（基础数学专业论文）高阶矩阵谱问题非线性化与孤立子方程的拟周期解.pdf

中文摘要 摘要 近年来，非线性科学已广泛应用于数学、物理、化学、生物学、通讯、经济 学等学科，引起了人们普遍关注孤立子理论是非线性科学的重要组成部分，是数 学和理论物理研究的热门方向目前已有许多成功有效的研究方法和技巧，如反 散射方法、b g c k l u n d 变换、d a r b o u x 变换、p a i n l e v 6 分析法、h i r o t a 方法等，为求 解和描述非线性系统提供了强有力的工具 1 9 8 8 年，曹策问教授提出并发展了l a x 对非线性化方法，其主要思想是通过找 到谱问题中位势函数与特征函数之间的一种约束关系，这种约束大部分来自于 方程的对称，所以通常又称为对称约束将这种约束代入原谱问题，可以将其约束 成有限维h a m i l t o n 系统，并且可以证明该系统在l i o u v i l l e 意义下是完全可积的目 前，这种方法主要有三个方面应用： ( 1 ) 通过对孤立子方程相应的谱问题非线性化可获得大量新的可积的有限 维h a m i l t o n 系统，这极大地促进了有限维可积系统的深入研究和发展 ( 2 ) 给出了无限维系统可以约化成有限维系统这一论断，揭示了有限维与无 限维可积系统之间的内在关系 ( 3 ) 提供了求孤立子方程精确解，特别是拟周期解的一种有效途径 本文主要研究孤立子与可积系统中高阶矩阵谱问题的单非线性化和广 义a k n s 系统的拟周期解及其约化 第二章主要研究一类具有三个位势的四阶矩阵谱问题及其产生的有限维可 积系统，借助于可积条件零曲率表示导出了新的耦合k d v 方程族，利用迹恒等式 建立了该方程族的双h a m i l t o n 结构然后利用单非线性化方法，得至l j b a r g m a n n 约 束，在相应的辛流形上，引入p o i s s o n 括号，找到了它的足够多b i 2 n 个两两对合且 函数独立的守恒积分，从而证明了该有限维h a m i l t o n 系统在l i o u v i l l e 意义下是完 全可积的 第三章主要研究一类2 n 阶矩阵谱问题及其产生的有限维可积系统首先借助 于零曲率表示，从形式上导出了矩阵a k n s 方程族，并具体给出了显式的耦合矩 阵n l s 方程与耦合矩阵m k d v 方程，进而利用单非线性化方法，得至l j b a r g m a n n 约 束，找到了它_ f f l a x 表示由于系统矩阵是高阶的及其矩阵的不可交换性，守恒积 分不能显式地表示出来，这里克服了此方面团难，证明了这些守恒积分是两两对 合且函数独立的，从而该有限维h a m i l t o n 系统在l i o u v i l l e 意义下是完全可积的 中文摘要 第四章主要研究一类二阶矩阵谱问题，由零曲率表示导出了广义a k n s 方 程族，特别是研究其中一类耦合s e h r 6 d i n g e r 方程的拟周期解及其约化首先， 由l a x 矩阵引入椭圆坐标，将方程分解为两个可解的常微分方程在a b e l j a c o b i 坐 标窗口下，将流拉直成关于流变量的线性函数，然后利用r i e m a n n 反演技巧，显式 地构造了耦合s c h r 6 d i n g e r 方程的r i e m a n n 一日函数形式的拟周期解此外，目前关于 拟周期解约化的研究还很少，我们以耦合s c h 而d i i l g e r 方程的拟周期解为例，探讨 了非线性孤立子方程拟周期解的约化技巧 关键词：非线性化；h a m i l t o n 系统；守恒积分；l i o u v i l l e 可积；拟周期解 中图分类号：0 1 7 5 2 9 一一 英文摘要 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，n o n l i n e a rs c i e n c ei ss u b s t a n t i a l l ys t u d i e da n dw i d e l ya p p l i e di n m a t h e m a t i c s ，p h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y , c o m m u n i c a t i o n ，e c o n o m i c sa n ds oo n a sa p a r t o f n o n l i n e a rs c i e n c e ，s o l i t o n t h e o r y i sa l l i m p o r t a n t b r a n c h i n m a t h e m a t i c s a n d t h e o r e t i c a lp h y s i c s r e c e n t l y , m a n ye f f e c t i v em e t h o d sh a v eb e e np r e s e n t e da n dd e v e l o p e d ， s u c ha si n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ，b i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ， p a i n l e v 6a n a l y s i s ，h i r o t am e t h o da n ds oo n ，w h i c hp r o v i d eap o w e r f u lt o o lt od e s c r i b e a n ds o l v et h en o n l i n e a rs y s t e m s i n1 9 8 8 ，p r o f e s s o rc a od e v e l o p e da n dp r o p o s e dap o w e r f u ln o n l i n e a r i z a d o n s c h e m e t h em a i ni d e ai s ：u n d e rc e r t a i nc o n s t r a i n tb e t w e e np o t e n t i a lf u n c t i o n sa n d e i g e n f u n c t i o n s ，t h ec o r r e s p o n d i n gl a xp a i ri sn o n l i n e a r i z e di n t o af i n i t e d i m e n s i o n a l h a m i l t o n i a ns y s t e m u pt on o w , t h r e ea p p l i c a t i o n so ft h i sm e t h o dh a sb e e nf o u n da s f o l l o w s ： ( 1 ) i tg i v e saw a yt og e n e r a t en e wf i n i t e d i m e n s i o n a li n t e g r a b l es y s t e m s g i v e n t h ee v o l u t i o ne q u a t i o n ，t h ei n t e g r a b l es y s t e mc a nb eo b t a i n e db yt h er e l e v a n tn o n l i n e a r c o n s t r a i n t s t h i sj u d g e m e n th a si n c r e a s i n g l ya d v a n c e dt h er e s e a r c ha n dd e v e l o p m e n t o f i n t e g r a b l es y s t e m s ( 2 ) i te s t a b l i s h e sab r i d g eb e t w e e ni n f i n i t e d i m e n s i o n a ls y s t e m sa n df i n i t e - d i m e n s i o n a lo n e s t h ei n f i n i t e d i m e n s i o n a ls y s t e m sc a nb er e d u c e dt of i n i t e d i m e n s i o n a lo n e sb yu s i n gt h et e c h n i q u eo f t h en o n l i n e a r i z a t i o n ( 3 ) i tp r o v i d e sa ne f f e c t i v ew a y t of i n de x a c ts o l u t i o n so f n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s i nt h i st h e s i s ，w em a i n l yc o n c e r nw i t ht h eh i g h - o r d e rm a t r i xs p e c t r a lp r o b l e m s a n dt h ec o r r e s p o n d i n gf i n i t e - d i m e n s i o n a li n t e g r a b l es y s t e m s m e a n w h i l e ，w ec o n s t r u c t a l g e b r o g e o m e t r i cs o l u t i o nf o ra l le x t e n s i o no f a k n sh i e r a r c h ya n di t sr e d u c t i o n t h e a r r a n g e m e n to f t h i sp a p e ri sa sf o l l o w s i nc h a p2 ，w ec o n s i d e ran e wf o u r - o r d e ri s o s p e c t r a lp r o b l e mw i t ht h r e ep o t e n r i a l sa n dt h ec o r r e s p o n d i n gn e wc o u p l e dk d vh i e r a r c h y w ec o n s i d e rt h e i rg e n e r a l i z e d b i h a m i l t o n i a ns t r u c t u r e sv i at h et r a c ei d e n t i t y m o r e o v e r ，an e wf i n i t e d i m e n s i o n a l h a m i l t o n i a ns y s t e mi sp r o d u c e dt h r o u g ht h en o n l i n e a r i z a t i o no ft h el a xp a i r e n o u g h v 一 英文摘要 c o n s e r v e di n t e g r a l s ，w h i c ha r ei ni n v o l u t i o na n df u n c t i o n a l l yi n d 印e n d e n t ，a r ec r e a t e d b yt h el a xo p e r a t o rt og u a r a n t e el i o u v i l l ei n t e g r a b i l i t yo f t h eh a m i l t o n i a ns y s t e m i nc h a p3 ，s t a r t i n gf r o mam a t r i xs p e c t r a lp r o b l e mo f2 a - o r d e r ，w ep r e s e n tah i e r - 盯c h yo fn o n l i n e a re q u a t i o n si nm a t r i xf o r m a sas p e c i a lr e d u c t i o no ft h eh i e r a r c h y , ac o u p l e dm a t r i xn l se q u a t i o na n dac o u p l e dm a t r i xm k d ve q u a t i o na r ef o u n d u n d e rb a r g m a n nc o n s t r a i n tb e t w e e n p o t e n t i a l sa n de i g e n f u n c t i o n s ，c o r r e s p o n d i n gs p e c t r a l p r o b l e mi sn o n l i n e a r i z e di n t of i n i t e d i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a ns y s t e m s t h el a xr e p r e - s e n t a t i o nc a nb ed e d u c e d i nt h ec o r r e s p o n d i n gs y m p l e c t i cm a n i f o l d ，i n v o l u t i o na n dt h e f u n c t i o n a li n d e p e n d e n c eo f e n o u g hc o n s e r v e di n t e g r a l sa r ep r o v e d t h i sg i v e st h el i o u v i l l ei n t e g r a b i l i t yo ft h ef i n i t e d i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a ns y s t e m m o r e o v e r , i n v o l u t i v e s o l u t i o n so f t h ec o n s t r a i n e df l o w sa r ep r e s e n t e d i nc h a p4 ，w ec o n s i d e rt h eq u a s i p e r i o d i cs o l u t i o n so fan e wg e n e r a l i z e da k n s h i e r a r c h yw h i c hc o n s i s t sac o u p l e ds c h r s d i n g e re q u a t i o na sas p e c i a lc a s e b a s e d o n f i n i r e o r d e re x p a n s i o no ft h el a xm a t r i x ，t h ee l l i p t i cc o o r d i n a t e sa r ei n t r o d u c e d ，f r o m w h i c ht h ee q u a t i o n sa r es e p a r a t e di n t os o l v a b l eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e n u n d e rt h ew i n d o wo fa b e l j a c o b ic o o r d i n a t e ，v a r i o u sf l o w sc a nb es t r a i g h t e n e di n t o l i n e a rf u n c t i o n so ft h ev a r i a b l e so ft h ef l o w s b yt h es t a n d a r dj a c o b ii n v e r s i o nt r e a t m e n t ，q u a s i p e r i o d i cs o l u t i o n si nt e r m so ft h er i e m a r mt h e t af i m c t i o n so f t h ec o u p l e d s c h r 6 d i n g e re q u a t i o na r ee x p l i c i t l yc o n s t r u c t e d i ti sw o r t h w h i l et h a tt h eq u a s ip e r i o d i c s o l u t i o no f g e n e r a l i z e ds c h r 6 d i n g e re q u a t i o ni sf o u n df r o mt h a to f c o u p l e ds c h r d d i n g e r e q u a t i o n sb yr e d u c t i o nt e c h n i q u e k e yw o r d s ：n o n l i n e a r i z a t i o n ，h a m i l t o n i a ns y s t e m ，c o n s e r v e di n t e g r a l ，l i o u v i l l e i n t e g r a b l e ，q u a s i - p e r i o d i cs o l u t i o n c i 。c n ：0 17 5 2 9 一一 第一章绪论 第一章绪论 孤立子理论是非线性科学的一个重要分支，在力学、物理、生物学、化学、 通讯、经济等自然科学和社会科学中有广泛应用孤立子的发现是2 0 世纪后期 数学物理上最引人注目的事件之一，是非线性科学在过去几十年中取得的关键而 重大的成就，它的思想将具有深远的影响 一般情况下，非线性现象的演化过程可用非线性发展方程来描述，非线性发 展方程的精确解的研究是孤立子与可积系统研究的一个重要分支这里特别要 提到的是在求解非线性的k d v 方程时，g a r d n e r , g r e e n e ，k r u s k a l 和m i u r a 创立并 发展了反散射( i s t ) 方法，通过解一系列线性方程得到了一大类具有孤立子性质 的非线性发展方程的显式的精确解近年来，随着孤立予理论的快速发展，形成 了很多有重要价值的成功求解方法，如b i i c k l u n d 变换和d a r b o u x 变换【1 一【6 ；对 称与约化 2 0 - 2 4 】；p a i n l e v 6 分析法 5 6 】 2 5 - 3 0 ；h i r o t a 双线性及多线性方 法 3 1 _ 3 7 ；非线性化方法 3 8 4 1 】；代数几何法 4 2 - 4 4 等，对无限维分析、 代数几何、偏微分方程和动力系统理论都产生了深远的影响，这些方法的成功应 用表明了人们可以比较系统地求一大类非线性发展方程精确解，而且也为我们深 刻理解非线性问题的本质给予很大的启发 可积性的研究是孤立子与可积系统理论的一个重要内容，2 0 世纪6 0 年代 后，随着孤立子理论的研究的兴起，人们知道了为数众多的方程，背景互不相 同的完全可积系统一个系统是否可积，既可由它的数学结构体现出来，又与孤 立子的存在紧密联系但是可积性定义至今尚无定论，通常可积是指某种意义 下的可积性，常见的可积主要有：l i o u v i l l e 可积、i s t 可积、l a x 可积、对称可 积、p a i n l e v 6 可积等等著名的可积系统往往都是在多种意义下可积的，这说明 不同意义下的可积性之间有一定联系，j z h i s t 可积系统往往同时具有其它的几种 可积性质；p a i n l e v 6 可积方程通常具有b i c k l u n d 变换意义下的可积性但由于问题 的复杂性，目前尚不能给出各种可积性之间的必然联系，有待于进一步的研究 而对完全可积的有限维h a m i l t o n 系统的研究是以经典力学为背景的人们对 完全可积的h a m i l t o n 系统的认识，经历了一个曲折的过程早期的经典力学，对 可积的理解是二体问题的积出及对行星运动的k e p l e r _ 三定律的解析推导到1 9 世 纪前期，完全可积的系统仍很少，主要例子有j a c o b i 关于椭球面上的测地线方程 的积分，c n e u m a n n 关于约束到球面上的谐振予的可积性的研究，k o v a l e v s k i 关 第一章绪论 于陀螺的研究等等到了1 9 世纪末，人们又发现绝大多数的h a m i l t o n 系统并不完 全可积，最著名的例子是古老的日地月三体问题的不可积这造成可积系统研究 的衰落大约到了2 0 世纪初，研究重心转向了定性理论，在p o i n c a r e ，b i r k h o f f 等人 研究下，动力系统理论得到蓬勃发展而且还知道了在小扰动下，虽然完全可积 性被破坏，但原问题不变环面的一个大子集却保留下来，组成一个复杂的具有 正测度的不变c a n t o r 集，这就是著名的k a m 理论还认识到在w h i t n e y 可微意义 下，扰动系统在c a n t o r 集上仍然是l i o u v i l l e 完全可积的 5 1 】因此，寻找完全可积 的h a m i l t o n 系统仍然是一个重要的研究方向 1 1h a m i l t o n 系统 h a m i l t o n 系统的理论框架是辛流形这里首先简单介绍有限维辛流形的 部分理论 2 有限维辛流形( m “，“2 ) 是一个偶数维的微分流形m 鼽，装配 上一个闭的非退化微分2 一形式u 2 ，u 2 称为辛结构最简单的辛流形是坐标空 间 ( p ，q ) i p 形，q 口) 装配上 u 2 = d p ad q 辛结构的非退化性决定了余切空间t + 心到切空间t 如的一个线性同构l ，它由 u 1 ( ) = ( ，j w l ) 所决定，j 称为是辛算子或h a m i l t o n 算子在局部坐标中，j 的矩阵恰为“，2 的矩阵 的逆这就是我们可以用辛算子j 代替辛结构u 2 作为辛流形研究的出发点辛 流形上的每一个实数值函数h ：m r 都称为一个h a m i l t o n 函数j d h 称为 是h a m i l t o n 向量场 士= j d h ( x ) 称为是h a m i l t o n ：则方程它的解算子g 备是一个( 局部) 微分同胚单参数群， 称为( 局部) h a m i l t o n 相流，简称日一流函数f ：m r 沿j d h 方向的导数称 为f 与日的p o i s s o n 括号，即 只日) ( z ) = 未f ( 碚( z ) ) = u 2 ( y d h ，d a y ) l 。 一2 一 第一章绪论 辛结构u 2 的闭性 d w 2 ：0 决定 p o i s s o n 括号满足j a c o b i 恒等式所以它是一个l i e 括号，使得辛流形m 上的 光滑函数的全体组成了一个l i e 代数，p o i s s o n 括号作为梯度v f 和v 日的二次型， 在局部坐标中的矩阵是辛结构u 2 矩阵的逆，这说明它也可以代替辛结构“2 作为辛 流形理论的出发点 因此，对于有限维辛流形，护，z n 三者的地位是平等的，每一个都可咀 作为理论的出发点f 5 2 近年来，己成功地揭示了许多非线性偏微分方程组具 有h a m i l t o n 结构，而这里的h a m i l t o n 结构是相对于一定形式的p o i s s o n 括号而言的 对于无限维辛流形5 3 ，辛算子可能不是同构的，辛结构u 2 的非退化性有强弱之 分，情况也就相当复杂了因此无限维的辛流形理论现在还处于积累阶段，有待于 进一步的发展 我们称有限维h a m i l t o n 系统( m “，u 2 ，h ) 在l i o u v i l l e 意义下是完全可积的， 如果存在n 个独立的且两两对合的守恒积分f 1 ，r 守恒积分的水平集 屿= ( z m 2 “i f & ) = f j ，j = 1 ，n ) 是每一个玛的不变子流形) k 1 9 1 j ：纪起很长一段时间内，只有几个有限 维h a m i l t o n 系统被证明了是在l i o u v i l l e 意义下可积的 2 0 世纪6 0 年代中期以后，无限维h a m i l t o n 系统的研究蓬勃发展起来为此，考 察微分方程组 引入外微分1 形式 则( 1 1 ) 等价于 咖。= u 妒，咖t = y 毋 其中d 表示外微分，由可积条件 q = u d x + v d t d e = q 击 d 2 西：0 第一章绪论 引出了 其中a 表示外积在微分几何中常用 e = d q q q ( 1 2 ) 表示与曲面相关的曲率矩阵【5 4 ，所以( 1 2 ) 又称为是零曲率方程，也有入将其 - 与l i e 群的结构方程相联系 5 5 - 【5 7 ( 1 2 ) 又可以写成如下等价形式： 当( 1 1 ) 0 0 的u 与某些函数u ( x ，t ) 及谱参数a 有关时，常可以选取 y “= a ”，n2 1 使得从( 1 3 ) 中可以消去a ，而得到关于函数( z ，t ) 的一个非线性方程 u t = r ( u ，饥，u 。，u m “。，) ， n 1 ( 1 4 ) 如果方程( 1 4 ) 可以写成h a i l l i l t o n 系统 驴j 等 ( 1 5 ) 且能找到无穷多个两两对合的守恒密度，那么这个发展方程称为l i o u v i l l e 可积的 但是人们还是希望能够形成一套系统方法从无限维h a m i l t o n 系统中得到有 限维h a m i l t o n 系统f l a s c h k a p , 经证明了无限维可积系统在相空间的有限维不变 子流形上可以约束成有限维h a m i l t o n 系统 58 后来一个更直接的方法被苏联学 者提出【5 9 - 6 7 ，他们证明了如果h a m i l t o n ；5 程族( 1 5 ) 是可积的，则驻定方程 罂：0 ， 0 “ 是有限维可积h a m i l t o n 方程，如k d v 方程族f 5 9 一 6 2 、g e l f a n d - d i k i i 方程族 6 3 - 第一章绪论 6 6 1 ，a k n s 方n n 6 7 1 g e l f a n d 与o i k i i 给出了更一般的定理 6 0 ，【6 4 ：若发展 方程( 1 5 ) 是可积的，男g z , 它的驻定方程 是完全可积的 j 坚：0 o u 例如，对于描述浅水波运动的著名k d v 方程 它的l a x 对 地一6 u u z + “z = 0 一曲。+ u = a 西 将( i 7 ) 改写成矩阵形式的l a x 对( 1 1 ) ，其中 ，= ( 。：a 。1 ) 如果辅助谱问题中，我们选取 ：f ，0 m 6 m 1 e r e n m 由零曲率表示( 1 3 ) b g 较a 各次幂系数可得如下递推关系及l e n a r d 算子对 其中 = o ，b i n + 1 = u + 扛6 。一；6 。一 k g m = j g 。+ l ，g 。= 6 。，r n 0 k = - ；0 3 + 互1 ( a + a u ) ，j = a 一5 一 ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) 其嘞= j 堡 口乱 她冁弧三嚣q 昏漆 尉驻定k d v 方程 号7 入壁标 固确飘角限维可辍系巍 乩2 0 。乱，p 。札。 它司被驾戏h 憾毗- 茛 “。2 醇 这里函数 j 塑a p , 忍；塑 国， 8 一甘j 、6 f j j2 i ( 1 i 3 、 n 1 0 ) f i 1 1 ) 鼢 如 魄 。 姐 飞h 哦 “ 6 ， k 现 z l 邑 h 吣 敲 + 蛐 魂 兰| 唠 椰 缬 翰l 豫 缳 凌 一吖一 第一章绪论 还有著名的具有2 2 矩阵形式的a k n s 系统，在( 1 1 ) 中，其中取 ，= ( ：二) ， 均 辅助谱问题取为 ：f ，。m 6 m f 锄- a m 由零曲率方程( 1 3 ) 比较a 各次幂的系数可得如下递推关系 可得 其中 a m z = “c m 一 6 m ， 2 以1 = b m 。+ 2 u a m ， 一2 c m + 1 = c 坷一2 u d m ，m 0 k g m = j g m + 1 b o = c o = 0 ，g 。= ( ，k ) 7 ， = ( 0 兰2 a v 0 1 - 让i ua 一2 v 2 0 “- a 1 v 一1 ”) ，j = ( 。2 0 2 ) 一 由此，非线性发展方程族为 ( 1 1 5 ) u t = 6 m z + 2 u a 。，仇= 岛一2 v a m ，( 1 1 6 ) 此方程族包括了许多物理上感兴趣的方程，例如著名的k d v 方程、非 线性s c h r 6 血g e r 方程、m k d v 方程、b u r g e r s 方程、s i n e ，g o r d o n 方程以及s i n l l g o r d o n 方程而且方程族( 1 1 6 ) 具有h a m i l t o n 结构 训t ：j s h m d w 7 一 第一章绪论 其中 1 2 非线性化 2 一赢9 + 2m + l 1 9 8 8 年，曹策问教授提出并发展了l a x 对非线性化方法 3 8 。 4 1 ，其主要思 想是通过找到谱问题中位势函数与特征函数之间的一种约束关系，这种约束大部 分来自于方程的对称，所以通常又称为对称约束，将这种约束代入原谱问题，可以 将其约束成有限维h a m i l t o n 系统，并且可以证明该系统在l i o u v i u e 意义下是完全 可积的下面具体介绍该方法的操作过程： 现在我们取个互不相同的特征值a 。，1 o l n ，考虑微分方程组 。，。= u ( 让，a 。) 。，。，t = y ( u ，u 。，；a 。) 曲。，( 1 1 8 ) 此时记 。= ( 1 。，2 。) t 定义约束 g m 。= 害， ( 1 1 9 ) _ ，、 其中m o 是某个数，1 l ，协是个任意非零常数约束可以分为以下三类： ( i ) n e u m a n n 类型，此时g m o ：不含位势“及其对。的导数，即u 不能显式地表示出 来 ( i i ) b a r g m a n n 类型，此时g 。不含位势“的导数，即u 可以显式地解出 ( i i i ) o s t r a g r a d s k y 类型，此时g m 含位势u 对茁的导数 于是我们可以得到约束系统( 或约束流) 妒。，。= u ( 也，a 。) 。，。，t = y ( 面，面。，；a 。) 。 g 一薹鲁， 这里面是约束后的位势函数 ( 1 ，2 0 ) ( 1 2 1 ) 第一章绪论 例如：对上述k d v 方程的l a ) 对进行非线性化首先借助于文献 6 8 求出 尝划。，g 。= 飞 l 扫b a r g m a n n 约束 g 1 = 得到位势与特征函数之间的约束关系 记( - ，) 是r 中的标准内积，且 札= ( 垂1 ，圣1 ) 垂l = ( 1 l ，一，1 ) ，垂2 = ( 2 1 ，一，2 _ v ) 将其代入( 1 1 ) 可将其非线性化为如下的约束系统 ( ：) 。= ( 。垂。，窖，一a 。1 ) ( 兰：) ， c ，z z ， 记a = d i a g ( a 1 ，h ) ，这个记号将在以后继续使用 ( 1 2 2 ) 可以被写成h a m i l t o n 正则形式： 这里h a m i l t o n 函数 = 丽o h ，= 一面o h 西1 ，z2 百瓦，圣2 2 一石i h = ；( 蝇，蚴+ ；( 屯蚴一：( 虬2 再对上述a k n s 系统相应的l a x 对进行非线性化同样方法可以求得 ( 喜) = ( 繁) 9 1 a ：d p 。ad q i ) 上，通过引入相应的p o i s s o n 括号， 4 = 1 找到了它的足够多即2 个两两对合且互相独立的守恒积分，从而证明了此有限 维h a m i l t o n 系统在l i o u v i l l e 意义下完全可积对于函数独立性的证明是一项重要 的工作，我们参阅文献 8 3 8 5 ，给出了该系统守恒积分的函数独立性的详细证 明 2 1 耦合k d v 方程族 考虑如下4 4 矩阵谱问题 西k = 矿c 札，口，伽，a ，咖， u cu，口，a，=【“i a ( 2 1 ) 其中让，v ，w 为位势函数，a 为谱参数，咖= ( 1 ，妒2 ，锄，幽) r 为特征函数 为了获得谱问题( 2 1 ) 所产生的非线性发展方程族，首先考虑驻定零曲率方程 设 k 一盼v 】= 0 ，v = ( ) n 4 ( 2 2 ) 2 + k 4 = 2 a ，k 4 = b ，2 = c ，4 = 2 d ，( 2 3 ) a = a j a ，b = 马a ，c = g a ，0j 0，兰0 1 7 一 a 0 甜o 一钍 1 o o 0 第二章四阶矩阵谱问题及其产生的有限维可积系统 将( 2 3 ) 代k ( 2 2 ) ，可得到矩阵y 的各元素如下 2 v 1 1 = 0 - 1 ( w c 一 b ) 一2 ( a d ) 。，2 = 2 a 一2 d ， 2 v 1 3 = 0 - 1 ( w ( 4 d 一2 a ) ) 一b 。， 4 = b ， 2 1 = w c + v b 一2 ( a d ) 。+ 4 ( u ) 、) ( a d ) ， 2 k 2 = a 一1 ( w c 一 b ) + 2 ( a d k ， 2 v 2 3 = 2 w a + 2 ( u a ) b 一玩。，2 v 2 4 = 0 - 1 ( w ( 4 d 一2 a ) ) + b 。， 2 1 = 0 - i ( v ( 2 a 一4 d ) ) 一c ：，v 3 2 = c ， 2 v 3 3 = a r l ( v b w c ) 一2 d 。，v 3 4 = 2 d ， 2 k l = 2 v a c 0 。+ 2 ( “一) 、) g ，2 k 2 = 0 - 1 ( v ( 2 a 一4 d ) ) + c ：， 2 k 3 = v b + w c 一2 d = 。+ 4 ( “一a ) d ，2 v 4 , = 0 - 1 ( v b w c ) + 2 d 于是( 2 2 ) 化成等价形式 ( 一2 a 3 + 4 “。+ 8 u o 一2 w o 一1 t ，一2 v o 一1 w ) a + 知a + o v ) b + + ( 2 a 3 4 u 。一8 u o + 4 w o 一1 廿+ 4 v o 一1 叫) d = 8 ( a d ) 。， ( w o + o w ) c 2 ( v o + o v ) a + 2 v o 一1 v b + ( 2 u 。+ 4 u o 一2 v o 一1 w a 3 ) c = 4 a c ， 2 ( w o + o w ) a + ( 2 u z + 4 u o 一2 w o 一1 口a 3 ) b + 2 w o 1 w c = 4 a 毋 2 ( v o 一1 w + w o 一1 ) a + ( a + o v ) b + ( w o + o w ) c + ( 4 让。+ 8 u o 一4 v o 一1 w 一4 w o 一1 一2 0 3 ) d = 8 a d 。 由( 2 4 ) 与( 2 7 ) 可取 由此，( 2 4 ) y , - i v a 改写成 a = 2 d ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 一a 3 + 2 u o + 2 0 u ) a + ( 口a + o v ) b + ( w o + o w ) c = 4 a a 。( 2 8 ) 这样从( 2 8 ) ，( 2 5 ) 与( 2 v ) , - i 得 k ( 2 a ，b ，g ) t = a j ( 2 a ，b ，c ) 7 1 8 一 ( 2 9 ) 第二章四阶矩阵谱问题及其产生的有限维可积系统 v o + o v 2 v o i v w o + o w 2 u o + 2 0 u 一2 v o 1 2 u o + 2 0 u 一2 w o - 1 一0 a2 w o 一1 w 将a ，b ，e 的展开式代入( 2 9 ) ，比较a 的同次幂系数可得递推关系式 伊) j g o = 0 ， k g j = j g j 十1 ，( 2 1 0 ) 其中 g o = ( 1 ，0 ，0 ) 7 ， g j = ( 2 a j ，b j ，c j ) 丁，j 0 由递推关系( 2 1 0 ) 我们可以依次求出g j ，其中前两项是 印一= ( 一攀i3剖2 3 设辅助谱问题 庐m = y ( m ) ，y ( m ) = ( a m y ) + ，m 0 ( 2 1 1 ) 其中符号+ 表示只取a 的非负阶项由方程( 2 1 ) 与方程( 2 1 1 ) 的相容性可得零曲 率表示 巩。一曙”+ e y ( “】_ 0 ， 一1 9 l一2，u、 一巩矾 o o 蛆 也 。坩。 舶腑 。幻o a ， 、卢卜u = = 里 k j 型 第二章四阶矩阵谱问题及其产生的有限维可积系统 c i ) 。一= x 。= j g 。= k g 。一， c z ，2 ) 其中k 与j 由关系( 2 9 ) 给出 特别地，m = 1 时，我们选取 一! 生 4 詈a 一警+ u w 一些 4 一 2 + j a 一警+ 譬+ 警 此时得到新的耦合k d v 方程的一种推广形式( 以后记t 1 = ) “。：一彳1 “一+ ；u “。+ ；( v w ) 。， “t 2 一五“一+ 互“。+ 五( 。， 仉= 一；。+ 互3 ( u 叱， ”产一；。+ 互3 ( 让吨 ( 2 “) 而当2 , = u = w 时，方程( 2 1 4 ) 可约化成著名的k d v 方程 2 2 双h a m i l t o n 结构 形式 毗= 一；钍。+ s u “。 ( 2 1 5 ) 下面我们利用迹恒等式建立方程族( 2 1 2 ) 的双h a m i l t o n 结构，玟k j l l i n g c a r t a n 似，b ) = t r ( a b ) 一2 0 1 3 ) u 一2 + 垃o + o 警引警”一。一。一。 抄 抄 第二章四阶矩阵谱问题及其产生的有限维可积系统 直接计算有 一2 一比，( vo a u u = 2 + v 3 4 ， 似黔= ( 2 1 6 ) 注意到迹恒等式【1 4 5 ( 熹，刍，嘉) ( k 罢) = ( 一( 蕞舻) ( ( k 瓦o u i v , o a g 。) ，( v 筹) ) ( 2 1 7 ) 将方程( 2 3 ) 与( 2 1 6 ) 代入( 2 1 7 ) ，可得 ( 熹，熹，嘉) ( 一2 鸟+ ，) = n j 一1 ) ( 2 山，马，c j ) ，j o ( 2 1 8 ) 取j = 0 ，可确定出常数 将其代入( 2 1 8 ) ，有 其中 1 7 = 互 c 熹，嘉，嘉皿t - l j =【瓦，历，面j 2 h j ：= 4 a j 一+ i 2 j + 1 于是将( 2 1 9 ) 代入( 2 1 2 ) ，可知方程族( 2 1 2 ) 具有) , 双h a m i l t o n 结构 陵= k 鼢， 其中k 与j 由( 2 9 ) 确定 2 3 非线性化与有限维h a m i l t o n 系统 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 取谱问题( 2 1 ) 的个互不相同的实特征值a 。，a 2 ，h ，并记相应