（基础数学专业论文）混合体的不等式与极值问题.pdf

摘要 本文隶属于l p b r u n n m i n k o w s k i 理论( 又称为b r u n n m i n k o w s k i f i r e y 理论) 领域，该领域是近1 0 年来在国际上发展非常迅速的一个几 何学分支本文主要利用l p - - b r u n n - - m i n w k o k s i 理论的基本概念、基本 知识和积分变换方法，研究五p 一空间中凸体几何的理论、几何体的度 量不等式和极值间题一方面，我们对新几何体厶。k 和混合质心体的 体积、均质积分构成的度量不等式和极值问题进行研究另一方面， 对两个单形的k 维子单形的体积的k n 型不等式进行了研究 第一章介绍了凸体几何的发展历史和主要研究方向的发展概况 第二章通过利用b r u n n m i n k o w s k i f i r e y 混合体积及对偶混 合体积理论，研究了新几何体厶，；k 的性质，并建立了却一径向线性 组合的新几何体厶；k 的对偶均质积分的b r u n n m i n k o w s k i 型不等 式及其隔离形式，另外又建立了关于新几何体体积的两个单调不等 式 第三章通过利用b r u n n m i n k o w s k i f i r e y 混合体积及混合体 积理论，研究了混合质心体r 嘶k 的性质，并建立了却一径向线性组 合的混合质心体r p k 的均质积分的b r u n n m i n k o w s k i 型不等式， 另外又建立了关于混合质心体的体积不等式 第四章给出了驴空间中几个新的关于两个单形和它们的k 维子单 形的体积的k 一佗型不等式，推广了著名的n e u b e r g - p e d o e 不等式 关键词：星体；凸体；混合体积；n 一维单形；对偶混合体积 a b s t r a c t t l l i sa r t i c l eb e l o n gt ot h ed o m a i n , i sah i g h - s p e e dd e v e l o p i n gg e o m e t r y b r a n c ho nt h ed e c a d eo fl a t e ，o ft h el p b r u n n m i n k o w s k it h e o r y ( o r c a l l e db r u n n m i n k o w s k i f i r e yt h e o r y ) o u rm a i nw o r k sa j ：et or e s e a r c h t h et h e o r i e so fc o n v e xb o d i e s , s o m ei n e q u a l i t i e sa n de x t r e m u mp r o p e r t i e so f g e o m e t r yb o d i e sb ya p p l y i n gt h eb a s i cn o t i o n s , b a s i ct h e o r i e sa n di n t e g r a l t r a n s f o r m so ft h el p b r u n n m i n k o w s k it h e o r y i nt h ef i r s ta s p e c t ，w e r e s e a r c ht h ei n e q u a l i t i e sa n de x t r e m u mp r o p e r t i e so fs o m eg e o m e t r yb o d i e s c o n t a i n i n gt h en e wg e o m e t r yb o d yi p 尽a n dm i x e dc e n t r o i db o d y t h eo t h e r p a r t s ，t h en e u b e r g - p e d o ei n e q u a l i t yo ft w ot r i a n g l e sf o rk - d i m e n s i o n sa r er e - s e a r c h e d a st h ei n t r o d u c t i o n s ，i nc h a p t e r r e s e a r c hd i r e c t i o n so fc o n v e xg e o m e t r y 1 ，t h ed e v e l o p m e n ts u r v e ya n dm a i n a r ep r e s e n t e di nt h ep r e f a c e i nc h a p t e r2 ，b yu s i n gb r u n n - m i n k o w s k i - f i r e ym i x e dv o l u m et h e o r ya n d d u a lm i x e dv o l u m et h e o r y , a s s o c i a t e dw i t ht h en e wg e o m e t r i cb o d ya n dd u a l m i x e dv o l u m e ，s o m ed u a lb r u n n - m i n k o w s k ii n e q u a l i t i e sa n dt h e i ri s o l a t ef o r m s a r ee s t a b l i s h e df o rt h en e wg e o m e t r i cb o d ya b o u tl pr a d i a ll i n e a rc o m b i n a - t i o n i na d d i t i o n ，t h em o n o t o n ei n e q u a l i t e sf o rv o l u m eo ft h en e wg e o m e t r i c b o d ya r eo b t a i n e d i nc h a p t e r3 ，b yu s i n gb r u n n - m i n k o w s k i - f i r e ym i x e dv o l u m et h e o r y a n dd u a lm i x e dv o l u m et h e o r y , a s s o c i a t e dw i t ht h em i x e de e n t r o i db o d ya n d d u a lm i x e dv o l u m e ，s o m eb r u n n - m i n k o w s k ii n e q u a l i t i e sa r ee s t a b l i s h e df o rt h e m i x e dc e n t r o i db o d ya b o u tl pr a d i a ll i n e a rc o m b i n a t i o n i na d d i t i o n t h ei n - e q u a l i t e sf o rv o l u m eo ft h em i x e dc e n t r o i db o d ya r eo b t a i n e d i nt h el a s tc h a p t e r ，8 0 m eg e o m e t r i ci n e q u a l i t i e sf o rt h ev o l u m e so ft w o n s i m p l e x e sa n dt h e i rk - s u b s i m p l e x e sa r ee s t a b l i s h e d t h er e s u l t sa l eg e n - e r a l i z a t i o nt os e v e r a ld i m e n s i o n so ft h ew e l l - k n o w nn e u b e r g - p e d o ei n e q u a l i t y o ft w ot r i a n g l e s i i k e yw o r d s ：s t a rb o d i e s ；c o n v e xb o d i e s ；m i x e dv o l u m e s ；n - s i m p l e x ；d u a lm i x e d v o l u m e s i i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：穆硌订 砂年r 月? 1 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密 ( 请在以上相应方框内打 ”) 作者签名：铷衍力z p 年f 月弓f 日 导师答名：巷l 3 影别年f 日 混合体的不等式与极值问题 1 绪论 凸体几何起源于1 9 世纪下半叶，h b r u n n 和h m i n k o w s k i 是两位杰 出的奠基者2 0 世纪3 0 年代，前苏联著名数学家a d a l e k a s n d r o v 以及t b o n n e s e n 和w f e n c h e l 弓 进凸体的混合表面积测度，使得凸体几何成为 一个独立的数学分支2 0 世纪7 0 年代，p e t t y 发现了各种各样新的等周 不等式，其中不少结果在许多领域有着广泛的应用2 0 世纪5 0 年代， 以j e n a b o u x g a i n 和v i t a l i m i l m a n 为代表的几何分析学派，用现代泛函分 析为工具研究凸体的度量性质，取得了突破性的进展，使得一些经 典的凸体几何难题得以解决，也使得对凸体理论的研究空前繁荣，成 为现代数学重要的主流方向之一，b u o g r a i n 也因此而得至l j f i e l d s 奖进 入2 0 世纪9 0 年代后，凸体几何的研究领域迅速扩大，研究对象从凸 体扩大到星体1 9 9 6 年b e r k e l y 数学科研所( m s m ) 将几何分析列为一个 半年项目( ah a l f - y e o xp r g o r a m ) ，项目结束后出版了两本书：c o n v e xg e - o m e t r i ca n a l y s i s ”和”f l a v o r so fg e o m e t r y ，这两本书，特别是后者列举了 大量关于凸体的等周极值间题的研究结果，其引言中指出这种研究 将是近期数学研究的一个十分重要的方面 凸体几何是以凸体或星体为主要研究对象的现代几何学的一个 重要分支，它是以微分几何、泛函分析、偏微分方程、点集拓扑为基 础的现代几何学凸体几何可分为组合理论和度量理论，组合理论主 要研究几何体的组合关系，讨论它们的面数、顶点数、棱数等的数 量关系度量理论主要研究几何体的度量性质，如几何体的构形、体 积、表面积、宽度、角度、投影等，其中最富有吸引力的是形形色色 的应用广泛的等周不等式 凸体几何的度量理论与其它经典的数学分支紧密联系，相互交 叉渗透，既有严密的理论基础有具有广泛的应用前景，下面对凸体 几何的度量理论中的一些主要的研究方向做一个概述 ( 1 ) 经典b r u n n m i n k o s k i 理论 经典b r u n n - m i n k o w s k i 理论起源于1 8 8 7 年h e r m a x mb r u n n 的论文和h e r - 硕士学位论文 m a n nm i n k o w s k i 开创性工作的实质部分，1 9 3 4 年b o n n e s e n 和f e n c h e l 的著 名论著收集了已经出版的结果，r s c h n e i d e r 的专著是部最近出版 的极其优秀的参考书经典b r m i n - m n i k o w s k i 理论是e u c l i d e a n 空间中向 量的m n i k o w s k i 线性组合和体积结合的产物，其精髓是混合体积的记 号和基本的b r u n n - m i n k o w s k i 不等式混合体积的记号由于满足一系列 不等式，被广泛用于解决极值问题局部意义下的混合体积可产生混 合面积测度，均值积分、m i n k o w s k i 函数、表面积测度、曲率测度都是 混合体积和混合面积测度的特殊情形，它们与微分几何及积分几何 密切相关b r u n n - m i n k o w s k i 不等式被认为是经典b r u n n - m i n k o w s k i 理论 的基石，是征服各类涉及体积、表面积、宽度等度量关系难题的漂亮 和强有力的工具b r u n n - m n i k o w s k i 不等式的积分形式常被称为p r d k o p a - l e i n d l e r 不等式一h s l d e r 不等式的逆形式，在b r a s c a m p 和l i e b 的巨大努力 下，b r u n n - m i n k o w s k i 不等式又可看成卷积范数的y o u n g 不等式的加强 形式的特殊情形，a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式是b r u n n - m n i k o w s k i 不等式 的一种最强的形式，它与代数几何紧密联系，k h o v a n s k i i 和t e i s s i e r ：独 立地令人惊讶地发现了a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式可与代数几何中的h _ o d g e 指 标定理相联系，b o r e l l 容积不等式也包含在b r u n n - m i n k o w s k i 不 等式之中，它被用来解决容积的m i n k o e s k i 问题，m i l m a n 的逆向b r u n n - m i n k o w s k i 不等式是在b a n a c h 空间局部理论中的特写形式，g a r d n e r 和g m o c h i 的b r u n n o m i n k o w s k i 不等式的离散形式与涉及离散等周不等式的 离散数学、组合理论和图论联系密切以b r u n n - m i n k o w s k i 不等式为中 心，环抱着一系列与之有关的仿射等周不等式，如p e t t y 投影不等式 和z h a n g 的仿射s o b o l e v 等周不等式b r u n n - m i n k o w s k i 不等式在球面、双 曲空间、m i n k o w s k i 空间、g u a s s 空间也有着不同的版本 经典对偶b r u n n m i n k o w s k i 理论也可归为经典b r u n n - m i n k o w s k i 理论， 自1 9 7 5 年著名数学家l u t w a k 弓 x 星体的对偶混合体积( 【5 0 】) 的概念以 来，便开创了经典对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论，它与由m i n k o w s k i 、b l a s c h k - e 、a l e k s a n d r o v 等开创的经典的凸体理论有着惊人的相似，其基本想法 是“星体对应“凸体”、“m i n k o w s k i 和”对应“m i n k o w s k i 径向和”、“混 合体积 对应“对偶混合体积”、“支撑函数 对应“径向函数 、“投 影体”对应“截面体 值得一提的是p r g o o d e y e l g r i n b e r g ，h g r - o e m e r ，p m g r u b e r 等也在该领域作出了重要贡献2 0 世纪8 0 年代，该 2 混合体的不等式与极值问题 理论空前繁荣，并解决了一系列长期未能取得进展的重要课题【4 5 4 9 】 ( 2 ) l p b 加玎i 】m i n k o w s k i 理论( 又称为b r u n n - m i n k o w s k i - p r i e y 理论) l p - b r u n n - m i n k o w s k i 理论起源于f i r e y 于1 9 6 2 年定义的凸体的f - i r e yl p - 组合( 又称为f i e r y 线性组合) ，该理论的建立归功于著名数学家e ，l u t w a k 1 9 9 3 年，l u t w a k 在中把凸体的f i e r yl p - 组合引入到经典的b r u n n - m i n k o w s k i 理论，提出了l p 混合体积、l p - 混合均质积分、l p - 表面积测 度和l p - 混合表面积测度等概念，并建立了相应的积分表达式从而把 经典的b r u n n - m i n k o w s k i 理论推广至l j l p - 空间中进行研究随后，l u t w k a 于 1 9 9 6 年在中又把f i r e y 于1 9 6 1 年定义的l p - 调和径向组合引入到经典对 偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论，提出tl p - 对偶混合体积、l p - 仿射表面积、l p - 几何表面积、l p - 曲率映象等概念，不仅更加丰富了娇l p - b r u n n - m i n k o w - s l 【i 理论，而且也标志着对偶l p - b r u n n - m i n k o w s k i 理论的形成在该理论 研究领域，国际上异常活跃的领军人物当数el u t w a k ，d y a n g ，g y z h - a n g ( 华裔数学家张高勇教授) 及r j g a r d n e r 等著名数学家，他们先后引 入- j l p - 质心体( 【9 】) 、l p - 投影体( 【8 】) 、新椭球( 【5 2 】) 、l p - j o h n 椭球( 【3 2 】) 、l p - 截面体( 【5 1 】) 、l p - 带体( 5 4 】) 等概念，并系统地研究- j l p - s o b o l e v 不等 式( 5 3 1 ) 、l p - 仿射等周不等式( 【8 】) 、l p - m i n k o w s k i h - j 题( 【5 4 】) 、l p - 子空间 中的体积不等式( 【5 5 】) 等问题特别令人惊讶的是新椭球的概念被应用 到信息科学中。此外，还有众多数学家也在该领域作出了突出贡献最 近1 0 多年来，l p - b r u n n - m i n k o w s k i 理论得到飞速发展，已成为当今国际 上几何分析的热点研究领域之一 下面简述本文的主要工作 ( 1 ) 新几何体厶，。k 的对偶均质积分的b r u n n m i n k o w s k i 不等式及 其隔离形式 朱先阳在文【4 】中给出了l p 一截面体的b r u n n m i n k o w s k i 形不等式 如下： 定理a 设k ，厶蟠，压一1 , i n 或几 i n p 则 藏( ( k 干n 呻三) ) 告氟( 易k ) 丧+ 谚( 厶l ) 忐 等号成立当且仅当k 与l 互相膨胀 本文结合l p 一径向线性组合以及定理a 得到了下面的定理及其隔 3 硕士学位论文 离形式： 定理1 设k ，厶缩，p 一1 , i n 或n i n p 则 厩( 厶，；( k 千n p 一；三) ) 忐藏( 易，。k ) 忐+ 说( ；l ) 忐 等号成立当且仅当k 与l 互相膨胀 定n 2设k ，l e 妒子，c e e o ，1 】，p 一1 , i n 或n i n p 贝u 谚( 易，i ( 千n p i l ) ) 忐藏( z p ，；( 及k 干n p 一；( 1 一q ) l ) ) 吉 + 弼( 易，i ( ( 1 一a ) 干n p _ i 口己) ) 忐 藏( ，；k ) 者+ 氟( ，；三) 熹 等号成立当且仅当k 与三互相膨胀 在定理1 和定理2 中取i = 0 可以分别得到却一径向线性组合 的却一相交体的b r u n n m i n k o w s k i 型不等式及其隔离形式即：下 文中的推论1 和推论2 另外又给出了新几何体体积的两个单调不等式： 定t 1 3 设k ，l e m o n , p 一1 , i n 或n i n p ，若对任意的q ( 徭 都有弼，。( k ，q ) 厩，；( l ，q ) ，那么 y ( 厶，t k ) y ( 厶i l ) 等号成立当且仅当k 与l 互相膨胀 定理4 设k ，l e t o s , p 一1 , i n 或n i 1 且o i 佗，则 v ( k x r n p - i l ) w i ( r p ，i ( k - t - n p l ) ) 忐y ( k ) 眦( r p ，f k ) 彘+ y ( l ) ( l ，l l ) 彘 等号成立当且仅当k 与l 互相膨胀 接着又给出了混合质心体的一个体积不等式。即下面的定理6 ： 定理6 设k ，l e 缩印1h o _ i 礼，若任意g 馆都有 - p ， ( k ，q ) 塑 y ( l ，正) 二v ( l ) 等号成立当且仅当k 与三互相膨胀。 ( 此结果已向数学与物理学报投稿) ( 3 ) k n - 犁n e u b e r g - p e d o e 不等式的推广 设a 1 a 2 a 3 与a b l 岛岛的边长分别是a 1 ，o 2 ，a 3 与b 1 ，5 2 ，b 3 ，面积分别 是与7 ，则著名的n e u b e r g - p e d o e 1 6 不等式是 n ；( 啄一2 6 ；) 1 6 a a ， i = 1 j = l 等号成立当且仅当a 1 a 2 a 3 一a b 。b 2 岛 1 9 8 1 年，杨路与张景中【1 7 1 首先将其推广到高维空间中的两个单 形其后，文 i s ，1 9 1 对两个高维单形的棱长与体积推广了该不等式1 9 9 7 年， 文f 2 0 】对两个高维单形的侧面积与体积对不等式作了推广 最近，文 2 1 1 灵t n 维单形和k 维子单形的体积给出n e u b e r g p e d o e 的 一个推广本文将作进一步推广，具体见第四章 ( 此结果已在湖南师范大学自然科学学报发表) 5 混合体的不等式与极值问题 2 1 引言 2 新几何体，t k 的不等式 在n 维欧氏空间舒中，一个紧的星形( 关于原点) l 的径向函 数定义为p ( l ，u ) = m a x a 0 ：a u e l ，u e s n ，其中酽一1 表示舻中的 单位球面当p l 是正的连续函数时，称l 是个星体( 关于原点) 设 矿是n 维欧式空间舻中的星体的集合，嫡表示包含原点为内点的 星体的集合我们记( 1 逛礼) 为形中的i 维l e b e s g u e 测度通常将 k ，k 一。简记为y 和口。l u t w a k 在文献【1 】中引入了一个与星体l 相 关的截面体，l 的概念，它在方向u e s n 一1 上的径向函数等于星体三 与垂直方向u 的超平面上相切而成的一个n 一1 维体的体积，即， 对每一个u e s n 一1 ， 1 ， p ( i l , u ) = u ( l n u 上) 。南z m 上疗1 ( ) 如 ( 2 1 1 ) 由b u s e m a n n 定理( 见文献f 2 1 定理8 1 1 0 ) 可知，如果三是一个关于 原点对称的凸体，那么截面体，三也是凸体 在文献【3 】3 中，g a r d n e r 和g i a n n o p o u l o s 给出了一个定义，而在文 献【4 】中，朱又重写了一个定义，即如果k 是一个星体，且非零的实 数p 1 ( 5 0 0 ) ，那么却相交体昂k 由径向函数定义如下：对任意的 u e s n 一1 ， 1， p ( i p k , u ) p 5 丽圭西z 。一。i u 叫p p 茧p ( 钉) 咖 ( 2 工2 ) 其中u 移表示u 和u 的标准内积 在此基础上，我们定义一个新几何体厶，；k 如下； 设k e 缩, p 1 o ) ，i n p 则新几何体， k 的径向函数是 ， p ( i p , i k , u ) p 一( nl - p ) j s 州1 4 v i 呻窿p ( u ) 如u e s n - 1 ( 2 l 3 ) 关于上述定义的重写，还有其它的例子，也可参考文献【5 - 1 1 本文结合却一径向线性组合的概念，得到了新几何体的对偶均 7 硕士学位论文 质积分的b r u n n m i n k o w s k i 不等式及其隔离形式，即下面的定理1 和定理2 ： 定理1 设k ，l e 0 3 ，p 一1 , i n 或n i n p 则 氟( 厶，n 中l l ) ) 忐砺( 易，+ 识( ，；l ) 州2 - - , ( k - t -i k ) - g - i - tm ( 厶，n p - l l ) ) 志瞰( 易，+ 比( ，t l ) 州 等号成立当且仅当k 与l 互相膨胀 定理2 设k ，厶缩，q e 【o ，1 】一1 , i n 或佗 i n p 则 诱( i n ，i ( k 干n p i l ) ) 忐识( ，t ( 口k 干n - p i ( 1 一q ) l ) ) 者 + 厩( 厶，i ( ( 1 一口) k 干n p i q l ) ) 南 藏( 易，t k ) 忐+ 识( 厶，i l ) 忐 等号成立当且仅当k 与l 互相膨胀 在定理1 和定理2 中取i = 0 可以分别得到却一径向线性组合 的l p 一相交体的b r u n n m i n k o w s k i 型不等式及其隔离形式即：下 文中的推论1 和推论2 另外又给出了新几何体体积的两个单调不等式： 定理3 设k ，l e 妒 d ，匹一1 , i n 或n i n p ，若对任意的q e 缩 都有霹，；( k ，q ) 厩，；( 厶q ) ，那么 y ( 易j k ) y ( 易，i l ) 等号成立当且仅当髟与l 互相膨胀 定理4 设k ，l e 妒 d ，p 一1 , i 孔或n 0 ，p 1 和实数 知，k ，l 的却一对偶混合均质积分可注p ，；( k ，l ) 定义为： 等 - ( 删= 霈竖生华 ( 2 2 3 ) 在上式中取i = 0 ，并利用( 2 2 3 ) ，易知定义( 2 2 3 ) 恰好是却一对 偶混合体积的定义，即 - p ，o ( k ，l ) = 记p ( k ，己) 迸一步地，文【1 4 】建立了l p 一对偶混合均质积分的积分表达式 为：如果k ，五e 馏，p l 和实数i 扎则有 肌( kl ) 2 麦lp 妒叫( u ) p 热) d s ( 仳) ( 2 2 4 ) 由( 2 2 4 ) 直接可得 肌( k ，k ) = 暇( k ) ( 2 2 5 ) 9 硕士学位论文 关于却一对偶混合均质积分的m i n k o w d k i 不等式可表示为( 见 【1 3 】) ，如果k ，厶徭，佗1 和任意实数i ，则对i n + p ，有 - p ，t ( k ，三) 州藏( k ) 竹协藏( 三) 一，( 2 2 6 ) 对n i 0 ，k ，l e 馆，及a ，p o ( 不全为o ) ，则却一径向线性组合 入k 干p 卢厶佑的径向函数是： p ( 入k 干舻l ，p = x p ( k ，尸+ p p ( l ，) p( 2 2 7 ) 如果k , l c 缩，当p 1 ，关于k 和l 的l p 一对偶混合体积 记p ( k ，三) 定义为( 见【1 3 】) ： 与删= 刚l i m + 坠望竽塑 ( 2 2 8 ) 同时由这个定义和体积的极坐标公式可以得到却一对偶混合体 积讧p ( k ，l ) 有下面的积分表达式：( 见【1 3 】) v _ p ( k ，l ) = 熹厶一。p 妒( u ) 矿( 让) m ) ( 2 2 9 ) 其中d ( 钍) 表示铲一l 上的l e b e s g u e 测度，同时，明显地，对所有 的p 1 ，有 ( k ，k ) = v ( k )( 2 2 1 0 ) 当然，与却一对偶混合体积证p ( k ，l ) 相联系的，是称为却一 m i n k o w s k i 的不等式( 见【1 3 】) ：如果kl 筛，且p 1 则 证p ( kl ) y ( k ) 警y ( l ) 寻 ( 2 2 1 1 ) 等号成立当且仅当k 与l 互相膨胀 1 0 混合体的不等式与极值问题 2 3 主要结论 式 2 3 1 关于新几何体的对偶均质积分的b r u n n m i n k o w s k i 不等 为了证明定理1 和定理2 ，我们需要以下几个引理： 引理1 ( 见【1 3 】)设k ，l 瑞，当p 一1 ，则对所有的q e 佑， 瓯；( k ，q ) = 霹，；( l ，q ) ，弼，；( q ，k ) = 厩，t ( q ，l ) 成立当且仅当k = l 弓l 理2设k ，l 妒子，p 一1 , i n 或n i n p ，贝0 弼，；( k ，易l ) = 5 ( l ，易，；k ) 证利用却一对偶混合均质积分的积分定义( 2 2 4 ) ，新几何体的 定义( 2 1 1 ) 及f u b i n i 定理，有 弼，t ( k ，易l ) = 去厶一。东p 一( u ) 噍l ( u ) d u = 丧b 。一- 甫p ( 让) 南兄。一- i 让。口l 呻疗p ( v ) d v d u = 元1 厶一tp 沪lp ( t ，) 南儿州i u 。v l - p e 川( u ) d u d v = 击厶一- p 2 _ p ( ) 或，；k ( v ) d v = k ( 厶，i k ) 即得证 引理3 设k ，l 缩护一1 , i 佗或n i n p ，则对任意的 u e s n ，有 吃鼢k 干。十渺l ) ( u ) = 入噍，。k ( 札) + p 噍。l ( u ) 1 1 硕士学位论文 证利用新几何体的定义( 2 1 1 ) 及却一径向线性组合( 2 2 7 ) 有 吃舡k k 缈l ) ( u ) = 南，护帅i p n - - 一p - - i 一渺l ( u ) d u = 志，舒一。帅l - p ( 入j d p 一( 钍) + p 疗州( ) ) 砒 = 高f 舒一。卜v l p 窿p 。( 乱) 砒+ 南，驴一。i u v l p 疗p ( u ) d u = 入吃。k ( u ) + p 吃，。l ( u ) 下面我们来证明定理1 定理1 的证明 先证i 0 ，利用却一对偶混合体积的概念，对任意的g 馏，我们有 再由引理2 得 k ( q ，i k ) = k ( q ，a 厶，i l ) = ”k ( q ，易，i l ) w ，t ( k ，厶q ) = 入p 1 ，t ( l ，q ) = w ；，i ( 入争l ，易q ) n p t 又由引理1 可知k ：入! 雩厶即k 与l 中一个是另一个的伸缩 同样地可以证明当n i 0 ) 成立。再利用却一径向线性和( 2 2 7 ) ，对u e s n 一，就有 q p 芽p ( 钍) + ( 1 一n ) p z _ p 一( 心) = c 【( 1 一口) j d 芽p - ( 让) + q 疗p _ ( u ) 】 即 ( a + c o t c ) p z p - ( 让) = ( c 口+ q 一1 ) p z - p 一( u ) 1 4 混合体的不等式与极值问题 所以，m 与互为膨胀当且仅当k 与l 是互为膨胀的于是就证明 了左边不等式 接着又由定理1 可知 藏( i p ，i m ) 忐藏( ，。q k ) 忐+ 藏( ，i ( 1 一a ) l ) 击 = q 藏( 易乒k ) 忐+ ( 1 一) 玩( 易，i l ) - 4 n - t 氟( 易，；) 忐玩( 易， ( 1 一n ) k ) 忐+ 藏( 易，；q l ) 彘 = ( 1 一口) 厩( ， k ) 忐+ q 厩( 易，。三) 点 所以 藏( 易m ) 吉+ 砺( 易，i ) 老识( 易，t k ) 老+ 藏( 如， 三) 忐 显然等号成立当且仅当k 与l 是互为膨胀的贝i j 证明了右边不 等式故定理2 得证 当i ：0 时，可以得到推论2 ： 推论2 设k ，l e 妒孑，q e 【o ，1 】，p 一1 则 v ( i p ( k 罩n p l ) ) 罟y ( 厶( q k 干n p ( 1 一a ) 三) ) 罟+ v ( i p ( ( 1 一q ) 2 r 军n p 口l ) ) 罟 y ( 厶k ) 罟+ v ( i p l ) 罴 等号成立当且仅当k 与l 互相膨胀 2 3 2 关于新几何体体积的两个单调不等式 这一节将研究关于新几何体体积的单调性不等式，即完成定理3 和定理4 的证明 定理3 的证明： 因为k ，l e 馏，且对p 一1 和任意的q e 熠有 ，t ( kq ) ，t ( 厶q ) 1 5 硕士学位论文 根据引理1 知，上式等号成立当且仅当k = l 为此，对任意的m e 妒吕， 在上式中去q = 易m ，则有 于是，联系引理2 ，有 v ，i ( k ，i p m ) v ( i p l ) 等号成立当且仅当k 与l 互相膨胀 定理4 的证明： 因为k ，厶缩，p 一1 ，当易j l c i p ， k 时，任意的q e 佑有 k ( q ，j 厶) k ( q ，易， k ) 等号成立当且仅当，；l = 厶，。k ，即k = l 时 1 6 ( ) 混合体的不等式与极值问题 于是，联系引理2 ，有 v ，l ( 厶易q ) v ，t ( k ，i p q ) 为此对任意的q e 佑，令q = l ，并利用( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 可得 比( l ) ，t ( kl ) 砺( k ) 等玩( 己) 彘 由( 2 2 6 ) 中等号成立的条件可知，上式等号成立当且仅当k 与l 互 为膨胀整理得 职( 三) 彤( k ) 综上所述，可知厩( l ) 厩( k ) 中等号成立当且仅当k 与l 互为膨 胀 当i = 0 时，可以得到推论4 ： 推论4 设k ，l e c p 孑, p 一1 ，如果i p l c i p k ，那么 y ( 三) y ( k ) 等号成立当且仅当k 与l 互相膨胀其中l e i p q ，v q