（基础数学专业论文）离散耦合网络的同步分析.pdf

摘要 近十年来，国内外掀起了研究复杂网络的热潮许多来自物理、生物、数学 和计算机领域的研究者都开始致力于复杂网络的研究由于现实社会中大规模 网络的存在，促使人们去研究这些网络的拓扑结构及其动力学行为本文主要 运用动力系统理论与数值计算方法来研究复杂网络的同步问题，探讨网络的拓 扑结构与同步之间的关系具体来说，我们的工作如下： 第二章主要研究了两个离散耦合网络间的同步问题，顺便考虑连续网络的 情形在诸多文献中，同步是在一个网络内发生，一个很自然的问题是：两个 耦合的复杂网络是否发生同步? 在现实世界中，我们容易把节点性质类似的节 点当成一个网络来看待，而把具有不同性质的节点当作多个网络来分析，比如 考虑各种传染病( m a dc o w s 、a i d s 、s a r s ) 是如何在人群和动物之间传播的， 此时需要把人群和动物当作两个网络来看待，因此考虑网络间的动力学问题对 于全面认识同步现象是有现实意义的我们分别利用了驱动一响应耦合方式和 相互同步耦合方式来实现离散网络间的同步这一部分是本文的重点 第三章研究了具有不同节点动力学的离散网络之间的同步由于复杂网络 节点动力学行为的复杂性，在现实中两个网络的节点动力学往往是不同的，而 这种情况下的网络同步分析有非常困难在本章中，我们运用反馈控制以及参 数调节的方法来分析两个网络间的同步问题 第四章是总结和展望，简要小结本文内容以及对未来的展望 制 关键词：复杂网络，规则网络，小世界网络，无标度网络离散，同步，控 a b s t r a c t r e s e a r c ho nc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k sh a sb e e nah o tt o p i cs i n c et h e l a s td e c a d e l o t so fr e s e a r c h e r sf r o mp h y s i c sa n dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t e r s c i e n c e sf o c u so nt h i st o p i c f o rt h ee x i s t e n c eo fa m o u n t so fl a r g es c a l en e t w o r k s ， p e o p l ea r ed r i v e nt oi n v e s t i g a t et h e i rt o p o l o g i e sa n dd y n a m i c a lb e h a v i o r s w e m a i n l yu s et h ek n o w l e d g e so fd y n a m i c a ls y s t e m sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n st o s t u d ys y n c h r o n i z a t i o np r o b l e m s ，i no r d e rt oi n v e s t i g a t et h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e n t h en e t w o r kt o p o l o g ya n dn e t w o r ks y n c h r o n i z a t i o n i nd e t a i l s ，o u rw o r k sa r ea s f o l l o w s ： s y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e nt w oc o u p l e dd i s c r e t e - t i m en e t w o r k si s d i s c u s s e di n c h a p t e r2 s y n c h r o n i z a t i o nw a sa l w a y ss t u d i e di n s i d eo n en e t w o r k ，an a t u r a l q u e s t i o ni st h a tw h e t h e rs y n c h r o n i z a t i o nh a p p e n sb e t w e e nt w on e t w o r k s ? i fn e t w o r kn o d e sa r eo fs i m i l a rp r o p e r t i e s ，w ec a nr e g a r di ta so n en e t w o r k ；o t h e r w i s e ， a sm o r en e t w o r k s f o re x a m p l e ，h o wt h ei n f e c t i o u sd i s e a s e s ( m a dc o w s ，s a r s ， a i d s ) s p r e a db e t w e e nt h eh u m a nb e i n g sa n da n i m a l s ，h e r et h eh u m a na n da n i - r e a l sa r er e g a r d e da st w on e t w o r k s w ea d o p td r i v e - r e s p o n s ea n dm u t u a lc o u p l i n g t or e a l i z es y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e nt w on e t w o r k s w e i n v e s t i g a t es y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e n t w on e t w o r k sw i t hn o n i d e n t i c a ln o d e d y n a m i c a ls y s t e m si nc h a p t c r3 n c t w o l k ss o m e t i m e sh a v ed i f f e r e n tn o d ed y - n a m i c s ：w h i c hb r i n g sa b o u td i f f i c u l t yt ot h e o r e t i c a l l ya n a l y z e i nt h i sc h a p t e r ， w eu s ef e e d b a c kc o n t r o la n dp a r a m e t e ra d j u s t m e n tt os o l v et h e s ep r o b l e m s k e y w o r d s ：c o m p l e xn e t w o r k ，r e g u l a rn e t w o r k ，s m a l l - w o r l dn e t w o r k ，s c a l e - f r e en e t w o r k ，d i s c r e t e - t i m es y s t e m s ，s y n c h r o n i z a t i o n ，c o n t r 0 1 i i 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特 别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果 参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示了谢意 签名：彳弘本日期：7 石加 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即t 学校有权保留 论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 繇绺碍导师签名：专字。、日期：u 占多、力。 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 复杂网络研究概况 l 自从2 0 世纪9 0 年代以来，人们掀起了研究复杂网络的热潮【1 】复杂网络 是由具有一定特征和功能的、相互关联和相互影响的基本单元所构成的复杂集 合体复杂网络之所以复杂在于网络的连接复杂性，节点复杂性以及网络演化 的复杂性复杂网络会因为自身的动力学行为或者外部的影响和作用而发生变 化实际上，现实中的许多复杂系统，如万维网【2 ，3 】，食物链网络，人际关系网 络，公路网络，航空网络，病毒传播网络等都可以用复杂网络来建模，这也让复 杂网络的研究有了实际的应用背景 复杂网络同步的研究基础是图论，统计物理学，非线性动力学和复杂性科 学等领域的科学研究它已经渗透到管理学科，工程理论等众多学科，是一门综 合了数学、物理、计算机、管理等学科的跨学科研究课题我们生活中的很多问 题都涉及到复杂网络的研究，比如传染病在人类社会以及动物界中的传播，电 力网络中局部小的故障引发的大面积的停电事故，交通网络的优化等一些现实 中急需解决的问题复杂网络理论研究的是各种看上去互不相同的复杂网络之 间的共性以及处理它们的一些普适性方法以及建立在复杂网络基础上的动力学 系统的行为预测和控制在当今时代，复杂网络已经逐渐形成- - f 新的学科【4 】 复杂网络研究的内容主要包括：网络的几何性质，网络的形成机制，网络演化 的统计规律，网络上的模型性质，以及网络的结构稳定性，网络的动力学机制 等问题在过去的十年中，以物理学家和数学家为代表的广大科研工作者的努 力下，复杂网络理论得到了很大的发展当前复杂网络的研究主要集中在网络 的拓扑结构，网络动力学特性和网络建模以及应用等方面 近年来，由于科学技术的发展，尤其i t 领域的高速发展，人们获得越来越 多刻画现实世界网络特征的数据，加上计算机运算速度的飞速发展提供的强大 的计算和数据分析能力，以及各个学科之间不断深入的相互交融，使得人们有 能力在对各种不同类型网络的数据分析基础上，揭示复杂网络的一些共有特性 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 2 和性质以此为契机，经过在这一研究方向上不懈的探索和努力，在复杂网络研 究领域中取得了两项重要的发现：大多数复杂网络都具有小世界( s m a l l - w o r l d ) 效应【5 ，6 】和标度无关( s c a l e - f r e e ) 特性【7 ，8 】 1 2 复杂网络基本概念 网络是由点集y 和边集e 组成的图g = ( ke ) ，其中节点数记为n = i v l ， 边数记为m = i e i ，边集e 中的每条边都与点集y 中的一对点与之相对应 如果任意点对( i ，j ) 与0 ，i ) 对应同一条边，则该网络称为无向网络( u n d i r e c t e d n e t w o r k ) ，否则称为有向网络( d i r e c t e dn e t w o r k ) ；如果给每条边都赋予相应 的权值，那么该网络就称为加权网络( w e i g h t e dn e t w o r k ) ，否则称为无权网络 ( u n w e i g h t e dn e t w o r k ) 我们把没有重边和自环的图，称为简单图，下面就以无 权无向的简单图为例，介绍用来描述网络拓扑结构的几个基本概念：平均路径 长度( a v e r a g ep a t hl e n g t h ) 、聚类系数( c l u s t e r i n gc o e f f i c i e n t ) 、度分布( d e g r e e d i s t r i b u t i o n ) 1 2 1平均路径长度( a v e r a g ep a t hl e n g t h ) 网络中两个节点i 和j 之间的距离也f 定义为连接这两个节点的最短路径 上的边数特别的，网络中任意两个节点之间距离的最大值称为网络的直径网 络的平均路径长度l 定义为两个节点之间的距离的平均值，即 扛赢d o ， 其中是网络的节点数平均路径长度描述了网络中各个节点的分离程度 1 2 2 聚类系数( c l u s t e r i n gc o e f f i c i e n t ) 社会网络的一个共同特征是聚类特性，比如在朋友关系网络中，一个人的 两个朋友很可能彼此也是朋友网络的这一特性可以用聚类系数来定量描述， 定义第i 个节点的簇系数为与它相连接的个节点彼此之间的连接概率， 9 f g = 亓羔，i = 1 ，2 ， 2 可乏j 可，2 一l 其中最是与第i 个节点相连接的节点( 称为第i 个节点的邻居) 之间实际存在 的边数，而分母则是可能的最大边数整个网络的簇系数c 就是网络中所有节 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 3 点的簇系数的平均值，即 c = 丙1 g i = l 显然，0 cs1 c = 0 当且仅当网络中没有任意三个节点是相互连接 的，比如说平均度为2 的环形网络；c = 1 时，网络是全局耦合的，即网络中 任意两个节点都直接相连对于一个含有个节点的完全随机网络，当很 大时，c = o ( n 1 ) 而许多大规模的实际网络都具有明显的聚类效应，它们的 聚类系数尽管远小于1 但却比o ( n - 1 ) 要大得多事实上，在许多类型的网络 ( 如社会关系网络) 中，你朋友的朋友同时也是你的朋友的概率会随着网络规模 的增加而趋向于某个非零常数，即当一0 0 时，c = 0 0 ) 这意味着这些实 际的复杂网络并不是完全随机的，而是在某种程度上具有类似于社会关系网络 中。物以类聚，人以群分“的特性 1 2 3 度与度分布( d e g r e ea n dd e g r e ed i s t r i b u t i o n ) 一个节点所连接的边的数目称为该节点的度，第i 个节点的度通常用来 表示网络中所有节点度的平均值称为网络的平均度，记为 由于每一 条边对度的贡献为2 ，所以网络的平均度为 = 专觑= 警， 其中m 和分别表示网络的边数和节点数有向网络中一个节点的度分为出 度( o u t d e g r e e ) 和入度( i n d e g r e e ) 节点的出度是指从该节点指向其它节点的 边的数目，节点的入度是指从其它节点指向该节点的边的数目 网络中节点度的分布情况可用分布函数p ( k ) 来描述 9 】p ( k ) 表示的是一 个随机选定的节点的度恰好为k 的概率，即： 1 p ( 七) = 寺艿( 七一) ， ( 1 2 21 ) i = 1 其中6 ( ) 是一个d e l t a 函数度分布的概念直观的反映了网络中度数为七的节 点在整个网络中所占的比例根据不同类型的度分布，可以把网络分为均匀网 络( h o m o g e n e o u sn e t w o r k ) 和异质网络( h e t e r o g e n e o u sn e t w o r k ) 均匀网络包 括规则网络，完全随机网络、小世界网络等，这类网络的度分布近似为p o i s s o n 分布，其形状在远离峰值 处呈指数下降 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 4 1 3 网络模型 1 3 1 规则网络 规则网络通常是指形状规则的网络，比如像一维链、二维格以及全局耦 合网络( g l o b a l l yc o u p l e dn e t w o r k ) 、近邻耦合网络( n e a r e s t n e i g h b o rc o u p l e d n e t w o r k ) 以及星形耦合网络( s t a rc o u p l e dn e t w o r k ) 等【3 4 】 任意两个节点之间都有边直接相连的网络称为全局耦合网络因此，全局 耦合的平均路径长度为岛。= 1 和聚类系数为q 。= 1 ，度分布服从以n 一1 为 中心的d e l t a 函数 如果网络中每个节点i 都与它k ( k 为偶数) 个邻居( = e l ，i + 2 ，i z l z k 2 ) 相连，称该网络为近邻网络其聚类系数为 n=而3(k-2)五3ijnc 一硒f 面五 由此可以看出近邻网络具有高聚类系数且与网络规模无关，但不具有小世界特 征，事实上其平均路径长度为 n l m 啄。 当网络规模很大时( 一o o ) ，l 能一。o 近邻网络的度分布是以k 为中心的 d e l t a 函数 星形网络是有一个中心节点，并且其它n 一1 个节点都只与这个中心点相 连的网络其平均路径长度为 “n r = 2 一青卅 1 3 2 小世界网络 小世界网络是一种具有与规则网络和随即网络都不相同的拓扑特征的网 络1 9 9 8 年w a t t s 和s t r o g a t z 引入了一个具有小平均路径长度和大聚类系数的 小世界网络，简称为w s 小世界网络模型该模型构造如下：考虑具有个节 点，度为 的最近邻耦合网络，以概率p 重新随机连接每条边的其中一节 点，重连时保证没有自环和重边产生通过调节p 的值可以控制从完全规则最 近邻网络( p = 0 ) 到完全随机( p = 1 ) 的过渡w s 网络模型介于规则网络和 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 5 随机网络之间，它实现了从规则到完全随机之间的连续演变分别令c ( p ) 和 l ) 为以重连概率p 得到的w s 小世界网络模型的聚类系数和平均路径长度， 由参考文献【1 1 】知， c 卅箍名( 1 计 ( 1 3 1 ) 而目前w s 小世界网络的平均路径长度没有精确的表达式n e w m a n 等人用重 正化群方法得到【1 2 i ： l o ) ：! 鍪，( 蜘2 ) ， ( 1 3 2 ) 其中，( ) 服从： m ，2 ：著k 蓦 3 由w s 小世界网络的构造算法可以看出，随机化重连可能破坏网络的连通 性1 9 9 9 年，n e w m a n 和w a t t s 对其进行了改进【1 2 】，用。随机化加边”取 代“随机化重连”，提出了n w 小世界网络模型：在原有最近邻网络模型基础 上，以概率p 在不相连的节点对之间添加一条边当p = 1 时对应于全局耦合 网络 n w 小世界网络的聚类系数为【1 3 】： 一 c 卅面者甍南 ( 1 3 4 ) 由( 1 3 1 ) 、( 1 3 2 ) 和( 1 3 4 ) 式子可以发现小世界网络模型的聚类系数和平均路 径长度都是重连概率p 的函数，当p 比较小时，网络的聚类系数变化不大，但 平均路径长度却迅速下降 1 3 3 b a 无标度网络 基于对包括i n t e r n e t ，w w w 以及新陈代谢网络等的研究，人们发现它们 的度分布函数具有幂律形式由于这类网络节点的度没有明显的特征长度，故 称为无标度网络而我们知道，e r 随机图和w s 小世界模型有一个共同特征 是网络的度分布可近似用p o i s s o n 分布来表示 b a r a b 玉s i 和a l b e r t 提出了一个无标度网络模型，也就是b a 模型【8 】，来解 释幂律分布的产生机理此模型的构造算法为： 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 6 增长：从一个具有m o 个节点的网络开始，每次引入一个新的节点并且 连到m 个已存在的节点上，这里m m o 优先连接：一个新节点与一个已经存在的节点i 相连接的慨率n i 和节点 i 的度乜之间满足如下关系： 耳。最 ( 1 3 5 ) 经过z 步后，产生一个有n = + m 0 个节点、m 条边的网络其平均路径长度 为 ， l n l 丽， 说明当很大的时候，b a 网络仍具有很小的路径长度 1 4 复杂网络同步的概念 同步现象广泛存在于自然科学、社会科学以及工程技术中，如夏日夜晚的青 蛙齐鸣、萤火虫闪烁的一致性【1 4 卜管弦乐队小提琴的统一以及运动频率的一致 性等对同步初步的研究要追溯到1 7 世纪荷兰物理学家h u y g e n s ，他发现两个 连接的钟摆在相位上同步，之后大量的同步现象被观察和研究2 0 0 0 年，n e d a 等人从非线性动力学的观点阐述了剧场中观众鼓掌的频率逐渐相同【15 】这一现 象的产生机理2 0 0 5 年9 月，科学家们发现纳米振子之间旋转力矩的相互影响 使得振子的相位锁定一致【1 6 】有些同步是有益的，如调和振子的生成保密通 讯、语言涌现及其发展( 谈话的同步) 、组织管理的协调及高效运行( 代理同步) 等，我们需要这种同步；有些同步是有害的，如传输控制协议窗口的增加、因特 网或通讯网络中的信息拥塞、周期路由信息的同步等还有，2 0 0 0 年6 月1 0 日，当成千上万人同时通过新落成的伦敦千年桥时，共振使大桥开始振动，引 起多达2 0 厘米的偏差，导致大桥不得不临时关闭f 1 7 1 由此可见，我们要尽量 避免这种同步对复杂网络的研究引起越来越多学者的注意【1 8 - - 2 4 1 复杂动态网络同步化性能的研究已成为一个极富挑战性的课题【2 5 ，2 8 】对 同步现象的建模和控制是研究的热点，近十年来学者们研究了具有不同拓扑结构 的复杂动态网络中各种不同类型的同步状态，比如完全同步( c o m p l e t es y n c h r o - n i z a t i o n ) ，相位同步( p h a s es y n c h r o n i z a t i o n ) ，滞后同步( 1 a gs y n c h r o n i z a t i o n ) ，部 分同步( p a r t i a ls y n c h r o n i z a t i o n ) 和广义同步( g e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n ) 等， 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 7 以及在参数改变( 例如具有时滞【2 6 ，2 7 】或时变的网络) 和结构扰动( 比如在网 络中加入少量的点和边或对网络中的点和边进行加权) 的情况下网络同步化性 能的变化 1 5 复杂网络同步的稳定性 1 5 1l y a p u n o v 函数法 两个非线性系统的同步问题，通常是将其转化为两个系统的误差系统的零 点的稳定性问题来考虑，也即考虑微分方程组零解的稳定性问题可以借助构造 一个特殊的函数v ( z , y ) 且满足y ( o ，o ) ：0 ，并利用v ( z , y ) 的全导数d v f ( x , y ) 确定方程组零解的稳定性 考虑非线性常微分方程组 。巾 杀= f ( z ) ， ( 1 5 1 ) 其中z = 【x l ，x 2 ，z 。】t ，f = m ， ，川t 假定f ( 0 ) = 0 ，且f ( x ) 在区 域g = ( z 1 ，x 2 ，z n ) ：i i x l isa 内有连续的偏导数 定理1 5 1 对于方程( 1 5 1 ) ，如果存在个正定的函数v ( t ) 且满足v ( o ) = 0 ，使得关于方程的全导数百d v 是负定的，则方程( 1 5 1 _ ) 的零解是渐近稳定的 其次考虑非线性差分方程组 x ( t + 1 ) = f 0 ( ) ) ，( 1 5 2 ) 其中z ，f 与方程( 1 5 1 ) 具有相同意义 定理1 5 2 对于方程( 1 5 2 ) ，如果存在一个正定的函数v ( t ) 且满足v ( o ) = 0 ，使得 x v ( t ) = v ( t + 1 ) 一v ( t ) 0 ， 即a v ( t ) 是负定的，则方程( 1 5 2 ) 的零解是渐近稳定的 李稚普诺夫第二方法将稳定性的问题转化为李雅普诺夫函数的构造问题 建立满足上述定理的正定函数y ( z ) ，在大部分情况下需要很高的技巧常见的 一些建立李雅普诺夫函数的方法有类比法、能量函数法、变量分离法、变梯度 法、广义能量法、首次积分线性组合与加权法等 2008年上海大学硕士学位论文8 1 5 2l y a p u n o v 指数 李雅普诺夫指数是混沌同步研究中最重要的一个量，它可以给出吸引子相 邻轨道平均指数发散率的定量度量，是对吸引子拉伸和收缩性质的长时间平均 量度，可以定量表示轨道的稳定性和蝴蝶效应的强弱 为方便起见，我们考虑一维映射 x t + 1 = ，( z ) ( 1 5 3 ) 对于轨道x t 的偏移e t ，我们可以建立线性化方程= ( d f 如) i z 。龟所以 当i d f d x i 0 作为混沌行为的一种判断依据 1 5 3 连续时间耦合网络同步判定 p e c o r a 和c a r r o u 于1 9 9 8 年研究了一类连续时间耗散耦合动力系统同步的 稳定性问题，提出了主稳定性函数判据 2 9 】考虑由个节点构成的连续时间 耗散动力网络，假设第i 个节点的状态变量为而冗n ，其状态方程为 j 、r 血= m ) + 勺h ( 巧) ， ( 1 5 4 ) 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 9 其中常数e 0 表示网络的耦合强度；函数日( ) ：缈一冗n 是网络各个节点之 间的内部耦合函数，也称为各节点的输出函数；耦合矩阵c = ( q f ) 冗表 示网络的拓扑结构，满足耗散耦合条件羔1 勺= 0 ，耦合矩阵c 是描述一个 简单图的对称矩阵时，其元素定义如下。如果结点i 与结点j 之间有连接，那 么c q = = 1 ( i 歹) ，否则= 印= o ( i 歹) ，c 的对角元素定义为 nn 龟= e q = 锄= - k i ，i = 1 ，2 一， j = l ，j 和j = l ，j i 其中乜是节点i 的度下面我们给出完全同步的定义 定义1 5 3 如果1 i 理0 戤( ) 一8 ( t ) 0 = 0 ，i = 1 ，2 ，其中s ( t ) 7 妒 是一个稳定的极限集，并且满足 ( ) = ，( s ( ) ) ， 那么我们就称网络( 1 5 4 ) 达到同步 对状态方程( 1 5 4 ) 关于同步状态s ( t ) 线性化，令最为第i 个节点状态的 变分，得到如下变分方程： 南= d ( f ( s ) ) s i + c q d h ( s ) 6 j ， j = l d f ( s ) 和d h ( s ) 分别是函数，( z ( ) ) 和 ( ) ) 关于s ( ) 的j a c o b i a n 矩阵令 5 = 【5 1 ，如，如】，上述方程可以转换为紧凑形式 占= d ( ，( s ) ) 6 + d h ( s ) 6 c t ， 因为c 为对称不可约矩阵，利用若当分解得到c 丁= 圣a 圣，其中a = d i a g ( h ，a 2 ，入n ) 令7 7 = 6 西得到， 而= d ( ，( s ) ) ，7 + e d h ( s ) o a 由于人为对角化实矩阵，得到 糠= ( d ( ，( s ) + e a k d h ( s ) ) r l k ，七= 1 ，2 ，( 1 5 5 ) 入- = 0 对应着同步流形考虑k 不为零的情形，判断同步流形稳定的一个常 用判据就是要求方程( 1 5 5 ) 的横截l y a p u n o v 指数在奄= 2 ，3 ，时全为负 值【3 0 - 3 2 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 0 如果矩阵c 为非对称阵时，其特征值可能为复数，令k = n4 - i p ，定义主 稳定方程( m a s t e rs t a b i l i t ye q u a t i o n ) 如下： 荨= ( d ( ，( s ) ) + ( q + i ，) d 日( s ) ) f ， 该方程的最大l y a p u n o v 指数l ，一称为动力网络( 1 5 4 ) 的主稳定函数( m a s t e r s t a b i l i t yf u n c t i o n ，m s f ) 【3 3 给定一耦合强度e ，在( q ，p ) 复平面上可以对应地找到固定的一点k ，该 点所对应的l 砌。的正负号反映了该特征模态的稳定性( 负号表示稳定，正号表 示不稳定) 如果k ( k = 2 ，3 ，) 所对应的所有的特征模块都稳定，那么在 该耦合强度下整个网络的同步流形( 1 5 4 ) 是稳定的 1 5 4 连续线性耦合网络的同步判据 当节点输出函数为线性函数时【3 4 】，所研究的网络可以写为如下形式 n 磊= f ( x i ) + 啊， ( 1 5 4 ) j = l 取内部耦合矩阵为f = d i a g ( r , ，r 2 ，r n ) ，通过对上述网络模型的研究，得到 如下定理： 定理1 5 4 考虑网络( 1 5 4 ) ，令0 = a l a 2 2a n 是耦合矩阵c 的 特征值如果下列一1 个n 维线性时变系统关于其零解是指数稳定的； 而( ) = 【d f ( s ( t ) ) 4 - e a r 】7 7 ( ) ，k = 2 ， 那么网络的同步流形是渐近稳定的 定理1 5 5 考虑动力网络( 1 5 4 ) ，如果存在一个正定阵p 以及常数i 0 ，满足条件 【d f ( s ( t ) ) 4 - d r t p4 - p d f ( s ( t ) ) + d f 】一口，n 其中厶是单位矩阵如果e a 2 d ，则同步流形是指数稳定的 如果假设内部耦合矩阵r 为单位矩阵，那么上述定理1 5 2 中的常数d 可 以取代节点函数，的最大l y a p u n o v 指数由此可得如下定理【3 7 】 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 1 定理1 5 6 假定网络( 1 5 4 ) 由混沌系统节点组成，记节点函数，的最大 l y a p u n o v 指数为i l m 如果内部耦合矩阵r 为单位矩阵，并且满足e a 2 m 则同步流形是指数稳定的 在对网络模型( 1 5 4 ) 的研究中，耦合矩阵c 都是被假定为满足耗散性条 件的，即c 的每一行元素的和为零所以一个自然的问题是，如果耦合矩阵不 满足耗散性条件，网络节点会出现怎样的同步态? 我们通过假定耦合矩阵c 每 一行元素的和为一个非零常数，得到下面定理【3 6 】 定理1 5 7 我们考虑网络模型( 1 5 4 ) 假定耦合矩阵c 是对称矩阵并且 c 的每一行元素的和均为非零常数钍如果存在一个礼阶的对角矩阵d 0 以 及一个常数7 0 ，使得( d f ( s ( t ) ) + 九厶) t d + d ( d f ( s ( t ) ) + 九厶) 0 表示耦合强度；f 冗骼n 是网络节点内 部耦合矩阵；h 冗”“是任意常数矩阵；a = ( a o ) 冗，b = ( b i j ) 冗。 分别表示两个网络的拓扑结构，其中啦，按照如下方式定义( 玩，有相同定义) ： 如果结点i 与结点歹之间有连接，那么a o = 1 ( i = 歹) ，否则= o ( i 歹) ；a 的 对角元素定义为= 一釜l j 和 定义2 1 1 如果1 啦i l y , c t ) 一甄( t ) i i = 0 ，i = 1 ，2 ，则称网络 ( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 达到同步 我们给出有相同拓扑结构的两个耦合网络的同步理论令e i = y i 一戤，运 用线性化方法得到， e i ( t + 1 ) = h e t ( ) + c 口巧r e j ( t ) 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 3 然后令e = 【e l ，e 2 ，e 】，得到 e ( + 1 ) = h e ( t ) + c r e c t ) a t 对耦合矩阵a 进行若当分解a r = s j s ，矩阵j 是a 的若当标准型形 式，s 包含相应的特征向量8 令7 7 ( ) = e ( t ) s ，得到 印 + 1 ) = h y ( t ) + c r 叩( ) z( 2 1 3 ) 这里，是一个块对角矩阵， 其中 j k = k 1 0 丸 ； 00 00 j = o 0 10 k1 0k ，k = 1 ，2 ，z 令7 7 = 【叩1 ，啦，伽】以及仉= 【讯，1 ，仉，2 ，仉，m 。】，k = 1 ，1 由于耦合 矩阵满足耗散性条件，可以假设a l = 0 ， 是一个1 维块矩阵，由此得到 ? 7 1 0 + 1 ) = 日叩1 ( t ) 我们假定i i h i l 2 1 ，于是零解叩l = 0 是渐近稳定的接下 来考虑k = 2 ，3 ，z 的情形方程( 2 1 3 ) 可以写成分量形式 玑，1 ( + 1 ) = ( h + c 丸r ) 诋l ( t ) 7 珐，r + 1 ( + 1 ) = ( h + c a 七r ) 7 k ，+ 1 ) + c r 饥，( ) ，1 f - m 七一1 ， 其中k = 1 ，2 ，z 下面我们给出两个离散耦合网络的同步定理 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 定理2 1 。2 假设a = b ，j i h i l 2 1 考虑响应一驱动网络( 2 1 。1 ) 和( 2 。1 2 ) 令丸= q 七+ j 风是耦合矩阵a 的特征值，这里侥冗，q 七 0 ，k = 2 ，z ， 歹是虚数单位若存在常数0 1 b 7 0 ，满足 i i h i l 2 + c i 入k i l i r l l 2 7 0 ，t t o ， 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 4 则网络( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 达到同步 证明由于耦合矩阵a 满足耗散条件，我们假设若当矩阵中第一个若当块 阵为一维零矩阵，即入1 = 0 由此可以得到叩l ( 4 - 1 ) = h i 7 l ( ) ，因i i h i l 2 0 ，满足 r k ，l ( ) 1 1 2 m ，t t o ，k = 2 ，3 ，1 其次考虑方程( 2 1 5 ) 的稳定性不失一般性，令r = 1 和v ( t ) = i ，2 ( t ) 1 1 2 r ， 有 v ( t4 - 1 ) = i i7 孤，2 ( 4 - 1 ) 0 2 7 一。一1 i i h + c a 七r 0 20 讯2 ( t ) 1 1 2 一一1 + c o r 0 2 l l 叩k ，a ( t ) 1 1 2 一一1 5 警y ( ) + c i i r i l 2 等( 晋) s ( 晋) + 1 一t y ( 丁) + c l l r l l 2 ( t4 - 1 一t ) 了h , 4 了 7 0 ) 。 。 + ，t t o 由此可以看出，v ( t ) 是有界的，暗含讯，2 ( ) = o o ) ，对所有的k = 2 ，3 ，z 都成立由稳定性判断知，网络( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 达到同步 口 数值例子 对系统每一个节点动力学，我们选取l o g i s t i c 映射 f ( x ) = p x ( 1 一z ) 为方便计算起见，我们令r 是单位矩阵 对具有相同拓扑结构的网络进行数值计算，包括对称与不对称两种情形 对称情形：a = b = a l 其中a l 是具有小世界网络连接的1 0 0 维矩阵；不对称 情形：a = b = a 2 这里a 2 是具有随机网络连接的1 0 0 维矩阵 从理论分析知道，若日的值处下( 一1 ，1 ) 范围之内，p 在( 0 ，4 ) 内取值，我 们可以调节耦合强度使网络达到同步 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 5 首先考虑对称情形对具有小世界网络连接的对称耦合来说，c 的最大上界 是0 0 0 8 令e ( ) 2l 三m ：三a x 删i y i ( t ) 一而( ) i 图2 1 1 画出了关于两个h 值的同步 误差 图2 1 1 系统关于两个日值的同步误差 我们知道，当日取值处于( 一1 ，1 ) 范围之外时，系统不会达到同步通过 模拟我们发现，如果把常数日当作一个分岔参数的话，那么网络的每个节点的 误差色作为参数h 的函数会出现分岔【4 3 ，4 4 】，见图2 1 2 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 6 圈2 1 2 网络节点的误差e 关于参数日值的分岔图 另外，我们研究了网络规模网络的平均度m 。构建现世界网络时的连 接概率p 以及使网络达到同步的耦合强度上界c 之间的关系通过模拟得到，c 随着m 的增大而减小，平均度m 固定时，c 随着p 和的增大而减小，见图 2 1 3 和图2 1 4 囝2 1 3 网络连接概率分别为p = o i 和p = 0 9 时，耦合强度上界c 与网络的平均度 仇之问的关系 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 7 图2 1 4 网络规模分别为n = 1 0 0 和n = 1 0 0 0 时耦合强度上界c 与网络的甲均度m 之问的关系 其次考虑对于非对称的情形对有随机网络连接的非对称耦合而言，c 的最 大上界是0 0 0 1 ，这说明不同的拓扑连接对网络的同步能力产生不同的影响 2 2 离散时间两个耦合网络的相互同步 从文献【4 0 中不难看出，作者研究的是响应驱动网络，而在自然界中，两 个网络之间的耦合方式是丰富多彩的，如双向耦合本节来研究双向耦合的两 个离散网络间的同步。对具有相同拓扑结构的两个网络，我们给出了理论分析， 最后用数值例子来验证我们得到的理论结果 下面我们考虑两个离散网络之间的相互同步，其网络模型如下 t ， 戤( t + 1 ) = f ( x i ( ) ) + 等( 翰( ) 一轨( t ) ) + c a i j r z a t ) ， ( 2 2 1 ) 。 j = l t ，n 玑( 汁1 ) = ，( 轨( ) ) + 鲁( 玑( ) 一戤( ) ) + c b i j r 协( t ) ， ( 2 2 2 ) 。 j = l 其中墨，鼽，f ，n ，c ，b i t ，f 与2 1 节具有相同的含义，k 是决定耗散耦合 的常数矩阵 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 8 我们注意到，与系统( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 相比较而言，此处的耗散耦合矩阵 k 更具有一般性同时我们还注意到，很多的动力系统都可以分解为线性部分 和非线性部分令 ，( z ) = q z + y ( x ) + 垂， 其中q 为常数矩阵，为，的非线性部分，中为常数列向量 假定 ，( 玑( t ) ) 一，( 甄( t ) ) = 缸。，玑( 玑( t ) 一x i ( ) ) ， ( 2 2 3 ) 其中矩阵地删；中的元素是由翰( t ) ，玑( ) 决定的容易看出，如果节点动力学 有周期轨道、不动点或者奇怪吸引子，那么矩阵 栅是有界的 下面我们给出a = b 时网络同步的理论分析令e t ( ) = y i ( t ) 一龟( ) ，得到 e ( t + 1 ) = ( q + 尥棚。+ k ) e i ( ) + c n 妇r e j ( t ) 令e ( t ) = 【e ，e ；，e 罨】r ，得到系误差系统 其中 得到 r = e ( t + 1 ) = ( r + c a or ) e ( t ) ，( 2 2 4 ) aof = a l l f a 2 1 f a n l f a 1 2 f a m f a n 2 r q + 尥l m + k 0 o l r a 2 n f n r r 0 2 + 尥2 ，抛+ k 00 q + 尥，”+ k 我们考虑方程( 2 2 4 ) 零解的稳定性选择如下l y a p u n o v 函数 v ( t ) = e ( t ) t e ( ) ， a v ( t ) = y ( t + 1 ) 一y ( t ) = e ( ) t ( ( r + c a or ) t ( 兄+ c aqr ) 一) e ( ) 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 一一 因此，如果( r + c a f ) r ( r + c a