（基础数学专业论文）经典逻辑系统l中的mt问题及公式的真度理论.pdf

经典逻辑系统c 中的m t 问题及公式的真度理论 茹永梅 摘要模糊推理的中心课题是以下形式的f m p 和f m t 问题 ( f m p 问题) ( f m t 问题) 已知a 一日 且给定岔 求a + 这里a ，是x 上的f u z z y 集，口，伊是y 上的f u z z y 集 关于上述两个问题，z a d e h 于1 9 7 3 年提出了f u z z y 推理的思想并给出了著 名的c r i 方法1 1 1 此方法计算上虽然方便，但缺乏严格的理论依据王国俊教授 于1 9 9 9 年提出了三i 算法 2 , 3 1 ，开辟了把模糊推理与模糊逻辑相结合的研究道路 1 4 卅同时在文献6 8 1 中，王国俊教授通过根的理论分别在经典二值逻辑系统 、多值系统及l u k a s i e w i c z 三值系统中实现了形式化推理机制本文在此基 础上通过引入最大前提的概念来讨论二值逻辑系统c 中的m t 问题主要研究 了二值逻辑系统c 中g m t 及多重g m t 规则的语构理论，实现了f m t 问题的 形式推理机制，最后给出了最大前提与根的关系，从而说明了i v i p 问题与m t 问 题可以互相转化 关于区分公式可靠程度的思想早在1 9 5 2 年就由r o s s e r 与t a r q u e t t e 提出| 9 】， 此后又有许多学者从不同的角度提出确定这类公式的可靠程度的方法1 1 0 , 1 1 1 在王 国俊教授提出的积分语义学理论的基础上，一些学者在赋值域是连续值的情形下 展开了对公式真确度的讨论紧接着，王国俊教授基于均匀概率的思想在经典二 值命题逻辑系统中建立了公式的真度理论不久前，李骏又用相同的思想给出了 标准序列逻辑系统岛中命题真度的分布和l u k a s i e w i c zn 值命题逻辑中的真 度理论文献【1 4 1 中还讨论了g s d e l 和g o g u e nn 值命题逻辑系统中命题的真 度理论，本文将这两个系统中的非运算，的定义方式加以改变，讨论了命题逻辑 系统g 。和。中相应的公式的真度理论及相似度理论，这为在相应的逻辑系统 中展开近似推理奠定了基础 本文可分为三个部分； 第一部分；第一章介绍一些预备知识，包括根的定义、m p 问题的定义及 m t 问题的定义接着给出最大前提的概念，由此展开经典二值逻辑系统c 中的 g m t 和多重g m t 规则的语构理论的讨论最后证明了m p 问题与m t 问题是 可以相互转化的 第二部分：第二章基于均匀概率的思想，给出了g 6 d e l 、g o g u e n 三值命题 逻辑系统中命题的一种真度理论同时在此基础上讨论了这两个系统中的三个重 要的真度推理规则，即三值真度m p 规则、三值真度h s 规则以及三值真度交推 理规则 第三部分：第三章利用由均匀概率空间的无穷乘积所定义的g 。及1 7 。中公 式的真度概念，给出了公式间的相似度的，一种新定义，讨论了本文所定义的相似 度与文献 1 5 、 1 6 中定义的相似度的大小关系及逻辑系统g 。及h 。中公式间 的三种相似度的性质最后讨论了由其中的一种相似度导出的这两个系统中全体 公式集上的一种伪距离的重要性质最后我们得到两个结论； 1 ) 重言式之间的伪距离为o ； 2 ) 伪距离为0 的公式有相等的真度，反之不真 关键词：最大前提；真度；逻辑测度；相似度；伪距离 p r o b l e mo fm ti nc l a s s i c a ll o g i c a ls y s t e mca n dt h e o r yo f t r u t hd e g r e eo ff o r m u l a s r u y o n g - m e i a b s t r a c tt h ec e n t r a li s s u eo ff u z z yr e a s o n i n gi sq u e s t i o n so ff m pa n df m t 8 sf o l l o w s ： ( q u e s t i o nf m p ) ( q u e s t i o nf m t ) k n o wa_b a n dg i v ea 4 c a l c u l a t ea + ( 1 ) ( 2 ) w h e r ea ，a + 8 x ef u z z ys e to fx ，b ，b + a r ef u z z ys e to fy a b o u tt h ea b o v et w oq u e s t i o n s ，t h ei d e ao ff u z z yr e a s o n i n gw a sm a d ea n dt h e w e l l k n o w nm e t h o dn a m e dc p dw & si n t r o d u c e db yz a d e hi n1 9 7 3 1 1 a l t h o u g ht h e m e t h o di sc o n v e n i e n ti nc a l c u l a t i o n i tl a c k ss t r i c tt h e o r e t i c a lb a s i s s op r o f e s s o r w a n gg u o j u np r o p o s e dt h et r i p l eia l g o r i t h m si n1 9 9 9 2 , 3 1 ，w h i c ho p e n e du paw a yt o r e l a t ef u z z yr e a s o n i n gw i t hf u z z yl o g i ci nr e s e a r c h “7 1 m e a n w h i l e ，p r o f e s s o rw a n g g u o j u na c h i e v e df o r m a l i z a t i o nr e a s o n i n gm e c h a n i s m si nc l a s s i c a lt w o - v a l u e dl o g i c s y s t e m s a n dn m l t i - v a l u e dl o g i cs y s t e m sc 4a s w e l la 8l u k a s i e w i c zt h r e e - v a l u e d l o g i cs y s t e m sb yt h e o r yo fr o o t s “s 1 i nt h ep r e s e n tp a p e r ，w ed i s c u s sq u e s t i o nm t i nt w o - v a l u e dl o g i cs y s t e mc b yi n t r o d u c i n gt h ec o n c e p to ft h eg r e a s tp r e m i s eo nt h e b a s i so ft h ep r e v i o u ss t u d y w em a i n l ys t u d yt h es y n t a c t i ct h e o r yo fr u l e sg m ta n d r u l e sm u l t i - g m ti nc l a s s i c a lt w o v a l u e dl o g i cs y s t e mc ，a n dr e a l i z ef o r m a l i z a t i o n r e a s o n i n gm e c h a n i s m so fq u e s t i o nf m t f i n a l l y , w eg i v et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n t h eg r e a s tp r e m i s e sa n dt h er o o t s ，a n dw ed e r i v e t h ef a c tt h a tq u e s t i o nm pa n d q u e s t i o nm tc a nb ec o n v e r t e dt oe a c ho t h e r e a r l i e r ，i n1 9 5 2 ，t h ei d e ao fd i s t i n g u i s h i n gr e l i a b i l i t i e so ff o r m u l a si nt h ep r o p o - s i t i o n a ll o g i cw a sp r o p o s e db yr o s s e ra n dt u r q u e t t e 9 1 l a t e r t h e r ew e r ea l s om a n y s c h o l a r sa r g u e dt h ew a yt od i s t i n g u i s hr e l i a b i l i t i e so ff o r m u l a sf r o md i f f e r e n tp o i n t s o fv i e w 1 e , l l ；o nt h eb a s i so fi n t e g r a t e ds e m a n t i ct h e o r yp r o p o s e db yp r o f e s s o rw a n g g u o j u n ，s o m es c h o l a r si n v e s t i g a t e dt r u t hd e g r e eo ff o r m u l a si nt h ec a s eo fc o n t i n u e d i i i v a l u e o nt h en e x tt i m e ，m r l i j n ng a v ed i s t r i b u t i o no fp r o p s i t i o n a lt r u t hv a l u es e t i ns t a n d a r ds e r i a ll c i g i es y s t e ms s l l “，a tt h es a m et i m e ，h ea l s op r o p o s e dt h et h e o r y o ft r u t hd e g r e e so ff o r m u l a si nl u k a s i e w i c zn v a l u e dp r o p o s i t i o n a ll o g i cs y s t e m s “ m e a w h i l e ，m r l i j u nd i s c u s s e dt h et h e o r yo ft r u t hd e g r e e si nn - v a l u e dp r o p o s i t i o n a l l o g i cs y s t e m si ng s d e la n dg o g u e n 1 “i nt h ep r e s e n tp a p e r ，w ec h a n g et h ed e f i n i - t i o no fn e g a t i v eo p e r a t i o ni nt h i st w ol o g i cs y s t e m sa n dd i s c u s st h ec o r r e s p o n d i n g t h e o r yo ft r u t hd e g r e e sa n dr e s e m b l a n c ed e g r e e so ff o r m u l a s jw h i c hm a k et h eb a s i s f o rd e v e l o p i n ga p p o x i m a t er e a s o n i n gi nt h ec o r r e s p o n i n gl o g i cs y s t e m s t h ep r e s e n tp a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e ep a r t s ： p a r ti ：i nc h a p t e ri ，w ef i r s t l yi n t r o d u c es o m ep r e l i m i n a r yk n o w l e d g e ，s u c h 8 8t h ed e f i n i t i o no fr o o t s 、q u e s t i o nm pa n dq u e s t i o nm t s e c o n d l y , w ep r o p o s e t h ec o n c e p to ft h eg r e a s tp r e m i s ea n dd i s c u s s e dt h es y n t a c t i ct h e o r yo fr u l e sg m t a n dr u l e sm u l t i g m ti nc l a s s i c a lt w o v a l u e dl o g i cs y s t e mc f i n a l l y , w ep r o v et h a t q u e s t i o nm pa n dq u e s t i o nm t c a nb et r a n s f o r m e di n t oe a c ho t h e r p a r ti i ：i nc h a p t e ri i ，b a s e do nt h ei d e ao fe v e n l yd i s t r i b u t e dp r o b a b i l i t y , w e p r o p o s et h et h e o r yo ft h et r u t hd e g r e e si nt h r e e v a l u e dp r o p o s i t i o n a ll o g i cs y s t e m s g s d e la n dg o g u e n m o r e o v e r ，0 1 1t h eb a s i so ft h i s ，w ed i s c u s st h r e ei m p o r t a n t r e a s o n i n gr u l e so ft r u t hd e g r e e ，w h i c ha r et h r e e - v a l u e dt r u t hd e g r e em pr u l e 、t h r e e v a l u e dt r u t hd e g r e eh sr u l ea n dt h r e e - v a l u e dt r u t hd e g r e ei n t e r s e c t i o nr e a s o n i n g r u l e i t h i st w os y s t e m s p a r ti i i ：i nc h a p t e ri i i ，w e 百v ean e wd e f i n i t i o no fr e s e m b 0 1 a n c ed e g r e eb y m e d 2 1 so ft h ec o n c e p to ft r u t hd e g r e e sg i v e nt h r o u g hi n f i n i t ep r o d u c to fe v e n l yd i s t r i b u t e dp r o b a b i l i t ys p a c e si ng na n di i n t h e nw ed i s c u s st h er e l a t i o n s h i ph e t w e e u t h er e s e m b l a n c ed e g r e ed e f i n e di nt h ep r e s e n tp a p e ra n dt h o s ei np a p e r 1 5 ，1 6 a n d t h ep r o p e r t i e so ft h et h r e er e s e m b l a n c ed e g r e e si nl o g i cs y s t e m si ng na n d n f i n a l l yw ed i s c u s sak i n do fp s e u d o - m e t r i cp r o d u c e db yo n eo ft h r e er e s e m b l a n c e d e g r e e sf o rf o r m u l a si ng na n d1 i n w ed e r i v et w oi m p o r t a n tc o n c l u s i o n s ： 1 1p s e u d o - m e t r i cb e t w e e nt w ot a u t o l o g i e si s0 ； 2 1f 0 r m u l a st h a tp s e u d o m e t r i cb e t w e e ne a c ho t h e ri s0h a v et h es a l t l et r u t h d e g r e e ，b u ti ti sn o tt r u ei nc o n v e r s e k e y w o r d s ：t h eg r e a t e s tp r e m i s e ；t r u t hd e g r e e s ；l o g i c a lm e a s u r e ；r e s e m b l a n e ed e g r e e sjp s e u d o m e t r i c i v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过盼材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：篷矗! 盘日期：! ! ! i ：r 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：凶蝴 日期：h 。f _ i 前言 模糊推理适用于含有模糊性的推理并且贴近人类思维模式，所以一经提出， 就倍受关注它的主要思想是z a d e h 于1 9 7 3 年提出的，提出模糊推理思想的同 时他还给出了著名的c r i 算法h 然而模糊推理远比经典二值逻辑学中的二值推 理复杂从应用的角度看，似乎很难找到一种普遍适用于各种不同领域的模糊推 理方法从理论的角度来看，z a d e h 的c r i 算法及其演算的推理机制也似乎有若 干值得推敲之处模糊逻辑与模糊控制虽然已经取得令人瞩目的成就，然而它们 似乎未被人工智能学界所普遍接受正如d u b o i s 等人在文献 17 中所说，其主 要原因在于人工智能崇尚符号化并扎根于逻辑学和基于语构工具的自动推理，而 模糊逻辑则依赖于n u m b e rc r u n c h i n g ( 玩弄数字) 式的数值计算，这正是两者之间 的鸿沟为填补这一鸿沟，文献 7 ，1 8 2 2 做了一些积极的尝试其中文献f 7 j 已 经基于根的理论在经典二值逻辑中为模糊推理建立了形式化理论，本文第一章则 通过引入最大前提的概念，从另外一个角度给出了经典二值逻辑中的形式化推理 理论 d u b o i s 等人在文献f 1 7 1 中指出，z a d e h 的方法不同于人工智能领域所倡导 的方法人工智能学科强调符号操作，它扎根于逻辑之中，以语构的形式展开自动 推理而根本不看重数值计算但基于模糊集的方法自然离不开数值计算，z a d e h 的方法在于将二者相结合2 0 世纪7 0 年代末，p a v e l k a 开创了将模糊集思想融 于严格的逻辑演算之先河【1 1 】，他的研究受到了广泛的关注 1 s “2 2 1 ，近年来，已有大 量的基于模糊集的数值计算并兼顾逻辑演算的文章发表只是他并未继续展开对 诸如f u z z ym o d u sp o n e n s 等模糊推理的研究其实，近似推理并不一定要与模糊 集理论相联系比如，文献【15 1 在二值逻辑的框架下提出了一种基于相似度的近 似推理理论文献 5 ，7 ，1 2 ，1 3 ，1 5 ，1 6 ，2 3 ，2 4 】中所讨论的近似推理的主体部分也不依 赖于模糊集理论就命题逻辑而言，王国俊教授在赋值域是连续值的情形下，利 用积分方法建立了公式的积分真度理论m 目，随后又运用均匀概率的思想在二值 命题逻辑中提出了命题的真度理论【1 5 接着，在文献【1 2 与 1 3 电李骏分别给出 了l n k a s i e w i e zr l 值命题逻辑和标准序列逻辑系统s 3 中的真度理论这样就有了 命题逻辑系统中公式真确程度的刻画，这为近似推理提供了一种更为合理的逻辑 框架文献f 1 4 1 中还讨论了g g d e l 、g o g u e nn 值命题逻辑系统中命题的真度理 论，本文第二章运用相同思想将这两个系统中的非运算、的定义方式加以改变， 讨论了命题逻辑系统g 3 和3 中相应的真度理论及推理规则，这为在相应的逻 辑系统中展开近似推理提供了一种可能的框架 在王国俊教授提出的二值真度理论思想的基础上，宋庆燕在文献f 2 4 1 中改进 了公式间相似度的表达式，给出了二值逻辑中较为合理的近似推理理论随后， 李骏等提出了一类n 值命题逻辑中公式的真度理论并给出了一种改进的相似度与 伪距离，使得在那类n 值命题逻辑系统中的近似推理成为可能本文第三章着 重给出了两个常见n 值命题逻辑系统g 6 d e l 与g o g u e n 中公式间的另外一种相似 度，并将它与文献【1 5 与 2 4 中所给的相似度进行了比较，给出了三种相似度的 大小关系，最后讨论了由其中的一种相似度导出的这两个系统中公式集上的一种 伪距离的重要性质这种相似度最终可以与文献| 7 1 中利用积分定义的公式间的 相似度统一起来，这为在1 3 值命题逻辑系统g 6 d e l ，g o g u e n 逻辑系统中展开近似 推理奠定了基础特别值得一提的是这一部分所涉及到的非运算、的定义方式与 第二章中的定义方式相同 2 第一章经典逻辑系统c 中的m t 问题 美国控制论专家z a d e h 于1 9 7 3 年首次提出了模糊推理的思想，同对他还在 此基础上给出了著名的c r i 算法，模糊推理一经提出就倍受关注，但由于它比经 典二值逻辑学中的二值推理复杂，在理论和应用方面还不完善，其研究虽取得令 人瞩目的成就，但最终未能被人工智能学界所普遍接受正如d u b o i s 等在文献 i l7 】中所说，其主要原因在于人工智能崇尚符号化并扎根于逻辑学和基于语构工 具的自动推理，而模糊逻辑则依赖于玩弄数字式的数值计算为了使二者达到和 谐统一，文献【7 ，1 8 2 2 做了一些积极的尝试其中文献【1 5 基于根的理论在经 典二值逻辑中为模糊推理建立了形式化理论文献【6 8 也通过根的理论分别 在经典二值逻辑系统c 和多值系统及l u k a s i e w i c z 三值系统中实现了形式化 推理机制本章则通过引入最大前提的概念来讨论二值逻辑系统c 中的m t 问 题 模糊推理的中心课题是以下形式的f m p 和f m t 问题： ( f m p 问题) 已知j 4 一b 且给定卅( 1 1 1 ) ( f m t 问题) 求驴 已知a 一日 且给定 矽 求4 + ( 1 1 2 ) 这里a ，小是x 上的f u z z y 集，b ，b + 是y 上的f u z z y 集 关于上述两个问题，z a d e h 于1 9 7 3 年提出了f u z z y 推理的思想并给出了著 名的c r i 方法【1 】如果采用通常符号，问题( 1 1 + 1 ) 、( 1 1 2 ) 分别有以下计算公 式： 日+ ( ) = v ( a 4 ( z ) r ( a ( z ) ，b 妇) ) ) ，y y o x a + ( 。) = v ( 口+ 扫) 八r 一1 ( a ( 。) ，b ) ) ) ，z x y 3 ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 这里日+ ( 小) 叫f m p ( f m t ) 问题关于算子r 的c r i 解 上述算法虽然在计算上是方便的，但缺乏严格的理论依据我国学者王国俊 教授于1 9 9 9 年提出了三i 算法1 2 , 3 1 ，开辟了把模糊推理与模糊逻辑相结合的研究 道路h 文献 6 8 提出的广义m p 问题( 简称为g m p 问题) 和广义m t 问 题( g m t 问题) 分别如下： ( g m p 问题) 已知a b 且给定小( 1 1 5 ) ( g m t 问题) 求驴 已知a b 且给定 伊 求岔 这里a ，a + ，b ，b + e f ( s ) 本文未定义的概念、符号和直接应用的结论请参考文献【7 和 2 6 1 1 预备知识 ( 1 1 6 ) 设s = 妇- ，p 2 ，) 是司：数集，v ，一分别为一元、二元和二元算子，用 f ( s ) 表示由s 生成的( 、，v ，一) 型自由代数，称f ( s ) 中的元为命题( 公式) ，s 中的 元为原子命题( 原子公式) 在形式系统c 中规定：2 4 圆b = ，一、b ) = a a b ， a o b = ，以一b = a v b ，则有 命题1 1 1 设a ，b f ( s ) ，则； 4 圆b = 1 ( 1 a o _ 1 b ) ，a o b = ( 1 a b ) 命题1 1 2 【卅设rc f ( s ) ，a ，b f ( s ) ，贝4 r u a ) 卜b 铮r 卜( a ，b )( $ ) 当f = 时，( ；) 式即为 a ) 卜b 甘卜( a b )( 1 1 7 ) 4 定义1 1 3 【q 设a ，b f ( s ) ，规定4 b 当且仅当卜( a 一日) ，则f ( s ) 成为一预序集，记为( f ( s ) ，_ ) 定义1 1 4 1 7 , 8 】设fcf ( s ) ，d ( f ) = a f ( s ) i f 卜a ) 如果d ( p ) 在 ( f ( s ) ，q 中有最小元4 ，则称a 为r 的根 定义1 1 5 同 设a ，a + ，b f ( s ) ，在中 ( i ) g m p 问题( 1 1 5 ) 式的c r i 解b + 是f = a b ，a + ) 的根； ( i i ) g m p 问题( 1 1 5 ) 式的三i 解日是( f ( s ) ， ) 中使下式成立的最小b + ： 卜( a b ) 一( a + 一b + )( 1 1 8 ) 命题1 1 6 【7 】设a ，b f ( s ) ，则在c 中， ( i ) g m p 问题( 1 1 5 ) 式的c r i 解与三i 解都存在且彼此可证等价 ( i i ) 若日4 是( 1 1 5 ) 式的解，则b + 一a 4 ( a b ) 考虑广义m t 问题( 简称为g m t 问题) 和多重广义m t 问题( 简称为多重 g m t 问题) 如下： ( g m t 问题) 已知a b 且给定 b + ( 1 1 9 ) ( 多重g m t 问题) 求小 已知4 一鼠 且给定鼠+ 求a + ( 1 1 1 0 ) 这里a ，b ，a + ，b + ，b i ，b i + ，f ( s ) f m p 问题、g m p 问题及多重g m p 问题统称为m p 问题，f m t 问题、 g m t 问题及多重g m t 问题统称为m t 问题 5 1 2 经典逻辑系统中g m t 和多重g m t 规则的语构理论 我们首先给出最大前提的定义 定义1 2 1 设m f ( s ) ，把借助于公理集、运用m p 规则可推出m 的公 5 式称为m 一前提用d + ( m ) 表示所有m 一前提之集，即d + ( m ) = a f ( s ) l a ) 卜 m 若d + ( m ) 在( f ( s ) ， ) 中有最大元日，则称圩为m 的最大前提 容易证明下面的命题： 命题1 2 2 设m f ( s ) ，a 与日都是m 的最大前提，则a b 注1 , 2 3命题1 2 2 说明，公式m 若有最大前提，则在可证等价的意义下 最大前提是唯一的 定理1 2 4设b ，c f ( s ) ，则在( f ( s ) ，- ) 中存在最大公式a 满足 卜( a 一( b g ) )( 1 2 1 ) 且 a 一、b o c ( 1 2 2 ) 证明1 ) 先证存在性由。的定义，、b o c = 、( 、b ) 一c b c 从 而( 1 2 2 ) 式给出的a 满足( 1 2 1 ) 式 2 ) 再证最大性v d f ( s ) ，设r ( d 一旧一g ) ) ，则由定义1 ，11 知在 ( f ( s ) ，- , 4 ) 中，d _ 曰，c _ 、b o c ，即d - a 注1 2 5由定理1 2 4 、命题1 12 及定义1 2 1 知d 旧一g ) 在( f ( s ) ，- 4 ) 中存在最大元，从而b g 的最大前提是存在的，这里曰，c f ( s ) 定义1 2 6设a ，小，b f ( s ) ，在经典二值逻辑系统c 中， g m t 问题 ( 1 1 9 ) 式的三i 解是使下面条件成立的最大a + ：a + 是公式( ( a b ) 一b + ) 的最 大前提 注1 2 7( i ) 由命题1 1 2 和定义1 21 及定义1 2 6 知，( 1 1 9 ) 式的三i 解 贫就是满足下面条件的( f ( s ) ， ) 中的最大公式， 卜( a + 一( ( a b ) 一b ) ) ( 1 2 3 ) ( n ) 由于在系统中，( p 一( q r ) ) 一( q 一( p r ) ) ( p ，q ，r f i s ) ) 成立，所以( 1 1 8 ) 式和( 1 2 3 ) 式等价 定理1 2 8 设a ，日，b + f ( s ) ，在系统c 中，若小是( 1 1 9 ) 式的三i 锯， 则 a + 一、( a ，b ) o b + ( 1 2 4 ) 6 证明 由定理1 2 4 及( 1 2 3 ) 式立即可得 m 定义1 2 9设舰f ( s ) ( 诗1 ，m ) ，则nd 4 ( 尬) 中的元素叫a 矗， = l 的公共前提，。其中若有最大者，此最大者称为 以，m 。的公共最大前提 定理1 2 1 0设m k f ( s ) 且地有最大前提a k ( k = l ，m ) ，则m 1 ， 有公共最大前提a ，且a aa k = l m 证明 易证人a _ a ( b 1 ，n 1 ) 注意到一旦某公式是n 乒前提，则在 = l m ( f ( s ) ，- z , ) 中比该公式小的公式也是m 一前提，从而 a 是尬。，m 。的公共 t = 1 前提 下证人a 的最大性设b 是 以， 的任一公共前提，由a 是 靠的 k = l t nm 最大前提知卜旧一也) ( k = 1 。，m ) ，因此卜a ( b a k ) ，从而卜( b a 山) ， k = lk = l mm 由定义1 ，1 _ 1 得b a 再结合定义1 2 9 知 a 是尬， 的公共最大 k = l = 1 m 前提，所以a aa k k = l 定义1 2 1 1 设且，b ；，鼠+ f ( s ) ，在系统c 中，多重g m t 问题( 1 1 1 0 ) 的三i 解a 是尬，m ；的公共最大前提，这里尬= 一b ；) 一b + ) ( i = 1 ，n ) 注1 2 1 2由命题1 1 2 和定义1 2 1 1 易知，多重g m t 问题( 1 11 0 ) 的三 i 解小是满足以下条件的最大a + ： 卜( a + ，( ( a ，b ：) 日。+ ) ) ，i = 1 ，n( 1 25 ) 定理1 2 1 3设且，b 。+ ，a f ( s ) ，i = 1 ，n 在系统c 中，若小是多重 g m t 问题( 1 _ 1 1 0 ) 的三i 解，则 a + 一a ( - ( a ，口。) b i ) ( 1 2 6 ) i = 1 证明 由定理1 2 ，8 ，定理12 1 0 和定义12 1 1 及注1 21 2 知( 1 2 6 ) 式给出 的a + 是多重g m t 问题( 1 1 1 0 ) 式的三i 解以下只需证( 12 6 ) 式给出的小是 ( f ( s ) ， ) 中使( 1 2 5 ) 式成立的最大公式即可显然( 1 2 6 ) 式给出的a + 满足( 1 25 ) 式，以下只需证其最大性设公式g 满足卜( g 一( ( a 一日。) 一日。+ ) ) 0 = 1 ，n ) n 由。的定义知卜( c 一( - ( a 一日) o 且+ ) ) ，从而p 八( c 一卜一鼠) o 甄) ) ， t = l 7 n 所以卜( g a ( ( a b i ) o b 。+ ) ) ，即卜( g 一小) 从而e 2 ) 时结论成立，即v ( k a ) = 2 v ( a ) a1 以下我们证明 当m = a + 1 时，结论也成立由归纳假设以及( 2 17 ) 式可知： ( ( 七十1 ) a ) = 一( ( 后a ) ，a ) = ( 一( a ) ) 一v ( ) = 、v ( 女4 ) 一v ( a ) = ，( 2 v ) a 1 ) 一v ) 一j1 ，v ( 4 ) = i 或1 ， 【0 ，y ( 4 ) = 0 ， = 2 v ( a ) a 1 故命题2 1 6 对一切自然数m 均成立 定义2 1 7 设v 踽，则由f ( s ) 是由s 生成的自由代数知一由p l s 唯一 确定，设p 魄) = ( k = 1 ，2 ，) ，则无穷维向量矽= n ，1 2 ) x ，这里x 由 定义2 1 2 确定，反之，设秒= ( i ，地，) x ，则由可唯一确定哂中的一个赋 1 2 值，这里p 溉) = ( = 1 ，2 ，) ，令妒( v ) = 矽，则呐：q 3 + x 是从f 2 3 到x 的一 一满射，称妒为n 3 的测度化映射 在以上预备知识的基础上，我们引入公式真度的定义： 定义2 1 8 设ae f ( s ) ，令 【a = 才x i 扩n 3 ，v ( a ) = 1 ，丁( a ) = 弘( 【刎) ， ( 2 1 g ) 称r ) 为a 的真度： 注2 1 9 设a = a 慨，a 。 e = 秒( n t 。) 瓦j v ( a ) = 1 ) ， ( 2 1 9 ) k = l 则 = e i i x j l i i k ，k = 1 ，2 ，n ) ( 2 1 1 0 ) 因为e 作为有限的均匀空间nk 。的子集是可测集，所以由定义2 1 1 及 ( 2 1 9 ) 式知是x 中的可测集，做由( 21 7 ) 式定义的r ( a ) 是存在的，通过从 n 3 向测度空间x 的这种转移可以看出，r ( a ) 表示所有使v ( a ) = 1 的赋值v 在 n 。中所占的份额，这种份额越大，4 的真确度就越大，所以把t ( a ) 称作a 的真 度是恰当的 注2 t 1 0 1 ) 对f ( s ) 中的任一公式a ，都有0sr ( 4 ) 1 2 ) 逻辑等价的公式具有相等的真度 3 ) 由于在g 3 和n 3 中，v a u 3 ，v a ，b f ( s ) ，、= o 不再成立因此， 公式、( 、a v 、b ) 与a a 口不再逻辑等价，从而r ( 一( ，a v ，b ) ) r ( a a b ) 以 下举例说明： 例：令a = p ，b = q ，贝0r ( ，( 、4v 、b ) ) = r ( 一( 1 p v 、g ) ) = 瓤铲x l - ( p ) = j ，v ( g ) = 或v ) = i 1 ，( q ) = 1 或v ) = 1 ，v ( q ) = 或v ) = 1 ，4 q ) = 1 ) 23 ，而 r ( a a b ) = r ( p aq ) 粤旺秒x l v 扫) = 1 ，v ( q ) = 1 ) ) = 5 1 ，故r ( 、( 、a v ，b ) ) r ( a a b ) 由此说明、( 一a v 、b ) 不能简写为a a b 1 3 4 ) 一般地，在命题逻辑系统g 3 $ a n 3 中，忱，v a f ( s ) ，有以下事实成 立： a 、口因而r ( a ) r ( ，一j 4 ) 以下我们应用公式真度的定义来计算几个具体公式的真度 例2 1 1 1 设a = p l ，b = 2 p l ，c = p l a p 2 a p 3 ，d = p la p 2 ，分别求 a ，b ，c ，d 的真度，p l a p 2 p 。= ( ( ( p 1 p 2 ) a p a ) a m 1 ) a p n ( n 3 ) 解因为在中， = 秒x 1 e 噙，( 4 ) = 1 ) = 才x l v ( p i ) = 1 ) = 1 ) ， r t = 2 所以r ( a ) = 弘( ( a ! ) = “( 1 ) 1 1 x j ) = 肛( 1 ) = j 1 ， 又 b = 1 2 p 1 = i 叩l p l ) = 才e x j ( p ) = 1 或1 ) = ；) 。 一 o o = ( 1 ) ) u ( ；) i i ) ， n = 2 n = 2 故t ( b ) = p ( b 1 ) = i 14 - 1 = 2 。 又 c = 秒x 1 ( 2 0 1 ) = - ( p 2 ) = u ( p 3 ) = 1 = 1 ) 1 ) 1 ) 兀 故r ( g ) = p ( 【q ) = i 1 ；j = 嘉= 刍 同理可得f ( d ) = 卢( d ) = 击3 ) ， 例2 1 1 2 设a = p 1v p 2v vp n 三2 ) ，求a 的真度 解因为在u 3 中，可v ，v ( a ) = v p z ) vv ( p 2 ) v vv 【) 当且仅当 v 0 ，) = 1 或v b ) = 1 或或v ( 肌) = 1 从而使v 可分成两两不交的n 类： 1 。( p 1 ) = 1 ，记这种的全体为h 1 ，则p ( 秒e xj 1 ) = 1 ) ) = 1 2 。( p 1 ) 1 ，( p z ) = 1 ，记这种的全体为凰，则 p ( 矽x l - e f 如) ) = p ( 秒x l ”1 ) 1 ，慨) = 1 ) ) = p ( 才c - ：x l v ( p 1 ) 1 ) p ( t 可x l v ( p 2 ) = 1 ) ) 一( 1 一r ( p - ) ) ( r 慨) ) = ； 1 4 则 则 从而 k 。v ( p 1 ) 1 ，( 沈) 1 ，v 女一1 ) 1 ，“( m ) = 1 ，记这种p 的全体为峨 卢( 。矿xj 风) ) = 肛( 才ex 1 ( p 1 ) 1 ，喃) 1