（基础数学专业论文）有关极值拟共形映照的几个问题.pdf

有关极值拟共形映照的几个问题 摘要 本文共分五章： 第一章，绪言简述极值拟共形映照理论及与之相关的问题、作者的主要工作 第二章，g r s t z s c h 问题的域内特征i 讨论g r s t z s c h 问题的极限形式，研究其 域内特征，证明了定理：设( z ) 是单位圆上的k 一拟共形自同胚，满足就范条件 ，( o ) = 0 ，且l i r a ：- o 粹裂= 1 ，则，( 步e 。1 肛，其中口为一实数适当减弱条件 后，作者也得到了相同的结论 第三章，广义b e u r l i n g - a h l f o r s 扩张的伸缩商估计讨论广义b e u r l i n g - a h l f o r s 扩 张的伸缩商设 ( z ) 是实轴到实轴的保向同胚， ( 士o 。) = 士o o ，且| i l ( 。) 的拟对称 函数s ( x ，) ；箍亡3 i 辫满足p ( t ) 一拟对称条件：p - 1 ( t ) s ( 。，) p ( ) ，。咒， f ( 0 ，+ o 。) 令矿( t ) = s u p f p ( j ) ，s 喙t l ，那么 ( z ) 的b e u r l i n g - a h l f o r s 扩张的伸缩 商d ( z ) 有如下估计：d ( x + i y ) s2 p + ( ) ，其中系数2 不能再进一步改进y 第四章，具有不可缩小b e l t r a m i 系数的拟共形映照讨论不可缩小b e l t r a m i 系 数与无限小不可缩小b e l t r a m i 系数的局部性与整体性的关系，并通过烟囱形区域上 仿射拉伸的实例指出构造一类极值的具有非常数模的不可缩小b e l t r a m i 系数与无 限小不可缩小b e l t r a m i 系数的方法 第五章，极值拟共形映照的极值集探讨极值拟共形映照与无限小极值b e l t r a m i 系数的极值集f 设( z ) 是单位圆到单位圆的极值拟共形映照，以p 为复特征，对于 ，“的复特征豇 存在它的极值集x 的正测度紧子集童使 ，。，赤( o o 一五删u 幽) 。， 则在p ( z ) 的等价类中，必存在极值复特征v ( z ) ，使x ( v ) 属于矾。) 一e ，其中庄似) = i tt ，= 厂1 ( 廖) 无限小极值 系数也有类似结果vf - e 、b e l t r a m i ，r 关键词：g r s t z s c h 问题，极值拟共形映照，唯一极值拟共形映照，b e u r l i n g - a m i r s 扩张，b e l t r a m i 系数，极值集，允许变东k l乙7 s o m e p r o b l e m so f t h ee x t r e m a l q u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s a b s t r a c t t h i sp h d d i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s ： c h a p t e rl ：p r e f a c e ab r i e fi n t r o d u c t i o no ft h ee x t r e m mq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s a n ds o n l er e l a t i v ep r o b l e m s t h em a i nr e s u l t sh lt h ed i s s e r t a t i o n c h a p t e r 2 ：t h ec h a r a c t e r i z a t i o no ft h es o l u t i o no fg r s t z s c h sp r o b l e m w es t u d yt h e c h a r a c t e r i z a t i o no ft h ee x t r e m a lq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g so fg r s t z s c h sp r o b l e mo nt h e a n n u l u s i nf a c t ，w eo b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l t ： t h e o r e m l e t ( z ) b e a k q c s e l f - h o m e o m o r p h i s mo f t h eu n i td i s kw i t hf ( 0 ) = 0 a n dl i m ：_ + o 等镍= 1 ，t h e nm ) = e 柑z w n 1 ，w h e r e0i sar e a l c o n s t a n t c h a p t e r3 ：o nt h eg e n e r a l i z e db e u r l i n g - a h l f o r se x t e n s i o n w ep r o v et h ef o l l o w i n g r e s u l t ： t h e o r e m l e t h ( x ) b e ah o m e o m o r p h i s mo ft h er e a la x i s 酞o n t oi t s e l f w i t h h ( ：t ：o o ) = 士o 。i ft h eq u a s i s y m m e t r i cf u n c t i 。ns ( z ，t ) = 锅钱辫。f h ( z ) s a t i s f i e s p 一1 ( f ) s ( x ，t ) p ( t ) ，z r ，t ( 0 ，+ ) a n d p ( ) = 8 u p p ( s ) ，s 【三，】，f o r v t 0 ， t h e nt h ed i l a t a t i o no ft h eb e u r l i n g - a h l f o r se x t e n s i o nf ( z ) o f ( 。) a tp o i n tz = + i yh a s t h ef o l l o w i n ge s t i m a t i o n ： fd 他+ t 掣) s2 矿( 管) ，p ( 秽) 3 - 【d ( z + i v ) 2 p + ( ) + 1 ， 1 p + ( 可) 3 h o l d sf o ra l lz ra n dy 0 ，w h e r ec o e f f i c i e n t2c a n n o tb ei m p r o v e d c h a p t e r4 ：q u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g sw i t hn o n d e c r e a s a b l eb e l t r a m ic o e f f i c i e n t s i n t h i sc h a p t e r ，w ed i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h el o c a l ( i n f i n i t e s i m a l l y ) n o n d e c r e a s a b i l i t y a n dt h eg l o b a l ( i n f i n i t e s i m a l l y ) n o n - d e c r e a s a b i l i t yo fb e l t r a m ic o e f f i c i e n t s ；a n dg i v ea m e t h o dt oc o n s t r u c taf a m i l yo f ( i n f i n i t e s i m a l l y ) n o n - d e c r e a s a b l eb e l t r a m ic o e f f i c i e n t s w h i c ha r ee x t r e ) n a la n dw i t hn o n c o n s t a n ta b s o l u t ev a l u e c h a p t e r 5 ：o nt h ee x t r e m a ls e to f e x t r e m a l q u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g l e t ，“( z ) b e a n e x t r e m a lq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n go ft h eu n i td i s kao n t oi t s e f , x = z l z a ，i p ( z ) i = i l p | | o 。) ，面= 肛，一1 i ft h e r ee x i s t sac o m p a c ts e t 亩cx 【西】w i t hm e s e 0 ，s a t i s f y i n g 卿i n 心f ，南( m 一五声油如) 。， t h e nt h e r ee x i s t sa ne x t r e m a lb e l t r a m ic o e f f i c i e n t s p ( z ) 一p ( z ) ，w h i c hs a t i s f i e sx v 1c x m e ，w h e r e e = i - 1 ( 亩) w ea l s oo b t a i nas i m i l a rr e s u l to ni n f i n i t e s i m a l l ye x t r e m a lb e l t r a m ic o e f f i c i e n t s a t t h ee n d ，w eo b t a i nas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rp ( z ) t ob e u n i q u e l ye x t r e m a ! k e y w o r d s ：g r s t z s c h sp r o b l e m ，e x t r e m a lq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g ，u n i q u e l ye x t r e m a lq u a s i c o n f o r m a l m a p p i n g ，b e u r l i n g a h l f o r se x t e n s i o n ，b e l t r a m ic o e f f i c i e n t e x t r e m a is e t ，a d m i s s i b l ev a r i a t i o n 第一章绪言 1 1拟共形映照极值理论简介及与之相关问题 设f ( z ) 为复平面区域f 2 上的一个复值函数，如果它是b e l t r a m i 方程 的一个工2 一广义同胚解，其中卢( z ) 可测，忆( z ) | | 。= k | j p o | f o 。成立，则称p o 为唯一极值的；如果对任意v ， 当”p o 时，有eca ，m e s e 0 ，在e 上成立f ( z ) | i 删( z ) l ，则称p o 为不可缩 小的如果存在常数l ，0 f k o = i i t l l 。，使得在e = 倒川1 ) 上有 = p ，且 i i n l l 。= 1 。，则称q 为p 的允许变分 设，( z ) 为_ 上的拟共形映照，如果对于任意的单连通区域dc ，s i o ( ，i d 表示，在d 上的限制) 是关于给定边界值s l o o 在d 上的极值拟共形扩张，则 称，在上是局部极值的 讨论怎么样的保向同胚h ( z ) ：o a - o a 可拟共形扩张到单位圆，当q 非空 时，对q h 中的拟共形映照，的局部伸缩商d s ( z ) 如何作出估计，对这个问题， b e u r l i n g 和a h l f o r s 做出了开创性的工作( 见【7 】) 除了这个问题，给定边界值的拟 共形映照极值理论主要讨论以下几个问题： ( 一) 如何判断f o 仉为极值的? ( 二) 如何判断f u o eq 为唯一极值的7 ( 三) 如何判断t l o ( z ) 为不可缩小的? ( 四) 如何判断, u o ( z ) 是否为局部极值的? ( 五) 讨论t t o ( z ) 、d i ( z ) 等的性质，例如：x u o 】是否等于，即是否有l p o ( z ) i = l i t , o l l o o a e ? 这些均是拟共形映照极值理论，特别是给定边界对应的拟共形映照的极值理论 中的重要问题，且均是以几何观点提出的问题如果以分析观点考虑，引进无限小 等价的定义可提出相对应的问题 设 r， q ( ) = 纠妒在上全纯，川如d y j p o i ，则称芦。为无限小不可缩小的b e l t r a m i 系 数 相对应的问题是： ( 一) + 如何判断p o b 为无限小极值的? 2 ( 二) + 如何判断i t o 川日为无限小唯一极值的? ( 三) + 如何判断f 加f i t b 为无限小不可缩小的? 等等进而可以考虑它们之间有何联系很多中外数学家对此作了深入研究， 如a h l f o r s 、e a r l e 、f e h h n a n n 、h a m i l t o n 、k r u s h k a l 、l a k i c 、r e i c h 、s t r e b e l 、 y a n gs h a n s h u a n g 、李忠、方爱农、伍胜健、沈玉良等( 见后面的参考文献) 这些 问题有些已经解决，有些尚待解决 a h l f o r s 1 1 给出了i t 与”在上无限小等价的几何意义： i t z ”的充要条件是 l i r a 坐：竺些! ! l 篓：0 生，_ 二二= 对任意的0 【o ，2 h ) 成立，t 为复数 设s 是任意一个带边的r i e m a n n 曲面，其万有覆盖是双曲型的s 总可以看 成是一个带边曲西的内部又设r 是另一个r i e m a n n 曲面，s 到r 有一个拟共形 映照，：s 啊r ，那么这个拟共形映照自然可以连续开拓为s + - r + 的映照，这里 s + 和彤分别表示s 与r 对应的带边曲面s 到r 的两个拟共形映照，与g 称作 模边界同伦的，如果，与g 在s + s 上相等，且在，与9 之间存在一个同伦，而这 个同伦在s 上取常数( 见( 9 1 1 ) 1 9 6 9 年，r s h a m i l t o n 研究了关于模边界的同伦类的极值问题，证明了： 定理 2 5 1 ( h a m i l t o n )设f 0 ：s 。r 是模边界同伦类中的极值映照，k ( z ) 出如 是，0 所对应的b e l t r a m i 微分则有 | i s ，u 。：p 。 l f c z ，妒c z ，d z a d z l ) = i i 一“o o ， 其中( p d z 2 是s 上的全纯二次微分，它的范数是 m i = | p ( z ) i d z a 出 这个定理刻划了极值拟共形映照的b e l t r m n i 微分所满足的必要条件r e i c h 与 s t r e b e l 4 3 1 证明了对于单位圆的情况，h a m i l t o n 条件也是极值映照的充分条件为 此他们建立了主要不等式( 见【4 3 】) ： 定理设，与，0 都是到自身的拟共形映照，且在边界上有相同的值记 t t l = t t - to 如，牡= p s o ，r = 砺o , h ，则对任意妒( 。) q ( ) ，成立： 加圳蛐加圳缚 卜哺嘲1 2 1 一f i t l f 2 d x d y 从而h a m i l t o n 、r e i c h 和s t r e b e l 证明了问题( 一) 和( 一) + 的等价性 ，“为上的极值拟共形映照的充要条件是p 为b 中无限小极值的b e l t r a m i 系数，从而存在妒。q l ( ) ( = 1 ，2 ，) ，使 ， l i ? 1r c l 妒。d x d y = i i i l l 。 jj 反之也成立 妒。 称为或舻的h a m i l t o n 序列 设p o 为极值的， 妒。) 为p o 的h a m i l t o n 序列，伍胜健【7 8 】证明了对任意 极值”( z ) ， 妒。) 也是v 的h a m i l t o n 序列 设u ( z ) 在上可测，且忆0 。0 0 时， ，锄i n ( ) 刀孤1 瓢函吖上唰嘞) = 。 这定理给出了问题( 二) 和( 二) 4 之间的联系 问题( 三) 和( 三) + 等价否? 这个问题由沈玉良和陈纪修【5 9 】提出，至今还没有 完全解决，在一些特殊情况下，本文第四章证明了其等价性 本文主要涉及问题( 一) 、( 二) 、( 三) 、( 五) 、( 一) + 、( 二) + 及( 三) + 等，以 及与之相关联的问题 1 2 本文主要结果 1 2 1g r 6 t z s c h 问题的域内特征 设，( z ) 是某一区域上的拟共形映照，f ( z ) 的局部最大伸缩商为d ic z ) ，设q 是 一个给定的拟共形映照族，我们称一个映照在此族中是最接近共形的，就是在此族 中求 j n 口f8 u 。pd 小) 的极值解量i n f ! qs u p 。d fc z ) 反映了极值映照f o 与共形映照的“距离” g r s t z s c h 在研究把矩形映成矩形而且保持顶点对应的映照族中( 见【2 3 】) ，什么 样的映照最接近共形映照时，得出在此族中关于问题i n f ，os u p ：d iz ) 的极值映照 为仿射变换，这就是著名的g r s t z s c h 问题 4 而圆环上的g r 6 t z s c h 问题可叙述为：设f i z ) 把俐r 1 ) 拟共形映照成 i r 1 ，使 兰 0 为待定参数 f ( z ) = u + i v 为片到日自身的一个拟共形映照，且以 ( z ) 为边界值关于f ( z ) 的最大伸缩商的估计一直受到广泛注意，b e u r l i n g 和a h l f o r s 初步给出了j 0 的估 计a h l f o r s 在【2 】中给出了估计k fs2 p ( p + 1 ) ；李忠【8 9 l 就r = 2 给出了研sp 2 ； 当r = 1 时，r e e d 4 2 】得到嘶s8 p ，李忠f 9 2 】改进为j 0 4 2 p ，并举例说明研的 上界估计关于p 的系数决不会小于2 ( 5 ) m l e h t i n e n 3 8 】于1 9 8 3 年给出了精确的 上界估计k f 2 p 1 9 9 5 年。方爱农f 8 5 】给出了广义b e u r l i n g - a h l f o r s 扩张的定义， 并对之进行了深入的研究： 假设d 与d 是r ”中的区域，y = ，( z ) ：dod 是一个保向同胚，称 酬，塥r - 4 0 篙毒器制 为f ( x ) 在点z 的球伸张如果y = ，( z ) 是a c l 的，几乎处处可微，且h ( x ，) l t o c ( d ) ，则称它是具有可积伸张的同胚，简称为i d 一同胚 假设实值函数 ( z ) 是p ( x ，t ) 拟对称的，即成立不等式 去曼坐躺s p ( 蚺z r ， o h (p ( z ，t ) 一x ) 一h ( x t ) 一、”。一 而且p ( x ，) l ( h ) ，则存在一个i d - 同胚”= ( z ) ：日_ 日以h ( x ) 为边界值令 “( z ，y ) = ( z + t y ) d t ，卢( z ，y ) = ( 。一t y ) d t ， j 0j 0 贝0 ，( z ) = u + i ”= 1 2 ( a4 - p ) + ( a 一卢) 是i d 一同胚，l r = ( z ) ，且 d s ( z ) ss 1 + p ( + y 2 ，2 ) ) 】【1 + p ( z u 2 ，y 2 ) p ( x ，) 称w = f ( z ) 为h ( x ) 的广义b e u r l i n g a h l f o r s 扩张【85 】 陈纪修、陈志国、何成奇【1 0 l 在一定条件下研究了平面广义b e u r l i n g - a h l f o r s 扩 张，即假设h ( x ) 满足： 丽1 籍嗜等 m 忱咄。 ， p ( t ) 在( 0 ，6 ) 中单调当t - 0 + 时，允许p ( t ) 以任意的增长阶趋于+ o 。对于h ( x ) 的b e u r l i n g a h l f o r s 扩张，( z ) ，由于f ( z ) g 1 ，所以f ( z ) 的伸缩商d ( z ) 在h 上是局 部有界的，而当z 趋于日的边界r 时，d ( z ) 可能无界文【1 0 】证明了其增长速度 受到p ( t ) 增长速度的限制，即得到了估计d ( z + y i ) 4 p ( y 1 2 ) + c ，z 兄，y ( 0 ，d ) ， r 为常数。 在第三章，我们把上述条件做了拓广【9 7 】，假定关于 ( 。) 的p ( ) 一拟对称条件 对一切t ( 0 ，+ o 。) 成立： 丽1 0 成立 麓戮h 竺荔。 其中系数2 不能再进一步改进 1 2 3 具有不可缩小b e l t r a m i 系数的拟共形映照 1 9 9 7 年，r e i c h 4 6 】在研究单位圆到上具有给定边界值h ( z ) 的拟共形映照 时，引进了不可缩小b e l t r a m i 系数的概念其实早在1 9 6 9 年，r e i c h 与s t r e b e l 4 4 】 之文中已初现不可缩小b e l t r a m i 系数的雏形，他们初步讨论了它的性质，只是没提 出n o n d e c r e a s a b l e 的定义沈玉良与陈纪修【5 9 l 进一步讨论了不可缩小b e l t r a m i 系 数的性质，得到了一些成果，并提出了无限小不可缩小b e i t r a m i 系数的定义 在本文第四章中，作者f 9 6 】讨论了具有不可缩小b e l t r a m i 系数的拟共形映照， 证明了三个定理： 设的子区域d 满足c d 是非空连通开集，且c d 在c d 稠密的条 件同时设f j ( z ) 是区域d 上的有界可测函数，l 。o i ，并令 p + z ) ： “艇d 【0 2 a d 定理4 1p ( z ) 为区域d 上的不可缩小b e l t r a m i 系数的充分必要条件是矿( z ) 为上的不可缩小b e l t r a m i 系数 定理4 2 “( z ) 为区域d 上的无限小不可缩小b e l t r a m i 系数的充分必要条件是 肛+ ( z ) 为上的无限小不可缩小b e l t r a m i 系数 定理4 3f 1 ) 若p ( z ) 是区域d 上唯一极值b e l t r a m i 系数，则矿( z ) 既是上 不可缩小b e l t r a m i 系数，也是上无限小不可缩小b e l t r a m i 系数； ( 2 ) 若p ( z ) 在区域d 上有常数模，则p + ( z ) 为上不可缩小b e l t r a m i 系数的充 分必要条件是它为上无限小不可缩小b e l t r a m i 系数 在第四章中最后以一个具体实例说明了定理的应用： 设烟囱形区域n = z = $ + i y ： l 或f o l ，矿= z = 。+ i y ： 0 是n 的子区域( z ) = k x + i y ：n - + n ，_ w = u + i v ：i u f 。， 其中面( ) = i t f - - ，则存在v ( z ) + ，使x v 】cx 川一e ，其中+ = p i v 【p 】，i i 0 = 0 ( p 】| | ) 以及 定理5 2p ( z ) 为无限小极值的b e l t r a m i 系数，如果存在正测度紧子集ecx 川，使 ，龇丽( 怕”o o - - 五i u c p d x d y ) 。， 贝0 存在”f p 】备，使x f ”】cx f 肛】一e ，其中阻】苦= v i ”f p 】日，i l u l l o o = 0 【肛】口0 ) 最后讨论了p ( z ) 是唯一极值的一个充分但不岿要的条件 第二章g r s t z s c h 问题的域内特征 设，( z ) 是某区域上的拟共形映照 o i ( z ) ，( z ) 的局部伸缩商为d l ( z ) 幽蚓 i 厶f i i 一个映照在此族中最接近于共形的，就是在此族中问题 1 n f 8 u ：p d 小) ( 2 1 ) 的极值映照，这就是g r f t z s c h 问题1 2 3 】，拟共形映照理论的发端问题 圆环上的g r s t z s c h 问题可叙述为；设，( z ) 把 z r 1 ) 拟共形映照成 w i r 1 w i 1 ) ，( i ) = 1 ，在这样的拟共形映照中极值问题( 2 1 ) 的解是一径向仿射 变换，即 ，( z ) = 2 w ， 其中1 k = i n r l n r 本章通过这个问题的极限形式【9 8 l ，研究g r 6 t z s c h 问题的域内特征：对于域 内的拟共形自同胚，在域内附加何种就范条件，这个映照本质上就退化为一仿射变 换 2 1g r 6 t z s c h 问题的域内特征 定理2 1 设( z ) 是单位圆上的拟共形自同胚，满足就范条件 f ( o ，删l i r a 嬲_ 1 ) ( 2 2 ) 则极值问题偿纠的解必为，( z ) = e i o z i z l l 俾，其中0 为一实数 证任给一充分小正数e ，必存在正数r o ，当r r o 时，成立以下诸事实 首先，据( 2 2 ) 式存在无穷小量a ，使r 1 关于，( z ) 的象与( 1 + o ) r 1 k i ( i l 共形等价，其中， l i m a = 0 其次，存在一个径向仿射变换9 把( 1 + o ) r 1 k 1 拉伸成r l 1 w i 1 9 这个仿射变换是一一q c ，显然，j 0 1 且l i m 。_ + 0 k 9 = 1 上述两映照的复 合把川r f zj 1 ) 拟共形映成 一 1 w i d 2 d n ，l i r a n - + 。d n = 0 记r 。= 川d n 1 ) ，则存在共形映照及实数。，使妒。o ，( r 。) 成一圆 环： 妒。f ( r 。) = d y ( 1 + e 。) l 叫i 1 ) 环域的共形模记为r o o d ( , ) ，这是一个共形不变量因f 是k q c ， m 。d t f ，。f ( r n ) = m 。d i ( r 。) 去m 。d 凰， 所以 h 赢尹1 石1 从中解得。0 ，n = 1 ，2 ，3 ，由模的次可加性及模的共形不变性， m o d e n + io ，( d n + 1 川 d n ) m o d e 。+ 1o ，( d n + 1 i z i 1 ) 一m o d e 。0 ，( d n i z i 1 ) = n 羽丽1 乩赢 = 去n 砉仆忐， 而 m o d e 。+ t 。，( d 。+ 厶) 面1m 。d ( 如+ 而) = 去i n 害等 所以 去n 去仙怎妻t n 鲁， 1 1 由此可得。+ 1 ，n = l ，2 ，3 ，据条件l i m n - 。皿努掣= l ，存在一正数列 6 n ) l i m 。6 。= 0 ，满足不等式 d ，l 。，f ( 1 一“) i f ( d 。e 坩) l d ( 1 + “) ， 故有 ，( ) c ( 一a 。l ( 1 一“) i w i 一 因此 而l i m 。_ 。d 。= 0 ，故有 。= 0 ，n = 1 ，2 ，3 籼o ，( e 坩) l = d y k 对一切n 成立 对任意l ，如 z 1 ， m o d b 。o ，( “ h 1 ) m o d 妒。0 f ( z 1 ) + m o c l 妒。0 ，( d n h i ) 根据模的次可加性的极值条件，oy ( t 1 ) 必为圆环，可记 有 妒。f ( 1 e 加) l = t ，0 口 2 r l n ；= m o d ，b 。y ( t 1 ) 面1l n ， l n 菇面= m o d 。，( d n h f ) 面1l n 去 1 2 ( 2 9 ) 则解得t = i i k ，即对任意2 ，当d 。 l z l l 时，有 l 妒。o ，( 2 ) l = i z l l ， 据此，对任一z = p e ”，d 。 p 1 ，则因d 如= 芒舞= 醵( 日) k 而与d “矛盾，所以0 ( 口) 1 从( 2 1 0 ) 式，后。( 口) = 2 v r ，所以( e ) = 1 几乎处处成立，这样我们有，对任一z d n 1 ，镁设f ( z ) 是把区域盹映射为区域q 。的同胚映射假如下 述霭个关于共形穰酶不等式 去m 。d r m o d l ( n ) ，r o o d ：一( 影) k m o d r j t 对于吼中的 芏意有向矩形r 和q 。中的任意有向矩形r ，都成立是然f ( z ) 是拟共 形鹩q c 我们的问题是：满足上述条件的，( z ) 是否为k 一拟共形的( k q c ) ? 基于这种思路，在本节中，我们将对上述定理加以推广，对单位圆上的g r s t z s c h 阍怒徽进一步酌讨论 对任意的k l ，0 r 1 ，以r ( a ) 表示圆环 - ；r 女 l l 1 ) 豳环上的 g r s t z s c h 可以描述为：裰设f ( z ) 是把圆环r 。( 1 ) 映射为凋环矗。( k ) 的拟共形映照， 那么f ( z ) 一定具有下列形式： 岛= e i o z 嘲专 和掰拟共形映照的性质，我们知道，f ( z ) 是圆环r ：( 1 ) 上的同胚映射，觚且在r 。l 内 蛋意拓扑四边形的共形模是拟不变的，即 1 吾m 蒯q r o o d f ( q ) 曼k m o d q 对也( 1 ) 上的任意拓扑四边形q 都成立，这里r o o d 表示嬷 四逑形螅共形摸 定义圊环r ；( 1 ) 内以原点为心两嘲周上的两弧段与两半镣上的两线段艨界定 的痢形缀成该圆环内一个以原点为心的同心扇形，简称为同心扇形以别手一般致寰 形，其共形模定义为；l o g 筹，这里0 为扇形的角，r l 和r z 分别为扇形的内半径髑 外半径特别地，对任意给定的r br 2 如果口= 2 ”，同心扇形称为最宽的。 对应第一节中的定理，我们有下述寇理成立： l 葺 定理2 2 假设，( z ) 是单位圆u = z ：i z i 1 ) 上的自同胚，而且满足下述就范 条件： ，( o ) _ 0 ，嬲掣乩 ( 2 1 1 ) 如果下述两个不等式 去m d d s m 。df ( s ：) ( 2 1 2 ) r o o d - l ( & ) k m o d 品( 2 1 3 ) 对于任意的s ：和s 。都成立，这里s 。和& 为单位圆内任意的同心扇形，那么，( 2 ) 一定为 f o ( z ) = e i o z 霄1 一， 这里0 是一个实数 首先，我们证明下述引理： 引理2 1 假设f ( z ) 是把圆环r ：( 1 ) 映射为圆环r 。( k ) 的同胚映射，而且保持 外圆周相互对应如果下述两个不等式： 去m d 最m 。d f ( s z ) ，( 2 1 4 ) r o o df - 1 ( & ) k m o d ( 2 1 5 ) 对于任意的s ：和都成立，这里和s 。分别为亿( 1 ) 和凰( k ) 中的同心扇 形那么f ( z ) 一定具有下述形式： f o ( z ) = e i o z l z l - k ， 这里0 为一个实数 证明取圆环也( 1 ) 中的任意一点；，利用圆周= p ，则可把圆环分成两个圆 环r l = r p 和r 2 = p 1 ) 利用共形模的次可加性，则有 r o o d = r o o d r 。( 1 ) ，( 2 1 6 ) m o d ( r k ) 墨7 n o d ( k ) ( 21 7 ) 注意到最宽同心扇形的共形模( 是由圆环内切除一段联结两圆周的半径而生成的同 心扇形) 等于环域的共形模，由( 2 1 4 ) ，则得 壶m 。dr k sm 。d f ( r k ) ( = 1 ，2 ) -( 2 1 8 ) 利用( 2 1 6 ) ，( 21 7 ) 和( 2 1 8 ) ，则有下列不等式成立 去m o d 蹦1 ) - k r o o d s 莓m o d