（基础数学专业论文）一类特殊的射影平坦αβ度量.pdf

摘要 摘要 本文研究了一类形如f = q ( 1 - 4 - s4 - 3 k s 2 一k 2 s 44 - k a 3s 6 ) 的六次多项式 ( q ，f 1 ) 一度量，其中q = v - i j y i y j 。是r i e m a n n 度量，p 是1 一形式e ，k 是常 数，并且k 0 首先根据( q ，z ) - 度量射影平坦的充要条件，利用多项式的整除性质确定 出了一个六次多项式然后以所求出的多项式为研究对象，分别给出了它成为 ( q ，p ) 一度量的充要条件，射影平坦的充要条件，并研究了它的旗曲率性质等， 最后给出了一个非平凡的例子 关键词( ，z ) - 度量，射影平坦，旗曲率。 北京工业大学理学硕士学位论文 ab s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yac l a s so ff i n s l e rm e t r i c si nt h ef o r mf = q ( 1 + e s + 3 忌s 2 一七2 s 4 + 譬s 6 ) ，w h e r eq = 、石丽i s ar i e m a n n i a nm e t r i c ，p = 玩可i sa 1 - f o r m ，ea n dk ( k 0 ) a r ec o n s t a n t s f i r s t ，a c c o r d i n gt ot h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r ( o l ，p ) - m e t r i c s t ob el o c a l l yp r o j e c t i v e l yf i a t w eo b t a i nac l a s so fp o l y n o m i a l sb yt h ed i v i s i b i l i t y o fc e r t a i np o l y n o m i a l s a n dan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rf = q ( 1 + a l s + a 2 s 2 + a a s 4 + a 6 s 6 ) t ob e ( q ，p ) 一m e t r i c si sa c h i e v e d t h e nw eg e tan e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rft ob el o c a l l yp r o j e c t i v e l yf a l t m o r e o v e r i ti sp r o v e d t h a ts u c hp r o j e c t i v e l yf i a tf i n s l e rm e t r i c sw i t hc o n s t a n tf l a gc u r v a t u r em u s tb e l o c a l l ym i n k o w s k i a n a n dw eg i v et h en o n t r i v i a ls p e c i a ls o l u t i o n st ot h el o c a l l y p r o j e c t i v e l yf i a tf k e y w o r d s ：( o l ，p ) 一m e t r i c s ，p r o j e c t i v e l yf l a tm e t r i c s ，f l a gc u r v a t u r e i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得 北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意。 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以 公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名弘箍：l 孚导师签名：三碰望d 日期： 第1 章绪 论 1 1 本文背景 第1 章绪论 1 9 0 0 年巴黎召开的国际数学家大会上，h i l b e r t 公布了著名的2 3 个问题，其 中第四个问题提出；是否可以找出兄竹中的一个开子集u 上的距离函数，使得直 线具有最短路径若考虑的距离函数是由f i n s l e r 度量诱导的，则相应的问题转 化为找出所有的f i n s l e r 度量，使得直线具有最短路径，具有这种性质的f i n s l e r 度量称为射影平坦的f i n s l e r 度量1 9 0 3 年，g h a m e l 1 】最先找到了一组偏微 分方程 f x i y j y 。= b j 来刻划r n 中的开子集上的射影平坦的f i n s l e r 度量2 0 世纪初，l b e r w a l d 在文献1 2 - 3 1 中研究了常旗曲率特别是零旗曲率的射影平坦的f i n s l e r 度量同 时，p f u n k 在文献 4 - 5 】中分类了冗2 中凸集上的具有常旗曲率且射影平坦的 f i n s l e r 度量 f i n s l e r 几何中还有一个很重要的几何量，就是旗曲率k = k ( 尸，秒) ，它是 r i e m a n n 几何中截面曲率的自然推广它依赖于瓦m ( 即流形m 在点z 的切 丛) 中的二维平面p ，以及尸中的任一非零向量y 著名的b e l t r a m i 定理证明了 对于r i e m a n n 度量f 来说，f 是射影平坦的充要条件是f 具有常截面曲率。而 每一个局部射影平坦的f i n s l e r 度量都具有标量曲率，即旗曲率k = k ( x ，y ) 是 丁m o ) 上的标量函数，并且存在很多局部射影平坦但不是常旗曲率的f i n s l e r 北京工业大学理学硕士学位论文 度量因此，b e l t r a m i 定理不能推广到f i n s l e r 度量情形。 我们知道，r a n d e r s 度量f = q + p 射影平坦的充要条件是：q 是射影平 坦的，p 是闭的。沈忠民已分类了所有射影平坦且具有常旗曲率的r a n d e r s 度 量【6 1 m a t s u m o t o 和k i t a y a m a 分别在文献【7 】【8 】中研究了具有( o l ，p ) 一度量的 f i n s l e r 空间。沈忠民和y i d i r i m 1 】研究并分类了如下形式的射影平坦度量： f ：( 竺圭塑笙 此外，莫小欢等在文献【9 】中研究了如下形式的局部射影平坦的( o z ，p ) 一度量： f ：q + 口+ 后壁 沈一兵等在文献 1 0 】中研究了形如： f = o z - 4 - 卢+ 2 尼譬一可k 2 f 1 4 的o z ，p ) 一度量 的平坦性及旗曲率性质。 受文献 9 1 0 】启发，通过分析( q ，) 一度量射影平坦的等价条件，我们得到 了如下六次多项式( o z ，p ) 一度量： f = a + e + 3 七譬一摩2 等+ 等等q q 。 aa 。 其中e ，忌是常数，并且k 0 。 1 2 概念与记号 定义1 2 1 ：【1 1 f i n s l e r 度量 光滑流形m 上的f i n s l e r 度量是指切丛t m 上的一个函数f ：t m f 0 ，+ ) ，满足 ( 1 ) 正则性：f 在丁m o ) 上光滑； 第1 章绪论 ( 2 ) 一阶正齐次性：f ( x ，x y ) = 入f ( z ，可) ，v 入 0 ； ( 3 ) 强凸性：矩阵g i j ：= f 2 咖j 在丁m o ，上处处正定其中y 是由 m 上的局部坐标函数( x ) 诱导的t m 的局部坐标函数( ，y ) 的分量， 扣咖，= 去磊 定义1 2 2 ：【1 2 1 ( q ，p ) 一度量 设妒( s ) 是某一对称区间- r ，7 ) 上的正值函数，其中s = 鲁，口是r i e m a n n 度量，p 是1 - 形式如果对v | s i b 0 ( 2 ) ( 咖( s ) 一s 咖( s ) ) + ( b 2 8 2 ) 咖8 ) 0 则f = q 西( s ) = q 咖( 鲁) 是f i n s l e r 度量，称为( q ，p ) 一度量 定义1 2 3 ：【1 2 1r i e m a n n 曲率 设( m ，f ) 为n 维f i n s l e r 流形，定义其r i e m a n n 曲率为： 吼：= 兄：如七。丽0l p ：疋m 一咒m ， 其中 磁= 2 丽o g i 一丽0 2 g i 卅2 瓣0 2 g i 一雾筹， 其中 g i = 丢9 n 【f 2 z * 可恕一【f 2 z 。) 称为f 的测地系数。 定义1 2 4 ：【1 3 1 旗曲率 一3 北京工业大学理学硕士学位论文 设f i n s l e r 流形( m ，f ) 上的r i e m a n n 曲率为 吼= 磁如知杀l z ：死m 一瓦m ， 对vy ( 0 ) 疋m 及与y 线性无关的“已m ，定义旗曲率为 特别地，如果 脚m u 卜丽测篙毪砑 k ( x ，y ，u ) = k ( x ，y ) 称f 具有s c a l a r 曲率 在r i e m a n n 流形的情形，g 分即为r i e m a n n 度量，吼即为通常的r i e m a n n 曲率张量，并且k ( x ，y ，u ) 即为关于 y ，“) 张成平面的截面曲率。所以说，f i n s l e r 几何中的旗曲率是r i e m a n n 几何中截面曲率的推广 定义1 2 5 ： 1 2 j 射影平坦度量 设u ( ucr n ) 是兄佗上的开集，如果u 上的f i n s l e r 度量f = f ( z ，y ) 在 u 中的所有测地线均为直线，称f = f ( x ，y ) 是射影平坦的。 对于一个微分流形上的f i n s l e r 度量，若在任一点都存在该点的局部坐标系， 使得在该点领域内测地线作为点集是直线，则称该f i n s l e r 度量是局部射影平坦 的。 定义1 2 6 ：【1 2 】r i c c i 曲率 设( m ，f ) 是f i n s l e r 空间，则其r i c c i 曲率 r i c = g 巧吼( 嘞( 玩) ，如) ) = 夕巧= 冗 一4 第1 章绪论 其中g i j ：= g y ( b i ，b j ) ，( 户) = ( g i j ) - 1 如果r i c = ( n 一1 ) k f 2 ，则称f 是e i n s t e i n 度量其中k = k ( z ) 是m 上的标量函数 定义1 2 7 ：1 1 4 】局部m i n k o w s k i 流形 设( m ，f ) 是一个f i n s l e r 流形若对m 上所有坐标卡( u ，z ) ，都有 g i j ( x ，y ) = g i j ( y ) 我们称( m ，f ) 为局部m i n k o w s k i 流形。 定义1 2 8 ：【1 3 lb e r w a l d 度量 设f 是f i n s l e r 度量，若f 的联络系数r s ( x ，可) = r f j ( x ) ，称f 是b e r w a l d 度量。 显然，r i e m a n n 度量是特殊的b e r w a l d 度量。 1 3 相关定理及结论 定理1 3 1 【1 1 ( o z ，p ) 一度量f = q 咖( s ) 的测地系数g 与r i e m a n n 度量0 f 的测地系数g 之有如下关系： = g 乏+ q q s ：+ ， 一2 q a s o + r o o y a i + 日 一2 q a s o + r o o b i s 警 忙尚 扣丽暑瓣 日：= 獗矿习筹酾 北京工业大学理学硕士学位论文 其中s ：= 鲁，b ：= 恻i q f i n s l e r 度量f 的测地系数： g t ：譬咿z x k y t y k - - 吼f ) r i e m a n n 度量的测地系数： g 之：百a i l x k y i y k _ q z m 记号： r i j ：= ( 玩b + i i )s i j ：= ；( 玩旧一幻i ) s t ：= t s i 3 ，s ；= o 仳s 幻，s j ：= s 8 i 0 ：= s 巧j ，8 0 ：= s l y 。，t o o ：= r 巧可。y j 显然， p 是闭的当且仅当s i j = 0 定理1 3 2 【1 4 】f i n s l e r 度量f 射影平坦的充要条件是下面两个式子之一成 立： ( 1 ) b t 可j y = 疋j ( 2 ) g = p y i 其中p = p ( x ，y ) 称为射影因子，并且 p ：鱼堂 2 f 由此定理可知，我们要判断一个f i n s l e r 度量是否是射影平坦的只需验证f 是否符合方程( 1 ) ，或者f 的测地系数是否满足( 2 ) 即可 定理1 3 3 1 1 l 在开集ucr n 上， ( o l ，p ) 一度量射影平坦的充要条件是： ( a m l o e 2 一y m y z ) g 2 + c y 3 q s t o + h a ( 一2 a q s o + r o o ) ( b l c i s 们) = 0 第1 章绪论 r a n d e r s 度量f = 4 ( 1 + 8 ) = q + p 作为最简单的多项式( a ，p ) 一度量，下 面的结论成立 定理1 3 4 f 1 5 】r a n d e r s 度量f = q + p 射影平坦的充要条件是：q 是射影 平坦的，并且p 是闭的 定理1 3 5 【1 2 i 设m 是光滑的微分流形，则对于m 上的任意一个局部射影 平坦的f i n s l e r 度量f ，f 具有s c a l a r 曲率并且旗曲率为： k ：p 2f _ p x k y k 定理1 3 6 【1 3 】设f 是流形m 上的b e r w a l d 度量，f 是平坦的当且仅当 r = 0 定理1 3 7 【1 4 j 设( m ，f ) 是射影平坦的f i n s l e r 空间，则其r i c c i 曲率 r i c = 扁( z ，) j ( 几一1 ) p 2 一可i i - 丽o p ) ) 定理1 3 8 【1 4 1f i n s l e r 空间( m ，f ) 是m i n k o w s k i 空间当且仅当g = 0 北京工业大学理学硕士学位论文 第2 章 l 次多项式( q ，p ) 一度量 2 1 六次多项式( o l ，p ) 一度量f 首先来看这个六次多项式f = q ( 1 + s s + 3 k s 2 一忌2 s 4 + 百k 3s 6 ) 的系数是如何 得到的。其中e ，k 是常数，k 0 对于度量 f = q 咖( s ) = ( 1 + a 1 8 + a 2 8 2 + a 4 s 4 + a 6 s 6 ) h = q = = q + o 。p + o 。譬+ n 4 器+ n 6 器 a l0 1 6 + 2 a 2 q 5 p + 4 a 4 0 1 3 3 + 6 a 6 q p 5 - 5 a 6 p 6 3 a 4 f 1 4 2 一a 2 0 1 4 口2 + q 6 15 a 6 p 4 0 l 2 + 6 a 4 p 2 0 1 4 + a 2 0 1 6 ( 2 1 1 ) - 3 5 a 6 f 1 6 + ( 3 0 a 6 b 2 1 5 a 4 ) a 2 4 + ( 1 2 a 4 b 2 3 a 2 ) p 2 0 4 + ( 2 a 2 b 2 + 1 ) q 6 ( 2 1 2 ) 如果f 是射影平坦的，则由( o l ，p ) 一度量射影平坦的充要条件可知 ( a m l o e 2 一肌) g 孑- 4 - o z 3 q s z o + 日q ( 一2 a q s o + r o o ) ( b l c y s y t ) = 0 代入( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) ，通分可得： 0 = 一3 5 a 6 6 + ( 3 0 a 6 b 2 1 5 a 4 ) a 2 p 4 + ( 1 2 a 4 b 2 3 a 2 ) p 2 0 1 4 + ( 2 a 2 b 2 + 1 ) q 6 ) ( 一5 a 6 p 6 3 a 4 p 4 0 l 2 一a 2 0 1 4 p 2 + q 6 ) ( n m z q 2 一y m y t ) c 2 + ( a l a 9 + 2 a 2 8 3 + 4 a 4 0 1 6 p 3 + 6 a 6 q 4 p 5 ) 一3 5 a 6 6 + ( 3 0 a 6 b 2 1 5 a 4 ) 2 p 4 + ( 1 2 a 4 b 2 3 a 2 ) f 1 2 q 4 + ( 2 n 2 6 2 + 1 ) 口68 1 0 + ( 1 5 a 6 卢4 n 2 + 6 a 4 卢2 q 4 + q 2 a 6 ) ( 一2 a 1 0 1 7 4 a 2 0 1 6 p 一8 a 4 0 1 4 p 3 1 2 a 6 a 2 p 5 ) ( 6 f q 2 一p y t ) s o + ( 1 5 a 6 p 4 口2 + 6 a 4 p 2 q 4 + a 2 0 1 6 ) ( 一5 a 6 p 6 3 a 4 a 2 p 4 一a 2 0 1 4 p 2 + q 6 ) ( 6 f q 2 一f l y t ) r o o ( 2 1 3 ) 因为q 的偶次方是关于y 的多项式，所以( 2 1 3 ) 式中q 的系数必然为零。 8 - 第2 章射影平坦六次多项式( q ，口) 一度量 即： 一2 0 l q ( 1 5 0 6 卢4 0 1 8 + 6 n 4 p 2 0 1 1 0 + a 2 0 1 1 2 ) ( 6 f q 2 一z y ；) s o + a l a 一3 5 a 6 p 6 q 8 + ( 3 0 a 6 b 2 1 5 a 4 ) a 1 0 p 4 + ( 1 2 a 4 b 2 - 3 a 2 ) a 1 2 p 2 + ( 2 a 2 b 2 + 1 ) q 1 48 1 0 = 0 设0 1 0 ，则 ( 3 0 a 6 p 4 0 1 8 + 1 2 a 4 p 2 0 1 1 0 + 2 a 2 a 1 2 ) ( 6 f a 2 一p 犰) s o ( 2 1 4 ) = - 3 5 a 6 p 6 q 8 + ( 3 0 a 6 b 2 1 5 a 4 ) a l o p 4 + ( 1 2 a 4 b 2 3 a 2 ) q 1 2 p 2 + ( 2 a 2 b 2 + 1 ) q 1 4 ) s f o ( 2 1 5 ) 式与b t 缩并得， ( 3 0 a 6 p 4 0 1 8 + 1 2 a 4 p 2 0 1 1 0 + 2 a 2 0 1 1 2 ) ( 6 2 a 2 一p 28 0 = 一3 5 a 6 卢6 q 8 + ( 3 0 a 6 b 2 一 即： ( 2 1 5 ) 1 5 a 4 ) a l o 卢4 + ( 1 2 a 4 b 2 3 a 2 ) q 1 2 p 2 + ( 2 a 2 b 2 + 1 ) q 1 48 0 ( 3 a 4 0 1 1 0 p 4 + 3 a 2 0 1 1 2 p 2 + 5 a 6 q 8 p 6 一a 1 48 0 = 0 显然 所以 由此可知，p 是闭的 ( 2 1 3 ) 式变为 8 0 = 0 8 i j = 0 一3 5 a 6 p 6 + ( 3 0 a 6 b 2 1 5 a 4 ) a 2 p 4 + ( 1 2 a 4 b 2 3 a 2 ) p 2 0 1 4 + ( 2 a 2 b 2 + 1 ) q 6 ) ( 6 m q 2 一 p ) g 。m + ( 1 5 a 6 p 4 + 6 a 4 0 e 2 p 2 + 0 2 q 4 ) 0 1 2 ( 6 2 0 1 2 一p 2 ) 7 0 0 = 0 ( 2 1 6 ) 如果 一3 5 a 6 p 6 + ( 3 0 a 6 b 21 5 a 4 ) a 2 p 4 + ( 1 2 a 4 b 2 3 a 2 ) 2 口4 + ( 2 a 2 b 2 - 4 - 1 ) q 6 】 能被( 1 5 0 6 p 4 + 6 a 4 c e 2 2 + a 2 0 1 4 ) 整除，假设存在c 1 ( z ) ，c 2 ( z ) 使得 一9 一 北京工业大学理学硕士学位论文 - - 3 5 a 6 p 6 + ( 3 0 a 6 b 2 1 5 a 4 ) 乜2 4 + ( 1 2 a 4 b 2 3 n 2 ) p 2 q 4 + ( 2 a 2 b 2 + 1 ) q 6 ) =( c 1 2 + c 2 2 2 ) ( 1 5 a 6 p 4 + 6 a 4 口2 p 2 + 口2 a 4 ) 比较系数可得： 兮射影 设a 2 = 3 k ，七0 则 所以，当 是射影平坦的 2 2 本章小结 3 0 a 6 b 2 1 5 a 4 = 1 5 c l a 6 + 6 c 2 a 4 1 2 a 4 b 2 3 a 2 = 6 c l a 4 + c 2 a 2 2 a 2 b 2 + 1 = a 2 c 1 - 3 5 a 6 = = 1 5 a 6 c 2 仁， a 2 3 ：= 1 3 5 a 6 0 4 = 一k 2 ，n 6 = 譬 i0 2 = 3 k 。4 一。 i南3 l 0 62 - “g - f = q 咖( s ) = q ( 1 + a 1 8 + a 2 s 2 + a 4 s 4 + a 6 8 6 ) 本章从( ，) 一度量射影平坦的等价条件出发，利用多项式的整除性质，通 一1 m 第2 章射影平坦六次多项式( o l ，p ) 一度量 过比较系数，得出了一类射影平坦六次多项式( q ，p ) 一度量 f = q ( 1 + s s + 3 k s 2 - 忌2 8 4j r 和 其中e ，k 是常数，并且k 0 北京工业大学理学硕士学位论文 第3 章度量f = q ( 1 + e 8 + 3 k s 2 一k 2 s 4 + k - - - 芋s 6 ) 3 1 f 是( ，p ) 一度量的充要条件 的性质 ( o l ，) 一度量是f i n s l e r 几何的一类重要的研究对象，具有很高的应用价值。 定理3 1 给出了度量f 成为( q ，p ) 一度量的充要条件 定理3 1 ：设c o 0 ，在区间( 一c o ，c o ) 上，咖( s ) 满足 咖( s ) =1 + c s + 3 k s 2 一k 2 s 4 + _ k ss 6 0 a 则f = q 咖( s ) 是f i n s l e r 度量的充要条件是： 证明：要使 z l l n 0 令b 2 = m ，8 2 = n ，则6 k b 2 7 k s 2 + 1 = 6 k i n 一7 k n + 1 。 对于v m n 0 ， ( 1 ) 当k 0 时 ( 2 ) 当k 0 恒成立兮0 m 0 恒成立兮0 m o ； r a i n c o ，志) ，k 0 3 2 f 射影平坦的等价条件 定理3 2 ： f = q + 卢+ 3 后譬一2 筘+ 譬等射影平坦的等价条件是： ( i ) g 乏= 叩矿一3 k t a 2 b i ， ( i i ) 6 t i j = 7 - 【_ 一7 k b i b j + ( 6 k b 2 + 1 ) a i j 其中，丁= 7 - ( z ) ，叩= 吼( z ) 矿，及尼( 0 ) 是常数，6 l j 表示p 关于o l 的共变导 数此时， 其中 ) ( ：。 g = 7 7 + 3 7 a x y ( 5 + 3 0 k s 一2 0 k 2 s 3 + 6 k 3 s 5 ) ( 1 一k s 2 ) 6 ( 5 - i - 5 e s + 1 5 k s 2 5 k 2 8 4 + k 3 8 6 1 证明；由( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 式得到： q = e q 6 + 6 七口5 4 k 2 卢3 0 1 3 + 翌5p 5 0 l h = ( o l 2 一即2 ) 3 3 k o e 2 f 6 k b 2 + 1 ) a 2 7 k # 2 k s 必要性：假设f 射影平坦，根据第二章内容，代入( 2 1 4 ) 式，得到： 一2 e a ( 3 k 3 p 4 q 8 6 k 2 p 2 0 l 1 0 + 3 k a l 2 ) ( 6 f o l 2 一p 可z ) s o + e a 一7 k 3 p 6 及8 + ( 6 k 3 b 2 + 1 5 k 2 ) 乜1 0 p 4 一( 1 2 k 2 b 2 + 9 k ) a 1 2 p 2 + ( 6 k b 2 + 1 ) q 1 48 1 0 = 0 1 3 ( 3 2 1 ) 北京工业大学理学硕士学位论文 当e 0 时，( 3 2 1 ) 式与b 2 缩并整理得 ( 1 2 k b 2 + 1 ) q 6 一( 2 4 k 2 b 2 + 1 5 尼) p 2 q 4 + ( 1 2 k 3 b 2 + 2 7 k 2 ) 卢4 0 l 2 1 3 k 3 p 6 】s o = 0 因为k 0 ，所以8 0 = 0 ，从而s i j = 0 ，p 是闭的。 当e = 0 时，整理( 3 2 1 ) 式得： ( o 2 一忍p 2 ) 3 ( ( 6 后6 2 + 1 ) q 2 7 k z 2 ) ( n m i o l 2 一肌) g 。m + 3 尼口2 ( b l c 2 一3 y t ) r o o ) + 2 k ，a 4 ( 3 q 4 2 q 2 p 2 + 后2 p 4 ) ( ( 6 尼6 2 + 1 ) q 2 7 k f l 2 ) s f 0 6 k ( b t o z 2 一f l y t ) s o ) = 0 但是2 k z a 4 ( 3 4 2 庇q 2 p 2 + ；角2 p 4 ) 不能被( o l 2 一忌p 2 ) 3 整除，所以( ( 6 k b 2 + 1 ) a 2 7 k z 2 ) s z o 一6 k ( b l a 2 一z y l ) s o 可被( q 2 一向p 2 ) 3 整除，由多项式次数可知， 这是不可能的。所以 ( ( 6 k b 2 + 1 ) a 2 7 k z 2 ) s f o 一6 k ( b t o l 2 一z y f ) s o = 0 上式两端与b 2 合并，整理得到 ( 1 3 尼p 2 一( 6 k b 2 + 1 ) q 2 ) s o = 0 因为k 0 ，所以8 0 = 0 ，从而= 0 ，p 是闭的。 把s i j = 0 代入( 2 1 6 ) 式中整理得， ( q 2 一k z 2 ) 3 ( ( 6 k b 2 + 1 ) 口2 7 七p 2 ) ( n m l o l 2 一m 肌) g 孑 + 3 忌口2 ( q 2 一忌p 2 ) 3 ( b l a 2 一z y l ) r o o = 0 ( 3 2 2 ) 式与b 2 缩并得， ( 3 2 2 ) ( ( 6 k b 2 + 1 ) q 2 7 k z 2 ) ( 6 m q 2 一z y m ) g 孑+ 3 七q 2 ( 6 2 a 2 一p 2 ) 7 0 0 = 0 ， ( 3 2 3 ) 因为q 2 和6 2 q 2 一p 2 都不是( 6 k b 2 + 1 ) q 2 7 k z 2 的因子 一l 缸 第3 章度量f 的性质 所以存在丁= 丁( z ) ，使得 代入( 3 2 3 ) 得： 整理得： 7 - ( ( 6 后6 2 + 1 ) q 2 7 k z 2 ) = r 0 0 ( b m a 2 一p ) g 孑+ 3 k t o l 2 ( 6 2 q 2 一p 2 ) = 0 ( 6 m g 孑+ 3 k 7 b 2 q 2 ) o l 2 =( y m g m + 3 k t a 2 z ) z 因为q 2 不能被p 整除，所以存在1 一形式叼= 仇( z ) 矿，使得， 所以 因为s i j = 0 ，所以 可得： 此时 g 毛= 叼可一3 k t o l 2 = r o o = b i l j y y j = 7 - 卜7 k f l 2 + ( 6 k b 2 + 1 ) q 2 = ，7 - - t k b & + ( 6 k b 2 + 1 ) a i j 】 g = g 乏+ j r 。善+ 日r o o ( b i s 警) = 叩+ j r 。善一日r 。s 等+ ( 一3 尼7 一口2 + 日r 0 0 ) 1 5 ( 3 2 4 ) 风 铲 卯 帜 i l l l 2 7 舻 印 哦 舻 船 尾 3 3 + + n 仉1 m l 三q l d 1 jll 驰 g 蜘 北京工业大学理学硕士学位论文 把日r 0 0 = 3 尼丁2 代入( 3 2 4 ) 式得， 把j ，日，r o o 代入得， 得 g = 7 7 + r q o o ( j 一日s ) t q o o ( j _ h s ) = q 7 ( - 7 k s 2 + 6 k b 2 + 1 ) ( j h s ) 充分性： 把 r ( + 6 k s 一4 k 2 s 3 + 3 尼3 s 5 ( 1 一k s 2 ) 2 町t 2 丌1 万再瓦3 k i s 2 支k 万2 8i 西r 。 ( + s + 一 4 + 警s 6 ) = 3 t o l 3 k s ( 5 + 3 0 k s 一2 0 k 2 s 3 + 6 k 3 s 5 ) ( 1 一后s 2 ) 6 ( 5 + 5 s s + 1 5 k s 2 5 k 2 s 4 + 血3 s 6 ) g i = 叩+ 3 t a x y 2 d 口= 0 7 0 0 = 7 - - 一7 k # 2 + ( 6 k b 2 + 1 ) q 2 】 代入定理3 2 中验证即得 g 兰= f l y i 一3 忌7 - q 2 b i 此外，若f 是射影平坦的，则其s c a l a r 曲率： r i c c i 曲率： m ： 掣 r i c = ( 扎一1 ) p 2 一只t y ) = ( 几一1 ) k ( x ，u ) f 2 当k ( z ，y ) = k ( x ) ，即t = 0 时，f 是e i n s t e i n 度量 1 6 k s 第3 章度量f 的性质 当度量f = q + e p + 3 七譬一k 2 器+ 譬摹射影平坦时，若旗曲率k = a ( 入 定理3 3 1 ：若f = q + p + 3 忌譬一庇2 9 + 譬等射影平坦，且具有常旗曲 g 4 = 7 7 + 3 t o e x y k ：与掣 k = 虹塑生型! 坐簪塑型生型 s z k y k = i t 0 0 十丢 6 m q s 可m ) 昭 ( 3 3 1 ) q x k y k = 2 q a y ( 3 3 2 ) 把 丁 - 7 k p 2 + ( 6 肋2 + 1 ) 舻】i 代入( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) 中，整理得， i 瓯= 叩矿一3 k t o r 川b ， 1 7 _ 北京工业大学理学硕士学位论文 s z y 庇= t a ( 1 一七s 2 ) o l x k y 七= 2 ( 叩一3 k t f l ) a ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) 记7 7 0 = k y 南，t o = r x k y 惫， 由k = 入得， a f 2 = r 2 - _ 7 7 0 + 9 r 2 2 ) ( 2 3 t o a x 一3 丁2 0 2 2 ) ( 7 ( s ) ( 1 - k s 2 ) + 1 8 k s x l - 2 0 2 2 上式两端同时乘以6 2 5 a 2 0 f 2 ，可得， ( 3 3 5 ) a q 7 + b 6 2 0 e a k g a s f l l 9 2 1 0 a k l o a 4 2 0 + 2 0 a k l l o l 2 f 1 2 2 _ _ a k l 2 p 2 4 = 0( 3 3 6 ) 其中，么，j e 7 分别是关于y 的1 7 阶和1 8 阶多项式。 整理( 3 3 6 ) 得， ( a a 2 2 0 0 a k 9 1 9 ) q 5 + ( b a 6 2 1 0 a k l o q 4 2 0 + 2 0 a k “0 1 2 p 2 2 一入后1 2 p 2 4 ) = 0 显然， a a 2 2 0 e a k 9 p 1 9 = 0 ， ( b a 4 2 1 0 a k l o o l 2 卢2 0 + 2 0 a k l l p 2 2 ) q 2 = 入七1 2 p 2 4 因为p 2 不能被o l 整除，并且k 0 所以 定理得证。 入= 0 定理3 3 2 ：若f 局部射影平坦且具有常旗曲率，则q 是平坦度量，p 关 于o l 平行，此时，f 是局部m i n k o w s k i 的 证明：因为f 局部射影平坦且具有常旗曲率，由定理3 3 1 可知，旗曲率 k = 0 一1 & 第3 章度量f 的性质 整理( 3 3 5 ) 式得： q 5 + 妒= 0 = ( 3 2 5 k s d t 2 一萼e 丁o ) q 8 + ( 5 0 k s f l 2 t o 一2 5 0 k 2 7 - 2 p 3 + 5 0 p ( 7 7 2 一珈) q 6 + ( 6 2 5 e 7 0 k 2 p 4 2 1 8 0 t 2 k 3 p 5 + 1 5 0 k f 1 3 ( 叩2 7 7 0 ) ) q 4 + ( 8 5 0 k 4 e 7 2 p 7 2 3 0 k 3 e 丁0 卢6 5 0 k 2 e p 5 ( 7 7 2 一叩o ) ) q 2 + ( 警尼4 9 丁o p 8 1 8 5 k 5 7 - 2 p 9 十1 0 k 3 e p 7 ( 叩2 一伽) ) 妒= 孕e 2 7 - 2 1 4 + ( 1 0 5 0 k 2 7 - 2 p 2 + 丁1 2 5 k e 2 7 - 2 p 2 一警2 p + 2 5 ( , 7 2 一叼0 ) ) q 1 2 + 3 5 0 k 2 丁0 p 3 - 2 8 0 0 k 3 7 - 2 p 4 一孕七2 9 - 2 丁2 p 4 + 可1 7 5 忌2 伯p 3 + ( 1 5 0 k + 2 5 2 ) ( 7 7 2 7 7 0 ) p 2 ) q 1 0 + ( 9 1 0 k 3 丁o p 5 1 6 1 0 k 4 7 _ 2 p 6 + 1 7 5 k 2 p 4 ( 矿一7 7 0 ) ) 8 + ( 1 6 0 0 k 5 丁2 p 8 7 4 0 k 4 丁o p 7 1 4 0 k 3 6 ( 7 7 2 一舶) ) a 6 + ( 3 0 0 七5 t o p 9 - 6 1 8 k 6 丁2 1 0 + 5 5 k 4 p 8 ( 7 7 2 一伽) ) q 4 + ( s 0 k 7 7 2 p 1 2 5 8 k 6 丁0 p n l o k 5 p l o ( 7 7 2 一? 7 0 ) ) q 2 + 6 k 7 丁0 p ”一6 k 8 7 - 2 p 1 4 + 庇6 p 1 2 ( 7 7 2 其中哟：= k 可七，7 0 ：= k 可庇 显然和矽都是关于y 的齐次多项式，并且 以下我们分两种情况考虑。 ( 1 ) 当e = 0 时 此时三0 ，只需考虑矽= 0 矽= 0 ，妒= 0 0 = ( 1 0 5 0 k 2 7 - 2 p 2 + 2 5 ( 叩2 一叩0 ) ) q 1 2 + ( 3 5 0 k 2 t 0 p 3 - - 2 8 0 0 k 3 7 - 2 4 + 1 5 0 k ( 叩2 叩o ) p 2 ) 乜1 0 + ( 9 1 0 k 3 罚p 5 1 6 1 0 k 4 7 - 2 p 6 十1 7 5 k 2 p 4 ( 叼2 7 7 0 ) 8 + ( 1 6 0 0 k 5 丁2 p 8 7 4 0 k 4 丁0 p 7 1 4 0 k 3 p 6 ( 7 7 2 叩0 ) ) q 6 + ( 3 0 0 k 5 t o p 9 - 6 1 8 k 6 7 - 2 p l o + 5 5 k 4 p 8 ( 7 7 2 一啪) ) 口4 + ( 8 0 忍7 7 - 2 p 1 2 5 8 k 6 伯p 1 1 1 0 k 5 p l o ( 7 7 2 一珈) ) q 2 + ( 6 k 7 丁0 p 一6 k 8 7 - 2 p 2 + k 6 ( 叩2 一伽) ) p 1 2 ( 3 3 7 ) 因为p 2 不能被。整除，所以存在s c a l a r 函数q = c i ( z ) ，使得 一1 9 - 北京工业大学理学硕士学位论文 6 k 7 丁0 p 一6 k 8 7 - 2 p 2 + k 6 ( 7 7 2 7 7 0 ) = e l q 2 c l p 2 + 8 0 k 7 7 - 2 p 2 5 8 k 6 丁0 p 一1 0 k 5 ( 叩2 一r i o ) = c 2 0 2 c 2 p 2 + 3 0 0 k 5 伯p 一6 1 8 k 6 7 - 2 p 2 + 5 5 k 4 ( 叩2 一珈) = c 3 2 c 3 2 2 + 1 6 0 0 k 5 7 2 p 2 7 4 0 k 4 p 一1 4 0 k 3 ( 7 7 2r i o ) = c 4 0 1 2 c 4 ；3 2 + 9 1 0 k 3 t o 一1 6 1 0 k 47 - 2 p 2 + 1 7 5 k 2 ( 叩2 一r i o ) = c 5 0 1 2 c 5 p 2 + 3 5 0 k 2 丁o p 一2 8 0 0 k 3 7 - 2 p 2 + 1 5 0 k 0 7 2 r i o ) = c 6 0 2 则( 3 3 7 ) 变为 1 0 5 0 k 2 7 - 2 p 2 + 2 5 ( 7 7 2 一r i o ) = 一c 6 p 2 所以7 7 2 一伽必有因子2 ，即存在c 7 = c t ( x ) ，使得卵2 一r i o = c 7 p 2 ，则 因为k 0 ，所以 代入( 3 3 1 3 ) ，整理得 1 0 5 0 k 2 7 - 2 + 2 5 c 7 = 一c 6 7 - 2 = 1 - c 丽6 - 2 5 c 7 ( c 5 p + 1 5 0 尼c 7 p + 3 5 0 尼2 丁o + 警( c 6 + 2 5 c 7 ) ) p = c 6 0 l 2 因为o l 2 不能被整除，所以 c 6 = 0 此时， 7 2 = 一品，代入( 3 3 1 2 ) 中得到 - 6 5 0 k c 7 3 c 5 。 伯2 可疯丽一 把7 0 代入( 3 3 1 2 ) 整理得 ( c 4 + 1 7 5 c 7 肚1 - 警( 6 5 0 k c 7 _ 3 c s ) + 学胱7 扩_ c 5 q 2 2 m ( 3 3 8 ) ( 3 3 9 ) ( 3 3 1 0 ) ( 3 3 1 1 ) ( 3 3 1 2 ) ( 3 3 1 3 ) ( 3 3 1 4 ) 第3 章度量f 的性质 显然c 5 = 0 ，c 4 = 3 5 0 c 7 k 2 代入( 3 3 1 1 ) 整理得 ( c 3 + 2 8 0 k 3 c 7 ) p 2 = ( 2 4 0 f 2 所以( 2 4 = 0 由( 3 3 1 5 ) 知c 7 = 0 ，从而7 - = 0 ( 2 ) e 0 考虑= 0 ，约去e 得 ( 3 3 1 5 ) ( 3 2 5 k t 2 p 一萼丁o ) q 6 + ( - 2 5 0 k 2 7 1 2 p 3 + 5 0 k t o p 2 + 5 0 p ( 叩2 一叩o ) ) a 4 + ( 1 5 0 k ( 7 2 7