（基础数学专业论文）含非齐次项的椭圆边值问题的多解性.pdf

含非齐次项的椭圆偏微分方程的多解问题摘要 摘要 本文考虑下面含非齐次项和临界指数项的半线性椭圆边值问题( 方程) ： f 一t 正+ o ( z ) t i = i t i l 2 一2 t + 口危( z ) ，z r ， ( 局) 【u d 1 , 2 ( a n ) ， 其中，n 3 ，2 。= 鹊为s o b o l e v 临界指数，d 1 ，2 ( r ) 是肾( r ) 关于范数i i 0 = ( 止f v u l 2 如) 1 2 的完备化空间， 伊 0 是一个参变量，0 8 ( z ) 二譬( r ) n 二( r ) ， 0 0i sap a r a m e t e r ，0so ) l 譬( r ) nl ( r ) ，0 o ，t 嘲( q ) ， 没有解，其中2 。= i 邕为s o b o l e v 临界指数最早获得含临界指数项的半线性椭圆边 值问题的存在解的结果是在1 9 8 3 年由b r e z i s 和n i r e n b e r g 在文献【5 】5 中获得，他们通 过精确估计泛函的p a l a i s - s m a l e 序列的形态并利用山路定理获得了半线性椭圆方程 f 一u = t 2 一1 + y ( x ，u ) ， z q ( 2 ) 【u 0 ，t 嘲( q ) ， 的个( 古典) 解存在性结果1 9 8 4 年，p l l i o n s 1 l 】对于含临界指数项的半线性椭圆 方程给出了系统的研究，并提出了集中紧性原理( c o n c e n t r a t i o n c o m p a c t n e s sp r i n c i p l e ) ， 随后利用集中紧性原理，大量关于含临界指数项的椭圆边值问题的解存在性结果被获 得( 见【3 ，1 7 ，19 】) 我们注意到，当( 2 ) 中的非线性项，关于乱不是奇函数，或者不具 有某种群对称性时，方程对应的泛函不是群不变，因而获得多解的存在性并不是一件 容易的事t a r a n t e l l o 首次在文【1 4 1 中证明了含非齐次项和临界指数项的半线性椭圆 方程 f 一缸= 钍1 2 一2 t + ，( z ) ， z q ( 3 ) i u 础( q ) ， 含非齐次项的椭圆边值问题的多解性 引言 至少存在两个解其证明的主要的思想就是分割n e h a r i 流形a = u 硪( q ) ：( j 7 ( u ) ，缸) = o ) 成三部分，a + ，a 一和a o ，使用e k e l a n d 变分原理得到方程( 3 ) 有个解在a + 中， 另一个解在人一中随后一些含非齐次项和临界指数项的半线性椭圆方程的多解性结 果陆续出现，( 见f 6 ，7 ，1 4 ，9 ，1 0 ，1 7 ，1 5 】x 最近，y o u y a nw a n 和j i a n f uy a n g 【1 6 】获得了含非齐次项和临界指数项的半线性 椭圆方程： f 一u + n ( z ) t 上= , , 2 一1 + ， ) ， z q ( 4 ) 【u 0 ，乱础( q ) ， 在d ( z ) ，f ( x ) 满足适当的条件时四解的存在性结果我们注意到他们前三个解的获得 方法与2 0 0 0 年a d a c h i 和t a n a k a 在1 中考虑无界区域上( 实际上是全空间上) 的含次 临界项的椭圆方程 f 一t 正+ t = o ( z ) 矿+ ， ) ， z r ( 5 ) 【u 0 ，t 上日1 ( r n ) ， 多解性问题时使用的方法是类似的，即第一个解的获得是通过寻求方程对应的泛函在 零点附近的极小值点，第二和第三个解是通过l j u s t e r n i k - s c h n i r e l m a n 范畴得到的 这样，我们很自然地会提出一个问题：能否将文献【1 6 】中在有界区域上研究方程 ( 4 ) 获得的多解性结果推广到无界区域上? 这就是本文研究的主要问题据我们所知， 目前对此问题尚未讨论过实际上，本文将考虑下面含非齐次项和临界指数项的半线 性椭圆边值问题 r 一t + 8 ( z ) u = 心f 2 一2 t + e h ( x ) ，z r ， ( 岛) i u d 1 , 2 ( r ) ， 其中，n 3 ，d 1 , 2 ( r ) 是锚。( r n ) 关于范数”1 l = ( 厶i w l 2 如) m 的完备化空间， 口 0 是一个参变量我们获得的主要结果是 定理1 1 假设0 d ( z ) l - 譬( r n ) nl o o ( r ) ，0 0 使 得当0 9s 矿时，边值问题( 疡) 至少有三个不同的非零弱解u 1 ，p ，t 2 ，口，u 3 夕，并且当 口_ 0 时，u 3 p 一0 2 含非齐次项的椭圆边值问题的多解性 引言 本文的证明方法类似于1 1 】和 1 6 】中使用的方法，但与【l 】和【1 6 】不同的是我们将克 服两个主要方面的困难：一是在验证方程对应泛函的( p s ) 。条件时，由于区域的无界性 以及含临界指数项所带给泛函双重失去紧性的困难；二是在使用l j u s t e r n i k s c h n i r e h n a u 范畴方法时，构造特殊函数同伦等价性的复杂性与技巧性所带来的困难 本文的结构如下： 第一部分是引言，介绍了文章的主要研究结果和背景 第二部分是预备知识，给出了一些基本知识和引理及其证明 第三部分是主要结果的证明 第四部分是结论和问题展望 3 含非齐次项的椭圆偏微分方程的多解问题一 基本概念与引理 第一章基本概念与引理 在整篇文章中，我们用e 表示空间d 1 , 2 ( r ) ，这个空i 司所对应的范数为l = ( 厶”( v 让1 2 ) 嘲1 胆妒( 及) 是9 次方可积函数空间，其范数定义为胁= ( 厶ni 珏尸如) i 1 ， 用一表示e 中的弱收敛，一表示e 中的强收敛和( ，) 表示f 与e 间的配对 记方程( 昂) 对应的泛函为 i d a , ) = 三上i v 缸i 2 妇+ 言上口( z ) 铲如一嘉上2 如一咿上毳缸如 ( 6 ) 引理1 1 ( 见 1 0 ，引理2 1 】)假定0 o ( z ) l 譬( r n ) n l 。( r i v ) ，0 0 ，使得当0 0 1 时，乃的每一个( p s ) 。序列都是有界 的 证明： 假设 ) 是b 的一个( p s ) 。序列，即 ) 满足 如( ) _ c ，乃( ) 一0 ，_ o o ) 、回让明t j 悬侑畀圈争兴i - ，田( ) 一0 ( n 0 0 ) 日j 矧 j ；【j ，) 2o , - , ( 1 ) l l u 1 l , 即得 上i v 1 2 出+ 上口镌如一上l | 2 如一上p 如 = 陋洲2 + j f r na u i d x 一上 | 2 出一f a n 0 h u , t d x = o n ( 1 ) 1 1 1 1 把上式代入( 6 ) 式中厶的表达式得 如c ，= ( 主一去) 忆竹1 1 2 如十( 三一嘉) 上。u ：出 一( 1 去) 上p 危如+ ( ，) l l f 1 5 含非齐次项的椭圆偏微分方程的多解问题一基本概念与引理 又因为b ( ) 一c 一o o ) ，所以存在常数c 1 使得 ( 互1 一期训2 出+ ( 三一去) 厶n 如= ( 一去) 上出怕圳，) 1 1 , 1 , 1 1 由h s l d e r 不等式及p o i n c a r 4 不等式，存在正常数0 1 ，c 2 ，当0 0 1 时， ( 1 一去) 上口h u d x _ 0 使得 ( 互1 一去) i i 酽c 。+ c s l l 乱1 1 所以当0 口1 时， ) 是有界的，即 ) 有界 _ 下面我们记 k ( u ) ：= 三上l v u l 2 如一嘉上i 叫2 出，v 牡d a , 2 ( r ) ( 7 ) f 一“= l 训2 一2 t 上 z r ( 8 ) t 铭砂2 ( r ) 悸 所对应的泛函，类似于引理1 1 中的证明方法我们可得： ( 如( u ) ，妒) = 上v “v i ，o d x + f r n a ( z ) 乱妒如，( 9 ) ( g ( 让) 妒，西= 上l v 妒1 2 如+ 上。( z ) 妒2 出一( 2 * - 1 ) f r i u l 2 - 2 q p 2 如 ( 1 。) 引理1 6 ( 见【2 ，引理2 】) 假定 ) 是k 的一列( p s ) 。序列且满足一0 和唧0 ( 住一o o ) ，则存在有界序列【吼) cr ， z 。) cr ，方程( 8 ) 的一个非平凡解v o ，k 的另 一个( p s ) 。序列 ) ，以及【) 的一个子列( 不妨仍记为 ) 使得 n 一2 ( z ) = ( z ) 一2 如( 冗。0 一) ) + ( 1 ) 注1 3 由引理的证明过程可知， 0 0 实际上是序列( 。) ：= 名( 毒+ z n ) 的弱极 限，即一v o ( n 一) ， 含非齐次项的椭圆偏微分方程的垩竺望竺 二 垩奎竺皇兰! ! 翌 一一 引理1 7 ( 见【2 ，引理3 】) 假设：r 一r x ( k21 ) 满足做竺坚竺兰：兰竺! 型12 k 个 ( p 2 ) ，并且伽的每一个分量在r 中几乎处处收敛于0 以及i i i l l p ( r ) - 护( r ) 有 界，则对于每个固定的t u z 堡：! 兰：兰竺! 垩：2 ，我们有 k 个 厂l a ( + 伽) 一a ( ，h ) 一a ( 伽) i 寺如= 。牡( 1 ) ， ，r n 其中a ( 们= j 彭l p 一2 暂，魄r k 引理1 8 假设 露) 是j o o 的( p s ) 。序列，并且满足z 三一0 和2 矗毋0 一o o ) ，则存在 有界序列( ，1 ) cr ， $ n ，1 ) c 使得当p p l ( 口1 是引理1 5 中的正常数) b e ，我 们有 k ( u 三) = k ( 矗) ， ( 1 1 ) u p 1 ) = o n ( 1 ) ( 1 2 ) 2 一，、 其中，以( 筇) = t ，1 1 ( 南- i - z ) 证明：首先我们证明( 1 1 ) 式事实上从式( 7 ) 柙( 9 ) 我1 i j 侍到 k ( 口：) = 互1 上l v 砖1 2 如一刍上i 堤1 2 如， ( 比i 1 ) ，妒) = 厶v 畦v 妒如一上l u j l 2 + 吨砖妒咖 我们将以的表达式代入( 1 3 ) 式，计算第一个积分， 上i v 郴如= 上i v ( 群蠢( 赤) ) 1 2 如 = 上c 群，2l v ( 砖( 素坳) ) 卜 l = 上c 群) 2l ( l 迹型彘+ x n , 1 ) ) o x ( 1 3 ) ( 1 4 ) 烀 。上蚶l ( 击( 乱，葡1 ( 札。) ( 彘幅，) 1 2 如 7 竽嵫 。r 舀= l f ：亓伏坝日习硼圆倔仅分刀崔日可多解同越 一 基本概念与引理 - 一一一一一一 = 上r - , , j ( v 蠢) ( 意慵- ) j 2 如 = 上n 础i ( v 兹) ( 妙) 1 2 d ( ( 可一。) ) = 上r 玛- n d h n 。l ( v 磊) ( 夕) 1 2 由 = 上i ( v 蠢) 如 下面计算( 1 3 ) 式的第二个积分把壤的表达式代入之有， 上i v ：1 2 d x = 上i 崭露( 者蛳) 卜 = 上崭露( 南蛳) f 鹩如 = z 础j 兹( 毒慷。) j 鹩出 = 上r r l , , 1i 露( 妙) i 鹃d ( ( 妙一却) ) = 上n 蟛- ，n z 飞n ，zi 蠢( 圳鹩匆 = 上) l 鹞出 所以这样就证明了 k ( 钉：) = 互1 上nf v 畦1 2 如一嘉上i 畦1 2 如 = 互1 上l v 露j 2 如一嘉上i 蠢r 如 = k ( 矗) 其次我们证明( 1 2 ) 直接把畦的表达式代入( 1 4 ) 中计算得 上v c 如，v 础= 上v 露( 南+ ) ) v 础 = 上盯2 - n v ( 露( 素) ) v 础 5 上r 三vl 露( 寿托) ) v 础 = 上搿r m - i 川矗) ( 彘氓，) v t ，o d x 2 上r ，im - v ( 矗) ( 赤+ 却) 含非齐次项的椭圆偏微分方程的多解问题 一基本概念与引理 = 上 v ( 之) ( 爹) v ( 妒( 一：) 忍t 1 ) ) d ( 一：) 忍 1 ) = 上。碍, 1j d v l n , ，v ( 拟胛州州秒 = 上礁v v 洲功如 并且 上卅吨砖妒如= 上| 群矗( 南蜘) 1 2 _ 2 群露( 斋) 妒如 = 上l 群露( 素椭) r 2 群- 百。“1 丽x ) 曲 ：上砭芦j 矗( 彘+ 砘，) i 鹩露( 素+ 蛳) 妒如 = 上k 产l 矗( 训鹩_ 2 蠢( 咖( ( y - - x n , 1 ) 取 1 ) d ( ( 耖一- ) ，- ) = z 砭，碟，l 露( 训而2 n 一2 之( 掣) 州舭秒 = 上丽n - 2i 矗( 圳2 一2 矗( 咖，( z ) 如， 其中i ，o l ( x ) = 妒( 一x n , 1 ) 如，1 ) 容易看出 ( u p 砒1 妒) = 。( 列s 糊1 朋) 一( 冗宁一。) ( 上隙蚓2 - 2 露( 咖( z ) 如) ( 1 5 ) ( - ：t h ) ，妒) = r 丢1 ( j 矗l z n ) ，妒1 ) 一( 冗i f 一冗乏1 ) if 1 矗( z ) 1 2 一2 露( z ) 妒1 ( z ) d z ) ( 1 5 ) 当口0 i 时由引理1 5 可知 露) 是有界的则存在正常数c 4 ，c 5 使得 i l 矗0 2 。c 4 i i 矗0 c 5 由此可知1 4 1 2 + 一2 矗在l 晶中是有界的 i z ：l z 一2 艺) 在l 南中有弱收敛子序列， 不妨仍记为 1 4 t 矿- 2 砖) ，从而有 i 蠢1 2 - - 2 露一0 ( n _ o o ) ( 1 6 ) 因为伍南) ：弘，妒l l 矿所以 上l 磊1 2 一2 矗妒- 出= ( 1 ) 含非齐次项的椭圆偏微分方程的多解问题一 基本概念与引理 因为露是j 矗的一列( p s ) 。序列，从而比( 矗) = ( 1 ) 这样由( 1 5 ) 和( 2 9 ) 我们就证 明了( 1 2 ) ，引理证完 i 引理1 9 假设 ) 是而的一列( p s ) 。序列，满足一u o 一0 0 ) 在d 1 ，2 ( r ) 中， 则存在一个正常数8 2 8 1 ( 口1 是引理1 9 中的正常数) ，当口如时，序列【) 满足 下面两个条件中的一个， ( d 一u o ( n o o ) 在d 1 ，2 ( r ) ， ( 询存在k n ，方程( 8 ) 的k 个非平凡解晶，罐罐满足 七 1 1 1 1 2 _ 1 1 让o l l 2 + i i 磊0 2m o o ) j - 1 和 k 如( ) _ 如( 咖) 十k ( 磊) - 啼。o ) j = l 证明： 由假设一铷一) ，我们可得 _ u o 如_ o 。)巩( r ) ，1 p 2 。如_ o 。) 口e i nr 假设条件( 旬不成立，即【) 在e 中不强收敛到u 0 ，那么我们令露= 一u o ， 矗) ce ， 则在e 上有 露一0 露坍0m _ ) 根据【2 ，定理2 】可知 0 矗1 1 2 = i l 一咖0 2 = i i 0 2 一i i 让o l l 2 + o n ( 1 ) ， i z l1 1 2 2 。= i 一咖i ；：= i i ；：一i 坳l ；：+ o n ( 1 ) ， 和 上。( z ) l 1 2 d x = f r n a ) i u o l 2 d x + ( 1 ) 】0 含非齐次项的椭圆偏微分方程的多解问题一基本概念与引理 所以 k ( 矗) = 如( ) 一x 0 ( u o ) + ( 1 ) ( 1 7 ) 根据h s l d e r 不等式及p o i n c a r 6 不等式，存在一个正数6 1 2 0 1 ，当口p 1 时有 下面我们来证明： 日九出= f e h u o d x + c 1 ， ( 1 8 ) ( 圪( 矗) ，妒) = ( 乃( ) ，妒) 一( 为( t 幻) ，访+ o n ( 1 ) ，v 妒e ( 1 9 ) 事实上，由式子( 9 ) 一( 1 0 ) 知道 ( 如sk 1 ) ，妒) = v 露v 础z 一 l 矗j 2 z l o a z j r nj r n ， ( 乃( ) ，妒) = 上nv v 妒如+ 上a 妒出上l | 2 。2 妒如一f o h t ，o 如， (乃)，妒)=厂v如v妒如+上口咖妒如厂122让。妒如一fshjrnj r n j 州z ，r 由引理1 7 有 厂i l 1 2 一2 一i 矗1 2 一2 矗一i u o l 2 * - - 2 让0 l 扫出_ o ( n o 。) j r n 所以 ( 乃( ) ，妒) 一( 乃( 咖) ，妒) = 上v 露v 妒如一上l 露1 2 。- 2 矗妒如+ o n ( 1 ) ， 综上所述 比( 矗) = 乃( ) 一乃( 如) + ( 1 ) 下面再证明乃( ) ，妒) 一( 乃( 咖) ，妒) 一0m _ o o ) 由引理1 5 知道0 0 是有界的，又 由p o i n c a r d 不等式，则存在正数c b ，c 7 使得 l i 1 1 2 c 60 0sc 7 由此可知i t 厶i r - 2 在l 南中是有界的从而 i 1 2 - 2 ) 有弱收敛子列( 仍记为 l 1 2 一2 ) ) ，使得 i 1 2 一l i z 0 1 2 一2 乱om _ 。o ) 含非齐次项的椭圆偏微分方程的多解问题 一基本概念与引理 在工嘉中因为南) ：工2 ，妒l 2 所以， 上i | 2 毛妒出- f r i 如1 2 。2 咖妒如( n _ 。) ， 这样由上面可知比( 砖) = o n ( 1 ) ，所以 以) 是k 的( p s ) 。序列，从而( 1 9 ) 成立 由引理1 6 和1 8 ，存在序列 ，1 ) cr ， ，1 ) cr ，方程( 8 ) 的一个非平凡解霜， 和k 的一列( p s ) 。序列露使得 一n - 2 兹 ) = 矗x ) 一r t 1 匍 i ( 如，l ( x z n ，1 ) ) + o 。( 1 ) 如果我们定义 怕) = 群矗( 赤) ， 和 兹) ：兹= 畦( z ) 一晶( z ) + ( 1 ) 由引理1 8 和评注1 3 得到 这样 也就是说 这也隐含着 最后我们得到 砖一磊m _ o 。) ， k ( 1 ) = k ( 露) ， ( 以) = 0 n ( 1 ) 兹1 1 2 = i f 畦1 1 2 一1 1 4 1 1 2 + ( 1 ) ， 瑶1 1 2 = l i z ：1 1 2 一i i z 3 1 1 2q - ( 1 ) ， 兹| | 2 = 1 1 乱, , 1 1 2 一1 1 如1 1 2 一i l 晶1 1 2 - 1 - d n ( 1 ) k ( 兹) = k ( u 三) 一k ( 碚) + o n ( 1 ) = 乃) 一e ( 钍o ) 一k ( 磊) + ( 1 ) ， 比( 磊) = 圪( 记) 一( z 3 ) + ( 1 ) = ( 1 ) 1 2 含非齐次项的椭圆偏微分方程的多解问题 一基本概念与引理 如果在e 中兹_ 0 ( f , 一1 2 , 0 ) 定理已经证明完成假如 磋) 在e 中不收敛于0 ，那 么应用引理1 6 和1 8 ，则存在序列 r ，2 ) cr ， z 竹，2 ) cr ，方程( 8 ) 的一个非平凡解 碚，和k 的一列( p s ) 。序列磊使得 露( z ) ：兹o ) 一奄芋右( ，： 一z n ，。) ) + ( 1 ) 考虑两个由下面的式子给出序列 ) 和 露) ： 讹) = 诺兹( 竞) ：， 露= 2 ) 一瑶( z ) + d n ( 1 ) 由引理1 8 和注1 3 ，我们有 砖一霜( 礼_ ) ， k ( 口：) = k ( 露) ， 名( ) = o n ( 1 ) 这样 憾j 1 2 = 嗽1 1 2 一i i z 5 1 1 2 - i - ( 1 ) ， 也就是说 i i 露1 1 2 = i i 兹0 2 0 罐1 1 2 - i - o n ( 1 ) ， 这也隐含着 0 壤1 1 2 = 0 2 一i i o l i 2 一i i z 3 1 1 2 一l i 露0 2 + o n ( 1 ) ， 最后我们得到 k ( 露) = k ( 镌) 一k ( 磊) + ( 1 ) = 如) 一乃) 一k ( 霜) + o n ( 1 ) ， 从而 k ( 磊) = k ( 兹) 一k ( 右) + ( 1 ) = 如) 一乃) 一k ( 霜) 一k ( 露) + o n ( 1 ) ， 匕( 臻) = 匕( ) 一( 稆) + ( 1 ) = ( 1 ) 含非齐次项的椭圆偏微分方程的多解问题一基本概念与引理 如果在e 中有臻_ 0 加一o 。) ，则定理证明已经完成否则，重复上面的过程，我 们知道存在k 的( n ) 个非平凡解z 5 ，苟满足 k - 1 i l 露1 1 2 = 1 1 让1 1 2 一1 1 , , o l l 2 一i i 磊l i 2 + ( 1 ) ， ( 2 0 ) j = z 注意到 k - 1 k ( 礞) = 如( ) 一如( 蛳) 一k ( 磊) + o n 0 ) j = l 这样由( 2 0 ) ，( 2 1 ) 我们得到 磊i j 2 s 譬j = 1 ，k ( 2 1 ) 。 。 引理1 1 0 当口充分小时，由下式 口( r ) = i n f i o ( u ) ：u e ，( ( t ) ，t ) = o )( 2 4 ) 定义的口( r ) 是有意义的 1 4 含非齐次项的椭圆偏微分方程的多解问题 一基本概念与引理 让明： 只需让明如( u ) = 匝流彤 u e ：( ( u ) ，u ) = 0 _ 上召卜界事买上，由【u ) ，让) 2 0 知道 i i u i l 2 + 上。i u l 2 如一上i u l 2 如一上np 九诎= 。 把上式代入( 6 ) 式乃的表达式中，由h 6 1 d e r 不等式，p o i n c a z 4 不等式及a ( z ) 0 ， 狮) = 扣1 1 2 + 互1 上小1 2 如一刍上i u l 2 如一上口 司1 1 2 + 汜。i u l 2 如一万1 ( 1 1 t 1 1 2 + 上n 肝i 如一上口九眺) 一上p 眦 = 丙1 忙1 1 2 + n f , , , a l u l 2 如一些2 n ，( p 诎 却u i l 2 一百n + 2 舭l 鹬o u i i 注意到0 充分小时厶非负有下界，证毕 引理1 1 1 假设c ( 一o o ，a ( r ) + 斋s 譬) ( a ( r ) 由( 2 4 ) 给出) ，0 如( 0 2 是引理1 9 中的正常数) ，则如满足( p s ) 。条件，即若 ) 是厶的任意一个( p s ) 。序列，则【) 存在一个强收敛的子列 证明； 取c ( - o o ，口( r ) + 斋s 譬) 因为【u 。) 是乃的( p s ) 。序列，则有 乃( ) _ 0m _ ) ， 乃( ) 一c _ o 。) 当0 0 2 时由引理1 5 知 ) 是有界的，所以存在u o e 以及【) 的一个子列( 不 妨仍记为 ) ) ，使得 一u om 叶o o ) 由引理1 9 的证明可知 ( 乃( ) ，妒) 一( 乃( 咖) ，妒) 一0 一o 。) ，v 妒e ， 即当一u om _ o o ) 时，有 乃( ) _ 乃( 铷) ( 礼一) 】5 含非齐次项的椭圆偏微分方程的多解问题 一基本概念与引理 由极限的唯一性可知乃( 咖) = 0 ，再由q ( r ) 的定义知a ( r ) i e ( u o ) 假若在e 中，一u 0 一。) ，则此引理已经证完否则，由引理1 9 我们知道 方程( 8 ) 存在k ( k 1 ) 个非平凡解碚，露砧满足 k 乃( ) 一如( 如) + k ( 磊) 一o 。) ( 2 5 ) j = t 因为方程( 8 ) 对应的泛函乃满足 k ( 名) 斋s 譬j = 1 ，2 一，k 这样 c ：乃( 锄) + kk ( 磊) q ( r ) + 嘉s 譬2 口( r ) + 丙1s 譬， j = l 这与c 的取法矛盾由此可知在e 中一u o 一o o ) 下面我们将给出l j u s t e r n i k ，s c h n i r e l m a n 范畴的概念以及后面要用到的一些性质 定义1 2 ( 见【8 ，1 2 ) 设必是一个拓扑空间，a 是m 的闭子集，令c a t ( a ) = i n f m z + u + o o ) ：存在m 个可缩闭集f 1 ，f m 使得acu 罂l r ) 其中z + 是非负整数 集，我们称c a t ( a ) 为a 的畴数 引理1 1 2 ( 见【8 ，1 2 】) 设m 是一个拓扑空间，a 、b 是m 的闭子集，则 ( 0c a t ( a ) = 0 甘a = 0 ( i oa cb 号c a t ( a ) c a t ( b ) ( 谢) c a t ( aub ) c a t ( a ) + c a t ( b ) ( ( 仞) ) = 1 , v p m ( 谚设有妒： 0 ，1 】m _ m ，使得妒( o ，) = i d ，妒( 1 ，) = h ，贝4 有t ( a ) c a t c h ( a ) ) ，v 闭 子集a ( 旧a 是m 的一个紧子集，则必有a 的一个闭领域，使得ac m ( ) cn ，使得 c a t ( a ) = c a t ( n ) 】6 含非齐次项的椭圆偏微分方程的多解问题一基本概念与引理 ( 哟若c a t ( a ) = 缈，则a 中至少含有m 个不同的点 ( 说询若a 是紧子集，则c a t ( a ) 0 使得“e ：历( u ) a ( r ) + 斋s 譬一e 谚 证明： 由a ( r ) 的定义，我们可以取a ( r ) 的一列极小化序列 ) ，也就是 乃( ) _ a ( r ) 一o o ) 这样存在伽n ，使得当礼啪时，如( ) 0 ，则对于任意满足一如 0 ( i = 1 ，2 ，) 且g ( 掣) ) s ， 即墨1 ( ) = 1 ( 0 如果弧0 ( i = 1 ，2 ，) ，我们令 已( 分，玑) = 、( 1 一口) 碍+ 嘶， 并定义映射( 口，y ) ：【0 ，1 】xs 一1 一s 一1 为 f ( 伊，y ) = ( 矗( 扩，如) 已( 拶，y 2 ) ，l e v ( 占，) ) ( 2 8 ) 显然：【0 ，l 】xs 一1 _ s 一1 是连续的，且有( o ，y ) = ( ，七2 ，k n ) = g ( f ( s ，) ) ，f ( 1 ，y ) = ( 秒1 ，y 2 y n ) = y ，根据定义1 3 ，即g o f 同伦等价于s 一1 上的恒等映射缸 ( 国如果可的分量中有一个分量小于零，其余非负，不妨假设y a 0 ，扰0 ( 2s ，贝“令ff1(秽，：、乍蕊，。口互1u1)20)k ， ff 1 ( 秽，= 、( 卜 ， o 口互， 【6(p，u1)=一v(2a-1)u,互1yl v ( 2 e 0 1 ，【6 ( p ， = 一 i ， f 洲，犰) =2 0 了，o 口丢， b = 扣- 1 ) 井+ 篙，三 p “ f ( p ，y ) = ( f i ( 8 ，耖1 ) ，已( p ，耽) f ( p ，暑) ) 是连续的，并且f ( o ，y ) = ( k l ，如，h ) = g ( f ( 可) ) ，( 1 ，可) = ( 9 1 ，驰y n ) = 轨郎g o f 同伦等价于s 一1 上的恒等映射池 对于可的分量中有多个分量小于零的情形，我们可以类似于( 国中的讨论证毕 - 定理1 1 的证明： 第一步；我们证明( 马) 存在两个不同的弱解 t , 1 , 0 和忱0 事实上，由引理1 1 7 ，引理1 1 1 ，引理1 1 3 ，引理1 1 4 ，引理1 1 5 和引理1 1 6 可知，当 0 0 ，以及妒的任意 性，我们有丘o h - o d x 0 因此i t , 0 我们已经证明了边值问题局至少存在两个非 第二步：我们证明( 马) 还存在第三个弱解i t 3 , 一 事实上，利用h 5 1 d e r 不等式和p o i n c a r d 不等式，再根据引理1 1 ，我们知道 ( 岩( 锃) 红妒) = 删i 2 + 8 ( z ) 妒2 如一( 2 一1 ) 缸i 2 - - 2 矿出 0 妒1 1 2 一( 2 + 一1 ) i u l 2 - 2 1 0 2 d x i i 妒1 1 2 - ( 2 一。，趁ni u 产d o 争( ol 妒p 。d o 暑( 2 9 ) 划训2 - 1 ) ( 上n 旷司铲( 厶俨如) 寺 (1一(一1)s一譬iwill 2 2 。一2 ) i | 妒怦( 一( 。一 一专 2 一2 ) 0 妒0 2 一幽 ( 2 1 ) 一 - 南一勖川叫| ，j 刚j ) ， 其中，e o 是充分小的正数由( 2 9 ) 知乃在闭球s = uee ：i m i r ) 上是严格凸的 由引理1 2 ，引理1 3 和注1 2 ，可知存在t 3 ，p 研，使得如( 乱3 ，p ) = i 蜓如( u ) t o r 下面证明缸3 ，口是乃( u ) 个临界点事实上，当i = r 时，注意到s o b o l e v 嵌入最 佳常数s 的定义( 见( 2 3 ) ) ，再利用h s l d e r 不等式及p o i n c a x d 不等式：我们有 狮目训2 ：也出咖一扎川2 讧j f o h 诎 ( 3 0 ) j l r 2 一嘉s g - r 2 - e s 州圳器 一 由r ( 2 + 一1 ) s 一萼 一壶一印 o 显然b ( o ) = o ，这就说明泛 函如在闭球s 上的最小值点不可能在边界上，也就是说其最小值点只可能在开球 b ，= 【u e ：i ，) 内部t 1 3 ，pe 耳取到，即 如( u 3 ，口) 2 。i n f ，厶( 让) 5i i 。i n i i f ，如( u ) 由引理1 4 可知， t 3 口是乃的一个临界点，从而为边值问题( 局) 的一个弱解取 0 ：= m i n e 2 ，蚀) ，那么当p 0 + 时，我们获得了边值问题( 局) 的三个弱解t 1 ，口，u 2 ，p 和 u 3 ，0 因为0 u 3 ，一l l rsm i n 删u 1 ，e l l ，i i u 2 ，0 1 1 我们可知( 马) 的弱解u 1 ，0 ，u 2 ，8 和u 3 ，口互不相 同 第三步；我们证明( 岛) 的第三个弱解蚴，口_ 0 ( 当0 _ 0 ) 由第二步的证明可知：( u 3 ，一) = 0 ，从而( 乃( u 3 ，口) ，u 3 ，口) = 0 ，即 1 1 u 3 , o l l 2 + 上口，pj 2 d x - 上i u 。，口1 2 咖二厶o h u 3 , e 如= 。 把上式代入( 6 ) 式厶的表达式中， 如( u s 加= 扣u 。，口1 1 2 + 互1 上。，口1 2 如一万1 上ni u 3 川2 如一厶o h u 3 , e 如 = 如钧州f 2 + 三上n 口h 州2 出一；( f f 钧州i 2 + 上n8 h 州2 如一上n 秽，口出) 一上口矽 = 扣邢i i + 丙1 肼魄印如一等厶o h u 3 , o 如 ， t 5 1 ) 注意到t 3 ，口实际上满足：如( 蝴，口) = i n f 如( o ) 一0 由h 5 d e r 不等式及p 0 i n c a 砖不等 l l u l i r 式，( 3 1 ) 式化为 帆口f i 2s 竿蹦糌帆占u ， 即 川s 半响h l l 鹣 所以当0 0 时，边值问题( 局) 的第三个弱解乱3 ，d 满足：i l 均，口0 _ 0 ，证毕 i 含非齐次项的椭圆边值问题的多解性 结论 第三章结论与问题展望 结论：我们首先用l j u s t e r n i k - s c h n i r e l m a n 范畴方法证明了方程( 玮) 前两个解的存在 性；其次我们在d 1 ，2 ( r ) 的一个开球中证明了方程( 局) 对应的泛函的极小值点的存 在性，从而获得了方程( 局) 的第三个解的存在性；最后我们还考虑了第三个解的收 敛性态在证明过程中我们克服了两个困难：一是在验证方程对应泛函的( p s ) 。条件 时，由于区域的无界性以及含临界指数项所带给泛函双重失去紧性的困难；二是在使 用l j u s t e r n i k - s c h n i r e l m a n 范畴方法时，构造特殊函数同伦等价性的复杂性与技巧性所 带来的困难 问题展望：本文我们只证明了方边值问题( 功) 至少存在三个非零弱解，我们还可以 考虑用极大极小原理等其他变分与非变分方法研究( 昂) 在适当条件下其他更多的解 的存在性。另一方面，虽然我们在本文中考虑了( 局) 一个解的收敛性态，我们还可以 进一步研究( 马) 解更多的的性态，例如存在解中的变号与不变号解，解与参变量的关 系等等 含非齐次项的椭圆边值问题的多解性参考文献 参考文献 【1 】a d a c h i ，s t a n a l ( a ，k ，f o u rp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h es e m i l i n e a re l l i p t i c ：一a u + u = d ( z ) 矿+ f c x ) i nr ，c a l c v a t p d e , 1 1 ( 2 0 0 0 ) ，6 3 - 9 5 【2 】a l v e s ，c o ，e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rap r o b l e mw i t hl a c ko fc o m p a c t n e s s i n v o l v i n gt h ep - l a p l a c i a n ，n o n a n a l ，5 1 ( 2 0 0 2 ) ，1 1 8 7 - 1 2 0 6 【3 】b e n c i ，v c e r a m i ，g ，e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n 一乱+ a ( x ) u = 乱锚i nr n ，上凡竹c t a n a l ，8 8 ( 1 9 9 0 ) ，9 0 - - 1 1 7 f 4 陆文端，微分方程的变分方法，科学出版社，2 0 0 3 【5 】b r e z i s ，h n i r e n b e r g ，l ，p o s i t i v es o l u t i o n so fn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n si n v o l v i n g c r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t ，c o m m 尸钍他a p p l m a t h ，3 6 ( 1 9 8 3 ) ，4 3 7 - 4 7 7 6 】b e n c i ，a l i ，y y ，o nt h em i n m a xp r o c e d u r ef o rt h ee x i s t e n c eo fap o s i t i v es o l u t i o n f o rc e r t a i ns c a l a - f i e l de q u a t i o n si nr ，r e v m a t i b e r o a m e r i c a n a ，6 ( 1 9 9 0 ) ，1 1 5 f 7 】b e n - n a o u m ，a 。，t r o e s t l e r ，c w i l l e n ，m ，e x t r e m ap r o b l e m sw i t hc r i t i c a le x p o n e n t s o nu n b o u n d e dd o m a i n ，n o n l a n a l ，2 6 ( 1 9 9 6 ) ，8 2 3 - 8 3 3 【8 】张恭庆，临界点理论及其应用，上海科技出版社，上海， 1 9 8 6 【9 】g u e d a ，m v e r o n ，l ，q u a s i h n e a re l l i p t i ce q u a t i o n si n v o l v i n gc r i t i c a ls o b o l e vg x p o - n e n t s ，n o n l a n a l ，1 3 ( 1 9 8 9 ) ，4 1 9 - 4 3 1 f l o 】h u a n g ，y s ，m u l t i p l ep o s i t i v eo fn o n h o m o g e n e o u se q u a t i o n si n v o l v i n gt h ep - l a p l a c i a n ， n o n l a n a l ，4 3 ( 2 0 0 1 ) ，9 0 5 - - 9 2 2 【1 1 】l i o n s ，p l ，t h ec o n c e n t r a t i o n c o m p a c t n e s sp r i n c i p l ei nt h ec a l c u l u so fv a r i a t i o n s ，p a r t l & 2 ，a n n i n s t h p o i n c a r $ a n a