（基础数学专业论文）一类常微分方程组及分数阶微分方程的解的存在性.pdf

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l i o u v i l l e 边值问题的正解的存在性及一 类r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶微分方程的初值问题解的存在性书要内容如下： 本文第一章给出j ，非线性泛幽分析的一些基本定义和性质，并列出。j ，后而 两章用刽的关于4 i 动点存在的几个引理，这螳引理在本文主要结果的证明中是 至关重要的 第二章考虑了f 述四阶和二阶微分方程组的奇异s t u r m - l i o u 、，i l l c 边值问 e z ：篡= ，。， 兰荨兰裹曼三三：，!：，=。， 产“咖) = 他州圳， 蜒( o ，卅， 1 矿一秒( 删脚：6 ，d x - 2 y ( 叫k 。：吐 削加志序叫刊卵) d ， 蛐= ( 未) 2 俨，= 南( 芸) 2 序计吲州 i li 东大学硕士学位论文 d 。一2 毫，( z ) k ：= o = l i h k ，o + 2 - - o 可( z ) 关键词：奇异s t u r m - l i o u v i l l c 边值问题：微分方程组：正解；r i c m a n n - l i o u v i l l e 分数阶微分方程；上下解方法；单调迭代方法 i i i - i li 东大学硕士学位论文 e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s y s t e ma n df r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n x i a o l if a n ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t s i n c et h e2 0 t hc e n t u r y , a l ls o r t so fn o n l i n e a rp r o b l e m sh a v er e s u l t e df r o m m a t h e m a t i c s ，p h y s i c s c h e m i s t r y , b i o l o g y , m e d i e i t m ，e c o n o m i c s ，e n g i n e e r i n g ，c p b e r n e t i c sa n ds oo n d u r i n gt h ed e v e l o p m e n to fs o l v i n gs u c hp r o b l e m s n o n l i n e a r f u n c t i o n a la n a l ) ：u i sh a sb e e n ( ) l i eo ft l wm o s ti m l ) o r t a n tr e s e a r c hf i e h l si nm o ( 1 e r n m a t h e m a t i c s l e 1 b r o u w e rh a de s t a b l i s h e dt h e , c o n c e p t i o no ft o p o l o g i c a ld e - w e ef o rf i i f i t e ( 1 i n w r l s i , m a ls 1 ) a 钾i n1 9 1 2 。i l e r a ya n d 1 s , ：h a u d e rh a de x t e n d e d t i l ec o n c e p t i o nt oc o m p h ：t e l y _ o l l t i l l u o u sf i e l do fb a n a ( ：hs p ：w ei n1 9 3 4 ，a f t e r w a r de r o t h e ，m a k r a s n o s e l ：s k i i ，p h r a b m o w i t z ，h a m a n n ，k d e i m l i n g h a dc a r r i e do ne m b e d d e dr e s e a r c ho i lt o p o l o g i c a ld c g r e ca n dc o n et h e o r y m a n y w e l lk n o w nm a t h e m a t i c i m mi nc h i n a ：s a yz h a n gg o n g q i n g ，g u od a j u n ：c h e n w e n y u a n ，d i n gg u a n g g u ia t t ds u nj i n g x i a ne t c ，h a dp r o u dw o r k si nv a r i o u s f i e l d so fn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s ( s e e 【1 9 】) t h em e t h o dt or e s e a r c hn o n l i n e a rp r o b l e mn m i n l yh a st o p o l o g i c md e g r e e m e t h o d ，p a r t i a lo r d e rm e t h o d 1 0 w e ra n du p p e rs o l u t i o nm e t h o d f i x e dp o i n t t h e o r y , m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u ea n d s oo n a l s oi tp r o v i d e sam u c he f f e c t t h e o r e t i c a lt o o lf o rs o l v i n gm a n yn o n l i n e a rp r o b l e m si nt h ef i e l d so fth es c i e n c e a n dt e c l m o l o 母- a n dw h a ti sm o r e ，i ti sa ni m p o r t a n ta p p r o a c hf o rs t u d y i n g i m n l i n c a rd i f f e r e n t i a l ( x l u a t i o l t sa r i s i n gh o ml n a l l ya l j p l i c ( 1m a t h c m a t i ( s t h ep r e s e n tp a p e rm a i n l yi n v e s t i g a t e se x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rs o m ed i f - f e r e n t i a le q u a t i o ns y s t e ma n df r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a l ( x l u a t i o nb yu s i n gl o w e ra n d u p p e rs o l u t i o nm e t h o da n dm o n o t o n ei t e r a t i v et c c h n i q u e a n dt h em a i nc o n t e n t s a r ea sf o l l o w s ： c h a p t e r1 百v c ss o i i l c1 ) r e j i m i n a r yd e f i i f i t i o n sa n dp r o p e r t i e so fn o n l i n e a r f u n c t i o n a la n a l y s i s ，a n dg i v t 葛s e w ! r a ll c m m a s0 nt h ee x i s t e n c eo ff i x e d1 ) o i n t ， w h i c hp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nn e x tc h a p t e r s 一i v 一 i l j 东大学硕士学位论文 c h a p ! e r2e d r l q i d e r st h ef o l l o w i n gf o l t r th - o r d e ra n ds e c o n d - o r d e rd i f f e r e n ti a l e q u a t i o ns y s t e mo fs i n g u l a rs t u r m - l i o u v i l l eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m u ( 4 0 ) = f ( t ，u ( o ，一“( ) ，u ( ) ) ，t ( 0 ，1 ) ， 一( ) = 9 ( t ，u ( ) ：移( ) ) ，t ( 0 ，1 ) ， 三蓦兰爱曼三二：，：!未!艺，=。 n = a i c i + r l i d i + 兢舀 0 ，i = 1 ，2 ( 月_ “) ：，c ( ( o ，1 ) ( 0 ，0 0 ) 37 【o ，o c ) ) ，g ( ? ( ( o ，1 ) ( 0 ：) 2 ，【0 ，o c ) ) f ( t ，1 ，1 ，1 ) ，g ( t ，1 ，1 ) c ( 0 ，1 ) ，f ( t ，1 ，1 ，1 ) 0 a ( t ，1 ，1 ) 0 ：t ( 0 ，1 ) ， t h a ti s ，f ( t ：z l ，x 2 ，x 3 ) ，g ( t 七l ，x 2 ) m a y b es i n g u l a r a t z l = 0 ：x 2 = 0 ，2 ：3 = 0 ，t = 0a n do rt = 1 c h a p t e r3b ym e a n so ft h el o w e rm i du p p e rs o l u t i o nm e t h o da n d m o n o t o n e i t e r a t i v et e c h n i q u e ，i n v e s t i g a t ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mi n v o l v i n gr i e m a n n - l i o u v i l l e f r a c t i o n a ld e r i v a t i v e s id “可( z ) = ，( z ，剪( z ) ) ： z ( 07 ，j ： 【d “一1 1 ，( z ) k = 0 = 6 ，d 一2 y ( x ) l ：o = z ， w h e r e0 t a n d1 0 ，使得当 t l ，t 2 f n 6 】，l 亡l 一2 l 6 时，对任意：c ( ) 、，有i x ( t 1 ) 一z ( t 2 ) l 0 。s2 一f a ，h i ( 一o 。 n 0 ) ， ( 。瓤_ 1 ) = 揣( 广( n 0 ) l i t 。 l i i 东大学硕士学位论文 第二章一类四阶和二阶微分方程组的奇异s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题的正解 题： 2 1 引言 。 本章主要研究一类四阶和二阶微分方程组的奇异s t u r m - l i o u v i u e 边值问 u ( 4 ( ) = ( t ，扎( ) ，一t ( ) ，口( ) ) ，t ( o ，1 ) ， 一( t ) = 9 ( t ，“( ) ，口( ) ) ，t ( 0 ，1 ) ， ( 2 1 1 ) l 札( o ) = u ( 1 ) = 0 j l 五l 仳”( o ) 一5 l ( o ) = 石l ，( 1 ) + 五( 1 ) = 0 ， ( 2 1 2 ) i 五2 t ，( o ) 一2 秒7 ( o ) = 而t ，( 1 ) + 远( 1 ) = 0 ， 其中，g ：砒，- i ，磊，五( i = 1 ，2 ) 满足假设： ( h 1 ) ：盈20 ，玩0 ，西0 ，五20 ，五+ 玩 0 ，磊+ 五 0 ， 店= 砒磊+ a i 五+ 瓦磊 0 ，i = 1 ，2 ( 飓) ：，c ( ( o ，1 ) ( 0 ，) 3 ：1 0 ，o 。) ) ，9 c ( ( o ，1 ) x ( 0 ，) 2 ，【0 ，o o ) ) ： ，( t 1 ，1 ：1 ) ：a ( t ：l ，1 ) c ( o ，1 ) ，f ( t ，1 ，1 ，1 ) 0 ，a ( t ，1 ，1 ) 0 ，t ( 0 1 ) ， f ( t ，z 1 ，x 2 ，x 3 ) ：g ( t ，z l ，z 2 ) 可能在z l = 0 ，z 2 = 0 ，幻= 0 ，t = 0 及t = l 奇 异，并且存在常数b ，锄，( 一0 0 a 巧 i t i j 1 ，i = 1 ，j = l ，2 ，3 ，i = 2 ，j = 1 ，2 ) ，a l i 0 肛l i 1 a 1 2 0 p 1 2 l 入2 2 0 p 2 2 1 ， i i 正l l + t z 2 1 p z a 0 舰1 0 使得对于t ( 0 ：1 ) ，x l ，勋，y l ( 0 ，o o ) 有 c p l l f ( t ：z l 2 ；2 ：可1 ) f ( t ，c x , 1 ，x 2 ，可i ) 5c a “( t ，z l j z 2 ，y 1 )若0 c l ( 2 1 3 ) c - 1 2 f ( t ，x l ，x 2 ，y 1 ) f ( t ，x l ，c - r 2 ，y 1 ) 1 2 f ( t ，z l ，t , 2 ，y 1 )若0 c l ( 2 1 4 ) c ，q 3 f ( t ，z l ，g c 2 ，y z ) l ( t ，z l ，z 2 ，c y l ) s 一”f ( t ，z l ，x 2 ，y 1 ) 若0 csl ( 2 1 5 ) ( 炉1 9 ( ，1 1 ，y 1 ) 9 ( ：c x l ，y i ) 一2 1 9 ( ，x l ，可1 ) 若0 0 ，v ( t ) 0 ，对于t ( 0 ，1 ) 若( 让，v ) 是 奇异边值n d 题( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 的c 2 ( o ，1 1 c o ，1 】正解，且u ( 3 ) ( o + ) ，札( 3 1 ( 1 一) 和 7 ( o + ) ，u ”一) 都存在，则称( 牡，秽) 是奇异边值n d 题( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 的 c 3 【o ：1 】c 1 【0 ，1 】正解 当( 2 1 2 ) 中玩= 五= 0 ，i = 1 ，2 ，奇异边值问题变成 fu ( 4 ( ) = f ( t ，札( ) ，一( ) ，勘( 观t ( 0 1 ) ， 一v i i ( t ) = 9 ( t ，t ( ) ，( t ) ) ，t ( 0 ，1 ) ， ( 2 1 1 3 ) 【t l ( o ) = 仳( 1 ) = 扎( o ) = 牡”( 1 ) = 0 ，”( o ) = 秽( 1 ) = 0 文【l o 利用上下解方法给出了奇异边值问题( 2 1 1 3 ) 正解存在的一个充 分必要条件本文是文【1 0 】的扩展，主要考虑奇异的s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题 ( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) ，并利用一卜下解方法给出j i j 解存在的一个充分必要条件 一4 一 l li 东大学硕士学位论文 满足 2 2 基本引理 定义2 2 1 设( n l ，q 2 ) 俨【0 ：1 】n c 4 ( o ，1 ) c o ，1 】n c 吃( o ，1 ) ，若( n l ，a 2 ) q f 4 ( t ) f ( t ，0 l l ( ) ，一a ? ( ) ，n 2 ( t ) ) ，t ( o ，1 ) ， q 1 ( o ) o ，口1 ( 1 ) s0 ， 一( a l o ，( o ) 一5 l o ，( o ) ) s0 ：一( 百。倥，( 1 ) - t - 五q ，( 1 ) ) 0 ， ( 2 2 1 ) 一o ；( ) sg ( t q l ( t ) ，n 2 ( t ) ) ，t ( 0 ，1 ) ， 奶0 2 ( o ) 一瓦a ：( o ) 0 ，而0 2 ( 1 ) + - - 2 q 2 1 ( 1 ) 0 则称 1 ，n 2 ) 是奇异边值f i , - l 题i , ( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 的下解 定义2 2 2 设( 厅i 伤) c 2 o ，1 】n c l ( o ，1 ) c o ，1 】n c 2 ( o ，1 ) 满足 硝4 ( t ) s ( t 口l ( ) ，一硝( ) 仍( ) ) ，t ( o ，1 ) ， ( i l ( o ) 0 ，眈( 1 ) 0 ： 一( 五l ，( o ) 一5 l 口，( o ) ) 0 ，一( 已l z 誓( 1 ) - t - d l f l ： ( 1 ) ) 之0 ，( 2 2 2 ) 一腭( ) o ( t p l ( 啦仍( ) ) ，( 0 ，1 ) ， a 2 脘( o ) 一如磁( o ) 0 ，z ：2 8 2 ( 1 ) + 五呸( 1 ) 0 则称( 佛，f ) 2 ) 是奇异边值问题( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 的卜解 定义2 2 3 在俨心，纠n c 4 ( ，b ) xc a ：纠n ( n ，b ) 巾定义一个半序：z = ( z 1 ，z 2 ) 5 耖= ( y l ，伽) 当日仅当 z i ( ) s 玑( ) ，t 【a ，b l ，i = 1 ，2 ，及一z ：( ) 一秒i l z t 、，t 【n ，纠 ( 2 2 3 ) 引理2 2 1 【1 3 】如果z 【n ：6 】n c 4 ( n ：b ) ：满足z ( n ) 0 ，z ( 6 ) 0 ， 一( 五l z ( n ) 一云l z ( 6 ) ) 0 ，一( 西一( 口) + 五z ( 6 ) ) 之0 ：和z ( 4 ( ) 0 ，t ( a ，6 ) ， 则z ( ) 0 ，一矿( ) 0 ，t 【a ，6 1 为了方便，我们介绍以下的g e e n 函数： g 舡：s ，= 去 兰j 三：二三二：；三： c 2 2 4 ， i l i 东大学硕士学位论文 i = 1 ，2 ，其中p i 由条件( 日1 ) 给出 1s ( 1 一) ，s t ， g 3 ( ，s ) = it ( 1 一s ) ，t s 晰，= 壶 器二糕兰 其巾j = i + 3 ：i = 1 ，2 对于t ：s 0 ，l 】，我们有 胁g i ( t ，t ) g i ( s ，s ) g l ( ? s ) g l ( s ，s ) 或g l ) ，i = 1 ，2 ； ( 舯胁2 面焉南，_ 1 2 ；) g s ( t ：t ) g s ( s ，s ) g 3 ( t ，s ) g s ( s ，s ) 或g s ( t ，) ； q ( ，t ) q ( s ：s ) g j ( t ，s ) q ( s ，s ) 或q ( ，) ，j = 4 ，5 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 毗( ) = 魂+ 云f ，奶( ) = 磊( 1 ) + 五，t 【0 ：l 】，i = 1 ，2 ：( 2 2 7 ) e ( t ) = 蛳( 咖 ( ) ：i = 1 ，2 ，e ( t ) = t ( 1 一t ) ，t 【0 ，l 】 ( 2 2 8 ) 引理2 2 2 假设条件( 目) 和( 风) 成立设( z 。( ) ，勋( ) ) 是奇异边值问 题( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 的( p 【0 ，1 1 c 1 【o ，1 】止解，则存在常数厶l ，厶2 及0 甜， 0 厶l 2 ，0 ， 2 0 ，对于t ( o ，1 ) 且z ：( o ) 0 ，( 1 ) 一6 一 i ij 东大学硕士学位论文 ：三zf01。夕。，z，。，z。，d。：z：。，一z：。1，。(，3)(。)oc z ：( )= z 1 g 心 s ) 他国，一心( 枷d s ， o ，l 】： z - ( ) = 0 1f o ig 3 ( ，) g - ( f 5 ) ，( s ，z - ( s ) ，一z ：( s ) ，z ：( s ) ) d s ， z 。( ) = f o 1 g 2 ( z js ) 夕( s ，z t ( s ) ，z 。( s ) ) d - s ，t 【0 ，l 】， ( 2 2 1 2 ) 1 0 1 】j ( 2 2 1 3 ) 其中g l ( t ，s ) ，g 2 ( t ，s ) ，g s ( t ，s ) 分别由( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 给出由( 2 2 1 3 ) 式知 一z ：( ) e t ( , - i 0 1 ，( s ，z t ( s ) ：一( s ) ，z z ( s ) ) d s ， 【0 ，1 1 州蛏) z 1f o ia , ( m 忍( s ) ，一啪) 渤d t 以雌础) 去z 1 小：州s ) ，以s ) ) 电【o l l ， 一z ：( ) z l ( t ) 2e t ( t ) u i ( i ) v i ( o ) ( 2 2 1 4 ) g l ( s ，s ) ，( s m ( s ) ，一z ：( s ) ：耽( s ) ) d 5 ：f 0 1 】 ，0 e ( , 0 1z 1 g 永g l ( 。) m ，州s ) ，一( s ) ，以s ) ) 捌f ，f x 2 ( t ) e 2 ( t ) u 2 ( 1 ) v 2 ( o )z 1 g 2 化s ) 如，州n 珠) ) d s ，【0 1 1 1 令，- - = o 0 1 g 毛( f ：f ) g - ( f ，s ) ，( s ，z - ( 5 ) ，一z f ( s ) ：z 。( s ) ) d s d ， z t 。= f o x f o xg l ( f ，5 ) ，( s ，z 。( s ) ，一z ：( s ) ，z 2 ( s ) ) d s d f ， ( 2 2 1 5 ) 一7 一 t li 东大学硕士学位论文 ，f 2 =u l ( 1 ) v i ( 0 )z 1g l ( s m 阳( s ) ，叫心) d s ， = 去z 1 ，( 异，z ( s ) ，一z ：( s ) ，z 。( s ) ) d s ， ，2 l = u 2 ( 1 ) v 2 ( 0 )z 1 g 2 ( 邓她州n 以枷d s 厶2 ：1 厂1 夕( s ，z 。( s ) ：z 2 ( s ) ) d s 比j o 则由( 2 2 1 4 ) 和( 2 2 1 5 ) 式推出( 2 2 9 ) 一( 2 2 1 1 ) 成；：= 口 引理2 2 3 假设奇异边值问题( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 存在上下解n ( ) = ( n l ( ) n 2 ( f ) ) ， e ( t ) = ( l ( t ) ，侥( ) ) ，使得n ( t ) ，f j ( t ) 俨【o ，1 ) n c 4 ( o ，1 ) c o ，l 】n 俨( o ，1 ) ，0 q t ( ) s 伉( t ) ，i = l ，2 ：0 一n ? ) 一p ，( ) jt ( 0 ，1 ) ， “l ( 歹) = 仔l ( j ) = 0 ，j = 0 ，l ，五l n ，( o ) 一6 l 什r ( o ) = 石l n ，( 1 ) + d l n 驯( 1 ) = 0 ，a 2 c , 2 ( 0 ) 一 瓦n ：( o ) 一恐屹( 1 ) + d 2 n ：( 1 ) = 0 则奇异边值i 丌j 题( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 至少有一个 伊【o ：1 1 c o ，l 】正解，满足n ! z ! 口另外，若存在r ( ) l 1 【0 ，1 】，使得 i s ( 屯z “t ) ，一z ： ) z z o ”i 只 l n5z ! p ，( o ，1 ) l i s ( f ：z l ( ) ，z 2 ( 洲r ( ) ， ( 2 2 1 6 ) 则奇异边值问题( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 的解z ( ) = ( z l ( ) ，z 2 ( z ) ) 是c 3 o ，l 】c 1 【0 ，l 】 正解 证明设序列 n 。) ， k 满足0 a r t + l n 。 a l 1 2 b l b 。 b 。+ l l ，n 。一0 ，k l当n 一。c ，时，并设序列 硝? ， r 髫( i = l ：2 ，3 ) 满足 一8 一 “。( n 。) r ：sp 。( n 。) ，n ，( k ) ， ；8 ( 6 ，。) ， 一( 五，q ：( 口。) 一云，q ( 3 ( n 。) ) sr 。( n 一( 五，d ? ( 。) 一- 1 p i 3 ( o 。) ) ， 一( 乏l n ：( k ) + 五n ( 3 ( 6 。) ) 趣一( l f j ? ( 6 。) + 五 3 ( 6 。) ) ， 五2 c ，2 ( n 。) 一r t ：( n 。) s 趱a 2 1 j 2 ( a 。) 一瓦瞄( n 。) ， 而a 2 ( 6 。) + 口- - 2 0 2 1 ( 6 。) r 墨而眈( 6 。) + 五呸( k ) ， 古一0 ，i = l ，2 ，3 ，j = 1 ，2 ，当礼_ ( 2 2 1 7 ) l 【l 东大学硕士学位论文 作辅助函数，对n ，比( ) = 0 l ( ) ，z 2 ( ) ) c 2 l n 。，b n 】c a 。，= d 。t 有 r ( z ) ( ) 瓦( z ) ( ) 一o ? ( ) ，o l 2 ( t ) ) ，若q z ， 一z ：( ) ，z 2 ( t ) ) ，若n 三z 兰p ， ( 2 2 1 8 ) 一口， ) 侥 ) ) ，若z 秽， n ：l ) ，n 2 ( ) ) ，看n 菪z ， x l ( t ) ，z 2 ( ) ) ，若。三z ! p ， ( 2 2 1 9 ) p 1 ( t ) 阮( ) ) ，若z 差p 由条件( 仍) 知r ，死：d 。一1 0 ，o 。) 对每一个n ，考虑非奇异边值问题 z r ( ) = r ( z ) ( t ) ，t 【砚。k l ， 一z ：( ) = 瓦( z ) ( 亡) ，t k 。，b 。 ， z l ( o 。) = r i ：z l ( 6 ，。) = r m l 2 ， ( 2 2 2 0 ) 一( a 。( n 。) 一5 z 3 ( n 。) ) = ，磐，一( 西z ：( k ) + 五z 3 ( 6 。) ) = 趣， a 2 x 2 ( 。) 一如z ：( ) = 搬，而z 2 ( k ) + 五上：( k ) = 趣 显然，( 2 2 2 0 ) 式等价于积分方程组 a 。l ( z l ( ) x 2 ( t ) ) a 。2 ( x l ( t ) ：z 2 ( ) ) + c g 如酬( s ) d s ， g n 3 ( ，s ) 玩1 0 ) ( s ) d s ， 奶( 一) ) 趱】 其中， 一剥碱t ( 删= 去陋6 n 叫+ 五) r 扎( 岫( t - - a n ) ) f o r t + g 。l ( ，s ) r ( z ) ( s ) 如 ，n n ( 2 2 2 1 ) r 别 j ( 2 2 2 2 ) 一9 一 ， ， ， 、j、j、， t ，、，i、，t l l l o z ， ， ， t ，k，l， ， ， ， ，-i-l-iii，、_-lll = 口： 口： 9 ，il_-_，、i-_【 厂上醍 ，i ) 一 饕扣 i lj 东大学硕士学位论文 刚铀，= 韶渊篙羔篓 刚如，= 击瞄篙誊 令k = c 哆【n 。，b 。】xc f n 。，k 】，a 。( z l ，x 2 ) = ( a 。1 ( ：r l ，z 2 ) ，a 。2 ( x l ，z 2 ) ) 可知k 是b a n a c h 卒问，i i = 1 i = m a x i x l l 2 ，l z 2 i o ，比= ( x l ，x 2 ) ，其中 f x l o = m t l y 。a 。s 6 。l z ( t ) l ，l z l 2 = m a x a 。t 6 。i z ( ) i 易证a 。：x 。_ x 。是仝连续算f 且a 。( 五；) 有界则z x 。足( 2 2 2 0 ) 式解的 充分必要条件是a 。x = z 利用s c h a u d e r 不动点定理知a 。至少有一个f i 动点 z 。= ( z 。( ) ，x n 2 ) ) c 4 o 。，k 】c 口k 。，6 ，。1 下证 q ! z 。! ， fn i ( ) ( ) 成( ) ，kb n 】，待1 ，2 ， 、一，。，( t ) 一z ：l ( ) 一群( ) ，【。，k 】， 从而z 。= ( x n l ( ) ：x n 2 ( t ) ) c 4 k ：k 1x 俨k 。，6 n 】满足 ，z 瓣( ) = f ( t ，z 。l ( ) ，一z ：1 ( ) ，z 。2 ( ) ) ，【，k 】， 【一z 。1 1 2 ( ) = 9 ( ，z 。l ( ) ，z 。2 ( ) ) ，t 【a n ，b n 事实上：若命题f i 成立，不妨设上。墨j 由r ，瓦的定义知 fr ( z 。) ( ) = y ( t 肿) ：一硝( t ) ：侥( ) ) ，t 吼 【i n ( z 。) ( ) = a ( t ，p 1 ( t ) ：成( t ) ) ，【n 。，6 n 】 即 fz 辨( ) = f ( t ，伪( ) ，一钟( ) ，也( ) ) ，t 【n n ，叫， 【一z 袅( ) = a ( t ，p l ( ) ，位( t ) ) ：t 【，6 n 】 一1 0 一 ( 2 2 2 5 ) ( 2 2 2 6 ) ( 2 2 2 7 ) ( 2 2 2 8 1 、7 ( 2 2 2 9 ) 3 4 2 2 2 2 2 2 i li 东大学硕士学位论文 另一方而，由于p 是奇异边值问题( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 的上解，故有 则令 i 4 ( ) f ( 1 ，3 l ( ) ，一f j t ( t ) ，侥( ) ) ，t 【a n + 6 ，。1 一硝( ) g ( t ，印l ( ) ，仍( ) ) ，t 【n 。，6 ，。】 磊( t ) = 3 f ( t ) 一z 。l ( t ) ，t 【a 。， 由( 2 2 1 7 ) 和( 2 2 2 0 ) 式知 k 】，i = 1 ，2 ， z i 4 ( t ) 之0 ，一巧( t ) 0 ，t ( f l 。，b n ) ，z l ( n 。) 之0 ，2 l ( 6 。) 0 ， 一( a 1 名，( 。) 一b l z 3 ( n 。) ) 0 ，一忙l ( 6 n ) + 而2 ( “( 6 ，1 ) ) 之0 ， a 2 2 2 ( a 。) 一6 2 之( n 。) 0 ，否2 2 2 ( b n ) + d 2 z ：( b 。) 0 根据引理2 2 1 和极人值原理可得 蔬( ) 0 ，i = 1 ，2 ，一名，( ) 0 ，t 【o 札，k 1 即z 。! ，与z 。塞d 矛盾闪此，z 。墨f j4 i 成立 同理可证a5z 。| 大i 此( 2 2 2 6 ) 和( 2 2 2 7 ) 式成立 因为k t ，b l 】c ：b n 】，扎= 1 ，2 ，对每一个n ，t 。陋l ? b l 】口j 得 i z 。( 2 l i + 1 ( 。) i = i = 0 1 z ：z 2 ( k ) l = i 上翁( ，i ) 一x 。( 2 i ( 0 1 ) 6 i 一 z 。2 ( b i ) 一z 。2 ( a 1 ) 6 1 一n 1 2 2 b l n l 6 l n l ( 2 2 3 0 ) 【( 一1 ) 。，f 2 订( 6 ，) + ( 一1 ) p ：2 j ( n 。) 】： f 鲍( 6 1 ) + 陵( 1 ) 】 假设( 必要时可以巾子序列代替) k t o 【n n ，b n ! 由( 文【1 4 ，定理3 2 ，p 1 4 ) 知，方程 z ，( ) = f ( t ，z 1 0 ) ，一硝( ) ，勋( ) ) ，t ( o ，1 ) ， 一i t ( t ) = 9 ( ：z l ( ) ，z 2 ( ) ) ，t (