（基础数学专业论文）图映射和传递系统的动力性质.pdf

摘要 、 本文研究了望土的然盟的动力学性质，并且对焦遭丕笙的结构进行了 较为细致的刻画在序言中，我们对= 丝麴左丕红和逗迪等的历史背景， 以及这些领域内的研究成果作一番综述 f 在第一章中，主要4 1 绍了动力系统，图映射以及混沌方面的一些基本概 念和已知结果 在第二章中，主要讨论树映射的拓扑熵，我们对树上的一类特殊的传递 映射进行研究： 对给定的树丁和。t 令 f ( t z ) = f c ( t ) ：，传递，且厂1 ( i r ) = r ) ) 我们用两个定理来说明： 川7 ( ”，f ( 丁一2 ) 卜丙斋1 0 9 3 并且证明对所有，f ( t z ) ， ( ，) 无法达到这个下确界 在1 9 9 0 年，叶向东在研究极小系统的分解时引入了分解函数( d f u n t t i o n ) 的概念，此概念是周期轨的周期的延伸 在第三章中，我们讨论度量空间上的传递系统的分解问题，并且把叶向 东的分解函数和关于分解函数的s h a r k o v s k i i 定理从极小系统上推广到了传 递系统上从而细致地刻画了区间映射传递子系统的结构 在最后章中，我们研究图上的l i y o l k e 混沌，并且给出了图映射为 l i 一、，u t k c 、混沌的等价条件： 中国科学技术大学博士学位论文 设，为图g 上的连续映射，则下列条件等价 ( 1 ) f 是l i 一、b r k e 混沌的； ( 2 ) f 有一个l i y o r k e 对； ( 3 ) ( ，) r r ( f ) uf ( ，) ， a b s t r a c t t i l ep le s e n tp a p e rs t u d i e st h ed y n a m i c a lp r o p e r t i e so ft h ec o n t i n u o u sm a p so fth e g l a p b s a n dg j 、e s as u b t l ed e s ( 。1 i p t i o no ft h es t r u c t u r e so ft r a n s i t i x es 3 s t e n l s i l l c h a p t t 、io n e s o i l l eb a s i cn o t i o n sa n dk n o w l lr e s u l t si nd y n a m i c a ls 3 s t e i n g r a p h m a p sa n dc h a o sa i - e i n t r o d u c e d i nc h a p t e r r f f ，0 f f ed i s c u s st o p o l o g i c a le n t r o p yo ft r e em a p s “s t u d 3 ac l a s so t tr a n s i li x p m a p so ng r a p h s f o iag i x p nt i e p 丁a n d ，丁1 e t f ( t ) = ( f c ( t ) ：f i st t a n s i t i v e ，a n d f “( ) = j ” v g 、，川s 】o i l - n f l t , ( f ) f ( 丁“) ) = 雨高忉3 m i d ，( ，) c a l ln o ir e a c ht l u 、i n f i m u m f o ra l lf f ( t ) 1 1 11 9 9 0 j ix i a n g d o n gi n t r o d u c e dt h en o t i o no fd f u n c t i o nf o rm i n i m a ls 37 s t p n l s w l l i thi sa l le x t e n s i o no ft 1 1 cp r i e do fp e r i o d i co r b i tw h e nh es t u d i e dm i n i m a l s 3 s l p i n s i l lc h a p t e rt i n e e ，w t d i s c u s st h ed e c o m p o s i t i o no ft l a n s i t i x 7 es 3 s t e m sc x t ( 、n d 、+ h d t 1 1 1 1 ( t i o ua l l ( 1t h es h a l k o v s k i i st h e o r e ma b o u tt h ed f u n c t i o n sf r o mm i n i m a l r s 一 “、i n stot 1a n s i t i v es y s t e m s a n dg i v eas u b t l ed e s c r i p t i o no ft h es t r u c t u r e so ft r a n s i t i x p s u b s 3 s t e n l so fi n t m 、a l n l a l ) s i nt1 1 ( ，l a s tc h a p te r u p s t u d c h a o so l lg r a p hm a p s w e p r o x p ： i t i sac o n t i n u o u sm a i ) o f ag r a p hg ，t h e nt h ef o l l o 、i n gc o n d i t i o n s a r ee q u i xa l e n t v j 中国科学技术大学博士学位论文 ( 1 ) fi sl i y o l k ec h a o t i c ： ( 2 ) h a sal i y o r k ep a i l ： ( 3 ) 、( ，) r r ( f ) uc ( f ) 致谢 本文是在我的导师叶向东教授的指导下完成的叶教授为本文的完成 花费r 大量的精力叶教授渊博的学识，严谨的治学态度和诲人不倦的精 神给我留下深刻的印象在此，我向叶向东教授表示最诚挚的感谢 回顾在科大多年来的学习和生活，我要感谢其他许许多多的老师和同 学的帮助，比如李思敏老师，黄文和邵松同学，与他们的讨论使我获益非 浅尤其，邵松同学还帮助我在论文的初稿中检查出不少笔误 另外在论文排版过程中，刘聪文等同学和余华敏女士帮助我解决了不 少棘手的问题，在此一并致谢 最后，我要感谢我远在家乡的父母和家人多年来对我的支持和鼓励 序言 十九世纪末n - 十世纪初，p o i n c a r 6 等人在经典力学和微分方程定性理 论的研究中，提出了动力系统的概念对于一般的连续自映射。：r v 一y 这里- _ 是一个拓扑空间，如果。满足 ( 1 ) 对任意z 一有0 ( 0 ，z ) = z ， ( 2 ) 对任意s te 瓞。一，有曲( s + ，z ) = 曲( s ，6 ( t ，z ) ) 则称o 为y 上的一个伟甜i 、，动力系统如果参数s ，t 不是取值于实数集 r 而是取值于整数集z 或者非负整数集z + ，则分别称西为离散动力系统 和离散半动力系统更抽象的动力系统理论研究拓扑群在拓扑空间上作用 的定性性质 对于离散动力系统和离散半动力系统，我们通常从映射的角度去考虑 它们这是因为，如果，：| 、- _ n 为一个连续映射，则可由它自然地定义一 个离散系统设：- 一一为连续映射，r 为拓扑空间，令，o 为恒同映射 ，r 7 ：- 、对于正整数i 归纳地定义，“= ，o ，7 1 如果我们把一中的点看作一个具体的事物的状态( 如位移，速度，商品 的价格等) 而则可对应于在具体的场合中事物的状态发生变化的规律f 如 引力作用，商品经济的市场规律等) 只要我们能够对其它领域内的研究对 象，建立起合适的数学模型，我们就可以利用动力系统中的理论来研究和 刻画现实世界的发展规律 一般地说，动力系统的研究主要包括拓扑动力系统，遍历理论，微分动 力系统以及h a m i l t m 一系统 2 2 】本文所涉及的研究内容属于拓扑动力系统的 中国科学技术大学博士学位论文2 研究范围早在十九世纪末和二十世纪初，为了刻画没有解析解的微分方 程，p o i n t ：a r e 发展了微分方程的定性理论，奠定了拓扑动力系统的基础之 后， 、i m o r s e 和g db i r k h o f f 对此理论作出了重要的贡献g h e d h m d 和 、7 g o t t s c h a l k 1 9 随后的贡献使之成为一个系统的独立的研究对象 hf m s t e n b e r g 和r e l l i s 等人关于d i s t a l 系统的刻画以及一般极小系统的结构 定理则是拓扑动力系统发展的另一个高峰 二十世纪后期，由于人们对非线性现象的关注，以及对确定性理论的怀 疑，一维动力系统和混沌机理的研究得到了高度重视 在十九世纪? ( ) 年代中，许多研究者开始考察一维动力系统，他们中有 对纯理论感兴趣的数学家和物理学家，生物学家等他们都在寻找可以应 用在他们的问题上的模型使这些系统变得热门的原因很复杂动力系统 的理论发展到当时，很多重要的问题已经被解决了，剩下的都是非常困难 的对具有复杂行为的简单系统的研究使得新问题能够更容易地被解决， 并且在同类问题上对更广泛( 高维甚至无限维) 的系统具有启发意义这类 最简单的但又具有“充分复杂”行为的系统为3 维的流( 微分方程) 2 维可 逆映射( 同胚，微分同胚) 和1 维的不可逆映射多种混沌行为的概念开始 形成，并且人们发现某些复杂的区间映射能够显示出很多类型的混沌性 l 一和、( j - 的文章2 8 1 周期3 蕴含混沌”很大程度地推动了这些观点的普 及j i l t t , ，研究这些系统的工具之简单也吸引了众多领域中的数学家和物 理学家 另一方面，对数学模型的进行降维的思想已经发展起来尽管有时整个 模型可能是一个高维，甚至无限维的动力系统，但它的“最重要”的部分的 维数可能要低许多更有甚者，在把一个流转化为相应的不可逆映射时， 可以把维数降得更多，在很多情况下甚至可降至1 这种方法曾经成功地用 于把一个大气模型化为3 维空间的l o r e n z 族的流，然后又化为为一类1 维 中国科学技术大学博士学位论文3 映射此方法的另一个应用是用来通过1 维系统的f e i g e n b a u m 普遍性理论 解释高维系统的双倍周期现象相比高维模型，用计算机考察1 维模型有 两条优越性第一条是快速，第二条是它的图像：如果你想画一个2 维的 图像，你可以用其中一条轴作为空间，另一条则留给参数 一维动力系统有许多研究方向其中之一的研究根植于著名的s h a r k o x s k i i 定理三百年来，经典分析学家在实数域上已经发展了丰富的理论，获得了 无数优美的的结果，以至于后来的数学家已经再难从中获取奇异的珍宝 这种情况一直保持到1 9 6 4 年那一年，乌克兰数学家s h a r k o v s k i i 发现了一 个隐藏在区间上的惊人结果，这就是著名的s h a r k o v s k i i 定理，它揭示出一个 美妙而又出人意料的事实s h a r k o v s k i i 在他的定理中为正整数重新排了一 个序，并且用这个所谓的s h a r k o v s k i i 序很好地刻画了区间上连续映射的周 期集 s h a l k m s k i i 定理的出现，极大地促进了区间上的动力系统的研究这些 研究成果很快就被推广到圆周上与此同时，研究者们开始了图上连续自 映射的研究这样的研究首先是线段和圆周自映射研究的自然延伸另一 方面，它的发展又与曲面上伪a n o s o x r 同胚的研究自然地结合起来由于图 的组合复杂性，图映射研究的结果还没有区间上结果整齐，还有许多有意 义的问题没有得到解决有关一维动力系统的研究成果可参见 1 2 1 障f 4 1 j 1 4 6 i l 讣 _ 二十世纪6 0 年代以前，确定论是科学研究的主导思想人们认为只要 有精确的数学模型和初值，我们便可预知未来，反演过去但是随着许多 现象，特别是l o i i ? i i z 现象的发现，人们才认识到随机和混沌的重要混沌 现象的研究是与一维动力系统的发展密切联系在一起的1 9 7 5 年，l i ( 李天 岩) 和y o l k e 2 8 在区间自映射的研究中首先引入了混沌的精确数学定义 在此文中，他们证明了个区间上的连续映射如果有一个周期为3 的点， 中国科学技术大学博士学位论文 则此映射有一个不可数的混沌集对他们的定义略加修改便可得到度量空 间上映射为l i y o r k e 混沌的定义之后，d e v a n e y 1 6 】又引入了混沌的另一 种定义不久，b a n k s 8 等5 人发现其中的第三条可用前两条推出最近， 黄文和叶向东 2 0 证明了：对于紧致度量空间，d e v a n e y 混沌强于l i y o i k e 混沌与此同时，b l a n c h a r d 1 1 等4 人证明：正熵强于l i y o r k e 混沌由此 可见，l i y o r k e 混沌在混沌现象中有着基本的重要地位 第一章基础知识 本章我们先介绍一些基础知识，其中大多数概念，记号和结论是后面的 章节要直接用到的 1 1 拓扑动力系统 在本文中的拓扑动力系统或者简称动力系统均指一个对( 。、f n 其 中，_ 为一个紧致度量空间，为y 上的连续映射在不至造成混淆的前 提下，有时我们直接把，看成是这个动力系统 设( r ，) 和( 1 ：g ) 为两个动力系统，西：一_ l 为一个连续的满射，并 且满足 西o f = g 。击 即图表 1 二i 毋f西l 上上 】旦_ 】7 交换，则我们称 ( 1 ) ( 一，) 是( 】ig ) 的扩张r e x t e n s i o n ) ；或者 ( 2 ) ( 】i g ) 是( 一，) 的因子伽c t o r ) ；或者 ( ：j ) ( - f ) ( 通过o ) 半共轭( s e m i ，c o n j u g a t e ，于( 】：9 ) 如果进一步，0 为同胚，则称( 一，) 与( 】j g ) 在咖下共轭( c o r t j a g a t e ) 如果、和】为拓扑空间，一个连续映射：、r _ 】7 为单调的( m o n o t ( ，h e ) 是指对每个】0 “( ) 在y 中连通 中国科学技术大学博士学位论文6 设( y ，) 为一个动力系统，且acx ，称集合o r b ，( a ) ( 或者o r b ( 4 ，) ) = u 。川 ) 为集合 在，下的轨道称集合o r b l ( x ) ( 或者o r b ( x ，) ) = or ，b ，( 。 ) 为点，在，下的轨道如果存在正整数n ，使得，“( z ) = z ，且对任意0 i 0 ，b ( m ，) cp e r ( ，) 且存在n 和一个闭子集dcb ( m ，) 使得曲( d ) 为连通的，集合 ，z ( d ) n 广( d ) 和。( ，t ( d ) ) n 砂( 尸( d ) ) ( o i 丽品l 0 9 3 为了证明这个定理，我们需要下面几条引理 引理2 2 2 一令为了1 的传递映射则下列情况之一下成立，且只有一条 隋况成立 ( 1 ) 对任意，t n ，”为传递映射 ( 2 ) 存在k 1 和一个满足l a l ，( y ) k 的，的不动点和丁的非退化的 子树n 丁 使得t = n ，正，zn 乃= 对所有i j 成立并且 ( 7 ：) = f “。对1sisk 成立而且，对任意1s jsk ，| 7 ，是传递 的 下面的推论是显然的 推论2 2 3 令丁为树，为了_ 上的传递映射且e ( 丁) 包含厂的一个不劝点， 则对任意一1 f 5 是传递的 引理2 2 4 令丁为树，为t 的连续映射，使得对任意s n ，f 5 为传递 的假设h 为满足h ne ( r ) = 0 的丁的子树，并且j 为丁的一个连通开 子集，则存在，一n 使得hc ，“( j ) 中国科学技术大学博士学位论文 1 7 引理2 24 的证明和 1 2 】的性质4 4 的证明相似 引理2 2 5 今丁为树，z e ( t ) 且f f ( f ，z ) ，则h ( f ) 1 0 9 3 证明：我们把每条含z 的边视为单位区间 0 ，1 】，x 被看作0 ，并且用通常 的序关系 l o g3 证毕 现在我们已经为证明作好了准备 定理2 2 1 的证明：根据f - 1 ( z ) = z 的假设以及，的传递性，我们有 ( 瓦) = t 川。小。i 巾) ) 这里 正 ；v a o l 7 。1 是丁 z 的连通分支的闭包的集合 此外，对任意0s i s 、t d i t 如) 一1 正是f w l r ( 。) 一不变的，并且，、“州。f t , 是传 递的注意到r 的端点一在f l d t ( 。下是不动点，根据引理22 ，5 我们有 v a l r ( ，。) 似，) = h ( f v a l r ( 。) 2h ( f r 。i t ) l 0 9 3 所以， ( ，) 河1 丽l 0 9 3 证毕 2 3 下界是下确界 在本节中，我们要证明在定理2 2 1 中获得的下界即为下确界，即如下 定理成立： 中国科学技术大学博士学位论文 1 9 定理2 3 1 令丁为树，z t 则对任意e 0 ，存在，f ( t ，z ) 使得 ( ，) 0 ) 的同胚映射9 ，在此同 胚下c 与区间。同胚d r 被称为丁的一个图册如果d 7 一是一个把了 的 每条边映为从r 到。= 0 ，f 。 ( f 。 0 ) 的某个同胚f 。的映射 令丁为树且s 为丁的一个子集s 被称为是可测的，是指对每条边r f ，( snf ) 作为l 的子集是l e b e s g u e 可测的 对每条边r 我们能够定义一个测度m 。，使得对每个e 的可测子集 有 。( ) ：( d 丁( r ) ( ) ) = ，f f e ( ，( 4 ) ) ，这里，“l 是t 上的l e b e s g u e 测度对每 个丁的可测子集s ，令 m d ，( s ) = m e ( s n e ) e e e d g e ( t ) 明显，7 l i d , l , 是t 上的一个完全由d ，决定的测度易见，测度7 7 l d ，是与t 中国科学技术大学博士学位论文 2 0 的拓扑结构相容的，即m - d ，限制在丁的b o r e l 集上是丁的一个b o r e l 测度 对丁的任意两个点n 和b ，令 d d ，( ，b ) = d ，( n ，b j ) 明显，d 。，是丁上的一个完全由d r 决定的度量，并且和t 的拓扑结构是 相容的 定义2 3 3 令丁和丁7 为两个树，为从t 到t 的一个连续映射，并且，研 和d ，分别为丁和丁7 上的图册我们称厂为一个p l 一映射f 或者，分段线性 映射崩n 果对每个e e d g e ( 丁) ，j = ，( e ) 是丁7 的一个区间，并且仆为一个从 r 到j 的非退化的线性函数，即存在c 0 使得d d ，( ，( n ) ，( 6 ) ) = cd d ，( “- 6 ) 我们称c 为，在r 上的比例 下面是p l 一映射的一条重要的性质： 引理2 3 4 令丁和丁7 为两个树，且，为一个从t 到t 的一个j d l 一映射 则存在l 0 使得对t 的每个子树s ，有m d ，( ，( s ) ) l 7 d l d ，( s ) 证明：令s 为丁的一个子树根据m 所的定义，对丁的任意一条边- m d ，( s ) = m d ，( s n e ) e e e d g e ( 1 ) 则我们有 i i i d t , ( ，( 5 ) ) = ”脚( ，( n ( s n e ) ) ) e e e d g e ( 丁) = r o d ，( n f ( s ne ) ) e e e d g e ( 丁) 2 c em d ，( s ne ) ， 中国科学技术大学博士学位论文2 1 这里，c 。为，在e 上的比例 易见存在e 。e d g e ( 丁) 使得 m 。r ( s n e o ) 丽如。r ( s ) 于是， h l d ( ，( s ) ) k c 。m d ，( s n e o ) 2 m i n 百 c j 霹ee 矿e d g e ( t ) m 。，( s ) = t r d ，( s ) ， 如果令 工= m i n l c 8 甄i e 两e 可d g 厂e ( t 一) 证毕 我们称三为，的一个三常数，并且说l ( ，) = 工 注2 3 5 设d 丁为丁的一个图册，且c ，c 0 我们用c d t 表示满足( c d r ) ( e ) = r d 7 ( r ) f e d g ：1 ( 丁) 的图册 f i 1 = c h i dr d t dr = c d d r 且 若f 内一个扶t ( 和d 7 ，衣关融t r 礴。d r ，有关) 的p l 一映射。她f 也是 一个从丁伽c d ，f 有关，到t 伽c i d r ，有关j 的p l ，映射 并且有 l c d 。彻，( ，) = l d t , d t ( ，) n ， l ：d ，。，d ，( ，) = l ，d ，d ，( ，) ， 这里l d 。d ，( n 岛姊( ，) 分别表示l i p s c h i t z 常数和工一常数f 和d r 与d r 有关j ， 此外，若c 。= c ，则有l c d t , c r d ，( ，) = l d 加，( n l ：。，d ，( ，) = ，d ，( ，) 中国科学技术大学博士学位论文 2 2 我们已经有了能够显示图册，测度，度量和p l 映射之间关系的若干性 质了 图1 定理2 3 1 的证明：令h = 、a l 丁( z ) 则丁 z 有恰好h 个连通分支，它们的 闭包被记为正i = 0 h 一1 我们在正的包含z 的那条边上挑选一个内点 然后，我们把。添加为t 和正的新顶点则五可以被表示为p 2 u f ，其 中r ：k 玑 是正的一条边 对任意给定的足够小的e 0 ，我们试图构造 中国科学技术大学博士学位论文 2 3 一个拓扑熵小于丽1 l 0 9 3 + e 的连续映射，f ( t ，z ) 在此之前，我们先选定一个同胚妒只：只 0 ，1 】使得对任意0 is h 一1 有p 一( r ) = 0 ，然后我们构造从t j 到t j + 1 【。d ) 的映射办( 见图1 ) ，并满足下 列性质： ( a ) 对0 ish 一2 令 把只映射到只+ - 上，且满足f i = 妒只- 1 + ，。只，使得 ( 1 ) | r ：丁 ，一取。为一个满的p l 一映射，及 ( 2 ) 存在一个常数l 。曼3 ( + ) ，使得对于z 正0 i h 一2 有 d o ，+ 、( ( z ) ， ( ) ) s zd d r ：( j - ) 根据引理2 3 4 ，存在耳 0 使得1 7 2 d 。( 工( s ) ) l ：m d l ( s ) 对f 的 任意子树s 成立 ( b ) 为方便起见，我们直接把只0 i h - 1 ，视为( 0 ，1 1 即对任意n b 0 1 1 我 们把点( 功j ( 只) ) 一1 ( 。) 简单地记为n ，并且把 ( d ，：( 只) ) _ 1 ( n ) ，( d t ( 只) ) “( 6 ) c p 简单地记为k 翻c o ，1 注意，这个约定也将被使到本章的余下部分 中 令 ，把死一t 映射到上，使得 ( 1 ) 一( f ，j ) = 1 ( u ；) = l ， l ( u ) = ? l ，j 一1 ， ，j 一1 ( “j ) = f jl + 寺，j21 ，且 i ( u o ) = 均+ 寺，0 这里 2 j = 由j 一1 u j = q + ；f l _ ，w j = q + ；j 再1 ，j 0 ， “f 1 = “。一d 且“；= “o + d ( 6 将在稍后才被确定) ( 2 ) 此外， 一分别在区间 hz 枷i u ；u ，。r o 。一。 【q ，u ，】( u ，训】和h ，一t j 2l 上是线性的( 见图 2 ) 中国科学技术大学博士学位论文 ；f f ； 墨 j ! 7 l l o 图2 对每个1 ，令“j 0 使得m ( ，( s ) ) l z ，n ( s ) 对弼的任意子树s 成立令 l 7 = n 葛。现在，我们需要选择 0 和n n 使得 ( 1 ) d ，( 3 + 6 f ) l ，且 ( 3 ) 3 n l k 1 易见我们只要令 中国科学技术大学博士学位论文 2 6 i 菩，且( ) n 高斋簪，且 ( i i ) d 0 ，l 1 ，我们有 l i r as u p m d n 、( f “( s ) ) = + o o n + o c 矛盾! 于是断言成立 由( 1 ) 和( i i ) 我们得到f 为传递的，由此易见，也是传递的 证毕 注：目前为止，对叶向东在 5 1 】中的猜想的研究只得到了一些零星的结果 其中除了本章的主要结果外，我们还证明了对于p ( 2 ) 的一类映射叶的猜想 中国科学技术大学博士学位论文 成立，只是目前这些结果尚系统化所以在这方面，我们还有不少工作要 做 第三章传递系统的伪分解函数 3 1s h a r k o v s k i i 定理及其推广 s h a r k o v s k i i 定理： 4 0 按照如下方式给正整数排一个序： 3 睁5p 了2 3 2 5 2 7 2 2 3 p2 2 5 睁2 2 7 2 3 2 2p2 睁1 如果一个连续函数f ：r _ r 有一个k 周期轨，则，具有所有在上面的序 中排在k 之后的数为周期的周期轨，其中r 为实数轴 为方便计我们把上面的序称为s h a r k o v s k i i 序s h a r k m t s k i i 定理事实上对 下面的问题给出了一个完美的答案： 若，有一个周期轨，是否会有其它周期的周期轨? s l ar k m 。s k i i 定理以其简介而优美的形式和深刻的内涵，得到了众多研究 者的关注其原始的证明和另一个更为简洁的证明请分别参考 4 0 ，4 3 _ 很多 作者以不同的方式推广了s h a l k m s k i i 定理在 2 3 中，作者把s h a r k o x ，s k i i 定 理推广到更高维数的欧氏空间中的特殊类型的函数上，在【3 4 中，m a t s u o k a 给出了一个模仿s h a l k o v s k i i 序的2 维的序尽管如此，s h a r k m ，s k i i 定理基本 上只是一种1 维的现象，这是因为s h a r k m r s k i i 定理对所有连通的序拓扑空 间成立 3 9 而对于象圆盘这样的高维空间都不成立另外，还存在一个更 精细的关于周期点的轨道的s h a r k o v s k i i 定理，以及空间】= 。c ：3 1 上的类似于s h a r k o 、7 s k i i 的定理 6 ，1 0 ，3 ，7 以上所有的推广都围绕着空间和欧氏空间上的特殊类型的函数在【4 9 中，作者提出了一个被忽略了的重要的问题：在更为复杂的轨道之间是否 2 8 中国科学技术大学博士学位论文 存在象这样的依赖关系? 此问题的困难在于：我们并不知道如何用某种拓 扑不变量去描述这些复杂的轨道对于周期轨来说，周期就是这样的一个 不变量在 4 9 中，作者成功地找到了极小集的“分解函数( d - f u n c t i o n ) “这 是一个有用的不变量，可以被看作周期轨的周期的推广通过对每个极小 集关联一个这种不变量，他成功地把关于周期轨道的s h a r k o 、r s k i i 定理推广 到极小集上 现在我们还能做得更多吗? 由于传递系统和极小系统的相似性，使得 我们自然而然地对传递系统进行考虑在本文中，通过对紧致度量空间上 的传递系统( r ，) 在，“，n n 的作用下的“伪分解”，我们将引入一个新的 拓扑不变量“传递系统的p d 函数( 伪分解函数) ”然后，讨论关于此不变量 的重要性质最后，把区间上的连续自映射的s h a r k o v s k i i 定理从极小系统 推广到传递子系统上本章的内容主要取自 2 6 在本节的余下部分，我们阐述本章的主要结论 令c 为满足 ( 1 ) v n s ( 蚓 ( 2 ) v o n ，若f l 贝0s ( 0 = ( 1 s ( k ) ) ， 的n 上的函数s 的集合，并且令e = s c ：存在r t n ，使得s ( k ) = ( m ) v n 我们把e 视作和n 等同，即若n n 则函数s ( 定义为s ( _ 1 1 ) = ( n ”v _ n ) 被视作和，z 等同记y = c u n 、此处n ，= ：n n ) 为n 的一个复本 对于一个紧致度量空间一，令c o ( | 、r ，x ) 为x 上所有连续自映射构成的 集合若f c o ( x 一) 并且( ，) 是一个传递子系统，则( ，) 的p d 函数， 记为 ，为 ，n 若。 为，的一个周期为n 的周期轨； 中国科学技术大学博士学位论文3 0 n 7 n ，若4 不是，的一个周期轨，但是对于所有的女n ，a 所包含的 两两交为无处稠的，“一传递子系统的数目为( n ，女) ； 个n 上的函数，使得对任意n n ，4 ( n ) 为a 所包含的两两交为无处 稠的t ，“的传递子系统的数目，并且 不是一个有界的函数 定理3 1 1 ， y ，等价地，令s = f a 岳n u n ，则 ，s ( m r 圳小蕴含s ( 0 = ( f s ( k ) ) 记p d f ( f ) 为，的所有传递子系统的p d 函数所构成的集合并且令 ，= 01 _ 则我们有以下的结论 定理3 1 2 ( 1 ) 若，c o ( ，n 则对某个n i v , u 。c 、2 。 有p d f ( f ) = y ( ) ( 2 ) 若，? i v , u 。c ，2 。) 则存在f c o ( ，) 使得p d f ( f ) = y ( n ) 此处 ) j = f s f ：9 ( 2 ) = ( 2 ，24 ) ，v l n u “2 。( 2 扎一1 ) ) 7 ：咒n 0si 。c 】爱= s y ：s ( 2 p ) = 2 ，v l n ，和所有奇数的p n ) 】= s y 】墨：s ( 2 ) = 22 ，v l n ) ， y ( 2 。) = 2 “：，i = 0 ，1 2 ) ，】( 。) = 】娄uy ( 2 “) ， y ( ，z ) = n ) u k = n p k ) u ( u 茎l u 】2u 】：，若n = 2 l p ( p23 奇数) 且 y ( n ) = 27 2 。1 ，2 ，1 若n = 2 i 注3 1 3 定理31 2 能够以类似s h a r k o v s k i i 定理的方式表达如下给予) 一 个偏序： 3b5 p7 p 】jp2 3 2 5 2 - 7 p p 】jp2 2 3 p2 2 5 p2 2 7p - 】j 争 p 】兰p 】姜p 睁2 3 2 2 睁2 p 1 中国科学技术大学博士学位论文 3 l 如果一个连续函数，：，+ ，有一个传递子系统a ，则，有所有具有在 以上偏序中跟随在 之后的p d 函数的传递子系统而且，对每个i 0 u n p d 函数为 l ：借目对地， 珐，的传递子系统4 的存在蕴含周期为 2 z q 的周期轨的存在，这里q23 为某个奇数件目对地，2 p ，其中f 0 u n p 3 为奇数， 3 2 定理3 1 1 的证明 r 的一个伪分解是指x 的一族非空的闭的两两交为无处稠的子集， 并且它们填满了一，即它们的并为一x 的一个子集 ( 严格地说应为( ，) 为叙述方便用集合- 代替) 被称为是一在，下的一个传递子系统，或者一 个，一传递子系统，如果- 在，下是非空闭的不变的( f ( a ) ) ，并且( ，) 为一个传递系统我们称( 一，) 的一族传递子系统为( y ，) 的一个伪分解 如果它是、- 的伪分解 注3 2 1 在俐中，对固定的扎n 和传递系统( x ，) 作者考虑了( 、f o ) 的 伪分解，但他没有把伪分解作为n 到n 的函数做整体研究 引理3 2 2 令y 为一个紧致度量空间，c o ( x ，一) ( - ，) 和( b ，) 为两个 传递子系统则a b 蕴含a nb 在x 中无处稠 证明：( 反证) 假设 n b 在x 中不是无处稠的，则存在x 的一个非空开 子集l c nb 由于丁m 脚，( - ) 和t r a n s l ( b ) 分别为a 和b 的稠的g 一 集，了，( 8 ，( - ) nu 和t r a n s l ( b ) n u 为u 的稠的g 5 一集于是，t r o n s f ( ) n t m m s i ( b ) n u 为u 的一个稠的g a 一集，所以t r a n s i ( a ) n 丁r n 8 ，( b ) 0 即存 在，o 满足z o t r a n s 几d ) n t r a n s z ( b ) ，于是a = w ( x o ，) = b 证毕。 中国科学技术大学博士学位论文 3 2 定理3 2 3 令一为一个紧致度量空间，且，g o ( ，柳若_ 为( 工，) 的一 个传递子系统，则 f j 对任意n ，存在一个整除k 的n n 和( a ，) 的一个伪分解 o - ，l 并且y ( a 。) = a 1 ，f ( a 1 ) - 4 2 ，f ( a 。一l ) = a o 俐每个这样的伪分解是唯一的 证明： ( 1 ) 选取x o t r a n s f ( a )令a ，= u ( 广( z o ) ，。) ，0 is 一1于 是( 。f k ) 为传递的若a i a j ，则由引理3 2 2 ，a 。n 4 j 是无处稠的因为 = ，( 4 0 ) = 。( ，( 伯) ，) = c o ( x o f ) = a o ，存在0 ns ，使得 。= o 并且对每个0 z n 4 。屯这个n 必定整除k ，因为不然的话我们会 有4 k = 4 ，对某个满足0 i n 的i ，于是a k a o 矛盾! 所以n 并且 u ：；一 。= u ： 。= ( 2 ) 假设 ， ：一- 是另一个满足条件的伪分解由于u g 4 ：= 存在0 i o ，一使得 。n 山非无处稠因为- j 和4 。都是f t 一传递的，根 据引理322 山= 。因此，( 氐玛，i ：一。 c ( - 4 。一。4 。- t 反2 ：t _ g i e 确证毕， 注3 2 4 4 所包含的不同的，传递子系统的数目等于定理323 所获得的 整数即那个伪分解的成员的个数 于是，p d 函数的定义可以被叙述成如下形式 定义3 2 5 传递系统 的p d 函数，记为，a ，为 ，n ，若 为，的一个周期为n 的周期轨； ，n 若 不是，的一个周期轨，但是对于所有的k n ( 、，n ) 的伪 分解的成员的个数为( n ，k ) j 中国科学技术大学博士学位论文 一个n 上的函数，使得对任意n n ，厶( n ) 为( a ，n ) 的伪分解的成员的 个数，并且几不是一个有界的函数 注3 2 6 如果，c o ( x 一) 且4 为( x ，) 的一个传递子系统，我们记厶= f a 支寸任意z t r a n s f ( 4 ) ， 下面是【2 的引理3 5 ，对中的元素作了一个清晰直观的刻画 定理3 2 7 一个函数s ：n _ n 属于c 当且仅当存在一个从所有的素数到集 合nu 0 ，。c ) 的函数t 、使得对每个k n 若p n p ；2 嫒n 为女的素因子分 解，则 s ( 女) = p i 砂 2 = l 下面是2 1 的引理3 7 引理3 2 8 令1 n n 及q 由那些满足下列条件的i 0 ，1 ， n 一1 ) 所构成的集合存在一个非负整数r 使得i r 兰i ( m o dn ) 则q = j p ： j 三0 1 ( ，! p ) 一1 ) ，这里p = ( 1 ，n ) 证明：若h 三i ( m o dn ) 则对于某个整数q 有