（基础数学专业论文）非齐次微分方程正解的存在性及多重性.pdf

湖南师范大学硕士学位论文 o 1摘要 本文研究以下模型 j t ，( z ) = t 俨( 。) 4 - a ，( z ) ，z ( 0 ，1 ) 【( o j = u ( 1 j = 0 正解的存在性与多重性，其中a 0 为参数，( z ) ，= 伊 o ，1 】 o 通过对，( z ) 进行完整的分类，得到了一些有关正解存在性与多重性 的精确条件 关键词t 正解，两点边值间题，存在性，多重性 湖南师范大学硕士学位论文i i 0 2 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ew i l ld i s s m mt h ee x i s t e n c ea n d m _ i f l t i p l i c i t yo f t h e p o s i t i v e s o l u t i o n sf o rt h ep r o b l e m j u ”( ) = t ，( z ) + ，( z ) ，z ( 0 ，1 ) iu ( o ) = ( 1 ) = 0 w h e r e o ，扛) ，= c 。【o ，1 】 o 、t h r o u g ht h o r o u g h l yc l a s s f y i n g ，( 正) ，w e g a i ns o m ee x a c tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c ea n dm l f l t i p l i e i t yo fp o s i t i v es o l u - t i o n sf o rt h ep r o b l e m k e y w o r d s ：p o s i t i v es o l u t i o n ，t w op o i n t sb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m ，e x - i s t e n c e ，m u l t i p l i c i t y 湖南师范大学硕士学位论文 第一章序言 1 1引宫 许多物理问题。例如两端绝热的细杆中稳态温度的分布问题， 可归结为求如下非线性两点边值同题 黑扣翟叫( 瑚， 蚝( 0 ”， ( 1 1 ) i “( o ) = “( 1 ) = 0 ， 、。 的正解 对于g ( 0 ) = 0 ，即没有热源的情况，已有了许多工作，参见1 1 - 6 及其中引用的大量参考文献文 1 - 3 1 具体研究了问题 _ ( 。) = a 伽 。( o ，1 ) ， i “( o ) = “( 1 ) = 0 ， 、 正解的存在性，其中，( 。) 是个跟物质特征有关的函数 后来j o s e p h 在文( 4 j k e l l e r 与c o h e n 在文f 5 】中研究了问题( 1 2 ) 正 解的相关特征1 9 7 0 年t l a e t s c h 在文f 6 】中更加详细地研究了问题 ( 1 2 ) ，其中他假定，( 功为凸函数，当z 0 时， ) 0 ，他的结果表明 问题( 1 2 ) 随着a 的变化，正解的个数也相应地发生变化特别地当 g 伪= u v ( x ) 时，即 一“”( 。) 。矿( 。) ， 。( o ，1 ) ， iu ( o ) = “( 1 ) = 0 ， 、 有如下熟知的结果( 参见文【6 】及其引用的文献) ： ( 1 ) 当p ( 0 ，1 ) u ( 1 ，+ 。o ) 时，问题( 1 3 ) 有唯一正饵； 湖南师范大学硕士学位论文 2 ( 2 ) 当p = 1 时，问题( 1 ，) 没有正解( 因为1 不是( 1 3 ) 的特征值) 本文主要研究以下带有热源的简单模型 ? ：( 计i ，? ) + v ( 引， 蚝( 0 ，1 ) ， ( 1 4 ) i “( o ) = u ( 1 ) = 0 、。 其中a 0 为参数，= c 。【o ，1 】 o ， 相对于无源的情形，关于有源模型正解存在性和多重性的研究 结果较少，仅有的一些结果均要求，( 功o ( 参见【9 及其中引用的参 考文献) 本文的目的是对热源，( z ) 进行完整的分类以了解问题( 1 4 ) 的正解的存在性和多重性通过先验估计，上下解方法以及对( 1 4 ) 的正解在a 一0 或+ 。o 时的性态分析，我们发现集合，可依如下线 性问题 i 一少( z ) = ，( z ) ，。( o ，1 ) ， p ( z ) 0 ，z ( o ，1 ) ， ( 15 ) 【p ( 0 ) = 妒( 1 ) = o ， 的可解性分成两个不相交的部分朋和m 其中川= ，卅问题( 1 5 ) 有解) ， 厂= ，一m 在0 1 时，情 提有显著的变化，此时，问题( 1 4 ) 对一切充分小的a 0 有且仅有 两个正解的充分必要条件是， ) m ，而当，( 君) 时，( 1 4 ) 最多 只有一个正解，并且对足够多的，扛) e 厂在a 充分小时( 1 4 ) 有一个 正解( 见定理7 ) 湖南师范大学硕士学位论文 3 1 2本文主要结果 定理1 若0 p o 均存在正解的充分必 要条件是，( z ) 州 定理2 若0 p o 问题( 1 4 ) 只有 唯一正解且当 一0 时，u 一致收敛于问题( 1 3 ) 的唯一正解 、 定理1 和定理2 的结论表明，在0 p 1 时，问题( 1 4 ) 的正解 是由( 1 3 ) 的唯一正解分歧出来的，而( 1 , 3 ) 的平凡解不能分歧出问题 ( 1 4 ) 的正解从后面的证明过程还可看出有如下的分歧图： 图1 1 ：0 p 1 时的结果这种情况与o ( p 1 时的 情况有明显差别，主要表现为：其一，在0 p 1 时，对任 意的，( z ) c t ( o ，1 ) o ，( 1 2 ) 的正解总能分歧出( 1 4 ) 的正解，其中 c 铲( o 1 ) 是紧支集在( 0 ，1 ) 中的所有光滑函数组成的集合；其二，当 o 1 时，有如下一些结果 定理3 若p t 且，( ) m ，则存在正常数 o 使当o 1 且，( z ) a t ，则存在正常数a 。 0 使得对v ae 湖南师范大学硕士学位论文 4 ( o 、k ) ，问题( 1 ，4 ) 有且仅有两个正僻。 显然，定理3 中的”与定理4 中的k 满足关系式ksa + 、现在 一个有意恩的的问题是关系式 = ”是否成立? 若成立，则有整体 分歧图： 图1 2 ：p 1 时的大致分歧图 我们猜想这一关系式是成立的，但遗憾的是目前我们无法证明 定理5 当p l 时，存在沁 0 ，使得间题( 1 4 ) 对v a ( 0 ，a ，) 至 少存在两个正解的充分必要条件是，( 。) m 作为定理5 的一个直接推论我们有 推论6 若p 1 且，扛) ，则存在如 0 使当a ( 0 ，a o ) 时，问 题( 1 4 ) 最多只有一个正解 推论6 只是一个唯一性结果作为对它的补充，我们给出一个存 在性结果为此，需要记号 ，叶= ，卅存在0 0 ，使得当a ( 0 ，a 2 ) 时，问题( 1 4 ) 至少存在一个正懈且当a 一0 时，u - 一致收敛于 ( 1 3 ) 的唯一正解 最后，为说明州不是平凡的，我们给出如下的注记 注记8 当，) 0 时，由极值原理可知，f ( x ) m 是平凡的，但 湖南师范大学硕士学位论文 5 ，扛) 0 并不是，0 ) m 的必要条件事实上，m 中一定包含有变 号函数为说明这一点，对o ( z ) 伊 o ，1 】且n + ( z ) = m a ) 【 a ( 。) ，o ) 0 和n 一( m ) = m 舣( 一o ( 。) ，0 0 ，考察特征值问题 一：口i 支8 ( z ) 妒( z ) z ( o ，1 ) ( 1 6 ) i 妒( o ) = p ( 1 ) = 0 、。 由文f 1 0 】中的结果可知，问题( 1 6 ) 存在一个主特征值a 。 0 及相应 的特征值函数q o t ( z ) 0 若令f ( x ) = h n ( z ) 妒t 扛) ，则显然有，( z ) 变号 且，( m ) a 4 湖南师范大学硕士学位论文 6 第二章相关引理 2 1相关引理 引理2 1 ( 【1 1 】) v p 0 ，边值问题 一协) = 矿( z ) ，z l ，f 2 1 ) i ( ) 0 ， l ， 、 只有平凡解u ( z ) ；0 ，其中l = ( 一。，十o 。) 或( 一a ，+ 。) 或( 一o ( 3 ，理) 、 引理2 2 对任意给定的a o 0 ，存在一个不依赖a 的正常数c 使 得对任何a ( 0 ，a o ) ，( 1 4 ) 的任意正解u a ( z ) 均满足 “ l l g “( o ，1 ) c ，姒( 0 ，a o ) ( 2 , 2 ) 、证明：由正则性理论可知，只要证明0 “x 晒o ，t ) c 即可先考虑 p 1 时的情形，用反证法假设估计0 u - ) c 不成立，则存在 “x ( 。) 的一个序列 u - ( z ) 及一个点列 唧) ，其中a ，( 0 ，a o ，j = 1 ，2 ， 使得 坞= 1 1 “i i c ( 。，t ) _ 恶墨“( 。) = “b ( q ) 。+ 0 0 ， 0 。+ 0 。) 令”，b ) ：岈t “b ( + 屿字v ) ，则( f ) 满足 j 一蟛b ) = 哼悖) + 叮，( q + l 芦可) ，q 、 1v j ( 一巧朋尹舻) = q ( ( 1 一巧) 埘尹铲) = o _ 训 令岛= 一z ， i 芦，( 1 一q ) m 产】，以下分两种情形讨论： ( 1 ) 若，骧巧哆丁2o o 且，l 。i + m o ( 1 - i -一q ) 叫7 = o 。，则有，里岛=，_ 十 。 一十o 。 l = ( 一。o + o 。) _ 因此对任意闭区间jcr 1 ，当j 充分大时，总有jcl 。 湖南师范大学硕士学位论文7 注意到恢q ) = i 及，( 。) 伊 o ，1 】，由正则性理论可知，存在不依 赖于j 的常数c 使得 i l 。j l l c z 州15 c 运用对角线法则可知，存在q 的子列( 不妨仍记作) 及”c 2 使得 i i q 一训i 嚷。( l 】一0 ，( j 一十o 。) 注意到如 彳，( q + 尹) 一0 ，由q 满足的方程可知，。满足 i 一( 可) = 伊( g ) ， y l ， v ( 0 ) = 1 ，( 2 4 ) 【 ) 0 ， y l 这与引理2 1 矛盾 ( 2 ) 若j 蛾彤蟛荦= 口或，鲤o o ( 1 一即) 叫字= 口，则有，岛=，叶十o 。 。 ，叶十 4 ，- + 一 l = 【一“，十。) 或( 一0 0 ，0 1 由与情形( 1 ) 的类似讨论可知，q 的极限 函数”满足 f w ”b ) = 矿( 可) ， y l ， ：蒜：0 ， ( 2 s ， l 口( 一“) 茸知( “) = ， 。 【 ) 0 ， y l 这也与引理2 i 矛盾至此，p l 的情形得证 其次当p ( 0 ，1 ) 时，可以在( 1 4 ) 中的方程( 此时u 用“ 取代) 两 边同u , - f 乘以u x ( z ) ，再在( 0 , 1 ) 上分部积分，即可得估计 l 陬0 础( o 1 ) sc ， 进而利用s o b o l e v 嵌入定理不难获得极大模估计f i “x 。，1 ) sc 证 毕 引理2 3 设u ( m ) 为( 1 3 ) 的唯一正解，则相应于“的线性问题 一纛 ) = 。p u p - 。l ( 咖扛) 蚝( 0 ，”， ( 2 6 ) i 妒( o ) = l p ( 1 ) = o ， 、 湖南师范大学硕士学位论文8 只有平凡解妒( z ) 三0 证明：在( 2 6 ) 中的方程两边同时乘以u ( x ) 并在( 0 , 1 ) 上积分得 z 1 删 令= z ，则一f “= p u p _ 1 f + 2 u p ，以及 钍7 ( 1 ) 妒( 1 )= 厶1 ( ) d x = 片妒”d z + j ； f 妒7 d z = 一片一1 ，o d m , + 詹( 础p - 1 l p + 2 u p , o ) & = 2 奠憎审妇 由于u ( z ) 为( 1 3 ) 正解，故u ，( 1 ) 0 ，因此( 1 ) = 0 。同理若令f = ( 1 一z ) “，贝| 可得( o ) = 0 现不妨假设在1 的左边某个邻域( n ，1 ) 上有妒 o ( 或 p o ) ，由 【2 6 ) 知此时矿 o ) 注意到，当z ( n ，1 ) ，存在e e ( 墨1 ) ，使 得妒扛) = p ( 1 ) + p 7 ( 1 ) 一1 ) + ；妒”( c ) 扣一1 ) 2 ，故( 1 ) o ) ， 丽上面已证得矿( 1 ) = o ，此矛盾说明至少在( a ，1 ) 上恒有妒= o 若 妒o ( o 1 时，若问题( 1 4 ) 至少存在两个正解，则其中必 有一个正解“，( z ) 满足 证明：假设u l ( z ) ，u ( z ) 是( 1 4 ) 的两个不同正解，若引理结论不 成立，则存在 的一个子序列 ，当j 一+ o o 时，一0 ，使得 ，i i u k m 2 c t o 里怕乞( z ) 岫o ，) 2g 0 用引理2 2 证明中用到的方法不难验证，存在 如 的一个子列( 不 妨仍记作 ) 以及两个函数u t ( z ) ，u 。( m ) 使得，兰u k ( z ) = u t 恤) ， ；皇臻u 和) = 地扛) 显然u - ( z ) ，忱扛) 均为同题( 1 3 ) 的正解，鉴于( 1 3 ) 的正解的唯一性，故i m l ( 。) ；蛐= “( ) ，其中“ ) 为( 1 3 ) 的正解 令吁扛) 。“ ( 习钍毛( 。) ，贝9 吩0 且满足 j 一哆( 。) = 0 ( ) ，。( 0 ，1 ) ， l 吩( o ) = q 【1 ) = o 其中6 ；詹p + ( 1 一t ) u ) p _ 1 缸我们定义咖( z ) 2 丽畿，则 奶( z ) 满足 ：篡鬯：紫忙) i 畦( o ，”， (27)0 i 咖( 0 ) = 奶( 1 ) = 。 、 我们可知如( 霈) 在娜( o ，1 ) 中弱收敛，而在驴( o ，1 ) 上强收敛到函数 z ( z 1 尹( 氓+ ( 1 一t ) 吨) p 一1 出) 孵如一p z l 妒一1 曲2 如，j 一+ o 。， 1 = z 1 ( 西) 2 如= z 1 白孵出= p z l 矿一1 矿咖+ 。( ，) ， 由此知曲0 对( 2 7 ) 取极限可知咖( z ) 满足 f 一矿睁) = p 妒一1 庐2 ，。( 0 ，1 ) ， 咖( o ) = 毋( 1 ) = 0 ，( 2 8 ) i ( 茹) 0 ，z ( 0 ，1 ) ， 由正则性可证明西印) 也是( 2 8 ) 的古典解，这就与引理2 3 产生矛盾 证毕 弓l 理2 5 存在正常数m 使得问题( 1 a ) 至多有一个正解满足 i l ( 圳i g ( o ，1 ) sm 湖南师范大学硕士学位论文 1 0 证明t 选择m 足够小使之满足p m p 。 1 且，扛) 州，若问题( 1 4 ) 在a = a 时有一个正 解，则对姒( 0 ，a ) ，问题( 1 4 ) 均有一个正解 证明：设u l ( z ) 为a = a 时问题( 1 4 ) 的一个正解，令讪= a u 。，于 是u 、满足 卜“? = 舻“嵋+ m ) ， z ( o ，1 ) ， 咖) 【u t ( 0 ) = u l ( 1 ) = 0 ， 、 由于p 1 ，故对任意 ( 0 ，a ) ，u 1 为问题 一篡2 = ：卅“劫， 咂( 0 ”， ( 2 1 2 ) lu ( o ) = u ( 1 ) = 0 ， 、7 的个上解另一方面，由，( z ) e 朋可知，问题( 1 , 5 ) 有一个非负懈 1 p ( z ) ，且其满足 一篡。，嘿 “l p p + ，扛) 1 。( 吼”， ( 2 1 3 ) 1 p ( o ) = _ p ( 1 ) = 0 ， 、 这表明_ p ( z ) 为问题( 2 1 2 ) 的一个下解由上下解方法可知，问题( 2 1 2 ) 存在一个正解叭 ) ，且0 妒s 叭( 。) u ( 。) 显然，蛳= 峨( z ) 为问题( 1 4 ) 的一个正解证毕 引理2 7 若p 1 且，( z ) h 4 ，则存在a o 0 ，使当a 时，问 题( 1 4 ) 无任何正解 证明t 设a 。为问题( 2 9 ) 的第一特征值，妒t 为相应的特征函数 如果( 1 4 ) 存在个正解u x ( z ) ，则有 一z 1 妒- a z = j ( 妒t d x + a j ( 1 ，妒t 出 于是 a z 1 ，妒t a m = 一0 1 嵋妒- d x + h i 上1u a 妒t d x = z 1 ( a i u x - 岐) 驴d x ( 2 1 4 ) 通过计算a - 嗽一嵋在u x 【0 ，o o ) 上的最大值，可得 u x 一哒茎扫一1 ) ( 鲁) 古， ( 2 1 5 ) 湖南师范大学硕士学位论文 结合( 21 4 ) ，( 2 1 5 ) ，有 a z 1 ，p t 如一1 ) ( 軎) 矗z 1 妒。( m ) 如( 2 1 6 ) 若 p ( z ) 为( 1 5 ) 的非负解，则有 0 1 f ( z ) 妒- 幽= 一0 1 咖t 出= - 。z 1 妒妒。如 因而 从( 2 1 6 ) 可知 这表明存在a 。 0 ，且当a a o 时，问题( 1 1 4 ) 无任何正解 堕 曲一扛 0，一、 # 一 盟胁 甸 冀 妒 二叫厂 咖 睾 “ ” ，厶 ” 湖南师范大学硕士学位论文 1 3 第三章主要内容 3 10 p 1 的情形 定理1 若0 p o 均存在正解的充分必 要条件是，( z ) 川 证明t 必要性设u 为阿题( 1 ，4 ) 的一个正解，令u x = a 咄，则有 卷亏，旷扛h “砷 【u ( o ) = w ( 1 ) = o ( 0 ，1 ) t ( o ，1 ) 在( 3 1 1 ) 中的方程两边同时乘以峨( 。) 再在( 0 , 1 ) 积分得 f 0 1 m 1 2 如= 妒一i 0 1 钟1 如+ z 1 ，( z ) u - 如 由于0 0 另外由0 p 1 可知 竺型= 型硼( m 。删， m 1 、 。“ 于是可选择i o 1 ，使得m ；o 。m a x 。j v v ( z ) + , 、。m 。( o a ，x 。) i f ( z ) 1 若令 u = i o v ，贝4 u 满足 一u ”( ) = 而u 9 扛) 十a ，扛) ， 故u ( 。) 为问题( 1 4 ) 一个上解同时可选择足够大使得 0 a i p ( 茁) + t 上0 u ( 士) ，茁( 0 ，1 ) 事实上，若令c 0 1 ( = u ( 。) 一冲( z ) 一i t 0 ( z ) ，则一u ! ( z ) = m o a ，( z ) 铝( 。) 一州m a 】c j i f ( * ) | _ 嚣懿偏，若选择足够大，保证 1 嚣蟊1 ，( 。) l 一躺嵋0 ，则由极大值原理可知( z ) o 由上下解 方法可以断言问题( 14 ) 至少存在一个正解“- 满足 0 ，坳( 茁) + “o u ( ) u ( z ) ，( 0 ，1 ) 湖南师范大学硕士学位论文 1 5 证毕 定理2 若0 0 ，当，3 , t 时，问题( 1 4 ) 有一个极 小正解叭为此，设l p ( $ ) 为问题( 1 5 ) 的非负解令” = 却，易证 其满足 一”：0 ) = a ，0 ) s 氓+ a ，( z ) ，( 3 1 4 ) 故呶为( 1 4 ) 的一个下解设u i x ) 为【1 4 ) 的正解，则“。也可作为 ( 1 4 ) 的一个上解，于是可用单调迭代法求鳃( 1 4 ) 的正解，令 j 一略( g ) 2 d - a f ( x ) ， z ( o ，1 ) t 阻5 ) i “o = 、 不难证明“k ( 。) 吼，其中w x ( x ) 为( 1 3 ) 的正解可证明蛾z ) 就 是( 1 4 ) 的极小正解事实上，对( 1 4 ) 的任何一个正解”x 0 ) 均有 “ 睁) “0 ) ，故有u ( z ) 峨( $ ) 下证唯一性假设( 1 4 ) 还有一个与u - ( z ) 不同的正解“ ( z ) ，则有 0 u ( 动= u x ( x ) 一。 ( z ) 0 且”( m ) 满足 黑 - 1 警( 。) 一氓扣) ， 4 ( o t l ) ， ( 3 1 6 ) it j ( o ) = ( 1 ) = 0 ， 、 由强极大值原理可知u - ( z ) 龇( z ) ，由此可断言 a 办z ) ( u a - - t j a 炒。 1 3 1 7 ) 事实上，由于f i x ) m ，若设妒( z ) 为( 1 5 ) 的非负解，则 o ) 如 = 一a 片( 一叫 ) 妒”如 = 一a j ：( “ 一u ) ”妒d = a 君( t 式一u ；) 妒如 0 湖南师范大学硕士学位论文1 6 另一方面 詹，( z ) u x 如+ 詹氓“x 如= 一片u 妯x d x = 一詹喂u x d r , = a 片，( 。) 峨出+ 嚣咖x 幽 即a 詹， ) ( u - 一u ) d z = 詹“ 叭( 竹1 一氓“) 出由于u u ，0 p 1 ， 故有 噱一1 1 且，【茁) a 4 ，则存在正常数” 0 使当0 0 足够小使得 墙糯躺嵋+ 孵躺1 m ) l ， 则岫= m o u o 对a ( 0 ，增) 有 一u ；( 王) = m o 嵋( z ) + ，( 茁) ， 选择知足够小( 同时保证a o m r ) ，当a a l p ( z ) 0 则让( 茁) 0 ，z ( 0 ，1 ) 记”= s u p a 0 ，且问题( 1 4 ) 有一个正解 ，由引理2 7 可知 ” o ， 事实上，若记“。= i n f 詹( m 2 呻氓- 1 v 2 ) 如i 口弼( o ，1 ) n 圩2 ( o ，1 ) ，片伊d x = 1 ，易证a - 的达到函数l p t ( z ) 存在且p t ( z ) 0 设u 。( 。：) 为( 1 4 ) 。的 极小正解，其中0 a a l ”- 1 舢；_ 1 。一u ) ， 两边同乘以妒t ) 再在( o ，1 ) 上分部积分得 ，1，l，1 一妒l ( z ) ( u 。一u ) ”d x = 一稍( 嚣) ( u h u ) d 。 畎一1 ( u h u ) 妒1 ( z ) d z ， ， 塑查塑鎏查兰罂圭兰竺堕当 ：! ： 与( 3 2 2 ) 比较，注意u 0 ， 因此o t l 0 若记 脚，。) = j o ”m ，帕= 斋( ”a - u x ) p q - 1 - - v 戗一；畸1 沪 易证，( 。，”) 满足 ( 1 ) ，( z ，u ) = 0 1 矿1 ，( - + o 。) ； ( 2 ) ，( z ，w ) = o l v l ，0 0 ) ； ( 3 ) 当m r ( r 足够大日寸) ，可选取2 1 且，( 。) 川，则存在正常数九 0 使得对姒 ( 0 ，- l ) ，问题( 1 4 ) 有且仅有两个正解 证明：由定理3 可知只要a 0 使得 1 1 。i i c ( o ，1 ) m = 2 ，3 ) ， 湖南师范大学硕士学位论文 狮- 因此“2 ( z ) o ，护婶) 0 于是u 2 扛) ；u 3 扛) 毫“扛) ，其中u 扛) 为f i 瑶匿 ( 1 3 ) 的唯一正解令畸= u k 一“i ，则屿0 ，且满足 一嵋恤) 2 6 ( ) 吣( ) ， z ( o ，1 ) ， ( 强肆 【屿( o ) 2 吣( 1 ) = 0 ， 其中南扣) = 露p ( 托+ ( 1 一t ) 岐，尸一1 出再根据引理2 4 的类似讨论， 易得出矛盾证毕 定理5 当p l 时，存在1 ， 0 ，使得同题( 1 4 ) 对v a ( 0 ， 办至 少存在两个正解的充分必要条件是，如) e m 证明；充分性已在定理3 中证明下证必要性 由引理2 4 可知道问题( 1 4 ) 在p 1 的情形下若有两个正解必有 一个( 不妨记作“x ) 满足 熙h ，) 。o 蕊他) z ( o ，1 ) ( o ，1 ) 在 o ( 与a 无关) 使得 i l u t 忡2 a 再由靴带技巧和椭圆正则性的类似讨论得到 怕 l l c ，。c ( c - 瓢无关) ， 故当 _ 0 时，u x 如) 关于z 一致收敛某个非负函数l p ( z ) 0 在 ( 3 2 4 ) 中令a 一0 ，可得 i 一妒”( z ) = ，扛) ， $ ( 0 ，1 ) ， 妒( o ) = 妒( 1 ) = 0 ， ( 3 2 5 ) 【妒 ) 0 ， 因此， ) 川可取a ，h ，定理5 证毕 湖南9 f 范大学硕士学位论文 2 2 定理7 若p 1 ，则对v ，( 。) p ，存在 2 0 使得当a ( 0 ， t ) 时，问题( 1 4 ) 至少存在一个正解蛾，且当a 一0 时，“- 一致收敛于 ( 1 3 ) 的唯一正解 证明：首先证明存在一个正解为此首先要找到定义在砩( o ，1 ) 上的泛函 ) = ；z 1 1 ，4 , 1 2 如一南j ( 1 州如一a 1 凡如， 的个临界点，然后再证明它便是问题( 1 4 ) 的正解 第一步证明存在正常数b ，风一( 它们均与 无关) 使得 h 扣) 1 h u ，i i 护= 劢c t 0 ，v ( o ， ，) 设a 为( 2 9 ) 的第一特征僵，l p - ( ) 为相应的特征函数，则 i az 1 知如l 击l l f l l i i 。i i “扣嚏。+ 洳州：z( 3 删， 利用s o b l e v 嵌入定理，可知存在一个与a 无关的正常数q 使得 忆+ j i 舛。p 4 1 - 。1 1 t 1 1 e + 。l q i j 苗1 ， ( 3 、3 2 ) 因此厶( u ) 洲喙一舟i l l , 一一蔷旧则有 俐i l u l l , 。= e - - 五1 n 2 一晶一新匦 选择r 0 o 使 墙一且p + l 璃“= i 1 哪2 ，即= ( l 。+ n i ) 南于是有 撕忆曲；( 寄) 矗一知幢， 再选择a ，使 ( 豁) 击一划。惮2 = 蠢( 磷j 寿，即 ，= 菇秸( 搿j 击，于 是 删雌岛去( 替) 寿：删，州吣a 湖南师范大学硕士学位论文2 3 第二步证明存在t o o ( 与 无关) 使得 厶( t 妒1 ) 1 即可得结论 第三步临界点的存在性 由第一步，第二步以及不含( p s ) 条件的山路引理可知，存在h 的一个( p s ) 序列 氓) 在哪( o ，1 ) 上强收敛，极限函数“ 满足 一“z ( z ) = ( 1 吱) p ( z ) + a ，( z ) ，z ( 0 ，1 ) ， it ( o ) = ( 1 ) = 0 ， 与 厶扣 ) = c 文理 0 ，最 ) = 0 ， ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) 其中以2 r i i f l m a x i x ( r ( ) ) ，r = p ：g ( i o ，1 】，n 0 1 ( o ，1 ) ) ；r ( 0 ) = o , r ( 1 ) = t o p o i ， 第四步证明u x 为问题( 1 4 ) 的正解 为此首先证明存在一个与a 无关的正常数c 使得 i i “ 晒”( o ，1 ) c ，( o ，a i ) ，( 3 , 3 5 ) 事实上( 0 ，a ，) 当t t o 时，厶( 如1 ) o ( 与 无关) 使得 蚝1 0 。如i a l m ( o f i ，t x 。) 厶( 如1 ) e ，v a ( o ，a 1 ) ( 3 3 6 ) 如 呶， ，如 n 一1 1 一p q 氓 f 如 2 ， 一1 一+ 一p 有 一 q 哇 3 0由 湖南师范大学硕士学位论文2 4 注意到 ( 1 一再1 = r ， j 0 1 ，t 圾d 叫茎a f ( 1 一雨1 ) i i ，| i 护他1 ) tl i u x o p ( 0 ，t 5 刮m 舷，( 0 ，l j + o ( ) ：= ( o ，l j ， 并选择s 足够小，由( 3 3 ，6 ) 可得 ，l i 氓1 2 如g ，叭( 0 ，a ，) ， j o 再由定理1 中的楣似讨论即可得( 3 3 5 ) 其次由于，( 功，+ ，可知存在0 0 ，因此t l 。0 ， 由强极大值原理有饱( 0 ，1 ) ，u o 0 特别当z l o 时，扛) 0 由于紧且有界，则可设 q 。枷，j _ + o o “畸( 对) _ “o ) 0 ，j + o o ， 这与假设矛盾，因此对比，扛) 0 下证比a ，u x ( x ) 0 因为坝满足 i 一扣) = ( 哎) p 扛) 十 ，( 功， z a ， i 坝( o ) = 坝( 1 ) = 0 ， 这表明对a ，- 4 ( z ) 2o ( a ( o ，a z ) ) 而在z = n ，z = 6 上“ 0 ，故 由强极大值原理可知当z a ，a ( o ， 2 ) 时， ( $ ) 0 至此，已证明 了当z ( 0 ，1 ) ，a ( o ，a 2 ) 时，u z ( x ) 0 湖南师范大学硕士学位论文2 5 由以上证明过程可知，若对( 1 4 ) 中的方程两边取极限a 一0 ，则 上面所得到的个正解“x 收敛于( 1 3 ) 的唯一正解咖 定理7 证毕 湖南师范大学硕士学位论文2 6 第四章结束语 至此，对于问题( 1 4 ) 已经作了比较完整地讨论，对其正解的性 态与解的结构有了一个比较清楚的认识，但是仍然有两个问题遗留 下来有待解决t 其一t 当初作者所选择的研究课题是力学中的一维非线性弦振 动问题 f 垒掣一絮鲈= ”o ) + a ，( z ) 。( o ，1 ) ， t ( o ，t ) = u ( 1 ，) = 0 ，t 0 ， ( 4 1 ) i ( $ ，0 ) = 呦( 。) ，z ( 0 ，1 ) ， 解的结构与性态，具体工作分两步进行第一步研究它的平衡态方 程即阿题( 1 4 ) 第二步研究同题( 1 4 ) 如进时闻因索后即问题( 4 1 ) 解 的性态不曾想，第一步的研究工作看似简单，随着研究的深入， 不断有令人振奋的结果出现，前后共耗费了一年半的时间至于第 二步的工作只好以后去做 其二t 问题( 1 4 ) 在0 p 1 时出现了分歧现象，由于作者目前还没骨日证明”= k ，使得 在大胆猜想下非常深亮的分歧图依然残缺医此，进面对此问题研 究是相当有意思的 湖南师范大学项士学位论文2 7 参考文献 ( 11 p l c h a m b r e ，o n t h es o l u t i o no ft h ep o i s s o n _ b o l t z m a ne q u t i o nw i t ha p 口1 0 c a t i o nt ot i l et l i e o r yo ft h e r m a lc x p l o s i o n s ，j c h e m p h y s 2 0 ( 1 9 5 2 ) ，1 7 9 5 - 1 7 9 7 ， 【2 】m a xj a k o b ，h e a tt r a n s f e r ，v 0 1 1 ，j o h nw i l e y , n e wy o 心1 9 5 9 3 】s a k a g a n o v ，e s t a b l i s h i n g l a m i n a rf l o wf o ra n i n c o m p r e s s i b l el i q u i d ，t r a n s - l a t e df r o mt h er u s s i o n ，n t c h e r a 卫缸g ，3 ( 1 9 6 3 ) 3 3 - 3 5 【4 d d j o s e p h ，n o n - l i n e a rh e a tg e n e r a t i o na n ds t a b i l i t yo ft h et e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o ni nc o n d u c t i n gs o l i d s ，i n t j h e a tm a s st r a n s f e r , 8 ( 1 9 6 5 ) 2 8 1 - 2 8 8 5 】h b k e l l e r a n d d s c o h e n ，s o m ep o s i t i v ep r o b l e m ss u g g e s t e db yn o n l e a r h e a tg e n e r a t i o n ，j m a t hm e c h ，1 6 ( 1 9 6 7 ) 1 8 6 1 1 3 7 5 1 6 jt ，l a e t s c h ，t h en u m b e r o fs o l u t i o n so fan o n l i n e a rt w op o i n tb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m ，i n d i a n au n i v e r s i t ym a t h e m a t i c sj o u r n 吐1 9 7 0 ，v 0 1 2 0 _ n o 1 ， 1 1 3 【7 】d j g u o , j x s u na n dz l l i u ，f u n c t i o n a lm e t h o d si nn o n l i n e a ro r d i n a r yd i f - f a r e n t i a le q u t i o n s ，s h a n d o n 9s c i e n c et e c h n o n o g yp u b l i s h e r s i n c h i n e s e i ，1 9 9 5 1 8 r m , ip a g a r w a l ，d o n a l o l h g a na n d p a t r i c l aj y w o n g ，p o s i t i v es o l u t i o no f d i f - f e r e n t i a le q n t i o n s ，d i f e v e n v ea n d i n t e g r a l ，k h w e ra c a d e m i cp u b l i s h e r s , 1 9 9 9 ， 【9 】l if y a n dl i uz l ，m l f l t i p l ep o s i t i v es o l i l t i o n so fs o m en o n l i n e a ro p e r a t o r e q u a t i o n sa n da p p l i c a t i o n s ，a c t am a t h e m a t i e as i n i e a i ac l i i m 髀】，1 9 9 8 ， v 0 1 4 1 ；n o 1 ，9 7 - 1 0 2 1 0 】m 0 t a n ia n dt t e s h i m a ，o nt h ef i r s te i g e m r a l u eo fs o