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矩阵的逆特征值问题 摘要 在结构设计，振动系统，自动控制，矩阵对策等领域中存在各种各样 的矩阵逆特征值问题特别是近些年以来，由于在这些领域中工程技术的 需要，矩阵逆特征值问题的研究成为计算数学中一个非常活跃的课题 本文利用数值线性代数的系列工具一矩阵的奇异值分解( s v d ) ，广 义奇异值分解( g s v d ) ，矩阵的广义逆，线性流形等，解决了下列问题： 1 ：讨论半正定的广义中心对称h e r m i t e 矩阵的逆特征值问题及其最佳 逼近 2 ：讨论d 对称矩阵的左右逆持征值问题 3 ：讨论线性流形上的d 对称矩阵的反问题 对上述问题讨论之后，还给出了若干具体例子作为说明，表明这些算 法是相当可靠的 关键词：逆特征值问题，h e r m i t e ，中心对称，半正定，d 一对称矩阵，最 佳逼近，线性流形 矩阵的逆特征值问题 a b s t r a c t t h e r ea r ea l lk i n d so fi n v e r s ee i g e n v 甜u ea n dg e n e r l i z e di n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b - l e m si nt h ef i e l d so fs t r u c t u r a ld e s i g n ，v i b r a t i o ns y s t e m ，a u t o m a t i o nc o n t r o la n dm 扣 t r i xd e c i s i o na n ds oo n r e c e n ty e a r s ，i n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e mo fm a t r i c e sh a s b e c o m ea r ta c t i v et o p i co fc o m p u t a t i o n a lm a t h m a t i c sf o rn e e d so fp r o j e c ta n dt e c h - n o l o g y b yu s i n go fas e r i e so fm e t h o d si nn u m e r i c a ll i n e a ra l g e b r a ，s u c ha st h es i n - g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ( s v d ) a n dt h eg e n e r a l i z e ds i n g u l a rv a l u ed e e o m p o s i t i o n ( g s v d ) ，t h eg e n e r a l i z e di n v e r s eo fam a t r i xa n dt h el i n e a rm a n i f o l da n ds o o n ，t h e s i sh a ss o l v e dp r o b l e m sa sf o l l o w s 1 s o l v a b i l i t yc o n d i t i o n so fi n v e r s ep r o b l e m sf o rh e r m i t eg e n e r a l i z e dc e n - t r o s y m m e t r i cp o s i t i v es e m i d e f i n i t em a t r i c e s 2 l e f ta n dr i g h ti n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e mf o rd s y m m e t r i cm a t r i c e s 3i n v e r s ep r o b l e m so fd s y m m e t r i cm a t r i c e so i lt h el i n e a rm a n i f o l d f i n a l l y , s o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r e 矛v e n k e y w o r d s ：i n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m ，h e r m k e ，c e n t r o s y m m e t r i c ，p o s i t i v e s e m i d e t i n i t e ，d s y m m e t r i cm a t r i c e s ，o p t i m ma p p r o x i m a t i o n ，t h el i n e a rm a n i f o l d i l l 矩阵的逆特征值问题 “( 彤”“) c “( j 妒“) c ”( 舻) n ( a ) n ( a ) 冗( a ) 上 r a n k ( a ) i i 怯 ， a t a h a 十 s j 护。“ o r “。“ n 符号表 所有m n 复( 实) 矩阵全体 c m 一( j p 一) 中所有秩为r 的矩阵全体 所有复( 实m 维列向量的全体 矩阵a 的值域 矩阵a 盼零空间 r ( a ) 的正交补子空间 矩阵a 的秩 矩阵a 的f r o b e n i u s 范数 单位矩阵 矩阵a 的转置 矩阵a 的共轭转置 矩阵a 的m o o r e p e n r o s e 逆 所有佗阶实对称矩阵全体 所有n 阶正交矩阵全体 到a 上的正交投影算子 v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全 意识到本声明的法律后果由本人承担 学位论文作者签名 留安 细7 年6 月1 日 i 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分 内容编人有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密d ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：刁辕 导师签名：娓1 h 击吨也、 日期：潮年6 月日 嗍冲月f 日 矩阵的逆特征值问题 第一章绪论 1 1 矩阵逆特征值问题的简介 矩阵方程是线性代数的重要研究领域之一 在数值代数中，已知一个矩阵，要求其特征值或特征向量的问题称为 代数特征值问题( 又叫做矩阵特征值问题) 然而在结构设计中，却往往 要求设计出具有给定的频率或振型的结构，并推论或识别出结构的其它 的物理参数，这反映到数学上就是由给定的特征值或特征向量构造出相 应的矩阵的问题，我们称之为矩阵逆特征值问题( 又叫做代数特征值反问 题或矩阵特征值反问题) 逆特征值问题在生活中的应用随处可见，而且至今仍是热门的研究 同题之一它在固体力学，物理学，量子力学，自动控制等许多领域都具 有重要的实际应用价值| 1 - 4 】而反问题所具有的内在不适定性给矩阵特征 值反问题的研究带来了不少的困难，但也正是这点使它更具挑战力和吸 引力它将会给我们的生活带来很多的益处，它为船舶，桥梁，飞行器， 无线电以及核工程等各个领域，提供了一个较为理想的工具，为其它学 科的研究提供了一个较为满意的数学方法，加之问题本身所具有的特殊 数学魅力，使其研究具有非常广阔的前景，日益为人们所重视 矩阵逆特征值问题的理论及其主要的成果是在几十年里得到的自 从1 9 5 6 年，d o w n i n g 和h o u s e h o l d e r 首先提出了矩阵逆特征值问题的加 法问题和乘法问题f 5 】，1 9 7 4 年w i l h e l m i 提出了一类含参数的矩阵逆特征值 河题f 6 】以来，已经获得了许多深刻的结果特别是最近的几十年里，随 着各种科学与工程计算问题的深入，许多著名的专家和学者在矩阵逆特 征值问题的加法问题，乘法问题和含参数的问题等方面的研究取得了很 大的进展同时，人们越来越关注某种具有特殊结构的矩阵的逆特征值 1 硬士学位论文 问题例如：关于双对称的矩阵的逆特征值问题的研究 t - l o ，关于亚正 定的矩阵的逆特征值问题的研究 1 1 - 捌，以及关于各种线性流形上的矩阵 的逆特征值问题的研究【8 j 【z “，等等 目前，各种类型的矩阵逆特征值问题的理论正在逐步的完善，提出了 一些求解矩阵逆特征值问题的有效数值方法，并已应用于实际，取得了 一系列可喜的成果，产生了很好的社会经济效益，推动了科技的创新 正是来自于振动理论，结构动态设计，自动控制，物理学，航空工程，生 物学，分子光谱学以及力学等领域实际应用的需要，又反过来促进了矩 阵逆特征值问题理论的快速发展 作者在学习了矩阵理论的相关课程后，吸收和借鉴了一些矩阵理论 学者的已有科技成果的基础上，考虑了在工程技术中提出的这样一类逆 特征值问题：第一步要求确定一个行列一定的矩阵集合的子集s ，使得s 中的每个矩阵都具有给定的特征值和相应的特征向量，并要求其余的特 征值在某个给定的区间内第二步在给定了一个相同行列的矩阵以后， 要求在s 中寻找与一个它”最近”的元素 本文借助于矩阵计算的一些基本理论和方法，利用矩阵的逆，广义 逆，向量和矩阵的范数( 1 陪o b e n i u s 范数) 以及矩阵的一些分解，如奇异值 分解，广义奇异值分解等技术手段，研究了广义中心对称的h e r m i t e 矩阵 的逆特征值同题，d 对称矩阵的左右逆特征值问题，以及线性流形上的 d 对称矩阵的反问题 1 2 基本概念和定理 1 2 1 矩阵的奇异值分解 定义1 2 1 设a 舻x m ( 伊m ) ，如果存在a c 和非零向量z 伊，使 得a x = 妇成立，则a 叫做a 的特征值，。叫做4 的属于特征值特a 的 一2 矩阵的逆特征值问题 特征向量 a 的特征值的全体叫做a 的谱( s p e c t r u m ) ，记作p ( a ) 因为p ( a ) = p ( a 7 ) ，对任意的 p ( a ) ，必存在非零的向量伊，使4 1 。g = ，即 f 7 a = a 矿，故称f 为a 属于a 的左特征向量 相应的，属于a 的特征向量亦称作a 属于a 的右特征向量 通常，左，右逆特征向量不相等 定义1 2 2 设x 霹“( 四) ( r 0 ) ，x 日x 的特征值为a l a 2 2 芝h l = = k = 0 ，则称以= 瓜( 仕1 ，2 ，m ) 为x 的奇异值 引理1 2 1 t 4 设x 霹“( 印一) ( r 0 ) ，则存在矩阵移 d 舻。“( u 舻。”) ，v 0 j p 。”( u j p 。“) ，使得 x = u ( 言：) y 7 或者c ，h a y = ( 言：) 其中= d i a g ( a - ，观，靠) ，而吨 0 ( i = l ，2 ，r ) 为矩阵x 的全部非 零奇异值，r = r a n k ( x ) 1 2 2 矩阵的广义逆 定义1 2 3 设给定矩阵a 伊若存在矩阵x 舻x m 满足如下四 个方程 a x a = a ，x a x = x ，( a x ) 1 = a x ，( x a ) 7 = x a ， 则称x 为a 的m o o r e - p e n r o s e 广义逆，记为a + 引理1 2 2 【1 目设x 霹。”p 0 ) 的奇异值分解为 x = ，( ：) y t ， 3 硕士学位论文 则有 如y ( i 1 护 定理1 2 1 【1 q 设矩阵a 伊，则 ( 1 ) ( 4 + ) + = a ( 2 ) ( a 日) + = ( a + ) h ，( a t ) + = ( a + ) t ； ( 3 ) r a n k ( a ) = r a n k ( a + ) = r a n k ( a + a ) ； ( 4 ) ( a a 日) + = ( a h ) + a + ，( a h a ) + = a + ( a 日) 十； ( 5 ) ( a a h ) + a a h = a a + ，( a 日a ) + a 日a = a + a ； ( 6 ) 若a i 露。”，则a + = ( a h a ) 一1 a h ； 若a i ? 警“，则a + = a 日( a a 8 ) 一1 1 2 3 矩阵的f r o b e n i u s 范数的定义及其相关性质 定义1 2 3 设矩阵a = ( ) c ”“，把数 nn ( 吗) l = lj = l 称为矩阵a 在c m n 上的f r o b e n i u s 范数，记为i i a 峙，或者叫做a 的 e u c l i d 范数 事实上，0 a 怯就是把a 看作g ”“中的一个向量，取其2 - 范数 所得到的范数 定义1 2 4 一个定义在c m x n ( j p 一) 上的非负实值函数00 叫做 c m n ( j p 一) 上的酉( 正交) 不变范数，如果它满足下列条件：。 ( ，) a 0 = 争i i a o ； 4 矩阵的逆特征值问题 ( ，) 0 a a0 = io i 0 a0 ，v o t g ； ( 盯，) 0 a + b h a | | + i | b 1 ( j y ) h u a v i i = 1 l a 扎其中u ，v 为任意酉( 正交) 矩阵； ( y ) 0 a = 0 a f l 2 ，v a 满足r a n k ( a ) = 1 ； ( j ) 一一( y ) 中的a ，b 为c ”( 彤“) 中任意矩阵 定理1 2 2 i l q 矩阵a 在伊“( j p ”) 上的f r o b e n i u s 范数是酉i 正交) 不变范数 1 2 4 矩阵的l l l a d a m a r d 积 定义1 2 5 若a = ( q ) 。，b = ( 幻k 。m么尽= 饿，k 。其中 q = a q ，则称a b 是矩阵a 与b 的h a d a m a r d 织 l - 2 5 最佳逼近理论及其相关结论 定义1 2 8 设v 是线性空商tw 是v 的一个子集如果对w 中的 任何两点n ，都有a n + ( 1 ，的p w ，0 as1 ，则称w 是v 中的凸 集如果w 既是凸集爻是闭 集，则称w 是v 中的团凸集 定义，1 2 ，7 设w 鼢积空间v 的一个子集，z v 为给定的元素 如果在w 中存在元素y ，使 i i z 一h ，5 。i n w 口。一z # ， 则称y 是x 在w 中的一个最佳逼近元 定理1 2 3 【1 7 j ( 最佳逼近定理) 设w 是完备的内积空间v 中的非空 闭凸集，则v 中的任意一个元素在w 中存在唯一最佳逼近元 一5 一 硕士学位论文 1 2 6 线性流形 定义1 2 8 鳓设v 是是数域f 上的n 维线性空间，m 是v 的一个子 空间，口是v 中的一个固定向量，称 p = m + n = m + q i m m 为v 上的线性流形，且m 维数称为线性流形p 的维双 矩阵的逆犄征值问题 第二章半正定的广义中心对称h e r m i t e 矩阵的逆特征值 问题 2 1 引言 近些年来，对于矩阵反问题a x = b 的研究已经取得了一系列的结 果f 1 4 ) 删，本章将对半正定的广义中心对称h e r m i t e 矩阵的逆特征值问题 a x = b 进行讨论 令c ”“表示所有的m n 阶复矩阵集合，并有伊= 伊n ；h c n x n ， 网嚣”，日僻“，分别表示在伊“中的所有h e r m i t e 矩阵的集合，半正 定的h e r m i t e 矩阵的集合以及正定的h e r m i t e 矩阵的集合；h 表示n 阶的 单位矩阵；u 伊一表示伊一中全体n 阶酉矩阵构成的集合 在俨“中定义内积如下：( a ，b ) = t r ( b 8 a ) ，v a ，b c ”“，其中t r ( a ) 表示方阵a 的迹由内积导出的范数为8a 怯= 丽= ( 舌r ( a x a ) ) ， 侧此范数是矩阵的f r o b e n i u s 范数，并且c m x n 构成了一个完备的内积空 间 以下定义来自【2 0 1 j 1 2 l 】 定义2 1 1 矩阵p 伊n ，如果p 满足条件p = p s 以及p 2 = 厶，则 称p 为广义反射矩阵 定义2 1 2 已知矩阵p 伊一是一个广义反射矩阵，若矩阵a 一 满足下列条件a “= a ，( a p ) h = a p ，则称a 是p 中一l - 对称的h e r m i t e 矩阵所有n 阶的p - 中心对称的h e r m i t e 矩阵的全体构成的集合记为 h c s p ；。“ 特别的，当p = 厶时，有h c s p 暑, “= 阿伊“，其中日伊“是所有n 7 一 硕士学位论文 阶的h e r m i t e 矩阵构成的集合设e t 为n 阶单位矩阵厶的第i 列( t = 1 ，2 ，3 ，犯) ，记岛= ( ，一i ，如，e i ) 则当p = & 时，有 日e s 砰“= h c s c “一，其中h c s c 。一是所有的n 阶的中心对称的h e r m i t e 矩阵构成的集合【兹1 酬在这种情况下，一个n 阶的p - 中心对称的h e r m i t e 矩阵也就是一个n 阶的中心对称的h e r m i t e 矩阵 定义2 1 3 矩阵a c - ”如果满足条件a h c s t ：筝p “n h 四“( a h c s p 暑, “n h c ? “) ，则称a 是半正定( 正定) 的p - 中心对称的h e r m i t e 矩阵n 阶的半正定( 正定) 的p - 中心对称的h e r m i t e 矩阵的全体构成 的集合记为r ( ( r ) + ) 本章研究如下问题： 问题i 给定x ，b 伊x m ，求a r 使得 4 x = b 问题i i 给定a 4 伊，求a l s & 使得 一a l s 忙越一钏f 其中& 表示问题i 的解构成的集合，0i i 是f r o b e n i u s 范数 本章将给出问题i 的解存在的充分必要条件以及条件成立时解的集合 的具体表达式当& 非空的时候，将给出问题1 1 的最佳逼近解a l s 的表达式及其数值算法同时，1 2 4 j 中的主要结果将作为特别的情况加 以讨论 最后，给出了一个具体的例子验证算法的可靠性 2 2 问题i 的解 易知广义反射矩阵p 伊一是可对角化矩阵，且其特征值为1 ， 8 矩阵的逆特征值问题 此时问题a x = b 的解的一般形式可以表示为 a = b x + + ( b x + ) 日( 厶一x x + ) + ( 厶一x x + ) b ( x 片曰) + b h ( 厶一x x + ) + v 2 c u 尹， 其中沈伊。协叶) 单位列正交矩阵，并且r ( u 2 ) = 甘) ，v g 日甜一r ) 。( n ” 下面讨论问题i 定理2 2 1 假定矩阵p 伊”是一个谱分解为( 2 2 1 ) 的广义自反矩 阵，给定x ，b 俨x m ，令 搬= ( 羔) ，蜀e c k x v a , 恐矿m m ， 偿z u h b = ( 竺) ，最伊。m ，岛g 扣一q x m ， c z 。s ， 则问题l 有解当且仅当 b 尹五= 础b t 五i c g ，r a n k ( x ，马) = r a n k ( b i ) ，t = l ，2 ( 2 2 6 ) 当满足上述条件时，问题i 的解的一般形式可以表示为 a = u 山泸+ u ( 甲q 。兰钟) 俨， c z 2 力 其中，v 岛日带1 。- n ，vg 2 日毋- k - r 2 ) 。( n - k - r 2 ) ， 山= ( 等1 曼) ， 偿z 固 硝1 = b l x ，+ ( b x 耐) 日( z k x 1 矸) + ( i k j h x 产) b l ( x f ：r b l ) + 群( 厶一x l x 产) ， ( 2 2 9 ) 如= b 2 耐+ ( 岛耐) h ( 厶一 一恐封) + ( 厶一一恐霹) 岛( 砑岛) + 硝( 厶一i 恐耐) n = r a n k ( x 1 ) ，r 2 = r a n k ( 弼) 1 1 ( 2 2 加) ( 2 2 1 1 ) 硬士学位论文 并且 ec k 。( 。- r 1 ) ，q 1 e 扣一) 。加一七一q ) ， ( 2 2 1 2 ) 都是单位列正交矩阵，并且有 a ( ) = ( 砰) ，n ( q 1 ) = ( x 罗) ( 2 2 1 3 ) 证明由弓 理( 2 2 i ) ，存在a r ，使得a x = b 当且仅当存在a 1 l = 畔a 巩h c t “，如= u 笋a u = 日毋一。础使得 也就是 之1 三) 瞅舻b a 1 1 x 1 = b 1 ，4 2 2 如= b 2 有解a l l = 卵以仉日诺”，如= u ：a u 2 日罐”岍扣- 耐 由引理( 2 2 2 ) ，这等价于 并且 j 且= b ，五日g ”，r k ( 掣最) = r a n k ( b f ) ，i = 1 2 ， ( 2 2 1 4 ) a n = b l x t + ( b l x t ) “( k x l x 产) + ( 厶一x l x ，) b l ( 群岛) + b f ( 厶一墨x 产) + g l 铲 a 2 2 = b 2 耐+ ( 易砑) 8 ( 厶- k - - 玩耐) + ( 厶- k - - 恐对) 岛( 硭岛) + 硝( 厶- k - - 托耐) + q - g 2 q f 其中 并且 都是满足 yg 1 h c ( r i ) 。( k - - r 1 ) ，vg 2 日g ( n 一一r 2 ) 。似一一r 2 ) 1 l = r a n k ( x , ) ，r 2 = r a n c ( x 2 ) m i 。毋一，q i g 似一) 。加一一q ) ， r ( h ) = ( x f f ) ，r ( q 1 ) = ( 磅) 一1 2 矩阵的逆特征值问题 的单位列正交矩阵令 a o l = b 1 矸+ ( b x x + ) 日( 一蜀x 产) + ( 厶一五矸) b l ( x , x b - ) + b h ( i k 一墨耐) 。锡= b 2 x + t b 2 x 、h0 l 。吐一x 2 x 、+ t i 。一k x 2 x 、b 2 噼2b 妒b 2q 。 一x 2 x 、 则 a l i = 川l + k g , 铲，如= 鸽+ q l g 2 骅 ( 1 三) = ( 警磊) + ( k 气印q 。兰钟) ， 即 山泸+ u ( k 气印q 。曼q f ) n 其中，vg l 日c 驴一1 。忙- n ) ，v g 2 日c 驴一七一勺) 。协一一竹，r l = r a n k ( x 1 ) j , r 2 = r a n k ( x 2 ) 而且 k c 咔。( 一n ) ，q l e ( n 一耐。( n 一一2 ) _ 是满足 月( ) = ( x f ) ，r ( q - ) = ( 硭) 的单位列正交矩阵 4 若令p = ( e n ，e n - l ，e t ) ，则由引理( 2 2 1 ) 和定理( 2 2 1 ) ，我们得到下面 的结论： 推论2 2 1 令p = & = ( e n ，e n “，e 1 ) ，并且p 有如( 2 2 3 ) 的谱分解， 给定x ，b 伊m ，令 。日x = ( 茏) ，而伊。m ，恐c 扣一耐x m ， 硬士学位论文 脚= b i ，) , b 1 6 c k x n , b 2 c ( - k ) x n , 则问题i 有解当且仅当 彰五= 群岛肌矿“，r a n k ( x ( b , ) = r a n k ( b i ) ，i = l ，2 ( 2 2 1 5 ) 当满足上述条件时，同题i 的半正定的中心对称鲍h e r m i t e 解的一般 形式可以表示为 a = ? 。日+ 。( 其中 如g l 理0 、n 日 。 马g 。掣j vg 1 日c 驴一1 ) 。( 一7 ，vg 2 日c 驴一一圪。扣一一也 山= ( 等1 乏) ， a 0 1 = b - x 产+ ( b - 对) 日( 厶一x 1 x 产) + ( 厶一x l x ) b 1 ( x f b l ) + b f ( k x t x t ) ， ，龟= b 2 x ；+ l b 2 x 丫q n k x 2 x 、+ t i 。- k - - x 2 x 、b 2 t x b 甜b 2t l n k x 2 x 、 r l = r a n k ( 墨) ，您= r a n k ( 恐) ， 并且 巩c 。佧一r i ) ，尼g 扣一。) 。恤一一心) ， 都是单位列正交矩阵，并且有 矗( 如) = ( 砰) ，冗( 恳) = ( j ) ， 2 3 问题i i 的解 当问题i 有解，由定理( 2 2 1 ) ，有 = u 山u n + u ( h 气峭口。兰钟 1 4 ) 沪) 矩阵的逆特征值同题 其中 vg l h c ( o k l ) 。( 1 ) ，vg 2 c ( o o 一一1 ) 。一”) 显然是伊一中的闭凸集因此，对给定矩阵a 伊一，由最佳逼 近定理( 定理( 1 2 2 ) ) 知，在中存在的唯一最佳逼近a l $ 使问题 i i 成立 引理2 3 1 对任意a 伊x n ，存在唯一的反h e r m i t e 矩阵a o ( i e ： a 芋= 一a o ) ，i a + h l 嚣。“，一【州一日c 嚣。“使得 ( + ，陋】一) = 0 ， a = a o + 旧+ + 【a 】一， 并且 0 a 一【a 】+ i i ，2 m e 曲t t c 2 。0 a m l l ，- x n 事实上，由文献【2 5 能由下面的方法得到【a 】+ ，川一的表达式 令a ，= 冬笋有如下谱分解 a - = a 旭“尹， i = 1 其中 a l 沁 - 02a k + 12 n 都是a ，的特征值，而u l ，地，是对应于特征值a t ，a 。，k 的 单位正交向量则 kn 【a 】+ = a 以，吲一= a t 地舻 ( 2 3 1 ) 定理2 3 1 给定x ，b ，a 伊”，4 0 如定理( 2 2 1 ) 所叙令 乏) 仁。国 a a ，一n 岳 j ua h u 硬士学位论文 若问题i 有解，则问题i i 存在唯一的最佳逼近解a l s ： 如= u x + u ( h 铲q 。点q f ) 垆 皿。 其中 g ：= 【铲a ：。v , l + ，呸= 【q f a 乞q 。1 + ， r l = r a n k ( 五) ，r 2 = r a n k ( x 2 ) ， 并且 h c 。( 川) ，q 1 e 加一知) 。“一七一吲， 都是满足r ( k ) = ( x f ! r ) ，r ( q 1 ) = ( 群) 都是单位列正交矩阵 证明：因为问题i 的解的集合非空，并且是完备的内积空间 泸一中的闭凸集，所以闻题i i 有唯一最佳逼近解。 注意到a 如可以表示为( 2 2 7 ) 令k c ，q 2 c 扣一) q 使得 v = ( ，k ) u c ”，q = 旧1 ，q 2 ) u c ( “一) 。n m 由f r o b e n i u s 范数的正交不变性将会得到 i i4 一a 膳 = u a o u h + u ( k 印饥点钟) u h - a * 旺 = f 凡+ ( 晔q 。点q f ) _ u h a * u l f ： = 譬生1q i g 2 “q ：- 锡旺 i f 一如la 乞 f f = l m g 掣一a ：。1 1 i - + i ia ；：i i 备+ i i 啦。i i 刍+ l lq i g 2 q i f a 玉i i ； = i i g , 一i a i l 0 备+ 0i a ：1 f f 备+ i ii a i l m0 ；+ 0i ：1 v 2i 瞎 矩阵的逆特征值同题 + 0a ：20 ；+ l ia ；l8 备+ 86 岛一q f a 主2 q ll 唔+ i iq a 玉q 20 刍+ 0 q 乒a 玉q - 0 ；+ 甜a 玉现0 刍 所以a 使得 i i a a 0 p 等价于 i j g i 一铲a i k 峰= m 讥，g 1 嚣c 擎“。辟一， i ig 2 一口f 屹q ll i ；= r a i n ，g 2 c ( o o 一- r 1 ) “( ”量一”， 由引理( 2 3 1 ) ，式子( 2 3 4 ) ，( 2 3 5 ) 各自的解为： ( 2 3 4 ) ( 2 , 3 5 ) g ：= f 皑a ：l k 】+ ，g ；= 【q 1 4 n 2 2 * q 。】+ ( 2 3 6 ) j 阡瓦于( 2 3 6 ) 代八l 廿j 题i 时姐群明表】銮式 a = u a o u x + u ( _ q 。兰钟) c ，日， 马上可以得到问题i i 的唯一解a l s 的表达式如下 如= u h + u ( k 气铲q ，三钾) 泸 当p = 鼠，由推论( 2 2 1 ) 和定理( 2 3 1 ) ，能得到问题i 的半正定的中 心对称的h e r m i t e 解集的最佳逼近解 推论2 3 1 令p = 岛= k e1 j ，e 2 ，e 1 ) ，给定x ，b 伊“，小伊“， 并且x ，b 满足推论( 2 2 1 ) 中所叙的条件 山= ( 等量) ， 令 。日a 。一山= ( 龛：三! ) 硕士学位论文 则问题i i 存在唯一的最佳逼近解a l s a l s = d a o d 日+ d ( 巩皑岛曼谬) 。日， c z s ， 其中， g ：= 【理a ：。巩】+ ，g ；= 【户尹a 乞易】+ ， r l = r a n k ( x 1 ) ，r 2 = r a n k ( 而) ， 并且 巩g 扣一) x ( n - k - r x ) ，p z c k 。( 如哪) ， 都是满足r ( ) = ( 群) ，r ( p 2 ) = ( j 够) 都是单位列正交矩阵 2 4 数值方法和数值例子 根据上一节的定理( 2 3 1 ) ，我们在本节中就可给出求问题i i 的唯一最 佳逼近解a 朋的步骤 算法2 4 i ( 1 ) 利用随机矩阵产生满足条件的n 阶的广义反射矩阵p 后，由子空 间v p o ) 与嵋( 一1 ) 的标准正交基形成酉矩阵u ，得到p 如式子( 2 2 1 ) 的谱 分解 ( 2 ) 对于给定了的矩阵x 和b ，按照式子( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) ，计算出蜀，局 b 1 ，岛 ( 3 ) 按照式子( 2 2 8 ) ，( 2 2 9 ) 以及( 2 2 t o ) ，计算a 0 ( 4 ) 根据式子( 2 2 1 1 ) ，( 2 2 1 2 ) 以及( 2 2 1 3 ) ，计算，q 1 ( 5 ) 根据式子( 2 3 1 ) 和( 2 3 6 ) ，计算出g = 【v ，a ；l 】+ ，g ；= 旧f a 乞q l 】+ ( 6 ) 根据式子( 2 3 3 ) ，计算问题i i 的唯一最佳逼近解a l s 1 8 矩阵的逆特征值问题 p = 例子2 4 1 令n = 8 ，k = 4 ，仇= 2 ，利用随机矩阵产生矩阵p ，x 、b 、，如下 a 2 0 0 2 6 7 0 0 8 1 8 0 4 6 0 7 o 5 3 5 1 o 3 8 0 0 o 2 1 4 9 0 1 1 6 1 0 5 3 8 5 x = 一o 0 8 1 8 0 1 8 9 2 o 8 5 4 8 0 3 4 6 5 0 0 2 0 7 0 1 4 5 6 0 0 3 6 6 o 2 8 9 4 o 4 6 0 7 0 8 5 4 8 0 1 0 1 8 0 0 4 7 4 0 0 4 9 0 o 1 0 3 0 0 1 0 4 9 一o 1 4 2 9 o 4 8 8 1o 6 7 3 7 0 ，9 9 2 60 9 5 7 3 o 3 7 3 30 1 9 1 9 0 5 3 1 4 o 1 1 1 2 0 1 8 1 3 o 5 6 5 1 0 5 0 1 9 0 9 6 9 2 0 4 2 2 20 0 2 3 7 0 6 6 0 4 o 8 7 0 2 0 5 3 5 1 一o 3 4 6 5 0 0 4 7 4 0 2 5 7 9 0 5 5 3 1 o 2 0 0 7 o 2 8 3 1 o 3 1 3 8 0 3 8 0 0 0 0 2 0 7 0 0 4 9 0 0 5 5 3 1 0 0 0 4 9 一o 6 5 4 5 0 1 1 6 9 0 3 2 3 7 b = o 2 1 4 9 0 1 4 5 6 0 1 0 3 0 o 2 0 0 7 0 6 谴5 o 2 4 5 4 o 6 2 0 5 o 0 9 0 2 0 0 2 6 9 o 5 1 9 5 0 1 9 2 3 o 7 1 5 7 0 2 5 0 7 0 9 3 3 9 0 1 3 7 2 0 5 2 1 6 0 1 1 6 1 o 0 3 6 6 o 1 0 4 9 0 2 8 3 1 一o 1 1 6 9 o 6 2 0 5 0 5 6 9 4 0 4 1 3 7 0 8 9 5 2 0 9 4 2 4 0 3 3 5 1 o 4 3 7 4 0 4 7 1 2 0 1 4 9 3 0 1 3 5 9 0 5 3 2 5 0 9 5 0 1 0 8 2 1 40 ，9 3 5 50 1 3 8 90 4 4 5 10 8 3 8 l0 3 0 4 6 0 3 7 8 4 0 2 3 1 1 0 4 4 4 70 9 1 6 9o 2 0 2 8o 9 3 1 80 0 1 9 6 0 1 8 9 7o 8 6 0 0 o 6 0 6 80 6 1 5 4o 4 1 0 30 1 9 8 7 0 4 6 6 0 0 6 8 1 30 1 9 3 4o 8 5 3 7 0 4 8 6 00 7 9 1 90 8 9 3 60 6 0 3 8 0 4 1 8 6 0 3 7 9 5 0 ，6 8 2 2 0 5 9 3 6 0 8 9 1 30 9 2 1 80 0 5 7 90 2 7 2 20 8 4 6 20 8 3 1 80 3 0 2 80 4 9 6 6 0 7 6 2 10 7 3 8 20 3 5 2 90 1 9 8 80 5 2 5 20 5 0 2 8 0 5 4 1 70 8 9 9 8 0 4 5 6 50 1 7 6 30 8 1 3 2 0 0 1 5 30 2 0 2 60 7 0 9 50 1 5 0 9o 8 2 1 6 0 0 1 8 50 4 0 5 70 0 0 9 90 7 4 6 80 6 7 2 10 4 2 8 9 0 6 9 7 90 6 4 4 9 0 5 3 8 5 0 2 8 9 4 0 1 4 2 9 o 3 1 3 8 o 3 2 3 _ 7 0 0 9 0 2 0 4 1 3 7 0 4 7 2 6 利用“m a t l a b ”软件，我们可以计算得问题i i 的唯一最佳逼近解 1 9 硕士学位论文 a l s 为 a l s = - - o 4 1 3 20 3 1 4 3 - 0 0 4 3 20 3 1 5 1 - 0 4 6 2 60 4 7 “ 0 7 9 6 4 0 2 5 5 7 0 6 6 6 20 3 1 0 1 1 8 0 7 2- o 9 5 3 5 0 2 5 6 1- 0 2 4 7 9 - 1 0 5 7 11 0 3 8 8 一o 7 5 3 5 一o 2 2 9 4 0 3 4 8 2 0 8 9 4 4 一o 3 1 7 7 1 9 6 2 6 0 ，3 3 3 0 0 9 2 8 1 0 5 2 2 2 0 3 1 1 0 0 4 5 7 8 一o 2 6 1 4 0 3 6 8 2 1 4 1 6 6 0 0 0 3 5 0 9 0 7 6 2 0 1 2 3 6 2 0 3 0 9 7 0 7 6 1 7 一o 1 6 4 0 一0 0 4 4 5 一1 6 3 3 9 0 5 3 4 3 0 3 7 5 9 1 4 3 6 5 1 0 6 2 8 0 1 5 8 0 一o 5 3 9 1 0 6 5 5 9 2 1 3 0 2 一o 1 4 8 3 0 6 7 0 7 一o 4 1 0 4 0 1 0 4 8 0 2 4 4 5 0 5 3 6 7 0 ，3 8 3 1 0 9 9 0 6 0 3 1 2 2 0 3 1 6 9 一l 2 8 9 3 0 6 0 1 3 0 4 2 4 3 0 6 9 5 8 0 0 4 8 0 2 9 7 6 2 一o 0 3 3 5 一o 6 0 6 2 矩阵的逆特征值问题 第三章d 对称矩阵的左右逆特征值问题 3 1 引言 矩阵的反问题在工程技术中有着非常广泛的应用，在自动控制，机械 振动等工程技术在实际中经常会遇到这样的一类逆特征值问题：要求在 一个给定了的矩阵集合s 中，找出具有给定的部分右特征对( 特征值及相 应的特征向量) 和给定的部分左特征对( 特征值及相应的特征向量) 的矩 阵这类问题被称为给定左右特征对的逆特征值问题( 又叫左右逆特征值 问题) 文献【2 7 】，f 1 3 】，f 1 2 】分别讨论了s 为n n 实矩阵集合，n n 实亚正 定矩阵集合以及n n 实亚半正定矩阵集合时的左右逆特征值问题的情 形文献【2 8 】，阳】分别对s 为n n 实对称正定矩阵集合，n n 实对称半 正定矩阵集合以及n n 实中心对称矩阵集合时的左右逆特征值问题进 行了讨论 文献f 3 0 】首次研究了n 阶的d 对称非负矩阵及其性质，文【3 l 】在研 究了n 阶的d 对称非负矩阵反问题有解的条件及有解时解的一般表达式 的基础之上，给出了n 阶的d 对称非负矩阵反问题a x = b 的算法并用实 例证明了算法的可靠性 本章将在这些基础之上对d 对称矩阵的左右逆特征值问题进行研 究，为这一问题的理论和应用增加新的内容 采用如下记号：令j p 一表示所有m ”阶实矩阵集合，并且形= 舻x i ； s 酽一，s 蝣”，s 霹分别表示在舻一中的所有n 阶的对称矩阵的集合， 所有的n 阶的半正定的对称矩阵的集合，所有i 1 阶的正定的对称矩阵的 集合；厶表示n 阶单位矩阵；o 舻n 表示形一中全体n 阶的正交矩阵 构成的集合 2 1 硕士学位论文 在j p 一中定义内积如下：( a ，b ) = t r ( b 片a ) ，v a ，b j p 一由内积 导出范数af i f = 厂酉芩= ( 俨a ) ) 是矩阵的p r o b e n i u s 范数，所 以，j p 一构成一个完备的内积空间 定义3 1 1 令d = d i a g ( d i ，d 2 ，靠) i p “，其中d i o ，l = 1 ，2 ，t 1 v a r ，l 一，若有d 2 a s p 一，则称a 为d 对称矩阵 d 对称矩阵的全体记为d - 2 s 舻一，显然 d - 2 s 彤“= a 彤。“i a = d b ，b s p 。“ 由定义可知，集合d - 2 s p 一