（基础数学专业论文）穿衣方法与离散可积系统.pdf

郑州大学博十学位论文 摘要 穿衣方法最早是由z a k h r o v 和s h a b a t 在上个世纪7 0 年代创立的，它从一 个积分算子f 和两个v o l t c a 算子k + 出发，利用积分算子的三角分解关系得 到g e l f a n d 工e v i t a n 方程然后利用穿衣关系将已知常系数可交换微分算子( 初 始算子) m h f 1 ，2 ，变为可交换的穿农算子m j ，j = 1 ，2 ，并由此得到非线性 演化方程为了得到此方程的解，就需要从积分算子f 与已知算子m ，j = 1 ，2 的可交换性求得积分核f ，最后由g e l f a n d l e v i t 矗n 方程构造出微分核的表 达式，从而可得方程的解 推广的穿衣方法是由常系数可交换的算子m f ，j = 1 ，2 ，推广为变系数的算 子，并且满足推广的可交换关系利用定理2 3 ，以及与上面的方法相平行的方 法，就可以得到一系列的变系数演化方程，以及它们的解利用这种推广的穿 衣方法，可以得到一大类的演化方程，而不再是孤单的一个方程 接下来，作者利用推广的穿衣方法首先考虑了a k n s 谱问题，利用两组 变系数初始算子对，分别得到变系数耦合m k d v 方程和变系数耦合n l s 方程， 同时，还给出它们的显式解并利用分解的思想，将( 2 + 1 ) 维变系数k p 方程 分解为已得的( 1 十1 ) 一维变系数耦合m k d v 方程和变系数祸合n l s 方程，然后利 用( 1 + 1 ) 一维变系数耦合m k d v 方程和变系数耦合n l s 方程的相容解，得到变系 数k p 方程的显式解作者考虑推广穿衣方法的另一个应用是得到交系数d s 方程，同时，得到它们的显式解 穿衣方法的理论发展主要有两种：一种是基于硒e m a i l n h i l b e r t 问题的穿 衣方法，即一定程度上的经典d a r b o l l ) 【变换方法；另一种是基于局部孕问题的石 穿衣方法本文在第3 部分首先介绍了压穿衣方法，包括方程的构造和解的构 造，然后介绍了正交曲纹坐标系，g a u s s l a m 方程和g a u s s c o d a z z i 方程由 于已经知道g a u s s c o d a z z i 方程的解，而可积系统与可积几何之间的关系也已 经被建立起来作者利用g a u s s - l a m 方程和适当的约束条件将上述二者联系 起来，利用已知的g a u s s c o d a z z i 方程的解来求解具体的可积方程作为例子， 本文考虑了s i n e - g o r d o n 方程和t z i t z e i c a 方程，并给出它们的新解 在第4 部分，考虑了一个离散谱问题将它的伴随谱问题同时展开为 的 正幂和负幂多项式，由此得到了一族离散方程，同时还利用迹恒等式给出了 该族离散方程的h a m i l t o n 结构接下来，本文又考虑了两个( 1 + 1 ) 一维变形1 b d a 链而这两个( 1 + 1 ) 一维离散方程恰为由伴随谱问题分别按矗的正幂和负幂展开 所得到的第一个非平凡方程最后，利用l a ( 矩阵的有限阶展开方法给出这两 第1 页 郑州大学博士学位论文 个变形t o d a 链的拟周期解 在本文的第5 部分作者首先考虑了一个离散t o d a 族，通过建立位势与特征 函数之间的b a 曙m a i l i l 约束给出了新的辛映射和有限维h a i i l i l t o n 系统，然后用 母函数方法计算了守恒积分的对合性，并且利用椭圆坐标证明了守恒积分的独 立性，从而证明了辛映射和有限维h a i i l i l 鼢1 系统在l i o u v m e 意义下的完全可积 性接着，作者又考虑了一个( 2 + 1 ) 维t 0 d a 链利用分解的方法将这个( 2 + 1 ) 维 链分解为两个可解的( 1 + 1 ) 维相关t o d a 链借助特征函数所满足的l a x 方程解 矩阵，通过对l a x 矩阵的有限阶展开，建立了椭圆坐标和( 1 + 1 ) 维相关t o d a 链 的解之间的直接的关系引入a b e l j a c o b i 坐标，进行了连续流和离散流的拉 直最后利用鼬e m a n n - j a c o b i 反演方法得到( 1 + 1 ) 维相关t o d a 链和( 2 + 1 ) 维t 0 d a 链的拟周期解 在本文的这六章，作者将非线性化方法应用到离散a b l o w i t z l a d i k 族导 出了一个新的辛映射和一类新的有限维h a m i l t o n 系统，并且进一步证明了它们 在l i o u v i e 意义下是完全可积的作为应用，给出一种算法来求解离散a b l o w i t z l a d i k 族的解。 关键词：穿衣方法；离散可积系统；拟周期解 第1 i 页 郑州大学博士学位论文 a b s t r a c t t h e 出e s s i n gm e t h o dw a sd e v e l 叩e d b yz a k h a m va i l ds h a b a ti n1 9 7 0 s 皿e s t a r t i n gp o i n to ft 圭l ep p o c e d _ i l r ei i l v o l v e st h ef a c t o r i z a t i o no fa i li n t e 铲a lo p e r a t o rf o nt h el i n ea s 山ep r o d u c to ft w o 、，o l t e mt y p ei n t e 掣a lo p e m t o r sk ，f 而mw h i c h t h eg e l f a n d l e v i t 觚e q u a t i o ni so b t a i n e d 1 1 1 e s ev o l t e r r a 叩e r a t o r sa r ct h e nu s e d t oc o n s 讥l c td r e s s e dd i f f c r e n t i a l0 p e r a t o r sm 如= 1 ，2 ) s t a n i n gw i t l lap a 打o fi n i t i a l o p e r a t o r sm jw h i c h a r ec o m m u t i n g ，c o n s p n t c o e f f i c i e n td i f f - e r e n t i a lo p e r a t o r s t h i s d r e s s i n gm e t t l o da l l o w so n et oc o n s t r l 】c tp a i r so fc o m m u t i n gd i f r e r e n t i a lo p e r a t o r s m 如= 1 ，2 ) w i t h 【m 1 ，m 2 】= o ，w h i c hg i v e s t h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s i n o r d e rt og i v et h es d l l t i o no ft h eo b t a i n e de q u a t i o n s ，o n en e e dt oe x p l i c i t l yc o n s 廿u c t t h ek e m e l ，o fi n t e g r a lo p e r a t o rff i d mm ec o m m u t a t i v er e l a t i o nb e t w e e ni n t e g r a l 叩e r a t o rf a n di t l i t i a ld i 髓r e n t i a lo p e r a t o r sm j ，l ek e m e l 足o fv o l t e r r ao p e r a t o r si s o b t a i n e d 行o mt h eg e l f m d l e v i t a ne q u a t i o nw h i c hi st h ee q u a t i o na b o u tt h efa n d k ，山e nt h es o l u d o no fm en o n l i n e a r e v 0 1 u t i o ne q u a t i o nc a nb eo b t a i n e d n eg e n e 脚i z e dd r e s s i n gm e 山o di st t l a tm ec o n s t a l l t - c o e 伍c i e n ti n m a ld i 仟e r e n - t i a l0 p e r a t o r sa r eg e n e r a l i z e dt ob ev a r i a b l e c o e 伍c i e n td i f r e r e l l t i a l 叩e r a t o r s ，w h i c h s a t i s f ym eg e n e r a l i z e dc o m m u t i n gr e l a t i o n b yu s i n gm et h e o r e m2 3 a n dt h e a b o v es i r n i l a rm e d l o d o n ec a j lo b t a i nas e to fv a r i a b l e c o e f f i c i e n tn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa n dt h e i rs o l u t i o n s 1 h i sg e n e r a l i z e dv e r s i o no fd r e s s i n gm e t h o d a l l o w so n et oc o n s 廿i l c tas e to fe q u a t i o n si n s t e a do fo n l yo n ee q u a d o n i nt h ef o l l o w i n g ，t w oc o n c r e t ep r0 _ b l e m sa r ec o n s i d e r e db yu s i n gm eg e n e r a l i z e dv e r s i o no fd r e s s i n gm e t h o d t h ea k n ss p c c n p m b l e mi sc o s i d e r e d ，6 r s t l y 1 os e to fv a f i a b l e c o e 伍c i e n ti n j t i a ld i 疵r e n t i a lo p e r a t o r sa r eu s e dt oc o n s t m c t t w ov a r i a b l e c o e f f i c i e n te v 0 1 u t i o ne q u a t i o n s ，n a m e l yv a r i a b l e c o e 币c i e n tc o u p l e d m k d ve q u a t i o a n dv a r i a b l e c o e m c i e mc o u p l e dn l s e q u a t i o n t h e i rs o l u t i o n sa r e a l s oo b t a i n e d a ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lv a r i a b l e c o e 街c i e n tk pe q u a d o na r ed i s c o m p o s c d i n t o t l l e t w o ( 1 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lv 撕a b l e c o e m c i e n t c o u p l e de q u a t i o n s ，i f t h e t w o ( 1 + 1 ) 一d i m e n s i o n a le q u a 吐o n sh a v e 咖ec o m p a t i b l es o l u t i o n s ，t h e nm es 0 1 u d o n o ft h ev a r i a b l e c o e 币c i e tk pe q u a 曲nc a nb ec o n s 呻c t e db yu s i n gt h ec o m p a 曲l e s o l u t i o no ft h et w o ( 1 + 1 ) 一d i m e n s i o n a le q u a t i o n s t h es e c o n dc o n c r e t ep r o b l e mi s d se q u a t i o n ，t h ec x p l i c i ts o l u t i o no fw h i c hi so b t a i n e d t h e i l e x t i m p o f t a n ts t e p s i n 也e d e v e l o p m e n t o f 也ed r e s s i n g m e m o da r e m a i n l y 第1 i i 页 郑州大学博士学位论文 t w om e t t l o d ：o n em e m o di n v o l v e sm er i e m a n n h i l b e r tc o n j u g a t i o np m b l e m ，m i s d r e s s i n gm e 山o da r et ob em o u g h ta sm ec l a s s i c a ld a r b o u xm m s f b m a t i o nt oac e r - t a i ne x t e n t ；t h eo t l l e rm e t t l o di sa ( d - b 砌一d r e s s i n gm e t l l o d ，w h i c hi sb a s e do nt h e 1 0 c a ld - p r o b l e m i nt h e 岫dc h a p t e r m ea u m o ri 蛳o d u c e st 1 1 ea - p r o b l c ma 1 1 d0 一 ( 1 r e s s i n g 埘e 血o d ，w h i c hc o n t a i n t t l ec o n s m l c t i o no f m ee q u a t i o n sa i l dm e i rs o l u t i o n t h e ni n t r o d u c e sm em r e e o r c t l o g o n a lc u “i l i n e a rc o o r d i n a t es y s t e m + g a u s s - l a i n 6 e q u a t i o na n dg a u s s c o d a z z ie q u a t i o n s b e c a u s et t l es o l u t i o n so fg a u s s c o d a z z i e q u a t i o nh a v eb e e ng i v e nb yv e z a k h a r ov a i l dt h er e l a t i o nb e t 、v e e nt l l ei n t e g r a b l e e q u a t i o n sa n di n t e g r a b l eg e o m e t r ) rc a nb ee s t 曲l i s h e db ys y m 一1 硷lf 0 珊u l a b a s e d o nt h ea b o v eo b s e r v a t i o n t h ea u t t l o re s t a b l i s h e st 1 1 ec o i l i l e c t i o nb e t w e e t h et w o p r o b l e m sb yu s i n g 也eg a u s s - l a m e q u a t i o na n ds o m ec c n a i nc o n s 仃a i n tc o n d i t i o n s ， g i v e s 山es o l u t i o no fc o n c r e t ei n t e g r a b l ee q u a t i o nb yu s i n gt l l es o l u t i o no fg 叭s s c o d a z z ie q u a t i o n a sa p p l i c a t i o ，t h ea u t l l o rc o n s i d e r st w oi n t e g m b l e e q u a t i o n s _ 一 s i n e g o r d o ne q u a t i o na i l dt z i t z e i c ae q u a t i o n ，a l l dg i v e st t l e i rn e w e x p l i c i ts 0 1 u t i o n s c h a p t e r4i sc o n c e m e dw i mad i s c r e t es p e c t r a lp r o b l e lb ye x p a n d i n gt h e a d j o i n e ds p e c 仃a lp r o b l e ma sb o t l lp o s i t i v eo r d e ra n dn e g a t i v eo r d e rp o l y n o i i l i a l si n ，1 ea u t h o fo b t a i n sah i e r a r c h yo fd i s c r c t ee q u a t i o n s t h eh a m i l t o ns t r u c t u r e so f t h eh i e r a r c h ya r ee s t a b l i s h e db yu s i n gt h et r a c ei d e n t i t y t h e nt h ea u t h o rc o n s i d e r s t w o ( 1 + 1 ) 一d i m e n s i o n a l m o d i 6 e d t 0 d a l a t d c e s w l l i c ha r e t h e 矗r s t n o n t 工i v i a ld i s c r c t e e q u a t i o n s o f p o s i t i v e o r d e ra i l d n e g a t i v e o r d e r h i e r a r c h y r e s p e c t i v e l y t h e n w i 山t l l e h e l po f 疗n i t e - e x p a n s i o no fl a xm a m x ，t t l ea u t h o rg i v e st t l eq u a s i - p e r i o d i cs o l u t i o n s 0 ft h et w om o d 讯e dt o d al a t t i c e s i nt t l ef i f t hc h a p t e r ah i e r a r c h yo ft o d a1 a t t i c ei sc o n s i d e f e d 丘r s t l vw ei n 一 o d u c em e b a 昭m a n nc o n s t r a i n tb e t w e e nt h ep o t e n t i a l sa 1 1 de i g e n f u n c t i o n s ，f r o m w h i c han e ws y m p l e c t i cm a p 姐dad a s so fn e w 矗n i t e d i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a n s y s t e ma r eo b t a i n e d 1 1 l eg e n e r a t i n gf i l n c t i o n 印p r o a c hi su s e dt oc a l c u l a t em ei n v o l u t i v i t yo fi n t e g a l s ，a n dt h ee l l i p t i cc o o r d i n a t e sa r ei n t m d u c e dt op r o v et h ef u n c t i o n a l l yi n d 印e n d e n to f t h ec o n s e r v e di n t e g r “s ，b yw h i c ht h es y i n p l e c t i cm a pa n d 山e s en n i t e d i m e n s i o n a lh a i i l i l t o i l i a ns y s t e m sa r ef 叭b e rp m v e dt ob ec o m p l e t e l y i n t e g r a b l ei nt h el i o u v i l l es e n s e t h e na ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a lr i b d al a t t i c ei sc o n s i d e r e d t h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lt b d al a t t i c ci sd e c o m p o s e di n t os o l v a b l eo r d i n a r y d i 骶r e n t i a le q u a t i o n sw i mt h e 啦o f 血ek n o w nl + 1 - d i m e n s i o n a ll a t t i c e s w i t h t h ea i do fs o l u t i o nm a 埘xo fl a 】【e q u a d o s a t i s f i e db yt h ee i g e n f u n c d o n s ，t h ce l 一 第页 郑州大学博士学位论文 l i p t i cv a d a b l e sa r ei n t m d u c es u i t a b ly w h i c hg i v e sad i r e c tr e l a d o nb e t w e e nt h e s o l i t o ne q u a t i o na n dt h er e s u l t i n gc o m p a t i b l eo r d i n a r yd i f r e r e n t i a le q u a t i o n t h e s t r a i 曲t e n i n go u to fv a r i o u sn o w s ，i n c l u d i n gm ec 咖t i n u o u sn o wa n dd i s c r e t en o w i se x a c n yg i v e nt h r o u 曲t h ei n 仃o d u c e da b e l 一j a c o b ic o o r d i n a t e s t h er i e m a n n j a c o b ii n v c r s i o ni sd i s c u s s e dt oy i e l dm ee x p l i c i tm e t af u n c t i o ns o l u t i o n sf o rt h e 2 + 1d i m e n s i o n a lt b d al a t t i c e i n6 t hc h a p t e r ，t h ea u t h o re x t e n d st h en o n l i n e 撕z a t i o n 印p r o a c ht om ed i s c r e t ea b l o w i t z l a d i kh i e r a r c h y ar i e ws y 瑚p l e c t i cm a pa i l dac l a s so fn e w6 n i t e - d i m e n s i o n a lh a n l i l t o n i a ns y t c m sa r ed e r i v e d ，w h i c ha r ef u r t h e rp r o v e dt ob ec o m p l e t e l yi n t e g r a b l ei nm el i o u v i l l es e n s e a sa i la p p l i c a t i o n ，a na l g 州t h mt os 0 1 v e m ed i s c r e t ea b 】o w i t z l a d i kh i e r a r c h ya r eg i v e n k e yw o r d s ：d r e s s 五n gm e t h o d ；d i s c r e t ei n t e g r a b l es y s t 咖s ；q u a s i - p e r i o d i c s o l u t i o n s 第v 页 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写完成的，学位论文没 有剽窃、抄袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿 意承担由此产生的一切法律责任和法律后果，特此声明 学位论文作者( 签名) ： 辱侑遍 2 0 0 6 年5 月1 5 日 郊卅l 大学博士学位论文 第一章引言 1 1 孤立子系统 孤立子、混沌和分形一起构成现代物理学和数学中最重要的非线性现象 作为一种稳定的非线性现象，孤立子【1 】_ 4 从一开始就引起了人们广泛的关 注这种具有粒子和波的许多性能的孤立子 4 】，在自然界中有一定的普遍性， 至今从数值计算、理论分析和物理实验等方面都已证实，许多学科领域，如流 体力学，等离子体物理，非线性光学，凝聚态物理，超导物理，经典场论和量 子场论等存在着孤立子以及与孤立子理论密切相关的重要问题【习，其中比较 典型的孤立予系统有k o r t e w e g d ev r i e s ( 简称k d v ) 方程 2 】 u t 七6 m u x + u x x x = o 非线性s c h r 6 d i n g e r ( 简称n l s ) 方程 和s i n e g o r d o n ( 简称s g ) 方程( 它有两种形式：) 在普通时空坐标下， “一j s i n h = 0 在光椎坐标x = + f ) 2 ，r = 0 一f ) 2 下， “x 丁= 干s 1 n “ ( 1 3 ) ( 1 4 ) k d v 方程在孤立子理论的发展中，起着举足轻重的作用它的出现，开 启了人类认识孤立子这一学科领域的大门由于它能有效地描述只含有一个 非线性效应和一个逸散效应的过程，因此，在这以后它逐步被应用于下列研究 4 5 】：等离子体中的离子声波；等离子体中的磁流体动力波；非谐振品格；弹 性杆中的纵向色散波；液气泡混合物中的压力波；管中的下旋波；低温非线性 晶格体中热激声子束 非线性s c h m d i n g e r 方程作为另一个非线性孤立子系统，也同样受到广泛 的关注，它主要用于描述 4 5 ：平面波的定常二维自聚焦；单色波的一维自调 制；非线性光学中的自陷波现象；固体中热脉冲的传播；等离子体中的l a n g m u i r 波；超导性g i n z b u r g l a n d a u 方程 第l 页 郑州大学博士学位论文 s g 方程已被用来描述 4 5 】：晶格位错的传播；磁性晶体的b l o c h 壁运动； 沿类脂膜的扩张波的传播；基本粒子的的统一理论；j o s e p h s o n 线中磁通量的 传播在具体问题的处理中，s g 方程是提供了沟通了反散射方法和b a c k l u n d 变换的具体实例在解的形状方面，k d v 方程的解是钟状孤波，n l s 方程的 解是包络孤波，而s g 方程的解则产生扭子( k i i 曲和呼吸子( b r e a t h e r ) 这两种重 要的孤波因此，s g 方程的内容是相当丰富的 1 2 孤立子理论与反散射方法 随着孤立子物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生并已初 步形成比较完整的理论体系例如，反散射方法 6 】一 1 9 】；b a c k l u n d 变换方法 和d a r b o u x 变换方法 2 0 】一【3 2 】；h i r o t a 双线性方法 3 3 】- 4 2 】等一系列求解非线 性微分方程特解的方法，用l i e 群和微分流形建立起来的结构延拓法等，它们 和经典分析，泛函分析，l i e 群，l i e 代数，无穷维代数，微分几何( 有限维和 无穷维) ，代数几何，拓扑学，动力系统和计算数学等数学分支的研究紧密相 关，互相促进 利用孤立子理论已经成功地解释了许多物理上长期用经典理论未能得到 解答的现象，在应用上，如利用孤立波来改进信号传输系统，将孤立波应用到 石油在输油管道中的传输等，提高它们的传输率等也已取得可喜的进展 从孤立子理论发展的过程看，反散射方法是最早被发现可用来求孤立子 方程的精确解的方法b u 璀e r s 方程 嘶+ “5 h o “麒= o( 1 5 ) 是空气动力学中出现的一个拟线性抛物型方程e h 叩f 4 3 和j d c o l e 4 4 】利 用变换“= 一2 。v ，v 将b l l r g e r s 方程( 1 5 ) 化为方程 v 2 ( v f 一口l k ) 一l k v ( u d p 柑) = o ( 1 6 ) 只要v 满足热传导方程h = a y 。，则“便满足b u 唱e r s 方程据此，他们成功地解 决了b u 唱e r s 方程的初值问题在这一启发下，g a r d e r g r c e n e ，k m s k a l 和m i u m 6 】类似的将变换“= v + 应用到k d v 方程( 1 1 ) 得到 第2 页 郑州大学博士学位论文 其中w = h + v 。一3 + 五儿= n 一曰v ，曰= 一4 以+ 3 ( “吱+ 文h ) 【4 5 】当“按k d v 方程演化，v 满足以h 为位势的s c h f 矾i g e r 方程厶一 v ，l = 一d 。+ “，则w 就 满足 旺一1 ) w = 。v ， ( 1 8 ) ( v ，w v w ，) ；= t 伊 ( 1 9 ) 利用位势“在无穷远处的衰减性，阻及方程( 1 9 ) ，可知s c h 曲d i g e r 方程的特征 值矗保持为常数，这就是著名的保谱性质此外，其他几个散射量也以极其简 单的规律演化这一突破直接引出k d v 方程初值问题的反散射解法，其程序 为： “ ，o ) 三s d ( o ) 马s d ( f ) 当“，f ) ， 其中， 1 第，步是利用散射问题v 。+ ( 一“( x ，0 ) ) v = o ，由“( z ，o ) 求解散射量 s d ( o ) = 仍。( 0 ) ，c 。( o ) ，尺( t ，o ) l ； 2 第，步是按g g k m 定理，从sd ( o ) 求解5 d ( 幻： 几( f ) = 风( 0 ) ，c 。( f ) = ( o ) e x p ( 4 戚f ) ， r ( 女，幻= r ( ，o ) e x p ( 8 f p f ) ， 3 + 第，步求解+ q 一“，订) v = o 的反散射问题，从s d ( f ) 求“ ，r ) ( a ) f ( z ) ：兰c 未( f k z + 去仁尺( k ，。p 她d ( b ) 解g l m 方程，从f 求置( 膏，y ) ： r 呻 世( 工，) + ，0 + y ) + ik 0 ，z ) ，( z ) ( k ； o ( c ) “( 工，f ) = 一2 悬置( 工，曲 1 3 反散射方法的演化 从g a r d e r g r e e n e ，k r u s k a l 和m i u 豫( g g k m ) 6 】发现可以用s c h 削i n g e r 方 程的反散射理论求解k d v 方程的初值问题以来，这种求解非线性偏微分方程 的方法发展很快，而且在理论上不断的创新，这样就进一步开拓了用解析方法 第3 页 郑州大学博士学位论文 求解非线性偏微分方程的新领域在反散射方法的演化过程中，对后续方法的 发展有深远影响的主要有两种方法 4 6 ：穿衣方法 4 7 】和a k n s 理论【4 8 对于穿衣方法【4 7 】理论的进一步发展主要有两种：一种是基于硒e m a n n h i l b e n 问题的穿衣方法 4 9 】一 5 9 】，即一定程度上的经典d a r b o u x 变换方法 6 0 】； 另一种是基于局部石一问题的5 一穿衣方法【6 l 】【6 7 】由于作者在第一章和第三章 分别介绍了穿衣方法1 4 7 和压穿衣方法，以及他们的推广形式，所以在这里只 简要介绍一下基于鼬e m a n n h i l b e r t 问题的穿衣方法设r 是复 平面上的一个 简单封闭回路，并且整个复平面被回路r 分割为两部分d + 和d ( o d + ，o 。 d l 矩阵函数g ( ) 在回路r 上没有奇点下面的问题就是构造一个函 数爿( ) ，使得它在回路r 的外部是解析的，并且满足奇异r i e m a i l n h i l b e r t 问题 爿+ ( ) = z 一( ) + ，r ( ) g ( ) ， 五r ， ( 1 1 0 ) 其中旷( ) 和_ ( 1 ) 分别是函数( ) 在回路r 上关于区域d + 和d _ 的边值由于 问题( 1 1 0 ) 的解不唯一，因此需要进行正则规范化z m = o o ) = 1 此时，爿( ) 可 以表示为 朋) - 1 + 刍 篙吖， ( 1 1 1 ) 其中k ( ) = 疋+ ( ) 一彤- ( ) ， r 在回路r 上利用s o k h o t s l 可p l e m e l j 公式可以 得到 一去 吖， 将( 1 1 2 ) 代入到( 1 1 0 ) ，可得 m h + 刍j | = 耐，一 关于矩阵g ( ) 的约化，j c i e l m s 虹又发展了一种代数方法构造1 一孤子d a r _ b o u x 阵 6 9 】这种方法与经典d a r b o u x 变换的结合，又发展了一些非常有用的 方法 7 0 】- 7 5 】 a k n s 理论 4 8 】直接促进了递推算子方法的发展，由此可以同时导出非 线性演化方程的一族方程由一个连续谱问题出发，适当选择与此伴随的谱 问题，通过它们的相容性条件，即零曲率方程，可以得到一族非线性演化方 程对于这方法的发展，主要从零曲率方程展开利用不同的方法可以构造出 递推算子和递推序列 7 6 】【8 8 】，这其中也包括l e n a r d 递推序列和l e n a r d 算子 对【8 5 】l 【8 7 】，由此可以导出一族演化方程再利用迹恒等式【8 1 】- 【8 3 】，可以构 造出方程系统的h a m m o n 结构以上的这些发展，也平行的应用到离散谱问 题在此基础上求解非线性演化方程的显式解就显得尤为重要 第4 页 郑州火学博士学位论文 1 4 非线性演化方程的显式解法 除了前面提到的几种方法( 反散射方法，d a r b o u x 与b a c 蝴u n d 方法，双线 性方法) 以外，在求解非线性演化方程的显式解上，还有几种非常有用的方法 分离变量法 8 9 h 9 8 ，对称约束方法 9 9 】- 【1 0 3 以及齐次平衡方法 1 0 4 】 1 0 8 ， 还有矩阵方法 1 0 9 】和l a x 对非线性方法 1 1 0 】- 1 1 3 】等分离变量方法是一种 应用比较广泛而且比较有效的方法，在本文中将会看到，穿衣方法在求解的时 候也用到了变量分离的技巧鉴于本文的需要，在这里只介绍一下l a x 对非线 性方法，至于其他方法，可以参看相应的参考文献 l a x 对非线性方法由已知( 连续或离散) 谱问题和它们的伴随谱问题出 发，利用l e n a r d 算子对构造递推序列，从而可以构造出相应的向量场( 流) 以及 非线性演化方程族对于连续情况，特征值问题的非线性化可以得到一个有限 维可积系统，而对于离散情况，则可阻得到一个可积辛映射，这里的可积性是 指l i o u v i l l e 意义下的可积利用母函数流方法 1 6 6 懦要完成下面三步：( j ) 寻 找足够多的守恒积分；( i i ) 证明守恒积分的对合性；( i i i ) 证明守恒积分的独立 性对于高维的非线性演化方程，求解它的显式解是不容易的，就需要将其 分解为较低维的方程( 高维方程的l a x 对的非线性化) ，分解所得的方程应为同 一方程族的不同的流方程，这些流方程再分解为可解的常微分方程通过引 入椭圆坐标和a b e l _ j a c o b i 坐标进行相应流的拉直然后，利用m e m a n n 一9 函数 和a b e l j a c o b i 反演方法就可以得到所求方程的拟周期解( 代数几何解l 第5 页 郑州大学博十学位论文 第二章穿衣方法 穿衣方法最早是由z a l ( i l a r o v 和s h a b a t 于上个世纪七十年代提出的，这种 方法的优点是它不仅能够给出所求的非线性演化方程，而且还能构造出方程 的解用这种方法，已经成功的研究了k d v 方程，k p 方程，d s 方程，正则长波 方程，等等 4 7 ， 1 2 7 】一 1 3 4 】 2 1 基本理论框架 设线性积分算子f 和两个v o l t e 册算子k + 和k 一作用在任意向量函数沙( z ) = ( 妒l ( z ) ，- 一，砂( 工) ) 7 ，一o o j o o 上，其定义为 k 州班，缸( 础) 此) 出， k 州曲s ，n ( 玳) 此) d z ， ( 2 1 ) f 蚓；厂m ，z ) 北) d z 其中缸( x ，z ) 和，( x ，z ) 均为n n 矩阵，并且还依赖于变量k 对于积分核缸( 置z ) 他们满足关系式缸( 膏，z ) = o ，z x 假设( i + k + ) 一1 存在 并且f 满足三角分解关系 i + f = ( i + k + ) 一1 ( i + k 一) 其中i 是恒等算子在以后的计算中，我们约定当z 一o 。( m ，n ：0 ，l ，2 ， j ；杀置( 石，z ) _ o 和j 等嘉，( 互，z ) 一o - 另外，对于矩阵缸( x ，z ) 和f ( z ，z ) ， 一o o 时，我们假设 s u p r 眦硼饿 j ， ( 2 3 ) 以及 n ( 工，z ) = ，( 上，z ) + ij 0 ( 五j ) f ( j ，z ) d j ， z z ( 2 4 ) 方程( 2 4 ) 可以看作是疋( x ，z ) 关于缸( x ，z ) 和，( x ，z ) 的定义因此，在以后的计算 中我们只考虑缸( 五z ) 的情况，为方便起见略去其下标”+ ” 定义矩阵算子 4 7 m = 每r 卢未讪。a o n = n 杀， 其中叱卢是常数，n 是常矩阵考虑另一个矩阵算子窳，它与m 满足穿衣关系式 m = ( 1 + k ) m ( 1 + k ) ，