（基础数学专业论文）利用理想研究几类半环.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 理想是研究半环的重要工具之一近来，m 。s h a b i r ，a a l i 和s a m a i nb a t o o l 【2 】等 人利用单边理想，理想，拟理想和双理想讨论了正则半环的性质并给出了正则半环的 刻划本文主要利用各种类型的理想研究了丌一正则半环，完全丌一正则半环和拟内禀 正则半环 本文共分四章第一章，介绍了半群和半环的拟理想和双理想的历史背景，并介 绍了半环的各种理想的概念以及半环上拟理想的一些基本性质第二章，首先给出了 7 一正则半环上各种理想的一些基本性质；其次，利用理想，拟理想和双理想刻划了弘 正则半环，推广了文【2 中的相关结果，并简要研究了正则左d u o 半环第三章，对完 全丌正则半环进行了刻划，并研究了它的g r e e n c 关系和g r e e n 一冗关系第四章， 对拟内禀正则半环进行了研究 关键词：7 r 一正则半环；完全丌正则半环；理想；拟理想；双理想 西北大学硕士学位论文 o ns t u d i e so fs o 羔娃ec l 嚣啜s e so fs e 羔n i r i n g s b yu s i n go fi d e a l s a b s t r a c t i d e a li so n eo ft h em o s ti l n p o r t a n tt o o l si n 乇h es u d yo fs e m i r i n gt h e o r y i 沁c e n t l y ， m s h a b i r ，a a l ia n ds a m i a nb a t o o ld i s c u s st h ep r o p e r t i e so fr e g u l a rs e m i r i n gb y u s i n go fo n e - s i d ei d e a i ，i d e a l ，q u a s i - i d e a n db i _ i d e 蠢a n d 舀v et 抽e h a r a c t e r i z a 乇i o n o fr e g u l a rs e m i r i n g i nt h i sp 印e r ，w em a i n l y8 t u d y7 r r e g u l a rs e m i r i n g s ，c o m p l e t e l y 万一r e g 毡l a rs e m 呈r 主珏g s8 眭dq 毡囊s 孓i 癍r 8 r e g u l 缸s e m 至r 主珏g s 谚黼i n g 西t 确s e v e r 蠢娜i e so f i d e a l s t h ep a p e rc o n s i s t so ff o u rc h 印t e r 8 i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r yb a c k g r o u do fq u a u s i - i d e a la n db i i d e a li ns e m i g r o u pa n ds e m i r i n ga n ds o m eb a s i ed e 6 n a t i o i l s o fd i 蠹! ：e f e n t 谤p i e s i d e ai n 乇h es e m 话i n ga n ds o m eb a s i ep r o p e r t i e sa b o u tq u a s i i d e a l i nt h es e m i r i n g i nc h a p t e r2 ，f i r s t l y ，e 酉v es o m ef u n d a m e n t a lp r o p e r t i e sa b o u ti d e - 赫si n 弘r e g u l 甜s e 嫩i r i n g s ；s e 蕊l y ，w e 西鑫r a c t e r i z e 弘r e g u l a rs e m i r i 珏g s 毋i d e a l s ， q u a s i i d e a l sa n db i i d ea ：l s ，t h e nw r ee x t e n ds o m ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t 8o fp a p e r 2 】a t 毛| l es 8 蕊e 专l m e ，蹭鲢班p 弩氐u d yr e g 毽l a rk & d 疆ds e 遨i r 主魏g 。 l 珏凌8 p t 彀3 ，w eg 主v e c h a r a u c t e r i z a t i o no fc o m p l e t e l y 丌一r e g u l a rs e m i r i n g sa n d8 t u d yt h eg r e e n cr e l a t i o n 氇芏砖g r e e 融死r e l 戢i o 薹lo f h e 激1 珏文a p t 嚣4 ，帑陀s 毪d y 瓣ep r o p e 瞧i e so fq 毽撼i i 嫩r a r e g u l a rs e m i r i n g s k e y w o r 出：霄一r e g u l 鑫r m 聚n 黟；e o m p l e t e l y 万一r e g 毽l 甜s e 疆溉n g s ；遗e 越8 ；q u a s i - i d e a l s ：b i i d e a l s 1 1 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：j 忸享一指导教师 赞勿翁匀锾 签名：越刎甲 毋年嵋月。乡日 p 扩啤。6 月哆日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：翻季 以 年印月 。弓日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1引言 半环存在于各种不同的数学领域中在拓扑学，图论，欧氏几何，概率论，离散 动力系统，自动化理论以及计算机语言等领域中我们都能找到半环的身影半环被认 为是对环和完备格最一般最自然的推广，从而，对半环的研究为研究环和完备格相关 领域的研究提供了更为广阔的技巧 1 9 3 4 年，h s v m d i v e r 【删第一次明确地给出了半环的定义同时，v a n d i v e r 对半环进行了更为深入和系统的研究在使半环成为人们普遍接受的一种基本代数结 构的过程中，v a n d i v e r 等人付出了艰辛的努力并取得了一定的结果0 s t e i n f e l d 于 1 9 5 3 年 3 】和1 9 5 6 年【4 ，5 】给出了环和半环上拟理想的定义，并对拟理想进行了一系列 的研究1 9 5 8 年，k i y o s h ii s e k i 【6 】给出了半环中拟理想的定义，并且得出了一些重要 的结果 c d o n g e s 【1 对半环上的拟理想进行了进一步的研究 m s h a b i r 【2 】运用拟理 想讨论了正则半环的性质1 9 5 2 年，r a g o o d 和d r h u g h e s 【12 】给出了半群中双理 想的定义，而相对来说，环中双理想的概念的提出却相对晚些1 9 7 1 年，s l a j o s 和 f s z a s z 【17 】给出了环中双理想的精确定义近几年来，a a l i 和s 锄i a nb a t o o l 2 】等人 对半环中的双理想也进行了系统的研究，并取得了一定的成果【7 _ 1 1 1 半群的格林关系是研究半群理论的重要工具之一，半环作为半群概念的延伸和推 广，研究半环上的格林关系对于了解各类半环的性质，探讨各类半环的结构就具有了 一定的理论基础和现实意义1 9 7 0 年，m p g r i l l e t 1 3 利用半环的理想定义了半环的 g r e e n 关系，并讨论了半环的g r e e n 关系的性质p e t r a qp e t r o 1 7 关于环上g r e e n 关 系的讨论以及n i o v ik e h a y o p u l u 1 4 1 6 】关于序半群上g r e e n 关系的讨论说明了g r e e n 关系的重要理论意义 本文主要研究了7 r 正则半环，完全丌一正则半环和拟内禀正则半环第二章，首 先给出了丌一正则半环的有关理想的一些基本性质其次，利用理想，拟理想和双理想 给出了7 r 一正则半环的等价刻划，扩充了文 2 中的一些结果第三章，对完全丌正则 1 西北大学硕士学位论文 半环进行了刻划，并研究了它的格林关系第四章，对拟内禀正则半环进行了研究 1 2预备知识 本文未交待的有关半群半环的概念请参阅文献 1 8 ，1 9 】 下面我们介绍一些半环的基本概念及相关的结论： 若非空集合s 上装有两个二元运算。+ ”和“，且满足条件： ( i ) ( s ，+ ) 和( s ，) 是半群； ( i i ) ( vo ，6 ，c s ) ( n + 6 ) c = 凸c + 6 c 和c ( n + 6 ) = + c 6 ， 则( s ，+ ，) 称为半环 如果对于任意的o s ，存在元素0 s ( e s ) 使得0 + o = n + 0 = 口( e 口= n e = o ) ， 则称0 为s 的零元( e 为s 的单位元) ；如果对于任意的n s ，存在元素o s 使得 o 口= 0 0 = 0 ，则称0 7 为s 的吸收元当0 与0 7 一致时，则称半环有吸收零元 设x 是半环s 的任意一个非空子集， ( x ) = 忍k x 表示由x 生成的 = 1 ( s ，+ ) 的子半群令表示所有自然数所组成的集合，z + 表示所有非零正整数所 组成的集合，( x ) 表示所有形如，洲t 。优而的集合，其中( 啦，盈x ) 即 ( x ) = 啦踢l 啦，毛x ) t = 1 设b 是半环s 的一个非空子集，如果对于任意的o ，6 b 有n + 6 b ，n 6 b ， 则称b 是半环s 的一个子半环设l 是半环s 的一个非空子集，如果三是加法 半群( s ，+ ) 的一个子半群，且满足( s l ) 三( ( r s ) r ) ，则称l ( r ) 是半环s 的 左( 右) 理想；如果l 既是s 的左理想又是s 的右理想，则称其为s 的双边理想 ( 理想) 半环s 的一个左( 右) 理想l ( r ) 被称为是s 的一个左( 右) 七一理想，只要 n ，o + z l ( n ，z + n r ) 就有z l ( z r ) 由文献 1 】知，如果l 是半环s 的乘法半群( s ，) 的左理想且是s 的加法半群 ( s ，+ ) 的子半群时s l 和( s l ) l 是等价的 下面定义半环上两个集合之间的运算： 2 西北大学硕士学位论文 设x ，y 是半环s 的任意两个非空子集， 几 ( x y ) = 而玑i 觑x ，玑y ) ， i = l x + y = z + i z x ，y y ) 对于任意的仍x ，z s 有 ( x u y ) = ( ( x ) u ( y ) ) ； ( x y ) = ( ( x ) y ) = ( x ( y ) ) ； ( x y z ) = ( ( x y ) z ) = ( x ( y z ) ) = ( ( x ) ( y ) ( z ) ) 一般来说，x y ( x y ) 恒成立对于任意的z s 和y s ，当y = ( y ) 时有 z y = ( z y ) 和y z = ( y z ) 令x 是半环s 的一个非空子集，则由x 生成的s 的左理想，右理想和理想分别 记为( x ) f ，( x ) ，和( x ) t ，他们分别表示包含x 的所有左理想，右理想和理想的交且 ( x ) f = ( x ) + ( s x ) ； ( x ) ，= ( x ) + ( x s ) ； ( x ) t = ( x ) + ( s x ) + ( x s ) + ( s x s ) 如果x 是( s ，+ ) 的子半群，则( x ) = ( x ) ，因此 ( x ) z = ( x ) + ( s x ) ； ( x ) ，= ( x ) + ( x s ) ； ( x ) t = ( x ) + ( - s x ) + ( ? 【s ) + ( s x s ) 如果半环s 含有乘法恒等元1 ，则 ( x ) f = ( s x ) ； ( x ) ，= ( x s ) ； ( x ) t = ( s x s ) 引理1 2 1 【1 】令s 是半环，对任意的0 x s ， ( x ) l = ( x u s x ) ；( x ) ，= ( x u x s ) ； ( x ) = ( x u s x u x s u s x s ) ；( x ) 。= ( x u ( ( s x ) n ( x s ) ) ) 下面介绍拟理想的基本概念及相关性质： 3 西北大学硕士学位论文 定义1 2 2 1 】设集合q 是半环s 的一个子集合，若q 是加法半群( s ，+ ) 的子半 群，且满足： ( s q ) n ( q s ) q ， 则称q 是半环s 的一个拟理想 从半环的拟理想的定义可以看出 引理1 2 3 半环s 的任意一个单边理想都是它的拟理想进一步可以看出半环s 的每一个拟理想都是半环s 的一个子半环，事实上，q 2 s qnq s q 引理1 2 4 【1 】设s 是一个半环，则下列命题成立： 1 ) s 的每个单边理想或每个理想是s 的一个拟理想； 2 ) s 的任意两个拟理想的集族的交要么是空集，要么是s 的一个拟理想； 3 ) 如果l 和r 分别是s 的一个左理想和一个右理想，那么r l ( 兄l ) ln 兄， 且q = lnr 是s 的一个拟理想； 4 ) 对任意的o x s ，( s x ) 是s 的一个左理想，( x s ) 是s 的一个右理想， ( s x s ) 是s 的一个拟理想 在半群中，任意一个拟理想都可以表示成一个左理想和一个右理想的交而在半 环中，这一命题的逆命题一般是不成立的 下面我们给出半环的拟理想满足相交性质的定义： 定义1 2 5 【1 】设q 是半环s 的一个拟理想，称q 满足相交性质，当且仅当半环 s 中存在适当的左理想l 和右理想兄，使得q = lnr 成立 在此，我们给出几类特殊的半环，在这些半环中每个拟理想都可以表示成一个左 理想与一个右理想的交 命题1 2 6 2 】如果q 是半环s 的一个拟理想，q ( q s ) 且( q s ) 是一个右后一理 想，或者q ( s q ) 且( s q ) 是一个左七一理想，那么q 是左理想( q ) + ( s q ) 与右理 想( q ) + ( q s ) 的交 证明：设( q ) f ，( q ) ，分别表示由q 生成的s 的一个左理想和一个右理想且 ( q ) f = ( qus q ) = ( q ) + ( s q ) ， 4 西北大学硕士学位论文 ( q ) ，= ( quq s ) = ( q ) + ( q s ) 令d = ( q ) ln ( q ) ，则q ( q ) zn ( q ) ，= d 假设q ( s q ) ，则d = ( s q ) n ( ( q ) + ( q s ) ) 令d d = ( s q ) n ( ( q ) + ( q s ) ) ，则 其中幻，o t s ；七，q 因为后q ( s q ) ，= 后+ 乜口t ( s q ) ，且( s q ) 是s 的一个左七一理 j = l 信l 想，所以。t ( s q ) 因此口t ( s q ) n ( q s ) 而( s q ) n ( q s ) q ，因而 l = li = l d = 后+ n q ，所以d q ，从而d = q 由命题可得到下面的 推论1 2 7 如果半环s 含有至少一个单边恒等元即至少含有一个左理想或者一个 右理想，并且每一个左理想或者右理想是一个七理想，那么s 的每一个拟理想是s 的一个左理想与右理想的交 命题1 2 8 令s 是含有恒等元1 的半环，则s 的每个拟理想是s 的每个左理想 与每个右理想的交 证明：令q 是s 的任意一个拟理想，且令 l = ( q ) + ( s q ) = ( s q ) ，r = ( q ) + ( q s ) = ( q s ) ， 分别表示由q 生成的s 的左理想和右理想，我们有q ( s q ) n ( q s ) 因为q 是s 的一个拟理想，所以( j s q ) n ( q s ) q 因此q = ( s q ) n ( q s ) 对于半环的单边理想来说，以左理想为例，半环s 的两个左理想的和仍是s 的 左理想，s 的两个左理想的积仍是s 的左理想但是，半环的拟理想却不具有这样的 性质 下面我们看两个例子说明一下： 5 吼 。斟 +七 = 卜o 。傅 = d 删娜= ( 三 一个半环 令q = ( 言兰) q l ，q 2 是s 的拟理想 西北大学硕士学位论文 三) c n ，6 ，c ，d 是非负整数，则s 关于矩阵的加法和乘法是 ( z 是一个非负整数) ，q 2 = 不是 0口 0 0 ：) c y 产一个非负整数，则 ：) a q nq a ， 隹q ，所以s 的两个拟理想的和不一定是s 的拟理想 6 是正实数) ，则s 关于矩阵的乘法是一个半群 令a = s 。= s u ( 三兰) ，则a 是含零半群 0 0 ， 在a 上定义加法如下： 妻：了二i 三二三s 以s ( ( | n ，6 是正实数且0 o 6 ) ， q 是正实数且0 5 ) ， 右理想，所以月和三是a 的拟理想元素 ；) ( ：；) ) = ) 以c r l ，n c 几l ，a ， 0 0 ，iii 酌0 、l 想0 0 理 o 0 拟 的 i | s、lj， q，、陇卜 男0 o 0 ，jl 、l 0 1 口 6 2 r 0 q o o)l + 一口0 = r s q夕0 0 拿 | | 1 o-扎 q 0 0 是 硝 令-但 例 其 中 一 供 冲 卜 、lj， 葶 黟 沙卜一 0 个 - ) 厂 一 卜“舻 环0 a糁0射 胖卜卜朋艉 潍厂_p g 甥 t r = 钆 令 k 和 1 2 1 0 1 ， l 一4 l 、)6 、l 0 1 l ， 、i m 6 0 l ，、 m 6 = lj、j 0 1 0 1 5 加 ，fi_li 西北大学硕士学位论文 gr l ，所以r l 不一定是s 的拟理想 设b 是半环s 的一个子半环且满足( b s b ) b ，则称b 是半环s 的一个双理想 引理1 2 1 0 【1 】令s 是一个半环，丁是s 的一个双边理想，则丁的每一个拟理想 是s 的一个双理想特别的，s 的每一个拟理想q 也是s 的一个双理想，因此q 满 足( q s q ) q 7 o 。明 5 旧 卜h 舣 是 但 西北大学硕士学位论文 第二章7 r 一正则半环 m s h a b i r a a l i 和s 锄a i nb a t o o l 【2 对正则半环和内禀正则半环给出了一些在理 想理论方面的刻划在此，我们将研究比上述半环类更大的半环类一7 r 一正则半环类 本章首先给出了丌一正则半环的有关理想的一些基本性质其次，利用理想，拟理想和 双理想给出了7 r 一正则半环的等价刻划，扩充了文【2 】中的一些结果 2 1基础知识 首先介绍7 r 正则半环的有关理想的一些基本性质 定义2 1 1 【2 j 设s 是一个半环，如果对于任意的n s ，存在z s ，使得口= n z o ， 则称半环s 是正则的；如果对于任意的o s ，存在z s ，使得口= z 0 2 ( o = 口2 茁) ， 则称半环s 是左( 右) 正则的；如果半环s 的每个左理想是s 的一个右理想，则称半 环s 是左d u o 的；如果半环s 的每个左( 右) 理想都是s 的理想，则称半环s 是d u o 的 定义2 1 2 设s 是一个半环，n s ，如果存在z 只m z + ，使得m = n ”z n m ， 则称口是7 r 正则的如果半环s 中每卜元素都是7 r 正则的，则称半环s 是7 r 一正则 的 引理2 1 3 设s 是丌一正则半环，则s 的每一个理想t 是s 的一个丌一正则子半 环 证明：对于任意的s t s ，因为s 是丌一正则的，所以存在z s 和m z + ， 使得s ”= s m z s = s “z s ”z s = s ( z s ”z ) s 因为z s ”z 丁，所以s 是7 r 一正则 的，丁是7 r 一正则的 引理2 1 4 设s 是7 r 正则半环，则下列命题成立： 1 ) s 的每一个左理想l 和每一个右理想r 均满足( r ) l n 月( 实际上r l = ( r l ) ln 冗) ； 2 ) 对于s 的每一个左理想l 和每一个右理想r 均满足： a ) ( l 2 ) = l ； 8 西北大学硕士学位论文 b ) ( r 2 ) = r ； c ) ( r 三) 是s 的一个拟理想 3 ) ( 厶，) 和( r 。，) 是带； 4 ) s 的所有拟理想的集合关于积运算( q q 2 ) 是一个半群，而且2 a ) 与2 b ) 表明 s 的每一个拟理想具有交性质 证明：由引理1 2 4 知r ( r l ) lnr 恒成立因为s 是7 r 正则的，所以 对于任意的d lnr ，存在z s ，使得d l = d m z 护因为d s 且兄是半环s 的 子半环，所以护r 同理，d ”l 所以z d ”s l 厶因而d 兄巳所以1 ) 成立 1 ) 号2 ) 令l 是s 的一个左理想( l ) ，= ( 三u s ) 表示由l 生成的s 的右理 想由1 ) 知 l = 三n l ，= ( l ，三) = ( ( 三u 己s ) l ) ( l l u l s l ) = ( l l ) 同理可证b ) 由引理1 2 4 可知( r l ) = lnr 是s 的一个拟理想 我们考虑由s 的一个拟理想q 所生成的s 的左理想( q ) f = ( q u s q ) 一方面 q ( q u s q ) = ( ( q u s q ) 2 ) ( s q ) 另一方面 q ( q u q s ) = ( ( q u q s ) 2 ) ( q s ) 因此q ( s q ) n ( q s ) q ，从而，s 的每个拟理想有交性质 2 ) 令3 ) 由2 a ) 与2 b ) 知3 ) 成立 3 ) 号4 ) 令q 1 ，q 2 是s 的任意两个拟理想，则l = ( s q l q 2 ) 和r = q ，q 2 s ) 分别是s 的左理想和右理想由2 a ) 与2 b ) 推出s = ( s 2 ) 且 ( s q - q 2 ) = ( ( s q - q 2 ) ( s s q - q 2 ) ) = ( s ( q 1 q z s ) ( s q - q 2 ) ) ， ( q ，q 。s ) = ( ( q - q z s s ) ( q q 2 s ) ) = ( ( q ，q 2 s ) ( s q 。q z s ) s ) 由2 c ) 知( r ) 是s 的一个拟理想且满足 ( s 冗三) n ( 冗l s ) = ( r l ) 9 西北大学硕士学位论文 所以我们得到 ( s q q z ) n ( q ，q 。s ) = ( s ( q 。q 2 s ) ( s q q 。) ) n ( ( q - q 2 s ) ( s q - q 2 ) s ) = ( s r l ) ( r l s ) = ( r l ) = ( ( q l q 2 s ) ( s q - q 2 ) ) ( q - q z s q 2 ) ( q - q 2 ) 所以( q l q 2 ) 是s 的一个拟理想，从而4 ) 得证 2 27 r 正则半环的刻划 本节主要是给出丌- 正则半环的刻划，将文 2 】中的结果进行了推广 定理2 2 1 半环s 是丌一正则的当且仅当s 的每一个理想是丌一正则的 证明：必要性：设，是s 的任意一个理想，n s 因为s 是丌正则的，所以对 于任意的口s ，存在m z + ，z s ，使得o “= n ”z o ”因为，是s 的子半环，所 以n ”f 从而 0 m = o ”z 扩= 扩z 口m z n ”= 扩( 卫n m z ) 扩( s j s ) 口仇口m j o ”， 即存在可，使得n “= n “y o ”，所以j 是7 r - 正则的 充分性：显然 定理2 2 2 设s 是一个半环，则下列条件等价： 1 ) s 是丌正则的； 2 ) 对每一个n s ，存在m z + ，使得对s 的任意两个双理想b l ，b 2 和每一个 理想j ，若n ”b ln jnb 2 ，则o ”b l j b 2 ； 3 ) 对每一个o s ，存在m z + ，使得对s 的每一个双理想j e 7 ，每一个理想，和 每一个拟理想q ? 若n ”bn ，nq ，则n ”b ，q ； 4 ) 对每一个口s ，存在m z + ，使得对s 的每一个双理想b ，每一个理想，和 每一个左理想l 若n ”bn ，n 则n ”b ，； 】0 西北大学硕士学位论文 5 ) 砖每一个毯s ，存在嫩z + ，使得对s 静每一个按理想q ，每一个理想z 和 每一个左理想，若o ”qn ，n 厶则口q ，厶 6 ) 对每一个接s ，存在哦z + ，使得对s 的每一个右理想琏每一个理想f 黧 每一个左理想厶若o m r n ，nl 则凸”r ，l ； 7 ) 对每一个臻s ，存在限z + ，使得对s 的每一个拟理想q ，每一个理想，和 每一个双理想8 ，藉口”q n ，n 口，则n ”q _ ，b ； 8 ) 对每一个聪s ，存在m z + ，使得对s 的每一个右理想露，每一个理想f 和 每一个双理想b ，著口”r n 玎- 1 口，则a ”露，口； 9 ) 对每一个8 s ，存在m z + ，使得对s 的每一个右理想露，每一个理想，和 每一个拟理想q ，若口m r n 吖、q ，则扩露，q ； 1 0 ) 对每一个d s ，存在m z + ，使得对s 的任意两个拟理想q l ，q 2 和每一个 理想f ，若8 m q ln j n 貔，劂扩q l j q 2 ； 1 1 ) 对每一个a s ，存在m z + ，使得对s 的每一个右理想尺，每一个双理想 b 和每一个左理憨三，若扩霆n 骞门三，员| l 扩霆雪互； 1 2 ) 对每一个n s ，存在m z + ，使得对s 的每一个右理想冗，每一个拟理想 q 帮每一个左理想磊若扩露nq n ，剥蛙m 霆q 三。 证明：1 ) 号2 ) 设s 是7 r 一正则的，则对于任意的n s ，存在m z + ，z s ，使 得8 ”= 8 ”z 扩若对于s 的任意两个双理想霆l ，岛和每一个理想j ，有 口m 廖1n ，n 岛， 剥 n m = ( n m z 口”) ( z n z ) ( n ”z n m ) ( j e 7 1 s 曰1 ) ( s ，s ) ( 局s b 2 ) 篓b l ，b 2 2 ) = 争3 ) = 争4 ) 冷5 ) 兮) 由半坪的每一个理想( 左理想，右理想) 均为拟理想豆 每一个拟理想均为双理想即可得证 6 ) 冷l 令8 s ，假设存在矾z + ：使褥对s 的每一个右理懋霆? 每一个理想歹 和每一个左理想丘若o m 冗njnl ，则n m r ，我们考虑s 的由凸“生成的主 右理想霆( 穗) ，主左理想( 撵m ) 程主理想f ( 8 m ) 医为8 m 霞8 m ) nj ( 8 m ) n ( 8 “) ， 由假设我们有 盆“露( 穗“) 歹( 8 ”) ( 8 ”) 量霆( 8 ”) s 氇”) 霞( 娃”) 8 撤) 一8 ”u8 m s 8 ”0s 8 ” 1 1 西北大学硕士学位论文 和 因为 我们有 ( r ( o ”) ，( 口”) l ( n ”) ) ( 冗( 口m ) s 三( o ”) ) = ( ( 口”u o m s ) s ( q ”us o “) ) ( ( 口”u d ”s ) ( ”u s n ) ) = ( 0 2 ”u “s n “un ”s s o m ) ( 0 2 “u n ”s 口”) 口2 = o ”n ”( ( n ”) ( n 2 uo ”s n ”) ) = ( 口3 ”u n 2 ”s n ) ， n m ( 口2 “un ”s 。“) = ( ( 。2 ”) u ( 。m s n ”) ) ( ( 口”s 。”) ( 口”s 。”) ) = ( 。”s 口”) 所以s 是7 r 正则的 2 ) 号7 ) j8 ) 兮9 ) 令6 ) 由半环的每一个理想( 左理想，右理想) 均为拟理想且 每一个拟理想均为双理想即可得证 7 ) 号1 0 ) 今9 ) 由半环的每一个理想( 左理想，右理想) 均为拟理想且每一个拟理 想均为双理想即可得证 1 ) 兮1 1 ) 因为s 是7 r 一正则的，则对于任意的n s ，存在m z + ，z s ，使得 a ”= 口m z n ”设对于s 的每一个右理想r ，每一个双理想b 和每一个左理想l ，有 口”冗n b n ，则n = ( n ”z ) ( 口m z n ”) ( z o ) r b l ； 1 ) 今2 ) 兮6 ) 由半环的每一个理想( 左理想，右理想) 均为拟理想且每一个拟理 想均为双理想即可得证 引理2 2 3 1 半环s 是正则的当且仅当对于s 的每个左理想和每个右理想r 有兄己= nr ，且s 的每个拟理想有交性质 定理2 2 4 半环s 是正则的当且仅当对于s 的任意两个左理想l l ，l 2 和双理想 b 有j e 7n 三1nl 2 b l 2 证明：必要性：设s 是正则的且n j e 7nl lnl 2 ，则存在z s 使得 12 西北大学硕士学位论文 o = o z n = ( 口z o ) ( z 口) ( z n ) ( b s b ) ( s 三1 ) ( s 三2 ) b l l l 2 充分性； 设s 是半环且对于s 的每一个双理想b ，任意的左理想l 1 ，l 2 有 b n l ln l 2 b l l 三2 ，则冗n 1 = r n s n l l 冗s l l r 1 而在任意半环中 冗l r nl 恒成立，所以由引理2 2 3 知s 是正则的 推论2 2 5 2 半环s 是正则的当且仅当对于s 的每一个双理想b ，每一个理想， 和每一个左理想l 有bn ，nl b 儿 定理2 2 6 半环s 是正则的当且仅当对于s 的每一个双理想b ，每一个左理想l 和每一个右理想r 有r n b n l r b l 证明：必要性：设s 是正则半环，b 为s 的任意一个双理想，r 为s 的任意 一个右理想，l 为s 的任意一个左理想，则对于任意的r n b n l 有 o = o z 口= o z o z 口r s b l 兄b l ， 即rnbn r b l 充分性：设s 是半环且对于s 的每一个双理想b ，每一个左理想l 和每一个右理 想r 有r nbnl 冗b l 由于r nl =r n s nl r s 厶r l ，而r 三r nl 在任意半环中恒成立因此r l = 兄n l 从而由引理2 2 3 知s 是正则的 推论2 2 7 半环s 是正则的当且仅当对于s 的每一个双理想b 和s 的每一个左 理想l 有bn b l 证明：必要性：设b 为s 的任意一个双理想，三为s 的任意一个左理想，因为 s 是正则的，则对于任意的o bnl ，有 n = n z n = o z 口z o b s b s l b l ， 即bn b 三 充分性：如果s 是半环且bn b 厶则对于s 的每个右理想几和每个左理 想l 有rnl r l 而r l 冗nl 恒成立，所以rnl = r l 由引理2 2 3 知s 是正则半环 推论2 2 8 半环s 是正则的当且仅当对于s 的任意一个双理想b 和s 的每一个 右理想r 有月nj e 7 冗b 】3 西北大学硕士学位论文 证明：同上 定理2 2 9 2 设半环s 是正则和内禀正则的，则对于s 的每一个双理想b 和每一 个左理想有bnl b l 引理2 2 1 0 半环s 是正则左d u o 的，则s 的每个拟理想是s 的一个右理想 证明：令q 是s 的一个拟理想，因为s 是正则的，引理2 2 3 知存在左理想l 和 右理想r 使得q = rn 三因为s 是左d u o 的，所以l 是s 的一个右理想，从而q 是s 的一个右理想 引理2 2 1 l 半环s 是正则d u o 的，则s 的每个拟理想是s 的一个理想 定理2 2 1 2 设半环是正则左d u o 的，则下列命题成立： 1 ) s 的所有拟理想的集合关于积运算( q ，q 2 ) 是一个左正则带； 2 ) 对于s 的每一个右理想r 和每一个左理想三及l l ，岛有( r l ) = 月n 厶( l l 己2 ) = l 1 n 2 证明：1 ) 设q ，r 是s 的任意两个拟理想，因为s 是左d u o 的，所以q ，t 是s 的右理想因为s 是正则的，所以q = ( q s q ) ，且对于s 的每个左理想s 有( s 2 ) = s q= ( q s q ) = ( ( q s q ) ( s 2 ) ( q s q ) ) = ( ( q s q ) ( s s ) ( q s q ) ) = ( q s ( q s s q ) s q ) ( q s ( s q q s ) s q ) = ( ( q s q ) ( q s q ) ) = ( q 2 ) 而( q 2 ) q 显然，所以q = ( q 2 ) 从而s 的所有拟理想的集合关于积运算( q 。q 2 ) 是一个带 设丁是s 的任意一个右理想，因为( q 丁) 是s 的一个拟理想，因此 ( q 丁q ) = ( q ( 丁q ) ) ( q ( 丁s ) ) ( q 丁) ， ( q 丁) = ( ( q 丁) s ( q 了1 ) ) = ( q ( t s ) ( q 丁) ) ( q 丁q ) 所以( q 丁) = ( q 丁q ) 因此s 的所有拟理想的集合关于积运算( q q z ) 是一个左正则带 1 4 西北大学硕士学位论文 2 ) 因为s 是正则的，所以对于s 的每一个右理想r 和每一个左理想l 有( r l ) = r n l 又因为s 是左d u o 的，所以s 的每一个左理想又是右理想，所以( l 1 l 2 ) = l 1nl 2 定理2 2 1 3 设s 是一个半环，则下列命题成立： 1 ) s 是正则d u o 的； 2 ) 对于s 的任意两个拟理想q l ，q 2 ，( q l q 2 ) = q l q 2 ； 3 ) 对于s 的任意两个左理想三l ，l 2 和任意两个右理想r l ，r 2 有( 1 l 2 ) = ln l 2 ，( r 1 r 2 ) = 尺ln r 2 ； 4 ) 对于s 的每个拟理想q ，有( q ) ；= ( q ) f ，( q ) f = ( q ) ，； 5 ) 对于s 的每个左理想l 和每个右理想r ，有( 三nr ) = l r 1 5 西北大学硕士学位论文 第三章完全丌一正则半环 本章主要给出了完全丌一正则半环的刻划，并研究了完全丌一正则半环上的g r e e n c 关系和g r e e n 一死关系 3 1基础知识 定义3 1 1 设s 是一个半环，o s ，如果存在m z + ，z s ，使得n m = 0 2 m z 0 2 m ， 则称n 是完全丌一正则的如果s 中每一个元素。是完全7 r 一正则的，则称s 是完全 丌- 正则的 引理3 1 2 半环s 是完全7 r 一正则的当且仅当对于每一个o s ，存在m z + ，z s ，使得口“0 2 “s n s 0 2 m 使得 而 证明：必要性：设s 是完全丌- 正则的，所以对于任意的口s ，存在m z + ，z s ， n ”= 口2 z 口2 ”= q 衍“( z 口2 ”) 口2 “s n m = 0 2 ”z n 2 = ( 0 2 ”z ) n 2 ”s n 2 m ， 所以口”n 2 ”s n s 0 2 仇 充分性： 由对s 的任意元o ，存在仇z + ，使得o ”0 2 sns 凸2 m 知，存在 z ，y s ，使得口”= 口2 z ，n “= 剪o 因为 o m = n m ( 口m z ) = n m 可口2 m z = n 2 m z n 2 m z = n 2 m z y o m = n 2 m z 可n 2 t 7 1 令z = z y 秒，则n ”= n 2 z n 2 m ，所以s 是完全7 r 一正则的 引理3 1 3 半环s 是完全7 r 一正则的当且仅当对于每一个o s ，存在m z + ，z s ，使得o ”= n ”s o m + 1 证明：必要性：因为s 是完全丌一正则的，所以对于任意的n s ，存在m 西北大学硕士学位论文 z + ，z s ，使得 o m = 0 2 m z 口2 m = o m ( o m z o m 一1 ) n 竹l + 1 n m s n ”l + 1 充分性：对s 的任意元口，存在m z + ，使得 n ”= ”6 0 “，( n “6 ) “= ( n ”6 ) “c ( n ”6 ) ”+ 1 ，于是 o m = n m 6 n m + 1 = m 6 ( o m n ) = o m 6 ( 口m 6 0 m + 1 口) = ( n m 6 ) 2 口m + 2 = ( o ”6 ) 7 0 ”+ r ， 其中r 是任意的正整数由此o m = ( n ) ”n 2 m ，且 于是 o ” 口”+ 1 6 n ” = ( o ”6 ) “口“+ “= ( o “6 ) n c ( n ”6 ) “+ 1 0 ”+ ” = ( n ”6 ) ”c ( 口“6 ) ( o 6 ) “o ”+ “ = ( n 6 ) “c ( n 她”) ， = n ( n 6 n ”) = ( n ”6 ) “( c o 6 0 m ) ( 0 6 0 ”) ( o ”6 ) “( c 凸m 6 n m ) = n m 从而“= 口2 ”( 6 0 “) ”n 2 ”s 由引理3 1 2 知n 是完全丌一正则的，从而半环s 是完 全丌一正则的 3 2完全丌正则半环的刻划 本节主要给出了完全7 r 一正则半环的刻划 定理3 2 1 半环s 是完全丌一正则的当且仅当s 的每一个双理想是完全丌一正则 1 7 西北大学硕士学位论文 证明：必要性：设b 是半环s 的双理想，口b 因为s 是完全丌一正则的，所 以对于任意的口s ，存在m z + ，z s ，使得 n = n 2 ”z n 2 ”= n ( 0 2 一1 z 2 一1 ) n b 。s b ( b s b ) b 于是o ”b 这样，我们有 o m = 0 2 m z 0 2 m = o m ( n 2 m z 0 2 m ) z ( 0 2 m z 0 2 m ) o m = n 2 m ( n m ( z 0 2 m z n 2 m z n 2 m z ) o m ) 0 2 竹l n 2 ( b s b ) n 2 ”n 2 ”( b s b ) q 2 m 口2 b n 2 ”， 所以存