（基础数学专业论文）具强非线性源的plaplace方程第二初边值问题.pdf

中文摘要 摘要 本文研究了类定义在具有光滑边界区域上的带有非线性源的p - l a p l a c e 方程 魄皇d i v ( i v 牡r 2 v u ) 一, x u q ， l v t r 2 a 卸薯t ， 的初值问题，其中p 2 ，m 1 我们证明了t 若q + l o ，或q4 - l 霉叫如一1 ) ，r a p 一劬+ 2 0 ，且a m p l ( p 1 ) ，q 仇或口+ llm p l 0 一1 ) ，g m 且 a m ，问题的解整体存：在巨有界 关键词。p - l a p l a c e 发展方程；整体存在；爆破 英文摘要 a b s t r a c t i nt h i sw o r kw ea n a l y z et h ee x i f f 饱n c eo fw e a ks o l u t i o n st h a tg l o b a l l yb o u n d o rb l o w - u pi nf i n i t et i m ef o ran o nn e w t o nf i l t r a t i o ne q u a t i o n t t 窖d i v ( i v u f - 2 v u ) 一m i nas m o o t hd o m a i nqw i t hn o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n i v “r 2 况卸鸳u r n ， w h e r e p 2 ，仇 1 t h e n ，b l o w - u pi nf i n i t et i m eo c c u r si fq + 1 0 ，o r 口+ 1 拳m p ( p - 1 ) ，仃垆一助+ 2 0 ，a n da m p ( p 1 ) ，q mo rq + 1 盛m p ( p 1 ) ，q ma n d 入 m k e y w o r d s lp - l a p l a c ee q u a t i o n ，g l o b a le x i b t e n c e ，b l o w - u p 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研 究成果本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究成 果，均在文中以明确方式标明本人依法享有和承担由此论 文而产生的权利和责任 声明人( 签名) ：q - 渗洙 2 如7 年j 月2 弓e l 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文 的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量 复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘 要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书 2 ，不保密() ( 请在以上相应括号内打竹 日期：) 伊哆年占月琴日 日期：年月 日 具强非线性源的p - l a p l a c e 方审tg - - 初边值问题1 第节引言 非线性扩散方程作为类重要的抛物方程，来源于自然界广泛存在的扩散现象 渗流理论。相变理论，生物化学以及生物群体动力学等领域都提出了这类方程，特剐 是渗流问题两百多年前( 1 7 5 5 ) 欧拉推导了著名的欧拉方程，对流体运动给出了最 基本的数学描述。开创了流体动力学的研究在物理上，人们根据流体本身的切应力 与切应变换之间是否满足线性关系，将流体分为n e w t o n 流体和非n e w t o n 流体 对于多孔介质中非n e w t o n 流体的运动设p 为流体的密度。压力为只y 为 流体在空间每点z 和时间t 上的速度首先满足多孔状态方程 p 驾矿， 其次满足连续性方程 后风+ d i v ( p v ) = o 最后在湍流状态下满足方程 p vl m i v 圣i p 2 v 雪， 这里系数c ，七，m 均为正的物理常数，指数7 ，和p 满足p 2 ，7 o ，垂辜p 串 联合以e 方程可以得到 饥= m c 芈d j v ( 1 v 矿+ 1 r 2 v 矿+ 1 ) ， 略去常数项且p 为非n e w t o n 多方渗流方程 u t = d i v ( i v u m p - - 2 v t ，) ， 其中m 窖7 + 1 而非n e w t o n 渗流方程 u t = d i v ( i w l - 2 v u ) 具强非线性源的p - l a p a c e 方程g - - 初边值问志 2 又称r - l a p h c e 发展方程，描述的是种单项渗流问题假设有种可压流体在均 匀，各向同性的刚性多孔介质中流动由质量守恒定律 p 塞+ 曲( p v ) f f i 0 ， 其中0 为介质的空隙率( 此时是常数) 当我们考虑非n e w t o n 流体( 例如拟塑性流 体) 时，需要计及流t - ) c b ，分子与离寻效应等诸多因素的影响，线性的d a x c y 定 律不再成立，代替它的就是下列非线性关系 p v 葛- a i v p i a - 1 v 只 其中入 0 和q 0 是某物理常数 本文研究的就是如下具有强非线性源的非n e w t o n 渗流方程 i 戗t = d i v ( i v u l - 2 v t ) 一a 牡g ，( z ，t ) q ( 0 ，t ) = q ， l 乳i 坤骞一矿， ( z ，t ) 施( 。，t ) 篁岛，( 1 1 ) lt ( z ，0 ) = t 幻( z ) ， z q ， 这里q 是r 中边界充分光滑的有界区域，a 却是对单位外法向求导，p 2 ，m 1 ，a ，q 舡的常数；0 0 或i 锄i v 移i = c o 0 成立，那么在q r 上 就有牡可，其中0 t m i n t ( t 0 ) ，t ( 铷) ) 下面的定理说明了解的整体性和爆破性对参数的依赖关系爆破是指存在时间 0 t 满足 ；l i r a l ，s u p l l t ( - , 01 1 工。( 。) 宣+ 定理2 2 当p m ，则对任意初值t l o 三( q ) ，以砂存在整体弱 解 兵强非线性源的p - l a p l a c e 方程第二初边值同志 t ( c ) 若口+ l 霉r a p 伪一1 ) ，解的爆破性依赣于a ：存在lm ，当 ，口 m 时，砖任意初值t o l ( q ) ，以砂 存在整体弱解 定理2 3 当p f n + 1 ( 口) 若g + l o 且初值充分大。则口砂存在解在 有限时间爆破 ( 6 ) 若口+ l 仇p ( p 1 ) ，口 m ，对任意初值u o z 户( q ) ，口砂存在整体弱 解 ( c ) 若口+ 1 o 存在知霉m ，当a ，且初值 充分大时， 口砂存在解在有限时间爆破 一 墨堡! 壅些堡箜之垒唑查墨墨三塑望焦旦整 5 - _ _ _ - _ _ _ _ - l _ _ _ _ - _ _ _ _ 。_ - _ _ _ _ 一一一一一 第兰节定理2 1 的证明 选择伊( q ) ，满足 8 t 上i 0 二一( n ) sh t o l i 二一( n ) + 1 ， 0 t l o ，i t 0 0 工1 ( n ) 叶0 当n _ o o ， 0 v t 0 1 0 口( o ) c o v t 0 0 p ( o f ) t l d j v ( ( 1 v t ，1 1 2 + 去) 譬v ) 一a u ：+ i 1 ，( 叫) 劬， 僻) ( i v - 1 2 + 三) 牟等墨昭， ( 毛t ) 岛， l ( z ，0 ) 墨t l o 幡( z ) ， z q ( 3 1 ) ( 3 2 ) l o 呸0 令鳓( t ) = 矿，0 0 满足6 t o l l l 一( n ) s 刚2 固定舾r ，则存在时间tl t ( r ) 0 ，满足 t l n 。如( z ，t ) 南，v n n ( 3 6 ) 只要歹 南利用( 3 5 ) 和( 3 6 ) ，就得 8 t k ) 8 工一( n ) ，月，zq ) 聋一厶( 附+ 丢) 学v 州( 讪出出 + 熹厶嵋蔓d s 一土q + lz 仳纩1l 彳如+ 妻z i 吾如 毛厶丢厂p c 3 + 护如如出堋t t o i l l - ( n ) , r , t , f l ， 满足 根据引理3 2 ，存在的子序列2 i 一，和函数 缸厶( q 丁) n 汐( o ，r ；w 1 ( q ) ) ，t t l 2 ( q t ) t 一缸厶e q ( o ，邪， v t ，i ，- 弱- - , v h 上尸( q ( o ，明) ， ( ) t 旦t il 2 ( f l ( o ，卅) 村 利用( 3 8 ) 一( 3 1 0 ) ，记九誊卿忍i v r , i ，佧拳l ，2 ，) ，就有 暑l ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 x o ) 熙f 厶昭础霉热厶砉去c 昭饥，抛 z 熙厶f 台n 筹o u 饥恕厶砉牡m o 西j , d x d z d t + o x - i 班 2 熙厶台蔷饥恕厶薹牡 班 聋厶薹筹机批+ 厶善n 矿瓮如班 去九) 如出 u 妒d s d t 这里? ；i ，只是在引理3 1 证明中引入的函数显然对任意的检验函数妒，满足 厶( ( 1 1 2 + 丢) 牟v v 妒一锹+ ( a u ：一去) 0 如出一厶昭饵眺 誊t l o ，i ( z ) 妒( o ，o ) 如， 厶( i v 缸i r - 2 v u v i a - t 吮+ m 9 ) d z d t lu m 妒奶斑l 上( z ) 妒( z ，。) 如 j q tj n 随厶 f r 厶f 霉 霉 具强非线性源的p - l a p l a c e 方程第二初边值问题 l o 3 2 比较原理 引理3 3 若牡，t ，是p 砂分别对应于初值t l o ，铀时的弱解，t o t j i d ，且如果 有l v 牡l 墨e e 0 或i 啦ri v t ，il 内 o ，那么 和 f l u ( t ) 一钞( 圳工。( n ) sc l l , , o - o l l l z ( n ) ( o ，刁， 牡1 1 1 t 3 t ! 仁，t ) q t 证明：由定义2 1 闲。以得到 ( 毯一t ，) t ( 缸一岔) + d z 蹴 j q , ， 毒一，( i w l - 2 v u i v , , l - 2 v v ) v ( 缸一t ，) + d z d t 一入z 。( 矿一俨) ( 一秽) + 出疵+ ( u m 一矿) ( 牡一钐) + 幽d t 并且注意到 ( ( i w , i p - 2 v u - i v v e - 2 v v ) v 扣一口) + 如以 = 上。z 1 i v ( 蹦+ ( 1 一s ) 训，_ 2 d s l v ( u t ，) + 1 2 如d t n n pr 1 + ( p - 2 ) d = l 1 - - - 1 q t 上i v ( 蹦+ ( 1 一。) ”) r 4 取( 3 u + ( 1 一s ) t ，) d l ( 蹦+ ( 1 5 ) t ，) + 如d l ( 让一t ，) d ( u 一移) + 出出 = - i - 五 容易证明峨tf o i v ( s u + ( 1 一暑) t ，) l ，一2 如= c 0 实际上如果存在点( x o ，t o ) 使 詹i v ( 黜( 知，t o ) + o - s ) , ! ，( x o ，亡o ) ) l ，一2 如茸0 ，则有l v ( s ( 知，如) + ( 1 一暑) 移( 知，岛) ) l 薯 o ，v s 【o ，l l ，因此必然有l v u ( z o ，t o ) l = i v v ( z o ，t o ) i = o 这与本引理的假设相矛 具强非线性源的p - l a p l a c e 方程第二初边值问题 l l 盾因兑 ， c i v ( 牡一移) 1 2 d x d t - ，q 又因为, 1 2 0 ，类似引理3 1 中的证明过程就得到引理3 3 的结论 口 由以上两引理就得到了定理2 1 具强非线性源竹p 也a p l a c e 方程第二初边值问题 1 2 第四节定理2 2 的证明 为证明定理2 2 ，需要构造合适e 解程和下解垫由引理3 3 ，西，墅要满足 i n f 钉l 叫 q 0 或i n f 钳l v 冠l c o 0 称竺( ) 为( 1 1 ) 的下解( 上 解) ，如果墼( 动c 1 ( i 一) 且在弱的意义下满足 笪t d i v c i v _ t i l - 2 v 妨一沁，慨之d i v ( i v - a l - 2 v - a ) 一入铲) 和 i v _ 让l p 2 考矿( i v - a l p 2 荔矿) ( 刈) 锄( 。，砷 引理4 1 若p 0 选择c 霉e 鼍葶# 鳓氏e n 口( z ) + 甜p o ) 如果t 【0 ，耥) ，那么笪在q 上有定义另外，只要e 枞，就有 i w _ r - 2 骞一矿i v 口l p 2 丙o a 矿l v 口l p l = 矿( 1 2 广l ， 即 i w _ l ，一2 赛s 矿，( 引) 抛( 。，o o ) 注意到 毁霉6 ， 和 d i v ( i 观l p 2 v 笪) = 白一1 ) 矿( 2 i w l 薯r 矿一1 + 黄0 1 2 ) ， 不等式 甄d i v ( i w 纠，一2 蚴一世 具强非线性源的p - l a p l a c e 方程第二初边值问题 1 3 艿仇矿一1 g 1 2 ) ，一a 妒孽一嚣 因为妒是递增函数。匕述不等式成立只需要 6 ( o ) k 册一a ( g 一鲁巾) ) 畔炉) 一地) 陋唧一入g 昔( i 赫- - - - 1 酗+ 0 删) 旷( 口) 矿h a ( 眢( n 丕n 墨一吾n 小0 掣 畔铲) ， ( 4 1 ) 最后，选择t o 满足 嘶) 再磊砭忑蠹毛磊丽) 南 若u 是初值为u o 时( 1 1 ) 的解，t o ( z ) 墅( o ，z ) ，且l 刈 c o 0 ，由引理3 3 ， 得 笪( z ，t ) u ( z ，孟) 若令x o 西，a ( x o ) = s u p z e n 口( z ) 则 型( 勋，t ) 篁( c 一专学( e s 峨朗墨l 孙+ ) 趋于+ 当t 一页m o ( 一p p + - z ) 巧时因此u 在有限时间内爆破 果 ) 赫 口 同样的证明过程也适用于g + 1 = 嚣，a 仇，c = n 一1 ，2 时具体：有如下结 具强非线性源的p - l a p l a c e 方程第二初边值问题 1 4 引理4 2 著p m + l ，口+ 1l 嚣且入 嚣则( 1 1 ) 具有整体解 证明 构蝴西( z ，t ) l 以口( z ) ) ，其中烈s ) 霉( 南) ( e - 1 ) l ( m - e l - 1 是 霉沪1 ) 的个鲰选择口伊( 一) ，使0 口最 赛蕾1 当z 硼， 0 m ，以上证明过程仍然成 引理4 4 若p m ，g + 17 p r n p l ，入 知墨m 则p 砂具有整 林解 具强非线性源的p - l a p a c e 方程第二初边值问题 1 6 第五节定理2 3 的证明 定理2 3 从属于以下引理 引理5 1 若m + 1 p ，q + 1 0 ，那么初值 竞分大时( i i ) 存在爆破解 证明令口( z ) 曩墨l 戤，墼扛，t ) 盔妒( 口( z ) + 6 ( t ) ) ，其中当m + 1 p 时， 妒( 5 ) 皇( g + 昔s ) 高，当m + l 窖p 时， 妒( s ) 盔c e ，满浞矿誊妒盏两 目的要得到 令 6 ( 亡) 曩妒( s ) 霉+ ( 5 1 ) i 砚l 坤赛s 矿， 仁，t ) 锄( 。，) 6 ，旷1 ( 仇( e 垆) ，一冲峄) ( 5 2 ) ( 礁b ) 揣 当m + 1 a 酞t ) = 而11 0 9 万而斋 当m + l p ， 其中0 a 颈南在【o ，幻) 内有 且 6 ，窭舶与辨当m + 1 弘 矽霉a e ( m 一1 ) 当m + 1 皇a 规6 ( t ) 窜+ ( 5 3 ) 天诬j f 玩性琢町p l a p a 万往弟二研迥伍i q 遐1 7 存在a 和c 满足不等式 a ( 岩) 一( j - 1 ) ( m - - 1 ) ( 删叩一a 狰；) 当 0 ，由引理3 3 ，就有 缸( z ，t ) 墅( z ，孟) 因此，由( 5 1 ) 和( 5 3 ) ，让在有限时间内爆破 若口+ 1 一嚣，且入充分小，同样的证明仍然成立具体有如下结果 口 引理5 2 若m + l a 口+ 1 0 那么若 a 嚣则( 1 1 ) 具有整体解 证明：令西( z ，t ) = 妒( 口( z ) ) ，其中 妒( 5 ) 嚣( g + 掣s ) 鼎当m + l - l a p i a c e 方程第二初边值问题 1 8 其中口( z ) 是引理4 3 中的函数则 i v 西r 2 雾= 矿l v 口l 川骞芝砭，i ( 印) 魂( 。，) ( p 一1 ) m ( n + n 2 ) p + 昔n ( z ) ) 鼎一d + m ( c + 昔口( z ) ) 鼎嚣协州a 当m + l p 仇( 仇“功) m 一1 + 是| + ( p 一1 ) m ( + 胪) ( 侥霉) m 一孽a当m + 1 墨p 甄之d i v ( i 删p 2 侃) 一腼 ( z ，t ) qx ( 0 ，o o ) t o i i - o l i 沪( n ) c 赫- 1西( z ，o )当m + 1 口， t o l i t 0 0 工* ( n ) cs 面( z ，o )当m + 1 = 口 由引理3 3 ，得 心蚓叫，卜寺掣z ) ) 晶k 牝唧蚶州 p 和 牡( z ，t ) 西( z ，t ) c 渺( 霉)( z ，t ) q 【o ，o o ) ，当m + 1 = 肛 口 参考文献 参考文献 【1 1 1o l a 由魏n 8 h j n e we q u a t i o nf o rt h ed e s c r i p t i o no fi m ：o m p r e s s i b l ef l u i d sa n ds o l v - - b i l i t yi nt h el 越驴h 抛埘i a 眄池o ft h e m ，p r o e s t e k l o vi n s t m a t h ，1 0 2 ( 1 9 s 7 ) ，9 5 - i i & f 2 】m a r t i n s o nl k a n dp a p l o vk b ，t h ee f f e c to fm a g n e t i cp l a 础i c i t yi nn o a - n e w t o n i l m f l u i d s ，m 叼a i t g k t r o d i n a m i h3 ( 1 9 6 9 ) ，6 9 - 7 5 f 3 jz h u o q u nw u tj u n n i n gz i m o , j i n g x u ey m ，h u i l s il i ，n o n l i n e a rd i f f u s i o ne q u a t i o m , w o r l d s c i e n t i f i cp u b l 谴i i n g ，2 0 0 1 4 1a l i k a k mn d a n de v a n sl c ，c o n t i n u i t yo ft h ez r a t d i e n to ft h es o l u t i o n so fc e r t a i n d e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n , j m a t h p u r e se ta p p ，6 2 ( 1 9 8 3 ) ，2 5 & 1 6 8 s lc h e ny s z h e ，h s l d e r 眦岫o ft h e 黟枷o ft h es o l u t 妇0 fc e r t d e 寥瑚n 七e p a r a b o l i ce q u a t i o - - 弛a - m a t k ，8 b ( 3 ) ( 1 9 8 7 ) ，3 4 3 - 3 5 6 【6 】c h e r ty a z h e ，h s l d e rc o n t i n u i t yo ft h eg r a d i e n to ft h es o l u t i o n so f n o n l i n e a rd e g e n e r a t e p a r a b o l i c 妁吲【e m 8 ，a c t am a t h s m i c ln e w 鳓r i 留，2 ( 4 ) ( 1 9 8 6 ) ，3 0 9 - 3 3 1 闭d i b e a e d e t t oe a n df r i e d m a a 气1 1 6 1 d e re 毗i m a t e sf o rn o n l i n e a rd e g e n e r a t 彦p a r a b o l i c s y s t e m s j r e i n ea 卫霉啊m a t h 2 5 7 ( 1 9 8 5 ) 1 2 2 【8 】z h a oj u n n i n g ，s o u r c e - t y p es o l u t i o mo f q u a s i l i n e a rd e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o nw i t h & b s o r p t i o n ，c h i n a n n o fm a t h ，1 5 ( 1 ) ( 1 9 9 4 ) ，8 9 - 1 0 4 f 9 jm c h i p o t ，m f i l & ，p q u i t t e n e r ，s t a 七i i b 珂s o l u t i o n s ，b l o w - u pa n dc o n v e r g e n c et os t a t i o n - m , ys o l u t i o nf o r 醴i l i n e p a r a b o l i ce q t m t i o n sw i t hn o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，a c t s m a t h u n i v c o m e n i a n a e6 0 ( 1 9 9 1 ) 3 5 - 1 0 3 【l o lv g a l s k t i o n o v ，h a 1 啊豫，o nc r i t i c a l | 、l j i t a 麟p 0 妇f o rh e a te q u a t i o mw i t h n o n l i n e & rf l u xb o u n d a r yc o n d i t i o n so nt h eb o u n d a , - y , i s r a e lj m a t h 9 4 ( 1 9 9 6 ) 1 2 5 - 1 4 6 f l l 】w w a l t e r ，o ne x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c ei nt h el a r g eo fs o l u t i o n so fp a r a b o l i cd e f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t h _ n o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n ，s i a mj m a t ea n a l 6 ( 1 ) ，( 1 9 7 5 ) 8 5 - 9 0 1 9 一参考文献 【1 2 lf a h 氓j m m a z o n ，j t o l e d oa n dj d r o s s ，p o r o u sm e d i u mw i t ha b s o r p t i o ua n d n o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n ，n o n l i n e a ra n a l l y s i 8 ，n o 4 9 ，