc a n t a l a nn u m b e rg a n dm o t z k i nn u m b e r d 。t h em o t z k i nn u m b e rm n i st h en u m b e ro fm o t z k i np a t h sf r o m ( 0 ，0 ) t o ( n ，0 ) w i t hs t e p s ( 1 ，1 ) ( c a l l e dr i s c s ) ( 1 ，一1 ) ( c a l l e df a l l s ) a n d ( 1 ，0 ) ( c a l l e dh o r i z o n s ) ，n e v e rb e n e a t h t h ez a x i s ， w h i c hi si l l u s t r a t e db yf i g u r e3 f i g u r e3 d e f i n em 0 = 1 i ti se a s yt oo b t a i nt h er e c u r r e n c ef o r n 一1 = 螈一1 + 地一l 坞书l k = 1 a n dt h eg e n e r a t i n gf u n c t i o n 脚) ：z m o 扎i - 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