（基础数学专业论文）不可压磁流体方程组解的适定性.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 贞 摘要 本文主要从两方面来讨论不可压磁流体方程组c a u c h y 问题解的适定 性，第一是在不同函数空间中讨论磁流体方程组c a u c h y 问题解的适定性， 这表明在更大的函数空间中建立了磁流体方程组的适定性，改进了以前的适 定性结果：第二是对不可压磁流体方程组作修正，然后讨论修正的磁流体方 程组解的适定性其主要内容分为如下四部分： 绪论中介绍不可压磁流体方程组的研究背景和研究现状以及本文要解决 的问题和得到的重要结论 第二章利用半群的方法，研究不可压磁流体方程组c a u c h y 问题在空间 p 扩n p 护( 1 0 研究不可压磁流体方程组c a u c h y 问题在一致局部护空间珑| o c , p ( r n ) 中m i l d 解的存在唯一性，并得到m i l d 解的最大存在时间估计 在第四章，首先把l a p l a c e 算子一换成分数阶l a p l a c e 算子( 一) 1 ( 7 0 ) ，对不可压磁流体方程组作修正，再运用基于半群s ( t ) = e - t ( _ ) 曹的 汐一估计，研究修正的磁流体方程组在全空间舯( n 2 ) 上强解的存在唯 一性 关键词：m h d 方程组；g m h d 方程组；存在唯一性：强解：m i l d 解 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 ab s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w e l l - p o s e d n e s so ft h ec a n c h yp r o b l e m sf o rt h ei n c o m p r e s s - i b l em a g n e t o - h y d r o d y n a m i c ( m h d ) e q u a t i o n si ss t u d i e df r o mt w od i f f e r e n t v i e w p o i n t s o no n eh a n d ，w ed i s c u s st h ew e l l - p o s e d n e s so ft h ec a u c h yp r o b - - l e m sf o rt h em h de q u a t i o n si nd i f f e r e n tf u n c t i o n a ls p a c e s ，c o n s e q u e n t l y , t h e w e l l - p o s e d n e s so ft h em h de q u a t i o n si nm o r eg e n e r a ls p a c e si ss h o w e d ，a n dt h e w e l l - p o s e dr e s u l t sa r ei m p r o v e d ；o nt h e o t h e rh a n d ，w em o d i f yt h em h de q u a - t i o n s ，t h e nd or e s e a r c ho nt h ew e l l p o s e d n e s so ft h eg e n e r a l i z e dm h d ( g m h d ) e q u a t i o n s t h i st h e s i sc o n s i s t so ft h ef o l l o w i n gf o u rc h a p t e r s ： i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u da n dc u r r e n ta d v a n c e m e n to ft h e i n c o m p r e s s i b l em h de q u a t i o n s ，a n dg i v es o m ei m p o r t a n tr e s u l t sc o n c e r n e d w i t hw e l l p o s e d n e s s i nc h a p t e r2 ，t h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dd e c a yp r o p e r t i e sf o rt h es t r o n g s o l u t i o n so ft h em h d s y s t e mi ns p a c e 尸l nn 尸妒，w h e r e1 0 ，b yu s i n gt h ek e yl ：f d c ，p l 毳o c ，pe s t i m a t e s a n db a n a c hf i x e dp o i n tt h e o r e m f u r t h e r m o r e ，w eo b t a i nm a x i m u me x i s t e n c e t i m ee s t i m a t e so ft h es o l u t i o n s i nc h a p t e r4 ，u s i n gt h ef r a c t i o n a ll a p l a c i a n 一( ) 1 ，w h e r e - y 0 ，t ot a k e t h ep l a c eo ft h el a p l a c i a n 一w ec a nm o d i f yt h em h d e q u a t i o n s t h e nt h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es t r o n gs o l u t i o n st ot h ec a u c h yp r o b l e mo ft h e g m h ds y s t e mi nt h ew h o l es p a c er n ，w h e r en 2 ，a r ep r o v e db ya p p l y i n g 驴一l re s t i m a t e sb a s e do nt h es e m i g r o u ps ( t ) = e - t ( 一f k e yw o r d s ：m h de q u a t i o n s ；g m h de q u a t i o n s ；e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s ； s t r o n gs o l u t i o n s ；m i l ds o l u t i o n s 西南交通大学曲南父逋大罕 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密曰，使用本授权书。 ( 请在以上方框内打 ) 学位论文作者签名：圹逐庶 日期： 伽g 7 弓口 指导老师笔名：黼 日期讨i 钆 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作 所得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中作了明确的说明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承 担。 本学位论文的主要创新点如下： 1 在不同函数空间中研究磁流体方程组c a u c h y 问题解的适定性，表明 在更大的函数空间中建立了磁流体方程组的适定性，改进了以前的适定性结 果。 2 对不可压磁流体方程组作修正，然后研究修正的磁流体方程组解的适 定性。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1 不可压磁流体方程组的研究背景和研究现状 磁流体力学( m a g n e t o - h y d r o d y n a m i c ，缩写为m h d ) 是研究导电流体在 磁场作用下运动规律的一门科学，即考察磁场如何影响着流体的运动，反之 流体的运动又是如何影响着电磁场因此，必须耦合考察流体运动的速度场 和介质内部的电磁场磁流体力学与流体力学和电动力学之间，既存在密切 联系，又相互区别的关系，从而使得磁流体力学成为既独立于流体力学，又 独立于电动力学的一门交叉学科磁流体力学与物理学的许多分支及化学、 冶金、核能、航天等科学技术领域都有紧密联系，研究m h d 方程组的有关 问题有着较广泛和重要的应用背景 。本文主要讨论的是不可压m h d 方程组的c a u c h y 问题 i 让t a u + ( 缸v ) u 一( b v ) b + v p = 0 ib t 一64 - ( 乱v ) b 一( b v ) u = 0 1 玑归o ，玑6 - o u ( z ，0 ) = 咖( z ) ，b ( x ，0 ) = b o ( x ) 这里，zr n ，t0 ，n 2 是空间维数u = u ( x ，t ) = ( u l ( z ，t ) ，( z ，t ) ) ，b = b ( x ，t ) = ( b l ( x ，t ) ，k ( z ，t ) ) 和p = p ( x ，t ) 分 别是磁流体在( z ，t ) 处的速度场、磁场以及总压力，u 0 ( z ) 和b o ( x ) 是流体速 度场和磁场的初值，并且满足自由散度条件v 让o = 0 和v b o = 0 为了讨 论方便，这里总压力p ( x ，t ) 包括磁流体的压力和磁场的平方l b ( x ，t ) 1 2 ，并设 流体r e y n o l d s 数和磁场r e y n o l d s 数以及相应的系数均为1 从结构上可以看出m h d 方程组与流体力学中的n a v i e r s t o k e s 方程组比 较相似：特别地，若b = 0 ，则方程组( 1 ) 即变为不可压n a v i e r - s t o k e s 方程 组因此，在解决m h d 方程组出现的问题时，可借鉴研究n a v i e r - s t o k e s 方 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 爽 程组麴方法。但m h d 方程组中出现了未知的磁场函数b ，及更多的j # 线性顼 期强耦合顼，嚣诼对m h d 方程组静理论研究冼n a v i e r - s t o k e s 方程组会更为 困难塑 众所周知，许多学者在经典的函数空闻中研究了m h d 方程组解的适定 性、燕则性和衰减性等性质。 王。在解的适定性方面：d u v a u t 与l i o n s 圈首先证爨了：维m h d 方程组 扔边值问题强解的整体存在唯一性及三维m h d 方程组初边值问题弱解的整 体存淼唯一性与强解的局部存在唯一健；在文 1 1 的基础土，m s e r m a n g e 岛 t t e m a m 翻研究了m h d 方程组c a u c h y 麓题鳃静局部适定性；珏。k o z o n o 【3 证明了m h d 方程组在有界域上弱解整体存在，在嚣! 出p 空闻上古典 解局部存在；近年来关于m h d 方程组解的适定性又有了一些新的进展。 c h a n g x i n gm i a o ，b a o q u a ny u a n 帮b oz h a n g 圈在b m o _ 1 空闻与b m o 。空 闻中磷究了m h d 方程组解的适定性阚题，证明了当初僮较小时，m h d 方 程组c a u c h y 问题的解在b m o o 空间中整体存在唯一，在b m o o 空间中局 部存在唯一+ 最近，煮晓曼f l 翻对初值充分小的条件下讨论了闻题1 ) 1 2 强 解豹存在唯一性 2 。在解的正则性方露：r 。e 。c 龌i s c h ，1 k l a p p e r 及g + s t e e l e 【5 l 把 b e a l ，k a t o 和m 氇j d a 闻熊结果推广到三维理想m h d 方程组的情形，褥 到了解的正则性条件；j i a h o n gw u 闭和y o n gz h o u 溶，9 】相继涯甓了三维 m h d 方程组解在满足一定的s e r r i n 条件下是光滑的；c h e n gh e 与z h o u p i n g ) ( i nf 1 0 1 给遵了三维粘性m h d 方程组弱解的芷则性条件，该结果是三维 n a v i e r - s t o k e s 方程组续栗【羔l 】的推广。 3 。对予m 嚣d 方程组解瞧衰减性矮也有重要的研究结果，特别是关于对 间衰减性质的研究，m 。e s c h o n b e k ，t 。ps c h o n b e k 褪e 。观藏 1 2 l 研究丁 辩( 2 蓬托s4 ) 上m h d 方程组，得到了解的时间衰减率；关于m h d 方程组 舻强解时澜衰减性质豹研究见文献 1 9 】；李灵芝露翻通过构造m h d 方程缎 的线性化逼近方程以及讨论奇异积分的性袋，得到m h d 方程组解的空间衰 减与时间空间衰减性璇 m h d 方程组是许多湍流数值模拟的出发点，然而( 王) 形式的方程组并举 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 总能被精确地实现，一个主要的原因是，由于流体的复杂性，直接数值模拟 要求的自由度数目( 它由r e y n o l d s 数刻划) 增加而目前的计算机只能处理 复杂性相对较低的流体为克服这种障碍，研究者考虑对方程组( 1 ) 作修正， 以满足更多湍流的计算，例如，在一些模型中，把l a p l a c e 算子一换成分 数阶l a p l a c e 算子( 一) 7 ( 7 o ) ，即 l 夙u + ( - a ) 暑u + t v u b v b + v p = 0 j 侥6 + ( 一) 羞6 + u v b b v 札= 0，o 、 1 玑怛o ，玑6 - o l u ( x ，0 ) = 咖( z ) ，b ( x ，0 ) = 6 0 ( z ) 其中，q 0 ，p 0 是实参数，分数阶l a p l a c e 算子( 一x ) 7 ( - r 0 ) 利用 f o u r i e r 变换被定义为： ( 一) 一r 厂( ) = 研， 这里，表示f 的f o u r i e r 变换，有关( - x ) ，y 更详尽的讨论请参见文献【2 2 】我 们把这种模型称为修正的m h d 方程组，简称为g m h d ( g e n e r a l i z e dm h d ) 方程组 特别地，当芎o t = 鲁= 1 时，方程组( 2 ) 即变为标准的m h d 方程组而对 于g m h d 方程组的研究还很少最近，j i a h o n gw 叫1 3 】分三种情况讨论了参 数，r ，q ，对g m h d 方程组解的正则性的影响；y o n gz h o u 【1 4 】研究了三 维g m h d 方程组解的正则性，得到了与磁场b 无关的正则性条件 1 2 本论文的主要工作 本文首先对于问题( 1 ) ，在两个不同的函数空间：p 驴n p 驴空间与一 致局部驴空间中分别讨论了其解的适定性：其次研究了修正的m h d 方程组 ( 2 ) 解的适定性，都得到了较好的结果 我们给出一些空间的记号 i i 1 i l - ( r n ) 表示空间l q ( r n ) 的范数，简记为l i 0 口，其中1 口o o 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 贞 设q 互r n ，几1 ，若 峙：= 鬈端梨篱 则称u 口( q ) ，且在如上定义的范数下口成为b a n a c h 空间 设x 为b a n a c h 空间，b c ( o ，t ) ；x ) 表示定义在 0 ，t ) 上，取值于x 的 有界连续的抽象函数f ： 0 ，t ) 一x 组成的空间，其范数定义为 i i f l i s t ( t o ，t ) ；x ) = s u pi i f ( t ) l l x 设p ：l q ( r n ) n p l q ( r n ) n 是h e l m h o l t z 投影算子，这里p l q ( r n ) n ：= u l q ( r n ) n ；v u = o ) ，相应的范数仍记为i i t , 1 1 q p 可以表示成一个矩阵， 其第0 ，k ) 位置的元素为 ( f ) j k = 国4 - 弓r k ，1 j ，k n 其中马= 法是第j 阶r i e s z 变换，即( 巧，) ( ) = 鲁，容易验证算子p 满 足下面几个性质： 1 若v t = 0 ，则l ? u = u ； 2 i ? u = 0 当且仅当t = v f , 3 对任意的u ，v 舰= 0 本论文结构及主要结果如下： 第二章运用半群理论和t k a t o 1 5 】的方法，研究了问题( 1 ) 在空间 p l n n p 驴( 1 p n ，n 2 ) 中强解的存在唯一性，并对所给定的初始条件 得到了强解的时间衰减性质主要定理如下： 定理2 3 ( 局部存在唯一性) 设u o p 驴np 胪，b o p 驴np 护，1 p 0 ，使得 m h d 方程组的c a u c h y 问题( 1 ) 在【0 ，t ) 上存在唯一解( u ，6 ) ，且 u b c ( 【0 ，t ) ；p l n n p 驴) t l 2 v u b c ( 【o ，t ) ；p l n n p l p ) b b c ( 【o ，t ) ；p l n n p ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 t x 2 v b b c ( o ，t ) ；p l n n p l p ) 定理2 4 ( 整体存在唯一性) 存在a l ：0 a l a ，若i l u o l l n a 1 ，i i b o l l n a 1 ，则在定理2 3 中可取 t = + o o ，即强解是整体存在唯一的；且对q p ，有 t ( n v 啪l q ) 1 2 让b c ( 0 ，) ；p l q ) t 加v n q + 1 ) 2 v u b c ( o ，o o ) ；p l q ) 亡( n p n i q ) 1 2 b b c ( 【o ，o o ) ；p l 口) t ( n p n q + 1 ) 2 v b b c ( 【o ，。o ) ；p l q ) 其中，( n 加一n q ) 2 0 研究了问题( 1 ) 在一致局部2 空间圮i o c , p ( r n ) 中m i l d 解的存在唯一性，并 得到解的最大存在时间估计主要定理如下： 定理3 1 ( 存在唯一性) 设p 佗，p 0 ，且初值( u o ，b 0 ) ( l 乞o c , p ( 酞n ) ) n ( l p 试o c , p ( p ) ) n 满足 v u o = 0 ，v b o = 0 ，则存在t 0 ，使得在( 0 ，t ) r n 上m h d 方程组的 c a u c h y 问题( 1 ) 有唯一m i l d 解( u ，b ) 满足 ( u ，b ) l 。( ( o ，t ) ；( l ：l ，p ) n ) t 嚣( u ，b ) l ( ( o ，t ) ；( l ) n ) 定理3 2 ( 时间t 估计) 在与定理3 1 相同的条件下，最大存在时间t 满足 t 5 + 易p 一警+ 2 t i l pn p + t 5 一昂i i 彘 其中，y 仅依赖于n ，p ，g 第四章运用基于半群s ( t ) = e - t ( 一) 曹的护一l r 估计及t k a t o 【1 5 】的方 法，研究了g m h d 方程组的c a u c h y 问题( 2 ) 在全空间r n ( 凡2 ) 上强解的 存在唯一性主要定理如下： 定理4 1 ( 存在唯一性) 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 设q ，p 1 ，伽= 奇，r o = 南，m a x p o ，r o ) 0 ，使得m h d 方程 组的c a u c h y 问题( 1 ) 在【0 ，t ) 上存在唯一解( u ，6 ) ，且 t ( 1 - n l q ) 1 2 u b c ( o ，t ) ；p l q ) ，n 口so o( 2 1 ) t ( 1 一n 2 q ) v u b c ( 【o ，t ) ；p l q ) ，儿口 ( 2 2 ) t ( 1 - n i q ) 1 2 b b c ( 【0 ，t ) ；p l q ) ，n 口。o ( 2 3 ) t ( 1 一n 2 q ) v b b c ( 【0 ，t ) ；p l q ) ，几q ( 2 4 ) p l q 空间中强解的整体存在唯一性定理及衰减性质： 定理2 21 9 1 存在入 0 ，若0 u o i l n a ，i i b o l l n a ，则在定理 2 1 中可取t = + o o ，即强解是整体存在唯一的此外，当t o o 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 贞 时，i f 乱( t ) h 口，i i # ( t ) l l 口按t - ( 1 一n l q ) 1 2 衰减，i l v u ( t ) l l q ，i l v b ( t ) l l q 按t 一( 1 一n 2 9 衰 减，其中礼q o o 注：在定理2 1 与定理2 2 中作者主要关心的是u ( t ) p l q 时的衰减性 质，这里对指数q 有严格的限制条件：g n ，而对于口 佗没有得到任何 相关的结果本章希望进一步对此研究，建立问题( 1 ) 当1 口 n 时，在 p l 吖1p 护空间中强解的存在唯一性及大时间性态 2 2 主要结论 本苹主要足理： 定理2 3设u o p 驴np 汐，b o p 驴np 护，1 p 0 ，使得m h d 方程组的c a u c h y 问题( 1 ) 在【0 ，t ) 上存在唯一解( u ，6 ) ， 且 u b c ( o ，t ) ；p l nn p 汐) ( 2 5 ) 亡v 2 v u b c ( 【o ，t ) ；p l nn p 汐) ( 2 6 ) be b c ( o ，t ) ；p l n n p l p ) ( 2 7 ) 妒v b b c ( o ，t ) ；p l n n p l p ) ( 2 8 ) 定理2 4存在a l ：0 入l 入，若1 1 u o l l n 入l ，l i b o l l n 入1 ，则在定理 2 3 中可取t = + o o ，即强解是整体存在唯一的：且对g p ，有 t p n i q ) 1 2 u b c ( 【o ，) ；p l 9 ) ( 2 9 ) t _ p n q + 1 ) 2 v u b c ( 【o ，o o ) ；p l g ) ( 2 1 0 ) ( n p n q ) 2 b b c ( 【o ，o 。) ；p l q ) ( 2 1 1 ) t ( 竹p n q + 1 ) 2 v b b c ( o ，o o ) ；p l q ) ( 2 1 2 ) 其中，( n p n q ) 2 1 ，( n p n q + 1 ) 2 1 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 贞 注：1 文献【1 9 】证明了当q n 时强解的存在唯一性及衰减性估计，而 本文将其延拓到1 q n 的情形，相应地得到问题( 1 ) 强解的存在唯一性及 衰减性质 2 本文与文献【1 9 】利用了算子半群e a 在空间l q ( r n ) ( 1 q o o ) 中的 范数具有衰减性质得到上述结论：而当q = 1 时，e - t a 在空间l i ( r ) 中的 范数不衰减，故没有相应的结论 3 在定理2 4 中，只要求i l u o l l n ，i i b o l l n 充分小，而对i i u o l l p ，i i b o l f p 的大小 没有任何限制：同时定理2 4 表明口p 时，u ( ) ，b ( t ) 的l q 范数当t _ o o 时的衰减率是有限的 2 3 主要结论的证明 首先给出算子半群e - “具有与热算子半群e 讼相似的性质： 引理2 1 2 3 1 设i 驴( r n ) ，则对1 p q o 。，有 l l e - t a i i 叮c t 一( 住p n q ) 2i | ，i | p i i v e 训f l l 口c t 一( 1 + n p n 口) 2 l p ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 其中，a = 一p x = 一p ，p 是l 2 到其子空间p l 2 上的正交投影算子，可 延拓为扩到p 驴的一个有界算子，a 是s t o k e s 算子 定理2 3 的证明 证明 定义工作区间p ，t = b c ( 【o ，t ) ；p l nnp l q ) ，若移 b c ( 【o ，t ) ；p l n n p l q ) ，则定义u 的范数为 l i v l l x 。 t = s u pm 圳n + s u pi i v ( t ) l l p ( 2 1 5 ) 0st2。0scl 若u o p l 佗np p ，b o 尸l nnp 妒，则u o p l n ，b o 尸l n ，于是由 定理2 1 知：强解( u ，b ) 是局部存在唯一的 下面分三步来证明定理2 3 中的( 2 5 ) 一( 2 8 ) 成立： 1 - 估计u ，b ，v u ，v b 的驴范数 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 利用定理2 1 ，在( 2 1 ) 一( 2 4 ) 式中分别取q = n ，可得 u b c ( o ，t ) ；p l n ) ，b b c ( o ，丁) ；p l n ) t l 2 v u b c ( 【o ，t ) ；p l n ) ，t l 2 v b b c ( 【o ，t ) ；p l n ) 即 s u pi l u ( t ) l l n c ，s u pi i b ( o i i n c ( 2 1 6 ) 。 s u pi i t l 2 v u ( oi i n c ，s u pi i t l 2 v b ( t ) l l n c( 2 1 7 ) 2 估计u ，b ，v u ，v 6 的扩范数 ( 1 ) 构造逼近解序列 研究问题( 1 ) 的解可化为研究如下抽象方程组的解 ! 啦+ a u + f ( 乱) 一f ( 6 ) = o ( 2 1 8 ) i 地+ a b + f ( u ，b ) 一f ( b ，u ) = 0 7 其中 a = 一p a = 一a p f ( u ) = f ( u ，u ) = p ( u v ) u ，f ( b ) = f ( b ，b ) = p ( b v ) b f ( u ，b ) = p ( u v ) b ，f ( b ，u ) = p ( b v ) u 由算子半群理论可知，抽象方程组( 2 1 8 ) 可转化为如下积分方程组 b u = u 。+ g ( u 嚣 ( 2 1 9 ) 其中 t o = e a u o ，g ( u ( t ) ，6 ( 亡) ) = 一e - ( t 一。) a ( f ( u ( s ) ) 一f ( 6 ( s ) ) ) d s 6 0 = e - t a b o ，h ( u ( 亡) ，6 ( ) ) = 一e 一( t 一8 ) a ( f ( 乱( s ) ，6 ( s ) ) 一f ( 6 ( s ) ，u ( s ) ) ) d s 从u 0 = e - t a u o ，b o = e - t a b o 开始，构造积分方程组( 2 1 9 ) 的逼近解序 列，令 + 1 = u 。+ g ( u j ，护) ，歹= 0 ，l ，2 ， ( 2 2 0 ) b j + 1 = b o + h ( u j ，b j ) ，j = 0 ，1 ，2 ， 、7 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 同时求+ l ，+ 1 的梯度，得 v + 1 = v 护+ v g ( u j ，驴) ，歹= 0 1 2 ， ( 2 2 1 ) v 驴+ 1 = v b o + v h ( u j ，护) ，j = 0 ，1 ，2 ， 、 ( 2 ) 通过估计逼近解序列，v ，v 护的妒范数来估计 u ，b ，v u ，v b 的扩范数 利用引理2 1 的估计式( 2 1 3 ) 及h s l d e r 不等式，可得 i i c ( 乱( 亡) ，6 ( t ) ) i i 。= i i e - ( 卜8 ) a ( f ( u ( s ) ) 一f ( 6 ( s ) ) ) 酬q ，0 产t c ( t s ) 一p n q ) 2 ( i i f ( u ( s ) ) i i p + i i f ( 6 ( s ) ) l i p ) d s ，0 i , t c ( t 一8 ) 一p n q ) 2 ( i l u ( 8 ) l l ，i l v u ( 8 ) l l 。+ i i b ( s ) l l ，i l v b ( s ) l l 。) d s 同理，求g ( u ( t ) ，6 ( t ) ) 的梯度，并利用引理2 1 的估计式( 2 1 4 ) 及h s l d e r 不等式，可得 i i v g ( u ( t ) ，6 ( t ) ) i i 口= l i v e 一( 细) a ( f ( u ( s ) ) 一f ( 6 ( s ) ) ) 酬q ，o ，t c ( t s ) 一( 1 + 竹p n q ) 1 2 ( i i f ( u ( s ) ) i i p + i i f ( 6 ( s ) ) i i p ) d s ，0 ，t c ( t s ) 一( x + n p n q ) 2 ( 1 1 u ( 8 ) 1 1 ，i l v u ( s ) l l 。+ 1 1 5 ( 8 ) 1 1 ，i l v b ( s ) l l 。) d s 其中，l i p = i r + 1 1 8 ，1 p q ，1 p 0 ，y5q + p 佗，且 i i g ( u ( t ) ，) 瞻c ( t - s ) 一口十阳7 2 ( 愀s ) 剐v u ( s ) 忆+ 1 1 6 ( s ) 剐v 6 ( s ) d s j o ( 2 2 2 ) l i v e ( u ( t ) ，6 ( ) ) i i - - ，c ( t - 8 ) 一1 + n + 卢一7 7 2 ( o u ( s ) o 詈o v u ( s ) i i 茜+ | 1 6 ( s ) | i 詈i i v 6 ( s ) l i 秀) d s j o ( 2 2 3 ) 可知，( 2 2 2 ) 式当q + 一，y 2 时有意义，( 2 2 3 ) 式当口+ p 一7 1 时有意 义 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 贞 对日( u ( 亡) ，6 ( t ) ) 也有类似结论 札( 州圳号c 上( t - 8 ) 巾郸1 m ( ) l l 詈l l v u ( s ) l l 号+ l l b ( s ) l l 三l l v b ( s ) d s ( 2 2 4 ) o v 日( u ( 亡) ，) 忙 c j o ( t - s ) 一1 + 叶p 一7 7 2 ( 愀s ) l l 詈l l v u ( s ) l l 号+ l l b ( s ) l l 詈l l v b ( s ) d s ( 2 2 5 ) 可知，( 2 2 4 ) 式当q + p 一，y 2 时有意义，( 2 2 5 ) 式当q + p 一一y 1 时有意 义 ( o ) 首先通过估计逼近解序列，的口范数来估计u ，b 的驴范数 用归纳法证明 i l u c t ) l l p 坞，j = 0 ，1 ，2 ，t 【0 ，t )( 2 2 6 ) l i b ( t ) l l p k j ，j = 0 ，1 ，2 ，t o ，t )( 2 2 7 ) 记岛= m a x 坞，】，歹= 0 ，1 ，2 ， 当歹= 0 时，( 2 2 6 ) 一( 2 2 7 ) 式成立这是因为利用引理2 1 的估计式 ( 2 1 3 ) 及嵌入定理，可得 i i u o ( t ) l l p = ie - t a u o l l p c l l u o l l p c l l u o l l n = m o i i b o ( t ) l l p = i l e - , a b o l l p c l l b o l l p c i i b o l l n = k o 从而l o = c 撇z 圳咖| i n i i b o l l n ) 假定脚标为歹时( 2 2 6 ) 一( 2 2 7 ) 式成立，下证脚标为j + l 时( 2 2 6 ) - ( 2 2 7 ) 式也成立 因u j + 1 = “0 4 - g ( u j ，b j ) ，b j + 1 = b 0 4 - 日( ，护) ，u 0 ，b o 的p 范数已有估计 ( j = 0 的情形) ，只需估计g ( u j ，b j ) ，日( ，护) 的驴范数 利用归纳假设，在( 2 2 2 ) 式中取a = ，y = n p ，0 p 1 ，可得 i i a ( u j ，护) i l p c ( t s ) - a 胆( 1 l u j ( s ) l l p i i w j ( s ) l l n 伊4 - i i b j ( s ) l l p i l v b jc s ) l l n 伊) d s ，0 利用定理2 1 ，在( 2 2 ) ，( 2 4 ) 两式中分别取g = n l z ，可得 i i v ( s ) 卢k s 一( 1 一删，l i v b j ( s ) l l n 伊k s 一( 1 - 卢2 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 其中，k 表示取决于u ，b ，u j ，护，v ，v 护的固定常数，后文出现的k 与此 意义相同 于是 ，- t i i g ( ，护) i i p c ( t s ) - 8 2 ( 1 l u s ( 8 ) l l p i l v u s ( 8 ) l l n 8 - i - i i b ( s ) l l p i l v b j ( 8 ) l l n 8 ) d s ，o ，t 2 c k l s ( 一s ) 一8 2 s - ( 1 - 8 2 ) d 8 ，0 ，1 2 c k l s t - m 2 ( 1 一z ) 一8 1 2 z - ( 1 8 1 2 ) ( 1 8 2 ) td z ( z = s 亡，d s = td z ) - ，0 ，1 2 c k l j ( 1 一名) 一8 1 2 z _ ( 1 8 2 ) d z ，0 2 c k l s 注意到，由于0 p 1 ，所以 0 p 2 1 ，0 1 一p 2 1 从而上述瑕积分f o l ( 1 一名) 一8 2 z 一( 1 - 3 2 ) d z 收敛 因此 0 + 1 ( 0 1 1 p i i u o ( t ) l l p + i l o c u s ，护) i i p l o + 2 c k l s 这就证明了脚标为歹+ 1 时( 2 2 6 ) 式成立，且有 鸩+ l l o + 2 c k l s ，j = 0 ，1 ，2 ， ( 2 2 8 ) 同理可证脚标为j + 1 时( 2 2 7 ) 式成立，且有 + 1 l o + 2 c k l s ，j = 0 ，1 ，2 ，( 2 2 9 ) 综合( 2 2 8 ) 和( 2 2 9 ) 两式得到 易+ l l o + 2 c k l s ，歹= 0 ，1 ，2 ， ( 2 3 0 ) 利用线性递推不等式( 2 3 0 ) ，可得 岛【1 + ( 2 c k ) + ( 2 c k ) 2 + + ( 2 c k ) l o( 2 3 1 ) 若2 c k 0 ，使得岛l ，于是 i l u s ( t ) l l p l ，i i b ( t ) l l p l ，j = 0 ，1 ，2 ，t 【0 ，t ) 又( 亡) ，护( t ) 一致收敛于u ( 亡) ，6 ( ) ，所以 i i 钆( t ) l l p l ，i i b ( 0 1 1 p l ， 0 ，t ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 贞 即 s u pi l u ( t ) l l p l ，s u pi i b ( t ) l l p l( 2 3 2 ) 0 t 丁o t t ( 6 ) 其次通过估计逼近解序列v u # ，v 护的口范数来估计v u ，v 6 的驴 范数 用归纳法证明 l l t l 胆w , j ( t ) l l p 蟛，歹= 0 ，1 ，2 ，t 【o ，t ) l i t l 2 v 护( t ) l l p 蟛，歹= 0 ，1 ，2 ，亡【o ，t ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 记髟= m a x 蟛，巧) ，j = 0 ，1 ，2 ， 当歹= 0 时，( 2 3 3 ) 一( 2 3 4 ) 式成立这是因为利用引理2 1 的估计式 ( 2 1 4 ) 及嵌入定理，可得 l i v 乱o ( t ) l l p = i l y e - t a u o i i p c l l u o l l p t 一1 2 c l l u o l i n t 一1 2 = 弼亡一1 2 i i v b o ( 01 1 p = i l y e - t a b o l l p c l l b o l l 一1 2 c i i b o l i n t 一1 2 = 珞t 一1 2 从而= c m a x l l u o l l n ，i i b o l l n ) 假定脚标为j 时( 2 3 3 ) 一( 2 3 4 ) 式成立，下证脚标为j + l 时( 2 3 3 ) - ( 2 3 4 ) 式也成立 因v + 1 = v u o + v g ( u j ，b j ) ，v b j + 1 = v b o + v h ( u j ，护) ，v u o ，v b o 的 驴范数已有估计( 歹= 0 的情形) ，只需估计v c ( u j ，b j ) ，v h ( u j ，护) 的口 范数 利用归纳假设，在( 2 2 3 ) 式中取p = ，y = n p ，0 q 1 ，可得 i i v c ( u j ，t ，) l l p c ( t