（基础数学专业论文）具有环绕几何结构的非线性2qlaplace型问题非平凡解的存在性与渐近性.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文研究了r 中有界区域q 上的一类带奇异扰动的具有所谓环绕几何结 构的2 一q l a p l a c e 型非线性椭圆问题： _ 牡一口( z ) u - - e q u = ，( z ，牡) z q ( 1 1 ) 。 l 叫施2 0 的非平凡解的存在性和当_ 0 + 时相应非平凡解的渐近性质。这里： 0 ，a 口u = d i v ( v u q 一2 v u ) ，1 q 2 0 ，使得对任何0 e o ，( 1 1 ) 。都有一个非平凡解 u e 且对任何一串s n _ 0 + ，存在( 饥。) 箸的子列 也) 昔和( 1 1 ) o 的某个非 平凡解豇，使得u 。_ 面于明( q ) 。这一结果将 1 0 1 中关于( 1 1 ) o 的非平凡解的 存在性结果推广到了2 一q l a p l a c e 型方程。 关键词：2 一q l a p l a c e 型；非线性椭圆问题；环绕几何结构；非平凡解；渐近 性质； a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o n sa n dt h ea s - y m p t o t i cp r o p e r t i e so fs o l u t i o n st ot h ef o l l o w i n gn o n l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m sw i t h s i n g u l a rp e r t u r b a t i o ni nab o u n d e dd o m a i nq cr ： k = 却训掣n 印 ( 1 1 ) w h e r e 0 ，a 口让= d i v ( v u l q 一2 v 让) ，1 q 2 0s u c ht h a tf o ra n y0 e e o ，( 1 1 ) ep o s s e s s e s a tl e a s tan o n t r i v i a ls o l u t i o n 啦a n df o ra n ys e q u e n c ee nw i t h n _ 0 + ，t h e r e i sas u b s e q u e n c e ( 。k ) 答【u e n ) 箸s u c ht h a t 札一云i n 础( q ) f o rs o m e n o n t r i v i a ls o l u t i o n 面o f ( 1 1 ) o o u rr e s u l tg e n e r a l i z e st h ec l a s s i c a lr e s u l ti n 【1 0 】 a b o u tt h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o n so f ( 1 1 ) 0t ot h e2 一q l a p l a c i a nt y p e p r o b l e m ( 1 1 ) e k e y w o r d s ：2 一q l a p l a c i a n ；n o n l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m ；l i n k i n gg e o m e t r i c s t r u c t u r e ；n o n t r i v i a ls o l u t i o n s ；a s y m p t o t i cp r o p e r t i e s i i 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 储挠缈吼研年乡月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同意华中 师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 作者张睥愉 嘲：1 年乡胁7 日 导师签名： 李乒尝 日期：7 川年少月刁日 本人已经认真阅读“c a m s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。回意途室握童后进卮；旦堂生；旦二生i 旦三生蕉鱼! 作者签名：障州 帆砷年岁肥7 日 孙叛巷乒学 啪：1 明日 第一节引言与主要结果 本文研究酞中有界区域q 上的带有奇异扰动的2 一口一l 印z 口础型非线性 椭圆问题： k = q 吲咄一 的非平凡解的存在性和当一0 + 时相应非平凡解的渐近性质。这里：e o ，口“= d i 口( i v 札1 4 2 v u ) ，l q 2 ，n ( z ) l 譬( q ) ，c o ( f ixr 1 ，r 1 ) 。 为了给出i ( x ，t ) 应满足的条件，我们先回忆一些关于椭圆算子的特征值问 题的知识。 由紧算子的谱理论( 见【4 ，第四章第三节j 另见本文引理2 1 2 ) ，可设 为特征值问题 一o o a 1 a 2 入3 k = 一“印 ( 1 2 ) 的全部可数个特征值，且躲= + o 。，并令e 1 ，e 2 ，e n ，为刀3 ) 中相应的 全部特征函数，并且在三2 ( q ) 的意义下， ( e ；) 昔为标准的正交基，即 小勺如= 如= 1 , i = j ， 从而有 上 v 勺v e t n ( z ) 勺鲥如= 上e ；勺如= 如 在本文中我们要研究( 1 1 ) 。具有环绕几何结构的情形，为此，我们假设 a l 0 ，故可假设存在死n ，使得 a l a 2 入3 入n 0 a n + l ( 1 3 ) l 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 下面我们给出( 1 1 ) 。中，( z ，t ) 的相关条件。我们假设f c o ( qxr 1 ，r 1 ) ，且 ( ) | 常数c i ，岛以及1 p 0 使得 0 r ( x ，t ) o t f ( x ，t ) ，当f t i ，z q ( 如) ! 鸳掣= o ，关于z 壳一致成立。 ( ，4 ) 警2 f ( x ，) ，v ( z ，t ) q r 1 ，其中f ( x ，) = ，( z ，s ) d s 。 我们称仳硪( q ) 为( 1 1 ) 。的一个弱解，若 上【v 让v 口一凸( z ) u ”】如+ ev u l q - - 2 v u v u 出= 上厂( z ，u ) u 如，讹础( q ) 由条件( ) 知，f ( x ，0 ) = 0 ，故显然u 三0 是问题( 1 1 ) 的个平凡解。我们希望 研究( 1 1 ) 。的非平凡解的存耷性问题。若令g ( x ，t ) = a ( x ) t + f ( x ，t ) ，则( 1 1 ) 。可 以看成下述问题 ：等毗一 的一种扰动。 ( 1 4 ) 问题( 1 4 ) 是近三十年以来非线性椭圆方程中被广泛研究的典型问题，由于 其具有变分结构，( 1 4 ) 的弱解的存在性等价于明( q ) 上其相应的变分泛函 ，( u ) = 互1 上i v 砰如一上g ( z ，u ) 如 在s o b o l e v 空间明( q ) 中的临界点的存在性，其中o ( x ，u ) = f 9 ( z ，t ) d t 。几 十年来，用临界点理论研究椭圆方程非平凡解已成为标准的方法。1 9 7 3 年， a m b r o s e t t i 和r a b i n o w i t z 提出了“山路引理”，具有所谓的“山路几何”结构的 c 1 泛函的临界点存在的理论框架( 见 2 】) ，从而基本上解决了( 1 4 ) 在所谓超线性， 次临界增长情形时的非平凡解的存在性。1 9 7 8 年，r a b i n o w i t z 又提出了“环绕 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定理”( 见【3 8 ) ，从而得到了( 1 4 ) 具有“环绕几何”结构时的非平凡解存在的结 论。 另一方面，较( 1 4 ) 更广泛的所谓p l a p l a c e 型问题 - 2 g ( x , u ) ，蚝q ( 1 5 ) i 让i a n = 0 t 的研究也有了相应的进展，这方面的文献颇多，这里我们仅列出 9 】。 p q l a p l a c e 型非线性椭圆问题 ：篓刊仕l 饫q m 6 ， 1 p ，1 q 是物理化学和其他科学中经常遇到的模型。例如反应一 扩散方程， u t = d i v d ( u ) v u 】+ c ( z ，让) ，( 1 7 ) 其中d ( u ) = ( i v u l p _ 2 - i - l v u r 2 ) 。这个系统在许多学科领域如生物物理学、 等离子体物理、薄膜物理学和化学反应设计学等中都有广泛的应用，反应项 c ( x ，u ) 一般是关于函数乱的一个变系数多项式。而( 1 7 ) 的平衡态解满足的就是 形如( 1 6 ) 的方程。近年来形如( 1 6 ) 及其在无界区域上推广的研究也已见诸于多 个文献。粗略地讲，具有“山路几何”结构时的( 1 6 ) 的非平凡解的存在性已被 得到( 见【5 】【6 】【7 】) 。i ( u ) 在札= 0 附近具有“山路几何”结构导致g ( x ，t ) 必须在 t = 0 处具有超线性，即：l i m 掣= 0 ，关于z q 一致。 当e = 0 时，方程( 1 1 ) 。看成( 1 4 ) 在g ( x ，t ) = n ( z ) + ( x ，t ) 的特殊情形。由 于条件( j c 3 ) ，我们可以看出坦i m 。掣= 。( z ) 于晓上，因而= 0 时方程( 1 1 ) e 一 般不再具有“山路几何”结构，所以不能用“山路引理”来得到解。对于在零 点非超线性的情形，我们往往采用环绕定理来证明，恰如文献 3 】【1 0 】中那样， ( 1 1 ) 。在e = 0 时的非平凡解是通过环绕定理来得到的。【3 】中定理4 2 证明了 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 在a ( x ) 口( 壳) ，0 r 0 ，我们记m p ：= 让= y + a z ：i i 乱| l p ，a 0 ，y y ， 且锘：= 乱= y + 入z ：y l l u l l = p ，入0 或l l 让l i p ，入= o ，r ：= u z ： | i = r ，以及 ， 一i n ，f m a ，x 。t ( 7 ( 札) ) ， 。 1 ru 彳p 、 r ：= 7 c ( m p ，研( q ) ) ：71 w = 泖 本文将 1 0 ，t h e o r e m 2 1 8 的结论推广到2 一q l a p l a c e 型方程的情形，并研 究了( 1 1 ) 。的解当e _ 0 + 时的渐近性质，主要结果如下： 定理1 1设qcr n 为一有界光滑区域，1 q 2 ，a ( x ) l 譬( q ) ； 且一o o a 1 0 ；另一方面，它得到了_ 0 + 时，“。的渐近性。 下面我们简单说明定理1 1 的证明思路。 问题( 1 1 ) 。可以看成( 1 1 ) o 的一种扰动，由条件( ，1 ) 一( ，4 ) ，易知- ，z 厶 c 1 ( 明( q ) ，r 1 ) ，我们希望用临界点理论及变分方法来得到足( u ) 的非平凡临界 点，从而得到( 1 1 ) 。的非平凡解。 对于形如h ( u ) - i - e g ( u ) 的c 2 的泛函，经典的临界点存在的结果可用一般 的扰动理论得到( 见【1 】中定理2 1 2 及定理2 2 5 ) 。然而由于1 q 0 。为了证明环绕定理得到的( 1 1 ) 。的所谓环绕解u 。，当s 0 + 时强收敛 于( 1 1 ) o 的一个非平凡解也，我们主要是通过精细的构造，使得关于厶( ) 的所 谓的环绕结构集合事实上与无关，而仅与凸( z ) 和，( z ，t ) 相关，从而能够通过 细致的估计证明u 。在础( q ) 中一致有界，进而有子列强收敛于( 1 1 ) o 的一个非 平凡解也。 我们采用标准记号，i l u l l 。= ( 如l u l 8 如) ，”忆表示l 5 ( q ) 上的范数：“一” 表示在线性空间上的两个范数等价；“一”和“一”分别表示在相应函数空间的 强收敛和弱收敛：用i e i 表示r 集合e 的n 一维l e b e s g u e 澳1 度；c 、c 表示任意 5 正的常数：d ( 1 ) 表示无穷小量，l i mo ( 1 ) = 0 。 n 本文第二节给出一些预备性结果，第三节证明定理1 1 。 6 到。 第二节预备性结果 本节中我们给出些定义和预备性结果，这些结果将在以后的证明中用 设( x ，| i | | ) 是一个b o 佗凸c 空间，x 7n x n 椭n ，( ，) 为x 与x 7 之间的 对偶算符，我们先给出x 上泛函导数的定义。 定义2 1设ucx 是开集，妒：u _ r ，为u 上的实泛函。若存在 ，x ，使得对任意的h x ，都有 l 。i ，r a 。1 妒( 乱+ t 危) 一妒( 让) 一( ，z 危) 】= o ， 称妒在缸处g a t e a u x 可微，并称，为妒在 l t 处g a t e a u x 导数。 若有，x 7 ，使得 n m i 高h l l 妒( u + ) 一妒( 廿) 一， ) 】= 。， 称妒在让处f r g c h e t 可微，并称，为妒在u 处f r d c h e t 导数。 易见，若妒在札处f r d c h e t 可微，则妒在让处必g a t e a u x 可微，且f r d c h e t 导数与g a t e a u x 导数相同，我们通常用妒7 ( u ) 表示妒在u 处的f r d c h e t 导数( 或 g a t e a u x 导数) 。若的f r d c h e t 导数存在，并在u 上连续，我们就称泛函 妒：u r 是c 1 的，记为：妒c 1 ( r ) 。 注2 2 ：g a t e a u x 导数由下列公式给出，对任意的h x ， ( 洲札) ， ) = l i r a 出+ 嘲一咖) 】_ 爰咖+ 嘲i 脚 利用中值定理我们有如下结果： 命题2 a ( 1 0 ，p r o p o s i t i o n l 3 】)若妒在u 上有连续的g 凸t e n 仳z 导数，则妒 c 1 ( 以r ) 。 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定义2 4空间日1 ( r ) ：一- - - u l 2 ( r ) ：v u l 2 ( r ) ) 赋予内积 ， ( 札， ) 1 ：= ( v u v + u , ) d z j r n 及相应的范数 i t 乱1 1 。= ( ( i v u l 2 + 让2 ) 出) ； j r 是一个h i l b e r t 空间。设qcr 为一个开集，础( q ) 定义为曙( q ) 在日1 ( r ) 中依范数的闭包。当q 为冗中有界开集时，础( q ) 的一个等价范数是由 i l u l l = ( 矗1 w 1 2 如) i 1 给出的。 命题2 5 ( 1 0 ，t h e o r e m l 9 】，r e u i c hi m b e d d i n gt h e o r e m ) 若q 为r 中有 界区域，则嵌入 础( q ) q 酽( q ) ，1 p 2 ；2 + = + o 。，若n 2 。 命题2 6 ( 1 0 ，l e m m a 2 1 6 】)若l q i 0 使得 l ，( z ，牡) l c ( 1 + i 仳i p - 1 ) ， 其中1 p 。o ，若n = 1 ，2 ；1 p 2 ，若n 3 。则础( q ) 上定义的泛函： 咖) ：= 上m ，u ) 如 满足：妒c 1 ( 础( q ) ，r ) 且 ( 妒n ) ，危) = ，( z ，u ) h d z ，v u ，h 硪( q ) ， ，q 其中f ( x ，) = 后，( z ，s ) d s 。 定义2 7 若( x ，”i | ) 是一个b a n a c h 空间，x 7 为x 的对偶空间，妒 c 1 ( x ，r ) ，任取一列满足以下条件的点列 z n ) 箸，使得 i 妒( z n ) i c 0 且z z ，为z 中一固定元素，满足 l i z l i = r 。定义 m ：= 让= y + a z ；l l u i p ，入0 ，y y 】， 死：= 乱= y + a z ；y vi i u | i = p ，入0 或i l u l i p ，入= o ) ， 若垆c 1 ( x ，r ) 使得 若对 肌：= 秕z ；恻i = r ) b ：= i n f 妒 a ：= m a x 妒 n 。u e h l o c ：= i n fm a x c ，o ( 3 , ( u ) ) f e fu e m ， r ：= 一o o 若n ( z ) l 丁n ( q ) ，贝0 问题 ：= 一锄 的全部可数个特征值 舞，满足 一o 。 。 从而在明( q ) 中可定义一个等价的内积 ( u ，u ) a o= v u - v v - a ( z ) 牡 】如+ 上a 。u u 如，vu ， 朋( q ) 由p o i n c a r e 不等式和r i e s z 表示定理知，vu l 2 ( q ) ，存在唯一的w 础( q ) 使得 上卿如= ( 删， ) 讹 h o ( q ) 定义虬。：l 2 ( q ) 一明( q ) 为w = 地。仳，则凡。是有界线性算子。若记 i ：明( q ) 一l 2 ( q ) 为嵌入算子，则由r e l l i c h 定理知i 是紧算子，而且任取 让，u 础( q ) 使得 ( 凡。姒叱。= 上让池 由于砜oi 是明( q ) 到础( q ) 的紧算子，且( 虬。oi ( u ) ，乱) a 。 0 当缸0 。 1 0 由h i l b e r t s c h m i d t 理论( 见 4 ，第四章第四节 ) 知，以。oi 的全部特征值 脚) 蒿满足p 1 卢2 p 3 如 o ，心一0 ( 当歹一+ 。o ) ，而 如= 老一心( j - 1 2 ，3 ) 为( 1 2 ) 的全部特征值，且熙= + o o ，相应的特征向量e 1 娩，满足 f e t e j 如= 6 t j 口 引理2 1 3 ( 【4 ，推论1 4 1 7 )设在线性空间x 上给定了两个范数0 0 1 与 | | 2 ，若0 1 与”1 1 2 等价必须且仅需存在常数c i ，c 2 0 ，使得 c i l l x l l l i i x l l 2 c 2 0 z i l l ，vz x 1 1 第三节定理1 1 的证明 本节中我们证明定理1 1 。 我们先简单回忆一些前面关于- a u n ( z ) u 的特征值的有关记号。由弓 理2 1 2 记 为特征值问题 一o o 入1 a 2 a 3 a n 一 zd 2 uz ，i o一 2 札v z z u 意任对故 从而有 6 = 1 一fa ( 咖2 d x 上 i v u l 2 叫咖2 k - 上仳2 如 若牡= 0 ，则6 = l ；若u o ，则6 a 。+ l 厶u 2 d z 0 。 引理3 2 ( 1 0 ，l e m m a 2 1 8 ) 对任意的u y ， w 1 2 - n ( 咖2 如a n 上 证明：u y ，可表示成 其中q = 厶u e i d x ( i = 1 ，2 n ) 。 n u ，仳) 抽= ( i = 1 t l u = ， i = l c i - c j ( e i ，e j ) x o 有 u 2 如 臼勺【( v e t v e j a ( x ) e i e j ) d x + a o e i e j d x j q，n ( a n + 入o ( 入。+ a o 诫) 小勺如 对让y ，由此和( ，) 沁的定义知 v u l 2 一n ( z ) u 2 】如5h f u2dxj 1 4 口 ( 3 3 ) 口 h 勺勺 。芦 巳q 。触 n：l n 触 。汹 入 c c n 触 。汹 0 入 + 入c n 澍 引理3 3 设凸( z ) ，( x ，t ) 满足定理1 1 的假设，对0 ，则在础( q ) 定义 的实泛函 厶( 让) ：= ：1 上 i v u l 2 一n ( z ) 缸2 】如+ 三上i v u i g 如一上f ( z ，乱) 如 是础( q ) 上的c 1 泛函，且对任意c r 满足( p s ) 。条件。 证明：由于1 2 ( 事实上可取q = ；) ，使得 以下我们不妨取p ( 三，；) 。 f ( x ，仳) c 1 ( 川a 1 ) 若( 仳n ) 籀c 础( q ) ，是t ( 钍) 的一个( n s ) 。序列，使得 厶( 乱。) _ c ，( 饥n ) _ 0 ( 3 5 ) 由命题2 1 1 、引n 3 1 和( 3 4 ) ，而且硪( q ) = yoz ；令= 鲰+ ，y ， 1 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s z n z ，则当n 充分大时，存在岛，岛 0 便得 c + 1 + l i “n i | 厶( 乱n ) 一p ( 1 ( ) ，仳n ) = ( 一p ) 厶【i v 乱n 1 2 一n ( z ) 】如+ ( 昙一p ) zl v 仳n 1 9 如 + 脚m ，u n ) 乱n f ( x , u n ) d x ( 3 6 ) ( ；一z 3 ) ( 6 l l z n l l 2 - i - a i i 旧) + ( q p 一1 ) 厶f ( x ，u 。) d x q ( i i p ) ( 6 1 1 z n l l 2 + a - l l 鲰l l ；) + ( 矗( q p 一1 ) l l u 。0 竺一g 故存在臼，晓，岛 0 使得 j + l l u n i i + 岛i i n l l ；西i i z 1 1 2 - t - 岛0 慨 e h t - - 仳。= y n + ，y n y ：z ，厶磊如= 0 ，故 i l 让n 旧= i l 可n l i ；- i - l i z , 1 l ； 从q 2 ，i q i 0 使得 j l y 1j g f l y 。1 1 2 ej | 缸。j j 竺+ c ：， 1 6 硕士学位论炙 m a s t e r st h e s i s 臼i i z 1 1 2 + 岛i | u n | | 三j + i i 让n i i + 岛l i y n 旧 j + i i i i + i l i | + 岛1 1 可1 1 ； j + j i i i + g i l 1 1 2 + 岛i i y n i i ； d + i l 札。1 1 2 + l | u 。1 1 2 + 仅+ e i i 0 竺+ q i + l l z 1 1 2 + 2 e l u 。l l 竺4 - 2 q 即得 ( d 。一) i l 1 1 2 + ( 岛一2 e ) i i 乱n | | 竺i + 2 g 所以存在g 0 使得 i i 免0 岛，i l u n i i ：g 故存在0 c o ，z = 黼f r z ， m p ：= u = y + 入z ：j | 仳i | p ，a 0 ，y y ， 韬：= u = y + a z ：y i j u i | = p ，a 0 或l | 仳| i p ，入= o ) ， r ：= u z ：i = r ) ， c e ：一- - - i n f max7efu e m p e ( ，y ( 让) ) ，。，、，j f ：= ，y c ( m p ，月台( q ) ) ：71 w = i d ) 1r 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 我们希望找到0 r m a x n r m s 由( ) ( ) 可知v 盯 0 ，| c 0 0 使得 f ( x ，让) i 冬盯i 让1 2 + g i 缸i p + 1 故任取u r ，有 2 z ，且忆0 = 7 - ，故由引理3 1 和r e l l i c h 嵌入定理知 足( 让) = 去v u l 2 一口( z ) u 2d x + 昙上i v u l 4 如一z f ( z ，钍) 如 知训2 + 三li v u l 4 如一盯上i u l 2 如一g 忆帅p + a - 。i 扣旷一咧j 札旷一西卅1 争d ( r 2 ) ( 3 1 1 1 ) 而任取u 臂，若u = y - 4 - a z ，j l 乱| i p ，a = 0 ，则牡= y y 。由引理3 2 及 条件( ) 知 厶( 仳) = 三上 i v 札1 2 一n ( z ) 乱2d x + e qli v u l 口出一上f ( z ，乱) 出 k 2 l 让陋+ 丢上1 w , i q 如一上f ( z ，让) 如 昙上i v 训4 d x 1 r 使得 絮厶( 札) 御宇矿- 由 i “n ，fi s ( 乱) 妻r 2 一。( r 2 ) 知可以取定0 0 ，使得当0 e g o 时， i n ，fi 。( 让) 差r 2 御字 m w a x r ( 让) 故由于l ( 心) 在硪( q ) 上对任何c r 满足( p s ) 。条件和环绕定理( 命题2 8 ) 知 名：= i n f maxqefu e m p l ( 7 ( 牡) ) ，、，、， r ：= 7 c ( 矿，硪( q ) ) ：，y1 w = 泖， 为厶的一个临界值，而且 侥i r n f 厶( 乱) o 所以存在u 。础( q ) o ) ，使得( 让。) = c 且( ) = 0 ，即u e 为( 1 1 ) 。一个 非平凡解。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 最后我们要证明：任取一串一0 + ，存在 。) n + = 。l 的子列u 昔和 ( 1 1 ) o 的某个非平凡解氤，使得。_ 面于础( q ) ，且c o = ，0 ( 云) 。首先注意以上 韬，m p ，r ，f 都与无关，而仅依赖于口( z ) ，f ( x ，) ，i q l ，g 。我们利用引理3 3 中 证明厶( u ) 的任何( p s ) 。序列在珥( q ) 中有界的方法来证明l i u 。i | c 0 使得 c e 。+ 1 + | | 乱。l lc = 厶( 乱。) = l ( 乱。) 一p ( 足( t 上。) ，u 。) = ( 互1 一p ) 上 1 v 饥1 2 一- 口( z ) u 刭如+ e ( 昙一p ) 上i v 乱印如 + 【p ，( z ，仳。u 。一f ( z ，t 。) 】出 ，n ( 互1 一胛2 + 刈堋) + 石1 一z ) f n i v 札。 + ( 告- 1 ) 上脚 肛 ( 互1 一趴圳圳2 + 入。i l w l l , ；) + q ( g _ 1 ) i | 一 仿照引理3 3 中证明 ) 箸有界的过程，可以证明存在常数c 0 ，使得 i l u ，i i c + 。 故司 发任取一串n 一0 + 和莱豆塌( q ) ，由i q i 0 知，v7 r ， 艮n u m a m , x p 0 e _ 0 。 而u 。一缸于明( q ) 且晶( 五) = 0 故 上i v 魄。1 2 如+ 上i v u 。1 9 如=，n，n 从而有 上叭掣e n ) 。州咖纠2 如 一厂 ，( z ，五) 雹 j n州咖2 】如= 上 l l w 。o l 口如c i i “。i i q o ， n v u 。0 1 9 如_ 。， 上陬一2 d x - - fl v 砰如 而乱。一面于础( q ) ，故有 从而有 故南( 五) = c o 证毕。 理。 注3 4 ： 魄。一冠于础( q ) 魄。一仳丁爿6 【圳 艮。= 五。( 魄。) _ 而( 面) 1 w 1 2 d x 若入1 0 则( 1 1 ) 。的非平凡解的存在性可用山路引理得到而不必用环绕定 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【1 】a a m b r o s e t t i ，a m a l c h i o d i ，p e r t u r b a t i o nm e t h o d sa n ds e m i l i n e a re l l i p t i c p r o b l e m so nr ，b i r k h i i u s e rv e r l a g ，b o s t o n b a s e l b e r l i n ，2 0 0 6 【2 】a a m b r o s e t t i ，p r a b i n o w i t z ，d u a lv a r i a t i o n a lm e t h o d si nc r i t i c a lp o i n t s t h e o r ya n da p p l i c a t i o n s ，j f u n c t a n a l 1 4 ( 1 9 7 3 ) ，3 4 9 3 8 1 3 】k c c h a n g ，c r i t i c a lp o i n tt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n s ，s h a n g h a is c i t e c h p r e s s ，1 9 8 6 ( i nc h i n e s e ) 4 】k c c h a n g ，q y l i n ，f u n c t i o n a la n a l y s i s ，b e i j i n gu n i v e r s i t yp r e s s ，b e i - j i n g ，19 8 7 ( i nc h i n e s e ) 5 】l c h e r f i l s ，y 1 l y a s o v ，o nt h es t a t i o n a r ys o l u t i o n o fg e n e r a l i z e dr e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o nw i t hpa n dq - l a p l a c i a n ，c o m m p u r e a p p l a n a l ， 4 ( 1 ) ( 2 0 0 5 ) ，9 2 2 6 】c h e n j u nh e ，g o n g b a ol i ，t h ee x i s t e n c eo fan o n t r i v i a ls o l u t i o nt ot h epa n d q - l a p l a c i a np r o b l e mw i t hn o n l i n e a r i t ya s y m p t o t i ct ou p 一1a ti n f i n i t yi nr n o n l i n e a ra n a l y s i s ，t m a ，6 8 ( 2 0 0 8 ) ，1 1 0 0 1 1 1 9 7 】g o n g b a ol i ，x i a o y a nl i a n g ，t h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o n st o