（基础数学专业论文）有限局部环上对称矩阵的计数定理（i）.pdf

摘要 设a 。( 兄) 是有限局部环z p z 上礼阶对称矩阵的集合，这里 n 2 p 是大于2 素数，p 兰1 ( r o o d 4 ) 且k 1 通过确定有限局部环 z p z 上对称矩阵的标准型，计算出a 。( r ) 在线性群g l 。( r ) 作用下 的轨道数，从而计算出由特定对称矩阵确定的正交群的阶以及与特定对 称矩阵在同一轨道的对称矩阵的阶 关键词： 合同变换，对称矩阵标准型，正交群，轨道 i i a b s t r a c t l e ta 。( r ) b et h es e to fs y m m e t r i cm a t r i c e so v e r z p z w i t h o r d e rn ，w h e r e 扎2 ，pi sap r i m e ，p 2 a n dp 三l ( m o d 4 ) ，k 1 b yd e t e r m i n i n g t h en o r m a lf o r mo fs y m m e t r i cm a t r i c e so v e rz f 妒z w e c o m p u t e t h en u m b e ro ft h eo r b i t so fa 。( r ) a n dt h e n c o m p u t et h eo r d e r o ft h eo r t h o g o n a lg r o u pd e t e r m i n e db yt h es p e c i a ls y m m e t r i cm a t r i x a tl a s tw eo b t a i nt h en u m b e ro ft h es y m m e t r i cm a t r i c e sw h i c ha r ei n t h es a m eo r b i tw i t ht h es p e c i a ls y m m e t r i cm a t r i x k e yw o r d s ：c o n g r u e n tt r a n s f o r m a t i o n ，c a n o n i c a lf o r mo fs y m m e t r i cm a t r i x ，o r t h o g o n a lg r o u p ，o r b i t i i i 独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表的研究成果，也不包含他人为获得东北师范 大学或其它教学机构的学位或证书而取得的研究成果。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 谢意。 签名 扣l 日期：2 艘盔，占劬 关于论文使用授权的说明 本人了解并遵守东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留、向国家有关部门送交学位论文的复印件，允许论文 被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、 缩印或其它复印手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名 日期 驻指导教师签名：趱 a 垃生：耋s z 之，日 期：蜀嘘41 垒墨互 1 引言 万哲先等在文【1 中确定了特征数不为2 的有限域上对称矩阵的 标准型以及合同于任一种标准型的对称矩阵的阶在 3 】中已经计算了 0 2 。( r ) = a g l 2 。( r ) i a h a = h ，且对于a 中每一列向量 n v 2 【x l ，x n ，x n + 1 ) ，x i x i + l = o ) i = l 的阶数在本文中作者确定了有限局部环z p z 上对称矩阵的标准型， 计算出a 。( 兄) 在线性群g l 。( r ) 作用下的轨道数，计算了由日确定的 正交群的阶以及与h 合同的对称矩阵的阶 本文提到的r 均为模整数p 的有限局部环z p z ，p 是大于2 的 素数，且p 兰l ( r o o d 4 ) ，k 1 m 表其唯一的极大理想，则m = ( 卢) 显 然r 的所有理想均由面的某次幂生成，且对v a r 都有a = f 芦， 其中f r 一( 芦) 0 ，k 表示商域r m ，令7 r ：r - 4k 表r 到 k 的自然同态，则它诱导尬。( r ) 到a 。( k ) 的同态仍记为7 r 令 彤为r 中可逆元素的集合，a 。( r ) 表示环r 上所有m 阶对称矩阵 构成的集合v p a 。( r ) ，若r o 砒( p ) = r ，则称p 有真秩r 引理1 【2 】若p 兰l ( m o d 4 ) ，则一1 为二次剩余m o d p k ，也就是说 一1 三茁2 ( m o d p k ) 有解 引理2 【2 l 同余方程0 1 z l + + o 。+ b 三o ( r n o d p ) 有解( z 1 ，z n ) 之必要且充分条件为( a t ，a m p ) i b 若此条件适合，其解数p k ( n - 1 ) ( a l t - ，a 。p 2 ) 引理3 【3 】设g l 。( r ) 是r 上的一般线性群，则 n 一1 1 n 一2 l g k ( 酬= p h 2 i i ( 1 一去) ，l s 厶i = p k ( n 2 - 1 i i ( 1 一矿“) 引理4 n 对有限局部环r ，有i r i = p ，i m i = = p ，i k l = r m i = pi r + 1 = p 一p b l = p k 。( p 一1 ) g k c 耳，有p ”a p 7 = 0 r ，7 f 。) 那么a 一定合同于标准型 ( 另，掣) 。( 尚。( 。；。，笞) 。( 毋0 ，警1 ) 。( 。；。，筝) 。( 盼0 ，筝) 。 ( 彬胎篓引 0 0矿。矿 a l l 面1 2 a l n 舾ko ： a 灯兄n n lo n 2 + n n “ 在a 。l a 。中选取a 。0 且a i 是含有声的方幂的最小者若此元素 不在( 1 ，1 ) 位置，则可用交换行和列的合同变换把它调到( 1 ，1 ) 位置 若a 。不是第1 行和第1 列中含有芦的方幂的最小者，可通过合同变 换将a 。变为第1 行和第1 列中含有声的方幂的最小者事实上，不妨 设a l ，和钆1 是第1 行和第1 列中含有声的方幂的最小者，因a 是对 称矩阵，故a l ，= 钆1 设a l ，= 西0 矿2 ，a “= a j l 矿10 r 2 1 1 k ，有 r 川：1。) _ “- - g l l 矿1 + 2 a 0 矿2 + u - - j ! j 矿3 因为p 2 ，故j r + ，a j l 矿1 + a i ，矿2 + - - i ，矿3 = 矿。( a l l 矿t 一“+ a i ，+ a “i j p “1 2 ) ，a n 矿1 - ”+ a “# p “1 2 m ，2 n i j r + 从而( u - - i l l 矿1 ”2 + 2 n l j 十 勘矿1 2 ) r + 故面i l 矿1 + 2 n i ，矿2 + u - - 1 ，f 矿s 是对角线上以及其所在行列 中含有芦的方幂的最小者，可见，可通过合同变换将( 1 ，1 ) 位置的元素 变为在对角线上以及第1 行和第1 列中含有p 的方幂的最小者，故不 妨设a j l 矿1 ( a 1 1 r + 0 r l k ) 是对角线上以及其所在行列中含有 卢的方幂的最小者，a 1 1 a l l = i ，( a a l l r + ) ，设( i ，j ) 位置的元素为 盈j 矿”( a 1 ，r + 0 r i j 墨) 令 则 厂 1 i a l l a l 2 p ”1 1 p l ：l i i 一a 1 1 a 1 。p “一r t r a p t 7 = i a l l 矿1 0 一 o4 ， 由于p l a p l 仍为对称矩阵，我们有a 。为几一1 阶对称矩阵用同样 3 、， l、， 0 方法可找到r 上几阶可逆矩阵p 2 只有 只p 1 a p l 只7 = b = a r n m 矿“ 0 0 其中0 r l r 2s - m k 因为r a n k ( t r a ) = 2 r 故矩阵b 中前2 r 个元素中 = 0 将a n a 打2 ，重排后，可设面1 1 玑。 r ”，a s + 1 s + l a 2 ，2 ，不属于r ”，不妨令8 为偶数，事实上尸7 r a p ，= f 0 p ) 7 ；1 令q 。：( a - l a 品 ( a 。+ 。+ 。一。) 一 ( a 。，。，。一，) 一 i i 0 则 q 1 b q l 7 = 呸，! 主，a 2 r + l , 2 r + l p - r ”“。矿m 0 0 】 、_ v - k v 一 。 。 由引理1 有- 1 r “，设一1 三x 2 ( m o d p ) ，那么 ( 一- 。t i t ) ( 。i0 t ) ( 一。；一i 。) = 0j ) c z ， ( 一。；一，z 。，丢一，) ( ；：) ( 一。；一。z = ( ：) 从而存在q 2 g l 。( 兄) 有 q z q i b q t 7 q z ，= ( ，0 c ，等) 。 4 a m m 矿一2 r 0 0 = b l 3 、， l i 习馆 将a 2 ，+ l2 r 十l 矿1 a m 矿”。重排，不妨令a 2 r + l2 件1 r r ，画2 件s l + s 2 + 船+ 1 2 件。l + 。升s 3 + 1 a m m 不属于r + 2 令 q 3 = 面未l2 r + 1 a 焘卅蚪唧m l 慨十船( 面2 r + s 1 恤帼+ 1 2 m l 恤佃+ 1 2 。1 ) 一； ( a 。j _ 1 ) 一5 i l b 。= q s b q 。= ( ，0 c ，7 ：) 。( 矿1 矿；。：。) o j 矿m 一2 ， o o ( 焉1 多。) 司( ：) ( 秒0 昙，) 书( 2 01 )i f ，一2 ) b 。= q 4 8 2 q a = ( ，o c ，譬) 。( 。? 刚。j “) 。( 庐“，痧如+ b ) 。( 亏乒虹+ 如+ 1 置。一：，。) ( j 印 ) ( 毛1 ；) ( 。庐；) = ( 印华窄) 0 仇l 印半 f 0 一且垃 x p 2 矿。 o 。0 k ：f ，印翠 。0 一生盐 x p 2 0 一生垫 z p 2 0 印j s = ( i ；印”蝴嘴 q 。( z 乒0 ：薹印 ) “= ( 声子：辜芦字) q 6l 印印睾印_ j q 6 2 【声亨乒睾芦亍j 其中q s = ( i 孟；1 ；) ，故先经合同变换分别将小嘞+ 屯屯+ 如+ 1 t m - 2 r 按奇偶性划分，则存在q 7 g l 。( 兄) 有q 7 8 3 q 7 为( 1 ) 的 推论l v a ，b a n ( r ) ，它们合同的充要条件是存在p qe g l 。( 兄) 使p a p 7 与q b q 具有相同的( 1 ) 形式 推论2 设m 是有限局部环r 上n 礼可逆对称矩阵且存在 p g l n ( k ) 有p 7 r m p = l 毒) 1 j 。) ，那么n = 2 r 是偶数且m 合同于( 弘0 ，掣) 定理2 设a 。( r ) 在线性群g l 。( r ) 作用下的轨道数为“，则 ( i ) 当m 为奇数，为奇数时 u = ( 孚+ 1 ) + ( 旱咱一。：一。：一。：一，：，1 ) “s ：，s 拭，s ：不全为零 r ( 2 i1 ) + ( 七一21 ) ( 吼f 1 ) + + k - 1 ) 】 ( 瓮) ( 专) ( 蓄) ( 专) ( i i ) 当m 为奇数，k 为偶数时 u = ( 字+ 1 ) + ( 莩_ s 1 一s ；一s ：一。：一。：+ 1 ) 6 t ( 七i1 ) + ( 七j1 ) ( s 1 _ 1 ) + ( k - 1 ) ， ( 主) ( 萋) ( 主) ( 萋) ( i i i ) 当m 为偶数，为奇数时 u = i m + 1 ) + ( 詈_ 乱一s ：一s ：一s ：一s ：+ 1 ) “s 扣j ，s j ，s ；不全为零 【( 2j1 ) + ( 。j1 ) ( 5 1 f 1 ) + - + ( 2 s 一11 ) 】 ( 芰) ( 专) ( 蓄) ( 专) ( z ”) 当m 为偶数，k 为偶数时 u = ( 等+ 1 ) +( 等一s l s ：一s j s ；一s j + 1 ) “。；，s 拱s ；不全为零 ( 。了1 ) + ( 一21 ) ( 5 1 _ 1 ) + 一+ ( k - 1 ) ( 妻) ( 妻) ( 主) ( 麦) s ；，s j ，s ：，s ：是( 1 ) 式中第三，四，五，六部分矩阵的阶数 证明( i ) 当m 为奇数，k 为奇数，s l = 8 ；= s j = s ；= s ：= 0 时，因2 rsm 寺2 r m l 净r 字故当8 1 = s ：= s ；= s ：= s ；= 0 时，r 有堡尹+ 1 种选法；当s 1 1s ：，s ；，s ：，s ；不全为零时，r 有 里一s t s 一s ：一s ：一s ：+ 1 种可能的选法；( 1 ) 式第二部分矩阵有 ( 2 i1 ) + ( 。一21 ) ( 乱_ 1 ) + + ( k - 1 ) 种选法；c t i 。蜢， 的取法数，当i = 2 , 4 时为( 瓮) 尚虬s 时为( 专) ，故u 有 的取法数，当 时为( 百) ，当i = 3 ，5 时为( 蓄) ，故u 有 2 计算由h 确定的正交群的阶以及与矗合同的对称 矩阵的阶 7 以后没有说明就设日= ( ，譬) 曰= ( p 0 ，鬈) 。 ( 蓉。) 曲) 其中d = t ，叫1 f 兰f 。f 。七一1 6 2 ，( r ) = a ，g l 。( r ) i a h a = 日 ，0 2 r + 2 s ( r ) = beg l 。( r ) i b h b 7 = 曰) 记 彳c n n ，s ，t ，r 。，r 。，：( 丑，7 0 5 r 。) 。m 一。s 一。t ， 月忙”= ( ；。1 ) 。( 声0 。，芦：。) ，- r - n s 七一- 0 2 t 曼m 引理6 【1 1 【5 1 用n ( p ) 和n ( p 1 ) 分别表示选取秩为( r l + r 2 ) 的( r l + r 2 ) x2 v 矩阵p 和秩为r l 的r l x2 v 矩阵尸l 的方法数，尸日一与 p 1 日爿分别和m ( m ，s ，t ，r 1 - n ) 左上角的( r l + r 2 ) ( r 1 + r 2 ) 矩阵 块和r l r - 矩阵块有相同的方法数再用n ( p 2 ) 表示，当选定一个秩为 r l 的r l 2 v 矩阵p l 使p 1 日g 与m ( m ，s ，t ，r l - n ) 左上角的( r l r 1 ) 矩阵块相同之后，选取p 2 ( r 。2 u ) 的方法数，使p 2 ( z ) 的秩为 r 1 + r 2 并且p 日p 与m ( m ，8 ，t ，r l n ) 左上角的( r l + r 2 ) 矩阵块相 同方法数于是n ( p 2 ) 与p 1 的选取无关，并且有n ( p ) = n ( p i ) n ( b ) 引理7设凡( 1 ，o ；2 r ) 是适合x h x = 0 的非零向量个数，则 n ( 1 ，o ；2 r ) = p 打一1 + ( p 。一1 ) p 2 打一。一1 ， 证明设z = ( z l x 2 ，) ，n ( i ，o ；2 r ) 是适合x h z = 0 的非零向 量个数，也就是方程x j x ，+ ，= 0 非零解的个数( x l 珥) = ( 0 0 ) 的解组的个数是p 打一1 ，( x l 珥) ( 0 0 ) 时，设- z ：p j z ：e r 矿= ( 矿1 ，矿7 ) ，i = 0 ，一1 ，原方程变为p iez ? z 磐，= 0 则 茁：，z ；中至少有一个属于尼，不妨设z ? r 且ez ? z 弭，= l ? ， z p 。z = o ) 将e 蟛$ ? + j = 0 变为z ? z 孙= 巧z 孙+ y 由引理 2 知( z l - z ，) ( 0 0 ) 的解组的个数是e ( p 一p 扛1 ) 矿( 2 r - 2 旷故 礼( 1 ，o ；2 r ) 有所求形式口 8 引理8 设n ( s ，0 ；2 r ) 是适合p h p = 0 ( 5 ) 的秩为8 的8 2 r 矩 阵的个数( 其中s r ) ，则n ( 5 ，o ；2 r ) = n ( p 一p k - t ) p ( 2 r - i - 1 ) 证明 令p = ( ：) 其中州i s ，是p 的s 个么模行向 鼍，那么y i 日u ：= 0 根据引理7 ，m 的取法数( p 2 一p k - 1 ) p 2 ( 2 ”根据引 理5 ，可取v 1 = ( 10 0 ) 从v 2 h v i = 0 ，有7 2 2 形式为( z x ，0 ，x r + 2 ，z 2 ，) 而由条件”2 h v 2 = 0 有 孔z 州= 0 ( 4 ) z l 任意选，则满足( 4 ) 式，且与 l 线性无关的么模向量共有p p 。( 2 r - 4 ( 矿一 p k - 1 ) 如此继续下去取法数( p 2 一p k - 1 ) p 七( 2 ”，所以n ( s ，o ；2 r ) 有 所求形式口 引理9 设8sr ，那么n ( 2 s ，s ；2 r ) = n ( s ，o ；2 r ) p s k ( ”1 证明n ( 2 s ，s ；2 r ) 是适合条件p 日p ，= ( j ：) 。：) 且秩为2 s 的2 s 2 r 矩阵p 的个数写p = ( 瓮) 其中p 1 和p 2 都是s 2 r 矩阵 ( 笔) ( 禺字) ( 爱) = ( 品掣) 那么 p 1 h p l = 0r h t 2 = 0p 1 h t 2 = ，( 5 ) p 1 的取法数为n ( s ，0 ；2 r ) ，p 2 的取法数与选定p l 无关，因此可以选 定p l = ( 弘o ( 5 ，2 5 ) ，然后再计算选取p 2 的取法数写p 2 = f ，v l l l 其中v l 是b 的s 个么模行向量，先计算选取u 。的方 虬 法数从条件e 1 日 ：= 1e 2 h v i - = e s h v i = 0 推知， l = ( 肌珥，1 ，0 0 ，珥+ 1 2 7 2 r ) 而由条件 l h v ：= 0 ，得 z l + 研+ l - 0 i = 5 + 1 9 因此卫2 x 。可以任意取，而x l ，+ 1 ) 研，珥佃+ l x 2 ，要适合方程 f 5 1 因此，u l 总共有p k ( s 一1 p 七( ) = p k ( 7 1 ) 取法依同样的方法 得u 2 = ( z 1 z ，0 ，1 0 ，z ，十州x 2 ，) ，显然与v l 线性无关再由 2 日口；= 0 ，知v 2 取法数与口l 相同以此类推得取的方法数p k ( ” 所以n ( 2 s ，s ；2 r ) 有所求形式 口 定理3 1 0 2 ，( r ) f = n ( 2 r ，r ；2 r ) = n ( r ，o ；2 r ) p r k ( ” 引理1 0 设r = z p t z ，只g l 2 , 1 ( r ) ，西。= ( 占；台) = 矿，甄，d i = d i n 9 芝：坌：) ，凰= ( ，( 0 引7 ：订) ( o n ) ，那么 、，_ ，、。7u， 乳 、 7 存在适合方程 只瓦只一瓦= 0( 6 ) 6 的r 上2s 阶可逆矩阵只，而且只取法数为 p r i ( 2 8 + s 1 ) 1 0 2 。( 兄) l 证明 首先，对于r 上对称矩阵b ( ，r b = o ) ( b i j ) ，有 b = b ，b a 2 。( r ) ( o 2sk ) ，必定存在适合方程只风只h 。= b 的r 上2 s i 阶可逆矩阵只因为b 是r 上不可逆对称矩阵，鼠是r 上 与口同阶可逆对称矩阵，故玩+ b 必是兄上一个可逆对称矩阵，由推论 2 存在p g l 2 ；。( r ) ，使得p ( 娥+ b ) p = h 。，h i + b = p 。甄p 。， 即矩阵方程只衄爿一鼠= b 至少有一个解只= p 其次，我们可以将矩阵方程( 6 ) 变为等价方程 矿1 只凰只一肠】= 0 ( 8 ) 由定理3 ，适合矩阵方程只日l 耳一日 = 0 的r 上2 黾阶可逆矩阵只 存在且其个数为j 0 2 。i ( r ) i 容易看出此方程的全部解只( 可逆矩阵) 都是( 8 ) 的解，即适合矩阵方程( 8 ) 的可逆矩阵一定存在令 m = f 只g l 2 。，( 兄) i 矿旧甄g 一凰 = 0 ) 1 0 m t = 只皿只一凰l v 只m ) m 2 = 彤a 2 。( r ) i 矿w = o ) 因为v 只m ，只风爿一甄= d a 2 。( r ) ，又由矿h = 0 ，有m l m 2 ，从而对v p m ，妒：p - p 凰尸，一皿是m 到m 2 的映射 另外，对v w m z 有矿；w = 0 ，所以w = 芦。1 t 而，w a 2 ，。( r ) 因为0 n k ，0 k n k 于是由引理( 1 0 ) 的证明得到矩阵 方程x 甄x 一蜀= 矿一万即方程x 甄x 一鼠= w 至少有一个解 x = p t g l 2 。( 硒，即妒( p i ) = w ，因此妒为m 到m u 的满射，即 m 1 = m 2 e r 妒= p i p 皿p 一皿= o ) = 0 2 。( 兄) 由于r 上2 s 。阶对 称矩阵w 由2 s ；+ 8 i 个元素确定，从而对v w 龟，因为矿；w = 0 所以由引理2 ，得到 i m 2 l = 2 3 ；+ s i ( 9 ) 由同态基本定理有m k e r 妒= 如，故 m f = i e r 妒| | 尬j ，恰为( 7 ) 所给 个数 引理1 1 设线性群g l 。( r ) 中可逆矩阵p = ip 2 lp 2 2 2 p l - p l p 3 1p 3 2 的l u 分解为p = l c ，其中l = ( 孝三；) ，矿= ( ii 2 r 十2 ( s l + 8 2 ) ，那么这种l u 分解是唯一的 证明 若假设p 另外有l u 分解为p = l o u o ，其中l o = ( 蚤皇0 曼) ，砜= ( 喜葶誊) ，竹= 。r + z c s 。+ 昆，则l u = l o u o ，l o l = u o u ，即 ( 妻= 1 嗤1 。鎏。) 所以a o a 。1 = ，b o b 一1 = 1 2 ，c o c 一1 = 厶，u l = l = w l = x 1 = h = z x = 0 ；故有a = a o ，b = b o ，c = c o ，l f f l l = u o u 一1 = ，= d i a g 1 1 ，丘，厶) ，于是p 的l u 分解是唯一的 1 1 j 1 2 陋黯孙 = 、j ， 3 3 3、， r。：l忍w c 定理4 设r = z 矿z ，百= d i a g c 1 ，c 2 ，e ( f + 1 ) ) ：d i a 9 6 ( 2 ”，d l ，0 其中9 = 驴( 2 ，q = d l ，g + 1 2 d l , u ，( 2 7 = ( ，0 ；，等) ，反= ( 另。号。) ，。t = 出。s 学，= 矿叮。“，壹& 2 t ，1 r l r 2 j ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 其中岛一。= 力一( 弘0 。) ”s 。i - ) ，j = 1 时d 。= 驴 因为lsr l t 2 j ) 的 每一个元素都在嫡) 中从而由p 的可逆性，我们有r 0 = l ，2 ，1 + 1 ) 是可逆的所以，对于适合方程p 再p = 霄的矩阵p 存在满足引理1 1 的三角分解表达式 其次，确定0 2 r + 2 t ( r ) 不失一般性，我们仅就3 3 矩阵块的情 形( 耳= d i a g c l ，c 2 ，c a ) ) 来证明 设r 上礼阶可逆矩阵( 礼= 2 r + 2 t ，t = s l + 8 2 ) ，p l l 尸1 2p t a 、( 2 r ) p = lb l 尸2 2 p 2 3 j ( 2 s 1 )( 1 5 ) p 3 l p 3 2 b 3 ( 2 s 2 ) ( 2 r ) ( 2 s 1 ) ( 2 s 2 ) 是矩阵方程p 霄p = 耳的任一解，其中c l = 驴( 2 ”，c 2 = d l ，岛= 晚，d l ，d 。分别是定理条件要求的2 s 1 阶和2 s 2 阶对称矩阵令 g p = p g l 。( 兄) j p 霄p f = 耳) 、liilljj，现a 函 m 王! m r 口= i 艮z u 一 h b m，。一 a = 卜叫固卜趣f = ( 雄 肚卜g “固l 衙堀p = h 1 lh 1 。2h 急1 3 ) ) 我们知道，如果线性群g l 。( r ) 中的元素有三角分解，即对v g g l 。( r ) 有g = l u 则由引理1 1 ，此三角分解是唯一的而对g l n ( r ) 的子群g 尸中的元素有三角分解，即对v p g ，有 p = l u ( 1 6 ) l = ( 孝mu = 蓍) 但注意l 不一定在a 中，u 不一定在日中 由于l u 分解式( 1 6 ) 是唯一的，而我们关心的是，对于v p q ， 唯一分解式( 1 6 ) 中l 和u 的个数，即g p 中p 的取法数礼( p ) 因 此，对分解式( 1 6 ) 作如下变换处理令 三= ( 会i ：三。；) i z t ，s - ，。z 中的元素在r 中) 痧= ( i 喜葶) 1 而。，；筝嚣筅黼主亮素) 显然，z 和疗构成群，并且a 和h 分别是和疗的子群， l 三，u 驴所以，有群三和疗对子群a 和日，的陪集分拆，即有 k u l a ，疗= u 日u 因此，三和口中每一个元素都在唯一的陪集中，这就是说，对于 p = l p l u u p 1 4 ( 1 7 ) 其中z a ，可h ，? p 三而“尸疗于是p 的取法数凡( p ) 由a 和h 中元素确定，即i g p i i a i i h 斗反之，a 和h 又当然在群g p 中，且a n h 7 = 1 ) ，所以j g p l l a i i h 1 从而 f i 卢= io 0 p 1 2 饬1 ， 0 g p i = j 4 1 1 日( 1 8 ) h 中h u ( i 对 0 i 中 定 a 确 来 觏 侥 附录 我 为 方表 解 为来 分 3。：i o， r 一 3r 对于p：(只01昱。塞；1瓦，p00 可以唯一的表示成 对于= l p 2 2p 2 3l 日2 ， 可以唯一的表示成 p 3 3 p=(：b圳(0秘00 0i0 0 1 = l of p 2 3 吒1i l 尸2 2 i 尸3 3 玩= ( ；) i + 中的元素在r 中) ， 膏。= ( 鼋1 毫。童。) | r - ，岛。，b 。中的元素在彤中 h 5 1 ) = p 或l 尸耳p ，= 百) ，趣2 ) = 尸h 2 p h p = 霄 其中碰”，碰2 分别是群玩，h 2 的子群，重复以上讨论可得到l 百。i = i 趣1 i i 威2 1 对于p = f o ，尸2 3 i 趟”，由于p h p ，_ 耳，所以 同理，对于尸=(r01昱z。0。1趟”，由于p万尸=h0 0 p 3 ，因此 同理，对于尸= l 岛2 l 趔“，由于p h 尸= ，因此 3 叫2 i = p l l lp l - g 爿l = e - i i p 2 2 1 p 2 2 c 2 p ；2 = q 川 p 3 3 l b 3 岛层3 = g 所以 3 面2 1 = i p 2 3 lp 2 3 岛= o li il r i r a 咒= c j i ( 2 2 ) t = l 将( 2 1 ) ，( 2 2 ) 代入( 2 0 ) 得到 333 日l = i ii p 1 ，| p l j 0 = o ii ii - & i p 2 3 g = o 1i ii p i p , c , p t , = g j 2 2j = 3 = l ( 2 3 ) 吣 | | a3已3口：i ，【 | | l 啦 窖从 o= 岛3岛 下面确定( 1 8 ) 式中的i a i 对于v 卢= ( 差- ? 。0 p 3 l p 3 2i ) a ，卢有唯一分解式 对于v p = l 尸2 l ， l a ，尸有唯一分解式 户= ( ：；) ( 5 三。；) = 只豆 又构作a t = ( 耋；) lx ，l ，中的元素在r 中 ， 如= ( 5 兰；) iz 中的元素在兄中) 页l = p a i p - h p = 百) ，_ 2 = p a 2 p h p 7 = 耳 则万i ，a 2 分 别是a 1 ，a 2 的子群，而且晟a 。，恳a 2 同样仿照上面的讨论得到 万1 1 = l p 2 1 1 p 2 1 c 1 = o i l p 3 l l p 3 1 c l = 0 同理可得l 瓦| = 1 p = ( 差。；) 页。jp 百p = 耳) i = l p 3 2 l p 3 2 q = o 1 因此得到 川= i ii p i , i p i l c , = o li i | 只2 i y , 2 c 2 = o 1 ( 2 5 ) 至此，将( 2 3 ) ，( 2 5 ) 代入( 1 8 ) 得到 g p j = ( i ii p l ，lp 1 j q = o ) ii ii p 2 j i 如q = o ) i ) ( i 只。i f , ，c 。：o ) j = 2 j = ai = 2 1 7 孔 = 0 q已有 一h | | 耳p 石 于 刚 岫 卜 石 陋 、 ，删 ， = = p a 于 o ： 对 q 1 只。l 嘞岛= o i ) ( i i r j r g 瑶= c d l ) ( 2 6 ) l = 3i = l 一般地，对于( 1 + 1 ) ( ! + 1 ) 矩阵块的情形，完全类似于上面讨 论，得到适合方程p 耳p = - r 的可逆矩阵p 的取法数为 l + lf + l 0 2 什z t ( r ) = ( 1 7i p vj 尸b q = o 1i ii e 2 1 均0 = o ” j = 2j = 3 1 + 1l + l 1 1i 日，1 只，c j = o i ) ( 1 1i 只1 i p , l c t = o ) i - ( 2 7 ) j ：l + l t = 2 f + l1 + 1 1 1l 只t 1 只t q = o 1 ) 1 il 只：i p c t 磁= g i t = l + lf = l 注意到c l ：可( 2 ) 为可逆矩阵，故 i p i l l a t c l = o ) i = 1 ，i = 2 ，f + 1( 2 8 ) 又g = 功一i = 矿。1 马一1 0 = 2 ，f + 1 ) ，所以当i j ，j 1 时，由 引理2 得到 l 1 q = 矿1 = o 1 = 矿一1 “2 * w ，( 2 9 ) 其中2 s ，2 s j 一1 分别是的行数和列数，当2 = 1 时，2 s t _ l = 2 s o = 2 r ， 由于c l ：仃( 2 ，所以由定理3 ，得到 l p x l i p n c l 爿l = c 1 ) i = n ( r ，o ；2 r ) p , - ( ”1 ( 3 0 ) 当i = 2 ，t 一，2 + 1 时，r g 璐= 只；瓦一l p i = g = 西；一l ，由引理 1 0 ，得到 j r l e , i g 磁= a ) i = p r 一2 3 l - 柏一t ) 1 0 2 。( r ) |( 3 1 ) 再由( 2 9 ) 式有 f + 1 1 + 1 l + l l = ( i fp l ，f r ，q = 0 11 ii b 2 i l p z j c j = o 1 1 7j q = o ) j ) 1 8 = p l ( 2 r “2 s x ) + - - + r t ( 2 r x 2 s , ) 十7 2 ( 2 5 1 。2 5 2 ) 十十n ( 2 却一1 。2 3 ) j 2 4 【r r i s i + s x 汁+ s t l r i s t 2 p 5 14 2 由( 2 s ) ，( 2 9 ) 有 由( 3 0 ) ，( 3 1 ) 有 ( 3 2 ) ：4 1 。s i + - - + r ) _ t s j - 1 暑8 一“扯m 1 ( 3 3 p 3 3 1= 悍2 4 j 1 。( r ) 1 1 0 2 ，( r ) i ( 3 4 ) 因此，将( 3 2 ) ，( 3 3 ) ，( 3 4 ) 的结果代入( 2 7 ) ，整理便得到适合方程p h p 7 = 耳的可逆矩阵| p 的取法数0 2 ，( r ) 为( 1 2 ) 口 定理5 设a 。( r ) 中m 阶对称矩阵a 标准型为日0 ( o ) ，即a 的不变因子为( 2 r ，2 t ，r l ，r - n ”) ，其中8 i = t ，1sr l 、，一、一 l = l s 1乱 r 2 r f k 一1 ，那么a 。( 兄) 中与a 同在一个轨道的m 阶对称 矩阵的个数为 p 肼7 前1 ( 1 一击) i = 0 证明由于v a a ( 2 r ，2 t ，r 扩一，r 1 ，n n ) 及p g l 。( r ) ， 、- _ _ 。、，_ - _ ，、。 _ 一 $ l却 映射f ：a - - 7p a p 是在集合a ( 2 r ，2 t 迂! ：扩2 毒三) 上的作 s i却 用，而且线性群g l 。( r ) 的这种作用是可迁的，所以 n ( 2 r ，2 t ，r l ，- ，r l 、_ _ _ _ 、，。_ _ ， 3 1 ，= 掣= 钟， 1 9 、 o j i arr r l m 斟 c rr 【 m = m 魄 一 如 一哪 一 矿 础 - q = 吆grr r l m 试 = 嘞印 南 甯础 其中表示f g a l ，g a = ( p g l 。( 兄) l p a p = a ) 是g l 。( r ) 的子 群， 由定理l ，存在p o g l 。( r ) ，使得 p o a 爿= - r 0 ( o ) = q = d i a g o 打，d “，o ( m - 2 r - 2 t ) ) 其中驴2 r = ( ，0 c ，7 ) ，d ：= ( 。0 。d 。) 构作集合= p o p 宵1 i p c a ，她= p g l 。( r ) i p q p 7 = q ) ，弛= 写1 卢p 。i p 容易看出l g a i = m 1 ，l 捣 = 必l 因 为a = 胃1 q ( 疗1 ) 7 ，故对v p g a 有p a p 7 = a ，p p o - 1 q ( p o - 1 ) 7 p = p o - 1 q ( p o - 1 ) ，p o p 宵1 q ( p o - 1 ) p 昂= q ，即p o p 宵1 ，i g a l 1 m 2 1 ； 同法可证i 如| i g a i = i 帆i ，于是有l g a i = l 喝| - 故要求，只需 求出适合方程p q p ，_ q 的可逆矩阵户的取法数i g o | 由于存在适合 方程p q p = q 的可逆矩阵p ( p = i 是一个解) ，若令矩阵户为其任 意解，将之分块后，p 中的每个岛必存在，且由方程p q p = q 得 到的关于p 中的每一个只，的方程必有解 将户，( p ) _ 1 = b ，及户，p - 1 都按q 的分块方法分块为 p 1 1p 1 2 只3 、( 2 r ) p = lp 2 1 p 2 2p 2 3 l ( 2 t ) p 3 lp 3 2p 3 3 ( m 一2 r 一2 t ) ( 2 r ) ( 2 t ) ( m 一2 r 一2 t ) 爿t 曼l 是，、 ( 2 r ) p = lp i 2 9 2 9 2 i ( 2 们 ( 3 7 ) 爿39 3 最3 ( m 一2 r 一2 t ) ( 2 r ) ( 2 t ) ( m 一2 r 一2 t ) c户。一i=(善1：墨笔霉：)，户一l=tllb b 2 b b b 3 1b 3 2 b 3 3蒌i 蒌；) ( p ，) = i l 2 22 3 l ，p =乃2 孔3i 乃2 乃3 由p q p = q ，有 ( 3 8 ) 从而，式中的每一个关于户中只，的矩阵方程都不含有户中的 a 3 ，扇3 ，扇3 及它们的转秩矩阵，故户中的a 3 ，扇3 分别是环r 中的任 意( 2 r ) ( 仇一2 r 一2 t ) ，( 2 t ) x ( m 一2 r 一2 t ) 矩阵，而p 3 3 是r 上任意 ( m 一2 r 一2 t ) 阶可逆矩阵于是有 户1 3 的取法数= p 2 k r ( ”- 2 ”2 。( 3 9 ) 恳3 的取法数= p 2 觇( “- 2 2 。1( 4 0 1 m - 2 r - - 2 t11 户3 3 的取法数= p ”_ 2 ”2 妒 ( 1 一面i 二i 兰丽) ( 4 1 ) ；= 0 由户q = q ( 穸) 。及q 户7 = f - 1 q 有磊。驴= 0 ，恳2 d = 0 ，驴启，= o ，d b 2 = 0 ，户2 1 驴= d b 一2 - 而由于驴可逆，有户3 1 = 0 ，是。= o ； 在由引理6 可得户2 - ，扇z ，恳。中的元素都在( 声)