（基础数学专业论文）六个四元数矩阵方程公共解的最秩及其应用.pdf

摘要 本文在四元数除环上建立了六个四元数矩阵方程公共解的最大秩与最小秩公 式，利用这些结果研究了某些四元数矩阵方程组解的最大秩和最小秩这些结果 进一步丰富和发展了四元数矩阵代数 全文共分为三章，第一章首先介绍了四元数矩阵特别是四元数矩阵方程和四 元数矩阵秩的一些研究背景、研究进展和本文所要做的主要工作除此之外，我们 还介绍了一些预备知识第二章我们给出了四元数矩阵方程组a 1 x = a ，a 2 x = q ，x b l = g ，x b 2 = a ，a 3 x b 3 = c 5 ，a 4 x b 4 = g 通解的最大秩和最小秩，最 后导出了一些特例作为应用，我们在第三章利用矩阵的秩，研究了上述矩阵方 程组通解的秩不变性一些经典的结果可以看成是它们的特殊情况 关键词：四元数，四元数矩阵，四元数矩阵方程组，四元数矩阵表达式，矩阵 的广义逆，最大秩，最小秩 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ee s t a b l i s ht h ef o r m u l a so ft h ee x t r e m er a n k s ，i e ， t h em a x i m a la n dm i n i m a lr a n k so ft h ec o m m o ns o l u t i o nt os i xq u a t e r n i o n m a t r i xe q u a t i o n m o r e o v e r ，w ea l s oi n v e s t i g a t et h em a x i m a la n dm i n i m a l r a n k so fs o l u t i o n st oc e r t a i ns y s t e m so fq u a t e r n i o nm a t r i xe q u a t i o n s t h e s e r e s u l t sf u r t h e re n r i c ha n dd e v e l o p et h eq u a t e r n i o nm a t r i xa l g e b r a t h ed i s s e r t a t i o ni sd i v i d e di n t o3c h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h er e - s e a r c hb a c k g r o u n da n dp r o g r e s s e so fq u a t e r n i o nm a t r i c e s ，e s p e c i a l l yq u a t e r - n i o nm a t r i xe q u a t i o n sa n dt h er a n k so fq u a t e r n i o nm a t r i c e sa sw e l la st h e m a i nc o n t r i b u t i o n so ft h i sd i s s e r t a t i o na r ei n t r o d u c e d s o m ep r e li m i n a r - i e su s e di nt h i sp a p e ra r ea l s op r e s e n t e d i nc h a p t e r2 ，w ed e r i v et h ee x - t r e m er a n k so ft h ec o m m o ns o l u t i o nt os i xq u a t e r n i o nm a t r i xe q u a t i o n s a 1 x = a ，a 2 x = c 2 ，x b l = g ，x b 2 = c 4 ，a 3 x b 3 = g ，a 4 x 玩= g s o m ec o r r e s p o n d i n gs p e c i a lc a s e sa r eg i v e n a sa p p l i c a t i o n s ，w ei nc h a p t e r 3 ，n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h er a n ki n v a r i a n c eo ft h em a t r i x e x p r e s s i o nm e n t i o n e da b o v ei sa l s oi n v e s t i g a t e d s o m ep r e v i o u sw e l l k n o w n r e s u l t sc a nb er e g a r d e da st h es p e c i a lc a s e so ft h i sp a p e r k e yw o r d s ：q u a t e r n i o n ，q u a t e r n i o nm a t r i x ，q u a t e r n i o nm a t r i xe q u a - t i o n s ，q u a t e r n i o nm a t r i xe x p r e s s i o n ，g e n e r a l i z e di n v e r s eo fm a t r i x ，m a x i m a l r a n k m i n i m a lr a n k 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 签名：【司掺日期l 纠彳，易 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即；学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名s 阀够导师签名： b 矾跏亨? 己 第一章引言与预备知识 1 1 引言 四元数的发现标志着一个新的代数系统非交换除环和有限维代数的诞生很多 著名的数学家对四元数及四元数矩阵的研究作出了重要贡献如1 9 3 6 年l a w o l f 研究了四元数矩阵的相似【1 】1 1 9 4 1 年n i v e n 给出了四元数标准多项式的解的存 在性定理【2 】，且于1 9 4 4 年和s e i l e n b e r g 一起证明了四元数代数基本定理【3 】 h c l e e ，j l b r e n n e r ，n a w i e g m a n n ，r m w w o o d 等分别于1 9 4 9 年， 1 9 5 1 年，1 9 5 4 年，1 9 8 5 年给出了四元数矩阵具有右特征值，左特征值和标准型 的理论 4 】_ 【7 】j e j a m i s o n ，y i - i a u - y e u n g ，w s o ，r c t h o m p s o n ，f z h a n g 等分别于1 9 7 2 年，1 9 8 4 年，1 9 9 4 年，1 9 9 5 年给出了四元数矩阵的数值域方面 的一些理论 8 卜 1 1 】1 9 8 9 年a b u n s e - g e r s t n e r ，r b y e r s 和v m e h r m a n n 给出 了四元数矩阵的q r 分解算法 1 2 】1 9 9 7 年，张福振对四元数及四元数矩阵作 出了较详细的总结，并在h c l e e 的研究基础之上，给出了任意四元数矩阵极 分解的存在性及其证明 1 3 】2 0 0 3 年d r f a r e n i c k 和a f p i d k o w i c h 介绍了 四元数矩阵的谱理论及其一些应用 1 4 】此外，2 0 世纪的八九十年代，国内的谢 邦杰，陈龙玄等一批著名的数学家对四元数矩阵的行列式也做了比较深刻的研究 【1 5 】， 1 6 】上述工作中影响比较大的有：p m c o h n 七十年代用模论方法建立起 的除环上矩阵相似化简的基本理论【17 】。【1 9 】，谢邦杰八十年代建立起的除环上可中 心化矩阵的初步理论【2 0 】，【2 1 】自2 0 世纪八十年代末期以来，随着代数学的进一 步发展，除环上矩阵论的研究也进一步深化，并成为代数学研究的一个新的生长 点 矩阵方程( 组) 是矩阵论中的一个非常重要的分支，在数学本身及其它自然科 学中有着广泛的应用近几十年来，对矩阵方程( 组) 的研究取得了丰硕成果( 如 2 2 3 6 】) 考虑到四元数矩阵和矩阵方程( 组) 的重要性和应用的广泛性，对四元 数矩阵方程( 组) 的研究显得尤为重要研究矩阵方程( 组) 最基本的任务就是研究 矩阵方程( 组) 可解的充要条件以及解的表达式，矩阵表达式最大秩和最小秩又是 研究矩阵方程( 组) 有力的工具 1 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 2 近几十年来，人们对矩阵最秩问题的研究一直非常活跃如2 0 世纪8 0 年代 后期，b o s t i a n 等 3 7 ，c o h e n 等 3 8 ，d a v i s 【3 9 ，j o h n s o n 【4 0 】，j o h n s o n 等 4 1 】 ，w o e r d e m a n 4 2 一 4 4 】和t i a n 4 5 ，【4 6 】对一些特殊矩阵的最秩进行了研究，最近 t i a n 等 4 7 】 5 1 】研究了某些矩阵表达式的最大秩和最小秩2 0 0 7 年w a n g 和 c h a n g 研究了经典的六个四元数矩阵方程解的表达式本文通过研究一些矩阵表 达式的最秩及其性质，成功地给出了上述方程组通接的另一形式的表达式，同时 也给出了解的最大秩和最小秩 全文内容大体上可分为三章第一章，除了介绍本文主要内容的一些研究背 景、研究进展之外，还介绍了一些预备知识其中包括实四元数的概念及其一些 性质，四元数矩阵的初等变换、相似、等价、秩、广义逆以及四元数矩阵其它的相 关性质等第二章，主要给出四元数矩阵方程组 a 1 x = c 1 ，a 2 x = c 2 ，x b l = c 3 ，x b 2 = c 4 ，a 3 x b 3 = c 5 ，也x b 4 = g ( 1 1 1 ) 通解的另一表达式，这个表达式有利于我们研究它的最大秩和最小秩作为主要 定理的推广，我们还给出了一些特例第三章，利用第二章中的主要结果及秩的 一些性质，我们研究了矩阵方程( 组) 解的秩不变性 1 2 预备知识及记号 本节除不加证明地介绍四元数除环上矩阵的一些基本知识和要用到的一些性 质外还提供了一些文中的记号 设是全体实四元数，a = a o + a l l + a 2 j + a 3 k ，其中i ，j ，k 满足 i 2 = 歹2 = k 2 = - 1 ， 巧=一=k，jk=一kj=i，ki=-ik=j-3* 叼2= ， = 一 = ， = 2 称瓦= a + = a o a l i a 2 j a 3 k 为a 的共轭元素实四元数a 的实部a o 记 为r e ( a ) ，实四元数a 的虚部q 1 t + a 2 j + a 3 k 记为i r a ( a ) ，实四元数a 的长度或模 定义如下 l o i = ( o 石) = ( n 3 + o ；+ o ；+ o ；) 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 3 若a = 1 ，则称n 为单位四元数显然，对于两个实四元数p ，q 有两= 一q p ， p + q = f + 虿 m 黼表示研上全体m 佗矩阵，j 表示适当阶数的单位阵，对于a 仇跏， a t 表示a 的转置，万表示a 的共轭矩阵，小表示4 的共轭转置，k 表示皿 上的次对角线元素都为1 其它元素都为0 的n 阶矩阵，g l n ( ) 表示上全体n 阶可逆矩阵，r ( a ) 表示矩阵a 的秩 1 3 】中，关于四元数矩阵可逆和运算有以下定义和定理 定义1 2 1 设a 黼，若存在b p 加，使得 a b = b a = i 则称四元数矩阵a 是可逆的，而称b 为a 的逆阵，a 的逆阵记为a 一 定理1 2 1a m 黼，b 皿n x p ，则有 ( 1 ) 0 - a ) t = 刁； 例( a b ) + = b a i 俐一般情况下，万百一a b “j 一般情况下，( a b ) t b t a r ； 俐若a ，b 可逆，则( a b ) - 1 = ( b ) _ 1 a - 1 j 俐若a 可逆，则( ) 1 = ( a _ 1 ) + j f ，砂一般情况下，( - a ) 一1 万了i 俐一般情况下，( a t ) 一1 ( a - 1 ) t 【5 2 】中关于四元数矩阵初等变换，等价，相似，秩等有如下定义、命题和定 理 定义1 2 2 含幺环r 上一个礼xm 矩阵a 的行空间( 或列空间) 是由a 的诸行 ( 或者诸列，分别看作是p 和r n 中的元素) 所生成的自由左( 或者右) 模r m ( 或者r n ) 的子模如果r 是体，则a 的行空间( 或者列空间) 的维数叫作a 是的行秩( 列秩) 定理1 2 2 如果，：e f 是体d 上有限维左( 或者右) 向量空间，a 是，对 于某两组基的矩阵，则，的秩等于a 的行秩( 或者列秩) 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 4 可以证明如果a 是体d 上礼m 矩阵，则a 的行秩等于a 的列秩 定义1 2 3 设4 是含幺环兄上的矩阵下列诸项均叫作a 上的初等行变换： 以，交换a 的两行； 俐将a 的一行左乘以单位c r ； 俐对于r r ，i j ，将第j 行左乘以r 加到第i 行之上 类似地定义a 上的初等列变换( 俐和俐中的左乘改成右乘) 将单位矩阵厶 恰好进行一次初等行( 或列) 变换所得的矩阵叫作n m 的初等( 变换) 矩阵 命题1 2 1 设a 皿m 肌则4 的初等变换不改变a 的秩 定理1 2 3 设4 是含幺环r 上的礼仇矩阵b 做j 是厶他k ，上进行 初等行( 或列) 变换t 而得到的初等矩阵，则玩4 绒a ，是a 上作用t 而得 定理1 2 4 对于a m 鼽，r ( a ) = r 的充要条件是存在p g l 仇( ) ，q g l n ( ) 使得 p a 。= 言兰 当m = n 时，以下条件等价 ( 1 ) r ( a ) = n ； ( 2 ) a 等价于厶； ( 3 ) a g l 礼( 皿) ； ( 4 ) a 是一些初等矩阵的乘积 定理1 2 5 【5 3 】设a m n ，b n 舶，c 廿则，p g l m ( ) ，q g l n ( ) ，则 有下面式子成立 ( 1 ) r ( a ) = r ( p a ) = r ( a q ) = r ( p a q ) ； ( 2 ) r ( a ) + 7 ( b ) 一礼r ( a b ) m i n r ( a ) ，r ( b ) ) ； ( 3 ) r ( a b c ) r ( a b ) + r ( b c ) 一r ( b ) 下面介绍一下四元数除环上矩阵广义逆的定义及性质，矩阵的广义逆是研究 矩阵方程和矩阵秩的一个十分重要的工具 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 5 定义1 2 4 对于上的矩阵a ，若存在a 一，使得a 4 一a = a ，则称a 一为a 的一个内逆或广义 1 ) 逆；若存在a + ，同时满足a a + a = a ，a + a a + = a + ， 则称a + 为a 的一个反身逆或广义 1 ，2 ) 逆 显然，a 有一个广义 1 ) 逆当且仅当a 有一个 1 ，2 】逆本文约定，l a = j a + a ，r j 4 = i a a + 其中a + 是a 的任意的但是确定的 1 ，2 】逆显然，l a 和砒是幂等的，且它们都是各自本身的 1 ，2 ) 逆 研究矩阵方程组的各种对称解一直是矩阵分析中的一个活跃课题，迄今已有 大量的论著对各种对称矩阵做过深入的研究( 【5 4 】- 5 5 】) ，这些矩阵在工程技术和应 用数学中有广泛的应用，如线性系统理论，线性估计理论，信息理论，数值分析等 ( 【5 6 】， 5 7 】) 下面介绍些对称解的定义和性质 定义1 2 5 ( 【5 8 】) 设a = ( a i j ) 丑m 跏，”= ( 砺) 研黼，a ( + ) = ( a m - j + l , n - i + 1 ) n m ，= ( a m - i + 1 ，n j + 1 ) m 跏，其中砺是a j i 的共轭转置那么a ( ) = k a ，a # = a k ( 1 ) 矩阵a = ( a i j ) 皿似n 称为自共轭矩阵( 斜自共轭矩阵) ，如果a = a ( a = 一岔) ( 2 ) 矩阵a = ( ) 丑似n 称为广自共轭矩阵( 斜广自共轭矩阵) ，如果a = a ( ) ( a = 一a ( ) ( 3 ) 矩阵a = ( a i j ) m n 称为中心对称矩阵( 斜中心对称矩阵) ，如果a i j = a m - 件1 ，n j + 1 ( n 巧= 一n m 一件1 ，n j + 1 ) ，即a = a “( a = 一a 4 ) ( 4 ) 矩阵a = ( a i j ) n 加称为双对称矩瞰斜双对称矩阵) ，如果a i j = a n - i + l ，n j + 1 = 瓦元a t ，= - a n t + 1 ，n f + 1 = 一瓦i ) 全体凡n 自共轭矩阵记为s q ，全体佗礼广自共轭矩阵记为p c n ，全体 nx 他双对称矩阵记为觋，全体nxn 中心对称矩阵记为c n 第二章六个四元数矩阵方程公共解的最秩 本章我们给出四元数矩阵方程组( 1 1 1 ) 的最大秩和最小秩，作为定理的应 用，本章还给出了一些特例 2 1 研究背景 很多学者都对矩阵方程( 组) 解的秩做过研究如u h l i g 在 5 9 】中给出了矩阵方 程a x = b 解的最大秩和最小秩；t i a n 在【6 0 】中给出了矩阵方程a x b = c 解的 最大秩和最小秩及其应用；m i t r a 在【6 1 】中考虑了矩阵方程a x = b 和a x b = c 解有不变秩的条件，在 6 2 】和【6 3 】分别研究了矩阵方程组a x = c ，x b = d 和a x x b l = c 1 ，a 2 x b 2 = 岛解的最小秩最近，w a n g 和c h a n g 在 6 4 】中研究 了四元数矩阵方程组( 1 1 1 ) 的解的表达式，并给出了解存在的充要条件本章， 我们进一步给出这个方程组通解的另一表达式，进而研究这一解的最大秩和最小 秩，并给出通解秩不变的充要条件 2 2 主要结果 本节将给出四元数矩阵方程组( 1 1 1 ) 通解的另一表达式，并研究其最大秩和 最小秩下面我们先看以下几个引理 弓i 理2 2 1 【3 5 】已知a 码i m n ，b 码【r 8 ，c n m ，c 2 1 n 8 未知，则以下条件等价： ( a ) a x = a 1 ，x b = q 1 有解 ( b ) r a c n = 0 ，c 2 1 l b = 0 ，a c 2 1 = a 1 b 6 。x n r ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 7 ( c ) a q ，= g ，b ，r c 4 ，a ，= r c a ，r 麦， = r c b ， c 2 2 3 ， 有解时矩阵方程组( 2 2 1 ) 的一般解可表示为如下形式： x = a + a 1 + l a c 乞1 b + + l a y r b 其中y 是上任意有适当阶数的矩阵 在【6 5 】中，t i a n 给出了关于矩阵方程组 a 3 x b 3 = g ，a 4 x 玩= g 解的引理，可以推广到四元数体上 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 引理2 2 2 设( 2 2 5 ) 是定义在四元数体噩上的矩阵方程组，令s = a 4 l , 4 。，t = r b 3 玩那么矩阵方程组( 2 2 5 ) 的解可以表示为如下形式： x = x o + l a 3 l s + 坞r t r b 3 + l a 3 k r b 44 - l a 4 v 4 r b 3( 2 2 6 ) 其中凰是( 2 2 5 ) 的任意一个特解，一k 是上任意有适当阶数的矩阵 上 6 6 】中，m a r s a g l i a h 和s t y a n 关于秩有如下等式，它们可以推广到四元数体 引理2 2 3 已知a m 加，b 仇七且c 加则它们满足下列秩的等式： ( a ) 7 ab 】= r ( a ) 4 - r ( r a b ) = r ( b ) 4 - r ( r b a ) c a = r c a ，+ r c c l a ，= r c c ，+ r c a 三c ， abl i = r ( b ) + r ( c ) 4 - r ( r b a l c ) c0 i 用引理2 2 3 我们可以得到如下结果 利 r r d 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 8 ( d ) r ( c l a ) = rl * a “舢 c e ，r ba l c = ri 言c ai r c g ， r = r 叫巩 c 9 ，r a c b 。l 。 = r 吾三导 一r c 。，一r c e ， 其中引理2 2 4 对简化各种分块矩阵的秩有非常重要的作用 引理2 2 5 设q 口，圣。是定义在上的矩阵， 那么 面d = 耋： ，q 口= q 。q 2 ，兄= 圣z 三雪，瓦= r n 。q 2 l 雪。= 1 l f , ，兄n 。= 耽r n l 证明由【6 7 】中引理2 3 和圣1 l 圣，= o ，兄n 。q 1 = 0 得， 啦 廿h 鹏嘏 辩= r 孑 ( 2 2 7 ) 因此可得等式( 2 2 7 ) 4 7 】中，t i a n 在复数域上给出了矩阵表达式，( x 1 ，托) 的最大秩和最小秩， 这个结论可以推广到四元数体上于是我们有 引理2 2 6 设f ( x 1 ，恐) = a + b 1 x 1 a + b 2 咒岛是m n 上的矩阵表达式， 则，( 五，恐) 的最大秩和最小秩分别为 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 9 乩m a 恐x7 ，( x 1 ，托) 】 = m i n r a 目岛 ，r 墨 ，r 三言 ，r 三言 ) 札m i x n ：r f ( x 1 ，恐) 】 = r ab 。岛】+ r r ( 2 2 8 ) + m a x r 三b 。1 一r q a 言言 墨罩 ，r c a _ b 。2 一r c a h b 。1 b 。2 一r 如果冗( b 1 ) z e ( b 2 ) 和- ，v ( c 2 ) ( a ) 那么 挪亿加， 四楚r 抓五，咒，= m t n r 4 易 ，r g a ，r 三历0 ) ， 礼m i 拖nr 叭墨，恐= r a 岛 + r 三 + r 岛a 言 下面给出本章的主要定理 一r g ab 。1 r g a 言 ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) 定理2 2 1 已知a 1 m 1 口，a 2 m 2 加，a m 1 q ，c 2 m 2 加，b 1 q s 1 ，1 3 2 h q 幻，g p 们，c 4 p 耽，a 3 h k 口，a 4 阶口，b 3 心rz b 4 a 口岛 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 1 0 口埘，c 5 h k r , g h n 则若四元数矩阵方程组( 1 1 1 ) 有解，那么解的最大秩 和最小秩分别为 ( 1 ) 其中 r l 2r m a x r ( x ) = m i n 1 1 ，1 2 ，r l ，r 2 ，r 3 ，r 4 ) ， “= r 兰 一r 三： + a f 2 - r 岛c 4 卜r b ，岛 + 口， a l 岛以1 aa 风 a 2 g a 2 aq 风 ga 4 qg 000 000 000 0 a x 0 a 2 0 a a 玩a 1 q b 3a s ga 3 一rl j e 7 1 玩岛玩l + p + q ， r 2 2r 一7 - 三； 一r 三； a b la 岛a b 3 000 q b l 岛b 2q b 3 000 a 3 岛a 3 ag 000 000 a 4 c 3 a 4 c 4g b 1b 2b 3b 、b 2b 4 一r r b 。b 。岛 一r b 。岛玩 + p + g ， a 1 a s a 3 a 4 ( 2 2 1 2 ) 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 1 1 r 32 r a b iq 岛a 岛 q b l 岛岛岛岛 a 3 ga 3 ag 心= r 萎蒌萎萎建； | - a 。 l 叫ia 2 l a 3 l r r ib 1 岛玩l + p + q ， r1 一小罗，岛玩 + p + g 1 2 4 a a a ( 2 ) m i nr ( x ) = r + r 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 a 1 岛a 1 ag 风 4 2 c 3 a 2 c 4 c 2 8 4 a 4 g a 4 a岛 000 000 00o g b lg 岛a 玩 岛b 1q 岛q 玩 a 3 g a 3 ag 00o b 1b 2b 3 0 a 1 0 a 2 0 a 4 a b 3a 1 q s 3a 2 c 5a s 000 000 000 a 4 岛a 4 qg b ib 2b 4 一r a 1 岛a 1 a a 2 c 3a 2 c 4 a 3 c aa 3 c 4 a 4 c aa 4 c 4 一r c a s b b ：戛三c a s 岛b 3g c s 鼠3 4 + r 兰 + r 岛a 一r l+ r -_ + ri ，j ，! i l 1q 易 llgl 。 + m a x r r a 1 g a 1 aa 3 3 00 a 2 岛a 2 a 岛3 3 0 0 a 3 g 4 3 0c s 00 b lb 2b 3b l b 4 b 2 8 4 a 1 g a 1 q a b 4a l a 2 c 3 a s 0 4 c s b 4a 2 a 4 g 4 4 ag也 o 0 0 0 0 0 0 0 0 一r a 3 g a 3 aga 3 a b l q b 2c 1 8 3a 1 q b l q b 2q b 3a 2 0 0 o ，r 0 0 0 c a b l q b l 也g o 0 o c 1 b s c 2 8 2 a 4 a a 1 岛a 1 qa 蜀 a 2 岛a 2 aq 玩 a 岛a 4 ag b 1岛b 4 a 1 a s a 4 000 000 oo0 b 1 岛玩 1 2 ( 2 2 1 3 ) 一 玩玩卵叩g岛岛q g q 如玩夙q a q 凡 鼠取毛叩印侥 1 2 3 a a a 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 1 3 证明：定理的证明分为两部分首先我们给出矩阵方程组( 1 1 1 ) 解的表达 式令 和 s = a 3 l a ，t = a 4 l a ，u = r b b s ，v = r b b 4 ，w = t l s ，z = r u u b = b 。岛 ，v l = b 。岛岛 ，= b 。岛段 k = 目岛玩玩 ，q - = c a 2 ，q = 岛 由引理2 2 5 得 a = 三： ，巩= 奎 ，= a 1 a s a s 也 l a l s = l u l ，l a l l t = l ，l a l s l w = l u s ， 助冗日= r ，r v r b = r ，r z r u r b = r ， 以及 7 已( l 巩) 7 已( l a ) ，i = 1 ，2 ，3 ，t 已( l u s ) 7 已( 三) ，j = 1 ，2 由引理2 2 1 知，矩阵方程组( 1 - 1 1 ) 中前两个方程解的表达式为 x = a + c 1 + l a c 乞b + + l a y r b ， ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) 其中y 是上任意适当阶数的矩阵把x 代入矩阵方程组( 1 1 1 ) 中后两个方 程，我们可以得到 盯肚c 1 3 ( 2 2 1 6 ) i 吖v = a 4 其中 c 1 3 = c 3 一a a a + q 1 b s a 3 l a c 2 1 b + b a ， c 1 4 = c 4 一a 4 a + c 1 1 8 4 一a 4 l a q l b + b 4 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 1 4 由引理2 2 2 知方程组( 2 2 1 6 ) 的解可以表示为 y = y o + l s l w x l + 恐r z r u + l 3 x 3 ；r v + l t x 4 r u ，( 2 2 1 7 ) 其中k 是( 2 2 1 6 ) 的一个特解因此方程组( i i 1 ) 的解可以表示为 x = x o + l v 3 x a r b + l a x 2 r + 三仉恐兄屹+ l v 2 x 4 r ， ( 2 2 1 8 ) 其中五，托，托，弱是上任意适当阶数的矩阵， x o = a + a 1 + l a c 2 1 b + + l a y o r b ， 是矩阵方程组( 1 1 1 ) 的一个特解事实上，很容易证明( 2 2 1 8 ) 中的x 是方程 组( 1 1 1 ) 的解反之，假设甄是矩阵方程组( 1 1 1 ) 的一个特解下面我们来证 明可以表示为( 2 2 1 8 ) 的形式 由 得 l a 】，0 r b= x o r b a + a x o r b = x o a + c _ 1 一x o b b + + a + c y l l b b + = x o a + a 1 一l a q l b + x o = a + a 1 + l a c t 2 1 b + + l a x o r b ( 2 2 1 9 ) 由引理2 2 2 知也是矩阵方程组( 2 2 1 6 ) 的一个解，并且可以表示为 x o = y o + l s l w x i + 咒r z r u + l s x 3 r v + l t x 4 r u ， 其中k 也是矩阵方程组( 2 2 1 6 ) 的一个解 因此由( 2 2 1 9 ) 可得 x o = a + q 1 + l a g l b + + l a y o + l s l w x i + 托兄r u + l 3 x 3 r v + l t x 4 r u r b 所以弱可以表示为( 2 2 1 8 ) 的形式现在我们来考虑矩阵方程组( 1 1 i ) 的 解( 2 2 1 8 ) 的最秩由( 2 2 1 4 ) 知 a f ( r k ) ( r 口) ，i = 1 ，2 ，3 ，( r b ) m 冗巧) ，j = 1 ，2 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 因此 x 。，五m ：a ，x ，r ( x ) x ax 4x 1 ，五2 ， m i n r ( z ) m ，a x ，r ( x o + l u 3 x 1 r b + l a x 2 r v 3 + l u , x a r v 2 + l u 2 x 4 r v l ) 1 ， 2 盖m 。m i n l m l ，1 3 ) ， ( 2 2 2 0 ) r a i nr ( x o + l u 3 x 1 r b + l a 恐r v 3 + l u l x a r v 2 + l 沈五兄u ) j 1 1 ，j 1 2 l l + z 2 + f 3 + 1 4 一l s ，( 2 2 2 1 ) 如= ， x o + l u l x 3 r 冗v b 2 + 厶如五r ， 如= r x o + l u , x 3 r v 2 ，+ 三沈五r l 。u a ， h = r x o + l u , x z r v 2 ，+ l 沈五r l 。u a ， 如= r x o + l u , x 3 r v 2 ，+ l 沈五r l 。a ( 2 2 2 2 ) 1j 1 2 ， a a a厂_j ， r r 一 一 1 j 1j 1j “ ，a q q o l_叫-一 rl rl上 r r p 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 1 6 和 易得 和 弱1 叫i lj r 驯h b ) l - ，bj = 口+ r 岛c 4 卜r b 。岛 ，| - 地1 “一h o l lj =r =r x o 10 iqb 0 u 30 a 1 岛a 1 a a 2 c 3 a 2 c 4 a 3 c 3a 3 a a 4 岛a 4 a ，| _ 凰“ f5=rl l l 兄均0l = = r r ( 现) 一r ( b ) 一r ( 2 2 2 3 ) 一r b 1 岛 + p + 口( 2 2 2 4 ) 言三导 一r c a ，一r c ， 一r 三： + p + 口 ( 2 2 2 5 ) = = 如 1 2 3 4 a a a a 夙励历胁 r一 1j 胁觑 g g玩玩q 岛岛岛 q q研历 q q l r= 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 为了化简c 3 ，我们注意到 叩圭 + l 仉托：兰+ 三沈五冗n 气 = r x o 警 + r 管 弱 r 。 + 叫刚 仁2 筋， 由( 2 2 7 ) 和( 2 2 6 ) 得 其中 拖m ，a 施x 1 35 施m ，a 托x r ( 7 7 ) 2 义m 。，i n 。 r 1 ，r 2 ，n ，r 4 ， x m 3 ，i 地n f 32 弱m ，i 托nr ( 叩) = 7 1 + r 2 + m a x r 3 一他一，r 4 一r 7 一珊) r ，：r | - l 砺三仉己观 ，您：r i - 如0 00 j 如2 r r 52 r r 65 r x o r h r h l 珧 0 0 三仉 0 0 ，心2r x o r 兄 r x o r r h 兄 l 现 0 0 0 x o r h 兄b r h x o r r h r h l 观 0 0 0 己沈 0 0 0 l 现 0 o o l 砺 0 0 0 ( 2 2 2 7 ) ( 2 2 2 8 ) 锄o o o 锄o o o = 飞 1j 2 如o 0 如o o 锄o o 肌肌 | | 瑰 1j 伽o o h o o 3 幻o o 肌肌 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 1 8 由于是矩阵方程组( 1 1 1 ) 的解，由引理2 2 4 和 r ( l u 3 ) t 已( l u l ) 可得 r l 2r 同理可得 =r =r | - 弱地 l i 0 | l i 1 0 l i 曼引0 0 椰r h r w l 0 00 ，k l 一( 蚝) 一 ) 矾l x o 0ii j 0 0 00 v l 0 000 u 2 一r ( ) 一r ( 仉) 一r ( 巩) a 1 岛a 1 ag 玩 o a 1 a 2 岛a 2 a 岛玩 0 a 2 a ga 4 ag 0也 1 0 l l o l 0 l r b 。 l r 2 2r 00c i 岛a 1 00q 玩a 2 00 c 3 8 3a 3 岛岛局 + p + 口 a 1 a 2 a 3 a b la 岛a 玩 000 q b lq 岛q 玩 000 a 3 伤a 3 ag 000 000a 岛也a 岛 b lb 2b 3b 1b 2b 4 一r a 1 a 2 a 4 a 1 a 2 a 3 a 4 ( 2 2 2 9 ) 一r j e 7 。岛岛 一7 b 。b 2 玩 + p + 口， ( 2 2 3 0 ) “ 一 o 伽。 伽o 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 1 9 他2 7 1b 1 岛b 3l + p + q ， r 4 2r r 5 2r 至量b1 a 萎4 萎荸 一r 至 qq 岛岛风i ria 2l a 岛agi lai r 马岛鼠 + p + 口， a 3 ga 3 c 4ga 3 g b lg 岛a 岛a 1 g b l 岛b 2q 岛4 2 00 0 a 1 000 a 2 00 0 a 4 一ri 蜀岛岛l + p + q ， = r 一褂r a 1 g a 1 aq 玩00 a 2 岛a 2 ag 岛0 0 a 3 g a 3 a b 1岛 g b 3 0 0 0 00 b 1b 2 b 4 7 一r b ，易岛】一r b l 岛玩 + p + 口， ( 2 2 3 1 ) ( 2 2 3 2 ) ( 2 2 3 3 ) ( 2 2 3 4 ) 1 2 3 a a a 一 玩玩k 1 2 ，_ 叩啪g岛玩oa 岛如 历c f i 伪 q 岛凡 1j 1 2 3 a a a 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 r 7 2r a 1 g a 1 aa 鼠a 1 a 2 仍a 2 qq 鼠a 2 a 4 岛a 4 aga 4 000 a 1 000 a 2 000 a 3 一r b l 3 2 l r s 2r 玩 + p + g i r a a a 2 a s a 1 c sa 1 c 4c 1 8 4 0 00 a 2 c 3a 2 ac 2 t 3 4 000 a 岛a ac 6 000 b 1岛玩b 1 岛玩 一r r 4 1 a 2 a 4 a 1 a 2 a 4 ( 2 2 3 5 ) 一r b ，易岛 一r 马岛鼠 + p + 口 ( 2 2 3 6 ) 把( 2 2 2 9 ) 一( 2 2 3 2 ) 代入( 2 2 2 7 ) ，再把( 2 2 2 2 ) ，( 2 2 2 3 ) 和( 2 2 2 7 ) 代入( 2 2 2 0 ) 就可以得到( 2 2 1 2 ) 把( 2 2 2 9 ) 一( 2 2 3 6 ) 代入( 2 2 2 8 ) ，再把( 2 2 2 2 ) 一( 2 2 2 5 ) 和 ( 2 2 2 8 ) 代入( 2 2 2 1 ) 就可以得到( 2 2 1 3 ) 证明完毕 注在定理2 2 1 的证明中，我们给出了矩阵方程组( 1 1 1 ) 一个不同于【6 4 】中 通解的表达式这个表达式有助于我们研究它的最秩 2 3 一些特例 推论2 3 1 已知a 3 七x 口，玩世r ，若矩阵方程a 3 x b 3 = c 5 有解，那么 解的最大秩和最小秩分别为 m a x r ( x ) = m i n p ，q ，p + q + r ( c 5 ) 一r ( a 3 ) 一r ( 玩) ) ， r a i nr ( x ) = r ( c 5 ) ( 2 3 3 7 ) ( 2 3 3 8 ) 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 2 1 证明在定理2 2 1 中令a l = c 1 = a 2 = 岛= b 1 = c 3 = b 2 = c 4 = a 4 = b 4 = c 6 = 0 ，化简( 2 2 1 2 ) ，( 2 2 1 3 ) 我们可以得到 易得( 2 3 3 7 ) 和( 2 3 3 8 ) r ( c ) m i n r ( a ) ，r ( j e 7 ) ) 注推论2 3 1 是【4 6 】中的定理2 1 ( 2 3