（基础数学专业论文）拟banach空间的几何常数.pdf

摘要 本文在介绍含有几何常数c 的拟赋范空间基本概念及强三角不等式的基础上，对拟 赋范空间，的性质、有限维拟赋范空间的性质、拟b a n a c h 空间的性质分别进行分析讨 论，在此基础上研究了拟b a n a c h 空间中的最佳逼近问题，p 一角距的基本性质及其上下 界不等式，以及拟召口玎口幽空间中心，y 映射的性质和它所满足的三角不等式结构，并得到 拟赋范空间三角不等式的推广，最后将拟b a n a c h 空间中的强三角不等式推广到非阿范 数空间。 关键词：拟b a n a c h 空间，拟范数，p 一角距，v 副映射，非阿范数空间 a b s t r a c t b a s e do nt h ep r i m a r yc o n c e p ti nq u a s i n o r m e ds p a c ea n dt h ep r o p e r t yo f p - n o r m e ds p a c e sa n df i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c ei nq u a s i n o r m e ds p a c e s ，t h i sp a p e r d i s c u s s e sa na p p r o x i m a t i o np r o b l e mi nq u a s i b a n a c hs p a c e s ，t h eu p p e ra n dl o w e r b o u n d sf o rt h ep - a n g u l a rd i s t a n c ei nq u a s i b a n a c hs p a c e ，a n dt h ep r o p e r t i e so f m a p p i n g 1 ，j ，i n q u a s i b a n a c hs p a c e s ，g e t t i n gt h ep r o m o t i o no f t r i a n g l e i n e q u a l i t yi nq u a s i b a n a c hs p a c e s i na d d i t i o n ，t h et r i a n g l e i n e q u a l i t yo f q u a s i b a n a c hs p a c ei se x t e n d e dt on o n a r c h i m e d e a nn o r m e ds p a c e k e y w o r d s ：q u a s i b a n a c hs p a c e s ，q u a s i n o r m ，p - a n g u l a rd i s t a n c e ， t h em a p p i n g ，x j ，n o n a r c h i m e d e a nn o r m e ds p a c e s 中山大学硕：e 学位论文 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 4 2 作者签名：习印 2 0 1 0 年5 月 于中山大学 中山大学硕士学位论文 第一章绪论帚一旱殖化 1 9 2 0 年到1 9 2 2 年间s b a n a c h ，h h a h n ，e h e l l y 和n w i e n e r 等人开始了对赋范空 间理论的研究。随着科学研究的不断发展，产生了拟赋范空间的理论及对其的研究。由 于完备的拟赋范空间即拟b a n a c h 空间中存在几何常数c ，对赋范空间的三角不等式及 逼近理论，还有p 一角距等理论产生影响，相关的理论也都得到了进一步的推广。本章首 先介绍拟赋范空间的概念和拟范数的连续性以及拟b a n a c h 空间的三角不等式，为后续 的研究分析提供基础概念和理论依据。 1 1 拟赋范空间的概念及连续性 拟赋范空间及拟范数的概念最早是m p a v e l 和s r o l e w i z 于1 9 5 9 年在研究一类线 性度量空间性质的基础上，相对于范数的定义提出来的。下面我们在介绍拟范数的连续 性之前，先介绍一下拟范数的定义。 定义1 1 1 1 设k 是实数域r 或复数域c ，x 是数域k 上的线性空间，若| j | | 是x 到r 的映射，且满足下列条件： ( 1 ) 0 x l l o a x l l = 0 当且仅当x = o ，协x ( 2 ) 恻i = u 4 ，v x e x $ f l v a k ( 3 ) 存在c 1 ，使得忙+ 少i c l x l + c t y ，对所有毛y x 成立。 ( 3 ) 中的常数c 不依赖于x ，y ，则称i i i l 为x 上的拟范数，而称为x 的拟范数，这时 称，) 为拟赋范线性空间。 明显地，若c = 1 ，则( x ，| i | | ) 为赋范线性空间，一般地，拟范数删不一定就是x 上 中山大学硕士学位论文 的范数。下面举出拟赋范线性空间的例子： 例1 1 1 对于。p ，= ( _ ) 卜墨妻i = 1k i p l l - c l l x 。一u + c u y 。- y 。0 可知定理成立。 定理1 2 2 若( 置| | i | ) 是拟赋范空间，以一五，寸x o ，则九专缸o 。 证明：l l 触。- x x i i = 0 触。- l n x 。+ 九- x x 。0 c 。- 1 x 。0 + c 1 t , x 。- x x 。0 = c 陋一圳i i + c 川慨一0 因此， 当厶专名，岭时，有 h 而0 哼瓴| i o 得证。 另外，赋范空间中使用的序列收敛，开( 闭) 集、稠密和紧集等概念都可以在拟赋范空 间中推广使用。 定义1 2 1 设x 是拟赋范空间，b 。) cx ，ex ，若! 到h x 。1 1 - - o ，则称序列 依拟范数| i 1 l 收敛于，记为山。 在实数空间r 中，【口，a ji - n 连续函数一定有界并达到它的上下界，但在度量空间中， 有界闭集上的连续函数不一定能达到它的上下界，因此引入列紧性等概念，列紧性是 m f r e c h e t 在1 9 0 4 年发表在c o m p t e sr e n d u s 的论文引进的。 定义1 2 2 设x 是拟赋范空间。f 为x 的子集，若f 的任何序列都有在x 中收敛 的子序列，则称f 为相对列紧：若，为相对紧集，并且是闭的，则称f 为列紧集。 此外，在拟赋范线性空间中，仍然用u ( ，) = x 肛一8 ，) 记为以为球心， 2 中山大学硕士学位论文 ，为半径的开球，b b ( x o , r ) = xex l l l x - x o l l - ，) 记为以为球心，为半径的闭球。 1 2 拟b a n a c h 空间的强三角不等式 三角不等式是一类重要的基本不等式，在b a n a c h 空间x 中存在三角不等式 i i x + y 1 - i i 爿t + u y f l ( x ，y 彳) 。后来，人们在研究的过程中得到比忙+ j ，0 + ( 石，y x ) 更强的不等式，即如下的三角不等式，称为强三角不等式： 定理1 2 1 设x 为b a n a c h 空间，任意非零元素x ，y x ，删m i ，不等式： u x + y u + ( 2 一旆+ 神陟8 - i i x l l + l f y l f ( 1 2 1 ) 成立。 i i x + y l l + ( 2 一睁跏x u ( 1 2 2 ) 其中不等式( 1 2 1 ) 最早见于h u d z i k 和l a n d e s 的文章 1 3 ，不等式( 1 1 1 ) ， ( 1 2 2 ) 亦见于【1 4 j ， 挖ab a n a c h 空间中，f l j t - b a n a c h 空间的三角不等式肛+ y l + 恻i ( 毛y x ) 被 i i x + y 0 c i l x f l + c 陟f f ( x ，y x ) 代替，即出现了几何常数c ( c 1 ) ，2 0 0 7 年吴聪在 4 中论证并得到如下强三角不等式： 定理1 2 2 1 4 拟b a n a c h 空间x 上的任意非零元素x ，j ，叫l ，不等式： l i t + y l l + c ( 2 一鼯神刎 - i x l l + i l y l l 3 中山大学硕士学位论文 i l x + 小( 2 c 2 一睁蹄k i i 此外，关于拟腑办空间x 上的一个拟范数| 1 i i 和p r ( o p 1 ) ，i i | | 满足p 一三 角不等式忙+ 卅ps p + m l ，( x ，y x ) ，吴聪在 4 证明了如下拟勘”口c 办空间上的强三 角不等式： 定理1 2 3 1 4 对拟砌以砌空间x 上的任意非零元素工，y ，0 y 0 ，不等式： o x + y o p + i l 爿i p + l l y o p 一( o x i l o y i | ) p l h 翥+ 蒯l ，o y 8 p + p 刮州+ 砷卜陟删训_ i | 叫卜睁甜圳1 成立。其中p r ( o p 1 ) 。 4 第二章拟赋范空间的基本性质 各类拟赋范空间具有一定的拓扑性质，本章内容对本研究涉及的常见的几类拟赋范 空间，即，p 空间，有限维的拟赋范空间，拟鼢撇幽空间的基本性质展开分析讨论。 2 1 拟赋范空间j ，的基本性质 在第一章中跏曾删，关于乇= 卜枉墨妻i = i 矧p ，o p l ，它在拟范数 恻i = ( 善k l ，) ，下是拟赋范线性空间，下面我们以，。为例进行证明。先介绍一个有用的 命题： 命题2 1 1 1 2 7 ：设孝，7 7 露，则i 善r + i 玎l ，到孝+ ，7i ，o f l 1 证明：当勃= 0 时，l 孝f 夕+ fr f 多习孝+ 7 7f 声，0 1 显然成立。 当勃o 吼因为揣引，揣虬唧 l 删柏揣炝揣+ 揣= ， 从而i 孝i 户+ i ，7 f ，( f 善i + i ，7 | ) 户到孝+ ，7 i ， 下面证明小h 薯眠釉； 0 在拟铡悱c 釉分下是拟溉 证明：设石= ( 而，x 2 ) ，少= ，儿) | fx | | = ( | 而1 2 + ix 21 2 ) 2 = 而i + l 屯i + 2 ( i x ii 1x 2i ) i | | yl l = lmi + i 虼j + 2 ( 1 乃j | 儿d j i ix + y l l = t 而+ 少ii + i 而+ y 21 + 2 ( 1 毛+ 咒i 1x 2 + 夕21 ) j i 中山大学硕士学位论文 由上述的命题可知： 三三三三三三 lx l + y l1 2 笃x l1 2a t - ly l1 2 ，lx 2 + y 21 2qx 21 24 - iy 21 2 从而 2 i 而+ m1 2lx 2 + y 21 2 2 ( i 而1 2 + iy l1 2 ) ( ix 21 2 + ly 2i2 ) 又因为 所以 三三 2x l x 21 2 + ix li + ij ，2i + iy li + i x 2i + 2iy l y 2i 2 爿ixl l + l lyl l 三 i 而i + ix 2 罔毛i + ix 2i + 2 ( i 五l ix 2i ) 2 刊lx0 三 iy li + iy 2l 訇少1i + iy 2i + 2 ( iy li iy 21 ) 2 爿ij ，0 l lx + y 临2 忪l l + 2l ly | i ，即c = 2 故z 争= ( 葺) 卜k ，妻i = ll _ 户 ) 在拟范数峙8 = c 妻i = l k 淳，2 下是拟范数。 对于拟赋范空间z p ，它具有很多的拓扑性质，本节中针对，p 空间的有界性和连续 性展开讨论，首先介绍线性拓扑空间中的若干引理。 定义2 1 1 3 ：线性拓扑空间x 有一个由凸邻域组成的0 点的邻域基，称x 为局部凸 空间。 定义2 1 2 3 ：线性拓扑空间x 有一个有界的0 点邻域，称x 局部有界。 引理2 1 1 3 ：一个非局部凸的线性度量空间，其中度量有界集与有界集是一致的。 引理2 1 2 3 ：矗专。并不蕴涵去喜& 寸。的线性拓扑空间。 对于引理2 1 2 ，如果x 是局部凸空间，x 且x n 。，则丢喜磁专。但是， 对于非局部凸空间而言，这一命题并不成立。 引理2 1 3 3 ：一个非局部凸空间，在它上面存在非零连续线性泛函。 对于= t 眠主1 = 1m p 小p 叱它在拟铡m 釉下是 拟赋范线性空间，这个线性拓扑空间局部有界但不是局部凸的，由上面的引理可得到关 于拟赋范空间lp 的如下性质： 推论2 1 1 ：拟赋范空间，p 中，度量有界集与有界集是一致的。 证明：考虑满足条件i i p o o 的切数列所成的线性空间， n = l 对于x = 瓴) ，y = 白。 ，定义d ( 溉 ，轫。) ) ：妻i 六一巩l p 故拟赋范空间，p 为一非局部凸的线性度量空间。 下证，在空间，p ( 0 p 1 ) 中，集a 是有界的，当且仅当它是度量有界的。 开球队d ，1 ) = 溉】| d ( d ，溉 ) 0 ，使得o p + 印 1 。 令x 。= ( 。，o ，古，。，) ，第，z 位为万1 7 g 一p 、- 、 广所 ，l c 、 ，一胁 d ，l u 一， 、， ，m i = 、，j d ，l u 一， ，c 、， 厂d ，- ， uc 彳 中山大学硕士学位论文 则而且一o ，即d ( ，。) = 万1 专o 刀 另一方面，有吾喜以= 咕，i 1 了，i 1 万，o ，0 ，) 因此，d 咕喜磁，d ) = 万1 + 矛专i + + 矛七万刀矛丢万= 矿功j 佃 推论得证 推论2 1 3 ：拟赋范空间，中存在非零连续线性泛函。 好= h t 咄舶1 = ip 0 小p 是一个局黼心乍局部凸的拟 赋范空间，定义实值函数! 溉：专r ，! 溉) ! = i 六i p , o p 1 ，则坐标泛函 n = l z ( 溉) ) = 点是非零连续线性泛函。 关于，口空间中的连续线性泛函，汪林和杨富春于2 0 0 0 年在 3 中讨论f r e c h e t 空 间的性质时，提出如下定理： 定理2 1 4 【3 】：拟赋范空间z p 包舍一个闭真子空间x ，使，p 上的任一连续线性泛函厂， 若厂在x 上为零，则它在，p 上亦为零。 在给出定理的证明之前，我们引入一个有用的引理及其推论： 引理2 1 4 【3 1 设x 是可分的局部有f r e c h e t 的空间( 1 s x 有有界的0 点邻域) ，则对 某个p e ( 0 ，1 ) ，x 同构于，口的一个商空间。 推论2 1 4 【3 】：对每一个p ( o 0 ，使得c l i l x l l 。：c ：。，则f 1 | 。和帆等价。 这个定义表明，具有相同维数的两个有限维线性拟赋范空间在代数上是同构的，在 拓扑上是同胚的。 由上面的定义可以得出如下推论： 推论2 2 1 拟赋范空间x 上的两个拟范数i | 1 | 。和帆是彼此等价的，若对任何 x x ，l i x n4 专o ，当且仅当慨0 ：专。成立。 定理2 2 2有限维的拟赋范线性空间一定是拟b a n a c h 空间。 证明： 若往。) 为”维拟赋范线性空间( x ，i f i i )c a u c h y 列，则对于xh a m e l 基e 。， ，有石埘= 口， 由q ( 窆f q l ：) i 1 c ：( 之k l ：) i 1 ，可知耐m ，) 亦为c a u c h y 列， 故存在口f r ，使得口；“一口j ， 因此有口：( 口，) ，使得( 窆阿辨，一口fj 2 ) ；一。 令x = 叩，贝j j j l 工脚- x n l l = j 4 帕q 一j 仃 l 一 一 l f 窑l i j 暑l j 曩l i 窆i 口m ) _ a t m l l 0 9 中山大学硕士学位论文 ( 窆i 口；m ) _ a i l 2 ) ；( 乳川2 ) 丢 ：m ( 窆口f m ) _ o ij 2 ) ；一o l i p i i x 册一i i - 争o ，因此缸历) 是收敛序列，所以z 是完备的，即是拟b a n a c h 空间。 定理得证。 定义2 2 1 5 设x 为度量空间。f 是x 的子集。若f 的任何序列都有在x 中收敛 的子序列，则称f 相对列紧：若f 相对列紧，并且是闭集，则称，为列紧集，简称紧集。 构， 下面讨论有限维拟赋范线性空间( x ，i i | | ) 中紧集与有界闭集的关系。 设p l ，口2 ，为( 彳，| j | | ) 的h a m e l 基，则对任意x x ，：f ix = 岛 定义k “到x 的算子r ( 吼) = 口，吼，则存在c 0 ，c 2 0 ，使得： c ，( 羔蚶i ) ；愀) i | c ：( n 蚶i ) ； 从而丁是k ”到x 的连续算子，且是一一对应的。 由c ( 窆k | 2 ) ；咿( ) 8 知丁一- 是x 到k 一的连续算子，因此r 是k 一到x 的拓扑同 所以m 为紧集当且仅当t - 1 ( m ) 为k ”的紧集，从而m 是x 的紧集当且仅当m 是 有界闭集。 定理2 2 3 设( z ，l | | 1 ) 是有限维的拟赋范线性空间，则mc x 是紧集当且仅当m 是有界闭集。 考虑：若拟赋范线性空间( z ，怖的每个有界闭集都是紧集，则m 为有限维的拟赋范 线性空间。 l o 中山大学硕士学位论文 在给出这个结论的证明之前，先介绍f r i e s z 在1 9 1 8 年得到的r i e s z 引理及其推广得 到的引理。 r i e s z 引理 5 ：设m 是赋范线性空间( z ，i h i ) 的闭真子空间，则对任意o 占 l ，存 在k x ，忙i i = 1 ，使得忙一屯8 占，对任意x m 成立。 下面我们将r ie s z 引理推广到拟赋范线性空间。 引理2 2 1 设m 是拟赋范线性空间何，j j | 1 ) 的闭真子空间，则对任意o 0 ，由d 的定义可知，存在x 。m ，使得：d i l y 。一i i 赤o y o - x l l 鬲d 小赤 由，7 的任意性知，存在，7 o ，使得了茜 ，且l l x 一x 册忙丢不存在任何收敛子序列，这与b ( x ) 是紧集矛盾， 所以( 彳，1 1 1 1 ) 是有限维的拟赋范线性空间。 由上面的引理和所得到的定理，我们得到下面的推论： 推论2 2 2 拟赋范线性空间x 是有限维的，当且仅当彳的每个有界闭集是紧集。 命题1 【5 】：设e 是拟赋范空f a - z 的闭线性子空间，关于某个固定的元素y ，y 甓e ，序列 & 。+ y ) 在e 中收敛，x n e ，a 。k ，则 口。) 和扛。 收敛。 证明：设序列库+ a n y ，矗e ，口。k ，y 薯e 在x 中收敛， 不妨设当n o o 时，k + a y 一0 。 若 ) 不收敛，则存在一个子序列 口k ) ，存在叩 0 ，使得i 口厶i 刁 因此，k - 1 ( 飞+ y 牡k m 厶+ y i l 收敛。 事实上，若 矗十吒办收敛，s j j 。l i m 。( x + 力存在， 所以 。- - x 脚) + ( 口。- a 。) y 一0 故有口。- a 册一0 ，因此 口。) 是一个柯西列。 命题2 5 】：拟赋范线性空间x 的任何有限维子空间是闭集。 证明：若e 是拟赋范线性空间x 的闭线性子空间，定义f = s p a n e u 0 ，存在正 整数，使得聊，刀 时，有d ( 石历，x 。) 占，则称扛。) 为柯西列。 定义2 3 5e 5 若度量空间( x ，| | | | ) 的每一个柯西列都收敛于x 中的点j i u 称( x ，| | 1 1 ) 为完备的度量空间。 定理2 3 1 设( x ，是拟赋范线性空间，则( x ，州1 ) ：鼽1 , b a n a c h 空间的充要条件是 x 中的每一个绝对收敛的级数都收敛。 证明：设( x ，l i | i ) 是完备的拟赋范线性空间，且秭绝对收敛，则有 佃， n l l n = l 可知：对于最= x l + x 2 + + x 。，有： i s n + p - - s 。l | ：l l x n + l + x n + 2 + + k p 0 c + 。i | + + c i i x 忡卜。伽- - , o o ) ， 因此髋) 是x 的柯西列。 由( x ，i i o ) 的完备性可知，存在x x ， 。l i 呻r a 。s = x ，即善2 x 反之，设x 的每一个绝对收敛级数都收敛，则对于x 的柯西列 x 。) ， 1 4 中山大学硕士学位论文 对以= 丁1 ，有厅。 刀： 拧m ，使得： h + i - z 。0 丁1 ( 七= 1 ，2 ，) 因而羔k 。一k0 佃 由假设可知( x 一x m ) l l x 。一x ：l ，这说明i l z l l 。 确定了一个拟范数空间z a 。 如果& 。) 是由原来的点组成的一个柯西序列，定义一个新的点y ，则在受中， 。弘因此( ，毛，) 是j 中的一个收敛于的序列。 慨一y l 。= 舰慨一1 1 。专o ， 因此z 在盒中稠密，x 是宕的密子空间。 设 z 。) 是盒中的任意一个柯西列，是原来的点，则恢一i l 。 i 1 因此| | x 册一以u - - i l x 肘一毛f | 0 - c l l x 。一乙扎+ c 慨一乙扎+ c 恢一矗i i o ， 当”，掰专时，8 一i i - - , 0 ，因此扛。) 是x 中的柯西列。 若z 是扛疗) 在皇的对应点，i i 乙一z i i 。c 慨一i l 。+ c i i 矗一z i i 。专o ，因为在殳中， 一z ，故序列扛。) 在皇中收敛。 由0 。) 的任意性，故盒是完备的拟赋范空间，即是拟踟如空间，定理得证。 下面讨论拟b a n a c h 空间的子空间成为拟b a n a c h 空间的条件。 定义2 3 6 5 设( x ，d ) 为度量空间，g 是x 的子集，若存在某个开球u ( ，) ， 使得u ( 粕，) g ，则g 称为g 的内点。 若g 的每一个点都是g 的内点，则g 称为开集。 定义2 3 7 5 设度量空间( x ，d ) 的子集f 的余集f 。= 彳f 是开集，则f 称为闭集。 1 6 中山大学硕士学位论文 定义2 3 8 设( x ，怖是拟赋范线性空间。若m c z 是x 的线性子空间，则称 ( m ，l | 1 1 ) 为( x ，卅i i ) 的子空间，若m 还是( x ，| 1 1 1 ) 的闭集，则称( m ，l | 1 1 ) 为( z ，小i i ) 的闭子空间。 明显地，若( x ，怖是拟眈眦砌空间，m 为( x ，怖的闭子空间，则( m ，怖是拟鼢撇c 厅 空间，反之亦然。 定理2 3 3 t 5 t ( x ，i i h ) 拟b a n a c h 空间，m 是( x ，f 1 1 1 ) 的子空间，则( m ，i i - i i ) 是拟 b a n a c h 空间当且仅当m 是x 的闭集。 证明：设( m ，怖是拟b a n a c h 空间，当毛m 且毛寸x 时，缸。 为m 的柯西列，因而扛。 收敛于m 上的一点，故z m ，即m cm ，所以肘是闭集。 反之，设扛。 cm 为柯西列，则 蠢 为，的柯西列。 由于( x ，f | f 1 ) 是拟砌叩办空间，因此扛。) 是收敛列，即存在x x 使一工，又由 于m 是( x ，怖的闭子空间，故x m 。 即扛。) 在m 中收敛于x ，所以( m ，i - i i ) 扰, ( b a n a c h 空间。 定义2 3 9 设x 是线性空间，p 是x 上的一个实值函数，且满足： ( 1 ) p ( o ) = 0 ： ( 2 ) p ( 缸) - - i a l p ( x ) ，v x x ，旯k ： ( 3 ) p ( x + 少) c p ( x ) + c p ( y ) ，c 1 ，v x ，y x 则称p 为x 上的半拟范数。 明显地，x 上的拟范数一定是半拟范数，但对x 上的半拟范数p ，由于p ( x ) - - 1 0 时 不一定有x ：0 ，因此半拟范数不一定是拟范数。 1 7 中山大学硕士学位论文 2 4p 一范数空间的基本性质 本节中介绍p 一范数空间的定义与基本性质，并将赋范空间中的严格凸性质推厂到拟 赋范空间。 定义2 4 11 9 设k 是实数域r 或复数域c ，x 是数域k 上的线性空间若| | | | 是x 到r 的映射，且满足下列条件： ( 1 ) 嗍0 且= 0 当且仅当x = o ，v x x ( 2 ) l = l l x l l ，v x x 和v a k ( 3 ) 存在c 1 ，使得l x + y t l c i l x l + c m l ，对所有为y x 成立： ( 4 ) i i x + y l l p l l x l l p + ，对x ，y x ，0 p _ 1i 或5 z 常数c 不依赖于x ，y ，则称| i | | 为x 上的p 一范数，而称删为x 的范数。这时称( 兄m 为 p 范数线性空间。 如果p 一范数线性空间是完备的，则称其为p b a n a c h 空间。 在p 一范数空间中，任意的x ，y x ，其加法，数乘与范数运算都是连续的。 定理2 4 1 设( x ，1 1 i | ) 是p - 范数空间，若x 。一x ，y 。专y ，则x n + y 。一x + y 。 证明：圳( x 。+ 儿) 一o + y ) 旷= l l ( x - x 。) + ( y j ，。) i i p - l l x - x n l l ，+ y - y 。 当专x ，y 。专y 时，定理成立。 定理2 4 2 设( x ，i | i i ) 是p 一范数空间，若专x ，以专a ，则以一触。 证明：由8 知一以以8 p = 0 触一九x + 九x 一九吒4 p 一九) x o p + l l x ( x - x 。卅 肛一九i ，1 4 p + p 0 x - - x 。 若x 。专x ，九专兄，则九x 。哼触成立 中山大学硕士学位论文 定理2 4 3 设，f 1 i ) 是p 一范数空间，若矗一z ，贝, jl l x 1 i 专删。 证明：由于慨l l p = l l x - x + x l l p l l x - x 。+ i x p 同时删p = l l x - x 。+ 吒8 ，- l l x - x i i ，+ 肛。： 可知脚f 户一k 删肛一吒8 p 当_ x 时，定理成立。 在赋范空间x 中，如果对任意的五少x ，肛+ 纠i 删| + 圳j 成立，则空间x 是凸的。 关于p 一赋范空间( x ，i i | 1 ) 存在下列定义： 定义2 4 2 9 p 一范数空间( x ，1 1 i | ) 是凸集如果单位球巩= & x ，l l x l l 1 ) 是凸集， 拟范数具有p 可加性，即：任意的x ，y x ，0 p 1 ，有 i i x + y l l p l l x l l p + l l y l l p 命题2 4 1 9 3 如果拟赋范空间( x ，1 1 i i ) 关于0 p 1 是p - 凸集，则是对任意的 0 ，p ，删) 是r - 凸集。 赋范空间中的严格凸性质容易在拟赋范空间中得到推广。 定义2 4 3 8 任意的x , y x ，0 p 1 ，如果忙+ 枷， i i x l p + l l y l l 尹，则称拟赋 范空间( x ，l | 1 1 ) 是严格p - & 空l h 。 命题2 a 2 嘲鼬哪慵拟赋艘叫| i 渺格眦则吲| c 口( m + m i ) ，因此，我们有： 缈( ，如，以) - - i l y - x , 一如x ：一以 刘 x 。+ 如x ：+ + a n x 。| i _ 1 1 y i i = 石1 l | - | l 少i l 1 c 1 c 南嘎| i _ i l 州压历r “ = 吉夸n ；峰赤薯川 = 石1 ( ( 丑) 2 ) j - l l y l i m 1 h o t = i 因此，对于每个a ，五：，以，使得( ) 2 ，2 时，对于某些正数，有 她，如，丸) ， 在闭球( ) 2 r 2 上，函数缈( 丑，a ：，九) 取得最小值m ，由于9 ( o ，o ，o ) = m i ， 所以聊。 因此，函数妒( ，如，以) 在拟b a n a c h 空间工上存在最小值。 中山大学硕士学位论文 3 2 拟b a n a c h 空间中的p 一角距 在赋范线性空间中，p 一角距具有上界和下界，在这一节中我们将讨论p 一角距不等式 在拟赋范空间中所具有的性质，并研究得到它在拟b a n a c h 空间中相应的上界和下界不 等式，同时作进一步的推广得到相应的强三角不等式。 定义3 2 1 9 在赋范线性空间x 中，对任意两个向量l y x ，定义： 口p 时】= i l l 矿1 肾p - - | - y 0 ，称为p 角距( p - a n g u l a r d i s t a n c ex 1 9 6 5 年，b o u r b a k i 在 1 0 中给出了b a n a c h 空间中关于口p i x ，y 】的上界的b o u r b a k i 不等式：g l p x , y l 卜圳盟乒书i i 川- l | 川川| 掣肼) 口pc x ，y ，i x - y 苎器i i 三 ； 一i x 旷一p i y 旷一p | + 芝庇帑垩等； 彳，p ( - o o ，) 口，t x ，纠l l x - 爿1 等嵩手玮寻 一1 1 1 跏卜p o 川1 1 p 1 刁高产寺哿= 歹，p ( - j ) 下面结合拟赋范空间的定义，我们研究p 一角距的性质及其在拟b a n a c h 空间的上界 和下界不等式。若x 为拟b a n a c h 空间，则 ( 1 ) 1 1 4 - o 且1 1 4 = o ，当且仅当x = o ，v x x 中山大学硕士学位论文 ( 2 ) i l 刮l = i x l i ，比x 和v a k ( 3 ) i i x + y l l c l n l + c l l y l l ，c 1 ，对所有x ，ye x 成立。 ( 3 ) 中的常数c 不依赖于z ，弘如下结论成立。 定理3 2 1 ：设x 是拟b a n a c h 空间，任意两个向量x ，y x ，定义： a p x ，纠= 黔o p - x - i l y l l 川卅，称为p 一角距( p - a n g u l a rd i s t a n c e ) ，则 ( 1 ) 口。i x ，x 】- 0 ( 2 ) 口p i x ，y 】= 口p y ，x 】 ( 3 ) 口，卜x ，y 】= 口p x ，- y ( 4 ) 口p 【缸，砂】= l 五i ，a p x ，y 】 定理3 2 2 ：设x 是拟b a n a c h 空间。任意x , y ，z j ，且y 0 ，z 0 ，则有： a p x ，y + z 】c 口，i x ，y 】+ c 口，i x ，z 】，pe 【l ，+ o o ) 证明：口， 训+ z 】= i l l x l l 川一i l y + z r 抄+ z ) | l = i - x - i l y + z 0 p - - | * y 一z 卜钏 m xp - 1 x + i i x i i p - i x - - i l y + z o p - - i y o y + z o 产1 z 6 s c i l l 习l - x - i l y + z i i p - i 十c 一一陟+ z l l - 训 c l l i x l f x - i l y l l p - 1 y l + c 川一| | zp - i z l l = c 1 2 p 【x ，y 】+ c 。1 2 x ，z 】 定理3 2 3 - 设x ，y 为拟b a n a c h 空间x 中任意两个非零向量，则有： ( 1 ) 吣小c i h ，幅一讣t ) + c | l x i i p ( 2 ) 吣小i x l l p ( 引赢一小) - i l y t l p 证明：对任意口，r ，x ，y x ，有： 忪刊十陟u 陆一却帕钏圳剖 好刎醑讣c 枷咱爷陟l i 剖 = c 归| i 怫峙一蒯i + c | | 训硎一川州0 蒯l hl ”懈。睁讣d o 州利刚叫) 以川怫u 拧讣1 ) + c 州i 令口- - i l x l l - , 夕= l l y l l p ，则有： b u 川一眇i i p - i y 卜陟i i 川刈川柠讣1 ) + c i i 扩1 i i x l l = c 1 l 一幅一蒯+ 1 ) + c | | 坩 从而钒k y 】 l l y l | l ，a , p k ，若口夕 0 ，则可得到 如下强三角不等式： 推论3 2 1 ：设x , y 为拟b a n a c h 空间x 中任意两个葬零向i t ，l i x l l l l y t i ，任意 口，k ，且口 0 则有： 怯倒2 一旒+ 补州f c 0 ，时，由不等式忙+ j ，9 c i 嘲+ c i l y l l ，我们得： 峪十酬= p ( 赢+ 赢) + 叫啡赢一川叭蒯 c p ( 高+ 赢弘c 卜赢一川圳蒯f = 叫i i i y i i 旒一刮f + c 忙| i 卅别圳 因为口 o ，l n i - i l y l i ，上式子等价于： 以帅| i 睁t l + c 川i 捌岍i t 陟i i ) 影川l 静讣c 刮卅1 1 帅i i 心肋i i l 以州i 静甜2 c 川小c 咿i i 巾 以夕i l y l l 醑讣2 + c ( 州咿1 1 3 4 b 所圳阱钏+ c ( 2 - i h + 甜圳i i o 上tx l _ i l y l i ， 关于p 一角距，存在如下强三角不等式： 定理3 2 4 ：设x ，y 拟b a n a c h 空间x 中任意两个向量，若x ，y o 且i l x l li l y l l ，关 于p 一角距：口p x , y l = 忙o - x - h y h 川y 0 ，有： 吣y m 心一辞跏y i ， c ( 1 l x l l p + l l y l l ，) 铒k 小c 2 c 2 一睁蹄删 3 3 拟b a n a c h 空间中的匕。夕映射 本节中我们将讨论拟反撇如空间中的v ”映射，通过本节内容的研究，得到v 训映 射在拟b a n a c h 空间中的性质，且在进一步论证过程中得到关于拟b a n a c h 空间中三角不 等式忙+ 硎c + c 的推广。首先，介绍一下赋范空间中半内积的定义： 定义3 3 1 2 1 在赋范线性空间 中，对于任意的一对x ，y z ，定义上下半 内积为： 2 9 中山大学硕士学位论文 上半帆：姆掣 下半撬，：姆掣 设p ，q ，f ，且p 口，关于以上极限，存在如下性质 2 2 2 4 ： ( 1 ) ( x ，功，= 1 1 叫1 2 ，任意x x ( 2 ) ( a x ，p y ) p = 口p ( x ，力j p ，如果倪，夕0 且x x ( 3 ) i ( x ，j ，) p l l y l i ，任意x ，y 仨z ( 4 ) ( a x + y ，x ) p = a ( x ，x ) ，+ ，x ) p ，任意而y 彳，口k ( 5 ) ( 一x ，y ) p = 一o ，y ) p ，任意x ，y x ( 6 ) + y ，z ) p - r + , v x , y ：丝蝉 不难得到，对于x ，y 烈 o 有1 ， ( f ) ：生掣，由上述v ( f ) 映射的定义， 我们得到关于它的一些基本性质： 性质3 3 1 ：1 ， ( f ) 有界，且h ，y ( t ) - u y u 性质3 3 2 ：莫饥存在如下不等式：锗钒炒臀 f 。 锗狐啦瞥p 。 中山大学硕士学位论文 性质3 3 3 - 若0 ，则。f 列极限成立： 魍匕，y ( t ) = q y l l ，1 i m 。叱。y ( ，) = 例 姆k 朋2 瞥，姆k 如) = 箐 证明：( 1 ) 由三角不等式得到：肛+ 圳卜卜降+ 纱一_ x | l = l t l i l y l l ，t r 所以( 1 ) 成立。 ( 2 ) 若r 0 ，由柯西不等式得到： l l x + 纱i i ( x + t y ，x ) ， - i l x l 2 + ( 钞，x ) ， = l l x l l 2 + f ( y ，x ) 。 舭h x + 钞i i 制瞥 x t o , 故有啪，= 幽t 瞥 同样地，i i x + o , i l ( x ，x + t y ) ， = ( x + 纱一纱，x + 们， = i i x + o , i2 + ( - t y ，x + t y ) ， = 肛+ 计- t ( y ，x + t y ) ， 因此， i i x + 纱1 1 2 - t ( y ，x + t y ) ，- i n i 1 1 x + o , i l 又f 0 的情况，可类似的得到证明。性质2 证毕。 l i r av , , , y ( t ) 2 删l i m + v 唼) ：l i m u x + 詈l l - i l x u 中山大学硕士学位论文 = 姆( i i y + 锻i i 一1 1 x i i )