（基础数学专业论文）高维反向热传导方程的小波方法.pdf

jljjl 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得北京 工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 为| o 。s 。 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 1 摘要 摘要 许多物理、工程问题需要求解抛物型偏微分方程，其中包括反向热传导方程 反向热传导方程的解不具有稳定性，即测量值的微小扰动可能引起解的很大误差 因此这类问题是典型的不适定问题，需要应用一些正则化方法传统的方法包括 光滑化方法，f o u r i e r 正则化方法，配置点法等本文在借鉴t r e g i f i s k a ，l e l d 6 n 等人工作的基础上，利用m e y e r 小波和对偶最小二乘法构造高维反向热传导方程 的近似解，得到近似解在s o b o l e v 范数意义及点态意义下的稳定性与收敛性估计 第一章是绪论，首先介绍反向热传导方程的研究背景并说明方程的不适定性， 其次介绍其研究现状第二章介绍二维张量积m e y e r 小波和对偶最小二乘法并构 造m e y e r 小波对偶最d , - - 乘近似解第三章，针对前一章构造的小波近似解，首 先讨论其在s o b o l e v 范数意义下的稳定性，并给出参数，的选取；其次给出小波 近似解在s o b o l e v 范数意义下的收敛性估计；最后，借鉴t r e g i f i s k a 的工作，对 带有测量误差的近似解用两利，非线性逼近方法在l 2 范数意义下进行讨论，并证 明这两种方法都具有收敛性第四章，针对第二章构造的小波近似解及第三章选 取的参数，讨论点态意义下的稳定性与收敛性，并证明可以做到一致收敛 关键词反向热传导方程；对偶最小二乘法；m e y e r 小波；正则化 北京工业大学理学硕士学位论文 a b s tr a c t m a n yp h y s i c sa n de n g i n e e r i n gp r o b l e m sr e q u i r et h es o l u t i o no fp a r t i a ld i f f e r - e n t i a le q u a t i o n s ，i n c l u d i n gb a c k w a r dh e a te q u a t i o n s t h eb a c k w a r dh e a te q u a t i o n s d o n th a v et h es t a b i l i t y , t h a ti s ，am i n o ro s c i l l a t i o no fm e a s u r e dd a t am a yc a u s e h u g ee r r o ro ft h es o l u t i o n s os u c he q u a t i o n sa r et y p i c a li l l p o s e dp r o b l e m s ，a n d s o m er e g u l a r i z a t i o nm e t h o d sa r en e e d e d t h et r a d i t i o n a lm e t h o d si n c l u d em o d i f l e dr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d s ，f o u r i e rr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d s ，c o l l o c a t i o nm e t h o d s a n ds oo n w a v e l e tm e t h o d sf o rs o l v i n gd i f f e r e n t i a la n di n t e g r a le q u a t i o n sh a v e m a d eal o to fi m p o r t a n tr e s u l t s b a s e do nt r e g i f l s k a ，l e l d 6 na n do t h e r s w o r k ，w es h a l lu s em e y e rw a v e l e t sa n dd u a ll e a s ts q u a r e sm e t h o dt oc o n s t r u c tt h e a p p r o x i m a t es o l u t i o n so fh i g h - - d i m e n s i o n a lb a c k w a r dh e a te q u a t i o n si nt h i sp a p e r t h e s t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c ee s t i m a t e so ft h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n sa r er e c e i v e d i nt h es e n s eo fs o b o l e va n dp o i n t w i s en o r m i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fb a c k w a r dh e a te q u a t i o n s i nc h a p t e ri i ，w em a i n l yu s em e y e rw a v e l e td u a ll e a s ts q u a r e ss o l u t i o n s t of i n d a p p r o x i m a t es o l u t i o n s ，w ei n t r o d u c et w o - d i m e n s i o n a lt h et e n s o rm e y e rw a v e l e t s a n dd u a ll e a s ts q u a r e sm e t h o d i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ef i r s t l yd i s c u s st h es t a b i l i t y i ns o b o l e vn o r ms e n s ea n dg i v et h es e l e c t e dm e t h o do ft h ep a r a m e t e rj ；t h e n t h ec o n v e r g e n c ee s t i m a t e so ft h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n sw i l lb eg i v e ni ns o b o l e v n o r ms e n s e ；f i n a l l y ，f o l l o w i n gt r e g i f i s k a sw o r k ，w ew i l lg i v et w on o n l i n e a r a p p r o x i m a t em e t h o d si nt h el 2n o r ms e n s et od i s c u s st h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n s i i a b s t r a c t w i t ht h em e a s u r e m e n te r r o r ，a n dp r o v et h a tt h e s em e t h o d sh a v ec o n v e r g e n c e c h a p t e ri v ，w ew i l ld i s c u s st h es t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c ee s t i m a t e si nt h ep o i n t w i s e s e n s e ，a n dp r o v et h a tt h eu n i f o r mc o n v e r g e n c ea x ea c h i e v e d k e y w o r d sb a c k w a r dh e a te q u a t i o n ；d u a ll e a s ts q u a r e sm e t h o d ；m e y e rw a v e l e t s ； r e g u l a r i z a t i o n i i i d j p 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第1 章绪论1 1 1 研究背景1 1 2 国内外研究现状2 1 3 本文结构及主要结论3 第2 章小波对偶最小二乘解7 2 1 一维m e y e r 小波7 2 2 二维张量积m e y e r 小波9 2 3 对偶最小二乘法1 1 2 4 小波对偶最小二乘解1 2 2 5 本章小结1 5 第3 章s o b o l e v 范数意义下的稳定性与收敛性1 6 3 1 稳定性1 6 3 2 收敛性1 8 3 3 非线性逼近2 0 3 4 本章小结2 5 第4 章点态意义下的稳定- i 生与收敛性2 6 4 1 稳定性2 6 北京工业大学理学硕士学位论文 4 2 收敛性2 7 4 3 本章小结3 2 结论3 3 参考文献3 6 致谢4 1 第1 章绪论 1 1研究背景 第1 章绪论 k 竺嚣鹄如m 班一x e r 小, ye r , 姒z 卜- ， 讯 下) = 芴1 上。m ，咖叫和+ r 屹嘞 兰：耋晏三：墨ij，丁2)色7_，)e r r ，, 丁te r r , 。t 丁， 也( ，7 - ，) = 9 ( f ，7 - ) e ( f 2 + 7 2 ) ( t 一扪， 北京工业大学理学硕士学位论文 或等价于 u ( z ，可= 芴1 上。9 ( ，丁) 2 竹2 ) ( 卜”e “如押幻埏d 丁( i - 2 ) 往意到，当蚓。0 0 或i7 1 _ o 。时，e ( f 2 + r 2 ) ( 丁一。c o 由式子( 1 2 ) 可知， 9 ( ，丁) 在高频有较快的衰减性才能保证解的稳定性但实际上，测量数据往往不 可能有这样的衰减性因此问题( 1 1 ) 是一个严重的不适定问题 1 2国内外研究现状 1 9 9 8 年u t a u t e n h a h n l 2 给出了最佳误差界的定义，并给出了反向热传导方 程的最佳误差界的形式： e 1 - 孛6 孛 ；l n 矿e 学8 ( 1 + 。( 1 ) ) ( 5 - - 斗o ) ， 其，l - 6 为测量误差，s 表示解的光滑性，e 为先验条件的界2 0 0 0 年t h o h a g e 3 1 从理论上给出了不适定逆问题逼近解最佳误差界的存在性 1 9 8 7 年l e l d d n 4 j 用变形方法求解热传导方程c a u c h y 问题1 9 9 4 年d n h a o 5 用光滑化方法研究了反向热传导方程1 9 9 5 年t r e g i f i s k a 6 】用m e y e r 小 波及正则化方法仅给出逆热传导方程在区间 a ，1 】上的估计( 0 0 为常数 定理3 2 2 设u ( x ，y ，) ，u 5 ( z ，y ，t ) 分别为方程( 1 1 ) 的解及对应于测量数据 妒6 的m e y e r 小波近似解若i l u ( x ，y ，o ) 1 1 。，e ，i i 妒一i i l 。6 ，且选取参数j ： j = l l 0 9 2 ( 石3 【万1i n ( 鲁( 1 n 了e ) 一譬小) j 则对vt 【0 ，t ) ，有 i l u ( z ，可，) 一u 5 ( z ，可，t ) l l 。c x e 一亍td 亍t ( 1 n 鲁) 一争+ 行$ t t ( 1 + 。( 1 ) ) + q e l 5 1 # ( i n 鲁) 一午+ 盎( 1 + 。( 1 ) ) ( 6 _ o ) 其中s ， s 0 ，e 0 ，c l 0 ，q 0 为常数 定理3 3 1 设u ( x ，y ，) ， z 5 。( z ，y ，) 一分别为方程( 1 1 ) 的解及空间v a 中的非 线性近似解若i l u ( x ，y ，o ) 1 1 。，e ，j i 妒一矿il 。j ，选取参数j ： j ：l l o g 。( 砑3 【万1l n ( 鲁( 1 n 了e ) 一铘) j ， 且对于固定的整数p 0 ，j 一1 】，选取阈值 喙l ： 6 蹁尔卟卜1 】 乜f 瓦 4 第1 章绪论 则对vt 【0 ，丁) ，有 ，。( z ，州州l 。( z ，州忆岛e 1 一孛6 毒( 1 n 譬) 一譬( 1 一吾( 1 + 。( 1 ) ) + c 4 e 1 一击6 击( 1 n 鲁) 一譬( 1 一击( 1 + 。( 1 ) ) ( 6 _ o ) 其中s ， 0 ，e 0 ，岛 0 ，c 4 0 为常数 定理3 3 2 设定理3 3 1 的条件成立若p 2 6 ，则对vt 【0 ，丁) ，有 l iu ( z ，y ，t ) 一( u 5 。( z ，y ，t ) + u j p ( z ，y ，) ) l i l 2 c s e l 一壬6 孛( 1 n 鲁) 一苦( 1 一毒( 1 + o ( 1 ) ) + c 6 e 1 6 南( 1 n - f ) 一苦( 1 一击) ( 1 + d ( 1 ) ) ( 艿_ o ) ， 其中s ， 0 ，e 0 ，c 5 0 ，g 0 为常数 定理4 1 1 设u ，( z ，可，) ，u s ( x ，y ，) 分别定义为对应于精确数据咿及测量数据 的m e y e r 小波近似解若i i 妒一妒6 | l l 。5 ，且选取参数j ： j ：l l 0 9 2 ( 石3 【而11 n ( 等( 1 n 了e ) 一铘) j ， 则对vt 【0 ，t ) ，有 旧( z ，州一谚( z ，川i c t e l 一掰( 1 n 了e ) 一年+ 嘉( 1 + 。( 1 ) ) ( 6 一o ) ， 其巾s ， 1 ，e 0 ，g 0 为常数 定理4 2 3设乱( z ，可，) ，u 5 ( z ，y ，) 分别为方程( 1 1 ) 的解及对应于测量数据 妒6 的m e y e r 小波近似解若( z ，y ，o ) i i 。，e ，l i 妒一i i l ：5 ，且选取参数j ： j 叫l 0 9 2 ( 未【万1l n ( 了e ( 1 n 了e ) 一手小) j ， 北京工业大学理学硕士学位论文 则对vt 0 ，丁) ，有 “( z ，y ，) 一u 5 ( z ，可，) i c t e 卜手6 孛( 1 n 譬) 一争+ 嘉( 1 + 。( 1 ) ) + c g e l 一寿6 寿( 1 n 譬) 一争+ 盎( 1 + 。( 1 ) ) + c 1 。e 1 一南占击( 1 n 譬) 一争+ 麝( 1 + 。( 1 ) ) ( 6 一o ) ， 其r i is 7 1 ，e 0 ，c 7 0 ，c 9 0 ，c l o 0 为常数 第2 章小波对偶最小二乘解 第2 章小波对偶最小二乘解 本章主要利用m e y e r 小波构造对偶最小二乘解首先介绍必要的预备知识， 即二维张量积m e y e r 小波和对偶最小二乘法，其次利用m e y e r 小波构造对偶最 t j 、- - 乘解，并给出近似解的一些性质 ： 本文主要利用二维张量积小波研究问题首先简要介绍一维小波的相关内容 2 1 一维m e y e r 小波 定义2 1 1 【3 6 】所谓多分辨率分析是指l 2 ( i r ) 中的一列线性闭子空间 巧) j z ，满 足以下条件： ( i ) 单调性：对任意j z ，一lc 巧； ( i i ) 完备性： u j z 巧= l 2 ( r ) ， n j zv j = o ) ； ( i i i ) 伸缩性：对任意j z ，( ) v o 等等f ( 2 3 ) y j ； ( i v ) 基的存在性：存在一个函数( z ) l 2 ( r ) ，使得 ( z 一七) ) 七z 是的 标准正交基这时称函数( z ) 生成该多分辨率分析，且西( z ) 称为此多分辨率分 析对应的尺度函数 从( i i i ) 及( i v ) 可知：对给定的j z ， 咖；七( z ) ) 挺z 是巧的标准正交基，其中 九；七( z ) = 2 ( 2 3 x 一尼) ，七z 定理2 1 2 f 3 6 】设( ) j z 是由尺度函数( z ) 所生成的m r a ，定义尺度序列 ( 七) ) 缸z = ( ，1 ；七) ) k z ， 北京工业大学理学硕士学位论文 小波序列 9 ( 七) k z = ( 一1 ) 七研f 可k z ， 及函数妒( z ) = 9 ( 后) 妒1 ；k ( z ) ，则 奶；七( z ) ) j ，七z 为l 2 ( r ) 的标准正交小波基其 k e z 中( 妒，西1 ；七) = f r 驴( ) 1 ；七( ) d 函数 咖； = ( z ) = 2 妒( 2 j x 一七) ，j ，七z ，矽( z ) 称为小波 例2 1 3 1 3 7 1m e y e r 尺度函数及m e y e r 小波函数的f o u r i e r 变换分别为： ( ) 其中c 。( r ) ， r 1 0 ，z 0 ， ( z ) = l 1 ，z 1 ， l 并且对于0 z 1 ，( z ) + ( 1 一z ) = 1 对应的小波函数矽的f o u r i e r 变换为 引理2 1 4 设( z ) ，妒( z ) 是r 上m e y e r 尺度函数与小波函数，则 其中c 为常数 k e z 证明由文献 3 7 1 ，对于任意n n ，存在常数d 使得 妒( z ) i d ( 1 + i z l 2 ) 一， 喜i o 一 丛o 一 一 它纽。其 川 一 k o 磊 一2 0 ， c 去去仉 ，、i、 = 打一。 趼一o 一 一 f 一 一 占新一3打一。其 川川 l 1 一 一 f o 一打 。一打 互2 互2 m 已 e 去去眈 ，i，、l、 l i 篮 一沙 酞zvc 一 七 一 z 矽 肥 c 一 七 一 z 第2 章小波对偶最小二乘解 则有 l 矽( z 一后) i d t 七z 其中c = 2 d 1 k = o ( 1 - t - i z 一七1 2 ) - 1 舡：z d 1s u p ( 1 - t - l z k 1 2 ) - 1 0 s 霉 1k e z d 1s u p 【( 1 + o z 0 为常数 证明由s o b o l e v 范数的定义知， i ii ( x ，y ) i i 。= l l ( 1 + 2 + 丁2 ) ，( ，丁) 恢， 1 6 - 第3 章s o b o l e v 范数意义下的稳定性与收敛性 并且注意到u j ( x ，y ，) 与u 5 ( z ，y ，t ) 的表达式，则有 礼5 ( z ，y ，) 一u j ( x ，y ，t ) l l 。= | i ( 1 + 2 + 7 2 ) 考l 砬5 ( z ，y ，) 一f i j ( z ，y ，t ) l l l l 。 = 1 1 ( 1 + 2 + 丁2 ) i 妻( 妒一妒6 ，可? ) 南面r 代，t ) i ij l 。 m = l a i j 4 由? = 七? u ? 与磅( ，l ) = e ( t - t ) ( f 2 + 下2 ) 瞻( f ，7 ) ，并利用p l a n c h e r e l 公式，我 们得到 ? z 5 ( z ，y ，t ) 一 , d ( z ，y ，t ) l l 。 = 0 ( 1 + 2 + 丁2 ) 毒i ( ( 9 9 6 ) e ( t 一。) ( 2 + r 2 、，面? ( ，丁) ) 面? ( ，7 - ) | | i l 。 m - - 1a i j 从艿的定义及性质( 1 ) 知 ( ( p 一9 5 ) e ( t 一) 2 + r 2 、，毒? ( ，丁) ) 面? ( f ，丁) r n = 1 h e l d = 艿 ( 9 一) e ( 丁一c ) ( 2 + r 2 】 = 艿【( p 一) e ( t 一懈+ r 2 x j 4 ，( ，丁) 】， 又由l i 乃| i l 。= 1 ，p l a n c h e r e l 公式及题设，则有 礼5 ( z ，y ，t ) 一u g ( x ，y ，t ) l l 。 = i j ( 1 + f 2 + 7 2 ) l 艿【( p 一9 6 ) e ( t t ) ( f 2 + r 2 ) ( 。( ，r ) ll l l 。 s a u ，p ( 1 + 2 + 丁2 ) 犏【( 9 一涮r 毗2 + r 2 ( 洲忆 s u p ( 1 + 2 + t 2 ) e ( t 一。) ( f 2 + r 2 l i9 9 6 | i l 2 ， 3 ( ；丌2 ，) 3 e 2 ( r 一。) ( 丌2 ，) 2 j ， 由j 的选取可知 札则) 一u ，( 剐，吼q 矿亭6 季( 1 n 鲁) 一孥墙( 1 + 。( 1 ) ) ( 6 _ o ) ， 其中x a ，为a j _ l 的特征函数，g 0 证毕 一17 - 口 j o 北京工业大学理学硕士学位论文 3 2收敛性 为了在h 8 范数意义下得到近似解u 5 ( z ，掣，t ) 的收敛性估计注意到， u ( x ，y ，) 一u 5 ( z ，y ，) i i s s 0 ，e 0 ，6 0 ，q 0 为常数 证明由于 | i 乱( z ，y ，t ) - u j ( z ，y ，) i i s _ _ _ l lu ( x ，y ，t ) - p j u ( z ，y ，) l i 。+ l l p j u ( x ，y ，t ) - u j ( x ，y ，t ) l l s 由性质( 4 ) 知，上式右端第二项为零故只需讨论右端第一项即可 由s o b o l e v 范数的定义及性质( 3 ) 有 i i ( z ，y ，t ) 一p j u ( x ，y ，t ) 忆 ：i i ( 1 + 2 + 7 2 ) 墨l n ( ，7 - ，) 一前( ，7 ，t ) l 恢 = l i ( 1 + z + 丁2 ) 量i ( ，一艿) 彘( ，丁，t ) ll l l 。 1 8 - 第3 章s o b o l e v 范数意义下的稳定性与收敛性 利用性质( 1 ) ( 2 ) 并且j l ，一乃lj l 。= 1 ，得到 | | u ( x ，y ，t ) 一p j u ( x ，y ，t ) 忆 = l l ( 1 + 2 + 7 - 2 ) ；i ( ，一艿) 也( f ，7 ，t ) x r 2 a j - 1 ( ，7 - ) ll l l 。 = s u p ( 1 + 2 + 丁2 ) 量i i ( ，一岛) 也 ，丁，t ) x r 2 a l _ l ( ，1 - ) i l l ： 腿a j 一1 s u p ( 1 + 2 + 7 2 ) i | 也( ，7 - ，t ) x r z a j - t ，7 ) | i l 2 r 。a j 一1 又由白( ，7 _ ，) = p ( f ，7 ) e ( f 2 + r 2 ) ( t 一。) = 色( ，lo ) e 一。( 2 + r 2 ) 及题设有 | iu ( z ，y ，t ) 一p j u ( z ，y ，t ) | | 5 = s u p ( 1 + f 2 + 7 2 ) | | 包( ，7 - ，o ) e 一代2 + r 2 ) x r 2 a j - 1 ( f ，丁) i | l 2 s u p( 1 + 2 + t 2 ) 一争e 一( 2 + r 2 i l 包( f ，丁，o ) ( 1 + 2 + 7 - 2 ) 等i i l 。 ( ；丌2 j ) 一( 扎$ ) e 一( 丌2 j 尸e 由j 的选取可知 m 枷1 。鼬舻十卟+ 警 _ ， 其中c 2 0 为常数证毕 口 结合定理3 i 1 ，定理3 2 1 得到如下结论 定理3 2 2 设u ( x ，y ，) ，u 5 ( z ，y ，t ) 分别为方程( 1 一i ) 的解及对应于测量数据 的m e y e r 小波近似解若f l u ( x ，y ，o ) l l 。，e ，i l 妒一j i l 。6 ，且选取参数j ： ，叫l 0 9 2 ( 石3 【万1l n ( 鲁( 1 n 百e ) 一譬) 】 ) j ， 则对vt 0 ，丁) ，有 f l u ( z ，) 一，z 5 ( z ，y ，t ) l l 。c l e 一亭6 孛( 1 n 譬) 一争+ 券( 1 + 。( 1 ) ) 、 + q e l 一击6 击( 1 n 譬) 一争+ 丽a l t ( 1 + 。( 1 ) ) ( 6 _ o ) 北京工业大学理学硕士学位论文 其中s 7 s 0 ，e 0 ，c 1 0 ，q 0 为常数 注记3 2 3 当s = 0 ，s 7 0 时，对vt 0 ，丁) ，有 i l u ( x , y ，) 一u ，( z ，y ，t ) l l 厶。e 1 - 上。u 上u 了e ) 一譬( 1 一参) + ( 3 2 丁) 等e 1 一击j 击( 1 n 鲁) 一譬( 1 一赤) ( 1 + 。( 1 ) ) ( j _ o ) 注记3 2 。4 当s = 0 ，s 7 0 时，对t = 0 有 一 | | “( z ，y ，o ) 一钆；( z ，o ) f | 厶。e ( 1 n 鲁) 一芬【1 + ( 3 2 丁) 等( 1 + 。( 1 ) ) 】( j o ) 注记3 2 5 当s = 5 7 = 0 时，对vt ( 0 ，t ) 有 i m ( z ，可，o ) 一乱5 ( z ，y ，o ) 1 1 l 。e 1 一于t6 亍t + e 1 - 赤6 击( 1 + d ( 1 ) ) ( 6 _ o ) 比较注记3 2 4 与注记3 2 5 ，我们可以看出只要先验条件加强，便可得到l 2 范数 - ft ：0 时的收敛件分析 3 3非线性逼近 本节内容主要是在借鉴t r e g i f i s k a 的工作的基础上，用两种方法构造非线 纵圳= 善钆删蹶m ，巧1 吲枷(3叫m- - - 1a i j “ 砌) = 0 鸵i t l 0 ，e 0 ，c 3 0 ，c 4 0 为常数 证明由于 i u ( x ，y ，t ) 一札：；。( z ，y ，t ) ll ： l iu ( x ，可，t ) 一u 5 ( z ，y ，t ) l | l 。+ i | 钆5 ( z ，y ，t ) 一u i 。( z ，y ，t ) l l l 。 上式右端第一项已经在第二节讨论过，即s = 0 时的情形故只需讨论右端第二 项 注意到u 5 ( z ，y ，t ) 与u 皇。( z ，y ，t ) 的表达式( 3 1 ) ( 3 2 ) 并且由p a r s e v a l 等 式【3 9 】，则有 i i u 5 ( z ，y ，) 一“i 。( z ，y ，) i i 乏。= 1 1 【( 妒6 ，可? ) 一7 7 以a ( ( 妒6 ，孵) ) 】南皿雾( z ，可) l l 羔。 7 n = 1a e i ， = i ( 妒6 ，可? ) 一叩正a ( ( 妒6 ，可? ) ) 】丽11 2 m - - 1a ，j ”“ 3 j - 1 ( 拶e j ) 。，( 拶) 2 ， 北京工业大学理学硕士学位论文 又对于jsj 一1 厦用性庾【6 ) ，开将j 阴选耿代八得剑 万1 一 0 ，a 0 为常数证毕 口 一般地，j + 1 阶的信号中包含太大噪声但是，也可能存在一些有用的信息 理论上，对于定理3 2 2 中选取的j ，近似解1 巧+ 1 不保证具有稳定性下面给出 另一种非线性近似解以弥补上述缺陷 定义在j + 1 阶解的修正： 3 ， 叫她y ) = 寿( 豫，z ) 卯j , k 肛y ) ， 2 2 第3 章s o b o l e v 范数意义下的稳定性与收敛性 其中 人p = ( 尼，2 ) z 2 ；i ( 妒6 ，y s , m k 1 ) i p ，m = 1 ，2 ，3 显然0 2 j , p v j + 1e v ， 定理3 3 2 设定理3 3 1 的条件成立若p 2 5 ，则对vt 0 ，丁) ，有 ：j | lu ( z ，y ，t ) 一( 五皇。( z ，y ，) + u z p ( z ，y ，) ) | | l 。 c s e l 一士j 孛( 1 n 譬) 一等( 1 一孛) ( 1 + 。( 1 ) ) + c 6 e 1 一南6 玉( 1 n - f ) 一若( 1 一击( 1 + 。( 1 ) ) ( 6 一o ) ， 其中s 7 0 ，e 0 ，g 0 ，g 0 为常数 证明首先定义函数： 引，= 室专 由于i iu 一( 乱i 。+ u 止p ) i l l 。 1 ( 妒6 ，j d 2 ，七，1 ) i i ( 妒一妒6 ，可强， ) l ， 2 3 一 北京工业大学理学硕士学位论文 且 皿? ( z ，可) ) a ，；m z l ，2 。3 是l 2 ( 腿2 ) 的标准正交基，则由及级数形式h n d e r 不等 式f 3 9 l 及p a r s e v a l 等式有 ( 妒一妒6 ，y 强f ) 假设a p 囝，则有 3 ( ( 妒 m 7 = 1a i 妒6 ，田? 7 ) 皿? ，妙强，z ) i 3 ，至量i ( 妒一，皿烈皿? 7 ，可驯 m 7 = 1a ， 1 “” 3 ( m 7 = 1a ， ( 妒一妒6 ，雪? ) = i i 妒一妒6 j j l 。j j y 。m ，岛，f i i 厶。 0 ，g 0 为常数证毕 口 比较定理3 2 2 、定理3 3 1 及定理3 3 2 的结论，可以看出本节中构造的两种 非线性近似解“5 。( z ，y ，) ，让5 ，。( z ，y ，t ) + u z p ( z ，y ，) 与第三章构造的线性近似解 u 5 ( z ，y ，t ) 在l 2 范数意义下具有相同的收敛阶 3 4本章小结 本章对于前一章构造的小波近似解，首先讨论其在风范数意义下的稳定性 与收敛性，并给出参数j 的选取其次，借鉴t r e g i f i s k a 的工作，对带有测量误 差的小波近似解用两种非线性方法在l 2 范数意义下进行讨论，并证明这两种方 法都具有收敛性 2 5 北京工业大学理学硕士学位论文 第4 章点态意义下的稳定性与收敛性 s o b o l e v 范数收敛只是一种平均收敛对于第二章构造的小波近似解及第三 章选取的参数j ，本章研究点态意义下的稳定性与收敛性 4 1稳定性 本小节研究第三章构造的小波近似解在点态意义下的稳定性 定理4 1 1 设“，( z ，y ，) ，t 巧( z ，y ，t ) 分别为对应于精确数据妒及测量数据矿的 m e y e r 小波近似解若j j 妒一jj l 。j ，且选取参数j ： j = 1 0 9 2 ( 杀【刍l n ( 知了e ) 铘) j ， 则对vt 【0 ，丁) ，有 i z z 出，州叫5 , 1 7 删i 1 ，e 0 ，c 7 0 为常数 证明注意到u j ( z ，y ，t ) 与u ( z ，y ，t ) 的表达式，则 t j ( z ，y ，t ) 一u 5 ( z ，y ，t ) i 3 = l 。吕( 妒( 删) 一( 砌) ，砑( z ，y ，) ) 丽p ( 删) i m = 1a 乃 3 ，i ( 妒( z ，可) 一( z ，y ) ，砑( z ，y ，) ) i i 而1 丽i i 皿霉( z ，) i m = la ， 。 由积分形式h b l d e r 不等式【3 9 】及性质( 5 ) ( 6 ) ，得到 h j ( z ，y ，t ) 一l ( z ，y ，t ) i 3j - 1 i iq 0 - - 。f 1 5 恢i i 曝，i ( z ，可，) i i l 。e 2 ( 丌2 j ) 2 ( t 一l 虫强，l ( z ，可) m = lj = 一七z z 2 6 - 第4 章点态意义下的稳定性与收敛性 由矽? = 惫及题设条件有 u j ( x ，y ，z ) 一札5 ( z ，y ，) i 倒) 2