（基础数学专业论文）hodograph变换和hodographtype变换的推广.pdf

中文摘要 非线性问题广泛存在于自然科学中，若把非线性问题转换为线性就能便于 我们研究，因此实现此转换的方法就变得非常重要，本文中的h o d o g r a p h 变换 和h o d o g r a p h - t y p e 变换就是两种能把非线性问题转换为线性问题的方法 本文研究了不同种类的h o d o g r a p h 变换和h o d o g r a p h t y p e 变换在非线 性一阶偏微分方程中，h o d o g r a p h 变换交换因变量和自变量的位置以达到线性 化的目的本文对h o d o g r a p h 变换的已有结果作了推广对包含四个因变量和 四个自变量的完全非线性系统和拟线性系统的线性化问题进行了重点讨论 h o d o g r a p h - t y p e 变换是h o d o g r a p h 变换的推广，对于四阶演化方程u t = h ( “，u x ) u z 黜+ f 2u ，u z z ，。z ) 我们可以构造点变换，这些点变换能把此 类方程转换成同类型的方程，这些点变换有一个共同点就是原来的一个自 变量依赖于新的因变量，这就是h o d o g r a p h - t y p e 变换在我们所得的结果 中h o d o g r a p h - t y p e 变换和其相关的方程中都含有任意的函数和参数，这些函 数和参数的选择会使其相关的方程成为线性的或大家所熟悉的方程 本文主要包括以下三部分： 第一章：引言简述了h o d o g r a p h 变换和h o d o g r a p h - t y p e 变换的历史背 景及其重要作用，介绍了有关方程约化的基本知识及本文中采用的符号 第二章：h o d o g r a p h 变换作用下的包含四个因变量和四个自变量的可线 性化系统的导出 第三章：h o d o g r a p h - t y p e 变换在四阶演化方程中的应用 关键词 方程 h o d o g r a p h 变换，h o d o g r a p h t y p e 变换，线性化，可线性化系统，四阶演化 a b s t r a c t ( 英文摘要) t h e r ea r em a n yn o n l i n e a rp r o b l e m si nn a t u r a ls c i e n c e s w ec a ns t u d y t h e me a s i l yw h e nt h en o n l i n e a rp r o b l e m sa r ec h a n g e dt ot h el i n e a ro n e s ，s ot h e l i n e a r i z i n gm e t h o d sa r ev e r yi m p o r t a n tt ou s i nt h i st e x t ，h o d o g r a p ht r a n s f o r - m a t i o na n dh o d o g r a p h - t y p et r a n s f o r m a t i o na r et w om e t h o d sw h i c hc a nc h a n g e t h en o n l i n e a rp r o b l e m st ot h el i n e a ro n e s w es t u d yd i f f e r e n tk i n d so fh o d o g r a p ht r a n s f o r m a t i o na n dh o d o g r a p h - t y p e t r a n s f o r m a t i o ni nt h i st e x t f o raf i r s t o r d e rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n h o d 伊 g r a p ht r a n s f o r m a t i o ni n t e r c h a n g e st h er o l e so fi n d e p e n d e n tv a r i a b l e sa n dd e p e n - d e n tv a r i a b l e st ol i n e a r i z et h ee q u a t i o n i nt h i sp a p e rw eg e n e r a l i s et h er e s u l t so f h o d o g r a p ht r a n s f o r m a t i o na n dp a ym o r ea t t e n t i o n st ot h el i n e a r i z i n gp r o b l e m s o fg e n u i n e l yn o n h n e a re q u a t i o n sa n dq u a s i - l i n e a re q u a t i o n sw i t hf o u ri n d e p e n o d e n tv a r i a b l e sa n df o u rd e p e n d e n tv a r i a b l e s h o d o g r a p h - t y p et r a n s f o r m a t i o ni s t h eg e n e r a l i z a t i o no fh o d o g r a p ht r a n s f o r m a t i o n f o rt h ef o u r t ho r d e re v o l u t i o n e q u a t i o n s o ft h ef o r mu t = 日u ，u z z + 局( u ，z ，u x z z ) w ec a p r ic o n s t r u c t p o i n tt r a n s f o r m a t i o n sw h i c ht r a n s f o r mt h e mt oe q u a t i o n so ft h es a m ef o r m i n t h e s ep o i n tt r a n s f o r m a t i o n so n eo fo l di n d e p e n d e n tv a r i a b l e sm u s td e p e n do nt h e n e wd e p e n d e n tv a r i a b l e sa n dt h e s ea r eh o d o g r a p h - t y p et r a n s f o r m a t i o n s c e r t a i n a r b i t r a r yf u n c t i o n sa n dp a r a m e t e r sa r ec o n t a i n e di nt h eh o d o g r a p h - t y p et r a n s - f o r m a t i o na n di t sr e l a t i n ge q u a t i o n s c h o o s i n gt h e s ef u n c t i o n sa n dp a r a m e t e r s w ew i l lg e tal i n e a ro raw e l l k n o w ne q u a t i o n t h e r ea r et h r e em a i np a r t si nt h i sp a p e r ： 1 d e s c r i b i n gb r i e f l yt h eh i s t o r ya n di m p o r t a n c eo ft h eh o d o g r a p ht r a n s - f o r m a t i o na n dh o d o g r a p h t y p et r a n s f o r m a t i o n ，w ei n t r o d u c et h es y m b o l sw h i c h w i l lu s ei nt h i st e x t n 2 d e r i v i n gt h el i n e a r i z a b l es y s t e m sw i t hf o u ri n d e p e n d e n tv a r i a b l e sa n d f o u rd e p e n d e n tv a r i a b l e s 3 a p p l y i n gt h eh o d o g r a p h t y p et r a n s f o r m a t i o nt ot h ef o u r t ho r d e re v o l u - t i o ne q u a t i o n s k e y w o r d s h o d o g r a p ht r a n s f o r m a t i o n ，h o d o g r a p h t y p et r a n s f o r m a t i o n ，l i n e a r i z e ，l i n - e a r i z a b l es y s t e m s ，t h ef o u r t ho r d e re v o l u t i o n 1 1 1 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人 允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构 将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：i 遮逡。指导教师签名：缓金垒兰_ 0 pi o 年f 月i 工日为i o 年f 月f 2 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：子始始 ；o i o 年月1 2 、日 西北大学硕十学位论文 1 1 课题意义 第一章绪论 变换方法是在解非线性偏微分方程时的一种很有效的方法，虽然到现在为 止在解非线性偏微分方程方面还没有出现一种完整理论，但变量变换方法在许 多方程中都可以应用点变换就是应用最多的一种，它是偏微分方程在由因变 量和白变量所组成的空间上的变换偏微分方程中最常用的点变换就是连续李 群变换，在它的作用下原方程不变 寻找李对称群的经典方法就是找无穷小变换f 卜7 】，然后把它们扩充到有限 变换群中虽然现在这种方法已经能够比较容易应用t s - l s ，但离散对称比 如h o d o g r a p h 变换仍值得大家关注，因为无穷小变换不能很恰当地把一个偏微 分方程和另一个与它不同形式的方程直接联系起来 h o d o g r a p h 变换是一种线性化一阶拟线性方程或方程组的有效方法在 固体力学，流体力学和工程学等领域，h o d o g r a p h 变换都很有用处【1 9 。2 引开始 时h o d o g r a p h 变换线性化的一阶拟线性方程或方程组关于偏导项都是齐次的， 即方程中的每一项都只含有一个偏导项，同时h o d o g r a p h 变换所线性化的方程 都是只含有两个因变量和两个自变量，h o d o g r a p h 变换交换这两个因变量和两 个自变量的位置l e ih c 和c h a n gh w 【2 6 】已经得出新的结论：通过交换因变 量和自变量位置的方法，即h o d o g r a p h 变换，不仅可以线性化关于偏导项是齐 次的一阶拟线性方程或方程组，还可以线性化关于偏导项是非齐次的一阶拟线 性方程或方程组关于h o d o g r a p h 变换的有关结论也已得到了进一步推? - i 2 6 1 ， 因变量和自变量的个数不再局限于两个，因变量和自变量的个数已变成了三个 和四个，并推导出了其相应的可线性化系统，这表明我们以前对h o d o g r a p h 变 换的基本认识可以得到更多的拓展 l e ih c 和c h a n gh w 【2 7 l 对于一个有着m 个因变量和n 个自变量的一 阶偏微分方程组定义了交换r 个因变量和r 个自变量的h o d o g r a p h 变换，其 1 第一章绪论 中7 是一个不大于m 和n 得任意正整数文中对h o d o g r a p h 变换进行了分类， 用即n 表示在具有n 个自变量的m 个一阶偏微分方程组中交换r 个因变量 和r 个自变量位置的h o d o g r a p h 变换对于印礼作者得出了可通过霹n 线 性化的非线性方程组的一般表示在所有的可线性化系统中都有一个共同点： 系统中的每一个方程都含有一个拟线性部分和一个完全非线性部分，这个完全 非线性部分就是雅可比式的组合若去掉这个完全非线性部分，那此系统就成 为了拟线性系统 至今我们所得到的许多精确可线性化的拟线性系统关于偏导项都是非 齐次的，这一点与传统的h o d o g r a p h 变换磁2 不同当我们考虑到完全非线 性雅可比时，可以把精确可线性化系统归属到m o n g e - a m p e r e 方程，并且可 以在几何学的相关问题中发现此类系统另一方面，物理学和工程学中的许 多问题都是用拟线性系统所表示的，我们己得出一些精确可线性化的拟线性 系统基本上都等价于础2 所对应的精确可线性化的拟线性系统同时得出结 论，只有日p ( 仇3 ，佗4 ) 所对应的精确可线性化系统是非平凡的l e i h c 和c h a n gh w 【2 7 】着重对即n ( m 3 ，n 4 ) 所对应的精确可线性化系 统进行了推导 在b l u m a n 和k u m e i 的研究【2 8 - 3 0 中，精确可线性化群理论已经得出，由 此二人所建立的群理论可以应用于任何一个非线性系统来确定这个系统是否 可以被精确线性化，如果可以就能把它转化为一个线性系统然而这并不意味 着h o d o g r a p h 变换就失去了他的意义，因为它在应用时比群理论的分析更为简 单，而群理论经常包含了很多对群的计算工作 e s t e v e zp g 和p r a d aj 【3 1 】把h o d o g r a p h 变换应用于把n e g a t i v ec a m a s s a - h o l m 系统转换为另一个系统，它由2 + 1 维的c o u p l e dc b s ( c a l o g e r o - b o g o y a v l e n s k i i - s c h i f f ) 方程所组成的并通过了p a i n l e v e 检验正如我们所 知道的，b o y e r - f i n l y 方程( d i s p e r s i o n l e s st o d ae q u t i o n ) 不是群不变的，m a n a s m 和a l o n s ol m 【3 2 】用h o d o g r a p h 变换获得了这个方程的解 2 西北大学硕 ：学位论文 对于以下形式的点变换 ( 1 1 ) 如果这种点变换能把一类偏微分方程中的一个转换为同一类型中的另一个，那 这种点变换就是这类偏微分方程的等价变换 定义1 1 1 ：若变换( 1 1 ) 中的函数p ( x ，t ，u ) 依赖于因变量仳，即r 0 ，就称 此变换h o d o g r a p h - t y p e 变换 h o d o g r a p h t y p e 变换和它转换的两个方程中含有任意的函数和任意参 数，这些函数和参数的选择会使这两个方程成为线性的或是大家所熟悉的 方程文献 3 3 d p 的h o d o g r a p h - t y p e 变换就把c a m a s s a - h o l m ( c h ) ，h a r r y - d y m ( g d ) 和m o d i f i e dk o r t e w e g - d e v r i e s ( m k d v ) 分层相联系 1 9 9 9 年n e u l e r 在( 3 4 】中定义了a u t o - h o d o g r a p h 变换并在非线性发展方 程一个分层中讨论此类变换 定义1 1 2 ：若h o d o g r a p h t y p e 的一个非局部交换把一个给定微分方程转换为 它自己，则称其为a u t o - h o d o g r a p h 变换 之后不久，n o r b e re u l e r 和m a r i a n n ae u l e r 在 3 5 】中对广义的h o d o - g r a p h 变换作了推广，并定义为x - g e n e r a l i s e dh o d o g r a p h 变换 定义1 1 3 ：定义变换 d x ( x j ，弓) = i i ( x j ，u j ) d x j + 1 2 ( x j ，吻，吻即，吻奶，z 一t ) 奶， d t i ( x j ，巧) = 奶， u t ( x i ，如) = 9 ( 巧) ， 其中i j ，礼= 2 ，3 a 乌丑o x j 怖蒿+ u j x 产jo 艄u i x j u # j o u - - - j + - 悔 器 = + 吻q 万面+ + 哟正 右。 为x - g e n e r a l i s e dh o d o g r a p h 变换 3 一毗由 吼 础砷讹跏 = | i = 第一章绪论 1 2 主要成果 如前所述，本文主要研究了h o d o g r a p h 变换和h o d o g r a p h t y p e 变换的有 关内容概括地说，本文的主要成果和内容可组织如下： 1 第二章首先介绍了h o d o g r a p h 变换的关于文献【2 7 的研究背景，然后对 其进行了推广导出包含四个因变量和四个自变量的h o d o g r a p h 变换和可线性 化系统 2 第三章给出了有关h o d o g r a p h - t y p e 变换的已有结果，同时在四阶发 展方程中去讨论h o d o g r a p h - t y p e 变换，得出了在给定四阶发展方程形式时， h o d o g r a p h - t y p e 变换转换前后的两个方程之间的联系 4 西北大学硕十学位论文 第二章h o d o g r a p h 变换和可线性化系统的推广 2 1背景知识 为了书写方便，在 2 7 q h ，用印n 表示具有m 个因变量和佗个自变量的一 阶偏微分方程系统( m 3 ，佗4 ) ，作者所研究的h o d o g r a p h 变换主要有： 研n ( 礼= 1 ，2 ，3 ，4 ) ，研礼( 佗= 1 ，2 ，3 ，4 ) ，研n ( n = 1 ，2 ，3 ，4 ) ， 研n ( 佗= 2 ，3 ，4 ) ，明n ( n = 2 ，3 ，4 ) ，硪n ( 礼= 3 ，4 ) 对于以上的每一种h o d o g r a p h 变换卵n 都存在可以被变换印n 线性化 的一阶非线性系统同时作者用毋n 表示这些可线性化系统的一般形式，即每 一个可以被变换卵n 线性化的一阶非线性系统都是印n 的一个特殊形式，并 用q ，表示由卵n 简化所得出的拟线性系统对于关系 和它们的逆关系 对( 2 1 ) 求全导既有 如= 恚( 砒一钆咖一也出一瓴出) ， 咖= 恚d u + ( 一恚砧) 匈+ ( 也一- 毫2 - - 也) 出+ ( 砚一恚训出， d 铷= 毫d u + ( 程v v - - 罢如) 咖+ ( 也一 笔- 2 - 砬：) 出+ ( 也一薏- 2 - - 蛐出 5 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ， ，、， q 吣 矗 乞 乞 玑 玑 彬 0 议此国 = = i i 牡 秒 彬 ，-lii_j、_-l_- ， 、， q 吣n 乞 乙 玑 玑 艚 仍 如p 烈舐西 = = = z 口 伽 ，f-_ii_j、-_-、 第一章h o d o g r a p h 变换和可线性化系统的推广 另一方面由( 2 2 ) 得 ( 2 4 ) 比较( 2 3 ) 和( 2 4 ) ，则交换一个自变量和一个自变量的h o d o g r a p h 变换研4 可 表示为： z u2 一“! ， 2 一乏， u z x z2 一：一， 铭z 一 一 2 吻一面，也2 吨一 w y5w v w z u t x t2 一：一， u x 一 也 仇2 仇一_ 毗， 阮 一 也 w t2w t 一：一乱t 札z ( 2 5 ) 经过对以上h o d o g r a p h 变换砰的观察，即可写出通过此变换可化为一个线 性系统的非线性系统的一般形式为 ( o i o + a l l x + a i 2 v + a i 3 w ) u z + a i 4 u 影+ 口i 5 抛+ a i 6 让t + a i 7 v x + a i s w + b n j l + b i 2 j 2 + b i 3 j 3 + 6 诅五+ b i 5 如+ b i 6 j 6 = a i 9 ( i = 1 ，2 ，3 ) ， 其中所有系数均为( u ，y ，z ，t ) 的函数且有 如= 吨一也， j 4 = 嘶一毗乱掣， 五= 伽t 乱。一眈毗 则非线性系统( 2 6 ) 经过变换研4 可被化为以下线性系统 ( 2 6 ) ( 2 7 ) a i o + a i l x + a i 2 u + a s w a i 4 x l ，一a i 5 x ：一a i 6 x t + a i 7 v u + a i s w u + b i l v y + b i 2 v 孑+ b i 3 v t + 6 诅蛳+ b i 5 w z + b i 6 w t = a i 9 x 缸( i = 1 ，2 ，3 ) 根据以上定义，则非线性系统( 2 。6 ) 即可表示为掣，面对于e n ( m 3 ，礼 4 ) 的表示完全可以从( 2 6 ) 中推导出来，如下： 6 ， 0 础 氓 砚 牙 砚 + z ； 如 虹 埘 z z u 础 叫 旧 斗 一- ， 引砌 掣 一 一脚 呐呐州 u u 奴 d 函 “ 驰 驰 啦 钆 玩 面 = = i l 如 如 加 以 心一如如一 = 玩 名 u 堕戗 一 = 西 i i y u 堕戗 一 堕站 = u 皿 “ u 哳 舭 抛 邺 啪 一 一 一 茁 b b 嘞 渺 乒 咐 仇 蛾 = = = 五 以 以 西北大学硕十学位论文 ( o t o + a l l x + a i 2 v + a i 3 w ) u z + a i 4 u ! ，+ a i 6 u t + a i t v x + o t 8 蛾+ b i l j l + b i 3 j 3 + b i 4 j 4 + b i 6 五= a i 9 ( i = 1 ，2 ，3 ) ， 其中所有系数均为( u ，y ，t ) 的函数且以( k = 1 ，3 ，4 ，6 ) 见( 2 7 ) 中定义 e 2 ： ( a i o + a i l x + a i 2 v + a i 3 w ) u z + a i 6 z t t + a i 7 v z + a 8 蚍+ 6 i 3 以 + b i 6 凡= a i 9 ( i = 1 ，2 ，3 ) ， 其中所有系数均为( 乱，t ) 的函数且以( k = 3 ，6 ) 见( 2 7 ) 中定义 ( n t o + a i l x + a i 2 v + a i 3 w ) u x + n 1 7 + o i 8 = a i 9 ( i = 1 ，2 ，3 ) ， 其中所有系数均为u 的函数 ( a i o + a i l x + a i 2 v ) u 茁+ 口t 4 坳+ 口i 5 珏z + a i 6 u t + a i t v x + b i l j l + b i 2 j 2 + b i 3 以= a i 9 ( i = 1 ，2 ) ， 其中所有系数均为( t l ，y ，z ，t ) 的函数且五( k = 1 ，2 ，3 ) 在( 2 7 ) 中定义 e 3 ： ( n i o + a i l x + c k 2 v ) u = + a i 4 u 可+ a i a u t + a i t v x + b i t j l + b i 3 j 3 = a i 9 ( i = 1 ，2 ) ， 其中所有系数均为( u ，y ，t ) 的函数且以，以在( 2 7 ) 中定义 e 2 ： ( a i o + a i l x + a i 2 v ) u z + a i 6 u t + a i t v z + b i 3 j 3 = a i 9 ( i = 1 ，2 ) ， 7 第一章h o d o g r a p h 变换和- 丌r 线性化系统的推广 其中所有系数均为( u ，t ) 的函数且以= 仇一u t ( 口t o + a i l x + a i 2 v ) u x + 啦7 = a i 9 ( i = 1 ，2 ) ， 其中所有系数均为u 的函数 e 1 4 ： ( a l o + a l l x ) u 。+ n 1 4 + a 1 5 u z + a 1 6 u t = a 1 9 ， 其中所有系数均为( u ，y ，z ，t ) 的函数 研3 ： ( a l o + a l l x ) u z + 0 1 4 吻+ a 1 6 u t = a 1 9 ， 其中所有系数均为( u ，y ，t ) 的函数 研2 ： ( a l o + a l l x ) u x + a 1 6 u t = a 1 9 ， 其中所有系数均为( 让，t ) 的函数 当交换两个因变量( u ， ) 和两个自变量( z ，t ) 的位置时可以得出酵为 a i l u 2 + a i 2 u t + o i 3 + n 诅仇+ ( a i 5 + a i 6 x + a i t t + a i s w ) j + b i l 以 + b i 2 j 2 + b i 3 j 3 + 6 喜4 五+ b i s j s + b i 6 j 6 + b i 7 ( j l w x + j 2 w t + j w 擎) + b i 8 ( j 3 w x + 以毗+ j w z ) = 0( i = 1 ，2 ，3 ) ， 其中所有系数均为( 仳，y ，z ，u ) 的函数且 j = 仳王v t 一毗魄， = 毗吻一u y v t ，也= u y v x 一，如= 毗叱一u z v t ， 8 西北大学硕” ：学位论文 j 4 = 也一睨，1 5 = 仇锄。一妣，无= 魄毗一u w z 。 同理，由露4 很容易得出霹n ( m = 2 ，3n = 2 ，3 ，4 ) 当交换三个因变量( u ，u ，w ) 和三个自变量( z ，y ，亡) 的位置时可以得 出磁4 为 a i l la 1 + a i l 2 以2 + a i l 3 j 1 3 + b i l ( l u z + 以2 珑+ 3 蛾) a i 2 1j 2 1 + a i 2 2 j 2 24 - a i 2 3 j 2 34 - b i 2 ( j 2 1 u ：+ a 2 v z + a 3 w ：) a i 3 1 如1 + a i 3 2 a 2 + a i 3 3 以3 + b i 3 ( a l u z + 以2 u z + 以3 叫z ) = ( c 4 0 + c i l x + c i 2 y + c i 3 t ) j 其中所有系数均为( u ， ，z ，w ) 的函数且 l = ( i = 1 ，2 ，3 ) ， o ( v ，w ) 7o ( u ，w ) t o ( u ，u ) 瓦两一1 22 一丽一1 32 瓦而 o ( v ，w ) ro ( w ，u ) r o ( u ， ) 而河一2 22 币万一2 32 一币河 a 1 = o ( w ，u ) o ( w ，u ) ， o ( u ，u ) j 瓦而3 22 瓦而3 32 硒荔 了= 渊 同理，由霹4 很容易得出霹n ( m = 3 ，n = 3 ，4 ) 的表达式 2 2四个因变量和自变量空间上的h o d o g r a p h 变换 在这一节里，我们扩大因变量的个数，即因变量和自变量的个数都为 四个，从而推导出h o d o g r a p h 变换矽( r = 1 ，2 ，3 ，4 ) 和一阶可线性化系 统霹4 ( r = 1 ，2 ，3 ，4 ) 的表达式 9 第_ 章h o d o g r a p h 变换和可线性化系统的推广 在由自变量( z ，y ，z ，t ) 和因变量( u ，v ，w ，o ) 所组成的空间上考虑关系 和它们的逆关系 由( 2 8 ) 得 既有 z = 牙u ，y ，z yz ，) ， z2z ，t j ， 口= 面( 饥，y ，z ，亡) ， w = 西( 珏，y ，z ，) ， 0 = 石( 钆，y ，z ，亡) d u = 如d x + 也d y + 砬z d z + 砒出， d v = 也d x + 0 y d y + 也如+ 9 t d t ， d w = 也d x + 国暂d y + 西：d z + t z o t d t ， d o = 如d x + 毛d y + 色d z + 5 t d t 如= l 地( d u 一也匆一也出一祝班) ， 咖= 恚砒+ ( 一恚) 匆+ ( 也一恚也) 出+ ( 魂一- 恚r - - u t ) a “r ， 咖= 瓦w x 砒+ ( 也一瓦w x u 可) 匆+ ( 也一瓦w x 屹 ) 如+ ( c o t d 。= 恚d 乱+ ( 勾一_ o x u x ) 咖u z 另一方面，由( 2 9 ) 得 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 i 0 ) 瓦w x 锄) 出，( 2 1 1 ) + ( 沪恚也) 如+ ( 铲- 仳皇茁- f t t ) d t d z = x u d u + 牙d y + x z d z + 孟t 班， 1 0 q 幻矗味 列 印 而 印 玑 玑 彤 撕咖地撕 = = i i | i u 秒 彬 。 西北大学硕： ：学位论文 d v = 钆砒+ 嘞咖+ 砚如+ 砚出， d w = 讥托+ 面d y + 西= d z + 砚疵， d o = 5 u d u + 西d y + 瓦d z + 玩出 比较( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) ，则h e 4 可表示为： 一坳 2 一乏， 一倪一 仇2 _ ，吻2 吻一 u 茁 。9 u t 鼠2 一- ， 铭z 一 移。 也2 吨一- u 名， u x 也一 西z 一 瓦魄2 一瓦“l ，毗2 叫名一 o x o u2 ：一， 乱。 一 5 z d 2o 一面 一 如 仇= 仇一_ 毗， 也 2 w t i u t ， u z 一 如 o t2o t 一：一毗 乱z ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 经过观察得知通过变换( 2 1 3 ) 可化为一个线性系统的非线性系统的一般形式为 ( o i o + a i l x + a i 2 v + a i 3 w + a i 4 0 ) u z + a i 5 u 掣+ a i 6 u z + a i 7 u t + 啦8 + a i g w x + a i l o o x + b i l + 魄2 如+ b i 3 如+ b i 4 以+ b i s 以+ 玩6 如 + b i t 乃+ b i 8 无+ b i 9 如= a l l l ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ， 其中所有系数均为( 乱，y ，z ，t ) 的函数且有 以= v y ? 2 z 一让! ，j 2 = 睨一u z ，以= 仇一毗， 以= w 暑f u 士一u 可，j 52w ：魄一蚍u 名，j 62w t u 。一w 霉魄， 乃= 一吻， = o z u z 一u z ，以= o t 一o x ? 比t 1 1 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 也一 一 = ： 一z 1 一砧 = u z 嘶 如一如 也 堕位 ； u 如一 一 = d | i 一叱 第_ 章h o d o g r a p h 变换和可线性化系统的推广 则非线性系统( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 通过变换( 2 1 3 ) 可化为线性系统 a i o + a i l w + a i 2 v + a i 3 w + a i 4 0 a i 5 x y a i 6 x z a i t x t + a i 8 v u - t - a i 9 w t + a i l o o u + b i lv u + b i 2 v z + b i 3 v t + b i 4 w 暂+ b i s w z + b i 6 w t + 6 i 7 d 譬+ b i 8 0 z + b i g o t = a i l l x t i ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 由变换e 4 我们可以写出e p ( m = 1 ，2 ，3 ，4 扎= 1 ，2 ，3 ，4 ) 中的任何一个表 达式，而在此我们只写出文献 2 7 中没有的，即e 1 ，e 2 和e 3 的表达式 研3 ： ( o i o + a i l x + a i 2 v + a i 3 w + a i 4 0 ) ? 比x + a i s u y + a i 7 u t + i 8 j r a i 9 t j g x + o i l o d z + 玩1 + 玩3 以+ 玩4 + 玩6 无 + b i 7 乃+ b i 9 山= a i l l ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ， 其中所有系数均为( 仳，y ，t ) 的函数且五( i = 1 ，3 ，4 ，6 ，7 ，9 ) 在( 2 1 5 ) 已定义 研2 ： ( n t o + a i l x + a i 2 v + a i 3 w + a i 4 0 ) u z + a i 7 u 吃+ t 8 + a i 9 w 霉+ a i l o o x + b i 3 五+ b i 6 j 6 + b i 9 j 9 = a i l l ( i = l ，2 ，3 ，4 ) ， 其中所有系数均为( u ，t ) 的函数且五，如和乃在( 2 1 5 ) 已定义 ( n + a i l x + a i 2 v + a i 3 w + a i 4 0 ) ? i 三x + 8 8 + o t 9 铷z + a i l o o x = a i l l ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ， 其中所有系数均为牡的函数 在由自变量( z ，y ，z ，t ) 和因变量( t ，口，w ，0 ) 所组成的空间上交换两个因变 西北大学硕i ：学位论文 量( 牡， ) 和两个自变量( x ，t ) 的位置时，作( 2 8 ) 的逆关系 由( 2 8 ) 得 解得 。= 牙( 钍，y ，z ，u ) ， t = t - ( u ，y ，z ， ) ， w = 西( u ，y ，z ，钉) ， 0 = 舀( u ，y ，z ，口) 如= 亨砒+ 粤匆+ 亨d z 一等咖， d t = - - 讥- f d 让+ 粤咖+ 号如+ 等咖， 咖= 粤砒+ 粤如+ 粤觑+ 奶】咖+ 【亨也+ 粤如+ 也】如+ 雩咖， 如= 軎砒+ 【号屯+ 粤鼠+ 屯】咖+ 軎色+ 粤晚+ 醐出+ 雩咖 另一方面 则砂可表示为： 一砚一 以 一 无 一 锄 z t t2 了，z y2 了，轧2 了，2 一了， 1 3 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 础 诚 埘 诚 蛐 蝴 吲 泐褂褂嘞褂 + + 一 一_ 一 一 岫 一 也 咖 咖 如 ， c 帆 ， 叫 h 础 砜 撖 2，a上_ k 托酗 外 啊 泓 倒 一 扩 + 匆 h 钠m 吲呐 驰 姒 蛐 廊 一函 西 瓦 | | = 一 l l 如 批 咖 如 第_ 章h o d o g r a p h 变换和可线性化系统的推广 t u = 7 3 _ j z z ，毛= 亨，艺= 乡，乙= 一等， 砚= 雩，奶= 号也+ 号也+ 奶，砚= 乡也+ 号如+ 也， 矾= - 也y ，孔= 生j ，西= 粤以+ 号良+ 毛， 2 ，2 一，2 了+ 了吼+ ， 瓦= 粤如+ 今晚+ 屯，瓦= 了y s 2 了+ 了d t + 观，锄2 了 经过观察得可线性化系统酵为 a i l u x + a i 2 u t + o t 3 + a i 4 v t + ( a i 5 + a i 6 x + a i 7 t + a i 8 w + a i g o ) d + b i l j l + b i 2 j 2 + b i 3 以+ 6 以j 4 + b i 5 j 5 + b i 6 如+ b i t j r + b i 8 j 8 + b i g ( j l w x + & w t + 了哟) + b i l o ( j 2 w x + 五叫t + j 蛾) q - b i l l ( j l o z + j z o t + j ) + b i l 2 ( j 2 0 z + 五吼+ j o ；) = 0( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ， 其中 五= u t 一坳仇，如= u t v z u z v t ，j 3 = 仳掣一吻， 五= u z v z 一睨，j 5 = 仇魄一妣，j 6 = 乱z w t 一乱地， 乃= 仇一v x o t ，以= u x o t 一毗，j = 魄仇一u t ， 且所有系数均为( u ，y ，z ， ) 的函数，以上系统可被酵线性化为 a i i t t ，一a i 2 x t ，一a i 3 t t + a i 4 x t + a i 5 + a i 6 x + a i t t + a i 8 w + a i 9 0 + b i l x f + b i 2 x ：+ b i 3 t 掣+ b i 4 t ：+ b i s w u + b i 6 w v + b i t o 缸+ b i 8 0 t i + b i g w u + b i a o w z + b i l l o u + b i l 2 0 名= 0( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 依照同样的方法我们可以写出霹3 和霹2 的表达式： 1 4 西北大学硕十学位论文 磅3 ： a i l u + a i 2 u t + o i 3 + a i 4 y t + ( a i 5 + a i 6 x + a i t t + a i s w + a i g o ) j + b i l j l + b i 3 以+ b i 5 如+ b i 6 j 6 + 玩7 乃+ b i s j s + b i 9 ( j x w x + 乃叫t + j w ”) + b i l l ( j l o z + a o t + j ) = 0( i = l ，2 ，3 ，4 ) ， 其中所有系数均为( u ，y ，v ) 的函数且了，五( i = 1 ，3 ，5 ，6 ，7 ，8 ) 已定义 2 ： a i l u 。+ a i 2 u t + o 3 + a i 4 v t + ( a i 5 + a i 6 x + a i t t + a i 8 w + a i 9 0 ) j + b i 5 以+ b i 6 五+ b i t 乃+ b i 8 = 0 ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ， 其中所有系数均为( u ， ) 的函数且j ，五( i = 5 ，6 ，7 ，8 ) 已定义 在由自变量( z ，y ，z ，t ) 和因变量( 仳，口，w ，0 ) 所组成的空间上交换三个因变 量( 仳，u ，w ) 和三个自变量( z ，y ，t ) 的位置时，作( 2 8 ) 的逆关系 咖= 等砒+ 孚咖 z = 牙( 札，v ，z ，叫) ， y = 影( u ，v ，z ，叫) ， t = 虱钆，u ，z ，叫) ， 0 = 石( 乱，u ，z ，伽) d t = 等砒+ 孚咖一 l 也+ 2 位+ j 1 3 西二 也1 也+ 五2 以+ 五3 西z 以l 也+ 无2 也+ 以3 西石 把些型笋塑 d z + d z + d z + 五3 f d w ， ， 也3 f d w ， ， a 3 ， 了d