（基础数学专业论文）有限群的共轭置换子群.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 子群日称为群g 的共轭置换子群，若对于g 的任意子群k ，日和k 共轭置 换，即存在x g ，使得h k x = k 。h 若日和g 的任意极大子群都共轭置换，则称日为g 的p c m - 子群( 或日在 g 具有p c m 一性质) 若日和g 的任意s y l o w 子群的极大子群都共轭置换，则称日为g 的p c s m 子群( 或日在g 具有p c s m - 性质) 本文主要研究一些特殊子群的p c m 性和p c s m 性对原群结构的影响，获得 了以下一些新的结果 ( 1 ) 设g 为有限群，厂为包含所有超可解群的饱和群系则g ，当且仅 当下列条件之一成立 ( i ) 存在g 的正规子群，使得g n 厂，且的所有素数幂阶循环子群均为 g 的p c m - 子群 ( i i ) 存在g 的可解正规子群，使得g n 厂，且的所有s y l o w 子群的极 大子群均为g 的p c m - 子群 ( i i i ) 存在g 的可解正规子群，使得g n 且f ( ) 的所有s y l o w 子群的 循环子群均为g 的p c m 一子群 ( i v ) 存在g 的可解正规子群，使得g n 厂，且f ( ) 的所有s y l o w 子群的 极大子群均为g 的p c m - 子群 ( v ) 存在g 的可解正规子群，使得g n 厂，且f ( ) 的所有极大子群均为 g 的p c m - 子群 由此，我们得到下面( 2 ) 一( 6 ) 推论 i i 有限群的共轭置换子群 ( 2 ) 群g 超可解当且仅当g 中所有素数幂阶循环子群均为g 的p c m - 子群 ( 3 ) 可解群g 超可解当且仅当g 中所有s y l o w 子群的极大子群均为g 的 p c m - 子群 ( 4 ) 可解群g 超可解当且仅当f ( g ) 中所有s y l o w 子群的循环子群均为g 的 p c m - 子群 ( 5 ) 可解群g 超可解当且仅当f ( g ) 中所有s y l o w 子群的极大子群均为g 的 p c m - 子群 ( 6 ) 可解群g 超可解当且仅当f ( a ) 中所有极大子群均为g 的p c m - 子群 ( 7 ) 群g 的所有s y l o w 子群都是p c m 一子群当且仅当a s o l ( a ) = 1 或l 2 ( 7 ) ( 8 ) 设g 是一个可解群若g 的所有s y l o w 子群均为p c s m - 子群，则g 超 可解 ( 9 ) 设g 是一个可解群若g 的所有二极大子群均为p c s m - 子群，则 a f i t ( g ) 交换 关键词： 有限群，超可解群，共轭置换子群，极大子群，f i t t i n g 子群，饱和 群系 江苏大学硕士学位论文 i i i a b s t r a c t a s u b g r o u ph o fgi sc a l l e dap c - s u b g r o u pi fhi sp e r m u t a b l ew i t ha tl e a s to n e c o n j u g a t eo fa n ys u b g r o u po fg ，t h a ti s ，f o re v e r ys u b g r o u pko fg ，t h e r ee x i s t sa n e l e m e n tz gs u c ht h a th k z = k 茁h as u b g r o u pho fgi sap c m - s u b g r o u p ( o rhi sp c mi ng ) i fhi sp e r m u t a b l e w i t ha tl e a s to n ec o n j u g a t eo fe a c j lm a x i m a ls u b g r o u po fg ，t h a ti s ，f o ra n ym a x i m a l s u b g r o u pm o fg t h e r ee x i s t sa ne l e m e n tz gs u c ht h a t 日m 霉= m zh as u b g r o u pho fgi sap c s m - s u b g r o u po fg ( o rhi sp c s mi ng ) i fhi sp e r - m u t a b l ew i t ha tl e a s to n ec o n j u g a t eo fe a c hm a x i m a ls u b g r o u po fa n ys y l o ws u b g r o u p o fg ，t h a ti s ，f o re a c hm a x i m a ls u b g r o u pmo fa n ys y l o ws u b g r o u po fg ，t h e r ee x i s t s a ne l e m e n tz gs u c ht h a th m z = m z 日 t h ea i mo ft h i sp a p e ri st oi n v e s t i g a t et h ei n f l u e n c eo fs o m ec e r t a i np c m - s u b g r o u p s a n dp c s m s u b g r o u p so nf i n i t eg r o u p s ，a n dt h e nt oo b t a i nt h ef o l l o w i n gm a i nr e s u l t s ( 1 ) l e tg b eaf i n i t eg r o u pa n d 厂b eas a t u r a t e df o r m a t i o nc o n t a i n i n ga l ls u p e r - s o l v a b l eg r o u p s t h e ng 芦i fa n do n l yi fo n eo ft h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t si sh o l d ： ( i ) t h e r ee x i s t san o r m a ls u b g r o u pn o fgs u c ht h a tg n 歹a n de v e r yc y c f i c s u b g r o u po fno fp r i m ep o w e ro r d e ri sp c m i ng ( i i ) t h e r ee x i s t sas o l v a b l en o r m a ls u b g r o u pn o fgs u c ht h a tg n 芦a n de v e r y m a x i m a ls u b g r o u po fa n ys y l o ws u b g r o u po fni sp c mi ng ( i i i ) t h e r ee x i s t sas o l v a b l en o r m a ls u b g r o u pn o fgs u c ht h a tg n 芦a n de v e r y c y c l i cs u b g r o u po fa n ys y l o ws u b g r o u po ff ( ) i sp c mi ng ( i v ) t h e r e e x i s t sas o l v a b l en o r m a ls u b g r o u pno fgs u c ht h a tg n 厂a n de v e r y m a x i m a ls u b g r o u po fa n ys y l o ws u b g r o u po ff ( ) i sp c mi ng 有限群的共轭置换子群 ( v ) t h e r ee x i s t sas o l v a b l en o r m a ls u b g r o u pn o fgs u c ht h a tg n 厂a n de v e r y m a x i m a ls u b g r o u po ff ( ) i sp c mi ng b a s i c a l l y , w em a yg e tt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ( 2 ) 一( 6 ) a sc o r o l l a r i e s ( 2 ) t h eg r o u pg i ss u p e r s o l v a b l ei fa n do n l yi fa l lc y c l i cs u b g r o u p so fp r i m ep o w e r o r d e ro fga x ep c mi ng ( 3 ) l e tg b eas o l v a b l eg r o u p t h e ng i ss u p e r s o l v a b l ei fa n do n l yi fa l lm a x i m a l s u b g r o u p so fe v e r ys y l o ws u b g r o u po fg a r ep c mi ng ( 4 ) l e tg b eas o l v a b l eg r o u p t h e ngi ss u p e r s o l v a b l ei fa n do n l yi fa l lc y c l i c s u b g r o u p so fe v e r ys y l o ws u b g r o u po ff ( g ) a r ep c m i ng ( 5 ) l e tg b eas o l v a b l eg r o u p t h e ngi ss u p e r s o l v a b l ei fa n do n l yi fa l lm a x i m a l s u b g r o u p so fe v e r y s y l o ws u b g r o u po ff ( g ) a r ep c mi ng ( 6 ) l e tg b eas o l v a b l eg r o u p t h e ngi ss u p e r s o l v a b l ei fa n do n l yi fa l lm a x i m a l s u b g r o u p so ff ( g ) a r ep c mi ng ( 7 ) l e tg b eaf i n i t eg r o u p t h e na l ls y l o ws u b g r o u p so fga r ep c m - s u b g r o u p s i fa n do n l yi fa s o l ( a ) = 1o rl 2 ( 7 ) ( 8 ) l e tg b eas o l v a b l eg r o u p t h e ngi ss u p e r s o l v a b l ei fa l ls y l o ws u b g r o u p so f ga r ep c s mi ng ( 9 ) l e tg b eas o l v a b l eg r o u p i fa l l2 - m a x i m a ls u b g r o u p so fg a r ep c s mi ng ， t h e ng f i t ( g ) i sa b e l i a n k e yw o r d s ：f i n i t eg r o u p ，s u p e r s o l v a b l eg r o u p ，p c s u b g r o u p s ，m a x i m a ls u b - g r o u p ，f i t t i n gs u b g r o u p ，s a t u r a t e df o r m a t i o n 江苏大学硕士学位论文 i 符号表 为了叙述方便，我们对本文所使用的符号做如下说明： g i 群g 的阶 丌( g ) 群g 阶的所有素因子集合 h g 日为群g 的子群，或日同构于群g 的某子群 日 g 日是群g 的真子群 h 塑g 日是群g 的正规子群 hc h a rg 日是群g 的特征子群 d ) 元素z 的阶 ( z ) 元素z 生成的循环群 ( x ) 集合x 中的元素生成的群 h 笺g 群日与群g 同构 g ：h i 子群h 在群g 中的指数 n g ( h ) 子群h 在群g 中的正规化子 c g ( h ) 子群h 在群g 中的中心化子 日g = c o r e g ( h ) 子群h 在群g 中的核 s o l ( g ) 群g 中的极大可解正规子群 s y l p ( g ) 群g 的所有s y l o wp - 子群的集合 g p 群g 的一个s y l o wp - 子群 i i 有限群的共轭置换子群 g | p 群g 阶的p 部分 h a l l p ，( g ) 群g 的所有h a l l - 子群的集合 劬群g 的一个h a l l - 子群 g ，群g 的导群 z ( g ) 群g 的中心 f ( g ) 群g 的f i t t i n g 子群 西( g ) 群g 的f r a t t i n i 子群 ( g ) 群g 的最大正规p 子群 名p 阶循环群 d 8 8 阶二面体群 a u t ( g ) 群g 的自同构群 a b 群a 与群b 的直积 e ) 矿阶初等交换群总表示一素数) 其他未说明的符号可参照文献 1 7 】 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密即。 学位论文作者签名： 芦咯年，1 月心日 指导教师签名：投出彳 灿蛄年n 月心e l 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：力呜 日期：垆艿年2 月心日 江苏大学硕士学位论文 第一章引言及预备知识 在有限群理论的研究中，子群的正规性对群结构有很大的影响例如，每个 子群都正规的非交换有限群即d e d e k i n d 群，只能是一个没有4 阶元的交换群与 一个8 阶四元数群的直积每个极大子群都正规的有限群为幂零群正规子群本 身也有一些较好的性质，例如正规子群与任意子群的乘积成群但满足与任意子 群乘积都成群的子群不一定是正规子群这一性质被群论工作者进行了各式各样 的推广，如置换子群( 见定义1 1 1 ) ，共轭置换子群( 见定义1 1 2 ) 等，并得到了一 系列有意义的结果，见文献【2 1 一 6 1 ， 1 9 1 一 2 3 1 特别的，i t on 和s z 6 pj 在文 2 】中 利用置换子群证明了：有限群g 中，如果子群日在g 中可置换，则h h g 幂零 在文【3 】中，钱国华利用某些特殊子群( 如极大子群，2 - 极大子群，s y l o w 子 群，循环子群) 的共轭置换性，给出了超可解的一些充分条件，得到了如下结论 定理a ( 1 ) 群g 超可解当且仅当g 的所有极大子群都是共轭置换子群 ( 2 ) 若群g 的每个s y l o w 子群在g 中都共轭置换，则g 超可解 ( 3 ) 若可解群g 的每个2 极大子群在g 中都共轭置换，则g 超可解 ( 4 ) 若可解群g 的每个循环子群在g 中都共轭置换，则g 超可解 郭文彬在文【5 】中也得到了定理a ( 1 ) 的结论 胡玉生，郭秀云在文 2 3 】中考虑了更小范围内特殊子群的共轭置换性对群结 构的影响，证明了如下结论 定理b ( 1 ) 设g 是可解群若f ( c ) 的素数幂阶循环子群都是共轭置换子群，则g 超 可解 2有限群的共轭置换子群 ( 2 ) 设g 是可解群若f ( g ) 的s y l o w - 子群的极大子群都是共轭置换子群， 则g 超可解 因此，利用子群的正规性和某些弱正规性来研究原群的结构是一项具有意义 的课题本文将在此研究基础上，进一步推广子群的正规性，以此来刻画群的结 构并推广上面一些结论为了叙述方便，我们先给出下面一些基本概念 1 1 基本概念 设子群日为g 的一个正规子群，则对于g 的任意子群k ，有h k = k h 沿 着这一性质，我们对子群的正规性已有了一系列的推广。 定义1 1 1 子群日称为群g 的置换子群( p e r m u t a b l es u b g r o u p ) ，若对g 的 任意子群k ，有h k = k h 也称日在g 中可置换 注1 1 1o r e 于1 9 3 9 年在文【1 】中称置换子群为拟正规子群( q u a s i n o r m a l s u b g r o u p ) 显然，置换子群是正规子群的推广，但置换子群不一定是正规子群 见下例 例1 1 1 设g = ( z ，yi z l 6 = y 4 = 1 ，：t y = z 3 ) ，贝0 圣( g ) = ( z 2 ，y 2 ) = ( z 2 ) ( 可2 ) 取h = ( 2 ) ，下证日在g 中可置换只需证y 2 正规化g 的任意循环子群 由g 的结构可知，g 中任一元素可表为y i x j 的形式当j 为偶数时，( 夕) 2 = ，故( 矿) 可2 = y i x j 从而只需考虑歹为奇数的情形直接验证可得； ( ! ，z ) 2 = y x 9 = ( 可z ) 5 ； ( y x 3 ) 2 = y x l l ：( y x a ) 5 ； ( y x 5 ) 2 = y x l 3 = ( z 5 ) 5 ； ( y x 7 ) 2 = y x l 5 = ( ! ，z 7 ) 5 ； 江苏大学硕士学位论文 3 ( 耖2 z ) 可2 = y 2 x 9 = ( 可2 z ) 9 而 ( y x ) = 1 ，y x ，y 2 x 2 ，y a x l 3 ，z 8 ，y x 9 ，y 2 x 1 2 ，y 3 x 5 ) ； ( y x 3 ) = _ 【1 ，y x 3 ，y 2 x 1 2 ，y 3 x 7 ，z 8 ，y x l l ，y 2 x 4 ，y 3 x 1 5 ) ； ( y x 5 ) = 1 ，y x 5 ，y 2 x 2 ，y a x ，z 8 ，y x l 3 ，y 2 x 1 2 ，y 3 x 9 ) ； ( y x 7 ) = ( 1 ，y x 7 ，y 2 x 1 2 ，y a x l l ，z 8 ，y x l 5 ，y 2 x 4 ，y 3 x 3 ) ； ( y 2 x ) = ( 1 ，y 2 x ，z l o ，y 2 x 1 1 ，z 4 ，y 2 x 5 ，z 1 4 ，y 2 x 1 5 ，z 8 ，y 2 x 9 ，i t , 2 ，y 2 x 3 ，z 1 2 ，y 2 x 1 3 ，z 6 ，y 2 x 7 ： 从而当j 为奇数时，( y i x j ) u 2 = y i x j 故y 2 正规化g 的任意循环子群，且可2 正规 化g 的任一子群即对于任意k g ，有k ( y 2 ) = ( y 2 ) k ，从而日= ( y 2 ) 在g 中 可置换 而h = ( y 2 ) = 可2 ，1 ) 在g 中显然不正规 作为置换子群的进一步推广，文 3 】给出下面的定义 定义1 1 2 子群日称为群g 的共轭置换子群( p e r m u t a b l ew i t ha tl e a s to n e c o n j u g a t eo fe a c hs u b g r o u p ，i nb r e i f , p c s u b g r o u p ) ，若对g 的任意子群k ，存在 z g ，使得日j p = k z h 也称日在g 中共轭置换 注1 1 2 钱国华在文【3 】3 中称共轭置换子群为弱拟正规子群( w e a k l y - q u a s i n o r m a l s u b g r o u p ) ，郭文彬在文【5 】中称共轭置换子群为条件置换子群( c o n d i t i o n a l l yp e r - m u t a b l es u b g r o u p ) 显然，共轭置换子群是置换子群的推广，即置换子群一定是共 轭置换子群( 由共轭置换子群的定义即得) ，但共轭置换子群不一定是置换子群 见下例 例1 1 2 取g = ，h = ( 1 ) ，( 1 2 ) ) 为g 的子群，则日为g 的共轭置换子 群，但不是置换子群 4有限群的共轭置换子群 我们知道，日为g 的共轭置换子群，则要求日和g 的所有子群都共轭置 换为了使所得结论更加广泛，人们希望继续减弱共轭置换子群的条件于是从减 少参与共轭置换的子群个数着手，特别的仅考虑与其中某些特殊子群共轭置换， 是一条减弱共轭置换子群条件的好的途径本文就是沿着这条途径，只考虑与极 大子群共轭置换，与s y l o w 子群极大子群共轭置换的子群对原群结构会产生怎样 的影响我们先给出本文中在共轭置换意义下两个新的子群概念 定义1 1 3 子群日称为群g 的p c m - 子群( p e r m u t a b l ew i t ha tl e a s t o i l e c o n j u g a t eo fe a c hm a x i m a ls u b g r o u p ) 是指日和g 的任意极大子群都共轭置换，即 取g 的任意极大子群m ，存在z g ，使得h m z = m z h 也称日在g 中具有 p c m 性质 定义1 1 4 子群日称为群g 的p c s m 一子群( p e r m u t a b l ew i t ha t l e a s to n e c o n j u g a t eo fe a c hm a x i m a ls u b g r o u po fa n ys y l o ws u b g r o u p ) 是指日和g 的s y l o w 子群极大子群都共轭置换，即取g 的任意s y l o w 子群的极大子群m ，存在z g ， 使得日m $ = m 。h 也称日在g 中具有p c s m 性质 注1 1 3 由p c m - 子群，p c s m 子群的定义，我们知道p c m 一子群，p c s m - 子群是共轭置换子群的推广，但p c m - 子群不一定是共轭置换子群，见例1 1 3 ； p c s m - 子群也不一定是共轭置换子群，见例1 1 4 例1 1 3 取g = d s ，z ，y 为g 中不属于同一共轭类的两个元素，且 z ，) n z ( a ) = 毋一方面，( z ) 与( y ) 的任何共轭乘积都不能成群，即( z ) 不是g 的共轭 置换子群另一方面，( z ) 却是g 的p c m - 子群，事实上，由下文引理2 1 2 可 得，超可解群的任何子群均为p c m - 子群 例1 1 4 取g = a 4 ，( z ) = ( ( 1 2 ) ( 3 4 ) ) 一方面，( z ) 与( ( 1 2 3 ) ) 的任何共轭乘 江苏大学硕士学位论文 5 积都不能成群，否则他们的乘积为6 阶群，与山中不含6 阶群相矛盾即得( z ) 不是g 的共轭置换子群另一方面，考虑g = a 4 的s y l o w 子群的极大子群因 为血只有s y l o w2 - 子群和s y l o w3 - 子群，不妨设g 2 s y z 2 ( v ) ，又z g 2 ，且如 为初等交换群，所以z 与g 2 中的所有元都交换，当然有( z ) 与g 2 的极大子群 可置换而s y l o w3 - 子群的极大子群为1 ，显然和( z ) 可置换即得( z ) 却是g 的 p c s m 子群 综上所述，我们有上面子群间的如下关系图： 正规广群 j 下面给出在文中将要用到的一些其它基本概念 定义1 1 5 e 设厂为一个群类若厂满足下面两个条件， ( 1 ) 若g 厂，则g 的所有同态像也属于， ( 2 ) 设n 塑g ，m 塑g 若g n 厂，g m 厂，贝0g mnn 厂 则称厂为群系一个群系厂称作是饱和群系，若由g 圣( g ) 厂可得g 芦 显然，超可解群类是饱和群系 定义1 1 6 设l 为g 的一个主因子 ( 1 ) 如果l n 圣( g ) ，则称l n 为g 的f r a t t i n i 主因子 ( 2 ) 如果l nn 西( g n ) = 1 ，则称l n 为g 的非f r a t t i n i 主因子 6有限群的共轭置换子群 定义1 1 7 子群m 称为g 的极大子群，若由m k g ，可得k = g 或 k = m 子群日称为g 的参极大子群，若存在g 的极大子群m ，使得日为m 的极大子群 注1 1 4 取g 的极大子群m 的极大子群日，显然可得日为g 的2 - 极大子 群但若取子群日为g 的2 一极大子群且日为m 的极大子群，并不能保证m 为 g 的极大子群见下例 例1 1 5 取g = & ，h = ( ( 1 2 ) ) 由于& 为& 的极大子群，且日为& 的极 大子群，故日为g 的2 一极大子群然而尽管日也为m = ( ( 1 2 ) ) ( ( 3 4 ) ) 的极大 子群，但m 不是g 的极大子群但是若对于少群来说，该结论显然成立 定义1 1 8 7 】设g 是一个可解群，1 = g o g 1 g 2 _ p l m i = i g i 有g = 蟛m = k z m 即g 中所有子群均为g 的p c m - 子群 引理2 1 。3 若存在a 翼g ，使得g i a 超可解，且a = r 1 恐如，其 中忍型名。( i = l ，礼) 为g 的极小正规子群，则g 超可解 证 方法1 ：令t 是g 的任一极小正规子群，于是有a t i t 兰r 1 t i txr 2 t i t t ，其中忍纠t 为t i t 的素数阶极小正规子群，且 ( g i t ) i ( a t i t ) 竺g a t 皇( g i a ) i ( a t i a ) 超可解由归纳得g i t 超可解 可设西( g ) = 1 否则由条件对商群保持，有c 圣( c ) 超可解，即得g 超可解 且可令t 是g 的唯一极小正规子群否则可假设乃，乃为g 的两个不同的极小 正规子群，则g i c i ( t 1nt 2 ) t i t lxt i t 2 超可解从而可令a = t 竺磊 由引理1 2 2 ，a 在g 中有补，即g = a m ，其中m 为g 的极大子群，且a m m = 1 又c c ( a ) = c a ( a ) na m = a ( c g ( a ) nm ) = a c m ( a ) 下面证明c m ( a ) 鱼g 任 取髫m ，锰c m ( a ) ，口a ，有钍m ，且u x a = ( u a 写- 1 尸= ( a = - 1 铭) 茹= a u z ，从而 m n c ( c m ( a ) ) 又a 交换，有a n c ( c m ( a ) ) 所以n a ( c m ( a ) ) ( m ，a ) ig ， 且c m ( a ) ma = 1 由条件a 为g 的唯一极小正规子群，所以只能c m ( a ) = 1 从 而c c ( a ) = a 又因为a 兰名，c a = n c ( a ) c c ( a ) a u t ( a ) 为交换群，所以g 超可解 方法2 ：取g 的一个主群列 1qr 1qr 1xr 2q 司r 1xr 2x x = aq qg ， 1 2有限群的共轭置换子群 且其中所有主因子都是素数阶循环群，从而g 超可解 引理2 1 4 设l 的极大子群为g 的p c m 一子群，则对于任意的n 塑g ，有 l n n 的极大子群为g n 的p c m - 子群 证任取m n 为l 的极大子群，m 为l n 的极大子群，则m = m m l n = ( m a l ) n 令l 1 为l 的极大子群，且m a l l 1 ，则l n = 厶n n m l 1n ， 即得lnn = l 1nn 又 凹i = 踹 踹= i l l n ， 有l 1 n l n ，因而m = ( m nl ) n l i n s o l ( a ) ，则m s o l ( a ) 为a s o l ( a ) 的极大子群，由a t l a s 表 1 5 】即得i g ：m i = 8 或7 若m s o l ( c ) ，则g = m s o l ( c ) ，从而i g ：m i = i s o l ( a ) ( m n s o l ( a ) ) i 为素 数的方幂不妨令i g ：u l = g 。，q 7 r ( g ) ，q 为正整数若p = q ，则i p m i = 斟鼢， 且i p m i p = i p i ，i p m l p ，= i u l p ，= i g i p ，所以有i p m i = g i ，即得p m = g 若 p q ，由s y l o w 定理，必存在z g ，使得p x m ，从而有p z m = m 由引理 1 2 1 得p m z = m x 所以p 为g 的p c m - 子群 定理2 1 4 可解群g 超可解当且仅当f ( g ) 中所有s y l o w 子群的极大子群均 为g 的p c m - 子群 证由引理2 1 2 必要性显然成立，下面证充分性 步骤l 可令亚( g ) = 1 若圣( g ) 1 ，考虑g 西( g ) 由f ( g 圣( g ) ) = f ( g ) 西( g ) ，则对于f ( g 西( g ) ) 的任意s y l o wp - 子群a 圣( g ) ，存在p s y l p ( f ( a ) ) ，使得a = p c ( g ) 任取 p 西( g ) 西( g ) 的极大子群叫圣( g ) ，存在p 的极大子群p 1 ，使得m = b 圣( g ) 对 于g 西( g ) 的任意极大子群三v 西( g ) ，其中日为g 的极大子群，存在z g ，使得 ( w 西( g ) ) ( 月亚( g ) ) z = ( p 1 西( g ) 圣( g ) ) ( 日2 圣( g ) ) = ( 只日官西( g ) ) 西( g ) g 西( g ) 即条件对g 西( g ) 保持由归纳得a 西( a ) 超可解，即得g 超可解 江苏大学硕士学位论文 1 5 步骤2 可令f ( g ) = r 1 r 2 r ，其中忍0 = 1 ，2 ，礼) 是g 的素数 阶极小正规子群 考虑f ( g ) 的任