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迭代级函数的奇异方向与充满圆 摘要 本文利用亚纯函数的迭代级的概念，研究了迭代级亚纯函数和迭代级整函 数的丑o r e f 方向和九妇方向，以及在单位圆上的奇异方向全文共分五章 第一章介绍了整函数与亚纯函数的迭代级，迭代零点收敛指数与奇异方向 等相关的定义及其预备知识 第二章，我们研究了迭代级整函数结合于导数与重值的辐角分布，得到了相 应的结果 第三章，通过使用迭代级的概念，我们研究了迭代级亚纯函数的导函数的 肋m f 方向，证明了迭代级亚纯函数的肋陀z 方向也是其导数的占d r e ，方向 第四章，研究了单位圆内迭代级亚纯函数的充满圆的有关性质，同时用这些 充满圆来证明单位圆内迭代级亚纯函数的丑d ，“方向的存在性推广了已有的结 果 第五章，利用k 拟共形亚纯映射基本不等式，把迭代级亚纯函数的关于充 满圆和肋m f 方向的一个结果推广到拟共形迭代级亚纯函数 关键词：亚纯函数，迭代级，肋m f 方向，充满圆，k - 拟共形亚纯映射 中图分类号：0 1 7 4 5 2 迭代级函数的奇异方向与充满圆 a b s t i m c t i nt h i st h e s i s ，w ei n v e s t i 鼬t e dt h eb o r e ld i 删i o na i l dj u l i ad i r c c t i o no f t h e m e r o m o r p h i cf i l n c t i o n s 锄de m i r ef u n c t i 衄sw i t ht l l ei t e r a t e do r d e r ：w ea l s o i 1 1 v e s t i g a t e dt h es i n g u l a rd i r c c t i o no ff i l n c t i o n si nt h eu n i td r c l e i ti n c l u d e sf o u o w i n g f * ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w e 缸t r o d u c e dm ed e f i n i t i o n sa n dl m o w l e d j ：ec o n c e 丌i i n gi t e r a t e d o r d e ro fm e r o m o r p h i cf u n c t i o na n de n t i r ef u n c t i o n ，s u c ha st l l ei t e r a t e do r d c r ，t l l e i t e r a t e d e x p o e to fc o n v 引翟e c eo fz e r o sa n dt h es i l l a rd i r e c t i 叩so f l nc h 叩t e r2 ，w ei i l v e s t i g a t e dt h ea 则m e n td i s t r i b u t i 仰o ft h em u l t i p l ev a l u e 卸d t h ed e r i v e df i l n c t i o n so fi m e 盯a 1f i l n c t i o n sw i 血i t c r a t e do r d e r ，a n dg a ；ns i m j l a r r c s u l t i nc h a p t e r3 ，b yu s i l l gt h ec o n c e p to fi t e r a t e do r d e f ，w ei n v e s t 适a t e dt h eb o r e l d i r c c t i o no ft h ed e r i v e df l m d j o n so fm e i d m o n ) l l i cf i l n c t i o n sw i t hi t e r a t e do r d e ra n d m a n i f 色s tt h a tt h ed i r e c t i o i st h ef i l c t i o n sb o i e ld i r o c t i o n i i lc h a p t e r4 ，w ei n v e s 廿g a t e d _ t 1 1 ef i l l i n gd i s c so fm e r o m 唧l l i cf i l n c t i o nw i t h i t e r a t e do r d e ri nt h eu n i tc i r c l e ，a tt h es 锄et i m ew eu s et h e s ef i l l i i 培d i s c st o2 a i nt h e t h e o r e m sa b o u tb o r e ld i r c c t i o i l sa n dj u l i ad i r e c t i o so ft h i sm e r o m o r d h i cf l l n c t i o n i n t h el a s tc h 叩t e lw cg o tar c s u l ta b o u t f i l l i n gu pd i s c 扑d c t h eb o r e ld i f e c t i o n s o ft h ek - q u a s i c o n f 0 瑚a 1m e m m o r p h i cf i l n c t i o n sw i mi t e r a t e do r d e rb yu s i n gt h e f u n d a m e n t a li n e q u a l i t vo fk 0 q u a s i c o n f o m l a lm e m m r p h i cf l l n c t i o n si nt l l ep l a l l e k e yw o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n d i o n s ，i t e r a t e do r d e b o r e ld i r e c t i o n s ，f i l l i n gu pd i s 岛 i 。- q u a s i c 0 血0 m a lm e r o m o r p h i cm 印p i l l g 2 迭代级函数的奇异方向与充满圆 第一章引言与预备知识 1 1 引言 值分布理论是复分析的一个重要分支，它是运用复分析的基本理论和方法， 来研究复变函数中口值点的分布问题对于亚纯函数和整函数，相应于模分布， 正规族，辐角分布这三个研究领域，有着三个非常基本的定理，这就是p i c a r d 定 理( 见【1 】) ，m o n t e l 定理( 见【2 】) 和i m n 关于方向存在性的定理( 见【2 】) 而奇异 方向是辐角分布的重要内容亚纯函数，( z ) 的奇异方向( 见【3 ，4 】) 有b o r e l 方向， j u l i a 方向和t 方向等等，1 其中t 方向( 见 5 】) 和b o r e l 方向( 见 6 ，7 】) 是近年来的研 究热点之一奇异方向的主要理论依据是勘”f 方向及血砌方向的存在性定理 九肠方向的存在性是g j u l i a 根据p ：m o n t e l 的正规族理论首先发现的，后来又找 到其他的证明方法肋r “方向的存在性证明是由g v a l i m n 借助于n e v a l l l i n n a 的亚纯函数理论并且应用关于多项式的模的b o u t r o u x c a n o n 定理而首先完成的， 以后张庆德与杨乐又得出了它的等价条件( 见【8 】) 学术界目前对复平面上的情况 研究较多，但是对于单位圆上的情形研究相对较少，主要有成都气象学院的张 庆德( 见【9 】) 等开展了这方面的研究本文则主要对具有迭代级的无穷级亚纯函数 和整函数分别在单位圆上和复平面内的奇异方向进行研究受孙道椿( 见 1 0 ，1 l 】) 对于平面上的拟共形亚纯函数映射这一广泛函数的值分布研究的启发，本文对 具有迭代级的k 拟共形亚纯函数的充满圆和b o r e l 方向进行讨论 1 2 预备知识及相关定义 我们使用n e v a i l l i 加a 值分布理论的标准记号( 见 2 ，1 2 】) ，如用尼( r ，；口) 表示 i z i s ，上，0 ) 一d 的零点个数，重级零点按其重数计算；( ，- n ) 表示厂( z ) 的 n 值点的密指量；r ( ，) 表示亚纯函数的特征函数；仃( ，) ，a ( ，) 分别为，的增 长级和零点收敛指数 规定：e x p 1 ，；，c x p mr = e x p ( e x p 【”q r ) ，p ，r o ，* ； i og 【l 】r ：l o g r ，i o 少l r ：l o g ( 1 0 少一1 】r ) ，对于充分大的r ，p 为了刻画快速增长的亚纯函数，我们再引入下面的定义： 1 2 1 迭代级和迭代收敛指数 定义1 1 ( 见【1 3 】) 亚纯函数，( z ) 的迭代级盯，( ，) 定义为： 4 迭代级函数的奇异方向与充满圆 啪) = 匦警，( p ) 注1 1 ：q ( ，) = 盯( ，) 定义1 2 ( 见【1 3 】) 整函数，( z ) 的迭代级( ，) 定义为： 啪) = 匦掣 ：丽型挈鱼卫，( p ) r - ” j o g r 定义1 3 单位圆内亚纯函数，( z ) 的迭代级巳( ，) 定义为： q ( ，) _ 画警，( p ) 舯一毗舻船c 璐锄辄加半出 定义1 4 记b ，一制t ，) 通过复映射，( z ) = “0 ，y ) + 如0 ，y ) d ；，e ”) 在球面 y 上的覆盖曲面为( 耳，) ，( 耳，) 对y 的平均覆盖次数记为 洲= 拊裂一 石j u j “门工l ，i 。、 定义1 sk 拟共形亚纯函数，( z ) 的迭代级q ( ，) 定义为： c r p ( ，) _ 匦掣巾) 定义1 6 亚纯函数，( z ) 的n 值点序列的迭代收敛指数( ，一口) 定义为： l o g 扭1 ，l ( r ，) w _ 口) = 匦( p ) 注1 2 当n = 0 时，九( ，一口) 为，的零点的迭代收敛指数 定义1 7 ( 见【1 3 】) 亚纯函数，0 ) 的迭代级的增长指标i ( ，) 定义为 迭代级函数的奇异方向与充满圆 o f ( ，) = m i n 伽；吒( ，) c 。 若，是有理函数： 秒是超越亚纯函数，且 存在某个n n ，使( ，) c 。； 对于所有的，l ，都有吼；* 1 2 - 2 充满圆，奇异方向及例外值 定义1 8 c 见【2 】) 设函数，( z ) 于开平面上亚纯，级a 为有穷正数，若存在一列 圆 o ：卜z 小s 水4 磐吲，姆s ，；o ( ，= 螅3 ) ， 满足在每个0 内，o ) 取任意复数至少1 z 。次，至多除去一些复数可含于两 个球面半径为e 十，i “的圆内，这里烛6 ：o 则圆0 称为，( z ) 的一列 级踟阳z 充满圆 定义1 9 ( 见【2 】) 设函数于开平面亚纯，且 匦辫一， ( 1 - ) ( 1 0 9 r ) 2 、7 若存在一列圆 l ：卜z 肛s 牛耳 衅肛。，璺s ，z o ( ，t 1 ，2 ，3 _ ) ， 满足在每个0 内，( z ) 取任意零数至少”，次，至多除去一些复数可含于两个球 面半径为e “的圆内，这里 觋肛，= 。则圆0 称为，0 ) 的一列血妇充满圆 定义1 1 0 设函数，( z ) 于开平面上亚纯，a r g z = 吼( 0 s 岛c 打) 为由原点发出 的一条半直线，对于任意正数r ，适当小的正数和每个复数口，n ( r ，岛，= ) 表示在区域q z f s ，) n o a r g z 一岛f ss ) 上厂p ) 一n 的零点数，重级零点按其重数计 算 定义1 1 1 ( 见【2 】) 设函数，( z ) 于开平面上亚纯，级a 为有穷正数，若存在一 条由原点发出的半直线b ：a r g z = 皖( 0 5 吼 扭) ，满足对于任意正数和每个复 数n 都有 而! 竖堕! 鱼! ! ! ! 三尘：a - ” l o g r 至多可能除去两个例外的复数则称半直线b 为厂( z ) 的 级肋陀f 迭代级函数的奇异方向与充满圆 定义1 1 2 ( 见【2 】) 设，( z ) 于开平面亚纯，适合条件( 1 1 ) ，则必存在一条由原 点发出的半直线j ：a r g z = 吼( 0 吼c 2 石) 使得在角顶位于原点以j 为平分角线的 任意小的角域内，仁) 取任意复数无穷多次，至多可能有两个复数例外具有上 述性质的方向j 称为亚纯函数，0 ) 的九妇方向 定义1 1 3 设，( z ) 于开平面亚纯，f ( ，) = p ，( 0 p o 则若 存在从原点出发的半直线b ：a 唱z = 目。( o s 口。 2 石) ，使得对于任意正数和每个 复数4 都有 面竺竺竺壶! ：口l i m = _ = o 最多可能除去两个例外的复数，则直线b 称为，( z ) 的迭代级b o r e l 方向 定义1 1 4 亚纯函数，( z ) ：f ( 厂) = p ，( o p o 4 为任意复 ，l o g b l ，l ( ，了l ) o ( 击) 2 匦如，( p ) 则口称为厂( z ) 的p 次迭代级为盯的b o r c l 例外值 定义1 1 5 单位圆内亚纯函数，( 2 ) ：f ( ，) = p ，( o p o 口为 一击) = 画笔穿钒n 洲在任意复数若凡，7 上_ ) 2 卿= i 面芒亏生 盯，( p ) ，则口称为，( z ) 在 单位圆内的p 次迭代级为盯的b o r e l 例外值 1 2 3 其他定义 定义1 1 6 设，是区域d 到区域d 的同胚，若，( z ) 是d 内线段上的绝对 连续函数，且存在七苫1 ，使厂0 ) = “o ，) ，) + 加 ，_ ) ，) 在d 内处处满足 i | + f ，- js t ( 上i 一| ，- i ) 则称，( z ) 是d 内的单叶k - 拟正则映射若d 是r 泐m n 一 球面上的区域，则称，是d 内的单叶k _ 拟亚纯映射 选代级函数的奇异方向与充满圆 定义1 1 7 ( 见 1 4 】) 设，( z ) 是定义在平面区域d 内的复值连续函数，如果在 d 内的任意矩形缸+ 驴：口c 工c 6 ，cc ) ，c d 中，对 ，6 ) 内几乎处处的 矗，如+ f y ) 是) ，的绝对连续函数，对( c ，d ) 内几乎处处的) ， + 耖) 是x 的绝对 连续函数，则称，0 ) 为在d 内线段上的绝对连续函数若，g ) 是在d 内线段上 的绝对连续函数，则，0 ) 在d 内几乎处处可微 迭代级函数的奇异方向与充满圆 第二章迭代级整函数结合于导数与重值的辐角分布 2 1 引言与结果 杨乐文【2 】中的定理5 9 告诉我们：一个级| ；l 为有穷正数的整函数厂0 ) ，必定 存在一条肋，p ，方向b ：a 玛z ，氏，并且该方向b 还具有某种性质，具体叙述如 下： 定理a 设，0 ) 为一整函数，级a 为有穷正数，则必定存在一条从原点出发 的半直线b ：a r g z = ( 0 吼c 妨) ，具有下述性质：如果f ，p 是两个正整数，并 且适合条件寻+ 三。1 ，则对于任意正数g 和一切有穷复数a 与有穷非零复数卢， f口 有 面! ! ! 尘! 生生：! ! ：! ：! 三! ! ! 苎尘! 墨：! ：! ：生! ! ：a r - 。 l q g ， 那么我们要问：对于无穷级的整函数，比如正迭代级整函数，是否也会有类 似的结果呢? 本章的研究就得到了该问题的一个相关的结果 定理2 1 设，仁) 是一个整函数，f ( 厂) - m ，( 0 肼 o ，则必 定存在一条从原点出发的半直线b ：a 唱z = 吼( o s 吼t 幼) ，具有下述性质：如 果f ，p 是两个正整数，并且适合条件车+ 三。1 ，则对于任意正数。和一切复数口 l口 与有穷非零复数卢，都有 面型：堕! 尘：! ! ：笪睾坐4 坐型二丛一 ( 2 1 ) r _ 。 1 0 9 r 其中以f _ 1 ) ( ，厂一n ) 表示h 立，上，( z ) 一4 的重值不超过z 一1 的零点数目 2 2 引理 首先，我们给出有关的引理： 引理2 1 ( 见 1 5 】的定理3 8 ) 设，0 ) 于开平面亚纯，级a 为有穷正数，则必定 存在一条从原点出发的半直线b ：缸g z = 口。( o s 日。c 新) ，使得对于任意正数 迭代级函数的奇异方向与充满圆 和每个复数口都有 。；m 竺：竺：壹以l i m l 二- = a l o g ， 最多可能除去两个例外的复数 其中n f ) ( r ，一n ) 表示h 主，上，0 ) 一n 的重值不超过f 的零点数目 引理2 2 ( 见【1 5 】的定理2 4 ) 设，0 ) 是开平面内的亚纯函数， f ( 厂) a p ，( o p o 如果半直线b ：a r g z = 口o ( o s 氏扫) 为 ，0 ) 的一条p 次迭代级为仃的b o m f 方向，那么必定存在一列圆 0 ：k z ，cs 小斗z ，2 【z 小“，粤s ，；o ，磐z ，一* ，( 一1 ，2 ，3 ) ，使得在每个圆 0 内，o ) 取任意复数至少e x p ，叫啦，r 。 次，至多可能会除去一些复数可含于 球面半径为2 一的两个圆内，且! 觋d 2 o - 引理2 3 ( 见【2 】的定理5 8 ) 设函数，0 ) 于h c1 内全纯，f ，p 为两个正整数适 合条件手+ 刍c 1 - 若札- ，g 争+ 栉，柚( 1 ，c ，则对于任意复数n ，有 ，l 睦，者 c 巾g 南+ l o g + 1 0 9 + | ，( z ) 睢 其中，z + 是h c l 内的一个点，厅“r ，；n ) 表示l z | sr 上厂( z ) 一n 的重值不超过z 的零点数目 引理2 4 ( 见【2 】的定理3 1 ) 设口。 ；1 ，2 ，埘) 为平面上任意的玎个点，矗为任 意一个正数，则在平面上使得 ：【h f s ” 成立的点z 可被含于总数不超过n ，半径总和不超过拍的一组圆内 2 3 定理2 1 的证明 由引理2 1 ，厂( z ) 最少具有一条b d 陀f 方向b ：8 唱z = 日。( o 氏c 如) ，下面我 们将证明半直线b 就是具有定理所要求的性质 反证：假设结论不成立，即存在两个有穷复数a 。，风，。一o ) 及一个正数s 。， 迭代级函数的奇异方向与充满圆 使得 而螳堕! 盟：! ：生兰坐螋叟：坐上逖；吼。儿m 2 一。d n d ， r _ o l o 窖r 则当r 充分大时有 心- l 】( r ，口。，f 。，= 口。) + n ，- 1 ) ( ，口。，s 0 ，；p 。) ce x p _ 叫 i z i ) ，( 盯。c fc 力 设g o ) ；华，则显然它还是迭代级为盯的整函数，并且g ( z ) 与，( z ) 尸0 将有相同的肋，d 方向，因此，g ( d 也将以这条从原点发出的半直线b 为它的 肋陀f 方向又由引理2 2 知，g o ) 存在一列盯级充满圆l ：i z z ，i cs 肛外 z ，；i z 小“，磐s ，2 0 ， 鳃z ，。，( ，1 1 ，2 ，3 “) ，在每个0 内占o ) 取任意复数至少 e x p 旧1 1 乖，。) 次，至多可能会除去一些复数可含于球面半径为2 一的两个圆 s j ，s 内，且她d j o 下面取q ：k z ，l t 3 2 s 肛斗( ，= 1 ，2 ，3 ) 当j 充分大时，_ 可含于角域 l a r g p 。ic 内 ， 当，充分大时，对于每个固定的，设一，= 斜，它在h c - 上 是全纯，并且有 h ，1 ) ( 1 ， ，= o ) + n p 一1 ) ( 1 ， ；一1 ) 一h f 一1 ) ( _ ，占一o ) + n ，1 ) ( _ ，g 一1 ) s ) ( 川+ 3 2 s 牛斗吼，厂= ) + - 1 ) ( 川+ 3 2 s 肛片如，t 风) 5 e x p “- 1 1 4 z i + 3 2 f ，i z ，1 ) 7 e x p 1 睥，) pc 盯) 由引理2 3 。对于任意复数n 有 ，l 勃本_ ) 呐岬。s 即 卜，剥 + l o g + 1 0 9 + i ，o 冲 迭代级函数的奇异方向与充满圆 月( 0 ，g = n ) cc c x p 旧1 1 4 z 斤) + 1 0 9 1 i 占0 ；) n l 巨牛s 2 s 剧l + 1 0 9 + 1 0 9 + 不妨设s 止，i = 1 ，反之，如果当0 的半径不满足该条件时，我们只要考虑 r ：i z z ，i ce ；z | 一1 而代替o 显然，半径适当放大以后的圆仍然是盯级充满 圆所以有 l o g 赢 s 由于g ( z ) 是迭代级为盯的整函数，且z ；，因此 j g q l c e x p 吖“) i 于是就有 呜删) c 时叫( 断) + l 。g 南矿叫4 z ，+ 1 ) ) 由引理2 4 ，从而除去一个球面半径为b 制i 的小圆s ，：外，对于其它的复数 口，恒有 n ( r ，g = n ) ce x p 卜1 1 z 斤) oc f ，c 。) 当j m 时，s ，s ，s ，：的球面半径都趋于0 ； 当，充分大时，可以取复数n ，隹s ，u s u 屯因此， e x p _ 一1 1 q z i “一。) ，l ( r ，g 兰n ，) e x p “一1 1 4 z j r ) 令，一m ，就得到盯墨，则得到矛盾 因此，定理得证 选代级函数的奇异方向与充满圆 第三章迭代级亚纯函数及其导数的b o r e l 方向 3 1 引言与结果 关于亚纯函数及其导函数的公共肋他f 方向的问题，1 9 7 7 年张广厚c 见【7 】) 推 广了m i l l o u x 问题：一个有穷正级亚纯函数，( z ) 的导函数厂7 ( z ) 的b o r c l 方向也是 ，( z ) 的b o r e l 方向而m i j j o u x 问题的逆问题告诉我们：有穷正级亚纯函数 ，( z ) 的b o f e l 方向也是其导函数，0 ) 的b o r e l 方向，即有下面的定理： 定理b ( 见 2 】的定理6 6 ) 设厂( z ) 于开平面亚纯，级a 为有穷正数若b ： a 培z = 一。是一条a 级b o r e l 方向，并且在角域1 a r g z 一口。l o ) 内，( z ) 以一 个有穷复数为单级b o r e i 例外值，则b 也必为厂7 0 ) 的b o r e i 方向 那么，我们就有了一个问题：对于具有正迭代级的无穷级亚纯函数，是否也 有类似的结果呢? 本章讨论了该问题，并得到了一个相关结论 定理3 1 设，( z ) 于开平面亚纯，f ( ，) = p ，( 0 p o 若半直 线b ：a r g z = 吼( o s 日。 2 石) 为，0 ) 的一条p 次迭代级为仃的b o r e i 方向，并且在 角域l a 唱z 一氏i o ) 内，- ) 以一个有穷复数为单阶p 次迭代级为盯的 b o r c l 例外值，则b 也必为，0 ) 的p 次迭代级为盯的b o r c l 方向 3 2 引理 首先我们给出证明定理所需的引理： 引理3 1 ( 见f l o 】的定理2 4 ) 设厂0 ) 于开平面亚纯，f ( ，) = p ，( 0 p o 若半直线b ：a r g z = ( o s 日。s 2 石) 为，( z ) 的一条p 次迭代级为 盯的b o r c l 方向，则必存在一列圆o ：k z ，i s ，i z 小z ，= l z ，i e “，! 鲤s ，= o ， 鲤i z ，l _ m ，( j = 1 ，2 ，3 ) 使得在每个0 内，( z ) 取任意复数至少e x p 沪1 1 i ：l ”6 次，至多可能除去一些复数可含于球面半径为2 一的两个圆内，且l i md ，= o 。 引理3 2 ( 见【2 】的定理6 4 ) 设，( z ) 是i z l 1 内的亚纯函数，口，( f = 1 ，2 ，3 ) 是三 个复数( 其中可以有一个为。) ，相互间的球面距离均大于d ，o d 妻，并且有 迭代级函数的奇异方向与充满圆 ”也厂= o ) + 茏”( 1 ，= q ) ，再设( y ) ，是相应于h 1 内，( z ) 的所有极点及 数矗= 壶的b 。u t r o u x c a r t a 除外圆，则，( z ) 在hs 言内取任意复数n 的次数 n ，= n ) c + l 。g 扣g + 1 。g + l 瓶) l + 1 0 9 南，其帆 1 ，3 2 且不属于 ( y ) - 3 3 定理的证明 我们仅要考虑口。= o 的情况即可，a 。一。时，( z ) = ，( z ) 一n 。然b 也是 ，1 g ) 的一条p 次迭代级为盯的b o f d 方向，1 ，( z ) = ，( z ) 反证：定理的结论不成立，即不是，( z ) 的b o r e l 方向，则必然会存在以原点 为角顶，以b 为角平分线的某个角域q 。：l a r g z 一氏l q 。在这个角域内有三个互 相判别的复数q ( f = 1 ，2 ，3 ) ，使得 丽竺竺竺壶! 圳吐：，3 ) 另一方面，由引理3 1 ，扛) 存在一列盯级充满圆o ：i z z ，j s l z 小 罂5 = o ，磐i z ，i = ，a r g z ，2 吼( i = 1 ，2 ，3 - ) 与其相应地考虑一列圆 一：p z ，i 8s ，i z ，l ( j = 1 ，2 ) 当，充分大时， _ 必完全包含在角域 i a r g z 一叫 m i n ( 胤) 阻对每个充分大的j ，设g = 丛铲，g 在 h 1 内亚纯，且适合于 吼g 2 0 ) + 善n q g 码 钒) ( 2 m ，- o ) + 砉”( 料仇= 动 1 4 迭代级函数的奇异方向与充满圆 c e x p z 斤) ( r 盯) 咖2 南， c c x p 陋。1 。f ) “1 0 9 争l o 矿l o g + | 毗) | + 1 0 9 商一 其中d 是一个固定正数，等于n z ( 1 = 1 ，2 ，3 ) 相互间球面距离的最小者，k 1 1 3 2 且 f 。不属于h 1 内g ( f ) 的所有极点以及数j l = 1 “2 5 6 e ) 的b o u t m u x c a r t a n 除外圆 n ( 。，刊c c e x p 哩吉+ l o s + 1 0 s + 其中z 。= z ，+ 8 川t 。 + l o g 1 i ，0 。) 卢 1 8 s ，i z ，l 8 ，i z ，i i ( 3 1 ) 不妨设s 蚓z 1 ，反之若当0 的半径不满足该条件时，只要把它适当放大 即可所以由球面半径的定义有 1 0 8 嘲扎g 端 l ，)卢l l j 婶o p i 网z 小s s 肛川 ( 3 2 ) 下用j e n s e n 公式来估计1 0 9 + 1 0 9 + l ，o 。) i ，当，充分大时，有k i ， 穗k 湃南2i 毒南三l 蒹南- 注意到f 。不属于m 一” 腼k 珊南机一) 1 0 9 丢 。蚓小。o ) ( 3 4 ) 下面把( 3 4 ) 代入( 3 3 ) ，当，充分大时可以得 1 0 9 + i ，( z 。 c ( 1 。g 川) t ( 4 j z 小厂) e x p 删呐p ) ， 即 1 0 9 + l o g + l ，o 。) i e x p 啦p ) ( 3 5 ) 把( 3 2 ) ，( 3 5 ) 代入( 3 1 ) ，有 彪( r ，_ 芦) c 妒叫删砷j 0 9 扣g 南+ e x p 2 咻h 于是在r i e m a i l n 球上除去一个半径为e k 厅的球面圆后，有 厅，；卢) = o ( e x p p 叫 l z ，i7 ) ) 但是r 盯令j m 上式便与，如) 以。为盯级 充满厕相矛盾 1 6 选代级函数的奇异方向与充满圆 第四章单位圆内正迭代级亚纯函数的充满圆 4 1 引言与结果 【2 】的定理3 7 告诉我们：平面上的有穷正级亚纯函数，( z ) 必存在一列充满 圆那么：在单位圆内考虑正迭代级亚纯函数，是否也有类似的结果呢? 本章的 研究得到了该问题的几个相关结果 定理4 1 设，扛) 为单位圆盘内的亚纯函数，f ( ，) = p ，( 0 p m ) ， ( ，) - 删，即( ，) - 画酱，则必存在刊断h l t 喇， 磐t = o ，o ) ，删气j = 1 ，使得在每个誓内，- ) 取任意复数至少 c x p 卜o “” ( _ _ t ) ”。 次，其中! i i n q o 1 一i z i i 5 一。 注4 1 满足定理1 条件的圆】，：称为，( z ) 在单位圆盘内的肋r “充满圆 由定理4 1 ，当= 时，易得： 推论4 1 设，( z ) 为单位圆盘内的亚纯函数，f ( ，) = p ，( o p o 。) ， q ( ，) - ，即咋( ，) _ 画篙删必存在一列瞬h i q 阶 船_ ；o ，心，o ) ，舰蚓= 1 ，使得在每个i 内，( z ) 取任意复数至少 c x p 卜扣哪! ( - _ ) “) 次，其中；i n l q o 1 一l z 1 定理4 2 设，( z ) 是单位圆内亚纯函数，f ( 厂) = p ，( o p o 则必存在一条由原点发出的半直线b ：a r g z = 口。( os 日。 2 石) ， 使得在角顶位于原点以b 为角平分线的任意小的角域内，对任意复数a 有、 面堕坐尘啤生 垒二堕：盯，至多可能除去两个例外的复数 r l l o g 1 一r ) 注4 2 满足定理4 2 的半直线称为单位圆上迭代级为盯的亚纯函数，0 ) 的 肋r e f 半径 定理4 3 设，( z ) 为单位圆盘内的亚纯函数，f ( ，) = p ，( o p m ) ， 1 7 迭代级函数的奇异方向与充满圆 啪) = 删，( ，) = 萄等则必存在一列圆 ：j z z ，i c t 川，烩一= o ，o ) ，蚓乙i 一1 ，使得在每个一为，( z ) 的以 e x p “9 1 一蚓 为指数的充满圆 注4 3 满足定理4 1 3 条件的圆耳称为，( z ) 在单位圆盘内的j “f 妇充满圆 定理4 4 设，( z ) 是单位圆内亚纯函数，f ( ，) = p ，( o p o ，f = l 2 ) ，o 岛 盯，则有下式成立： i i 面e x p 陋- 1 1 ( 1 一，) 4 “。，) s ( r ，) = 。 ( 4 1 ) 又对任意确定的0 c c 1 可找到一个确定的口( 1 一，0c ac 1 ) 令 迭代级函数的奇异方向与充满圆 r ( 口，r ) ： z ：1 一与 c hc ， ，则对任意确定的a ( 1 一厂0c ac 1 ) 必有 卿e x ，叫 ( 1 一r ) ”。5 p ( r ( 吖) ，厂) = m ( 4 2 ) 事实上，如果存在一个正数c 和上述a ，使得 、e x p h l l ( 1 一，) “1 。1 梦( r 缸，) ，) c( o r 1 ) ， 那么不妨令r f ；1 一a t ，一，1 一与墨，这样就有 e x p f p _ 1 1 a ( 。“叫p ( r ( 口，) ，) sco = 1 ，2 ) ， 则有： e x p 1 1 ( 1 一) 。+ 1 - 。p ( ，) 一e x p 9 一”恤“+ 1 - 。) 【罗s ( r ( 口，r f ) ，) + s ( r “，) 】 “ 。 s ex，咿-11口“。“目)套(；j南+：；西j：玎：li咧 当i 取定时，右边为一个有界变量所以对于任意的，( o crc 1 ) ，将有一个i ， 使得- 1 r i ，这样 e x p 9 1 1 ( 1 一，) 。“。1 博( ，) se x p 9 4 1 ( 1 一t i ) 4 “一p ( ，) ；c x ，。1 忙“- 1 r “p “，) = e x p 协。1 】 ( ! “l - 捧“，) 由上可知这是有界变量，与( 4 1 ) 矛盾，故( 4 2 ) 得证 任给足够大的正数( 1 ) ，总存在最小的，l ，使得 e x p 1 ( 1 一 ) “1 - “- 捧( r 0 ，1 ) ，) 芑1 6 ( 1 ) 3 ， 则 跗) ，一6 矿叫 ( 1 _ 。 下面对圆环1 一生手c hc 作如下分割： 0 ) 将圆周角等分成k 。= 8 ( 1 ) 【】份 上一r ( 6 ) 用圆把1 一半t h t l 分成2 ( 1 ) 个圆环，且这些小圆环的宽度相等，则 迭代级函数的奇异方向与充满圆 兰f ! 鲤! 量2 ：2 ， 丝盟：! ：1 2 ( 1 ) 。8 ( 1 ) 【f 】c x p 印4 1 ( 1 一_ ) ”。“) 2 ( 1 ) 8 ( 1 ) 【j 】上一r ， 1 一r t 5 孑罴函鼎e x 一_ 1 1 m 一，1 ) 叶1 _ 1 【】 c x p u 。t u 一，l j1 ， 则必有一个曲边四边形见，使得 眠少孑器 记d 。的中心为z 。0 z 。lcr 1 ) ，则或含在它的外接圆x ：i z z 。lc r 内，圆在半径 放大2 倍后还在单位圆内为方便计，不妨把半径扩大的圆还记为k ，不断重复 以上的过程，即可得到一列圆z ，( f = 1 ，2 ，3 ) 使得 眠加孑帮而 由引理4 1 ，如同 1 1 】，可得每个圆x 为，0 ) 的以 孑程而( 孑丽) 为指数的充满圆 4 3 2 定理4 2 的证明 由定理4 1 ，( z ) 存在一列级充满圆o ：k z ，f s ，f z 小i 鳃s ，= o ， 姆k l 1 ，使得每个圆l 为，( z ) 的以f 士_ ) 为指数的充满圆 。 一l ：l 设 e “竹，= 1 ，2 ， 的一个聚点为e “，( 0 吼 扔) ，则半直线b ：a r g z ；口。 即为所求因为如果不成立，则存在以原点为角顶，以口为角平分线的角域 q 。：l a r g z 一日。i f 。及三个判别的复数口，( = 1 ，2 ，3 ) 使得 面燮鲨尝掣。盯，( 叫，2 ，3 ) n m 一 l 丁，lf = j z ，j l ，一i i o g ( 1 一r ) 。“。 但在q 。内包含了l ( ，= 1 ，2 ，3 ) 的一个无穷子列l ，当，充分大时，可使 迭代级函数的奇异方向与充满圆 = = = 彘c ，骢职以卜 e x p 1 z j i 。一6 7 1 ”。”3 ”“7 ” 于是n ， = 1 ，2 ，3 ) 中至少有一个，例如口。不属于5 f 和岛，( f = 1 ，2 ) ，其中 s ，和s f 的子序列，即，( z ) 在巧内取n 。至少e x p _ f 一1 ( 1 一k 加，) 次 面! 型尘! ! ：鱼三! 塑 r q 一1 0 9 ( 1 一，) 正1 0 扩1 ，l ( 一f ，= 口，) 芑脚画酊 “。 一i o g ( 1 一k ，n ：丽型坚划牟竺盯 h 。一l o g ( 1 一k i ) 于是产生矛盾 4 3 3 定理4 3 的证明 由已知有：画e x p 旧1 1 ( 1 一，) ( r ，) = * 如同定理4 1 的证明，对任意一个确定的o ( r 0c 1 ，总是可以找到一个确定 的口( 1 一，0 纛 记d 的中心为z ，0 毛ic ，1 ) ，则见含在它的外接圆k ：p z 。i c r 内，外接圆在 半径放大2 倍后还在单位圆内为方便计，不妨把半径扩大的圆还记为k ，然后 不断重复以上的过程，即可得到一列圆誓，( f 一1 ，2 ，3 ) 使得 踊加酽器丽 根据引理4 1 ，每个圆v 都是，( z ) 以 ( f ) 1 e x p 叫 ( 1 一帅) e x p 删 1 一帅( 揣山 为指数的充满圆 定理4 4 的证明由定理4 3 并仿照定理4 2 易证 迭代级函数的奇异方向与充满圆 第五章k 拟共形亚纯映射基本不等式的一个应用 5 1 引言与结果 关于迭代级亚纯函数与整函数的奇异方向和充满圆的问题，【1 8 】做了一些研 究；对于k - 拟亚纯映射，【1 9 】运用k - 拟亚纯映射基本不等式也研究了它的奇异方 向和充满圆，并得到了有关例外值方面的一些较好的结果而亚纯函数的这些结 果是否可以推广到k - 拟共形迭代级亚纯函数上呢? 本章的研究得到了该问题的 相关结果 定理5 1 设，( z ) 为平面内的迭代级为盯的k - 拟共形亚纯函数， f ( ，) = p ，( 0 p o ，即 加) = 巫警， 则，0 ) 必存在一列充满圆 l ：忙一乙icd 。川，0 = 1 ，2 ”) ，! 鲤6 。一o ， ，o ) ，! 觋川= m ， 使得对于任意复数a ，方