（基础数学专业论文）非自治动力系统的渐近行为.pdf

兰，1 1 大学研究生学位论文 摘要 本博士学位论文重点考虑了非自治动力系统的拉 回吸引子的存在性，参数膨胀的拉回吸引子的一致向 前吸引性，以及带有参数的非自治系统的拉回吸引子 的一致强稳定性 本文共分七章 第一章主要阐述了动力系统理论的背景，当前 理论研究的主要结果，以及本文的主要成果 第二章给出了本文用到的一些基础知识 第三章将非紧性测度的概念应用到非自治动力 系统，得到了拉回吸引子存在的充要条件，以及判定 这个条件的有效方法 第四章将第三章中的新方法应用到非自治的二 维n a v i e r s t o k e s 方程，在外力项厂l b 2 ( n ；h ) 的条件 下，得到了y 中的拉回吸引子的存在性 第五章证明了参数膨胀的拉回吸引子是一致向 前吸引的，并且得到了一致向前吸引子的存在性，以 及殆周期系统的拉回吸引子以的截片形成殆周期的 集值映射t a 巩 第六章将第五章中的抽象结果应用到常微分方 程和时滞微分方程 第七章考察了带有参数的非自治系统的拉回吸 引子的一致强稳定性，并将此抽象结果应用到反应扩 散方程 兰州大学研究生学位论文 a b s t r a c t t h em a i np u r p o s eo ft h i st h e s i si st oc o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo f p u l l b a c ka t t r a c t o r s ，t h eu n i f o r m l yf o r w a r da t t r a c t i o no fp a r a m e t r i c a l l y i n f l a t e dp u l l b a c ka t t r a c t o r s ，a n dt h eu n i f o r mr o b u s t n e s so fp u l l b a c k a t t r a c t o r so fn o n a u t o n o m o u sd y n a m i c a ls y s t e m sd e p e n d i n go nap a r a m e t e r t h i st h e s i sc o n s i s t so fs e v e nc h a p t e r s i nc h a p t e ro n et h eb a c k g r o u n da n dm a j o rr e s u l t si nt h et h e o r yo f d y n a m i c a ls y s t e m sa n dt h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i sa r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e rt w os o n i cp r e l i m i n a r yr e s u l t sa n dd e f i n i t i o n sa r ep r e s e n t e d i nc h a p t e rt h r e eu s i n gt h em e a s u r eo fn o n c o m p a c t n e s s ，w ee s - t a b l i s hs o m en e c e s s a r ya n ds u 珩c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo ft h e p u l l b a c ka t t r a c t o r so fn o n a u t o n o m o u sd y n a m i c a ls y s t e m sa n dg i v ea l s o an e wm e t h o df o rp r o v i n gt h ee x i s t e n c eo ft h ep u l l b a c ka t t r a c t o r s a sa na p p l i c a t i o no fo u rg e n e r a lr e s u l t si nc h a p t e rt h r e e ，i nc h a p t e rf o u rw ed e a lw i t hn o n a u t o n o m o u s2 dn a v i e r s t o k e ss y s t e m ，u n d e r t h ea s s u m p t i o no fe x t e r n a lf o r c e ，鹋( r ；) ，w ep r o v et h a tt h ee x i s t e n c eo ft h ep u l l b a c ka t t r a c t o r so fn o n a u t o n o m o u s2 dn a v i e r s t o k e s s y s t e m i nv i nc h a p t e rf i v ew es h o wt h a tt h eu n i f o r m f o r w a r da t t r a c t i o no ft h e p a r a m e t r i c a l l yi n f l a t e dp u l l b a c ka t t r a c t o r sa n dt h a tt h ee x i s t e n c eo ft h e u n i f o r mf o r w a r da t t r a c t o r s i na d d i t i o n ，u n d e ra p p r o p r i a t ec o n d i t i o n s ， w ep r o v et h a tt h ec o m p o n e n ts e t so ft h ep u l l b a c ka t t r a c t o rao ft h e s y s t e mf o r ma na l m o s tp e r i o d i cs e t v a l u e dm a p p i n gt _ a 以( p ) w h e ni t s d r i v i n gs y s t e mi sa l m o s tp e r i o d i c t oi l l u s t r a t et h em a i nr e s u l t si nc h a p t e rf i v e ，i nc h a p t e rs i xw e c o n s i d e rt h eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ho rw i t h o u td e l a y s i nc h a p t e rs e v e nw ec o n s i d e rt h eu n i f o r mr o b u s t n e s so fp u l l b a c k a t t r a c t o r so fn o n a u t o n o m o u sd y n a m i c a ls y s t e m sd e p e n d i n go nap a - r a m e t e ra n di l l u s t r a t et h i sr e s u l tb yd e a l i n gw i t ht h er e a c t i o n d i f f u s i o n e q u a t i o n sw i t hp a r a m e t e ra 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行 研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、 数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成 果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：至些墨苗日期： 2 。d5 5 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰 州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学 校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被 查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本 人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时， 第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：型盟导师签名：丝皇竺墅益日期：! ：兰! 至乡 兰州大学研究生学位论文 致谢 自从我2 0 0 0 年进入兰州大学攻读学位以来，在学 业上得到了我的导师钟承奎教授的悉心指导，在生活 上得到了无微不至的关怀，在做人上受到了深刻的影 响，没有钟老师不断的指导，热心的鼓励和支持，也 就没有我今天的工作在此对钟老师表达我最由衷的 感激 我特别感谢烟台大学的李德生教授，同样我的学 位论文的完成离不开李老师在访问兰大期间及随后给 予我的指导和帮助李老师作为年轻学者，他在学术 上的造诣令我们年轻人敬佩 我还要感谢吴红卿博士后、张艳红副教授、王素 云副教授、卢松松博士、孙春友博士、李晓军博士、 程锡友博士等给予我的无私帮助 最后感谢数学与统计学院的各位领导和老师，感 谢我的家人对我永远的支持、鼓励和付出 王业娟 2 0 0 5 年3 月于兰州大学 第一章前言 对自然界中存在着的大量的自然现象的研究，可归结为动力系统 的研究，其中绝大多数动力系统是非线性的两类最经典的非线性动 力学问题是天体问题和流体中的湍流现象若我们以系统在某个瞬间 所具有的参数数目来定义系统的维数，则天体力学问题是有限维的， 而流体中的湍流问题是无穷维的随着科学的发展，大量的非线性湍 流现象( 有限维、无穷维) 被人们发现，如t 化学动力学，气候动力学， 等离子物理学，激光，非线性光学，燃烧过程，经济数学和机器人等 在二十世纪三十年代，动力系统的基础理论已备受关注在随后 的四十年，常微分方程的长期动力学研究获得重大发展，其中包括分 歧理论，中心流形，k o l m o g o r o v - a r n o l d m o s e r 理论，非自治问题的斜 积流，等等到二十世纪七十年代，耗散偏微分方程的动力学理论研 究已日趋成熟，如；反应扩散方程，n a v i e r - s t o k e s 方程，c a h n h i l l i a r d 方程等全局吸引子描述了系统的所有可能的长时间行为，这样，研 究全局吸引子的存在性及其结构成为熏要问题在最近的二三十年， 自治的无穷维动力系统的研究得到蓬勃发展，已有一套完整的全局吸 引子存在性理论，维数理论，以及惯性流形如：r t e m a mf 3 6 ，g r s e l l y y o u 3 4 】，j , c r o b i n s o n 4 3 ，j k h a l e 2 5 1 ，a v b a b i n m i v i s h i k 【5 a ，o a l a d y z h e n s k a y a 【5 5 】，郭柏灵【5 8 ，5 9 】等 然而，非自治的无穷维动力系统的研究尚未得到充分发展，甚至 一些基本概念仍待进一步探讨因为在非自治情形，同一初始值从不 同时刻出发，其解轨道是不相同的这样，系统的长时间行为的研究 就变得更加困难在上世纪六七十年代，r k m i l l e r 4 4 ，g r s e l l 【3 5 ， j k h a l e j k a t o 【2 6 ，以及j k h a l e 【2 5 】提出对应于非自治系统的过 程( p r o c e s s ) 的概念，并构造斜积流，使非自治系统长时间行为的研究 转化为考虑扩展了的相空间上的自治系统的全局吸引子但是，他们 仅限于讨论周期，拟周期，或殆周期的非自治系统到1 9 9 4 年，v v c h e p y z h o v m i v i s h i k 【9 ，1 0 】研究非自治方程的长时间行为，其中方 程的依赖于时间的项是适当泛函空间中的平移紧函数例如：在外力项 9 ( 。，t ) 依赖于时间t r 的情形，集合 9 ( ，t + ) ，h r ) 是五乎c ( r ；h ) 中的相对紧集，这里是h i l b e r t 空间( 或更一般的空间) 他们在引入 2 兰州大学研究生学位论文 新的概念一一时间符号( t i m es y m b 0 1 ) 的基础上，用新的观点处理非自 治系统，建立了一套理论用a ( ) 表示时问符号，o ( t ) 是非自治方程 依赖于时间t 的所有项 考察非自治的反应扩散方程 丽0 u = a a u m ) + 如t ) ，x en ， ( 1 - 0 1 ) ul 鼬= 0 ， ( 1 0 2 ) “i t ；r = t h ( 茹) ，r 豫，( 1 0 3 ) 这里a 0 ，n 是r ”中的有界光滑区域，对应于方程( 1 0 1 ) 一( 1 0 3 ) 的 时间符号o ( t ) = 9 ( ，t ) 令e 是b a n a c h 空间，假设对每一个“，e ，t r 方程( 1 0 1 ) 一 ( 1 0 3 ) 有唯一解u ( z ，t ) ，则可以定义e 上的双参数( 非线性) 算子族 0 ( 亡，丁) ) = ( e “，r ) ft ，下r ，t 下) ，c 名 ，r ) u ，( z ) = u ( $ ，t ) ，y t lr r ，满足性质 1 ( t ，s ) ( s ，r ) = ( t ，r ) ，v t s r ，r r ， 【u 0 ( f ，下) = i d ( i d e n t i t y i n f ) ， v 下r 称 ( t ，7 ) 为对应于方程( 1 0 1 ) 一( 1 0 。3 ) 的过程，简称为过程 h ( a ) 是集合p ( t + 危) ，h r ) 在适当泛函空间( 如：l 妒( r ；e ) ) 中 的闭包，称e = h ( a ) 为符号空间 v v c h e p y z h o v m i v i s h i k 【9 , 1 0 引入带有符号d 的过程族 ( t ，r ) ) ，a 的一致( 关于口e ) 全 局吸引子a 的概念 定义1 0 1 称一4 是过程族 ( t ，r ) ) ，口e 的一致吸引子，如 果a e 满足 ( 1 ) a e 在e 中紧； ( 2 ) 一4 一致( 关于a ) 吸引e 中的任意有界集口，即 s u p d i s t e ( c 0 ( t ，t ) 且，一4 e ) 一0 ，t _ + ，v t r ， 口e 其中d i s t e 表示e 中的h a u s d o 形半距离； ( 3 ) 一4 e 是满足( 1 ) 和( 2 ) 的最小集，即如果另有满足( 2 ) 的紧集 a c e ，则必有4 e a 3 兰州大学研究生学位论文 2 0 0 2 年，钟承奎教授，吴红卿博士后，和卢松松博士f 6 2 】将非紧性 测度的概念应用于非自治动力系统，得到了非自治系统的一致吸引子 存在的充要条件及判定此条件的方法，并将这一方法应用于非自治的 2 dn a v i e r - s t o k e s 方程，代之以v v c h e p y z h o v 和m i v i s h i k 在f 9 1 中 对外力项( x ，t ) 的平移紧性的要求，在，( z ，t ) 满足相对较弱的积分的 绝对连续性的条件下，同样得到方程在v = ( 础( q ) ) 2 ，d i v u = o 中的一致吸引子的存在性 对于非自治系统，后来的d n c h e b a n ，p e k l o e d e n b s c h m a l f u b 阮p e k l o e d e n d j s t o n i e r 【1 3 1 ，p e k l o e d e n b s c h m a l f u t 3 1 4 1 ，以 及b s c h m a l f u f l 【1 6 】提出了拉回吸引子和向前吸引子的概念值得注意 的是，不同于一致吸引子，拉回吸引子和向前吸引子具有不变性 为了方便与一致吸引子的比较，下面我们仍然考察非自治的反应 扩散方程 窑= a a m ) 圳州) ，。咄 ( 1 0 4 ) u i 鼢= 0 ，( 1 0 5 ) ui i o = u o ， ( 1 0 6 ) 这里a 0 ，n 是r ”中的有界光滑区域 令e 是b a n a c h 空间，p 是集合如( - ，t 十) ，r r ) 在适当泛函空 间( 如， l 妒( r ；e ) ) 中的闭包对每一个t r ，定义映射巩：p p ， 使得巩构成p 上的变换群，即 0 t + r = o t0 日r ， 4 t ，t r o o = l d v 特别地，巩可定义为p 上的平移算子，即，o t p ( ，) = p ( ，+ t ) ，饥 r ，p 尸 假设对每一个“o e ，方程( 1 0 4 ) 一( 1 0 6 ) 有唯一解 ( z ，t ) ，并且解 对初值连续依赖，则可以定义e 上关于巩的共圈( c o c y c l e ) ( # ，p ，u o ) = “( z ，t ) ，v t 0 ，p 只 满足性质 j 曲( o ，p ，。) = 。，v ( p ，z ) p y ； 【咖 + r ，p ，z ) = 西( ，6 l ( p ) ，( r ，p ，z ) ) ，v t ，r r + ，( p ，z ) p x 4 兰州大学研究生学位论文 这样，( 日，咖) 构成p e 上的非自治动力系统 定义1 0 2 称e 中的一族非空紧集a = a p ) p e p 是非自治动力 系统( 日，咖) 的拉回吸引子，如果对任意p p ， ( 1 ) 咖( t ，p ，a p ) 工a 巩( p ) ， v r + ，伸一不变j ( 2 ) 对任意有界集b c e ， t l i + m 。d i s 坛( t ；i ( t ，日t 。，) ，b ) ，a p ) 2 0 称一族非空紧桌a 一 a p ) ，p 是系统( 口，咖) 的向前( 全局) 吸引 子，如果a 满足母一不变性质，并且 ( 3 ) 34 向前吸引任意有界集b c e ，即 t 。l i + m 。d 拈垃( 庐( t ，p ，b ) ，a 巩( p ) ) 2o 定义1 0 3 称一族非空紧集a = 山) p p 是非自治系统( 日，驴) 的 一致拉回( 向前) 吸引子，如果一4 满足咖一不变性质，并且a 一致( 关于p p ) 地拉回( 向前) 吸引任意有界集口c e ，即 t _ l i r a o 。p s e u p pd 妇坛( 地口一t 0 ) ，b ) ，山) = o ( + l 垫s “gdiste(母(t，弘口)，ao。(p)=o)oo t _ + 口p t c a r a b a l l o j a l a n g a 【5 ，6 1 ，t c a x a b a l l o ，j a l a n g a ，v s m e l n i k j v a l e r of 5 6 l 讨论了时滞微分方程和随机微分方程的拉回吸 引子的存在性，以及拉回吸引子的上半连续性d n c h e b a n ，p e k l o e d e n & b s c h m a l f u t j 【8 】证明了周期非自治系统的拉回吸引子是一 致向前全局吸引子，此结果可以成功应用于如下的周期微分方程 = ( u ) + h ( t ) 或“7 = f ( u ) h ( t ) 其中h ( t ) 关于t 是周期的到2 0 0 3 年，z h o n go h e n g k u i ，l id e s h e n g p e k l o e d e n 【3 8 】讨论了更加一般的周期微分方程，如t 5 兰州大学研究生学位论文 得到了一致向前全局吸引子，并证明了一致向前全局吸引子是一致l y a - p u n o v 稳定的 综上所述，非自治系统的拉回吸引子和向前吸引子的概念比一致 吸引子有更广泛的应用，从而本文试图对拉回吸弓f 子和向前吸引子做 更进一步的讨论对于非自治的耗散系统，有一般的拉回吸引子的存在 性结果( 见【6 ，8 ，9 ) ，但是未见拉回吸引子存在的充分必要性结果，并且 对于非自治的偏微分方程的拉回吸引子存在性的讨论很少见到本文 试图利用非紧性测度的概念得到拉回吸引子存在的充要条件，以及判 定此条件的方法。并希望在应用上能有所突破在适当的条件下，吸引 子关于参数的连续性等价于吸引速度关于参数的一致性( 见【2 8 ) 不同 于周期非自治系统，一般的非自治系统( 如t 殆周期系统) 的拉回吸引 子a 的截片4 关于p 通常不是下半连续的，这就给一致( 关于p p ) 向前( 拉回) 吸引性的讨论带来困难为克服此困难，本文借鉴文 2 8 】中 吸引子关于参数膨胀的思想，引入参数膨胀的拉回吸引子 a p 【s o 】) ，。p ， 得到了参数膨胀的拉回吸引子的一致向前( 拉回) 吸引性对于拉回吸 引子的上半连续性的讨论，通常需要紧吸收集的上半连续性( 见 6 ) ，这 个条件太强，本文在较弱的条件下得到了拉回吸引子的上半连续性 本文的工作主要包括以下三方面 第一部分。我们将非紧性测度的概念应用于非自治动力系统的研 究，得到了刻划拉回吸引子存在的充要条件和新的验证此条件的方法 主要工作是： 令p 1x 是完备度量空间，其度量分别为p ，d 定义1 0 4 称px x 上的非自治动力系统( 口，) 相对于每一个 p p 是拉回u 一极限紧的，如果对任意有界集bcx 以及任意的 e 0 ，存在t o = t o ( b ，p ，) 0 使得 ，、 7i 【j 咖( t ，口一( p ) ，b ) l e 一t o 定理1 0 5 如果pxx 上的非自治动力系统( p ，纠满足p 一一 致耗散性，即存在有界集ucx ，使得对任意有界集bcx ，存在与 6 兰州大学研究生学位论文 p p 无关的t ( b ) r + 满足 ( t ，p ，b ) cu ，v t ( b ) ，pe p 则系统( 0 ，纠在x 中有拉回吸引子 ) p e p 当且仅当( 口，咖) 是拉回 u 一极限紧的 我们给出验证拉回u 一极限紧的新方法 定义1 0 6 设x 是b a n a c h 空间称pxx 上的非自治动力系统 ( 0 ，纠满足拉回条件( g ) ，如果对任意p p ，任意有界集bcx ；x 2 i 任意 0 ，存在 t o t o ( p ，b ，) 0 和x 的有限维子空间x 1cx ，使 得 ( 1 ) l i p ( u 咖( t ，口一t ) ，b ) ) i i x 有界； l j o ( 2 ) l f ( ，一p ) ( u 咖( t ，日一t ( p ) ，b ) ) i i x r o 其中p ：x 一噩是有界投影 定义1 0 7 设x 是一致凸b a n a c h 空间，特别是h i l b e r t 空间，如 果p x 上的非自治动力系统( 日，曲) 满足p 一一致耗散性，即存在有界 集uc x ，使得对任意有界集bc x ，存在与p p 无关的t ( b ) r + ， 满足 庐( ，p ，b ) c 玑v t t ( b ) ，p 只 则系统( 口，妒) 在x 中有拉回吸引子 如) p e p 当且仅当( 口，咖) 满足拉回 条件( e ) 将此方法应用于非自治的2 dn a v i e r s t o k e s 方程，代之以v v c h e p ， y z h o v 和m i v i s h i k 在【9 1 中对外力项，( 。，t ) 的平移紧性的要求，在 ，( z ，t ) l b ( r ；h ) 的条件下，得到方程在v = t ( h o ( q ) ) 2 ，d i v “= o l 中的拉回吸引子的存在性 第二部分，我们考察非自治动力系统的一致渐近行为这部分内 容已发表在n o n l i n e a ra n a l y s i s5 9 ( 2 0 0 4 ) 3 5 - 5 3 一、我们关注参数膨胀的( i n f l a t e d ) 拉回吸引子的一致( 关于p p ) 向前吸引性设壬= ( 口，j i ) 是p x x 上的非i j 治动力系统，其中口是作 用在紧参数空间p 上的自治动力系统，毋是关于8 的x 上的共圈， 这里x 和p 是完备度量空间，其度量分别为d ，p 再设圣有拉回吸引 7 兰州大学研究生学位论文 子a = a p p c p 一般来说，4 可能不具有向前吸引性，具体例子可 参见【8 l ，所以代之以考虑拉回吸引子_ ，对任意固定的o 0 ，我们考 察参数膨胀的拉回吸引子1a ( e o ) ：= a p 陋o 】b e p ，其支集定义如下： 如m = ua 口 ( 1 0 7 ) p ( q p ) 5 0 并且在自然的条件下，证明了对任意固定的o 0 ，参数膨胀的拉回吸 引子a ( e o ) 一致( 关于p p ) 向前吸引任意有界集bcx ，即对任意 e 0 ，存在与pe p 无关的r = r ( _ b ，e ) 0 ，使得 d 日( 毋( t ，p ，b ) ，a 6 。o ) 陪o 】) 0 ，参数膨胀的拉回吸引子 陋o j ) p e p 一致( 关 于p p ) 向前吸引任意有界集bcx 在此基础上，我们证明了对任 意e 0 ，存在与p p 无关的6 1 = n 徊，) 0 和与( p ，a ) p 0 ，1 ) 无关的n = 7 l ( b ，e ) 0 ，使得当a 0 ， 存在与p p 无关的j l = 6 1 ( b ，e ) 0 和与( p ， ) p i o ，1 ) 无关的 t i = 下1 ，) 0 ，使得对任意a 0 ，存在如 0 ，使得 对每一个p 1 p 1 ，其中0 兰 0 ，存在如 0 使得对每一个p 1 p 1 ，其中0 a 0 ) 定义如下： ( a ，r ) = 如x id ( x ，a ) r ) 我们用妇和妇表示x 上的h a u s d o r f f 半距离和h a u s d o r f f 距离，对任 意非空集合a l ，a 2c x 定义如下： d h ( a 1 ，a 2 ) = s u pd ( z ，a 2 ) ， x e a l 妇( a 1 ，a 2 ) = m a x 妇( a 1 ，且2 ) ，d ( a 2 ，a 1 ) ) 记y 为完备的度量空间，其度量记为d ，对任意集合bcy ，我们可以 如上定义b 的r 一领域和y 上的h a u s d o r f f 半距离d ，h 以及h a u s d o r f f 距离昭，记尸为完备的度量空间，其度量记为p ，记号r ，n ，z 分别表 示实数，自然数和整数集合，r + 和z + 分别表示非负实数和非负整 数，t = r 或z ，t + = t n r 十，用n 记舻中的边界光滑的有界区域， a n 为n 的边界，用b ( x ) 表示x 中全体有界集构成的集合 c ( u ) 表示在有界闭区域q 上的连续的实函数空间，c ( n ) 上的范 数定义为 l iu i c = l lu ll c ( f 1 ) = s u p l t ( 嚣) i o sz 空间c ( n ) ，k n 是由n 上的k 次连续可微函数的全体组成，其上的 范数定义如下： i iu l i c t = l f i i c ( n ) = m a x ia 。u | | 。( n ) ia z 华，lo z sk 其中，多重指标o z = ( o l l ，a 2 ，o 。) ，( 啦z + ) ， o 障o q + + 0 _ 。，俨= 0 0 1 0 0 2 沪n 1 1 l p ( f 1 ) ( 1 p 。) 表示使如下的范数是有限的n 上的可测函数的 u i i 。，= | | u 1 | 。，= f f l “( 。) rd x ) 1 7 9 l o 。( f 1 ) 表示q 上的本性有界函数的全体，其范数为 | | t i | o ，。= | | “| | l 一= e s s s u p iu ( x ) l iz n s o b o l e v 空间w k , ( n ) ，k z 十，1 p 的范数定义如下： 咖= ( i 驴心川备) 叫9 仁， 如果p = 2 ，则这个s o b o l e v 空间就是h i l b e r t 空间日( q ) h ( f 2 ) = w k , 2 ( n ) ，h ( n ) 上的内积定义为 ，2 l 纛厶讹 ) 乳扣) 如 空间w 。，”( n ) 就是c ( n ) 按范数( 2 1 1 ) 的完备化 皤( n ) ，瞄9 ( n ) 分别表示四。( n ) 在h ( n ) ，w ，一( q ) 中的完备化 日“) 表示空间础( n ) 的对偶，范数定义为 怕 1 _ k = 8 u p 删i ”啪小。) 下面是s o b o l e v 嵌入定理 定理2 1 1 让1 0 ，h ( t ) 0 ，v t r + ， 。果 ，t + l fh ( s ) d 8 c ，v t 0 j t 则 y ( t ) 兰y ( o ) e 一哪+ c ( 1 一e - - 1 ) 一1 g ( o ) e 一1 。+ c ( 1 + 7 - 1 ) ， v t 0 2 3 非紧性测度及其性质 非紧性测度的概念最早是由k u r a t o w s l d 提出的( 见【5 3 j ) ，本节，我 们将列出非紧性测度的定义，以及我们要用到的一些最基本的性质， 有关它的详细内容参见郭大钧f 6 0 】 定义2 3 1 设m 是距离空间，b 是m 中的有界集，令 7 ( b ) = i n f 6 0b 可被m 中有限个直径不大于d 的集合覆盖 显然，0 7 ( b ) s + 。，7 旧) 叫做日的非紧性测度 引理2 3 2 设m 是距离空间，y 是非紧性测度， 1 ，y ( b ) = 0 当且仅当詹是紧的； 2 如果m 是一个b a n a c h 空间，则1 ( b 1 + b 2 ) 7 ( b 1 ) + 7 ( b 2 ) ； 3 如呆b 1c b 2 ，则7 ( b 1 ) s7 ( b 2 ) ； 4 ，y ( b lub 2 ) m a x 7 ( b 1 ) ，7 ( 口2 ) ) ； 5 7 ) = 7 旧) 引理2 a 3 设m 是无限维b a n a c h 空间，b ( e ) 是 彳中的半径为 的球，则7 ( 口( e ) ) = 2 e 1 4 0 1 e 一 ，【 o 4 7 1 g e+ + 缸 幻 一 一 7 t 一 一 e e 则掣 e j j 一 一 “约 h “ 襄 口女 电 筹 特 兰州大学研究生学位论文 引理2 3 4 设x 是一个无穷维b a n a c h 空间，并且有如下分解： 戈= x 1 0 x 2 ；d i m x l 0 ，f 的 一周期构成一个相对稠集 我们用c b ( r ；m ) 表示有界连续函数构成的空间，并且此空间有如 下定义的度量诱导的一致收敛拓扑， m ( ，l ，2 ) = s u p # m ( f l ( s ) ，2 ( s ) ) s 雠 下面是殆周期的b o c h n e r - a m e r i o 准则 1 5 兰州大学研究生学位论文 定理2 4 2 连续函数，( s ) ec b ( r ；m ) 是殆周期的，当且仅当函数 族 ，“h r ) = ，0 + ) fh r 在g ；m ) 中是相对紧的 2 5非自治动力系统与吸引子 本节主要介绍非自治动力系统的一些概念和结果 ( x ，d ) 是完备的度量空间，p 是非空集合( 般来说，p 是另一个度 量空间，其度量为p ) 0 ：腿p p 是一个映射，o ( t ) = o ( t ，) ：p p ， t r 构成空间p 上的群，即 日抖r = o t00 r ，v t ，r r ， o o = i d p 定义2 5 1 称一族连续映射西( t ，p ) ：x x ，t r + ，pep 是关于 巩的共圈。如果满足 ( 1 ) 4 ( 0 ，p ，$ ) = z ，v 国，z ) p x ； ( 2 ) 曲0 + r ，p ，。) = 咖( t ，o r ( p ) ，妒( t ，p ，。) ) ，v t ，r r + ，( p ，z ) p x x 在一些特殊的情形，p 是紧空间，并且映射0 ：豫p p 和 曲：r + p x _ x 是连续的 这样，( 0 ，庐) 就构成了p x 上的非自治动力系统 定义2 5 2 称一族非空紧集a = 岛) 。p 是( 日，咖) 的拉回吸引子， 如果对任意p p ， 满足下面两条： ( 1 ) 庐o ，p ，a p ) = a o 。( p ) ，v t r + ，( 咖- 不变) ( 2 ) t 墨翼，。妇渺( t ，日一t ( p ) ，b ) ，如) = 0 ， v 有界集bcx 称一族紧集4 = 如) p e p 是( 0 ，咖) 的向前险局j 吸引子，如果a 满足 西一不变性，并且 ( 3 ) a 向前吸引任意有莽集b c x ，即 羔如( 她p 1b ) ，a o ( p 1 ) = 0 1 6 兰州大学研究生学位论文 定义2 5 3 称一族紧集4 = a p ) 旌p 是( p ，咖) 的一致拉回伯前， 吸引子，如果满足毋一不变性；并且4 一致供于p 纠地拉回 ( 向前) 吸引任意有界集bcx ，即 注2 5 4 众所周知，一致拉回吸引子也是一致向前吸引予，反之 易然 定义2 5 5 称紧集卢cx 是阳，妒，的一致吸引子，如果p 满足 ( 1 ) p 一致r 关于p 驯地向前吸引任意有界集b x ，即 l i 十r a 。，s u p p 妇渺( 2 ，p ，b ) ，p ) 2 o ( 2 ) 如果q 是满足以j 的另一个紧集，则“垦q 注2 5 6 当p 是紧参数空间时，我们可以构造斜积流，使非自治 系统转化为扩展了的相空间上的自治系统，由动力系统理论中的基本 结果( 【9 ，2 9 】等等，我们知道非自治动力系统( 口，曲) 的一致吸引子p 是拉回吸引子的截片岛的并集( 即，p = u4 ) pep 定义2 5 7 。设( 口，是p x 上的非自治动力系统，我们称徊，圳 是 ( 1 ) p 一一致耗散的，如果存在有界集ucx ，使得对任意有界集 bcx ，存在与p 尸无关的t ( u ) r + ，使得 西( t ，p ，b ) c 玑k i t t ( b ) ，p p ( 2 ) 相对于每一个p p 是拉回u 一极限紧的，如果对任意有界集 bcx 及任意的 0 ，存在t o = t o ( b ，p ，) 0 ，使得 1 他们，司) 如 1 7 岛 既 如 闰 嚣 目晕耋卞 兰州大学研究生学位论文 f 3 ) p 一一致u 一极限紧的，如果对任意有界集bcx 及任意的 0 ，存在与p p 无关的t = t o ( b ，e ) 0 ，使得 、 1luu 咖( t l p b ) i e p g p t t ol 1 8 第三章非自治系统及其解的拉回的长时间行为 3 1 拉回吸引子的存在性定理 本章将【3 2 】中的思想应用到非自治系统，即用非紧性测度的概念 刻划p x 上的非自治动力系统( 0 ，) 的拉回吸引子的存在性，( 只纠 和( x ，d ) 是完备度量空间 定义3 1 1 对任意固定的集合b b 僻) ，我们定义b 的关于系统 ( 目，西) 相对于参数p p 的拉回u 一极限集唧( 口) 如下t 帅( b ) = nu 咖( t ，口一( p ) ，b ) s e r + t 8 我们对上式作一个直观刻划；在o - t ( p ) 的状态下，从有界集合b 出发走过t 时间的轨道