（基础数学专业论文）泛函微分方程和差分方程的振动性与渐进性.pdf

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蜘上导= 1 _ 又假定存在占 o 使得“o ，8 u o 厂( n ) - u 或 “ 一万，o n f ( u ) z ，则非线性差分方：f 早 x 。l x 。+ ( x ， ) = 0 ，h = o ，1 ，一，( 1 1 ) 的每个解振动的充分必要条件是其线性化方程 y 一y ，+ p y = 0 ，n = o ，1 ，( 1 2 ) 的每个解振动 引理1 2 设f ，口，g ，( o ，) ，并上土r 0 ，k 为正整数，差分方程 x 。+ i x 。+ q x ，女= 0 ，n = 1 ，2 ( 2 2 ) 有一个最终正解，等价于差分不等式 x n + l 一工。+ q h 一so ，n = 1 , 2 _ ( 2 3 ) 有一个最终正解 引理2 2 ： 设z ( 0 为方程( 1 ) 的最终正解，令 2 0 ) = x o ) 一p ( t ) x ( t r ) ， ( 2 4 ) 若( 1 ) 0 p ( f ) “使得t t 时， x 0 一f ) 0 x ( t 一盯) 0 由( 2 0 ( 2 4 ) 两式得到： z ( f ) = 一q ( t ) x ( t 一口) 0 ，f t ( 2 5 ) 笫一章 具连续变量的差分方程的振动性 及( z ( ，) ) 0 ，从而z ( o z ( t f ) ，t + r 下证z ( f ) 0 最终成立 用反证法，设z ( t ) 0 ，分为两种情形讨论 ( 1 ) 若，z 1 使得z ( t 1 ) = 口 0 ，“为正常数 由f 2 5 ) 式得到 一口= z ( t ! ) z ( t 】+ r ) z ( t f + 2 f ) t 。z ( t 】+ 月f ) 。 由( 2 4 ) 式得到 t ( ，1 十玎r ) = z ( t i + 盯f ) + p ( ，1 + 盯r ) f ( ，l + ( 厅一i ) r ) 一d + p ( f 1 + r ) x 1 1 十( h 1 ) r 】 s 口+ p ( f l + n r ) z ( t 】+ ( n 1 ) f ) + p ( f l + ( h 一1 ) r ) x ( t l + ( 一2 ) r 一醴一a p ( t f + r ) + p ( ，i + n r ) p ( tj + ( ”一1 ) r ) x ( t 。+ ( , v 一2 ) r ) ) 一甜 1 + p ( f l + r ) + p 0 1 + n r ) p ( t i + ( n + 1 ) r ) t + p ( f i + f ) 。p ( t 1 + 2 f ) + p ( 毛+ n r ) p ( t 】+ ( h 1 ) f ) x p ( t j + r ) x ( t i ) 由条件( 2 1 ) 知当h 斗m 时，x ( f ，+ ”f ) 呻一m 与x ( f ) 最终为正矛盾，故 z ( t b0 最终成立 ( 2 ) 假设存在f ：t 使得z ( f ：) = 0 ，由( 2 5 ) 式得到： 0 = z ( t 2 ) z ( ，2 + f ) z ( t 2 + 2 f ) - z ( t 2 + 盯f ) - 一 e 自条件( 2 ) 知。( f ) 最终严格递减，z ( t 2 ) ，z ( t 2 + r ) z ( t 2 + 胛r ) 最终不恒为o 从 而存在一( 自然数) ，使得z ( f 2 十一r ) 0 ，同结论( 1 ) 的证明类似可得出矛盾结论， 故z ( f ) 最终为正 综合( i ) 、( 2 ) 有心( f ) - ，。，使得，瓦时有& ( ，) 0 由( 21 ) ( 2 5 ) 式得： 0 = a z ( t ) + g o ) x 0 一盯) = a z ( t ) + g ( f ) k 0 一口) + p 0 一a ) x ( t r 一口) 】 ：( ，) + q o ) k o o - ) + p ( 1 一o - ) z o - - 2 - - - 仃) 】：( ，) 十q ( r ) k o o r ) + p ( t 一盯) z ( f 口) ：p + f ) 一z u ) + g o ) n + p ( t f ) k o 一盯)，瓦( 2 7 ) 由( 2 7 ) 式及下确界定义：对任意的 o ，存在一 ，o 使得，互时有： d + p ( t 一盯) k ( f ) g 一故当，n l a x ，i 时有： z ( f + f ) 一z ( f ) + ( q c ) z ( t 一仃) 曼0 对上式两边从，一r 到，积分得 b ( s + r ) a s 一，。( s a ) d s + ( 9 一s ) - ，z ( s c r ) d s o , t - t o ， 有 w ( f + r ) w o ) + ( g e ) w q 一盯) o ，r m a ) ( r o ，正) 取7 兰m a x v o ，五 ，令o = 月f + 7 1 ，记= ，月：1 ，2 ，3 ，则有 w 】一w 。+ ( q s ) w 。一t o ，阿= 1 , 2 ， ( 2 8 ) 由文 3 中引理2 1 与2 f 2 知g f 话车斋，根据s 的任意性，从而最终 有g 瓦车与已知条件( 2 6 ) 式矛盾，故方程( 2 1 ) 振动 定理2 2 ：设引理2 2 的条件成立，口 r 若 l i m i n f , 。q ( f ) = 口 0 ， ( 2 9 ) 使得 ，；掣也小南， 鹅一章 具连续变量的差分方程的振动性 贝0 f 2 1 ) 搬动 证明：用反证法，、f l ，- c l21 ) 有一最终正解( ，) ，则由弓i 理2 2 知存在瓦 ，。， 使得f 瓦时有缸( f ) o ，z ( t o ) ，由定理2 1 的证明过程知道 z ( t + f ) 一z ( ，) 十q ( ，) + 口( ，一口) = ( ，一口) o ，7 j + 盯， 对上式从，一f 到t 积分并利用积分中值定理得到： o j - ，：( s + r ) d s l z ( 一) 凼+ j _ ，q ( s ) d + p ( s a ) k ( 卜c r ) d s = _ ：z ( ，) 幽一_ 。z o ) j s + n + p ( i ) k ( i ) _ ，z ( 卜凼 t t o + 盯+ r ，t r i r ( 2 1 1 ) 令w ( ，) = ，z o ) a s ，并且由w ( ，) = z ( f ) 一：( ，一f ) o 得到： w ( t ) 兰w ( t r ) w ( t 一口) ，7 j + j + r ，( 2 1 2 ) 由( 2 9 ) ，对任意正数s ：0 口一f ，又令丁= m a x + r + o - ，五 ，由( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 两式得到： j ( f ) w ( ，+ f ) + n + p ( o q f f ) w ( t j ) d + p ( i ) k ( i ) ，( ，一盯) ( 1 + p f f ) ) ( a e ) w ( t f ) ，f 7 1 ，r r i r ( 2 1 3 ) 又由( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 式得到： ( 1 + p ( i ) ) ( 口一s ) w ( ，) 一w ( ，) + 【l + p f f ) q ( o w ( t ) 0 由于w ( ，) 最终为正，两边同除以w f f ) 得到 ( 1 + p ( f ) ) ( 口一) 一1 + + ，( f ) k ( f ) - 丁，一r 一口+ “m s 1 1 p _ 丽1 1 ，( 2 - 1 4 ) o r f + 十口l 则方程( 21 ) 振动 证明：由引理2 2 及定理2l 的证明知： z 0 + r ) 一z ( f ) + q ( o 1 + p ( t 一口) o ，瓦+ 仃 由上式可知 z ( ，) g ( ，) b + p o 一盯) p “一盯) q ( ，) d + p ( t j ) k ( ，一r ) ， 所以 z 0 + r ) q q + f ) n + p o + f 一盯) k ( f ) ， 而由 理2 2 失n z o 一口) ( ，一r ) z ( ，) ， 所以有 9 0 + r ) + p ( f + f 一口) k 0 ) 一：( ) + g ( r ) d + p ( t 一盯) k ( ，) o ，r o + 仃 因为z ( f ) 0 ，所以 q ( f + r ) d + p ( r + r 一盯) 卜1 + g ( f ) d + 9 0 一盯) 】0 g ( f + f ) f 1 + p ( ，+ f 盯) 】1 一q ( ，) + p o o - ) l g ( ，+ r ) f ；j i 而i 堋 上式两边取上极限得 n 掣q ( t + r ) = l i m s u p q ( t ) 1 ， ( 215 ) l j ( 2 1 ) 振动 证明：用反证法，不失一般性设方程( 1 ) 有一最终正解工( ，) ， ：p ) = x ( ，) 一p ( t ) x ( t r ) 由引理2 2 及定理2 1 证明知止( ，) 0 ， z ( t + f ) 一z ( ，) + 口( ，) ( 1 + p ( ，一口) ) z ( ，一盯) 0 ， f 2 1 6 ) 即 z o + f ) 一= ( r ) + g ( f ) 1 + p ( f 一女r ) ( ，一r ) s o ， ( 2 1 7 ) 最终成立 对充分大的f 有： 0 i 时方程( 3 1 ) 的每一个e 解均趋向于正平衡点； 在 1 5 中，v l j k o d ca n dg l a d a s 证明了方程( 1 2 ) 的每一个正解均趋向于正 平衡点；的充要条件是 。必口一1 ) ， ( 3 3 ) 而庾建设在 1 6 】中利用一种新方法获得了( 3 1 ) 的正平衡解二为全局吸引子的 充分条件 本文考虑如下的差分方程 k 1 = 吒成x 。，n = o 1 ，2 一 ( 3 4 ) “一1 + 成x “1 厶1 4 ) 其中口。 i ，岛 0 ，口。，风的周期为t ，并且七= t m ( 3 5 ) 方程( 3 4 ) 的一个解指一个数列 x 。 ，当 o 时， x 。 & 满足( 3 4 ) ，并且 给定常数x 一。日一i = - k ，k + 1 ，一1 ，0 时，方程( 3 4 ) 的解存在并且唯一口。尾的 周期为t 指满足口。= 口。或成+ ，= 成的最小自然数t _ 有关差分方程的稳定性和 振动性及全局吸引性定义见文【1 7 】本文讨论方程( 3 4 ) ，利用线性化方法获得方 程的解稳定性和振动性及全局吸引性的一些新结论 塞丝叁堂塑生兰笙笙兰i ：堂! 垩堕塑坌查堡篓茎坌塑堡塑堡堡堡丝塑丝丝一 3 2 有关引理 引理3 i 假若在方程( 3 4 ) 中，口。，。的周期为t ，两且满足( 3 5 ) ，又令 g ，( a ) = 卢，五一一1 ，则 ( 1 ) & ( 丑) 在f 0 ，只) 上递减； ( 2 ) 存在硝使得g ，( 丑? ) ：0 ，在( o ，筒) 上g ，( ，1 ) 0 证明f l l g , ( 五) ：n 五一1 = 0 ，肼得五= 扫。) “，再利用函数的单调性可得结 论，以下省略 引理3 2 若( 3 5 ) 成立若 f ( 五) = 二( 1 一p ，z - ) = o ， ( 3 6 ) 没有满足 n 2 - 一1 0 ， ( 3 7 ) 的实根，则存在一个f 。使得对任意：0 0 使得 气一占 0 ，在 五阮一万，五】 上 有 ，( 五) 备 0 又令 g ，( 五，s ) = ( p 。一f ) f 一1 ，f = 1 , 2 ，3 ，t ( 3 1 0 ) 由g ( a ，占) 的连续性和g 。( 五，5 ) 在a 一6 ，】上连续以及g ( + ，占) = + ， 笫二章 滞后差分方程的稳定性和振动性 及g ( z ，o ) = f ( z ) m 0 故可存在一个尤穷小的 s 。：0 1 且m a x 掘 o ，以及d 。的周期性可知，若 x m x m i i 一，x i ，已知，可设o m d 形。， 其中。= m a x 溉l j = 胛+ 1 ，行+ 2 ，”+ t l 则由( 3 4 ) 得 h = j 彘l 1 ，由于口。肛，的周期相同，取变量 口= 彤：a ，= ，ir 厶，1 ，令 = ”一 ( 3 1 3 ) 代入( 3 4 ) y ，j 得到 c a 。= 警i + 智j 整理得 吃岫学j = o ( 3 1 4 ) 利用线性化方法，在i 严衡点z = 0 处可得( 3 1 4 ) 的线性化方程 - - z n + 尚杀铂= 0 ， ( 3 1 5 ) 具体方法是令 ( “) = 1 u p s 一，+ 皿 ， ( 3 16 ) 求出锄) = 一瑞，( 1 ) = 踹 从而得出方程( 3 ，1 5 ) 的特征方程 a 2 一五+ 踹= o ( 3 1 7 ) 当五有周期时，则对应的z 。，x 。也具有相同的周期 由( 2 ) 中的条件知见m a x 掘 ) ，羁- i 一忙( a 1 - 肿1 ) y f 、，一凋 性有 o 揣篆= ， ( 3 1 8 ) 所以五= i 撕= 矿面面厩j ( o ，1 ) ， 设( 3 1 7 ) 的根0 如，由差分 方程的通解o = q 研+ c 2 驾，c i ，c ：为满足初始条件的常数，则可判断( 3 ，1 5 ) 的解趋 于零；同样我们也可说明( 3 4 ) 的解也趋于平衡点；，即( 3 4 ) 的解关于一x 稳定又解 扛。 具有周期性，因此k 关于；具有渐近稳定 帮二章滞后差分方程的稳定性和振动性 如果令口。，屈，为适当的常数，k = 1 时y t q - 推导出文【1 9 】相应方程的一些性质 定理3 2 假定( 3 5 ) 成立，则方程( 3 4 ) 的任一解振动的充要条件是方程( 3 1 5 ) 的特征方程( 3 1 7 ) 没有满足( 3 1 7 ) 根，其中p ，= ”1 巾叫且 证明若方程( 3 1 5 ) 的每一解振动，n ( 31 7 ) 没有满足( 3 5 ) 的根 可取0 = l ，i = 一k , - k + l ，一1 ，0 则：。= 丌”i = 1 l ( 1 一只簏) ，h = 1 ，2 ，3 ，这就得到 ( 3 1 4 ) 的一个正根，产，l 矛盾 反之，壬 - c a 31 4 ) 有一非振动解乜 ，可设解乜) ，为e 解负解情况同理町证 由( 3 1 4 ) 得 a z 。 0 ：垃。+ n l = 。o ( 3 1 9 ) 则若五a ，则五必然满足( 3 7 ) 另一方面山引理3 2 及g ( 1 ) = p ，一1 0 取 厶= 阳，辟 ；则o o ( 3 2 0 ) n c k n 取矗作为集合a 的下确界 汜i n f a = 三，则0 l 0 使得“= 三+ s 1 由( 3 1 5 ) 和 引理3 2 可得 z ( 卜“) z 则z m ( i _ p 一“) “o 一。b 丌：( 1 一p j “4 ) 。1 乙由得血。以z “0 可得到o 乙+ n 兀：( 1 一只“- l g n , i = 1 ，2 ，r ，由于o 1 - p i 2 - 。 o ( 4 2 ) 这里给出了它们非振动解的分类及相应的判断准则 这里作如下规定： 0 c o i 2 6 4 1 ( g ，0 ) ) x ( 2 1 国。0 ) ) o 有 j 厂0 ，x 1 0 。0 n x 1 ，g ，0 ) ) 】0 ，x 2 国，0 ) ) ，工2 0 ，0 ) ) 】 有关引理：设g o ) ：【，+ 。) 斗r ，o ) ：【f 0 一r ，+ m ) 专r ( t t o ) 且 ( ，) = 9 0 ) 一曙( ，一r ) ，o c 1 ，且g ( ，) 在 t o + 。) 上有界若当，。m 时o ) 极限存 在且有限，则：。g ( ，) 存在且有限 定理4 1 方程( 4 1 ) 的非振动解有以下几种类型： ( 1 ) x e r o 型：x 。哼c 常量且不为0 ， z 。一c x n 一，斗f 不为0 常量，a ( x 。c x n 一，) 呻o ，0 呻佃) ； ( 2 ) 墙型：矗斗o 。g 斗m ) ， x 。一c x 。， 。，( z 。一c x 。，) 0 ( ” 。) ； 第四章二阶中立型非线性差分方程非振动解的渐近性质 ( 3 ) x 昌型：x 。斗o o ，x 。一吼斗o o ( _ 一c x ，) 斗非。常量丁如斗+ m ) ； ( 4 ) x ：，型：x 。斗o ，x 。一“。，呻o ；a ( x 。一c x 。，) 斗o 0 寸o 。) 证明：设吒为方程( 4 1 ) 的非振动解，不妨以x n 为正解进行证明至于_ 为负解 同理可证 由( 1 ) 知： a 2 y 。= 一( n ，x k 。( ”n x ( g 。，0 ) ) ) o ，并且 缈。递减，则缈，可能为正，也可能为负 1 若蚬 o ，则由于蛾递减，从而知2 a ，；- - t 畏，、u l i r a 蛾：上0 若三 o ，则y 。最终为正且总有4 “上，从而由( 4 3 ) 得到： y 。+ i y 。上从”o 至0 n 递加有： 儿一儿。n l ( 4 5 ) 故当 斗+ c o 时，儿斗+ o 。，即x 。一蹦。，- - + + o o 耘。不趋于+ ，则必然正有界即 存在m o 使得o o ，将缈。从n 到n 迭加，得 儿叶滞数如寸o 。时础：。= 以。 o 者：。s u p x ：儿则竺。k 一一，) = l i m y ”2 t 又由引理得到墨。x 。存在且是。z 。 o ，从恐。饥：o 得至0 恶。儿。：l i r a 儿 j 、* l i r a y 。不存在时，贝咿。- - + o o , ( r l , - + o o l 从而易于得到矗哼+ m 0 斗o 。l 窒塑查堂堡! ：堂生堡苎二! 鱼：鲨堕堂坌塑堡塑重坌互堡塑生望竺丝塑垄丝一 2 若匈。 o ，n a y 。斗一m 则存在f 0 使得 充分大有妙， o ，自 。到 将缈一 相加得至吵，一y 。0 一) ，则当”斗o 。时自然有y 。斗一c 。这与儿x n - - c x a _ r 最终大于o 矛厢庙t ，一c x 。，= y ，斗一。得到 。l i n li 。n y ，2 ( 卜c ) l i r a i 。n fx 一o o = l i ms u 9 儿熙等_ + ：警( - c x , 一 可得到l i m i n f z 。：一0 0 i 而l h ( 4 3 ) 戋n x 。一c x = y 。斗一，从而产生矛盾 n 止t n x ，为方程( 1 m 正解时，非振动解有上述三种类型 3 当 x 。( z 。一c x 一) = x n y ， 0 ，”( t 1 0 ，h k l 这时有x 。一“。，( 1 一c k 、一， o 即y 。 0 与 上述结论矛盾，故埘 0 ，则易得j ，斗+ c 。，从而由( 4 7 ) 得z 。 o 才行故y 。斗脚：( - o o ，o l ，此时可分两种情况讨论： ( i ) 若所2 0 此时蛾可解为正，也可能为负，分别讨论 第叫章二阶中立型非线性差分方程非振动解的渐近性质 ( 1 )对于前一种情况千砂。斗+ 哆从而易橄，斗+ 。；对于后一种情况知 当n 充分大时，可存在常数h 使得y 。 0 从而从到目递加妙。得 只，一三0 弘当斗。时，有y 。呻+ 。，同删可楸，斗+ o 。，即此时方程 ( 4 2 ) 的非振动解类型为x 2 或r 2 , 两种 2 ) 若缈。 o ，由：y 存在且有限 若：。少。= o ，则裟。只+ 。一。l i m 。y 。= 0 可作为只极限存在且有限的一种 特例，又由( 4 3 聘l i r ay 。一_ l i r ag 一c x ，) = 0 若l i r a 吒存在且有限，则易得到 ：三。x ，= o 若t i mx ，不存在，则由l i r as u p x 。= + 。结合( 4 3 ) 得到1 i ms u p y 。= + 从而产生矛盾，故这时必有：三。_ = o 此时非振动解为z 二型 若l i m n 存在且为负即存在常数6 o 从而i ，0 ，x ( g ( n 强，x ( g ，g ) ) ) ，o ，k ，女) 安徽大学颅l 学位论文王奇：泛函微分方程和差分方程的振动性及渐近性 若n l ( ，t ，k ) = + 。则对于方程( 4 1 泊 0 。一c x 。，) 一b 。，一c x 。一，) 窆矿g ，x 国，o ) l x 0 ，o ) ) ) 妻矿o ，) ( 其中”，) 当”斗+ c 。有b 。一“。，) 一b 。一c x ，一，) - 。，则有( 一“) 一+ o o ( n 斗。) ) 即妙。斗+ 。，0 专+ c 。l 从而易 钞。斗+ 鸭。斗+ 。0 与解x 二相矛盾故必有 妻”f 厂( ，x ( g 。o ) ) ，x b ，) ) 】 + 。成立 充分性证明：首先构造一个局部凸空问c 。 ，+ 。) = 涉一y ，c 旺，+ o 。l r ) 定义范数。= s u p y 小则c 。【，+ o 。) 为b a n a c h 空间取c 。i n 。，+ m ) 中的一个有界 闭凸集x 2 n g ( i n o ，+ o 。) ，月) ，0 a y 。s2 a ( n 1 n 为使得 s f ( s ，尼；，女) j a 的自然数，k 为非0 常数由( 4 3 ) 得 5 = x = y 。+ c x n ，= = y 。+ c y + a 一2 ，】 m 一i 十c y n _ r + c 2 r = 2f 。m + c m i x n ) ，j ( 4 6 ) 其中n - r 一。一1 p n 由上述方程可定义x 到x 的算子f 为 ( 酬功= 2 “+ ( n - s ) f ( e c “捌忡训”“l 州h 鲁，： 1 9 j 渤i “1 一、 一 ，芝，1 珂舶) 扣州”m t g d ( ) j 。导) ，口州 。1 9 i ( j ) 】一i 2 4 岳( ) m 荟，1 啪m ) ，l 矿b 。肿( 4 7 ) 叶目f ) 广l ， 荟c m 小肛，) 叫+ c “b 。) h 岂) ；门 下证f 是x 到x 的全连续算子 1 算子f 是x 到x 上的映射 第叫章二阶中立型非线性差分方程非振动解的渐近性质 对任意吼。x ，”n ，有( 毋。) 2 a ，由( t ) 式知 主( 。渺“蓦) 1 - 1 。ki 廿制+ 。m 鼬外1 兰，、警”m 小。，卜c m 小篙n 一， 故a ( ，y 。) 2 a ，即( ，y 。) x 算子f 在x 上连续，设y = 儿，y + = ： c ，且 鳃1 y2 一y l j = 0 ，由于x 为闭 集，故y 爿 又由于 f | ( 毋) 一( 砂= | | f 。) 一f 】| = 妻。一 n 1 8 ，h 州+ 卟r ( j j h m l g 毛”( 1 - 1 c k i 蛳m ) ，h 兰) m 苫，h 州十i _ 卟r “4 ”“小i 毛。y m ) r j 虬”1 兰 坤“，叫。+ 。产乩一加争，m i x 舌0 1 - i c “嘶肿) ，盟1 - c ) 由f 的连续性知y ：斗y n , 0 斗。) ，由l e b e s g u e 控制收敛定理知 斗 o - o 。) 这里 印m ，1 誉一曲删删。m 芒， 五：胞f 嗍m l - - c ， 一删+ 乒m 兰，薯删m 芒 ，一吃删r 】+ 砖m 盟1 - c )，蔷吃删r 】+ 弘m 也) 又由( + ) 式知忙) 一f i t - - , o ，即f 在x 上连续 3 证算子f 是相对紧的 ”n 时任给 y = ( y 。 ，b ，) 一( 饥)如+ 1 一s ) 筝，忡制州，汕芒，、q 苫r 一( 州纠) r j + 砖卺) 】一u 喜，1 扑h 川d “灿芒，+ 、著一( 州纠) r j + c 哟忙卺) 】一 窒丝查兰堡主兰篁笙壅兰鱼! 垩里堂坌查堡塑茎坌查堡塑生垡型丝塑垄生一 知一咖。1 警 - i 一州柑m “c 汕等，1 茗一c 扛1 ( 帕_ 1 ) 扩声小灿卺) 唾叭。嗽秘。忡州扣汕咎，1 茗一嘲洲砖( 汕纠 玉。争1 掣少酬杉蛐卺) + k 鼽扑卅卅一扯1 分”。掣，1 槲州缈芒) m ，。p l n ) l - i 州。川小啦! 分，1 掣c h 槲圹，t g , n l - , 卺) 硼爿i ( n ) lc $ 。，。 gc n ) 一l 争，1 掣c 川枷州一咖灿酱) + 讹删卅州一一d 争，1 萑”，( 忡廿】+ c 如( 月灿告)矾善酬廿州f 如一。o i 争， 舌 。n 1 ( 卅纠+ c “川+ 告) + s 妻= n - - i 忡，塞i - l m h 。川一一山，1 萑”一，1 ( 辨刊+ c 也( 出告) 由( + ) 式显然有”充分大叫j ( 。) ) 一( 毋。t i - o ，从而算子瑚对紧 当 n 时