（基础数学专业论文）几乎交错环链多项式的宽度.pdf

几乎交错环链多项式的宽度 几乎交错环链多项式的宽度 研究生：刘海燕 指导教师：韩友发 擘科专业：基础数学 中文摘要： 本文，在已知约化交错环链k a u f f m a n 多项式宽度( 印n 月 = 4 n ) 的基趾e ， 研究几乎交错环链砌咖a h 多项式的宽度估值，从而完善交错环链勋咖l 觚多项 式的宽度估值主要讨论m 一儿乎交错环链的投影图是d e a l t e r n a t o r 连通目非约化的 情况验证了非约化交错环链k 有x 个4 一方向和y 个曰一方f 寸i s t h u m s 点时， + i s p a n = 4 掰其中m = 鼻# 是z 的奴点莪考虑了非约化几乎交错投 t = l 影图中d 足p 7 1 的类型及投影图沿d 尺j d r 分离时状态在假定投影图中所有胖r 都 为( 名，b ) 型的基础上，讨论彳一方向打开的如臼矗e 瑚f o r 点点数i 相同与不同时， a 一状态分支数与b 一状态分支数之间的关系分三种情况：( 1 ) 分离时r 所有a 一方 向打开的d e a l t e r n a t o r 点都在d r p t 上：( 2 ) 分离时，所有a 一方向打开的 d e a i t e r n a t o r 点都不在d r p r 上；( 3 ) 分离时，所有4 一方向打开的出口抛，n 咖r 点既有在d r p t 上，x 有t , , f ：e d r p t 上，给出k a u f f m a n 多项式的最高次幂幂指数 与最f 氐次幂幂指数的关系在以上所有知识的基础e ，在定理3 1 9 中，我们给出了本文 最重要的结论：如果d 是环链世的带有f 条d r p t 的m 一几乎交错环链的投影图，且 d 是d c 的，则：s p a n s 4 ( n m 一1 ) ，其中一是k 的交叉点魏本文最后 讨论的是若文中所有的d 足p r 都是( b ，4 ) 型。或既有( 口，a ) 型，又有( 一，口) 型时， 所有的性质及定理仍然成立，完善了定理3 1 9 关睦词： f r l - 儿乎变错环链k a u f f m a n 多项式，宽度，d e a l t e r n a t o r 连通， d e a l t e r n a t o r 约化 几乎交错环链多项式的宽度 b s t r a c t ： i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h eb r e a d t ho ft h e k a u f f m a n p o l y n o m i a l f o ra l m o s ta l t e r n a t i n gl i n k so nt h eb a s i st h a tw eh a v e k n o w nt h eb r e a d t ho far e d u c e da l t e r n a t i n g p r o j e c t i v ed i a g r a m w i t h n c r o s s i n g i s 4 n ( s p a n = 4 n ) w e d i s c u s s m a i n l y t h ec a s e t h a tm a l m o s t a l t e r n a t i n gp r o j e c t i o n sa r ed e a l t e r n a t o rc o n n e c t e d ，t h a t i s t h e p r o j e c ti o n sm a y b e n o n r e d u c e rp r o v e d t h a tw h e nt h e p r o j e c t i o n do fa 1 i n kki sn o n - r e d u c e d a l t e r n a t i n gp r o j e c t i o n a n dw i t hx爿一c h a n n e li s t b n u s p o i n t sa n d y b c h a n n e li s t h m u s j + y + l p o i n t s ，t h e ns p a n - 4 mw h e r em = p ，p i st h en u m b e r i = 1 o fc r o s s i n go f t s t u d y t h e t y p eo fd r p ti nt h e p r o j e c t i o n o f a na l m o s t a l t e r n a t i n g l i n ka n d t h es t a t ew h e nw e s p l i tt h e p r o j e c t i o na l o n gt h ed 旧j p r o nt h eb a s i so fa l ld 四p 7 1i n t h e p r o j e c t i o na r e ( 4 ，b ) t y p e ，w ed i c u s st h er e l a t i o nb e t w e e ns ? a n d 醴 w h e nt h ef d e a l t e r n a t o r s彳一c h s n n e l s p l i t i ss 鲫eo r d i f f e r e n t i n f o l l o w i n g t h r e e c a s e ：( 1 ) a l lo ft h e fd e a l t e r n a t o r sa c h a n n e l s p l i t i st h es p e c i a l 如a l t e r n a t o r ：( 2 ) n o n eo ft h efd e a l t e r n a t o r s4 一c h a n n e l s p l i ti s t h e s p e c i a l d e a l t e r n a t o r ；( 3 ) a s s u m elh a s j q 订s p e c i a l d e a l t e r n a t o r sa c h a n n e l s p l i t ，w eg i v et h er e l a t i o nb e t w e e nt h e h i g h e s ti x ) w e to ft h e k a u f f m a np o i y n o m i a lf o r 上a n dla n d t h er e l a t i o nb e t w e e nt h el o w e s tp o w e ro ft h e k a u f f m a np o l y n o m i a l f o r a n d i nt h eb a s ea sb e f o r e ，i nt h e o r y 3 1 9 ，m ep r v e d t h a ti fdi sa 聊一a l m o s t a l t e r n a t i n gp r o j e c t i o no f ap r i m eli n k k “t hn c r o s s i n g sa n ddi s d e a l t e r n a t o rc o n n e c t e d a n da l l d r p ta r e o f ( a ，b ) t y p e ，t h e ns p a n 4 ( n m 一1 ) i nt h e 2 墨查壁堑竺兰翌查塑壅生 1 8 s to ft h i s p a p e r ，w ed i s c u s st h a ti fa l ld r p t i s ( b ，) t y p e o ro l l e p a r t i s ( a ，b ) t y p et h eo t h e rp a r tjs ( b ，a ) t y p e a 1 】p r o p e r t y a n d t h e o r y a r e c o l r e c t k e yw o r d s ：m a l m o s ta l t e r n a t i n gl i n k ，k a u f f m a n p o l y n o m i a l ，b r e a d t h d e a l t e r n a t o rc o n n e c t e d ，d e a l t e r n a t o rr e d u c e d 1 引言 设五是一个环链， 是足 k a u f f m a n 多项式，由于宽度印口 是拓 扑不变量，因此可以根据多项式的宽度讨论等价性等问题比如：在 卜_ 3 中，我们已 经知道，如果k 有一个带有n 个交叉点的约化交错投影图d ，则s p a n = 4 n ， 从而约化交错环链是非平凡的利用这一定理，又得到如下结论：同环链的两个约化交 错投影图有相同的交叉点( 假定第一个投影图d l 有n 个交叉点，则宽度为4 n ，因为 宽度为拓扑不变量，第二个投影图3 2 的宽度也为4 n ，则口的交叉点数也为n ，d l ，3 2 汉点数群) 利用 驴咖 = 4 n ，我 还可得到c ( 拌t ) = c ( 墨) + c ( ) ， 若k 1 群岛是个交错环链因此，从理论上来讲，对所有的交错环链，我们都可对其 进行分莞对交错环链上的结论进行推广，我们可研究另类环链，包含有交错环链的充 分环键特殊情况下，我们可限定个环链的充分投影图，并可得出，个约化环链的充 分投影图有晟少的交叉点魏由k a u f f m a n 多项式与j o n e s 多项式的关系，我们还得到 s p a n m = 4 n 1 0 k a 4 u r a s u g i 利用，这一事实在环链理论 4 中证明了经典猜 想由上可以看出，对多项式宽度的研究是非常重要的 本文第三部分给出非约化交错环链的宽度估值，这样完善了交错环链的宽度讨论， 我们知道非交错环睫的肠伽鲫多项式的宽度是不确定的，但是当 p 口n 0 时，则环链耳是非平凡的，因此讨论多项式的宽度估值同样是有意义的在【5 ) 中， c c a d a m se t c 介绍了类新的环链，m 一几乎交错环链，并讨论了研一几乎交 错环链的宽度估值，得到下面的结果： 定理a ：如果环链置有个带有疗个交叉点的约化肌一几乎交错投影图d ，使 3 几乎曼错环链多项式的宽度 得d 是d c 和d 曰的，则 s p a n 4 ( n m 一2 、 利用这个估值爿d a m s 等讨论了几乎交错环链的交义点数等问题同时得出如f 结 论：在定理4 中，如果投影图d 是d c 的，则j p 口嚣 蔓4 ( n 一搬一1 ) ，利用这个 估值对讨论环链的性质是非常有意义的，在第j 部分我们进一步证明了这结论，即： 定理b ：设d 是环链世的带有，2 个交叉点的约化m 一几乎交措投影图，i z d 是 d c 的，则： s p a n 4 ( n m 一1 1 2k a u f f m a n 多项式的建立 定义2 1 ：在纽结或环链投影图的每一交叉点处有四个区域，逆时针旋转交义点处 的上穿线，经过其中两个区域，将这两个区域记为a ，剩下的两个区域记为b 如图2 1 ， 分裂交叉点时，如果是将两个爿区域连接起来，这个分裂就称为一一分裂，如果是将两 个b 区域连接起来，则称此分裂为b 一分裂 定义2 2 ：如何分裂环链发的”个交叉点的一种选择，叫做个状态，记作s ，碟分别表示所有交叉点都沿一方向打开和都沿b 方向打开的状态 1 1 ，1 2 设k 是环链足的投影图d 在所有九个交叉点分离后所得状态的集合 令s = s is 有f 个交叉点分离时沿爿方向) k = u s j = 0 = 么4 8 么6 5 切降i 一( j = 么2 一一- 2 1 4 生叁堂堑竺兰堡叁竺童生 其中a ( s ) 为状态s 中沿一一方向分离的交叉点数，b ( s ) 为状态s 中沿b 方向 分离的交叉点数，j s i 为状态s 中的分支魏 7 定理2 3 任意给定一个环链k ，k 的k a u f f m a n 多项式为【6 ， 9 + a - 1 = a + 彳一1 d = ( a + a 1 d ) 从而有： 一4 3 - 五 当i s t h u m s 点是b 一方向时同理可证 在引理的证明过程中应用了k a u f f m a n 多项式的定义，即每一个状态表示为 a o t s l b 6 8 d i s l - 1 t l 社疋每一个状态分支数要比# ( 正) + 故e ) 少一个，也就是 s , l + l s 2 1 1 ，而 的分支数正好等于样( 五) + 群( 正) , o l s , l + l s ： 9 几乎交错环链多项式的宽度 推论3 1 1 如果丘是非约化的交错环链，且有x 个爿一方向的括腑“坍s a i i y 个口一方向的i s t h u m s 点，则有 _ ( a ) 。( 口) 从而有： m a x d e g = ( 异+ + 只+ y + 1 ) + 2 ( q + + q + y + i 一( z + y + 1 ) ) 一3 x + 3 y m i n d e g = 一( 墨+ + 只+ y + 1 ) 一2 ( b 1 + 最+ p 1 一( x + y + 1 ) ) 一3 x + 3 y 其中x = 互 疋# # t l ，只是夏的交叉点数；q 是7 ；在每一个交义点都沿着 a 一方向分离后的分支数；马是7 ：在每一个交叉点都沿b 一方向分离后的分支数， 0 i x + y + 1 命题3 1 2因推论3 1 1 的条件，则有 s p a n = 4 m 舛件j 其中m = 只 f - 1 从命题3 1 2 可以得到若对于某个f o ，只0 ，则环链x 是非平凡的 下面给出一个例子来说明这一结论 芷 i i s t h u m s 点是彳一方向 2 五，墨都是右手三叶结 o 几乎交错环链多项式的宽度 _ 4 + 爿一， 首先分离交叉点q ，所以 k = “ ，、 、j l i 2 以足 所 = 否石 则 = a 2 + + 爿_ 1 = 一2 + 五2 + 爿一1 夏3 = 云 f 一2 甜+ 石+ 一1 石2 1 = 磊 ( 一4 5 一爿3 + a - 7 ) = 五 即 = 瓦 _ 磊( ) 2 m a x d e g = 置+ b + 2 ( a h + o j 2 ( 1 + 1 ) ) 一3 = 3 + 3 + 2 ( 2 + 2 - 2 ) 一3 = 7 m i n d e g ：( 皇+ 与) 一2 ( 骂+ 芝一( 1 + 1 ) ) 一3 = 一( 3 + 3 ) 一2 ( 3 + 3 2 ) - 3 = 一1 7 所以有 s p a n = 4 ( 日十b ) = 2 4 其中q 。_ 2 ，b j 2 8 2 。3 ，x = l ，y = 0 ，墨竭2 3 引理3 1 3如果石是投影图d 的一条d r p t ，则万是d r p t ( a ，b ) 型或者 d r p t ( b ，4 ) 型，也就是说不能是( 彳，一) 型或者( b ，b ) 型 证明：由定义3 8 来看，d r p t 万可有四种情况，分别为：( 1 )( a ，b ) 型 ( 2 ) ( b ，a ) 型( 3 ) ( a ，a ) 型( 4 )( b ，b ) 型为了验证引理3 1 3 ，我们只需证明 ( 3 ) ( 4 ) 两种情况不可能出现，假设d r p t 万为( b ，b ) 型，如图f i g3 6 ( 1 ) 所 示；( 4 ，a ) n n n g 证考察环链k 的状态s 。b ，n 图f i g3 6 ( 2 ) 所示由乙髟 1 2 几乎交错环链多项式的宽度 可知。是约化交错环链 圆 e j 茸 ( 1 )( 2 ) f i 9 3 6 实际上，s ? 是约化交错环链r 当每一个交叉点都沿占一方向打开时的状态， 上就是互换投影图d 的用d e a l t e r n a t o r 点的a 一方向与占一方向后所得到的环 链 n 9 3 ， 令s l y - 1 表示在中，d e a l t e r n a t o r 点由4 一方向打开换为丑一方向打开时 的状态蝌于f i g3 7 中髓一图，我f 舸矧阿l = 蚓+ l 这与约化交错 纽结中l l s ；。l = i 醴i 一1 相矛盾，所以d r p t 石不可能为( 取b ) 型 所以为了我口耐论问题的方便。总是假设石是d r p t ( a ，b ) 型，( 最彳) 型同理讨 论 引理3 1 4 如果d 是d 足p r 和d c ，1 1 l , 的状态s 。a ( o f 聊一1 ) 是如下 形式： 疃勘鲨圜 f i 9 3 8 1 3 几乎交错环链多项式的宽度 其中厶在万上的幽耐r p 聊a ，o ，点是沿b 一方向分离 证明：如果状态蹬不是引理中的形式则一定是如下f i g3 - 9 形式 f i g3 9 由于厶在石j ：的d e a l t e r n a t o r 点是沿占一方向分离，所以是约化交错环链， 从而f i g3 、9 的形式是不可能的，详婀i n 3 1 3 ，证毕 命题3 1 5设d 是环链k 的投影图，d 是d c 并且有条d r p t 玛，乃，“，则对任意厶，雹的状态都是引理3 1 4 的情形，即分离时， 而，是相互独立的由引理3 1 4 的性质，其中在巧( 1 f ) 上 d e a l t e r n a t o r 点是沿b 一方向分离厶 f i 9 3 1 0 证明：不失一般性，不妨假设= 2 ，如果命题不成立，则厶的- 掣的状态必 有如下f i g3 1 1 形式 f i 9 3 1 i 1 4 几乎交错环链多项式的宽度 现在考虑厶+ 2 ，取厶+ 2 ，其中巧，；r 9 2f 约d e a l t e r n a t o r 点沿4 一方向分离 所以工是非约化交错环链，如f i g3 i 2 f i 9 3 1 2 设1 鞋i = 口，i s h b i 一声，因为是f i g3 1 2 的结果，所以由推论3 - m a x d e g = ( 置+ 最+ ) + 3 ( q + 婢+ 鸭一( x + 1 ) ) 一3 x r a i n d e g = 一( 墨+ b + b ) 一2 ( 日+ 岛+ 马一( x + 1 ) ) 一3 x 其中只+ b + e = n m x ，x = 2 而且q + 吐+ 皑= 口+ 2 b + 岛+ 马= 卢+ 2 m a x d e g = n - 跏一x + 2 ( a + 2 一( x + 1 ) ) 一3 x r a i n d e g - 一( 订一m x ) 一2 ( p + 2 一( x + 1 ) ) 一3 x s p a n = 2 ( n 一埘一x ) + 2 ( a + 卢+ 4 - 2 ( x 十1 ) ) = 2 ( n m x ) + 2 ( n i n + 2 + 4 - 2 ( z + 1 ) ) = 4 ( n m x ) + 2 ( 4 一x ) 4 ( n m z 1 这样与命题3 1 2 矛盾- 对于一般情形利用下面的关系，即可 皑+ q + + 致+ l = 口+ 及一2 【墨+ 岛+ + b “= 卢+ x 所以s p a n = 4 ( n 一掰一x ) + 4 ( x 一1 ) 如果工2 这是不可能 几乎交错环链多项式的宽度 的证毕 任命题3 1 5 的证明过程中应用到了醴的状态表示下面我们简单介甜 一卜，同 样假设在刀上的d o d n e 聊日f o ，点沿口一方向分离，则s 。b 。有如f i g3 ，1 3 f i g3 1 3 不论是f i g3 1 3 ( 1 ) 还是( 2 ) ，在d e a l t e r n a t o r 点沿a 一方向分离时都增加个 分支，从而有 日+ 吃+ 4 - b “= p + x 由 5 中的引理4 1 3 ，本文引理3 1 4 和命题3 1 5 可以得到下面的结论 搬仑3 1 6 如果d 是环链足的投影图是d r p t 和d c 的，则 i 譬i = ls 2i l ：i 蹬i = l 醴l + 1 l l “，上厶 从而有 i s ：1 = 1 硝1 ：l 簧l = i 硝1 ，m 厶 引理3 t 7 如果d 有fd r p t ，g d 是d c ，则对任意，m e ，或 ，m l e ：工乓1 或上厶。一t l 则 ( ! ) m a x d e g = m a x d e g r a i n d e g = m i n d e g ( 2 ) m a x d e g = m a x d e g 一6 ，三囊l m a x d e g = m a x d e g _ 2 ，f + l e + ( 3 )r a i n d e g = m i n d e g - 2 ，z e “ 1 6 几乎交错环链多项式的宽度 m i n d e g = m i n d e g - 2 ，厶+ i 一三 其中i g 表示f 个a 一方向分离都在d r p r 上 证明：对任意l e ，由命题31 5 有l 酲1 = 口一i ，且工是1 f 约化交错环 链，由推论3 1 l m a x d e g = 墨+ + 一十鼻+ i + 2 ( c o l + + q + i 一( i + 1 ) ) 一3 i = ( h m i ) + 2 ( a i + i 一( f + 1 ) ) 一3 i = ( 胛一? ) + 2 ( a 1 ) - 6 i 从而有m a x d e g = m a x d e g ，同理有 m i n d e g = m i n d e g 而由s p a n = 4 ( n m f ) 可以得至0 m i n d e g = m a x d e g 一s p a n ( n - m ) + 2 ( a 一1 ) 一6 i 一4 ( n m i ) = ( n m ) + 2 ( n m + 2 - p 一1 ) 一6 i 一4 ( n 一研一i ) = 一( 咒一，竹) 一2 一1 ) 一2 f 这样就证明了( 2 ) 和( 3 ) 的第一个等式 对任意三厶一耳则上是约化刍潴环跪且 m a x d e g = ( n - m ) + 2 ( a i - 1 ) = ( - - m ) + 2 ( a 一1 ) 一2 f 同样由s p a n = 4 ( n - ? 1 ) 有 m i n d e g = m a x d e g - s p a n = ( n - m ) + 2 ( a - 1 ) - 2 i - 4 ( n - m ) = ( 月一m ) + 2 ( n - m + 2 一声一1 ) 一2 i 一4 ( n 一，”) 1 7 几乎交错环链多项式的宽度 = 一( n m ) 一2 ( p 一1 ) 一2 i 从而证明了( 2 ) 和( 3 ) 的第二个等式证毕 推论3 1 8 如果l 厶，有， = m a x d e g 一2 ( 3 ) m i n d e g = m i n d e g 一2 证明： m a x d e g = ( n m 一) + 2 ( a i + ，一( ，+ 1 ) ) 一3 j = ( 月- m ) + 2 ( 口一1 ) 一2 i 一4 j r a i n d e g = 一( n - m ) 一2 ( p 一1 ) 一2 j 引理3 1 7 和推论3 1 8 给出了l , n l , “的多种变换，主要讨论非约化清形的f 生质， 从而看到了与【5 中的区别 三m _ 几乎交错环链的宽度： 定理3 1 9 如果d 是环链k 的带有f 条d r p t 的m 一几乎交错投影图，且 d 是d c 的，则 s p a n 4 ( n m 一1 1 其中n 是d 的交叉点数 证明：设日? = _ = e = 乏 l e rl 厶一c e 厶 其中t 有+ 点在5 d r p t 上( 1 f ) 1 8 堡交借环链多项式的宽度 设，条z 矾p 7 1 都为( 爿，曰) 型，则有 tm - ih = 爿2 “巧+ 4 2 1 研+ + 艺4 2 。”只 t = lt = 0 t = 2 首先考查 中的第一部分 m a x d e g ( a “1 研) = 2 t m + m a x d e g ( 日? ) 所以 m a x d e g ( a 2 1 一“h 二1 ) = 2 ( t 一1 ) 一m + m a x d e g ( 阿1 1 ) 2 t 一坍+ m a ) 【d e g ( 研) + 4 m a 】( d e g ( a 2 2 卜h t _ 2 ) = 2 t 一聊+ m a x d e g ( 月? ) + 8 m i n x d e g ( a 2 一”舟：) = 2 t m + m a x d e g ( 爿? ) + 4 ( f 一1 ) 而m a ) 【d e g ( e ) = m a x d e g l 口 ( 因为任意lm e ，m a x d e g = m a ) 【d e g 所以m a x d e g ( h 7 ) = m a x d e g l 三 因为日j 就是所有l 简单相加的和) m a ( d e g = ( 一m 一，) + 2 ( a t + f 一( r + 1 ) ) 一3 t = ( 珂一州) + 2 ( a 一1 ) 一6 t m a x d e g ( 4 2 一”穷j ) = 2 t 一掰+ m a ) 【d e g ( 研) + 4 ( t - 1 ) = ( 2 t m ) + ( 聍一，”) + 2 ( a 一1 ) 一6 t + 4 ( t 一1 ) = ( 玎一珊) + 2 ( a 一1 ) 一m 一4 m a ) ( d e g ( a 2 ”e ) 一棚) + 2 ( a 一1 ) 一m 4 1 9 几乎交错环链多项式的宽度 m i n d e g ( a 2 ? 1 = 2 t y n + r a i n d e g ( h t * ) m i n d e g ( a 2 “。1 ”珥1 ) = 2 ( t - 1 ) - 脚+ r a i n d e g ( h _ 1 ) = 2 t m 一2 + m i n d e g ( 研) + 2 = 2 t m + m i n d e g ( 研) m i n d e g ( a 2 埘j ) = 2 t m + m i n d e g ( h , ) 而m i n d e g ( h , * ) = 一( 一m f ) 一2 ( + ，一( f + 1 ) ) 一3 t = 一( 聍一m ) 一2 ( p 一1 ) 一2 t m i n d e g ( a 2 一”研) = 2 t - m - ( n m ) 一2 ( f l 一1 ) 一2 t = 一( ”一，竹) 一2 ( f l 一1 ) 一m 所以有 f m i n d e g ( a 2 研) 一伽一m ) 一2 ( f l 一1 ) 一m 现在考查 的第二部分： m a x d e g ( a 2 “一”礞f ) = 2 ( m f ) 一m + m a x d e g ( h ：f ) m a x d e g ( a 2 “山1 碌h ) = 2 ( m - t 一1 ) - m + m a x d e g ( h ： ) = 2 ( m t 1 ) 一m + m a x d e g ( h ：，) + 2 2 ( m f ) 一m + m a x d e g ( h ：, * ，) m a x d e g ( a 一”珥) = 2 ( m t ) - m + m a x d e g ( h 二，) 又因为 m a x d e g ( h 2 ：_ 。) = m a x d e g ( l ) ；l l 。一t 一。 而 几乎交错环链多项式的宽度 m a x d e g = ( h m ) + 2 ( a 一( m t ) - 0 = ( ”一埘) + 2 ( a 一1 ) 一2 ( m f ) 所以 m a x d e g ( a 一8 壤) = ( ”一研) + 2 ( a 一1 ) 一m 同理有： m i n d e g ( a 一”月：+ ) = 一( 一m ) + 2 ( 卢一1 ) 一m m 由于最高幂指数和最低幂指数项的系数是( 一1 ) 1 吒一，= 0 ，所以有 m a x d e g ( e a 2 h _ ) ( h m ) + 2 ( a 一1 ) 一m 一4 m - i ( p “研) 一( 九一聊) 一2 ( p 一1 ) 一m + 4 b 最后来看看 的第三部分a “h 所以 又由 m a x d e g ( a 2 ”皿) = 2 i - m + m a x d e g ( h i ) m a x d e g ( h i ) = ( n m i l ) + 2 ( a i + 一( + 1 ) ) 一3 = ( n - - 聊) + 2 ( 口一1 ) 一2 i 一4 m a x d e g ( a 2 ”e ) = 2 i - m + ( n - m ) + 2 ( a - 1 ) - 2 i 一4 = ( h m ) + 2 ( o r 一1 ) 一m 一4 ( h m ) + 2 ( a 1 ) 一坍一4 r a i n d e g ( h j ) = 一( n m 一) 一2 ( + i 一( + 1 ) ) 一3 i t = 一( 1 7 - - m ) 一2 ( 一1 ) 一2 i 几乎交错环链多项式的宽度 所以 m i n d e g ( a 2 h ) = 2 i m + m i n d e g h = 2 i m 一( n m ) 一2 ( p 1 ) 一2 i 一( n m ) 一2 ( p 1 ) 一m 从而有 b m a x d e g ( a2 h ) ( n 一) + 2 ( a 1 ) 一m 一4 r a i n d e g ( 矿“q ) 一印一卅) 一2 ( p 一1 ) 一m t = 2 综合以上三部分，我们可得如下不等式： 所以 m a x d e g ( n m ) + 2 ( a 一1 ) 一m 一4 r a i n d e g 2 一( n m ) 一2 ( p 一1 ) 一m s p a n 4 ( n 一埘一n 定理3 2 0 在定理3 1 9 的条件下如果厅是：d r p t ( b ，一) 型，则有 s p a n 4 ( n m 一1 1 在定理3 1 9 和定理3 2 0 中，我们假设投影图d 的t 条d r p t 都是( 4 ，助型或都 是( 鼠a ) 型，证明t s p a n 4 ( n - t n - 1 ) 下面讨论当d 既存在d 尺p 丁即，b ) 型，又存在d r p t ( b ，a ) 型 引理3 2 1 如果d 是环链k 的带有，条d r p t 的坍一几乎交错投影图，且d 是d c 的，则对任意l 厶都保持引理3 1 4 和命题3 1 5 的性质也就是掣和蹬两个 状态中d r p r ( , 4 ，b ) 型d r p t ( b ，a ) 型保持着它的独立陆 几乎交错环链多项式的宽度 证明：不失一般性，设d 有两条d r p t 雹和d r p t 乃，而它们分别是 ( a ，功型和( b ，爿) 型 设三厶而且在巧j 壕j d e a l t e r n a t o r 点沿占一方向分离， f i 9 3 1 4 所以上厶如下图f i g3 1 5 所示 f i 9 3 1 5 而掣状态一定如f i g3 1 6 所示，。警的状态一定是_ f i g3 ，】7 的形式 f i 9 3 1 6 f i 9 3 1 7 如果不是如f i g3 1 6 与f i 9 3 1 7 形式，由引理3 1 3 与约化交错环链矛盾，所以玎 几乎交错环链多项式的宽度 和码独立也就是保持着单独存在时的分离状态，证毕 由引埋3 2 1 可知，推论3 1 6 和引理3 1 7 等性质仍然成立，结合定理3 ，1 9 和定理 3 2 0 有下面的结果： 定理3 2 2 设d 是环链k 的带有r 条d r p t 的朋一儿乎交错投影图，l i d 是 d c 的，则 s p a n 茎4 ( n m 一1 、 其中n 是d 的交叉点数 定理3 2 2 的证明与定理3 ，1 9 的证明方法相似设d 有f l 条d r p t ( a ，b ) 和t 2 条 d r p t ( b ，一) ，主要讨论丘和厶：。的性质即可这里省略这个定理的证明 引理3 2 3 设d 是环链k 的聊一几乎交错投影图，且d 是d c 的，若存在石 则万是d r p t 证明：如果石不是d r p t ，则# ( 万n d ) 3 ，不妨设在万上的非 d e a l t e r n a t o r 点是b 一方向( 即沿石方向分离时是b 一方向) ，则有下列性质： l _ 如果石上的d e a l t e r n a t o r 点都是4 一方向，由引理3 1 4 可知石上的 d e a l t e r n a t o r 的个数一定是奇数： 2 至少存在个a 一方向的d e a l t e r n a t o r 点： 3 若石上有b 一方向的d e a l t e r n a t o r 点，由引理3 1 4 和引理3 2 l 可知b 一方 向的d e a l t e r n a t o r 点的个数是偶数： 4 在讨论l 的状态田时仍然有引理3 2 1 的性质： 如果厅上的7 i n d e a l t e r n a t o r 点的个数大于等于3 ，现在来讨论厶，则k 是约化交错环链设c n n da - 方f f r o d e a l t e r n a t o r 点并且s 2 状态中与筇 上的交叉点无戋把d 在c 点沿爿一方向分离得到某个新的环链k ，则k 存在个 ( m 一1 ) 一几乎交错投影图d ，而d 是约化的 f i g3 1 8 上有3 个一一方n 的d e a l t e r n a t o r 点的情形，由引理3 1 4 ，这是不可能 的 几乎交错环链多项式的宽度 f i g3 1 8 所以石上只能存在一个爿- 7 i i 甸的d e a l t e r n a t o r 点，同理可以讨论k 不可自酎字在 b 功向的d e a l t e r n a t o r 点，所以是d r p t 证毕 定理3 2 4 设d 是环链k 的带有n 个交叉点的m - 几乎交错投影刳，r d 是 d c 的，则 s p a n s 4 ( n m n 本文主要讨论了k a u f f m a n 多项式的宽度估值，根据勋l 护锄n 多项式与j j ”p s 多项式的关系，我们就可以得l jj o n e s 多项式的宽度估值 几乎交锩环链多项式的宽度 致谢 本文是在思师韩友发教授的指导下完成的，嘉瞄谓掉# 教授这三年来对我的帮助和 指导在我的研究生学习期间，老师严谨的治学态度，渊博的知识莽 研上精益求精的精 神给我留下了深刻的印象老师以讨论的形式给我们提供了良好的学习氛围，并且在教 学方面老师给揖们创造了蟊好的教学环境，提出了宝贵的意见，使我在教学实践e 提高 了能力在生活中，韩教授也给予了父亲般无微不至的关怀没有老师的指导、鼓励