（基础数学专业论文）一类投资连结保单定价模型中自由边界的渐近性态.pdf

复旦大学硕士学位论文 摘要 本文主要对一类允许提憩退保的县骞牵l 率保峰的投资连结保单定价问题的数学模型进 行研究。运用馕微分方程争自由边蚤问题的研突方法，在关于模型参数的若于假设下，分 据其提前退保最佳时刻点印基由边界的嫂态，以及在保单到期日附近的该自出边界的澎近 拣态。 在第一章中终盘了由模型归结缮的变分笨等式，并说明了变分不等式鼹妁一些性质， 第二章第三章考察l 变分不等式在 0 辞的崭适槛态，证弱了当t 毫分小时，蠡由边界。= s ( t ) 是连 壤可微的，且2 而韶) _ 一n ，t 耐0 ，英中为莱常数。 奖键谪；变分不等式；自密边莽；s t e f a n 问题；渐近挂壤 豳书分类号；0 1 7 5 。2 3 ，f 8 4 0 6 7文献标识码；a 复旦大学硕士学位论交 i i a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h e p r i c i n gm o d e l o ft h e e q u i t y l i n k e dp o l i c ：yw i t he a r l ys u r r e n d e r ，a n d t h es u r r e n d e rb e n e f i t sa r eg u a r a n ；e e d 。u n d e rs o m eh y p o t h e s e so nt h ep a r a m e t e r so ft h em o d e l ；獬 a n a l y z et h ec h a r a c t e r so ft h ef r e eb o u n d a r y , w h i c hc o r r e s p o n d st ot h eo p t i m a lt i m et os u r r e n d e r ， b yt h em e t h o do ff l e eb o u n d a r yi np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h e nw ep o n d e rt h ea s y m p t o t i c b e h a v i o ro ft h ef r e eb o u n d a r yi l e a l - t h ee x p i r yd a t eo fp o l i c y i nc h a p t e ro n et h em a t h e m a t i c a lm o d e li nf o r m so fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yi so f f e r e d ，a n ds o m e p r o p e r t i e so ft h es o l u t i o no n t h ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t ya r eg i v e n t h ef o c u si nt h ec h a p t e rt w o a n dt h r e ei st od i s c u s st h ef r e eb o u n d a r yi n 扛 奎) t h ei i l a i nr e s u l ti st h ef r e eb o u n d a r yi a z 童( t ) i s ag r a p h = s ( t ) a n ds ( t ) i saf i n i t e - v a l u e da n dc o n t i n u o u sf o ra l l0 t 0 ) 躺t - 0 ，w h e r eni sas o l u t i o no fat r a n s c e n d e n t a le q u a t i o n - k e y w o r d s ：v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ；f r e eb o u n d a r y ；s t e f a np r o b l e m ；a s y m p t o t i cb e h a v i o r 第一章引言 文嫩 1 考察了一类具有利率保障的投资连结保单的定价问题，当考虑存在提前退保的 情形时，鑫金融经济学，精算学泼及镓徽分方獠羟识，褥该黎黧露表述为热下形式： m y s ( a ，) ，h ，( m y b ) ( 口h ) = 0 ，a e v ( a ，t ) = h ( a ，r ) ，( 1 1 ) 其中”( a ，t ) 为t 时刻投资帐户价值为a 时的保单价格，而 m y = - 警+ r 蠢袅屯t2 a 2 象吨味 f l l t ) b ( a ，) ：芦k a ，h ( a ，o ：m b $ 熹二要m 口 g e 吲，a t ，o ， ( 1 ，3 ) 这里r ，口，p ，k ，r g 都为正的常数，且0 k 1 ，r g h 在0 t t 串懿邃赛，最傀逐傈情形帮是( a ，t ) 达 到1 1 时；称r 1 为自由边界，在其上有”= h ，v h = v v 文章【2 】曾对类似的自由边界问题进行全瑟分析，蔟中楣瘦的h ( a ，t ) 中g e m 。一璞被常 数山所代替。由于保障利率项g e 吲的出现，使本文关于自由边界的讨论具有一定的复杂 性。本文的主疆目的燕在关予参数r ，一，p ，k ，r g 等作一定假设的前提下，讨论该模登中枢 应鸯出边界越线的性态，包括自由边界曲线的光滑性以及在t 趋于t 时自由边界的渐逝性 态。 嚣先弓1 入变量代换a = 矿，并令u ( 茹，t ) = 口( a ，t 一) ，妒( z ，t ) = h ( a ，t t ) ，则m yw 化 成： 执= 覆o u 主1 。2 象+ ( ；芦r ) 爱神刊u ， ( 1 4 ) 而b ( a ，t ) 转化成，( 。) = # k e 。由h ( a 、t ) 表达式可知： 妒( g ，t ) = 0t t o t 墨t ， ( 1 一于兰嚣) 7 。( t 一0 t r t o ，一0 0 z 基叠( 曲， ( 1 ，5 ) ( 1 一于兰鞲) e 。 o t t t o ，主( 芒) 譬 + 。 复曼大学硕士学位论文 2 其中奎( t ) = i o g g + r g ( t t ) = 茹；一r o t 。与文暇不嗣之处在于本文申圣为与t 搪关懿甄 数，薅不是豢数，这是本文讨论中懿关键之处。 记酝t = ( 。，) ：一0 0 + o o 0 t 霹。则变分不簿式( 1 1 ) 转纯为： l u ，u 妒，( l u 一，) ( “一妒) = 0 a ei nq t ， 珏( 篁，0 ) = ( 茹，0 ) 一0 0 0 使 k l ，i s t l ，k 。i ( 1 + e 。) ( 1 7 ) 在集合， ( 。一奎( t ) ) 2 + t 2 2 中成立。 ( b ) 对0 a ，是指数力a 的h s l d e r 连续函数，屈锃。在q t n i = 一( e ) | 0 阻( 岳( 如) + ，t o ) 一t ( 岳( o ) ，t o ) 】一睁( 莹( t o ) + e ，t o ) 一妒( 童( t o ) ，t 。) 】芝0 所以： 象( 撕) 托塞( 托湖 1 类似地有： 塞( 酬矗塞鼬) 毛嘲 英中，；( o ，) ，令_ 0 ，尉： 塞( 酬扎啪2 警( 酬+ o ， 警) 扎赛( - o , t o ) 穗又由1 7 ) 可知u 。( 文。o ) 是连续的矛藩。弓l 瓒证荜 这个弓f 瑾说嘎章( t ) 与宣斑边界程t ( o ，于) 上是不褶交的 由于模登中参数的选取对自由边弄健态影确颓大，本文中议限于讨论以下两种参数情 形： ( 8 ) ：o r 十p r g 一赢 雄，p ) ：然 r + p r g 一赢 卜r g 十芦鸯 由v ( x ，t ) 的表达式，直接计算可得： 工妒= 0 ，t 一曼t 曼t l 妒：西+ 榭“n ” ( r + 弘一酬卜盎) 一志】o “妇喝“q 9 8 l ( 2 1 ) 7 lb ( 1 一尹墨露) 一事兰嚣】e 。0 ? 一霸，岳( t ) 茁 + 害# 中圣= 一 口2 1 一薹筇) g e ”( t 一”s 茹一童t ) ) ，6 是d i 甜函数t 为了下文中定理麴诞明叙述方便，弓i 入醋数： 坤h 0 9 等竽【( r + # - r o ) ( 1 一志卜志】) 川 n ( 2 2 ) 3 叁堡盔堂鐾主堂些鎏塞4 其中： t 1 。卜一再豪瓦 ( 2 3 ) 则当0 t r 1 时， 协) 妒 穆为延糖纂c o n t i n u a t i o n s e t ) ，矗o = l p2 ， z ；蠢) ，塞壶迭界f o q n o t 曼t 虫弓 理2 1 知鬈= i ( 与r 不稀交。 连一步可竣证嚼： 写l 遴2 2 若( 蠡，幻r ，量萤 0 。 证懿由( 露，t 3 r ，受l ( 茗，蛩a ，显露 孽( t ) ，所以( 2 ，母a o ， 以下用反证法，假设有面= h ( t - ) ，记 d = 蜀) ；j t t h ( t ) 州髓在口内三知一妒) = ，一l p o 由极值原理“一妒在点( ，习取列d 中的极小值，所以一妒) 。t - ) 0 ( 强裰後原疆) 。 这与在自由边界上“。= 矛盾诚毕 引理2 3 在q ，中成立：u 。( ，t ) 0 证明令( 。，t ) ，( 目 0 ) 是q t 中c 偿函数，满砖： 当! 茹一岔( 叼时，妒”( 。，t ) = 妒( z ，妁 以及 警 0 1 争独 ( 2 5 ) 凇a o 并菇当。誊( 1 ) ，锋- 0 醛，眩t ) 呻妒苫，舌) f 点点收敛) 。 记翰怒交分不等式( 1 6 孛用铷代替妒基襁对应懿瓣，嚣= ， 刚囊一0 辩， - 4 珏嚣，强( 2 6 ) 基呈盔堂题主堂焦逢盔5 由日 理1 1 的结论，在q t 中： l 面a u , ，| 百s u , | 1 0 。2 u 4 is 岛( e x + 1 ) 2 7 ) 我蜩断言；装( z 。，如) ，( 。，t 。) _ 习a 则 。卅l i r a 。i n f 菱( ) ( 铀o ( 28 ) 否则，存程序列( z 。，t 。) 使 未( 一妒) ( 如) 。由 0 及n 充分太时， 未( 一十船。) ；b ，o f s 靠 繇苏 ( 一妒目) ( z n 十如，t n ) 0 ， 由( 2 。瓯当 。，t ) 戆近于捌k 上的点对， l i m i n f ( ( z ，) ) m 0 则在中，( b 0 ；所以在中，( b 0 令- 0 ，鄹褥魄0 。证够。 推论2 4 ：在( ( ，t ) ；。 岔( t ) 中，m 一妒) 。0 这个雄论可塞弓l 璎2 3 ，以及在 t ) l z 茁( 印 中= 0 褥到。 且亩 妒嚣，臻麓s ( 亡) 茹 圣；钰( 嚣，t ) = 妒f 茁，) ，著一。o 髫鬟5 国。 可以把上面的叙述归结为： 定理2 5 位于q r n 量( 砖 申髂富宙逡赛是一个器江g r a p h ) ：x = s f t ) ， 第三章自由边界s ( t ) 的连续性 引理3 1 设a 满足0 a 0 ，0 如 t 2 n 一占，糟一。 8 ( t 1 ) 墨苗( t ) 一d 并虽t 2 一t l e ( e 充分，l 、) 。秘么 l ，聚t 。s t ) s 一岛t 2 一 1 ) 9 ( 3 1 1 ) 其中。是与d ，n ，e 有关的常数， 证萌记i ：s ( t i ) ，令d = s ( 辞 茁 磊t l t 赴) ，毒手墨一妫( 垂，t 1 ) = 0 ；及s 关 于t 是h 6 1 d e r 连续( 由引理2 1 ) ，所以对予= 牙，2 1s t 蚣有 【( u c p ) ( i ，t ) i 曼c o ( t 2 一t 1 ) 又由引理2 2 知，程自由边界上，一三妒 0 则充分小时，农 。= 盈，t ls t 2 上也成立，一工妒 - 一( o r 24 - 南) 芦2 2 一 所以l x2 一c 2 五( “一妒) - 骈瑷在d 中，香x * 一妒。特剐瓣当。曼露x 一0 ，黧珏一妒) t ) 墨x 。0 所以当。时，成立u = 妒又凼s ( t ) 的定义，8 ( t ) 2 f 所以 8 ( t ) s ( n ) 一等( 圯一t l ) 9 。袋赴s ( ) 晰) 一q ( t 2 一t i ) ； ( 33 ) ( 3 4 ) 复旦大学硕士学位论文 定理3 2v t 【0 ，f 1 ) ，s ( t ) 是有限值的连续函数。且 s q 一0 ) = - - o o 并且在( n ) 参数条件下：s ( o ) = z 。，在( b ) 参数条件下：s ( o ) = 证明假设对所有的0 t 7 1 ，s ( 外= 一o 。则辫0 0 又由中值定理： 3 5 ) u ( 。，t ) 一妒( z ，t ) = ( u 一妒) t ( 。，t ) = ( u 一妒) t ( 。，0 ) 十o ( t ) = ( ，一l v ) ( z ，0 ) 十0 ( t )( 3 6 ) 而上式在参数条 串8 ) 下，懑t 充分小，盈。 一。o ，盛t 2 一t l 充分小由弓l 璀3 1 警t l t t 2 露，成立s ( 幻芝- k ( o ) 而使s ( t ) 取有限值的t 的集会是一熄离散的区间( 开或闭) 以a 。，聩记其端点。 记a = r a i n a ；，声= m a x 反，爱10 s 。 口曼f 1 - v 证：若 t o 声，受ls ( t o + 0 存在。 否则，有序列矗 t o ，乇 t o 使得当竹o 。时， 8 ( k ) - n ，s ( t ) _ m 而藏m n 假设矗一1 # 矗，对t 1 = 矗乩t 2 一蠢应用引理3 1 得： 。i n f s ( t ) 8 ( k 1 ) 一嘞( 最一靠一1 ) i e “一l t n 令_ 。o ，粼m n ，矛j 蠢，j 箩 戳s 湎+ 0 ) 存在。 又由s ( ) 的定义，s ( t o + 0 ) s ( o o ) ，我们下面要证s ( t o + 0 ) = 8 ( t o ) 若番，那么哥找蓟嚣竣d 一 # i 鬈 9 2 ，t o t o + 霹 其中s ( 如十0 ) l ，。2 协 由于在0 d n t = t o 上，# = 谄鄂么对( 茹3 ，t 。) ( 箕审。l 嚣3 2 ) ，成立： ( 程一妒) # = l ( u 妒) = ，一五妒 0 那么当t t o 是充分小的诚数时，( “一妒) ( 3 ，t ) 0 ，矛盾。 类觳豹冒竣汪鳙；s ( t o 一0 ) 存在；潋皴藏立s ( t o ) s ( t o o ) ， 假设有s ( t o ) s ( t o o ) ，那么有区城： d = 茹1 茹 茁2 ，t o 一5 t t 。 7 f 3 7 ) 凰，一l 妒 砖。 显然当z l 0 ，帮么当# 萤( e ) ，o t 0 以及有： ( u 一妒) 扛，0 ) = 五 一妒) ( z ，0 ) = ，一l w ) ( z ，0 ) 0( 3 , 8 ) 所以。充分小的时候，沁一妒) ( 嚣，t ) 0 矛盾 再出上嚣关于s ( ) 遂续性的涯明，霹圃样碍到s ( ) 在 = 往一0 对的连续性。 假如在参数条件( a ) 时或立4 0 ) 蛳，或参数条件( b ) 时成立8 ( o ) 那么式子 ( 矬一妒b ( g ，o ) = l ( u 一回( 茁，0 ) = ( ，一妒) ( 鬈，o ) o 对于( 。) 对满足4 0 ) z 嚣o ，及( b ) 时满足4 0 ) 。 茁的。都成立。 与煎面同样做法可得到矛盾。这就诚明了在( a ) 参数条件下，s ( o ) 一。o ；在( b ) 参数条件 下，s ( o ) = x 。 余下还簧证明妒= q ，及( 3 5 ) 成立 假设卢 t 1 ，可取d 使得当t o t 反0 d t 1 一卢时，s ( t ) 0 ) 中，3 ( t ) 不是有限值，则出引理3 1 ，8 ( 芦一0 ) = 一。 考虑这样的一个区域g ：在( b ) 条件下楚由 z = s ( 埒) ， 茁：h ( t ) 一跨扛= i ( 茚) 嗣成，在( ) 条停下还包括 o ) ；z o 。 + 我韶得到在g 中，一五妒0 一c ，这里c 是个常数。并且在。= s ( t ) 上及t = 0 上， u 一妒= 0 ，农g 中，0 “一妒e 引入下面的序翔： t k ( 茹，t ) = u ( x + s ( k ) ，t + t 。) 一妒( z + s ( t 。) ，t + t n )( 3 - 9 ) 当如t 芦，_ 口时，出翁鬻的弓l 理1 1 哥得，”。硗有界。 8 复旦大学硕士学位论文 以及对任意的r ，在 r ，0 t t 1 一卢一d 中几乎处处成立：l v 一c 和 u ( 。，0 ) = 0 ， r 9 并且对有界的z 和0 t t 1 一卢一6 ， 。_ + u 的收敛是一致的 令w 是下述问题的解：工 = 一c ，h o ；在t = 0 和h = r 上= ” 由极值原理”s u 注意到 w d o ，0 ) = ( l w ) ( o ，0 ) = 一c( 3 1 0 ) 那么充分小时， ( o ，e ) 妒 矛盾。定理证 毕。 第四章当t _ 0 时s ( t ) 的渐近性态 本章将证明，在参数满足( n ) ，( b ) 的情形下，当t 较小时，s ( t ) 是连续可微的。且当t _ 0 时，圻s ”) - 一譬这里是某个超越方程的解 先考虑( a ) 的情形：令w = e - e x - 州u ，其中 目= ；一孝，咖= ( r + 卅i ，萨 ( 4 1 ) 则l u = e 妇+ 州( w t 一 口2 。) i e s x + p o t h w 所以变分不等式( 1 6 ) 可写成如下形式： h w f 1 叫妒，( h w f ) ( w 一妒) = 0a e i n q t ( z ，o ) = t f ，( z ，o ) ， 一o o x + o o ( 42 ) 这里 f ( z ，) ：e 一。一p o t p k e 。，讪( 。，t ) = e - s x - p o t 妒( ，t ) 且显然有：h e = e - s x - p o l 妒 假设i 很小时，s ( t ) c 1 ( o ，1 ，引入函数 u ：昙( ”一币) ( 4 3 ) ”2 瓦( ”一妒j 卜“ 则变分不等式( 4 2 ) 可转化为一个s t e f a n 问题对日一咖) = f 一日妒i b ，8 ( t ) 。 o 。 两边求导，并由边界条件； ( 一妒) ( 5 ( t ) ，t ) = 0 ，( 一币) 。( s ( t ) ，t ) = 0 ( 4 - 4 ) 可得到下列的式子： 毗一百0 - 2 u 。z = 鼠，s ( t ) z 。，o t 下l ， ( 4 - 5 ) u ( s ( t ) ，t ) = 0 ，o t t 1 ， 叫m ”) 一刍b ( 5 ，啪协) = o ，o t n 口( 茁，0 ) = b ( z ，0 ) ， 。o 茁 o o ， 1 0 ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) 塞里塑芏焦煎塞1 1 由前面关于，忱的估计，可得： 陋净，t ) l o ( e 。船+ i ) ，s ( t ) 。 。，0 。) ( 4 。1 8 ) 塞皇盔堂亟圭堂垡鱼墨 1 2 为确髭n ，往惹到当o 0 所以有 矗的计算如f ，记j 力： j ：，“5 ，+ o o k ( x , # ，哟( ，r ) 筘恁一i ( r ) ) k 喇r ej o ( r 1 交换积分次序，再分都积分可碍： ，一k ( x ，t ，i ( t e ) ，t 一) 9 0 一e ) ，t e ) 一耳( ，t ，罾( e ) ，e ) g ( 蟊) ，e ) 一，仁f f o f 。，t ，士( f ) ，r ) 9 峰( r ) ，r ) + j r 。，( t ) ，t ) g ，( ( r ) ，r ) 】c 打一f ；( 。，t ，士( f ) ，r ) 9 峰( r ) ，r ) + j r 。，( t ) ， r ( ( r ) ，r ) j d r ( 4 2 3 ) f 4 ，2 4 ) 复旦大学硕士学位论文 1 3 注意到f 面两个的等式 酊( z ，t ，i ( r ) ，r ) 1 ，= k ；( 。，t ，岳( r ) ，r ) - t - r j g ( x ，t ，i ( r ) ，r )( 42 6 ) b ( ( r ) ，r ) r = g t ( 孟( t ) ，r ) ) 十日r g g ( i ( r ) ，r ) ( 42 7 ) 所以 r c e，e e ，= r g k x ( x ，t ，i ( t ) ，t ) 9 ( i 盯) ，r ) d t + 日r g k ( z ，t ，i ( 丁) ，t ) g ( i ( r ) ，t ) 打= j 1 + 如 j ( je 令 ”= 蔫巾 希+ 篡m ( 4 z s ) 所以 一磊譬唧吩帕+ 警，“脚，计驴浈印扣，出 这里q ( 。，q ) 是9 ( 孟( r ) ，r ) 经变量代换后得到的。由_ = 蒉弹，所以 矿盯2 ( t 一7 - ) = ( 。一孟( f ) ) 2 所以 巾= 生型拶 其中 = 4 r 苔叼2 盯2 t + 叩4 盯4 + 4 r g ( x 一。) 叼2 c r 2 所以 q ( z ，叼) = 9 ( 圣( r ) ，r ) i ，= r ( 。，町) 令e o0 ， 卜磊岛e x p ( 一知刚帅”2 v 弓) f 。t k 撕，咖畹咖_ ( 4 2 9 ) 其中 a = 忙 茁 圣( t ) z = 岔( t ) ， z i ( t ) ( 4 3 0 ) 复旦大学硕士学位论文1 4 j 对。求导，注意到右端的第一项并不是z 的连续函数，所以这里是在广义函数意义下求 导。求导后再令z _ s ( t ) + 0 ，得： = 磊宁唧c 一瓤吼咖”+ 警去唧卜鹄m m ，訾，点 + ( 0r a + 警) ：m ，啦，r m ) , r ) d r ( 4 3 1 ) 将8 ( t ) = z o n 以代入上式，再令t _ 0 得到：无右端第一项趋于零( 积分上下限都是 一。) ，第二项趋于零是因为函数q 的值在t _ 0 时有界，而指数函数趋于零。第三项的情况 类似于 ，所以该项趋于零。所以t - 0 时如- 0 下面计算矗，记 ，十。 。2 上k ( 文。，p ( 洲r 一4 打 ( 4 3 2 ) 交换积分次序，并注意到r 满足0 0 ，宦出边界s ( t ) g 1 o ，】，并虽 2 狐( t ) 叶一n ，t _ 0 其中j 是( 4 3 4 ) 的唯一解。 1 5 上霜的做法司尉棒用于参数( b ) 黝情彤这肘： 一日扫( 站，t ) 一h ，t 。，a l p 十芦r g 一予_ 二毛i 一弘女) e “一。“ 。 及当峦 面( 时： - b ( x ，t ) ( p f 当荔一“南) e 。一缸+ = 一a 2 0 ，且 2 诉s 印) _ 一n ，t 砷0 其中是f 4 。3 7 ) 静难一簿。 参考文献 1 胥会平，一类具有利率保障的投资连结保单的定价问题，复旦大学硕士学位论文，2 0 0 1 年 2 】a v n e rf r i e d m a n ，w e i x is h e n ：av a r i a t i o n a li n e q u “i t ya p p r o a c ht of i n a n c i a lv a l u a t i o no fr e t i r e m e n t b e n e f i t sb a s eo ns a l a r yf i n a n c es t o c h a s t 6 ，2 7 3 3 0 2 ( 2 0 0 2 ) f 3 】a v n e rf r i e d m a n p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o no fp a r a b o l i ct y p e n e wj e r s e y , p r e n t i c e h a l l ：e n g l e w o o d c l i f f s1 9 6 4 【4 a v n e r f r i e d m a n ：v a r i a t