（应用数学专业论文）cagd中可展曲面设计和球域bézier曲线的研究.pdf

摘要 本文的主题是对c a g d 可展b 6 z i e r 曲面和可展p o i s s o n 面的设计以及球 域b 6 z i e r 曲线的边界曲面进行研究 第一章综述了b 6 z i e r 曲线曲面的理论发展过程，引申出可展曲面设计和球域 b 6 z i e r 曲线设计的必要性， 第二章介绍了以任意一条空间b 6 z i e r 曲线为准线的一张可展b 6 z i e r 曲面设 计方法该方法应用有关曲面可展充要条件的微分几何理论，b 6 z i e r 曲线的升阶 公式以及b e m s t e i n 基函数的线性无关性，不用解非线性特征方程，就可以直接决 定可展曲面的直母线、可展锥面的顶点和切线面的脊线，完成可展曲面的设计 奉章的结果对于工程外形设计具有良好的应用前景 第三章是空问可展p o i s s o n 曲面的设计利用p o i s s o n 基函数的线性无关性， p o i s s o n 曲线的升阶公式，以及微分几何理论中可展曲面的充要条件，设计出超 越可展曲面奉章结果可广泛应用于旋转切割加工中频繁遇见的超越曲面的设 计以及螺旋形管道曲面的外钣展开 第四章是球域b 6 z i e r l t 线的边界曲面的求解利用微分几何中空问曲面族的 包络算法和变量替换方法，求得球域b 6 z i e r 曲线的精确边界表示；进一步利用函 数逼近论中l e g e n d r e 多项式的展佳一致平方逼近方法，把球域b 6 z i e r 曲线的边界 曲面近似地表示为一张b 6 z i e r l t t t 面或分片b 6 z i e r 曲面的组合球域b 6 z i e r 曲线是表 达方式简洁、存储空间节省、运算速度较快的误差分析和误差控制工具 荚键词：可展曲面线性无关升阶公式p o i s s o n 基函数超越曲线球域b 6 z i e r 曲线包络 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , s o m er e s e a r c h e sh a v eb e e nd o n eo nd e s i g no fd e v e l o p a b l eb d z i e r s u r f a c e sa n dp o i s s o ns u r f a c e s ，t h eb o u n d a r ys u r f a c e so f b a l lb d z i e rc 1 l r v ei nc o m p u t e r a i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ( c a g d ) i nc h a p t e rl ，a no v e r v i e wo fd e v e l o p m e n to fb d z i e rc n r v e sa n ds u r f a c e si s p r e s e n t e d ，a n dh e n c ed e v e l o p a b l es u r f a c e sa n db a l lb d z i e rc i l r v ea r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，a na l g o r i t h mi sp r e s e n t e dt h a tg e n e r a t e sad e v e l o p a b l eb d z i e r s u r f a c et h r o u g hab d z i e rc u r v ec a l l e dad i r e c t r i x t h ea l g o r i t h mi sb a s e du p o nt h e d i f f e r e n t i a lg e o m e t r yt h e o r ya b o u tt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ra s u r f a c ew h i c hi sd e v e l o p a b l e ，t h ed e g r e ee l e v a t i o nf o r m u l af o rp a r a m e t e rc u r v e sa n d t h el i n e a ri n d e p e n d e n c yf o rb e m s t e i nb a s i s n on o n l i n e a rc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n s h a v et ob es o l v e d m o r e o v e rt h ev o r t e xf o rac o n ea n dt h ee d g eo fr e g r e s s i o nf o ra t a n g e n ts u r f a c ec a nb eg i v e ne a s i l y i nc h a p t e r3 ，d e s i g no fd e v e l o p a b l ep o i s s o ns u r f a c ei sp r e s e n t e d b a s e do nt h e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ras u r f a c ew h i c hi sd e v e l o p a b l e ，t h ed e g r e e e v a l u a t i o nf o r m u l af o rp o i s s o nc u r v e sa n dt h el i n e a ri n d e p e n d e n c yf o rp o i s s o nb a s i s f u n c t i o n s ，a l la l g o r i t h mt h a tg e n e r a t e sd e v e l o p a b l ep o i s s o ns u r f a c e st h r o u g hap o i s s o n c u r v eo fa r b i t r a r yd e g r e ea n ds h a p ei sg i v e n t h e s er e s u l t sc o u l db ea p p l i e dt od e s i g n o fs u r f a c e sf r e q u e n t l ym e ti nr e v o l u t i o nc u t t i n g ，a n dp l a t ee x p a n s i o no fs p i r a l - l i k e p i p es u r f a c e s i nc h a p t e r4 ，h o wt os o l v eb o u n d a r ys u r f a c eo f ab a l lb d z i e rc a l v ei sp r e s e n t e d w i mt h ee n v e l o p ea l g o r i t h mo ft h ef a m i l yo fs p a c es u r f a c e si nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r i c a n dv a r i a b l et r a n s f o r m a t i o n ，a na c c u r a t er e p r e s e n t a t i o nf o rt h eb o u n d a r yo fab a l l b d z i e rc u r v ew a sg a i n e d ；a n df u r t h e r m o r e ，i tw a sa p p r o x i m a t e l yr e p r e s e n t e da sa b d z i e rs u r f a c eo ra nu n i o no fb d z i e rp a t c h e sb yu s i n gl e g e n d r ep o l y n o m i a lb e s t s q u a r eu n i f o r ma p p r o x i m a t i o n b a l lb d z i e ri sak i n do f e r r o rc o n t r o la n de r r o ra n a l y s i s w i t hs i m p l ee x p r e s s i o n ，l e s ss t o r a g ea n df a s tc o m p u t a t i o n k e y w o r d s ：d e v e l o p a b l es u r f a c e s ，l i n e a ri n d e p e n d e n c e ，d e g r e ee v a l u a t i o nf o r m u l a ， p o i s s o nb a s i sf u n c t i o n s ，订a n s c e n d e n t a lc u r v e s ，b a l lb d z i e rc u r v e s ，e n v e l o p 浙江大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1b d z i e r l 酋i 线曲面理论发展的综述 计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n , c a g d ) ，是随着航 空、汽车等现代工业的发展与计算机的出现而产生与发展起来的一门新兴学科 其主要的研究对象是工业产品的几何形状工业产品的形状大致上可以分为两 类：一类是仅由初等解析曲面( 例如平面、圆柱面、圆锥面、环面、圆环面等) 组 成，大多数机械零件属于这一类，可以用画法几何与机械制图的方法完全清楚表 达和传递所包含的全部形状信息：第二类是不能由初等解析曲面组成，而以复杂 方式自由变化的曲线曲面即所谓自由曲线曲面组成，例如飞机、汽车、船舶的外 形零件显然，后一类形状单纯用画法几何与机械制图是不能表达清楚的，这成 为工程师们首先要解决的问题 1 9 6 3 年，美国波音( b o e i n g ) 飞机公司的f e r g u s o n 首先使用( 1 ，t ，2t 3 ) 为基函 数的三次参数样条曲线来进行飞机外形的设计，构造了由四个角点的位置矢量及 两个方向切矢定义的f e r g u s o n 双三次曲面片( f e r 6 3 ，【f e r 6 4 ) f e r g u s o n 采用的 自由曲线曲面的参数表示方法具有几何不变性、可处理无穷大斜率和多值曲线、 易于进行坐标变换等优点 上世纪6 0 年代初，美国麻省理工学院( m i t ) 的c o o n s ( 1 9 1 2 - - 1 9 7 9 ) 给美国国防 部的技术报告中引进了超限插值这个全新的数学概念( c 0 0 6 4 【c 0 0 6 7 ) ，把所要 设计的曲面看作是由若干个较小的曲面片按一定的连续阶要求拚接而成的每条 边界线可以是具有一定连续阶要求的任何曲线在设计产品的几何外形时，可进 行人机交互他利用h e r m i t e 基来定义插值箅子，进一步可得到c o o n s 混合曲面在 工程实践中通常使用的是c o o n s 双三次曲面片它与f e r g u s o n 双三次曲面片的 区别在于前者将角点扭矢取为非零矢量两者均存在形状控制与拼接问题 法国工程师b d z i e r ( 1 9 1 0 1 9 9 9 ) 于1 9 6 2 年提出b d z i e r 曲线，即由控制多边形定 义曲线的方法。并据此在雷诺( r e n a u l 0 汽车公司建立了著名的u n i s u r f 自由曲 第一章绪论 线曲面设计系统( b 6 2 7 2 ， b 6 2 7 4 ，【b 6 2 8 6 ) 是 p ( f ) = 群( f ) 口， j - - o 然而当年b 6 z i e r 提出的曲线表达式 0 f 1 ， 其中爿o ( t ) _ l ，删= 蒜筹鼍一l ，2 ， 口o = p o ，口= 只一只一】， = 1 ，2 ，一，h 这一定义十分奇特，令人难以接受直到1 9 7 2 年，f o r r e s t 才提出如今通用的定 义( f o r 7 2 ) ，指出它恰好就是b e m s t e i n 基与控制顶点的线性组合，即 以f ) = 彤( f ) 弓， o f 1 其中占j ( f ) 2l ；j ( 1 一矿1 一；j = o ，l ，”，为”次b e r n t e i n 基函数- b 6 z i e r 方法是一种由控制多边形( 网格) 定义曲线曲面的方法这种曲线曲面 具有一系列如几何与仿射不变性、凸包性、保凸性、对称性、端点插值性等优良 性质；且具有如d ec a s t e l j a u 求值、离散、升阶、插值、包络生成算法等简单易用 的计算方法，很好地解决了整体形状控制问题( g r 7 4 ，【f a r 9 0 ) 设计员只要移动 控制顶点就可方便地修改曲线的形状，而且形状的变化完全在意料之中它是雷 诺( r e n a u l t ) 公司u n l s u r fc a d 系统的数学基础b 6 z i e r 方法在c a g d 学科中占有 重要的地位，它广为人们接受，为c a g d 的进一步发展奠定了坚实基础其实， 稍早于b 6 z i e r , 1 9 5 9 年前后，法国另一家汽车公司雪铁龙( c i t r o e n ) 汽车公司d c c a s t e l j a u 也曾经独立的研究了同样的方法但结果从未公开发表 1 2 直纹面和可展曲面 直纹曲面( r u l e ds u r f a c e ) 是c a d c a m 系统和曲面造型中常见的一大类曲 面在经典的几何理论中，直纹曲面的研究成果已经比较丰富，相关的主要基础 理论涉及到微分几何 k l i 7 8 ，苏7 9 ，吴8 1 、线几何 h o s 7 1 等近年来，随着c a g d 中曲面理论和应用研究的不断深入，适应曲面设计、曲面造型和工程实践不断提 出的新需求，国际上许多学者对直纹曲面理论的实际应用展开了广泛的研究和 浙江大学硕士学位论文 探索 直纹曲面是一类特殊的曲面，是由单参数直线族所形成的曲面 d o c 7 6 ，换 言之，当一条直线段沿着空问中一条曲线运动时，直线段扫掠所形成的曲面就是 一张直纹曲面，也就是说由一族直线所织成直纹面的方程为： s ：r ( u ，v ) = 口( ) + v t ( u )( 0 1 ) 族中直线t ( u ) 称为直纹面的直纹或( 直) 母线；该族直纹面总经过一条参数曲线 c ：a ( u ) ，称为直纹面的准线 经典的微分几何做了许多直纹曲面的基础理论研究，并且已经有了直纹曲 面的专著 e d 9 3 1 ，但如今与直纹曲面相关的研究工作仍在不断深入，如：1 9 8 6 年， r a v a n i 和c h a n r c 8 6 】研究了复合直纹曲面的设计和加工；1 9 9 1 年，r a v a n i 和 w a n g r w 9 1 】给出了线结构的计算机辅助设计；1 9 9 9 年，p e t e m e l l 、p o t t m a n n 和 r a v a n i p p r 9 9 在国际著名的c a d 3 杂志上专门介绍了关于直纹曲面的计算几 何相关问题，给出了直纹曲面在p 空间的表示直纹曲面可以简单地通过直线 族来生成，它被广泛应用于计算机辅助设计和制造工业 c p 9 9 中，如：c a d 、结 构设计、线加i ( w i r ee l e c t r i cd i s c h a r g em a c h i n g _ w i r ee d m ) 、逆向工程 【c p 9 9 】、( 机器人) 运动设计( m o t i o nd e s i g n ) p p r 9 8 】、柱形刀具数控( n u m e f i c f l c 蚰的l - n c ) 加工( n cm i l l i n gw i t hac y l i n d r i c a le u t t e r ) g e 9 6 当进行线加工 并考虑切割线的厚度时，或者当进行柱形刀具的n c m n i 时，线或刀具的轴运动 轨迹恰好在一张直纹曲面s 上；而且，线或刀具本身恰好运动在这个直纹曲面s 的等距面上因此，如果能够用直纹曲面代替原来的曲面( 或者等距面) ，则可以 简化产品的生产过程，提高产品的加工效率，或者可以提高产品的加工精度 直纹面s 是可展曲面的充要条件是：口，1 三个矢量线性相关，即： ( 口，1 ，i 7 ) = 0 ( o 2 ) 在经典微分几何中，可展曲面的特征和性质已被得到充分地研究 苏7 9 、 d o c 7 6 如果曲面是充分光滑的，则可展曲面的特征是：整个曲面的总曲率恒为 零，一张可展曲面是其单参数切平面族的包络从局部上看，可展曲面必定是锥 面、柱面或者曲线的切线面其中之一从全局上看，它可以是这三种类型曲面的 十分复杂的组合可展曲面是直纹曲面的一种，但它具有以下的特征：同一直母 线上所有点的切平面相同 第一章绪论 可展曲面具有优良的性质，在工程实践中经常要应用这类曲面其应用情 况随材质的不同而不同一种情况是：产品所用的工业材料本身具有一定的形变 能力例如，由装甲板组成的轮船外壳的制造；由铁皮组成的汽车外壳的加工； 由金属片材( s h e e t m e t a l ) 和金属板材( p l a t e m e t a l ) 组成的航天器的制造等金属材 料制品的加工方法一般可以分为热加工和冷加工两个大类f 蒋9 1 热加工方法是 通过高温使材料软化变形，包括：铸造、锻造、焊接和热处理等一般热加工方 法只能得到形状、尺寸比较粗糙的成品或半成品，还需做经过进一步处理而冷 加工方法是通过切削、弯曲、压力加工等进行产品制造。正确地选择冷加工方法 则可以提高产品质量和生产效率、降低生产成本因此如果这类产品的外形用 多片可展曲面片拼接而成，则它们的加工可以更加高效经济上更加节约成本 p w 9 9 另外一种情况是：产品的外表面是由诸如纸、夹板、胶合板、纺织品、 塑料薄膜、毛皮、皮革等材料构成，这些材料的形变能力很小，在制造过程中这 些形变可被忽略这类产品中比较常见的有：服装、鞋等因此，在进行这些产 品的曲面造型设计时，必须考虑曲面如何由多片可展曲面来组成，或者直接用多 片可展曲面进行曲面造型 1 3 圆域和球域b 6 z i e r 曲线 区问算术即i a ( i n t e r v a la r i t h m e t i c ) 也称为区间分析( i n t e r v a la n a l y s i s ) 【m 0 0 6 6 ，它不是定义在实数上的一种运算，而是一种定义在区间上的算术，区 间算术的主要特点是能处理不确定数据，自动记录截尾和舍入误差，有效而且可 靠地估计函数在整个自变量区域的值，从而被广泛应用于自然科学的各个领域， 特别在c a g d c g 领域也有十分重要的应用基于区间算术，1 9 9 2 年，s e d e r b e r g 和f a r o u k i 【s f 9 2 首次提出区间b e z i e r 曲线的概念，正式把区问分析引入计算机辅 助几何设计n 次区间b 6 z i e r 曲线的控制顶点是h 个区间或者长方体，具有与 b 6 z i e r 曲线相似的性质1 9 9 8 年，寿华好和王国瑾【寿9 8 a ，寿9 8 b 】研究了区间 b 6 z i e r 曲线的边界以及区间曲线曲面与等距曲线曲面之间的关系2 0 0 0 年，刘利 刚、王国瑾和寿华好利用区间b g z i e r 曲线曲面对可微参数曲线曲面作t a y l o r 逼近 2 0 0 1 年，l i n ，l i u 和w a n g l l w 0 1 分析了区间b 6 z i e r 曲线的边界结构，并利用跟踪 的方法求出了边界曲线 浙江大学硕士学位论文 1 9 9 8 年，l i n 和r o k n e l r 9 8 提出了平面圆域b 6 z i e r 曲线( p l a n a rd i s kb 6 z i e r c u r v e ) ，作为区间b d z i e r 曲线的进一步的推广n 次平面圆域b 6 z i e r 曲线的控制顶 点是”个圆盘，是一条带宽度的“胖曲线”2 0 0 6 年，我们 张0 6 将平面圆域b 6 z i e r 曲线推广到空间的情况，得到空间球域b 6 z i e r 曲线( b a l lb 6 z i e rc u r v e ) n 次球域 b 6 z i e r 曲线的控制顶点是n 个球，是球心沿中心线运动扫掠得到的区域它的边 界是一张曲面圆域和球域b 6 z i e r 曲线具有以下优良的性质：( 1 ) 在旋转等几何变 换中误差域保持不变：但相应地，由于空间区问b 6 z i e r 曲线的控制顶点是平行于 坐标平面的6 个平面所围的立方体，当坐标系产生一个旋转变换时，表达误差信 息的这个控制顶点势必需要急剧地扩展形变，从而造成区问曲线本身的膨胀( 2 ) 仅需一个空间点和一个表示半径长度的实数即可表示一个控制顶点：但相应地， 空间区间b 6 z i e r 曲线需要一个空间点和表示长方体长度的长宽高三个实数来表达 一个控制顶点( 3 ) 可表示一条空间曲线的误差范围；但相应地，圆域b 6 z i e r 曲线 仅能表示一条平面曲线的误差范闱，因此前者是无法用后者来代替的( 4 ) 当所有 控制顶点取等半径时，其边界是其中心曲线的空间等距曲线的轨迹球域b 6 z i e r 曲线的结果蕴含了空问等距曲线 第二章可展b 6 z i e r 曲面的设计 第二章可展b 6 z i e r 曲面的设计 奉章给出了以任意一条空问b 6 z i e r 曲线为准线的一张可展b 6 z i e r 曲面设计的 新方法该方法应用有关曲面可展充要条件的微分几何理论，b 6 z i e r 曲线的升阶 公式以及b e m s t e i n 基函数的线性无关性，不用解非线性特征方程，就可以直接决 定可展曲面的直母线，可展锥面的顶点和切线面的脊线，完成可展曲面的设计 a u m a n n 的可展曲面算法仅是本章算法的一个特例 2 1 可展曲面研究的进展 沿着一条空问曲线由一族直线织成的曲面称为直纹面，这里的曲线称为准线， 直线称为母线可展曲面是一种特殊的直纹面，沿着它的母线只有一个切平面， 或者说，同一条母线上的切平面是重合的。可展曲面又是单参数平面族的包络面， 只有可展曲面与平面( 或者平面上的带状区域) 等距对应，因此它具有非常好的性 质，可以用不改变曲面上曲线长度的连续变形贴合到平面上正是基于这个原因， 那些很难延展拉伸的材料能做成可展曲面，比如船体、管道、鞋子、衣服和汽车 部件的某些表面外形可展曲面在计算机辅助设计( c a d ) 和计算机辅助制造 ( c a m ) 系统中得到广泛应用m a n c e w i c z 和f r e y m f 9 2 ，f r e y 和b i n d s c h a d l e r f b 9 3 ，p o t t m a n n 和w a l l n e r 【p w 0 1 ，c h u 和s 6 q u i n 【c s 0 2 分别给出了可展自由曲 面在工业上的应用 到目前为止，已经有众多论文提出了多种可展曲面的设计方法a u m a n n 【a u m 9 1 ，l a n g 和r s s e h e l 【l r 9 2 ，c h a l f a n t 和m a e k a w a 【c m 9 8 ，m a e k a w a 【m a e 9 8 】 等人利用非线性特征方程构造自由可展曲面b o d d u l u r 和r a v a n i b r 9 3 ， p o t t m a n n 和f a r i n 【p f 9 5 基于3 d 射影空间中平面和点的对偶性给出可展曲面的 设计a u m a n n 【a u m 0 3 利用仿射变换和关于b 6 z i e r 曲线递归割角的d ec a s t e l j a u 算法给出可展b 6 z i e r 曲面的构造但是以上方法存在下列局限性：( 1 ) 求解非线性 浙江大学硕士学位论文 特征方程一般是困难的，除非曲面的边界曲线是低次参数曲线；( 2 ) 所构造的可展 曲面只限于以平面曲线为其边界曲线；( 3 ) 不能决定可展锥面的顶点或可展切线 面的脊线为克服这些局限性，本章对可展b 6 z i e r 曲面的几何本质进行了深入的 分析与研究利用微分几何理论中曲面可展的充要条件、参数曲线原理中的升阶 公式以及b e m s t e i n 基函数的线性无关性，得到了在无须解特征方程的情况下，直 接构造出以任意一条空间b 6 z i e r 曲线为准线的一张可展b 6 z i e r 曲面的新方法，而 且可展锥面的顶点和可展切线面的脊线也可直接决定本章的方法把2 0 0 3 年 a u m a n n a u m 0 3 】所得到的结果作为特例包含在内，同时也适用于满足插值条件 的可展曲面的设计 2 2 直纹b 6 z i e r 曲面的构造与可展条件 由两条”次空问b 6 z i e r 曲线 口( “) ；群( ”) b ， “【o ，1 】，( 2 3 ) g ( “) = 群。硫， “【o ，l 】，( 2 4 ) 混合而成的直纹n x l 次b 6 z i e r 曲面的参数方程为 r ( u ，v ) = ( 1 一v ) u ( ”) + 呵( ”) = i 口( “) + 下( “) ， ( “，v ) 0 ，1 】o o ，1 】， ( 2 5 ) 其中曲线口 ) 与 f ( “) = 彤( “) ( 留j a ) ， “【o ，1 】 佗6 1 i - - o 、 分别称为准线与直母线 根据微分几何理论 苏7 9 ，直纹面r ( u ，订可展的充要条件是对任意的参数 “e o ，1 】，三个矢量= 口( ”) ，f = “) ，f ，= f ( “) 线性相关，即存在不同时为0 的 数量函数 = 五( “) ，a = ( “) 与，= r ( u ) ，使得 五口+ f + ，f = 0 ( 2 7 ) 苏步青等 苏7 9 i t ! g f 了可展曲面有且只有三类：柱面( 包括平面) ，锥面和切线面 当满足条件( 2 5 ) 时，不同的函数组 五( “) ，( “) ，( “) 与上述三类曲面中的一类相对 应下面分类讨论这三类b 6 z i e r 曲面 第二章可展b 6 z i e r 曲面的设计 2 3 三类可展b 6 z i e r 曲面的解析条件 情况1a ( “) = 0 这时有( “) r ( u ) 不同时为o ，使得i z r + 弦0 这表明向量f ，f ，线性相关 取e ( u ) 为与f ( “) 平行的一个单位向量，于是r ( u ) = 以“) p ( “) ，烈“) 0 ，从而 f = c o e + 伽7 把上式两边与向量f 做外积，可得到f x 一= 删( d e = ( 0 2 e e 0 所以e e 0 再由l a g r a n g e 恒等式 晒e ) ( e - e ) 一( e - e ) 2 = ( e e ) 2 ， 可知p p 0 ，即e 7 = o 这表明单位向量e 方向不变，直母线r ( u ) 的方向不变，从而 可展b 6 z i e r 曲面为柱面 为具体构造这一柱面，应用( 4 ) 式得f ( o ) 2 吼一风，所以9 2 话p 翮o q o ：又由于 了d r ( u ) ：掣p ，掣训训：掣巳 如出幽 出7 黼忙；呱由警= 志1 “”驴警硝帷脯 硎 l n 一) !融 差分算子，得到 p r ；i le ， i = 1 2 ，n ( 2 。8 ) 0 p ，+ l 吼+ l ! c 7 n 吼，i = o ，l ，胛一1 ，p i 卅q 川= c r p r ，i = o ，1 ，胛一1 ， 口= 1 0 仃= 0 8 图2 13 x 1 次b e z i e r 柱面 8 浙江大学硕士学位论文 如果令口一只+ l ；口( 吼一只) ，f = o ，1 ，n - 1 ，仃为常数，则得到a u m a n n a u m 0 3 的可展b d z i c r 柱面表达式图2 1 展示了2 张不i 剐的3 x 1 次b d z i e r 柱面 情况2 丑( “) 0 这时有”一锱加一器，使矧= a t 删，于是可展曲 面r ( u ，v ) 的方程可写为 r ( u ，= q ) + ( v + 6 ) f ，( 2 9 ) 瞒) = 口一拓， ( 2 1 0 ) 其中喁( “) 的导矢 口l = 口一b r b r = ( a - b ) f ( 2 1 1 ) 情况2 1 a = b 这时0 ，喁为常矢量；引进参数变换 ；= v + 6 q ) ，( 2 1 2 ) 则可展曲面r ( u ，v ) 的方程可写为 r ( u ，y ) = 喁似) + v r ( u ) ，( 2 1 3 ) 其中a 。为常矢量，；【6 0 ) ，6 ( ) + l 】；这表明r ( u ，v ) 是以口为顶点的锥面 我们的目标是假设b d z i c r 曲线( 2 1 ) 为己知，要求b d z i c r 曲线( 2 2 ) ，使得由 ( 2 3 ) 式表示的以曲线( 2 1 ) 为准线的b d z i e r 直纹面r ( u ，v ) 为可展特别地，在本情 况下使得直纹面r ( u ，v ) 为锥面 下面考察几个特别的情形 ( 1 ) 令口= o , b = 士，p 1 为常数 d l 在这种情况下，= 二_ 于是应用( 2 1 ) ，( 2 4 ) 式，知道 d l ”i = 0 彤。( “) 印，2 一= 1 与i = 0 彤。1 ( ) 幢一只) ， j 第二章可展b d z i e r 曲面的设计 由b e m s t e i n 基函数的线性无关性，得 ( 尸一1 ) ( p 一p ，) = ( 窖m p ) 一( 窖一a ) ， i = 0 ，1 ，n l ； 即 绋= 窖o + p ( n p o ) ， i = l ，2 ，” ( 2 1 4 ) 于是得到a u m a n n a u m 0 3 的可展b d z i e r 锥面表达式图2 2 展示了2 张不同的3 x 1 次b d z i e r 锥面 _ p ，2 3 g o q j2 p p o p , ，i = l 2 ，”；q o q ，2 p p o p ，i = 1 ，2 ，月； p = o 4p = o 0 图2 23 1 次b z i e r 锥面 ( 2 ) 令口= 盯，b = 倒，盯0 是常数 在这种情况下，由( 2 7 ) 式得 n lhh - i ”耳_ 1 ( “) 4 p f = 仃彤( “) ( a 窖f ) + n 佣耳。( 口) ( b 吼) ， ，j 0i = 0i = 0 把上式两端的甩一1 次b d z i e r 曲线分别升阶，得出 彤似( 一一j ) 船+ 烛一。) = b t ( u x c r p , q , ) + 群蝴q l - ) ，娘，= 瓴= 0 ， 再由b e m s t e i n 基函数的线性无关性，得 j n a o o = 口矗帽o ， ( 门一f ) 一+ f a b l = c r p j q ，+ f c ，j 6 峨、i q i 。l ， i ；l ，2 ，押一1 ， 【盯：p 。一】= a p q 。+ 行d 2 以一l 孽。一1 所以 浙江大学硕士学位论文 也就是 铲风+ 詈瓴， 诉= 只+ ! ! 里量理生l 专；：i 竽，= - ，：，一一t ， ”风+ 塑铲 ( i + 1 ) a p f q f i 口a i g h = ( n i ) 卸，+ f z 蛾一l ， i = 1 2 h 一1 ， 利用以上的递推关系，可得到 = p o + 旦瓴， 铲一+ 坚跹篙产，川，2 ，州，( 2 1 5 ) 吼= n + 丛边 图2 3 展示了2 张不同的3 x 1 次b 6 z i e r 锥面 p 3 口= 盯，b = 佣，盯= 3 0口= 仃，b = o u ，口= 0 8 情况2 2 口b 图2 33 1 次b 6 z i e r 锥面 第二章可展b d z i e r 曲面的设计 这_ n c r = 与a l 引进新的参数 a o v + 6 ) ”而而 f 2 1 6 ) 则可展曲面r ( u ，v ) 的方程可写为 r ( u ，v ) = q ( “，v ) + 峰( “) ，( 2 1 7 ) 这是曲线q = a t 。( u ) 的切线曲面，喁( “) 为脊线 类似于情况2 1 ，接下来，我们需要具体地求出b d z i e r 曲线( 2 2 ) 使得f 1 3 ( 2 3 ) 式表示的以曲线( 2 1 ) 为准线的b d z i c r 直纹面r ( u ，v ) 为切线曲面，并确定相应的脊 线 下面考察几个特别的情形 ( 1 ) 口= 2 ，b = “ 这时，由( 2 7 ) 式及b d z i e r 曲线的升阶公式得出 彤( “) ( 伽一f ) 觇+ i z k o ，一，) = 彤( “) ( 2 b 鲰) + 彤( ”) ( f 衄一吼一。) ， i = oi - - ol - - o 4 峨l = 峨= 卸一l g 一】= 0 进一步由b e m s t e i n 基函数的线性无关性，得 ( 月一i ) a p f + i a p i _ 1 = 2 a 吼+ l a p , 一l g ，i = 0 ，1 ，m a p _ 】= 6 易= 6 儿l 口一l = 0 所以 利用递推关系得到 譬。确+ 半， 哦= a + 兰二! ! 巴l ；：! 学，= - ，z ，n 一- ， 吼= 以+ 堕丝警 一十z 叮0 = p o + “， q l = p i + ( n f ) 4 + a ，i = l ，2 ，玎一1 ， 吼= p 。+ n a ( 2 1 8 ) 4 = 丽高j “1 j a p j 一圳一 图2 4 展示了以碣( “) 为脊线的3 x 1 次b d z i e r 切线曲面 浙江大学硕士学位论文 图2 43 x 1 次b e z i e r 切线面，其中a = 2 ，b = u ( 2 ) a = 1 , b = 0 这时，= f 由( 2 7 ) 式及b 6 z i e r 曲线的升阶公式有 彤( “) ( ( ”一f ) 觇+ j 觇一。) = 彤( “) a 吼，衄，= 瓴= o i = o i = o 再由b c m s t e i n 基函数的线性无关性，得 o i ) a p ，+ i a p f _ = b 吼， i = o ，1 ，n ；a p _ 1 = 以= 0 所以 f q o = p o + n a p o ， 吼= 只+ ( 玎一f ) 凸易+ l a p , 一】， i = l ，2 ，n - 1 ( 2 1 9 ) i 靠= ，+ 月2 讥- r 图2 5 展示了以岛似) 为脊线的3 x 1 次b e z i e r 切线面 第二章可展b 6 z i e r 曲面的设计 p d 图2 53 x 1 次b 6 z i 盯切线面，其中a = 1 o ，b = 0 0 ( 3 ) 口：三，6 ：1 甜 这时，根据( 2 7 ) 式有 或 月霉。( “) a 巩= _ 1 厶 q n ( ”) 国；一只) + ”掣。( “) ( g 一只) ， i = o“f - 0 i = o _ 一lhn - - l n ”邵1 ( “) a p f = 群国) ( 覃f 只) + 疗 b ，( ) ( 吼一只) ， 对上式两端应用b 6 z i c r 曲线的升阶公式得 h 彤( “) ( f 她一，) = 耳 x 毋一p f ) + b t ( u ) ( i a ( q , 一，一n ) ) ， 再由b e r n s t e i n 基函数的线性无关性，得到 图2 6 展示了以口似) = a ( u ) - r ( u ) 为脊线的3 x 1 次b 6 z i e r 切线面 r 2 2 0 ) 玎2 = b 2一 吼 b ，鬲 几 ” 一一 = 毋 ，t，、【 浙江大学硕士学位论文 次b z i e r 切线面，其中口= ! ，6 = i 0 ( 4 ) 口：n ( 1 - c - r ) ，6 ：1 - u + o u ，盯1 ，p 1 p 一1 d 一1 这时，由( 2 7 ) 式得 一善舰= 警 娄跏溉+ 专等产篓批黼 进一步由b 6 z i e r 曲线的升阶公式得 ( p 1 ) 乏：掣( “) ( ( 一一f ) 气既+ f p j 一。) = 月h ”( 1 一盯) 群( ) b 吼+ 掣( “) ( o f ) a 既吼+ c r i a p , 一吼一，) ， 卸一1 = a v o = 尹一1 9 一1 = 凸峨蟊2 0 再由b e r n s t e i n 基函数的线性无关性，得 ( 9 - i ) ( ( n - i ) z 与o , + i a p f i ) = n ( 1 一a ) p , q + ( n i ) a p f q ，+ a i 4 p ，一l q j - 】， i = 0 ，h ；6 舡l = 印。= 鸟p _ 1 口一l = 瓴g 。= 0 整理后得到 ( p 1 ) ( 0 0 参弗+ i z x p ，一1 ) = 0 一f ) ( 只+ l 窖j “一c r p ，吼) + i ( p j 毋一仃a 一1 孽) ， i = 0 ，l ，n 进一步化简得到 第二章可展b 6 z i e r 曲面的设计 ( n - i ) ( ( p 一1 ) 舰一( 只q j + j - - 吼) ) = ( ( p - 1 ) z x p , _ ，- ( p l q i - 仃只一，) ，r 2 2 1 1 i = 0 1 n ， 特别，在上式中取f - 0 ，令n ( p - 1 ) a p o - n ( p 。q 。一口n 窖0 ) = 0 ，则得到 ( p 一1 ) 凸野一( b + l q f + 1 一仃b 吼) = 0 ，i = o ，1 ，r l 一1 ； 或 吼+ 】= 只+ p ( p j + l a ) + 盯( 吼一只) ， i = o ，1 ，n - l ； ( 2 2 2 ) 这就得出a u m a n n 【a u m 0 3 q b 的可展b 6 z i e r 切线面表达式图2 7 展示了2 张不同 的3 1 次b 6 z i e r 切线面 p = 0 9 ，盯= 1 1 p = 3 盯= 1 1 图2 73 1 次b 6 z i e r 切线面 2 4 满足插值条件的可展b 6 z i e r 曲面的构造 给定直线，0 与i i ，4 个空间型值点b ，马，d 2 ，9 3 ，其中点d o ，d i 在直f 2 1 0 & ，点 嘎，马在直线上，要求可展b 6 z i e r 曲面( 2 3 ) 满足 r ( 0 ，t o ，r ( 1 ，v ) ，v v 0 ，l 】， 或者满足 r ( 0 ，o ) = d o ，r ( 0 ，1 ) = b ，r 0 ，0 ) = d 2 ，r ( 1 ，1 ) = d 3 浙江大学硕士学位论文 我们首先可以选择b d z i e r 曲线口 ) ，g ( ”) 的控制顶点 p o = 峨，吼= d i ，以= 皿， 剩下的问题是选择控制顶点q 。，或者吼= 9 3 下面分几种情况进行讨论 ( 1 ) 当直线f 0 时，把b d z i e r 曲面( 2 3 ) 设计成一张柱面这只要使曲线口( “) 的控制顶点吼，七= 1 2 n - l ；满p k q k | l 毛l l , k = 1 2 埘一1 ；即可 ( 2 ) 当直线厶与相交于点r 时，把b d z i e r 曲面( 2 3 ) 设计成一张锥面方法是 在直线上选取点吼，使得吼-