（基础数学专业论文）薛定谔算子相关的交换子与fourier乘子组成的交换子的有界性.pdf

摘要 交换子理论在过去的几十年里的研究和发展中越来越深入，越来越广泛，特别 是奇异积分与b m o 函数生成的交换子为研究变系数微分方程提供了有力的工具 自奥地利物理学家薛定谔找到量子体系下物质满足的运动方程一薛定谔方程，人们 发现具有非负位势的薛定谔算子- a + v ( x ) 对研究某些次椭圆算子非常有用，近些 年来，对于位势函数的不同选取而讨论薛定谔算子的性质越来越受到人们的重视 本文主要研究与薛定谔算子相关的r i e s z 变换和b m o 型函数生成的交换予、 薛定谔算子生成的算子半群与l i p s c h i t z 函数生成的交换予以及线性算子和 f o u r i e r 乘子生成的交换子的有界性问题， 第一章简要的介绍薛定谔算子以及伴随算子、h e r z 型空间及b e s o v 空间的历 史背景和有界性问题的研究的发展状况。 第二章主要讨论薛定谔算子相关的算子和与之相关的b m 0 函数生成的交换子 f 有界性问题本章我们证明当p 和位势v 满足一定条件时上述交换子是p 有界 的 第三章研究薛定谔算子生成的算子半群与l i p s c h i t z 函数生成的交换子的有界 性问题证明了其为p ( ) 到t r i e b e l l i z o r k i n 空间的有界算子与以及扩( 彤) 到 口( 舻) 的有界算子 第四章我们主要讨论线性算子与f o u r i e r 乘子生成的交换子在h e r z 型b e s o v 空间的有界性。证明了其为j 9 砑( 仁o ，1 ) 上的有界算子。 关键词：薛定谔算子；交换子；乘子；h e r z 型空间；b e s o v 空间；h e r z 型b e s o v 空间；l i p s c h i t z 函数；空间插值 1 i a b s t r a c t c o m f n u t a t o r st h e o r yi sm o r ea n dm o r et h o r o u g hi nt h ep a s ts e v e r a ld o z e n sy e a ri n r e s e a r c ha n dt h ed e v e l o p m e n t , m o r ea n dm o r ew i d e s p r e a d ，s p e c i a l l yt h es i n g u l a r i n t e g r a la n dt h eb m of u n c t i o ng e n e r a t e dc o m m u t a t o r sh a sp r o v i d e dt h ep o w e f f mt o o l f o rt h er e s e a r c hv a r i a b l ec o e m c i e n td i f f e r e n t i a le q u a t i o n f o u n du n d e rt h eq u a n t u m s y s t e mf r o ma u s t r i a np h y s i c i s ts c h r b d i n g e rm a t t e rs a t i s f i e de q u a t i o no fm o t i o n - s c h r f d i n g e re q u a t i o n t h ep e o p l e d i s c o v e r e dh a st h e n o n - n e g a t i v ep o t e n t i a l s c h r 6 d i n g e r a + v ( x ) t os t u d yc e r t a i ne l l i p s e so p e r a t o rt ob ee x t r e m e l yu s e f u l ，r e c e n t y e a r , b u td i s c u s s e st h et h en a t u r eo fs c h r 6 d i n g e ro p e r a t o rr e g a r d i n gt h ep o t e n t i a l f u n c t i o nd i f f e r e n ts e l e c t i o n ，m o r ea n dm o r et ob ev a l u e d i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h eb o u n d e d n e s so fc o m m u t a t o r sg e n e r a t e db yr i e s z t r a n s f o r ma s s o c i a t e dw i ms c h r o d i n g e ro p e r a t o ra n db m ot y p ef u n c t i o n s ，a n db y s c h r o d i n g e ro p e r a t o r a s s o c i a t e ds e m i g r o u pa n dl i p s c h i t zf u n c t i o n s w ea l s o c o n c e r n e dw i t hc o m m u t a t o r sg e n e r a t e db yl i n e a ro p e r a t o r sa n df o u r i e rm u l t i p l i e r o p e r a t o r s ，t h i sp a p e ri so r g a n i z e d a sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，w es i m p l yi n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n ta n db a c k g r o u n di nt h es t u d y o ft h eb o u n d e d n e s so fs c h r o d i n g e ro p e r a t o r s ，a n do fh e r zt y p es p a c e sa n db e s o v s p a c e s i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h eb o u n d e d n e s so fc o m m u t a t o r so fr i e s zt r a n s f o r mo n t h ef ( 月”) s p a c ew h i c hi sg e n e r a t e db yo p e r a t o ra s s o c i a t e dw i t hs c h r o d i n g e ra n d b m of u n c t i o n sa s s o c i a t e dw i t hs c h r o d i n g e ro p e r a t o r i nt h i sc h a p e r , w ep r o v et h a ti f p a n dp o t e n t i a lv ( x ) s a t i s f yc e r t a i nc o n d i t i o nt h e nt h ec o m m u t a t o r sa r eb o u n d e do n 扩( 掣) s p a c e s i ne h a p e r3 ，w es t u d yt h eb o u n d e d n e s so fc o m m u t a t o r sg e n e r a t e db ys c h r o d i n g e r o p e r a t o ra s s o c i a t e ds e m i g r o u pa n dl i p s c h i t zf u n c t i o n s w ep r o v et h a ti t i s ab o u n d e d o p e r a t o rf r o ml p ( s 4 ) t ot r i e b e l l i z o r k i ns p a c e s ，a n d 口( ) t o ( 形) i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s st h eb o u n d e d n e s so fc o m m u t a t o r sg e n e r a t e db yl i n e a r o p e r a t o r sa n df o u r i e rm u l t i p l l i e ro nh e r zt y p eb e s o vs p a c e s k e yw o r d s ：s c h r o d i n g e ro p e r a t o r ；c o m m u t a t o r ；m u l t i p l i e ro p e r a t o r ；h e r z s p a c e s ；h e r zt y p eb e s o vs p a c e s ；l i p s c h i t zf u n c t i o n ；i n t e r p o l a t i o n s p a c e s i l l 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 趋巍氐 日期： 沙石年皇月2 0 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在一年解密后适用本授权书。 2 不保密回。 f 请在以上相应方框内打”1 作者签名：捉溶良 导师签名：鸟嘲f 拇 日期：一一年 月劢日 日期：2 口d z 年，月2 口日 第1 章引言 1 9 5 2 年，c a l d e r o 聍与z y g m m u n d 在文【1 】中为研究椭圆型偏微分方程而首次 引入奇异积分的概念，并证明了其存在性1 9 5 5 年，c a l d e r o 疗与z y g m m u n d 在 文【2 】中研究了一类卷积型奇异积分算子，并在一定条件下证明了其f ( 掣) 有界 性此后，奇异积分理论的发展对偏微分方程及其相关邻域的研究起到了巨大的 推动作用，反过来又促使奇异积分理论越发受到人们的重视而得到长足的发展 奇异积分与b m o 函数生成的交换子是研究变系数微分方程的重要工 具1 9 6 5 年，c a l d e r o n 在文【3 】中研究了一类交换子，它出现于沿l i p 曲线的c a u c h y 积分问题中1 9 7 6 年，c o i f m a n ，r o e h b e r g 和w e i s s 在文【4 】中证明了西，玎是三p ( 钟) 有界性的，b b m o ( r ”) 其中函数b ( x ) 与算子t 生成的交换子定义为 6 ，r 】，( 功= b ( x ) r f ( x ) 一r ( v ) ( 工) 1 9 2 6 年，奥地利物理学家薛定谔进一步推广了德布罗意物质波的概念，找到 了量子体系下物质波满足的运动方程一薛定谔方程，即 讯型：一旦删+ v 掰 2 1 t 其中为拉普拉斯算子，v ( r ) 为与时间相关的势场，v ( r ，f ) 为波函数 当我们用数学中算子的观点来看就得到著名的薛定谔微分算子，即 a = + 矿( x ) x r “h 3 具有非负位势的薛定谔算予a + 矿( x ) 对研究某些次椭圆算子非常有用如在文【5 】 中对变量t 运用部分f o u r i e r 变换，算子- a ：一v ( x ) a ；就可以转换为一，一矿( x ) 毒2 1 9 9 3 年，j z h o n g 在文【6 】中研究了薛定谔算予a + 矿( ，其中v 为f 上满足下述 条件的非负多项式位势 r1，、 学以功舛i 商| l g o 冲j 他证明了对任意，r ，( + y ) w ，v 2 ( + y ) ，v ( 一+ y ) 刈2 和v ( 一+ 矿) _ v 都 ：是c a l d e r o n z y g m u n d 算子，其有界性仅仅依赖于v ( x ) 的次数和维数n 与此相 关的结论我们可以在文 7 】【8 】中找到在文【7 】中，h e l f f e r 和n o u r r i g a t 考虑非负多项 式的情形，他们用r o t h s c h i l d 和s t e i n 文【9 】中基于次椭圆算子估计证明了 v 2 ( 一+ 矿) 一1 和v “v ( _ + 矿) 一1 在r ( 彤) 上的有界性1 9 9 0 年，s t h a n g a v e l u 在文 ：墼：塞i 量塞三堡董氅耋塞王皇窑：塞：耋茎丝璧墼薹璧三墼塞量竺 8 】中考虑了v = i x l 2 的h e r m i t eg f - 7 = 1 9 9 5 年，z s h e n 在文【l o 】中拓展了j z h o n g 的 结果，研究了更广的一类位势v 吃，即满足下述条件的位势 椰v q d x j “m 叫 n ， 对上述位势v ，他证明了( + 矿y ，v ( 一+ y ) - 1 ”，v ( 一a + y ) 。1 v 算子的f 有界性 其证明方法为：对于w p ( x ) 是非负多项式的定义权函数m ( x ，v ) ，参考文 5 】【6 】 m ( x ，矿) = i a ：，( x ) i 9 ” k 蔓j p ( x ) 的阶 ( 1 2 ) 悱 对于v e 最，2 定义函数m ( x ，v ) 赢= s u p r o ：寿1，) h y ) 砂1 ) (113)m(x j b ( x ，n ，”2r ) 7 、。 其中m ( x ，v ) 为1 9 9 4 年，z s h e n 在文【1 1 】中研究l i p s c h i t z 图形域上薛定谔算子 - a + v ( x ) 的n e u m a n n 问题时引入的，其中v 为满足( 1 1 ) 式的位势当v = p ( x ：) o 为多项式时，可以证明m ( x ，v ) 与m ( x ，v ) 等价接下来运用c f e f f e m a a n 和 d h p h o n g 文 1 2 】中的引理对算子- a + 矿( z ) 的基本解及基本解的梯度进行估计， 最后用运用算子谱理论以及把+ y o ) 看作a 算子的扰动，对v ( 一+ 矿) _ 1 ”等 上述算子运用h a r d y l i t t l e w o o d 极大算子以及_ a 相应的奇异积分算子进行控制 在上述方法下1 9 9 9 年，z s h e n 在文【1 3 】中研究了一般薛定谔算子+ 卢的基本解， 其中卢为掣( 3 ) 上的非负r a d o n $ 4 度，满足某种尺度不变的k a t o 条件和双倍 条件，有如下估计 爵钙力s 爵 其中d ( x ，y ，) 为与相关的修改了的a g m o n 测度m ( x ，t ) d x 2 上的距离函数，同 时也证明了相应的r i e s z 变换v ( 一+ ) 。“在f 上的有界性 1 9 9 7 年，j d z i u b a n s k i 和j z i e n k i e w i c z 在文 1 4 q b 研究了与薛定谔算子相关的 h a r d y 空间，证明了p = l 时，函数的与薛定谔相关的h a r d y 范数与其原子范数的等 价性，以及l i t t l e w o o d p a l e y 平方函数和薛定谔相关的r i e s z 变换对啦的刻 画1 9 9 8 年，j d z i u b a n s k i 在文【1 5 】中研究了 吁空间，用一种特殊的原子分解刻画 2 - 硕士学位论文 了0 p n 2 ；也就是对于任意球b c r ”，存在常数c = c ( s ，矿) 0 使得 ( h 工) 5 出) c e 矿o ) a x 对于具有位势v ( x ) 的时间独立的s c h r o d i n g c r 算子：a = + y ，和与其相关的算 子半群： z ，( x ) = p 一“厂o ) = e k t ( x , y ) f ( y ) d y ，f e r ( 掣) ，t 0 由s e h r o d i n g e r 算子a 生成的h a r d y 型空问自然定义为： 月；= ，f ( 丑”) ：r + 厂( x ) = s u p l t , f ( x ) i 五9 ( r ”) ， 其中0 。：刍( v ) 矿( 力妙1 ) 定义2 1 1 设厂上。( 掣) ，即j r 是彤上的局部可积函数，如果存在常数c 使得： 南量i ，一矗i c 和南删妃 其中最= b ( x ) ，耳= 耳( x ) 为任意球，s p ( x ) r ，厶= 1 口r 1 工厂( x ) 出。则称，是 d b m o , 4 函数，记i i 州。j 表示上面最小的常数c 经典的r i e s z 变换定义为： r j f 2 ”，2 v l 静i xv l 啪 出 “ 一 在文【6 】中j z h o n g 引入与s c h r o d i n g e r 算子相关的r i e s z 变换，即如下定义； r j t 2 苦扩“2 f 2 杀p d e a ( a ) f 由函数b 和算子t 生成的交换子定义为 【6 ，t l f ( x ) = b ( x ) t f ( x ) 一r ( 色， ) ( 算) 1 9 7 6 年，c o i f m a n , k o c h b c r g 和w e i s s 在文【4 】中给出了奇异积分算子的交换子的一 个重要结果，即【6 ，r 】在f ( 掣) ( 1 p p ( x ) 本章主要讨论了薛定谔算子相关的交换子在p ( 肜) 上的有界性我们的主要 结果是下面的定理 定理2 1 3 设1 p p o ，v e ，n 2 s g 行，同时矿还满足以下条件 k ，芒等砂斋b ，m m 存在常数c = c o ，刀) ，那么由b m o a 函数b 与s c h r s d i n g e r 算子相关的r i e s z 变换r 组成的交换子为矽( 群) 斗f ( 形) 有界，即 i i v , 一r 】( ，) | i f 蔓c 肼o f ， 其中i p o = 1 q l n 5 薛定谔算子相关的交换子与f o u r i e r 乘子组成的交换子的有界性 2 2 引理 为了定理的证明，我们需要以下引理： 引理2 2 1 ( 参考 1o 】) 设v 玩，n 2 q 厅，若“为甜+ ( 矿+ f f = o 在b ( x o ，2 r ) 的解。那么有 ( 。，脚l v “i d x ) 1 i f c r j 一2 1 + r 珊( ，矿) * o 。s 。u ，p ：。，i “i 其中l t = l q 一1 n 引理2 2 2 ( 参考【3 7 】) 设次线性算子s 为( 艘) 到；1 。( ) 的有界算子，那么对， ( r ”) 和任意测度有限的集a ，以及0 q i ，有 s y ( x ) j 9a b ：- 0 ，使得对所有厂属 于b m o a 我们有如下结论 ( 鼬脚一五惭邓k ，对任意球b ( 击批功1 9 村i s c i i ，i i 嗍， 其中曰叫五r 沁础) 引理2 2 4 ( 参考【1 0 】) 设y 吃，n 2 q 以那么对于1 n 1 2 ) ，以及算子v ( 一+ 矿) “”其中 v 吃，分别有如下核估计 i x ( x , y ) l 研蒹丽高俐- i k ( 圳l s 两高杀丽而1 证明由函数积分，对任意，e r 我们有 ( _ + y ) 磊1 ( 曲) 9 ( 一+ y + f ) 一1 出 因此 ( - w ) 9 m ) 2 去( _ 抒) 廿( - + f f ) 1 m ) 如 2 i r k ( x ，y ) f ( y ) d y 其中 芷( x ，y ) = 一去( 。力”r ( x ，弘r ) d r ， 其中r ( x ，y ，f ) 为薛定谔算子- a + ( v ( x ) + i r ) 的基本解 参考文献【1 0 】中引理2 1 和定理2 7 的证明知对q n 2 的v ( x ) 也有同样的估计， 所以有 阻圳i * 尸i 而而习焉赢而- 毒产r 计算可得结论成立对v 最运用v 。1 1 ( x ，) ，f ) 的估计，其证明类似 一7 ：! ：童墅墼基三塑董墼圣篓茎耋! 竺坚耋三堡垒墼查篓主墼塞i 兰：一。，： 引理2 2 7 设矿吃，其中q n 2 ，那么对任意的，r ，算子( - + y ) 为弱( 1 , 1 ) 有界当v 最算子v ( + y ) “为弱( 1 ，1 ) 有界 证明参考 3 8 中标准的c a l d e r o 1 1 一z y g m u n d 算子的证明 引理2 2 8 设v 吃，其中n 2 q 0 成立可得 ，圳r + e “陋) “2 i v ，r ( w ，r ) d r n 孙卅”l 而阿而赫丽，毒产， 对上述两积分取不同的k l ，如计算可得 面磊话万。寿y l ， 眩：， l + 拱( x ，矿) 卜一y l 。5 x 一” 由于v 。r ( x ，y ，f ) 是幽+ ( 矿( 砷+ f f = 0 在r ” y ) 中的解，记“( x ) = v ，r ( x ，y ，f ) 胄= p y l 4 ，矗掣，再因为f ( x , y ，t ) = 1 1 ( y ，x ，呵) ，那么由m o r r e y 嵌入定理 对偶定理以及引理2 2 1 ，有 圳叫x ) | c l h l “( k 删钮) “ 8 ， 硕上学位论文 即 c ( 婴 2 一”由。s 。，u ，：p 研l “i - t ，+ 五m c x ，矿，h i v ，f ( x + h , y , r ) - v y f 以川滓而毒丽，苦专其中捌咱彻 由这个估计和公式( 2 1 ) 有 i k ( x + h , y ) 融y ) i 离 p y i 对于卜y i ，4 0 ，对彤上的所有局部可积函数_ 厂，有如下g o o d 五不等式 l x e r “：m a ( f x x ) 2 a ，埘名( 功朋) i 2 “，i x r ”：。 厶( ，) ( x ) 五 i 成立 证明我们不妨假设集合q 。= 缸r ”：m d ( f x x ) a ) 为测度有限，否则不等式自 然成立对任意x q 。存在一个极大二进体q - 包含点x 使得 南l 眇五； 眩s ， 否则q 。将有无穷测度与假设矛盾，让q 表示所有满足上述条件的包含z 的极大 9 薛定谔算子相关的交换于与f o u r i e r 乘子组成的交换子的有界性 二进体的集合，其中x n s n 。( 也就是 2 元蟛( ，) ( x ) s 川) f 2 2 ，那么由定义2 3 1 知，二进方体q 或者 包含q 或包含在g 里若q 3 9 ，那么由q j 的极大性知( 2 3 ) 式在q 上不成立； 因此在q 上| 卅的平均最多为a 因此若有鸩( ，) ( x ) 2 丑，那么定义2 3 1 中的取 上确界的二进方体q 为包含在9 中的某一二进方体由此，若有x g 和 m a f ) ( x ) 2 a ，则可用，绝替代定义2 3 1 中的，且有 如( ，) ( x ) 2 2 记踢 为o j 的中心不变两倍边长扩展的方体x c x o j ，我们有 m a ( ( f 一| 蟛l 。e ，。弦) 钝) 。) m e ( f z o s ) ( x ) 一i 彰| _ 1l 1 厂( f ) 陋 2 2 一五= 旯 因此 陋g ：蚂( 门( 2 五) i a ) 1 再注意到鸩是常数为1 的弱( 1 ，1 ) 型算子，所以我们可以控制上式的右边为 批槲弘弦p 掣南咖喇一1 印婶p 1 0 掣肌，) ( 班竺掣哟m 眨s ， 其中g 在证( 2 4 ) 时我们不妨假设对某些与q 有蟛( 厂) ( 乞) m ，否则 ( 2 4 ) 式左边为空集，则命题自然成立对于上述乞用( 2 5 ) 式我们就得到( 2 4 ) 式定理证毕 定理2 3 3 设o 风 2 i s * a ) n 彬( i 丌) ”- a 虹 则由下述估计可得如为有限数，且被下式右边控制 芝i 弘五刖卜n 心c 阴。”c x p 五，眇芝 i 陋c ”慨 2 1 7 5 五) 融 运用不等式( 2 6 ) 得 凡2 彬了p 2 r l l x r n ：鸩q 丌) - 2 a ，叫( w ) 1 肼阻 + 2 肌2 j p 矿1 b n m j ( i f l 6 ) ” 朋) 陋 薛定谔算子相关的交换子与f o u r i e r 乘子组成的交换子的有界性 鲥”2 “广f 肌叫 芏肛( w ) ”5 砷院 0 揣 + 2 胛p 扩1 i 工e 肛m j ： 圳d a 0 掣心“儿+ 等2 了陋”：m j ( i s l 舭 此时若我们选择合适的y 使得2 舢2 ”1 广= 1 1 2 ，再注意到如为有限数，从上述不等 式两边减去1 2l u ，我们可得 嘉 如s 2 “扣寺+ 警r j 础一1 卜彤：肠：( 1 ，r ) 1 7 d 皿i d a 再让n 一。我们可得g ( p ，万) = 2 + 上+ 警”，定理证毕 2 4 交换子有界性定理证明 记丁= v ( 一a + y ) - 1 ”，为了证明定理我们需要研究r i e s z 变换组成的交换子的 点态估计 定理2 4 1 设t 为r ”上的与s e h r o d i n g e r 算子相关的r i e s z 变换，b ( x ) 属于 b m o , ( 俾”) ，让0 艿 s ，那么存在一个正常数c = g ，使得对任何具有紧支 集的光滑函数f ( x ) 我们有 。m ：( i t 6 ，r l ( f ) 1 5 ) ”c 例毗 m ( i r ( ，) | 8 ) ”+ m r ( 似曲+ 吖( 厂) ( x ) ) 证明 固定彤中的球q = q ( x ，r o ) ，取o j 1 ，由于有阳5 一例5 i k 一卢1 5 对任意 的口，口r 都成立当r o p ( x ) 时，我们有估计 ( 副妒1 5 一陋1 5 炒喃船彤( 沪c 1 5 方声 因此当，o p ( x ) 时定理转换为找一合适的常数c = ，使得 南陋丁】，( y ) 一c 1 5 方) 古c ( 回忙i i 蚴 m ( i 丁( 州。) “5 + 吖2 ( 门 硕士学位论文 令q 表示与a 同心半径为其5 倍的球( 即q = q ( x ，5 r 0 ) ) ，记厂= z + 正，其中 石2 f z 矿， ，22 五口r ，盯仕葸帛致口，我制口j 以础父歌于竹胼刀 【6 ，r l ( f ) = ( b - a ) t ( f ) 一r ( ( 6 一口) 石) 一r ( ( 6 一a ) a ) 设 c = x 口v g ( r ( b 一口) 左) = l q 广e r ( ( 6 一口) 正) ( x ) 出，口= a v g 口b = q i _ 1e 6 ( d 出，因 此有 卤咖彤( 加m c c 由咖c ”一彳尹风1 5 奶 + c 喃i 联c a 一4 矽z m f 6 钾 删南啦c a 一爿矽五，一警珊一警卜 = i + i i + i i i 对j 运用指数为r 的h d l d e r 不等式和引理2 2 3 ，其中1 r e t 8 ，有如下估计： 吲由啦卜分6 卜 南坍肿牡 s c | 1 6 i | m 鼽j l 如( 丁( 厂) ) ( x ) - p ( x ) 时，写 6 ，r l ( f ) = b t ( f ) - t ( b f t ) - r ( b f 2 ) ，则有 啮m ( y 胸5 - 1 4 - ( 南1 6 可( j ，) 1 5 妙) l + ( 南l r 啷妇) f 咖户+ ( 卤i 丁( 妖( y ) 1 5 砂) l = l t + l i t + h l t 对1 7 的估计为 蚓南抄) l ”方) 古( 南坍，) ( y 和 i | 6 | i 吣m s , ( t ( f ) x x ) | 1 6 i l 。慨丝( ，( 力) ( x ) 对口的估计与r o 户( 砷中的盯的估计类似接下来我们估计z ，由引理2 2 6 有 皿厨1 i l ，七( 弘w ) 6 ( w ) 厂( w ) d w k y c 副i q r l + x - y t m ( x ，矿) ) 南a 州咖p c 南薹k ，矿研赫奇c 嗍w ) d w a v s c 南姜k 憎再彘两南和c 嗍们撕 s c 南姜志k ：世a c w c 忉撕 妃丢弗叼船( w ) ，( w ) 咖 c 萎古白加c 州；c 南抄1 7 咖声 - c l p l l 一, 珥( 厂) ( x ) 定理证毕 定理2 1 3 的证明：由于具有紧支集的光滑函数在矽稠密，我们不妨设厂为具有 紧支集的光滑函数，对于1 p m ，我们选取l p l p ，以及6 的截断函数瓯， 薛定谔算子相关的交换子与f o u r i e r 乘予组成的交换子的有界性 其定义为 = 隆篆 那么我们有良，t ( b k f ) 驴，当0 5 l ，m ( i f l 6 ) 1 ”在p 上连续，因此有 i m ( 陋一t l ( f ) 1 5 ) ”5 k g ( 0 m ( 阪r ( 州5 ) “5 k + 0 m ( i r ( 州5 ) “5 忆) 。 取0 5 s 1 ，由定理2 3 3 和定理2 4 1 以及捣与m 的等价性， 令g = 如一r l ( f ) ，则有 l i m ( i g l 5 ) 1 ，6 k - l l - i 5 ) l ，4 卜c ( 卿m ( m ”k - c l l b , l l , 。o ( m r ( 硝) ”卜i i m , ( ，) ( 洮+ l i m ( f ) ( 刮 取1 ， p ，再运用m ，m ， t 的有界性与t 的有界性有( 引理2 2 4 ) 慨一丁】( 厂) k - o o 时运用f a t o u s 定理我们可得定理对所有b b m o a 函数与具有紧支集的光滑函数 ，成立，定理证毕 推论若定理2 1 3 中的丁表示( 一+ y ) “，那么也有类似的定理成立 证明由引理2 2 5 以及定理2 1 3 的证明可知 1 6 第三章s c h r o d i n g e r 相关的算子生成的交换子在 t r i e b e l l i z o r k i n 空间上的有界性 3 1 引言及主要结论 设r 为奇异积分算子，c o i f m a n ，r o c h b e r g 和w e i s s ( 参考【4 】) 证明了，若 b b m o ，当且仅当交换子陋，t 】= t o f ) 一b r f 在f ( 彤) 上有界，其中l l ，记砖9 为齐次t r i e b e l - l i z o d d n 空间定义见文献【4 6 l3 徽l i p s c h i t z 空间 。是由满足下述性质的函数构成 2 ；。戮。够”m ) 4 c 其中衅表示k 阶差分算子 下面是本章的主要结果： 定理3 1 1 设0 p 1 r f l 占，1 p ，l 孽 ，其中占为引理3 i 8 中的常 数，b 为r ”上的局部可积函数若b a d ，t ，乃为定义3 1 6 中定义的算子， 那么我们有以下结论 ( a ) 瓦是从上p ( 掣) 到掣”的有界算子： ( b ) 毛是从f ( f ) 到口( 掣) 的有界算子，其中i p 一1 q = p n ，l p ) , 8 n 为了证明定理，我们需要如下引理 为了证明定理我们需要如下引理 一1 7 引理3 1 2 ( 参考 4 l 】) 设o 卢 1 ，1 p o 。，那么有以下结论成立 陪方剧s ( x ) - d i 出虬 “卜呼方肌卜c 1 吨 引理3 1 3 ( 参考【4 1 】) 设o 1 ，1 p o o ，那么有以下结论成立 ，“s u p 方肌) 一尼i 出 螂字方舭曲一矗“ 引理3 1 4 ( 参考【3 9 】) 设1 ， 0 ，记 ( ，) ( 加s 删u p 网肌硝i 引；- 若r p o 和常数c o 使得对任意 o ，存在常数c ，使得对所有h s 撕有 i k , ( x + h , y h